2017年秋季新版湘教版九年级数学上学期3.4、相似三角形的判定与性质课件45

所AD:AF:AB= 1 : 2: 3 ，
又因为FG∥BC，所以
FG BCห้องสมุดไป่ตู้
AF AB
，且BC=12cm，所以FG
4 6 =cm。
能力提升
1．如图，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，DE⊥AC，DF ⊥BC，垂足分别为 E，F.已知 AC＝8，BC＝6. (1)求DDFE的值； (2)求四边形 DECF 的面积．
解：(1)∵∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD. 在 Rt△ACD 和 Rt△CBD 中，∵∠B＝∠ACD，∠ADC＝ ∠CDB，∴△ACD∽△CBD.又∵DF⊥BC，DE⊥AC，∴DDEF＝ CBCA.又∵BC＝6，AC＝8，∴DDEF＝CBCA＝68＝34
(2)由(1)可知DDEF＝34，设 DF＝3x，则 DE＝4x.∴S△ACD＝12
2、如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'；E、E' 分别为BC、B'C'的中点。试探究AD与
A'D'的比值关系，AE与A'E'呢？
A A′
B
DE
C
B′ D′ E′ C′
∵△ABC∽△A′B′C′
AB ∴A' B'
AC A'C'
BC B'C'
AF A' F'
求证：AADDk .
B
解: ∵△ ABC∽△ABC，
┓ DC
A′
∴ ∠B′= ∠B． 又∵ ADB=∠ADB =90°，
┓
B′

F
C
等的两个三角形相似）
例 3 ： 如 图 ， 在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中 ， ∠ C=90° ， ∠F=90°.若∠A=∠D，AB=5,BC=4,DE=3,求EF的长．
证明：∵∠C=90°，∠F=90°∠A=∠D，
∴ △ABC∽△DEF.
∴ AB BC
A
DE EF
又AB=5,BC=4,DE=3，
12
A. 4
B. 5AΒιβλιοθήκη 2017B
C
C. 3
D. 4
D
E
3. 如图，点 D 在 AB上，当∠ACD ＝∠ B (或 ∠ ACB=∠ ADB )时， △ACD∽△ABC；
A D
B
C
4. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°， ∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
D
E
B
F
C
例2：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
证明：
∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，
∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，
∴ ∠BAC=∠DAE.
A
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE，
13
E
O
∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， B ∴ ∠C= ∠E.
BF FD
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°，
∠AFE =∠BFD (对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB，
∴ AF EF .
BF FD
B
A FE
DC

3.4.1 相似三角形的判定
第4课时 相似三角形的判定定理3
学习目标
1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进
行相关计算. (重点、难点)
导入新课
复习引入
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？
A' B' A' C'
证明：设 AB AC =k.则 A′B′ = k AB， A′C′= k AC， A' B' A' C'
∴ 由勾股定理，得BC 2 = AB2 AC2 ,A′B′= A′B′2 A′C′2 ,
BC AB2 AC2 k 2 • A ' B '2 k 2 • A 'C '2 k.
DE > EF > FD.
∵ DE 2.4 0.6，EF 2.1 0.6，FD 1.8 0.6，
AB 4
BC 3.5
CA 3
∴ DE EF FD . AB BC CA
∴ △ABC ∽ △DEF.
归纳总结
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了 两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比 值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短 边对应.
∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE， ∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE.
A
故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，
∠B=∠D，∠C=∠E， ∠BAD=∠CAE.

感悟新知
2-1. [ 模拟·株洲荷塘区 ] 如图，在 ▱ABCD中， 点 E
在 AD 上，且 BE 平分∠ ABC，交AC 于点 O，若
AB=3，BC=4，则
AOOC=
3 ___4___.
课堂新授
知识点 2 角的关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形 相似.
∴ AB=CD， AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF ∽△CDF，
△BEF ∽ △AED. ∴△CDF ∽△AED.
∵ AB＝CD，AB＝3BE，∴ CD＝3BE，AE＝4BE. ∴△BEF ∽△CDF，相似比k1＝CBDE＝13； △BEF ∽△AED，相似比k2＝BAEE＝14； △CDF ∽△AED，相似比k3＝CADE＝34.
∵
12＝
2＝ 2
10＝ 5
2，
∴图3.4-11 ②中的三角形与图3.4-10 中的△ABC相似.
感悟新知
5-1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个 小正方形的顶点叫做格点． △ ACB 和△ DCE 的 顶点都在格点上， ED 的延长线交AB 于点 F．
求证： (1) △ ACB ∽△ DCE； 证明：∵DACC＝32，BECC＝64＝32， DABE＝32 55＝32，∴DACC＝BECC＝DABE. ∴△ACB∽△DCE.
课堂新授
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形 三边的长，紧扣“三边成比例的两个 三角形相似”判断.
课堂新授
解：易知AC＝ 2，BC＝2，AB＝ 10 . 图3.4-11 ①中，三角形的三边长分别为1， 5，2 2； 图3.4-11 ②中，三角形的三边长分别为1， 2 ， 5 ； 图3.4-11 ③中，三角形的三边长分别为 2， 5，3； 图3.4-11 ④中，三角形的三边长分别为2， 5， 13 .

∠B′ ＝∠B ＝ 65°， ∠C′ ＝ ∠C ＝75°. ∠A′ ＝180 ° －（∠B ′+ ∠C′ ） ＝４０°.
例7 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°, ∠C′=90°
AB AC 求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′。
AB AC
证明：设
AB AC k AB AC
∴A′E=AC,DE=BC ∴△A′DE≌ABC ∴△ABC∽△A′B′C′
B
A
D
C
B'
由此得到相似三角形的判定定理： 三边成比例的两个三角形相似
A'
E C'
如图，△ABC的边AB，BC，CA的长度分别为4.2， 3.6，3； △A′B′C′的边A′B′，B ′ C ′ ，C ′A ′
的长度分别为2.1，1.8，1.5.
——苏格拉底
AB AC BC K AB AC BC
B
C
D B'
A'
E C'
在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A ′ D=AB。过点D作 DE∥B ′ C ′,交A ′ C ′边于点E
∵DE ∥B ′ C ′, ∴△A′DE∽△A′B′C′
∴ AD AE DE AB AC BC
１、如果△ ABC的三边长分别为５、６、８, △A1B1C1的周长为38,其中两条边长分别为12和 10, 那么△ABC与 △A1B1C1是否相似_______（填“是” 或“否”）
２、在△ ABC与△ DEF中，AB=12,BC=15, AC=24,DE=20,EF=25,DF=________ 时， △ ABC ∽ △ DEF
则AB=KA′B′,AC=KA′C′

AB BC AC ∠B=∠B'，∠C=∠C′， ，那么△ABC与 A ' B ' B 'C ' A 'C '
△A'B'C'相似.这是由三角形相似的定义来判断的，我们还有 其他的方法来判断两个三角形相似吗？
讲授新课
一 判定三角形相似的预备定理
问题：如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D
作BC的平行线DE，交AC于点E. （1）△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
（2）分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应
成比例？ （3）△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，
你的结论还成立吗？
发现只要DE∥BC，那么△ADE与 △ABC是相似的.
下面我们来证明： 在△ADE与△ABC中，∠A=∠A. ∵DE∥BC，
第3章 图形的相似
3.4 相似三角形的判定与性质
3.4.1 相似三角形的判定
第1课时
导入新课
利用平行判定三角形相似
讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解并掌握判定三角形相似的预备定理；(重点） 2.运用判定三角形相似的预备定理解决简单问题．(重点、难点)
导入新课
观察与思考
相似多边形中，最简单的就是相似三角形.如果∠A=∠A′，
边形ABCD相似.
课堂小结
内容：平行于三角形一边的直线与其 他两边相交，截得的三角形与原三角 形相似. 判定三角 形相似的 预备定理
证明三角形相似 应用
求值
求线段的比值 求线段的长
求角的度数
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
如图，过点D作DF∥AC，交BC于点F. ∵DE∥BC，DF∥AC，

3、两个相似三角形对应边上的高的比为1:2，那么 它们对应边上的中线的比为（ A ）
A、1:2ห้องสมุดไป่ตู้B、1:3 C、1:4 D、1:8
合作交流
4、已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，
△DEF的一条中线，且AM=6㎝，AB=8 ㎝，
DE=4 ㎝，求DN的长。
A
解：∵ △ABC∽△DEF，
AM AB DN DE
B
又 AM=6㎝，AB=8 ㎝， DE=4 ㎝
M
C
D
∴ DN=3cm
E
F
N
5、如图，△ABC∽ △A’B’C’，AD，BE分别是
△ABC的高和中线， A’D’，B’E’分别是△A’B’C’
的高和中线，且AD=4，A’D’=3，BE=6，求B’E’的
长。
A
解：∵ △ABC∽ △A’B’C’，
AD AB , BE AB
A' D' A' B' B' E' A' B'
AD BE
B
A' D' B' E'
E
DC A’
又 AD=4，A’D’=3，BE=6
E’
B' E' 9 2
B’
D’ C’
课堂小结
这节课你学会了什么？
一、相似三角形的性质 1、相似三角形对应高的比等于相似比 2、相似三角形对应的角的平分线的比等于相似比 3、相似三角形对应边上的中线的比等于相似比
别为△ABC， △A’B’C’的中线， A
则 AD AB 成 立 吗? A' D' A' B'

• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午12时21分22.4.1300:21April 13, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月13日星期三12时21分4秒00:21:0413 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
对应角平分线的比 AD AD ___________
观察这些数据，你会有怎样的猜
想呢？
探索新知 相似三角形的性质
问题1: 如图, ABC ∽ABC,相似比为k,
其中AD、 AD分别为BC、 BC边上的高, ABD与ABD相似吗？
∽
已知
所以∠B=∠B′（ 相似三角形的对应角相）等 又ADB ADB 90.
变式训练
4、如图，FG//BC，AE⊥FG， AD⊥BC，E、D是垂足，FG=6， BC=15，则(1)AE：AD是多少？
(2)若AD=10，求ED的长
(3)若FGHI是正 方形，它的边长 是多少？你会把 这个正方形剪出 来吗？
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三上午12时21分4秒00:21:0422.4.13
A´ D´ C´
课堂训练
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则 对应角的角平分线的比等于_____3_∶. 5 2.相似三角形对应边的比为2:5, 那么相似比为____2_:5__, 对应角的角平分线的比为__2_:5___, 周长的比为___2_:5_____, 面积的比为___4_:2_5____.
谢谢观赏
You made my day!

15
四、强化训练
(2)由(1)可知DDEF＝34，设 DF＝3x，则 DE＝4x.∴S△ACD＝12
AC·DE
＝
1 2
×8×4x
＝
16x，
S△BCD
＝
12BC·DF＝
1 2×6×3x
＝
9x.
又
S△ABC
＝
1 2
AC·BC
＝
1 2
×8×6
＝
24.∴16x
＋
9x
＝
24
，
解
得
x＝
2245.∴S 四边形 DECF＝DE·DF＝4x·3x＝12x2＝12×(2245)2＝6692152
┓
B′
D′ C′
∴△ABD∽△ABD. (两角对应相等的两个三
角形相似)
从而
AD AD
AB AB
k
.(相似三角形的对应边成比例)
2
二、新课讲解
由此得出定理： 相似三角形的对应高的
比等于相似比.
3
二、新课讲解
类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分 线的比
2、如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
九年级数学湘教版·上册
第3章 图形的相似
3.4 相似三角形的判定与性质
3.4.2 相似三角形的性质
授课人：XXXX
1
一、新课引入
1.如图,△ ABC ∽ △ABC，相似比为k，
A
分别作BC，BC 上的高AD，AD ．
求证：AADDk .
B
解: ∵△ ABC∽△ABC，
┓ DC
A′
∴ ∠B′= ∠B． 又∵ ADB=∠ADB =90°，
线的比都等于相似比.

全等三角形是特殊的相似三角形，当相似比为1时性质探究
对应角相等
01
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似
。
02
性质
相似三角形的对应角相等，即 如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，
则∠C = ∠C'。
03
示例
通过测量和比较两个三角形的 对应角度，可以判断它们是否
相似。
对应边成比例
03
定义
性质
示例
两个三角形如果它们的对应边成比例，则 称这两个三角形相似。
相似三角形的对应边成比例，即如果 AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则△ABC ∽ △A'B'C'。
通过测量和比较两个三角形的对应边长， 可以判断它们是否相似。
面积比与边长比关系
01
平行线截割定理证明
平行线截割定理应用
在解决相似三角形问题时，可以利用 平行线截割定理来寻找相似三角形的 对应边。
通过相似三角形的性质，可以证明对 应线段之间的比例关系。
三角形中位线定理
三角形中位线定理内容
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
三角形中位线定理证明
通过相似三角形的性质和平行线截割定理，可以证明三角形中位线 与第三边的关系。
01
更高层次相似三角形知识
02
相似多边形的性质和判定方 法
03
相似三角形与相似多边形之 间的关系和联系
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识
• 相似三角形在几何变换中的应用，如平移、旋转、对 称等
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识