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课时跟踪训练(二十)[基础巩固]一、选择题1．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( ) A ．－53 B ．－59 C.59D.53[解析] 由(sin α＋cos α)2＝13得2sin αcos α＝－23， ∵α在第二象限，∴cos α－sin α＝－(sin α＋cos α)2－4sin αcos α ＝－153，故cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝33×⎝⎛⎭⎪⎫－153＝－53，选A.[答案] A2．已知sin2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.13 B.12 C.23D.16[解析] cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝1＋132＝23. [答案] C3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( ) A.2941 B.129 C.141D ．1[解析] tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝37＋251－37×25＝1，故选D. [答案] D4.sin47°－sin17°cos30°cos17°等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12D.32[解析] 原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos30°cos17° ＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12. [答案] C5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6 的值是( ) A ．－235 B ．－45 C.235D.45[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435⇒32cos α－32sin α＝435⇒3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝435⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－45.[答案] B6．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18 B ．－116 C.116 D.18[解析]cos π9·cos 2π9·cos⎝ ⎛⎭⎪⎫－239π＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°cos20°cos40°cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20° ＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18. [答案] A 二、填空题7.cos10°－3sin10°sin20°＝__________. [解析] 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°sin20°＝2sin (30°－10°)sin20°＝2. [答案] 28.3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________. [解析] 原式＝3·sin12°cos12°－32(2cos 212°－1)sin12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23sin (－48°)2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24°＝－23sin48°12sin48°＝－4 3. [答案] －4 39．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. [解析] 由已知得tan α＋tan β＝－3a ， tan αtan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝1.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan α＋tan β＝－3a <0，tan αtan β＝3a ＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0.∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π4. [答案] －3π4 三、解答题10．(2017·北京西城区5月模拟)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f (β)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，求β的值．[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠k π＋π4，k ∈Z . 所以函数f (x )的定义域是{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }． (2)依题意，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，整理得sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4－1＝0， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12. 因为β∈(0，π)，所以β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，得β＋π4＝π，即β＝3π4；由cos ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12，得β＋π4＝π3，即β＝π12.所以β＝π12，或β＝3π4.[能力提升]11．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2 B ．3α＋β＝π2 C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2[解析] 由已知，得sin αcos α＝1＋sin βcos β， ∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β. ∴sin αcos β－cos αsin β＝cos α.∴sin(α－β)＝cos α，∴sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2， ∴α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.故选C. [答案] C12．(2017·河南百校联盟4月联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6等于( )A ．－1010 B.1010 C ．－31010D.31010[解析] tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2⇒tan α＋tan π121－tan αtan π12＝－2⇒tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2<0，∵α为第二象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－55，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π4＝－31010. [答案] C13．(2017·湖南长沙一模)化简：2sin (π－α)＋sin2αcos 2α2＝________.[解析] 2sin (π－α)＋sin2αcos 2α2＝2sin α＋2sin α·cos α12(1＋cos α)＝2sin α(1＋cos α)12(1＋cos α)＝4sin α. [答案] 4sin α14．(2018·河南统考)已知tan α，tan β是lg(6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.[解析] 由lg(6x 2－5x ＋2)＝0，得6x 2－5x ＋1＝0，由题意知tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1. [答案] 115．已知sin(2α＋β)＝2sin β，求证：tan(α＋β)＝3tan α. [证明] ∵sin(2α＋β)＝2sin β， ∴sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]． ∴sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝2sin(α＋β)cos α－2cos(α＋β)sin α. ∴3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α. ∴tan(α＋β)＝3tan α.16．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．[解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32. 所以sin2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×⎝⎛⎭⎪⎫－3212＝2 3.[延伸拓展](2018·安徽皖江名校联考)已知在锐角△ABC 中，角α＋π6的终边过点P (sin B －cos A ，cos B －sin A )，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝33，则cos2α的值为( ) A.3－26 B ．－23－16 C.12－36D ．－63－16[解析] ∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2，A 、B <π2，∴π2>B >π2－A >0，则sin B >sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，cos B <cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A ＝sin A ，∴sin B －cos A >0，cos B －sin A <0，∴角α＋π6为第四象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－63，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝12－66，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－63－16，故选D.[答案] D。
课时跟踪训练(二十) 三角恒等变换[基础巩固]一、选择题1．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53 [解析] 由(sin α＋cos α)2＝13得2sin αcos α＝－23，∵α在第二象限， ∴cos α－sin α＝－sin α＋cos α2－4sin αcos α＝－153， 故cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－153＝－53，选A.[答案] A2．已知sin2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.13 B.12 C.23D.16[解析] cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝1＋132＝23.[答案] C3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )A.2941B.129C.141D ．1[解析] tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1，故选D.[答案] D 4.sin47°－sin17°cos30°cos17°等于( )A ．－32B ．－12C.12D.32[解析] 原式＝sin30°＋17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.[答案] C5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6 的值是( )A ．－235B ．－45C.235D.45[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435⇒32cos α－32sin α＝435⇒3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝435⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－45. [答案] B6．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116C.116D.18[解析] cosπ9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－239π＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°cos20°cos40°cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.[答案] A 二、填空题 7.cos10°－3sin10°sin20°＝__________.[解析] 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°sin20°＝2sin 30°－10°sin20°＝2.[答案] 2 8.3tan12°－34cos 212°－2sin12°＝________.[解析] 原式＝3·sin12°cos12°－322cos 212°－1sin12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23sin －48°2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24°＝－23sin48°12sin48°＝－4 3.[答案] －4 39．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. [解析] 由已知得tan α＋tan β＝－3a ， tan αtan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝1.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan α＋tan β＝－3a <0，tan αtan β＝3a ＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. ∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π4.[答案] －3π4三、解答题10．(2017·北京西城区5月模拟)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f (β)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，求β的值．[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠k π＋π4，k ∈Z .所以函数f (x )的定义域是{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }．(2)依题意，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4－1＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12. 因为β∈(0，π)，所以β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，得β＋π4＝π，即β＝3π4；由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12，得β＋π4＝π3，即β＝π12. 所以β＝π12，或β＝3π4.[能力提升]11．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2[解析] 由已知，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β. ∴sin αcos β－cos αsin β＝cos α.∴sin(α－β)＝cos α，∴sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，∴α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.故选C.[答案] C12．(2017·河南百校联盟4月联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋5π6等于( )A ．－1010B.1010 C ．－31010D.31010[解析] tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2⇒tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝－2⇒tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2<0，∵α为第二象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－55，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π4＝－31010.[答案] C13．(2017·湖南长沙一模)化简：2sin π－α＋sin2αcos2α2＝________.[解析]2sin π－α＋sin2αcos 2α2＝2sin α＋2sin α·cos α121＋cos α＝2sin α1＋cos α121＋cos α＝4sin α.[答案] 4sin α14．(2018·河南统考)已知tan α，tan β是lg(6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.[解析] 由lg(6x 2－5x ＋2)＝0，得6x 2－5x ＋1＝0，由题意知tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.[答案] 115．已知sin(2α＋β)＝2sin β，求证：tan(α＋β)＝3tan α. [证明] ∵sin(2α＋β)＝2sin β，∴sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]． ∴sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝2sin(α＋β)cos α－2cos(α＋β)sin α. ∴3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α. ∴tan(α＋β)＝3tan α.16．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．[解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32.所以sin2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3212＝2 3.[延伸拓展](2018·安徽皖江名校联考)已知在锐角△ABC 中，角α＋π6的终边过点P (sin B －cos A ，cos B －sin A )，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝33，则cos2α的值为( ) A.3－26B ．－23－16 C.12－36D ．－63－16[解析] ∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2，A 、B <π2，∴π2>B >π2－A >0，则sin B >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，cos B <cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝sin A ，∴sin B －cos A >0，cos B －sin A <0，∴角α＋π6为第四象限角，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－63，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝12－66，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－63－16，故选D.[答案] D。
课时跟踪训练(二十) 三角恒等变换[基础巩固]一、选择题1．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53 [解析] 由(sin α＋cos α)2＝13得2sin αcos α＝－23，∵α在第二象限， ∴cos α－sin α＝－α＋cos α2－4sin αcos α＝－153， 故cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－153＝－53，选A.[答案] A2．已知sin2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.13 B.12 C.23D.16[解析] cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝1＋132＝23.[答案] C3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )A.2941B.129C.141D ．1[解析] tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1，故选D.[答案] D 4.sin47°－sin17°cos30°cos17°等于( )A ．－32B ．－12C.12D.32[解析] 原式＝＋－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.[答案] C5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6 的值是( )A ．－235B ．－45C.235D.45[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435⇒32cos α－32sin α＝435⇒3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝435⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－45. [答案] B6．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116C.116D.18[解析] cosπ9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－239π＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°cos20°cos40°cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.[答案] A 二、填空题 7.cos10°－3sin10°sin20°＝__________.[解析] 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°sin20°＝－sin20°＝2.[答案] 2 8.3tan12°－3212°－＝________. [解析] 原式＝3·sin12°cos12°－3212°－＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23－2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24°＝－23sin48°12sin48°＝－4 3.[答案] －4 39．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. [解析] 由已知得tan α＋tan β＝－3a ， tan αtan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝1.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan α＋tan β＝－3a <0，tan αtan β＝3a ＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. ∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π4.[答案] －3π4三、解答题10．(2017·北京西城区5月模拟)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f (β)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，求β的值．[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠k π＋π4，k ∈Z .所以函数f (x )的定义域是{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }．(2)依题意，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4－1＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12. 因为β∈(0，π)，所以β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，得β＋π4＝π，即β＝3π4；由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12，得β＋π4＝π3，即β＝π12. 所以β＝π12，或β＝3π4.[能力提升]11．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2[解析] 由已知，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β. ∴sin αcos β－cos αsin β＝cos α.∴sin(α－β)＝cos α，∴sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，∴α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.故选C.[答案] C12．(2017·河南百校联盟4月联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋5π6等于( )A ．－1010B.1010 C ．－31010D.31010[解析] tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2⇒tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝－2⇒tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2<0，∵α为第二象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－55，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π4＝－31010.[答案] C13．(2017·湖南长沙一模)化简：π－α＋sin2αcos2α2＝________.[解析]π－α＋sin2αcos2α2＝2sin α＋2sin α·cos α12＋cos α＝2sin α＋cos α12＋cos α＝4sin α.[答案] 4sin α14．(2018·河南统考)已知tan α，tan β是lg(6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.[解析] 由lg(6x 2－5x ＋2)＝0，得6x 2－5x ＋1＝0，由题意知tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.[答案] 115．已知sin(2α＋β)＝2sin β，求证：tan(α＋β)＝3tan α. [证明] ∵sin(2α＋β)＝2sin β，∴sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]． ∴sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝2sin(α＋β)cos α－2cos(α＋β)sin α. ∴3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α. ∴tan(α＋β)＝3tan α.16．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．[解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32.所以sin2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3212＝2 3.[延伸拓展](2018·安徽皖江名校联考)已知在锐角△ABC 中，角α＋π6的终边过点P (sin B －cos A ，cos B －sin A )，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝33，则cos2α的值为( ) A.3－26B ．－23－16 C.12－36D ．－63－16[解析] ∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2，A 、B <π2，∴π2>B >π2－A >0，则sin B >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，cos B <cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝sin A ，∴sin B －cos A >0，cos B －sin A <0，∴角α＋π6为第四象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－63，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝12－66，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－63－16，故选D.[答案] D本文档仅供文库使用。
课时跟踪训练(二十一)[基础巩固]一、选择题1．(2017·洛阳市高三第一次统一考试)下列函数中，是周期函数且最小正周期为π的是( )A ．y ＝sin x ＋cos xB ．y ＝sin 2x －3cos 2xC ．y ＝cos|x |D ．y ＝3sin x 2cos x2[解析] 对于A ，函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最小正周期是2π，不符合题意；对于B ，函数y ＝sin 2x －3cos 2x ＝12(1－cos2x )－32(1＋cos2x )＝1－32－1＋32cos2x 的最小正周期是π，符合题意；对于C ，y ＝cos|x |＝cos x 的最小正周期是2π，不符合题意；对于D ，函数y ＝3sin x 2cos x 2＝32sin x 的最小正周期是2π，不符合题意．选B.[答案] B2．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π [解析] 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.[答案] D3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0[解析] 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.[答案] B4．(2017·辽宁沈阳二中月考)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2[解析] ∵函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，∴2·4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π－13π6(k ∈Z )．由此易得|φ|min ＝π6.故选A.[答案] A5．(2018·安徽江淮十校联考)已知函数y ＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该函数图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π12 B ．x ＝－π6 C ．x ＝π6D ．x ＝π12[解析] 把(0,1)代入函数表达式，知sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.当2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )时，函数取得最值，解得对称轴方程为x ＝π6＋k π2(k ∈Z )．令k ＝0得x ＝π6.故选C.[答案] C6．(2017·河北石家庄二模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6 [解析] 由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋π4＝22·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，所以函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，故选A.[答案] A二、填空题7．若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．[解析] 由题意知，1<πk <2，即k <π<2k . 又k ∈N *，所以k ＝2或k ＝3. [答案] 2或38．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________．[解析] 由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得， x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k∈Z .[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z9．若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，则函数f (x )图象的对称轴方程为________．[解析] 易知函数f (x )的最小正周期为π，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，所以f (x )图象的一条对称轴方程为x ＝π12，故函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．[答案] x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 三、解答题10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．[解] ∵f (x )的最小正周期为π， 则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ， ∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .[能力提升]11．若函数y ＝cos2x 与函数y ＝sin(2x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的单调性相同，则φ的一个值为( )A.π6 B.π4 C.3π4D.3π2[解析] 由于函数y ＝cos2x 与函数y ＝sin(2x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的单调性相同，函数y ＝cos2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递减，故函数y ＝sin(2x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递减， 故2×π4＋φ≤2k π＋3π2，且φ≥2k π＋π2，k ∈Z .解得2k π＋π2≤φ≤2k π＋π，k ∈Z .取k ＝0得π2≤φ≤π.故选C. [答案] C12．当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A ．奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称[解析] 由题意可知φ＝2k π－3π4(k ∈Z )， 可得f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4， 则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x －3π4 ＝A sin(－x )＝－A sin x ，所以函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x 是奇函数，且其图象关于直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )对称，故选C.[答案] C13．(2018·福建厦门一中期中)给出下列四个命题：①f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ；②若函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3(a >0)的最小正周期是π，则a ＝2；③函数f (x )＝sin x cos x －1的最小值为－32；④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ①由2x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，①正确；②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ax －π3(a >0)的最小正周期是π，则2πa ＝π，即a＝2，②正确；③函数f (x )＝sin x cos x －1＝12sin2x －1，最小值为－32，③正确；④当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上不是单调函数，④错误． ∴正确命题的个数是3.故选C. [答案] C14．(2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．[解析] f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.[答案] π215．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最值．[解] (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴周期T ＝2π2＝π.由2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称轴方程为x ＝π3＋k π2，k ∈Z .(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π6， ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，∴当x ＝π3时，f (x )max ＝1.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12，∴当x ＝－π6时， f (x )min ＝－1.16．(2015·重庆卷)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos2x )＝12sin2x －32cos2x －32 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增， 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．[延伸拓展](2017·湖南省湘中名校高三联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) [解析] 因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z )．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，所以sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即sin φ<0，所以φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －56π，所以由三角函数的单调性知2x －5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，故选C.[答案] C。
❶ 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x＝tan x . ❷ 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝－2，2⎭内的单调性..A.－ B ．－ 9 9章末总结知识点考纲展示任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数同角三角函 数的基本关 系式与诱导公式和与差的三 角函数公式简单的三角 恒等变换三角函数的 图象与性质函数 y ＝ A sin(ω x ＋φ) 的图象及三 角函数模型 的简单应用正弦定理和 余弦定理解三角形应 用举例❶ 了解任意角的概念．❷ 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．❸ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.cos xπ2导公式.❶ 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．❷ 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．❸ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍 角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式， 但对这三组公式不要求记忆).❶ 能画出 y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． ❷ 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最⎛ π π⎫❶ 了解函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数 A ，ω，φ 对函数图象变化的影响．❷ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一 些简单实际问题.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关 的实际问题.一、点在纲上，源在本里 考点考题4(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 4，5 分)已知 sin α－cos α＝3，则 sin 2α＝考源三角函数的基本关系( )7 2 9 92 7 C. D.必修 4 P 146A 组T 6(2)(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 3，5 分)函数 f (x )＝sin ⎝2x ＋3⎭的最小正周期A.4π B ．2π C ．πD. A. B ．1 C. D. sin ⎝2x ＋ 3 ⎭，则下面结论正确的是( 分别为 a ，b ，c 已知△. ABC 的面积为 .1．(必修 4 P 146A 组 T 6(3)改编)已知 sin 2θ＝ ，则 sin 4θ＋cos 4θ 的值为()3A ． 9C ． 9三角函数 的周期三角函数 值域三角函数 图象正余弦定理与面积公式 的应用⎛ π⎫为( )π 21 π π(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 6，5 分)函数 f (x )＝5sin(x ＋3)＋cos(x －6)的最大值为( )6 3 15 5 5(2017·高考全国卷Ⅰ，T 9，5 分)已知曲线 C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝⎛ 2π⎫ )A ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把π得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 2B ．把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把 π得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 21C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 21D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 2(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 16，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分 别为 a ，b ，c ，若 2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则 B ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 15，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分 别为 a ，b ，c .已知 C ＝60°，b ＝ 6，c ＝3，则 A ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅰ，T 17，12 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边 a 23sin A(1)求 sin B sin C ；必修 4 P 35 例2(2)必修 4 P 143A 组T 5必修 4 P 55 练习T 2(2)必修 5 P 18 练习T 3 必修 5 P 10A 组 T 2(1)必修 5 P 20B 组T 1(2)若 6cos B cos C ＝1，a ＝△3，求 ABC 的周长.二、根置教材，考在变中 一、选择题24 92 35 B.7 D.解析：选D.因为sin2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×＝.故选D.2．(必修4P147A组T12改编)已知函数f(x)＝sin⎝x＋6⎭＋sin⎝x－6⎭＋cos x＋a的最大值为解析：选A.f(x)＝sin x cos＋cos x sin＋sin x cos－cos x sin＋cos x＋a＝3sin x＋cos x3．(必修4P69A组T8改编)已知tanα＝3，则sin⎝2α＋4⎭的值为(10B．－2A．2C．D．－sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋32522⎛34⎫π⎫cos2α－sin2α1－tan2α1－324＝－，所以sin⎝2α＋4⎭＝－＝－⎛52⎝55⎭sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋322.选B.4．(必修4P58A组T2(3)改编)如图是y＝A sin(ωx＋φ)⎝ω＞0，－2＜φ＜2⎭的部分图象，则A．y＝2sin⎝x＋6⎭B．y＝2sin⎝2x－6⎭C．y＝2sin⎝x＋3⎭D．y＝2sin⎝2x＋6⎭解析：选D.由题图知＝－⎝－12⎭＝.所以T＝π，所以ω＝＝2.当x＝－时，y＝0，⎧⎪A sin⎛－π＋φ⎫＝0，所以φ＝，A＝2.所以y＝2sin⎝2x＋6⎭.故选D.⎝6⎭π⎛π⎫当x＝0时，y＝1.所以⎨⎪⎩A sinφ＝12132 147299⎛π⎫⎛π⎫1，则a的值为()A．－1C．1B．0D．2ππππ6666π＋a＝2sin(x＋6)＋a，所以f(x)max＝2＋a＝1.所以a＝－1.选A.⎛π⎫10)721072102sinαcosα2tanα2×33解析：选B.因为tanα＝3，所以sin2α＝＝＝＝，cos2α＝＝＝(sin2α＋cos2α)＝210⎛ππ⎫其解析式为()⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫Tπ⎛π⎫π2ππ464T1265．(必修5P18练习T1(1)改编△)在锐角ABC中，a＝2，b＝3，S△ABC＝22，则c＝() A．2B．3解析：选 B.由已知得 ×2×3×sin C ＝2 2，所以 sin C ＝ .由于 C ＜90°，所以 cos C＝ 1－sin 2C ＝ .由余弦定理得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3× ＝9，所以 c ＝3，A ． 3 C ． 即 3a cos A ＝b · ＋c · ＝a ，所以 cos A ＝ ，又 0＜A ＜π.所以 sin A ＝ .又 b ＝2，所以 a sin B ＝b sin A ＝2× ＝ .故选 C.cos 80° sin 80° cos 80°sin 80°cos 80°cos 80°－ sin 80°⎭ 4sin （60°－80°） 2⎝ 2 1 sin 160° sin 160° ＝－4sin 20°＝－4.( c 4解析：由题意得⎨2 ⎪ C ．4D. 171 2 22 31 13 3故选 B.6．(必修 5 P 18 练习 T 3 改编△)已知 ABC 三内角 A 、B 、C 的对边分别为 a ，b ，c ，3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝2，则 a sin B ＝()434 2 32 B. 2D ．6 2解析：选 C.因为 3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，a 2＋b 2－c 2 a 2＋c 2－b 22ab 2ac1 2 23 32 2 4 23 3二、填空题3 17．(必修 4 P 146A 组 T 5(1)改编)sin 80°－ ＝______．解析：⎛ 3 1 ⎫ 2＝ ＝2sin 20°答案：－4 8． 必修 5 P 20A 组 T 11(3)改编△) ABC 的三内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ， .A ＝120°，a ＝7，△S ABC ＝ 153，则 b ＋c ＝________．⎧⎪1bc sin 120°＝15 34，⎪⎩b 2＋c 2－2bc cos 120°＝72⎧bc ＝15即⎨ ，所以 b 2＋c 2＋2bc ＝64.所以 b ＋c ＝8.⎪⎩b 2＋c 2＋bc ＝49答案：82 1 π9．(必修 4 P 56 练习 T 3 改编)关于函数 f (x )＝3sin(2x －4)的下列结论：①f (x )的一个周期是－8π；②f (x )的图象关于 x ＝ 对称；③f (x )的图象关于点⎝2，0⎭对称；－ ，上单调递增；④f (x )在⎝2 2⎭⑤f (x )的图象可由 g (x )＝ cos x 向右平移 个单位得到．解析：f (x )的最小正周期 T ＝ ＝4π.所以 f (x )的一个周期为－8π.①正确．f ⎝2⎭＝0，故②错误．③正确．由 2k π－ ＜ x － ＜2k π＋ ，k ∈Z ，得4k π－ ＜x ＜4k π＋ π. － ， － ， .故④正确．令 k ＝0 得，－ ＜x ＜ π.⎝ 2 2⎭ ⎝ 2 2 ⎭x ＋g (x )＝ cos x ＝ sin ⎝2 2⎭x ＋π) ，(＝sin⎦⎣2 x － ＝ sin x －，f (x )＝ sin ⎝2 4⎭ ⎣2⎝ 2⎭⎦所以 g (x )的图象向右平移 －(－π)＝ π 即可得到 f (x )的图象．故⑤错误，即①③④正确．(2)将函数 f (x )的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 y ＝g (x )的图象，若 α 为锐角，g (α)＝ － 2，求 cos α.ωx － ·解：(1)f (x )＝4sin cos ωx －2 2cos 2ωx ＝ 2(sin 2ωx －cos 4⎭ cos ωx ＝2 2sin ωx ·⎝ 2ωx － － 2，2ωx )－ 2＝2sin4⎭⎝由于 f (x )在 x ＝ 处取得最值，因此 2ω· － ＝k π＋ ，k ∈Z ，所以 ω＝2k ＋ ，π2⎛π ⎫⎛ π π⎫2 1 π3 2 8其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．2π1 2⎛π⎫π 1 π π2 2 4 2π 3 2 2π 3 ⎛ π π⎫ ⎛ π 3π⎫2 22 1 2 ⎛1 π⎫3 2 3 2 ⎡1 ⎤ 3 2 ⎛1 π⎫ 2 ⎡1⎛ π⎫⎤ 3 3 π 32 2答案：①③④三、解答题π π10．(必修 4 P 147A 组 T 10 改编)已知函数 f (x )＝4sin(ωx －4)·cos ωx 在 x ＝4处取得最值，其中 ω∈(0，2)．(1)求函数 f (x )的最小正周期；π3643⎛ π⎫⎛ π⎫ π π π π 34 4 4 2 2因为 ω∈(0，2)，所以 ω＝ ，因此，f (x )＝2sin ⎝3x －4⎭－ 2，所以 T ＝ .个 单 位 ， 得 到h (x ) ＝ 2sin ⎣3⎝x ＋36⎭－4⎦ － 2 ＝ 2sin ⎝3x －6⎭－ 2的图象，再将 h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到 g (x )＝2sin ⎝x －6⎭－⎛ 故 g (α)＝2sin ⎝α－6⎭－ 2＝ － 2，可得 sin ⎝α－6⎭＝ ，因为 α 为锐角，所以－ ＜α－ ＜ ，因此 cos ⎝α－6⎭＝⎛2⎫2＝ 5， π π⎫ π⎫ π⎫ π π 5 3 2 1 15－2 故 cos α＝cos ⎝α－6＋6⎭＝cos ⎝α－6⎭cos －sin ⎝α－6⎭sin ＝ ⎛ ⎛ ⎛ 6 6 3 2 3 2 6①＋②得 m 2＝ ，所以 m ＝ 6，即 BC ＝ 6.sin ∠ACE sin ∠EAC sin ∠BCE sin ∠CBE 且 BC ＝ ，所以 ＝ ＝ .所以 BE ＝ 6AE ，所以 AE ＝ ( 6－1)．32⎛ π⎫ 2π 3(2) 将 函 数 f (x ) 的 图 象 向 左 平 移 π 36 ⎡ ⎛ π ⎫ π⎤⎛ π⎫⎛ π⎫2的图象，π⎫ 4 3⎛ π⎫ 2 3π π π6 6 3⎛ π⎫ 1－⎝3⎭ 3× － × ＝ .11．(必修 5 P 20A 组 T 13 改编)D 为△ABC 的边 BC 的中点．AB ＝2AC ＝2AD ＝2. (1)求 BC 的长；(2)若∠ACB 的平分线交 AB 于 E ，求 △S ACE . 解：(1)由题意知 AB ＝2，AC ＝AD ＝1. 设 BD ＝DC ＝m .在△ADB 与△ADC 中， 由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD · B D cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD · D C cos ∠ADC . 即 1＋m 2－2m cos ∠ADB ＝4，① 1＋m 2＋2m cos ∠ADB ＝1.②3 22(2)在△ACE 与△BCE 中，由正弦定理得AE EC BE EC＝ ， ＝ ，由于∠ACE ＝∠BCE ，AC AE AC 6sin ∠BAC sin ∠CBABE BC 6252AB ·AC 2×2×1＝－ ，所以 sin ∠BAC ＝ ，＝ ×1× ( 6－1)× ＝ .AB 2＋AC 2－BC 2 22＋12－（ 6）2又 cos ∠BAC ＝ ＝1 154 41所以 △S ACE ＝2AC · AE ·sin ∠BAC1 2 15 3 10－ 15 2 5 4 20。
2019 高考数学文一轮复习含答案一、选择题1．下列函数中，最小正周期为 π且图象关于原点对称的函数是 ()A ． y ＝ cos 2x ＋ πB ．y ＝ sin 2x ＋ π22C ．y ＝ sin 2x ＋ cos 2xD ． y ＝ sin x ＋ cos xπ2π解析： 选 A. y ＝cos 2x ＋ 2 ＝－ sin 2x ，最小正周期 T ＝ 2 ＝ π，且为奇函数 ，其图象关于π原点对称 ，故 A 正确； y ＝sin 2x ＋2 ＝ cos 2 x ，最小正周期为π，且为偶函数 ，其图象关于y 轴对称 ，故 B 不正确； C 、 D 均为非奇非偶函数 ，其图象不关于原点对称 ，故 C 、 D 不正确．2．函数 f(x)＝ 3sin 2x － π在区间 0， π上的值域为 ( )6 2A ． －3，3B. － 3， 3222 C ． －3 3，3 3D. －3 3， 3222解析：选 B. 当 x ∈ 0， π ππ 5π ，sin 2x － π 1，故 3sin 2x －π2 时，2x － ∈ － ， 6 ∈ － ，166 6 62 ∈ － 3， 3 ，即此时函数 f(x) 的值域是－3， 3 .22ππ3．若函数 y ＝cos ωx＋ 6 (ω∈ N * ) 图象的一个对称中心是 6， 0 ，则 ω的最小值为 () A ． 1 B ．2 C ．4D ． 8πωπ π ω＝ 6k ＋ 2(k ∈ Z )，又 ω∈ N * ，所以 ωmin ＝ 2，解析：选 B. 由题意知＋ ＝ k π＋ (k ∈ Z )?662故选 B.π4．函数 y ＝ tan x ＋ sin x － |tan x － sin x|在区间 ，3π内的图象是 ()2 2解析： 选 D. y ＝ tan x ＋ sin x － |tan x － sin x|π2tan x ， x ∈， π，2＝结合选项图形知 ， D 正确．3π2sin x ， x ∈ π， 2 .5． (2018 ·州第三次调研惠 )函数 y ＝cos 2x ＋ 2sin x 的最大值为 ( )12019 高考数学文一轮复习含答案3A ． 4B ．13C ．2D ． 2解析： 选 C. y ＝ cos 2x ＋ 2sin x ＝－ 2sin 2x ＋ 2sin x ＋ 1.2213法一： 设 t ＝ sin x(－ 1≤ t ≤ 1)，则原函数可以化为 y ＝－ 2t ＋ 2t ＋ 1＝－ 2 t －＋ ，所以当 t ＝1时，函数取得最大值322.法二：设 t ＝ sin x(－ 1≤ t ≤ 1)，则原函数可以化为y ＝－ 2t 2＋ 2t ＋ 1，y ′＝－ 4t ＋ 2.当 1≤ t ≤ 12 时， y ′≤ 0；当－ 1≤ t ≤1时， y ′≥ 0.2当 t ＝ 1时 y 取得最小值 ， y min ＝－ 2×1 2 ＋ 2×1＋ 1＝ 3，选 C.2 2 2 26． (2018 ·州综合测试广 (一 )) 已知函数 f(x)＝ sin(ωx＋ φ)＋ cos(ωx＋ φ)(ω＞ 0， 0＜φ＜ π)是π奇函数，直线 y ＝ 2与函数 f( x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2，则 ()πA ． f(x)在 0， 4 上单调递减π 3πB ．f(x)在 8， 8上单调递减πC ．f(x)在 0， 4 上单调递增π 3πD ． f(x)在，上单调递增88解析：选 D.f(x)＝ sin( ωx＋ φ)＋ cos(ωx＋φ)＝ 2sin(ωx＋ φ＋ π 0＜ φ＜ π且 f(x)为奇4 )，因为函数 ，所以 φ＝ 3πωx ，又直线 y ＝2与函数 f(x)的图象的两个相邻交点4 ，即 f(x)＝－ 2sinππ2π π的横坐标之差的绝对值为 2，所以函数 f(x)的最小正周期为 2，由ω＝2，可得 ω＝ 4，故 f( x) ＝－ 2sin 4 x ，由 π 3π k π π k π 3π π2k π＋ ≤ 4x ≤ 2k π＋ ，k ∈ Z ，即 ＋ ≤ x ≤ ＋ ，k ∈ Z ，令 k ＝0，得8 2 2 2 8 28 ≤x ≤ 3π π 3π8，，此时 f(x)在 8 8 上单调递增 ，故选 D.二、填空题π7．已知函数f(x)＝－ 2sin(2x ＋ φ)(|φ|＜ π)，若 f 8 ＝－ 2 ，则 f(x)的单调递减区间是________．π解析： 当 x ＝ 8时， f(x)有最小值－ 2，π π所以 2× ＋ φ＝－ ＋ 2k π，8222019 高考数学文一轮复习含答案即 φ＝－ 34π＋ 2k π，k ∈ Z ，又因为 |φ|＜ π，所以 φ＝－ 34π.所以 f(x)＝－ 2sin(2x －34π)．ππ由－ ＋ 2k π≤ 2x －3π≤ ＋ 2k π，242π5 π＋ k π，k ∈ Z ，得 ＋ k π≤x ≤8 8π5所以函数 f(x)的单调递减区间为 ＋ k π，8π＋ k π，k ∈ Z .8答案： π 5＋ k π， π＋ k π， k ∈ Z8 8π8．若函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ)(ω＞ 0 且 |φ|＜ 2)在区间π等于 ________．1 减少到－ 1，则 f 4π πω＋φ＝ ＋ 2k π解析： 由题意知6 2， k ∈ Z ，2π3πω＋ φ＝＋ 2k π32π解之得 ω＝ 2， φ＝6＋ 2k π，ππ又因为 |φ|＜ ，所以 φ＝ .2 6所以 f(x)＝ sin 2x ＋ π6 .所以 f π π π π3＝sin ＋ ＝ cos ＝42×4 662.π 2π6， 3 上是单调减函数，且函数值从答案：32π9．已知函数 f(x) ＝3sin ωx－6 (ω>0)和 g(x)＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若 x ∈ 0， π，则 f(x)的取值范围是 ________． 2解析： 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同 ，故 ω＝ 2，所π以 f(x)＝ 3sin 2x － 6 ，π ππ 5π当 x ∈ 0， 2 时，－ 6≤ 2x －6≤ 6 ，所以－ 1≤ sin π≤ 1，故 f(x)∈ － 3， 3 .22x － 6232019 高考数学文一轮复习含答案答案： － 3， 3210． (2018 ·家庄质量检测石 (一 ))若函数 f(x)＝ 3sin(2 x ＋θ)＋ cos(2x ＋ θ)(0＜ θ＜ π)的图象π π π关于2， 0 对称，则函数 f( x)在 －4， 6 上的最小值是 ________．解析： f(x)＝ 3sin(2x ＋ θ)＋ cos(2x ＋θ)＝ 2sin 2x ＋ θ＋π，则由题意 ，知 fπ＝ 2sin( π＋ θ 62 π 5π π π上是减函数 ，所以 ＋ )＝ 0，又 0＜ θ＜ π， 所以 θ＝ ，所以 f( x)＝－ 2sin 2x ， f(x)在 － ，4 6 6 4π π π π函数 f( x)在 －4， 6 上的最小值为 f 6 ＝－ 2sin 3＝－ 3.答案： － 3三、解答题π11． (2017 ·考北京卷高 )已知函数 f( x)＝3cos(2x － 3)－ 2sin xcos x.(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求证：当 x ∈ π π1 .－ ， 时， f(x)≥－4 4 2 解： (1)f(x)＝332 cos 2x ＋ 2sin 2x － sin 2x1 3cos 2x＝ sin 2x ＋22π＝ sin(2x ＋ 3)．2π 所以 f(x)的最小正周期T ＝＝ π.2ππ(2)证明： 因为－ 4≤ x ≤4，π π 5π所以－ ≤ 2x ＋ ≤6.63ππ 1 .所以 sin(2x ＋ )≥ sin(－)＝－236所以当 x ∈ π π1 .[－ ， ]时， f(x)≥ －4 4 212．(2016 ·高考北京卷 )已知函数 f(x)＝ 2sin ωxcos ω x ＋ cos 2ωx( ω＞0) 的最小正周期为π.(1)求 ω的值；(2)求 f(x)的单调递增区间．解： (1)因为 f(x)＝ 2sin ωxcos ωx ＋ cos 2ωxπ＝ sin 2ωx ＋ cos 2ωx ＝ 2sin(2 ωx＋ 4)，2ππ所以 f(x)的最小正周期T ＝2ω＝ ω.42019 高考数学文一轮复习含答案π依题意，ω＝π，解得ω＝1.π(2)由 (1) 知 f(x)＝ 2sin(2 x＋4)．函数 y＝sin x 的单调递增区间为ππ[2kπ－， 2kπ＋ ](k∈Z )．22πππ由 2kπ－≤ 2x＋≤ 2kπ＋ (k∈Z )，242得 kπ－3ππ≤ x≤ kπ＋(k∈Z )．88所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－3ππ， kπ＋](k∈Z )．885。
2019 高考数学文一轮复习含答案一、选择题πα＝()1，且 ≤ α≤ π，则 cos1． (2018 石·家庄质量检测 (二 ))若 sin( π－ α)＝ 322 22 2A ． 3B ．－ 3C ．－ 4 9 2D ． 49 2解析： 选 B. 因为 sin( π－ α)＝ sin α＝1π22 3，且 ≤ α≤ π， 所以 cos α＝－，故选 B.232．已知 tan(α－ π)＝ 3，且 α∈ π 3π，则 sin α＋ π)， ＝ (4 2 2244 A. 5B ．－ 533 C.5D ．－ 533解析： 选 B. 由 tan(α－ π)＝ ? tan α＝ .44π 3π，又因为 α∈ 2 2 ，所以 α为第三象限的角 ， sin α＋ π42 ＝ cos α＝－ .54，θ∈ π，则 sin θ－cos θ的值为 ( )3．已知 sin θ＋ cos θ＝ 30，422A. 3B ．－ 311 C.3D ．－ 3解析： 选 B.因为 (sin θ＋ cos θ)2＝ sin 2θ＋ cos 2θ＋ 2sin θ·cos θ＝ 1＋2sin θcos θ＝169，所以722 222sin θcos θ＝ 9，则 (sin θ－ cos θ) ＝ sin θ＋ cos θ－ 2sin θcos θ＝ 1－ 2sin θcos θ＝ 9.又因为π 2 θ∈ 0， 4 ，所以 sin θ＜ cos θ， 即 sin θ－cos θ＜ 0，所以 sin θ－ cos θ＝－ 3.4．已知 f(x)＝ asin( πx ＋ α)＋bcos( πx ＋ β)＋ 4，若 f(2 018)＝5，则 f(2 019)的值是 ()A ． 2B ．3C ．4D ． 5解析： 选 B. 因为 f(2 018) ＝ 5，所以 asin(2 018 π＋ α)＋ bcos(2 018 π＋ β)＋ 4＝ 5，即 asin α＋ bcos β＝1.所以 f(2 019) ＝ asin(2 019 π＋ α)＋ bcos(2 019 π＋β)＋ 4＝－ asin α－ bcos β＋ 4＝－ 1＋ 4＝13.θ π11－ sin θ)5．当 θ为第二象限角，且 sin＋＝ 时，θ的值是 ( 2 2 3θcos － sin2 2 A ． 1 B ．－ 1C ．± 1D ． 0θ πθ 1，解析： 选 B. 因为 sin＋＝1，所以 cos ＝22 32 3θ θ θ所以 在第一象限 ，且 cos＜sin，222θ θ所以1－ sin θ －（ cos 2－sin 2）θ ＝ θθ ＝－ 1.θcos －sin2cos － sin2226．若 sin θcos θ＝ 1 ，则 tan θ＋ cos θ)2 的值是 (sin θA ．－ 2B ．21C ．± 2D ． 2解析： 选 B.tan θ＋ cos θ sin θ cos θ1＝ 2.sin ＝ ＋ ＝θ cos θ sin θ cos θsin θ二、填空题π7．已知函数 f(x) ＝2cos 3x ， x ≤ 2 000，则 f(f(2 018)) ＝________．x － 18，x ＞ 2 000，解析： f(2 018) ＝2 018－ 18＝ 2 000， f(f(2 018))＝ f(2 000)＝ 2cos2 00023 π＝ 2cos 3π＝－ 1.答案： － 18．已知 sin(3 π－ α)＝－ 2sin( π＋ α)，则 sin αcos α＝ ________．2π 解析： 因为 sin(3 π－ α)＝sin( π－ α)＝－ 2sin(2＋ α)，所以 sin α＝－ 2cos α， 所以 tan α＝－ 2，sin αcos α ＝ tan α ＝ － 22则 sin αcos α＝ 2 2 2 （－2）2 ＋ ＝－ .sin α＋ cos α tan α＋ 1 15答案： －25sin[ （ k ＋ 1） π＋ α] ·cos[（ k ＋ 1） π－ α]9．若 f(α)＝(k ∈ Z )，则 f(2 018) ＝ ________．sin （ k π－ α） ·cos （ k π＋ α）解析： ① 当 k 为偶数时 ，设 k ＝ 2n(n ∈ Z )，原式＝ sin （ 2n π＋ π＋ α） ·cos （ 2n π＋ π－ α）sin （－ α）· cos α＝sin （ π＋ α） ·cos （ π－ α）＝－ 1；－ sin α· cos α2②当 k 为奇数时 ，设 k ＝ 2n ＋ 1(n ∈ Z )，原式＝ sin[ （ 2n ＋ 2） π＋ α] ·cos[（2n ＋ 2） π－α]sin[ （ 2n ＋ 1） π－ α] ·cos[（2n ＋ 1） π＋α]sin α· cos （－ α）＝sin （ π－ α） ·cos （ π＋ α）＝－ 1.综上所述 ，当 k ∈ Z 时， f(α)＝－ 1，故 f(2 018) ＝－ 1. 答案： － 110．已知 sin α＋ 2cos α＝ 3，则 tan α＝ ________．解析： 因为 sin α＋ 2cos α＝ 3，所以 (sin α＋ 2cos α)2＝ 3，所以 sin 2α＋ 22sin αcos α＋ 2cos 2α＝ 3，2α＋ 2 2sin αcos α＋ 2cos 2α所以 sin22＝ 3，sin α＋ cos α所以 tan 2α＋ 2 2 2tan α＋ 2＝ 3，tan α＋ 1所以 2tan 2α－ 2 2tan α＋1＝ 0，所以 tan α＝ 22.2答案： 2三、解答题5πsin＋ α211．已知 sin α＝ 2 5 5，求 tan(α＋ π)＋ 5π的值．cos － α2解： 因为 sin α＝2 55＞ 0，所以 α为第一或第二象限角．5πsin ＋ αcos α2tan(α＋ π)＋ 5π＝ tan α＋ sin αcos － α2＝ sin α cos α 1.＋ ＝cos α sin α sin αcos α(1)当 α是第一象限角时 ，cos α＝ 25，1－ sin α＝ 5原式＝ 1 5＝ .sin αcos α 2(2)当 α是第二象限角时 ，cos α＝－1－sin 2α＝－ 5，5 原式＝1 ＝－ 5 .sin αcos α 2112．已知 x ∈ (－ π， 0)， sin x ＋ cos x ＝ 5.(1)求 sin x －cos x 的值；(2)求 sin 2x ＋ 2sin 2x 的值． 1－ tan x3解： (1)由 sin x ＋ cos x ＝15，平方得 sin 2x ＋ 2sin xcos x ＋cos2x ＝ 251，24整理得 2sin xcos x ＝－.所以 (sin x － cos x)2＝ 1－ 2sin xcos x ＝4925.由 x ∈ (－ π， 0)，知 sin x<0，又 sin x ＋ cos x>0，所以 cos x>0， sin x － cos x<0 ，7故 sin x － cos x ＝－ 5.(2)sin 2x ＋2sin 2x ＝ 2sin x （ cos x ＋ sin x ） 1－ tan xsin x1－cos x＝2sin xcos x （ cos x ＋ sin x ）cos x － sin x－24× 125 5 24＝7 ＝－ 175.54。
单元质检四三角函数、解三角形(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2017浙江湖州模拟)已知角θ的终边经过点P(4,m),且sin θ=,则m等于()A.-3B.3C.D.±32.(2017浙江杭州模拟)已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α=()A.-B.C.-D.3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos C+c cos B=a sin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定的值为()4.(2017浙江杭州四校联考)已知-<α<0,sin α+cos α=,则-A. B. C. D.5.已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=4,b+c=5,tan A+tan B+tan A·tan B,则△ABC的面积为()A. B.3 C. D.6.(2017浙江名校联考)下列四个函数:y=sin|x|,y=cos|x|,y=|tan x|,y=-ln|sin x|,以π为周期,在上单调递减且为偶函数的是()A.y=sin|x|B.y=cos|x|C.y=|tan x|D.y=-ln|sin x|7.(2017昆明模拟)将函数f(x)=sin x-cos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图象关于y 轴对称,则a的最小值是()A. B. C. D.8.(2017浙江绍兴期中)f(x)=A cos(ωx+φ)(A,ω>0)的图象如图所示,为得到g(x)=-A sin的图象,可以将f(x)的图象()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度9.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π.若f(x)>1对于任意的x∈-恒成立,则φ的取值范围是()A. B. C. D.10.(2017云南师大附中模拟)已知函数f(x)=|sin x|·cos x,则下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=对称B.f(x)的周期为πC.若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+2kπ(k∈Z)D.f(x)在区间上单调递减二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.(2017浙江绍兴调研)设函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0,x∈R),最小正周期T=π,则实数ω=,函数f(x)的图象的对称中心为,单调递增区间是.12.已知0<α<,sin α=,tan(α-β)=-,则tan β-=.13.函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图象如图所示,则ω=,φ=.14.在△ABC中,D是AC边的中点,A=,cos ∠BDC=,△ABC的面积为3则sin ∠ABD=,BC=.15.下列命题:①函数y=sin的单调减区间为,kπ+,k∈Z;②函数y=x-sin 2x图象的一个对称中心为;③函数y=sin-在区间-上的值域为-;④函数y=cos x的图象可由函数y=sin的图象向右平移个单位得到;⑤若方程sin-a=0在区间上有两个不同的实数解x1,x2,则x1+x2=.其中正确命题的序号为.16.(2017福建三明质检改编)已知函数f(x)=sin(x+φ)-2cos(x+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=π对称,则cos 2φ=.17.(2017浙江衢州高三考试)已知△ABC的面积为1,∠A的平分线交对边BC于D,AB=2AC,且AD=kAC,k∈R,则当k=时,边BC的长度最短.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)(2017浙江金华十校联考)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于点A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM=,点B的纵坐标是.(1)求cos(α-β)的值;(2)求2α-β的值.19.(15分)(2017浙江金华期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2cos 2B=4cos B-3.(1)求角B的大小;(2)若S△ABC=,a sin A+c sin C=5sin B,求边b.20.(15分)(2017浙江温州模拟)已知函数f(x)=x-2cos2+1.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)求f(x)在区间上的最值.21.(15分)如图,在△ABC中,AB=2,cos B=,点D在线段BC上.(1)若∠ADC=π,求AD的长;(2)若BD=2DC,△ACD的面积为,求的值.22.(15分)(2017浙江宁波高三)已知函数f(x)=cos x·(sin x-cos x)+,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若函数g(x)=f(x+a)为偶函数,求|a|的最小值.答案：1.B sin θ=,解得m=3.2.C因为α是第四象限角,sin α=-,所以cos α=-,故tan α==-3.B由正弦定理得sin B cos C+sin C cos B=sin2A,∴sin(B+C)=sin2A,即sin(π-A)=sin2A,sin A=sin2A.∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴sin A=1,即A=4.B∵sin α+cos α=,∴1+2sin αcos α=2sin αcos α=-,∴(cos α-sin α)2=1+,又∵-<α<0,∴cos α>0>sin α,∴cos α-sin α=,,故选B.--化简得5.C∵tan C=-tan(A+B)=--tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C,∴tan C=C=60°.cos C=(a2+b2-c2),把a=4,b+c=5,C=60°代入解得b=,所以S=ab sin C=故选C.6.D A:y=sin|x|在上单调递增,故A错误;B:y=cos|x|=cos x周期为T=2π ,故B 错误;C:y=|tan x|在上单调递增,故C错误;D:f(x+π )=-ln |sin(x+π )|=-ln|sin x|,周期为π ,当x时,y=-ln(sin x),在上单调递减,故D正确,故选D.7.B依题意得f(x)=2sin-,因为函数f(x-a)=2sin--的图象关于y轴对称,所以sin--=±1,a+=kπ+,k∈Z,即a=kπ+,k∈Z,因此正数a的最小值是,选B.8.D由题意可得A=1,T=,解得ω=2,∴f(x)=A cos(ωx+φ)=cos(2x+φ).再由五点法作图可得2+φ=,∴φ=-,∴f(x)=cos-=cos 2-,g(x)=-sin=cos=cos 2,而-,故将f(x)的图象向左平移个单位长度,即可得到函数g(x)的图象,故选D.9.A由条件可知函数f(x)的周期为π,则ω=2,f(x)=2sin(2x+φ)+1.由f(x)=2sin(2x+φ)+1>1,得sin(2x+φ)>0,从而可知2kπ<2x+φ<2kπ+π,k∈Z.故有---,即---解得10.D由函数f(x)在区间[0,2π]上的解析式可知f(x)=-(k∈Z)且f(x)是偶函数,故函数的图象关于直线x=kπ ,k∈Z对称,故A错误;f(x)的周期为2π ,故B错误;若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+(k∈Z),故C错误;f(x)在区间上单调递减,故D正确.故选D.11.2-(k∈Z)-(k∈Z)由T==π ,∴ω=2,f(x)=2sin,令2sin=0,得2x+=kπ (k∈Z),∴x=,对称中心为-(k∈Z).由2kπ-2x+2kπ+(k∈Z),得kπ-x≤kπ+(k∈Z),∴单调递增区间为-(k∈Z).12.3∵0<α<,sin α=,∴cos α=-,tan α=∵tan(α-β)=---,解得tan β=3.=------13.2由题中图象可知T=π,ω=,则ω=2.∵函数经过点(π,1),∴1=2sin(2×π+φ),sin φ=,∵|φ|<,故φ=146过B作BH⊥AC于H,则cos∠BDH=,设DH=2k(k>0),则BD=k,∴BH=-k,在Rt△ABH中,∠A=,∴AH==k,∴AD=3k,AC=6k,又S△ABC=AC×BH=6k k=3k2=3,解得k=1,∴BC=6,在△ABD中,,,解得sin ∠ABD=故答案为:,6.15.①②⑤①令+2kπ≤2x++2kπ,解得+2kπ≤x+kπ,k∈Z,故①正确;②y=cos 2x-sin 2x=2cos,令2x+=kπ+,解得x=+kπ,k=0时函数的一个对称中心为,②正确;③y=sin-,当-x,-x-,结合正弦函数的图象可得-y≤1,③错误;④由函数y=sin的图象向右平移个单位得到y=sin x的图象,故④错误;⑤令y=sin,当x时,2x+,若使方程有两解,则两解关于x=对称,则x1+x2=,故⑤正确.16由题意可得f(x)=x+φ-γ),其中sin γ=,cos γ=, 当x=π时,x+φ-γ=π+φ-γ=kπ+2φ=2kπ-π+2γ,据此可知cos 2φ=cos(2kπ-π+2γ)=-cos 2γ=sin 2γ-cos 2γ=17设AC=a.由题意,2a·a·sin ∠BAC=1,∴sin ∠BAC=,求BC最短时k的值,考虑A为锐角或直角时即可,∴cos ∠BAC=-,∴由余弦定理可得BC2=5a2-4-,设a2=t>0,则f(t)=5t-4-,f'(t)=5--,t>,f'(t)>0,函数单调递增,0<t<,f'(t)<0,函数单调递减,∴t=时,函数f(t)取得最小值,即BC=,∴cos ∠BAC==2cos2∠CAD-1,∴cos ∠CAD=,∴k=cos ∠CAD=故答案为18.解(1)由题意,OA=OM=1,∵S△OAM=和α为锐角,∴sin α=,cos α=,又点B的纵坐标是,∴sin β=,cos β=-,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-=-(2)∵cos 2α=2cos2α-1=2-1=-,sin 2α=2sin α·cos α=2,∴2,∴2α--,∵sin(2α-β)=sin 2α·cos β-cos 2α·sin β=-,故2α-β=-19.解(1)△ABC中,2cos 2B=4cos B-3,∴2(2cos2B-1)=4cos B-3,即4cos2B-4cos B+1=0,解得cos B=,又B∈(0,π),∴B=;(2)由面积公式得S△ABC=ac sin B=ac sin ,解得ac=4,又a sin A+c sin C=5sin B,∴a2+c2=5b,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos B=5b-2×4=5b-4,∴b2-5b+4=0,解得b=1或b=4,又a2+c2=5b≥2ac=8, ∴b,故b=4.20.解(1)函数f(x)=cos 2x-2cos2+1=cos 2x-cos=cos 2x+sin 2x=2sin;令2kπ-2x+2kπ+,k∈Z,解得kπ-x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为-(k∈Z); (2)当x时,2x+,∴sin-,∴f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-;且x=时f(x)取得最大值2,x=时f(x)取得最小值-21.解法一`(1)在三角形中,∵cos B=,∴sin B=在△ABD中,由正弦定理得,又AB=2,∠ADB=,sin B=AD=(2)∵BD=2DC,∴S△ABD=2S△ADC,S△ABC=3S△ADC,又S△ADC=,∴S△ABC=4∵S△ABC=AB·BC sin∠ABC,∴BC=6.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC.∴AC=4∵S△ABD=AB·AD sin∠BAD,S△ADC=AC·AD·sin∠CAD,S△ABD=2S△ADC,=2,=2=4解法二(1)同解法一.(2)∵BD=2DC,∴S△ABC=3S△ADC=4,又∵S△ABD=AB·BC sin∠ABC,∴BC=6,∴BD=4,CD=2.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,∴AC=4在△ABD中,由正弦定理得,即sin∠BAD==2sin∠ADB,同理在△ACD中,由正弦定理得sin∠CAD=又∵sin∠ADB=sin∠ADC,=422.解(1)f(x)=cos x(sin x-cos x)+=sin x cos x-(2cos 2x-1)=sin 2x-cos 2x=sin-,所以函数f(x)的最小正周期T==π.由2kπ-2x-2kπ+,k∈Z,得kπ-x≤kπ+,所以函数f(x)的单调递增区间为-,k∈Z.(2)由题意,得g(x)=f(x+α)=sin-,因为函数g(x)为偶函数,所以2α-=kπ+=,k∈Z,当k=-1时,|α|的最小值为。
