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浅谈线性空间的维数与基摘要本文通过对有限维线性空间中基和维数的讨论，总结出了有限维线性空间的基和维数的求解方法，并且，用不同的方法对线性空间的基和维数的应用进行了探讨.关键词：线性空间；维数；基；同构；子空间THE DISCUSSING TO THE DIMENSIONS ANDBASES OF LINEAR SPACEABSTRACTIn this paper, by discussing dimensions and bases of finite dimensions linear space, we Summarizes the methods to soluting dimensions and bases of finite dimensional linear space. Moreover, the application of the bases and dimensions are discussed in different ways.Keywords: linear space; dimension; base; isomorphism; subspace .目录摘要 (1)关键词： (1)ABSTRACT (2)一、基本概念 (4)二、线性空间的基和维数求解方法 (5)2.1、定义法 (5)2.2、利用相关定理求维数与基 (8)三、线性空间基和维数的应用 (10)3.1、次子空间的应用 (10)3.2、在同构线性空间中的应用 (12)四、有限维线性空间基的扩充 (13)五、参考文献 (15)致谢 (15)一、基本概念定义1.2、U 中向量集H 如果满足下述两个条件，① 向量集H 是线性相关的；② U 中每一个向量可以由H 中有限个向量线性表出；则H 是U 的一个基，只含0向量的基是空集。
定义1.3、U 称为有限维的，如果U 有一个基包含有限多个向量，否则U 称为无限维的，有限维线性空间的一个基所含向量个数称为U 的维数。
子空间的交的基和维数求法如果有两个子空间V1和V2，则它们的交子空间V3是满足以下条件的子空间：1.V3是V1的子空间。
2.V3是V2的子空间。
设V1和V2的基分别为{v1, v2, ..., vm}和{w1, w2, ..., wn}，则V3的基可以表示为{v1, v2, ..., vm}∩{w1, w2, ..., wn}。
要求V3的维数，可以使用以下方法：1.将V1和V2的基分别转化为矩阵的行矢量，构造出一个矩阵A。
2.使用线性代数中的高斯消元法求解线性方程组Ax=0，求出其自由元。
3.自由元的数量即为V3的维数。
例如，假设有两个子空间V1和V2，它们的基分别为{(1,2), (2,3)}和{(1,1), (2,2)}。
则V3的基为{(1,2), (2,2)}，V3的维数即为2。
注意，在求解线性方程组Ax=0时，需要注意矩阵A是否为奇异矩阵（即行列式为0），因为在这种情况下无法使用高斯消元法求解。
此时，可以使用其他的线性代数方法来求解线性方程组。
另外，在求解线性方程组Ax=0时，还可以使用线性代数中的矩阵分解方法，例如奇异值分解、QR分解等。
这些方法可以帮助我们在矩阵A为奇异矩阵的情况下，仍然能够求出自由元。
此外，还可以使用线性代数中的向量线性无关的概念来求解线性方程组Ax=0。
向量线性无关的定义是：若存在一组向量{v1, v2, ..., vm}，使得任意的向量v都可以表示为v=a1v1+a2v2+...+amvm的形式，则这个组合{v1, v2, ..., vm}为线性无关的向量组。
在求解线性方程组Ax=0时，如果A的列向量组{v1, v2, ..., vm}为线性无关的向量组，则Ax=0的解的数量就等于A的列向量的数量减去Ax=0的无穷解的数量。
例如，假设有线性方程组Ax=0，其中A是一个3*4的矩阵，则Ax=0的解的数量就等于4减去Ax=0的无穷解的数量。
综上所述，求解线性方程组Ax=0的方法有多种，可以根据实际情况选择合适的方法进行解决。
求生成的子空间的基与维数
假设已知一个向量空间V中的一组向量S，求出它所生成的子空间的基和维数是一个常见的问题。
首先，我们需要清楚什么是生成的子空间。
对于一个向量空间 V 和它的一个子集 S，S 所生成的子空间是由所有可以表示为 S 的线性组合的向量构成的空间。
也就是说，如果有向量 v 属于 S，那么任何 S 中所有向量的线性组合都属于 S 所生成的子空间。
接下来，我们可以使用高斯消元法来求出 S 所生成的子空间的一个基。
将 S 中的向量按列组成一个矩阵 A，然后对 A 进行高斯消元操作，将它化为简化行阶梯形矩阵 R。
S 所生成的子空间的一个基可以由 R 中的每一个非零行所对应的向量来得到。
如果 R 中有 k 个非零行，那么 S 所生成的子空间的维数就是 k。
需要注意的是，如果 S 中有线性相关的向量，那么它们所生成的子空间的维数就小于 S 中向量的个数。
因此，在求解生成的子空间的基和维数时，需要先对 S 进行线性无关性检查，排除线性相关的向量。
总之，求出一个向量空间中由一组向量生成的子空间的基和维数是一个基本的线性代数问题，可以通过高斯消元法和线性无关性检查来解决。
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多项式空间的基和维数多项式空间的基和维数是高等数学中一个非常重要的概念，也是一种重要的数学工具，它在解决许多数学问题中起到了至关重要的作用。
在本文中，我们将详细讨论多项式空间的基和维数。
第一步：定义多项式空间多项式空间是指由多项式构成的向量空间，其中每一个多项式是由实数系数和有限多个变量构成，它们可以进行加法和数乘运算，并且满足向量空间的基本条件。
多项式空间是数学中常用的一个概念，它在许多领域中都得到了广泛的应用。
第二步：理解基的概念在数学中，基是指一个向量空间中的一组线性无关向量组成的集合，通过这些向量可以表示出向量空间中的任何向量。
在多项式空间中，基由一组多项式构成，可以表示出多项式空间中的任何多项式。
第三步：定义维数维数是指一个向量空间中所需要的最小基的个数，从而能够表示出该向量空间中的所有向量。
在多项式空间中，维数即为一组多项式的个数。
第四步：如何求多项式空间的基和维数在许多情况下，我们需要求出多项式空间的基和维数。
这可以通过以下步骤进行：1. 首先，我们需要确定多项式的最高次数，设其为n。
2. 接着，我们需要构造n+1个多项式，它们依次具有0次，1次，2次，……，n次的项，形式类似于1，x，x^2，……，x^n。
3. 我们需要检验这n+1个多项式是否构成了多项式空间的一组基。
为此，可以通过证明这n+1个多项式线性无关，即其中任意一组多项式不能表示成其他多项式的线性组合来实现。
4. 如果n+1个多项式确实构成了多项式空间的一组基，则该空间的维数为n+1，基即为这n+1个多项式。
第五步：多项式空间的应用多项式空间在数学中有着广泛的应用，比如在插值问题中，使用多项式空间可以通过已知的一些点来计算出未知的函数值。
另外，在数值计算及科学计算中，多项式空间也得到了广泛的应用。
总结多项式空间的基和维数是高等数学中非常重要的概念，它在解决许多数学问题中起到了至关重要的作用。
通过本文的阐述，我们能够更好地理解多项式空间的基和维数的定义及应用。
基与维数的几种求法线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间v中，如果有n个向量α1,,αn满足用户:(1)α1,α2,αn线性无关。
(2)v中任一向量α总可以由α1,α2,,αn线性则表示。
那么称v为n维（有限维）线性空间，n为v的维数，记为dimv=n，并称α1,α2,,αn为线性空间v的一组基为。
如果在v中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成v为无限维的。
基准1设v=xax=0，a为数域p上m⨯n矩阵，x为数域p上n佩向量，谋v的维数和一组基为。
解设矩阵a的秩为r，则齐次线性方程组ax=0的任一基础解系都是v的基，且v的维数为n-r。
基准2数域p上全体形似对矩阵的乘法及数与矩阵的乘法所共同组成⎪的二阶方阵，-ab⎪⎪的线性空间，谋此空间的维数和一组基为。
⎪⎪0a⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪为线性空间,v=｜a,b∈p⎪⎪的一组线性毫无关系的向⎪⎪⎪⎪-10⎪⎪01⎪⎪⎪-ab⎪⎪⎪0a⎪⎪0a⎪⎪01⎪⎪00⎪量组，且对v中任一元素⎪=a⎪+b⎪⎪有ab1001-ab⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪⎪,⎪为v的一组基为，v的维数为2。
⎪10⎪⎪01⎪方法二在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。
基准3假设r[x]n就是一切次数大于n的实系数多项式迎上零多项式所构成的线性空间，证明：1,(x-1),(x-1),,(x-1)构成r[x]n的基。
证明实地考察k1⋅1+k2(x-1)++kn(x-1)的系数为0得kn=0，并代入上式可得xn-2的系数kn-1=0依此类推便存有kn=kn-1==k1=0，故1,(x-1),,(x-1)又r[x]的维数为n,于是1,(x-1),,(x-1)为r[x]的基。
方法三利用定理：数域p上两个非常有限佩线性空间同构的充份必要条件就是它们存有相同的维数。
例4设a=⎪，证明：由实数域上的矩阵a的全体实系数多项式f(a)共同组成的空间v=⎪f(a)｜a=⎪⎪⎪0-1⎪⎪⎪⎪与复数域c作为实数域r上的线性空间10⎪⎪⎪v'={a+bi｜a,b∈r}同构，并非谋它们的维数。
线性代数中的基与维数线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间和线性映射的性质。
而在线性代数中，基与维数是两个重要的概念，它们扮演着关键的角色。
本文将详细讨论线性代数中的基与维数，并探讨它们的应用。
一、基与线性无关性在线性代数中，我们将向量空间中的一组向量称为基（basis），它们具有以下两个性质：1. 生成性：基中的向量可以通过线性组合生成向量空间中的任意向量。
2. 线性无关性：基中的向量不能通过线性组合得到零向量。
具体来说，设V是一个向量空间，若存在向量组B={v₁, v₂, ..., vₙ}满足以下两个条件，则称该向量组为V的基：1. 所有的向量v∈V都可以由B中的向量线性表出。
2. 如果B中的向量进行线性组合时等于零向量，那么必须其中的所有系数都等于零。
基的一个重要性质是线性无关性。
线性无关的向量组意味着每个向量都是独立的，不能由其他向量线性表示出来。
当一组向量线性无关时，它们的个数称为向量空间的维数。
二、维数的概念及性质在线性代数中，维数（dimension）是向量空间中独立向量的最大个数，记作dim(V)。
维数是衡量向量空间复杂程度的一个指标，它具有以下性质：1. 如果向量空间V中存在有限个向量使得它们线性无关，那么V的维数是有限的。
2. 如果在V中存在无穷多个向量，且它们线性无关，那么V的维数是无穷大。
3. 如果V的维数为n，那么V的任意一个基都包含n个向量。
4. 如果V的维数为n，那么V中的任意n+1个向量必然线性相关。
维数的计算方法也有一些常见的技巧。
对于有限维向量空间V而言，可以通过求解线性方程组的方法来求解维数。
另外，对于一些特殊的向量空间，也可以直接通过观察其内部的向量性质来确定维数。
三、基与维数的应用基与维数在线性代数中有广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 基变换与坐标系：在向量空间中，不同的基可以产生不同的坐标系，基变换就是在不同的基之间进行坐标的转换。
线性空间基和维数的求法方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足:(1)n ααα,2,1 线性无关。
(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示。
那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。
例1 设{}0V X AX ==，A 为数域P 上m n ⨯矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。
解 设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。
例2 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。
解 易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2。
方法二 在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。
例3 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----构成[]n R x 的基。
证明 考察()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=由1n x-的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -=依此类推便有110n n k k k -====，故()()11,1,,1n x x ---线性无关又[]nR x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---为[]nR x 的基。
方法三 利用定理：数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。
例4 设0110A -⎛⎫=⎪⎝⎭，证明：由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组成的空间()0110V f A A ⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间{}'V a bi R =+∈｜a,b 同构，并非求它们的维数。
证明 V 中任一多项式可记为()()=,,f A aE bA a b R +∈，建立'V 到V 的如下映射()()11111111:,a bi f A a E b A a b R σα=+→=+∈易证σ是'V 到V 上的单射，满射即一一映射。
再设222,a b i α=+ 22,,a b R K R ∈∈，则有()()()()()()()121212121212a a b b i a a E b b A σαασσασα+=+++=+++=+⎡⎤⎣⎦()()()111111k ka kbi ka E ka A k x σασσ=+=+=故σ是'V 到V 的同构映射，所以V 到'V 同构 另外，易证'V 的一个基为1，i ，故'dim 2V ='V Vdim 2V ∴=方法四 利用以下结论确定空间的基： 设12,,,n ααα与12,,,n βββ是n 维线性空间V 中两组向量，已知12,,,n βββ可由12,,,n ααα线性表出：11112121n n a a a βααα=+++21212222n n a a a βααα=+++ 1122n n n nn n a a a βααα=+++令111212122212n n n n nn a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭如果12,,,n ααα为V 的一组基，那么当且仅当A 可逆时，12,,,n βββ也是V 的一组基。
例5 已知231,,,x x x 是[]4p x 的一组基，证明()()231,1,1,1x x x +++也是[]4p x 的一组基。
证明 因为23111000x x x =⋅+⋅+⋅+⋅ 23111100x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅()223111210x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅ ()323111331x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅且11110123000120001A =≠所以()()231,1,1,1x x x +++也为[]4p x 的一组基。
方法五 如果空间V 中一向量组与V 中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基。
例6 设[]2R x 表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明22,,1x x x x x +-+为这空间的一组基。
证明 ()()()2212310k x x k x x k x ++-++=则121233000k k k k k k +=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得3210k k k ===于是22,,1x x x x x +-+线性无关，它们皆可由2,,1x x 线性表示，因此22,,1x x x x x +-+与2,,1x x 等价，从而[]2R x 中任意多项式皆可由22,,1x x x x x +-+线性表示，故22,,1x x x x x +-+为[]2R x 的基。
方法六 利用下面两个定理：定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不改变矩阵列向量间的线性关系。
定理二：任何一个m n ⨯矩阵A ，总可以通过行初等变换和列变换它为标准阶梯矩阵：00r I B ⎛⎫⎪⎝⎭，其中r I 表示r 阶单位矩阵。
依据这两个定理，我们可以很方便地求出12V V 的一个基，从而确定了维数。
例7 设()()112212,,,V L V L ααββ==是数域F 上四维线性空间的子空间，且()()()()12121,2,1,0,1,1,1,1;2,1,0,1,1,1,3,7.ααββ==-=-=-求12V V 的一个基与维数。
解 若12r V V ∈，则存在1212,,,x x y y F --∈，使11221122r x x y y ααββ=+=-- (1)即有112211220x x y y ααββ+++= (2)若1212,,,ααββ线性无关，（2）仅当2120x x y y ====时成立 那么12V V 是零子空间，因而没有基，此时维数为0，12V V +是直和若存在不全为零的数1212,,,x x y y 使（2）成立，则12V V 有可能是非零子空间若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r 。
以1212,,,ααββ为列向量作矩阵A ，经行初等变换将A 化为标准阶梯形矩阵A 。
11211001211101041103001301170000A A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−−−→= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行初等变换212143βααβ=-++()1212435,2,3,4r ααββ∴=-+=-+=-是12V V 的一个基 ()12dim 1V V =同时知，12,αα是1V 的一个基，1dim 2V =12,ββ是2V 的一个基，2dim 2V =1212,,,ααββ是12V V +的一个基，()()12dim =3V V A +=秩方法七 在线性空间V 中任取一向量α，将其表成线性空间V 一线性无关向量组的线性组合的形式，必要的话需说明向量组是线性无关的。
这一线性无关向量组就是我们要找的基。
例8 求112()V L αα=，与212()V L ββ=，的交的基和维数。
设12(1,2,1,0)(11,1,1)αα=⎧⎨=-⎩，，12(21,0,1)(11,3,7)ββ=-⎧⎨=-⎩，，解 任取12V V α∈，则11122V x x αααα∈=+，，且21122V y y ααββ∈=+，，1122112x x y y αααββ=+=+（注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在1V 、2V 中的表示，并非本题所求，即要在空间21V V 中将α线性表出）11221120x x y y ααββ∴+--=，求1212,,,x x y y121212121222122020300x x y y x x y y x x y x y y ---=⎧⎪+-+=⎪⎨+-=⎪⎪--=⎩ ７ 解得1212(,,,)(,4,3,)x x y y k k k k =--1212(4)(3)(5,2,3,4)k k k αααββ∴=-=-+=-故12V V 是一维的，基是(5,2,3,4)-易知(5,2,3,4)-是非零向量，是线性无关的。
方法八 按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果1,2V V 是有限维线性空间V 的两个子空间，那么()()()()121212dim dim dim dim V V V V V V +=++例9 已知()()123,1,2,1,0,1,0,2αα=-=()()121,0,1,3,2,3,1,6ββ==--求由向量12,αα生成的4p 的子空间()112,V L αα=与向量1,2ββ生成的子空间()212,V L ββ=的交与和空间的维数的一组基。
解 因为()121212,,,V V L ααββ+=，对以1212,,,ααββ为列的矩阵施行行初等变换：30120000110311032011001112360003A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪----⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭秩A =秩3B =，所以12V V +的维数是3且1212,,,ααββ为极大线性无关组，故它们是12V V +的一组基。
又由12,αα线性无关知1V 的维数为2，同理2V 的维数也为2，由维数公式知12V V 的维数为()2231+-=。
从矩阵B 易知12122ββαα+=-,故()123,3,2,3ββ+=--是12,V V 公有的非零向量，所以它是交空间12V V 的一组基。
方法九 由替换定理确定交空间的维数。
替换定理：设向量组12,,,r ααα线性无关，并且12,,,r ααα可由向量组12,,,s βββ线性表出，那么()1r s ≤()2必要时可适当对12,,,s βββ中的向量重新编号，使得用12,,,r ααα替换12,,,r βββ后所得到的向量组121,,,,,,r r s αααββ+与向量组12,,,s βββ等价。
特别，当r s =时，向量组12,,,s ααα与向量组12,,,s βββ等价。
