高微作业1

大工21春《高电压技术》在线作业1试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 10 道试题,共 50 分)1.电晕放电是一种()。

A.自持放电B.非自持放电C.电弧放电D.均匀场中放电答案:A2.汤逊理论不适用于()情况下。

A.小间隙B.压力小C.空气稀薄D.长间隙答案:D3.均匀电场中,空气击穿电压经验公式的适用范围是(),d的单位为cm。

A.1≤d≤5B.1≤d≤10C.d＞5D.d＞10答案:B4.当气体分子受到光辐射作用时,如果光的能量大于气体原子的电离能时,就有可能引起()。

A.表面电离B.光电离C.热电离D.碰撞电离答案:B5.当Pd>>26.66kPa?cm时,下列说法正确的是( )。

A.在大气压下放电是火花通道B.放电时间短于正离子在通道中到达阴极的行程时间C.阴极材料对放电电压影响不大D.以上说法都正确答案:D6.下列说法正确的是()。

A.在电场的作用下，由电介质组成的绝缘间隙丧失绝缘性能形成导电通道的现象称为击穿B.击穿电压是指使绝缘击穿的最高临界电压C.发生击穿时在绝缘中的最大平均电场强度叫做击穿场强D.以上说法都正确答案:A7.下列关于流注理论说法不正确的是()。

A.流注理论考虑了空间电离对电场的影响B.流注理论考虑了空间光电离作用的影响C.流注理论认为二次电子的主要来源是表面电离D.形成流注后，放电就可以由本身产生的空间光电离自行维持答案:C8.下列关于汤逊理论说法不正确的是()。

A.汤逊理论认为自持放电是气体间隙击穿的必要条件B.汤逊理论认为电子空间碰撞电离是电离主要因素C.汤逊理论适用于高气压长间隙D.汤逊理论适用于低气压短间隙答案:C9.汤逊理论的适用范围是()。

A.低气压长间隙B.高气压短间隙C.高气压长间隙D.低气压短间隙答案:D10.沿固体介质表面发展的气体放电称为()。

A.击穿B.放电C.闪络D.电晕答案:C二、判断题 (共 10 道试题,共 50 分)11.极不均匀电场具有的特殊放电形式是电晕放电。

分层作业1走进化学科学A级必备知识基础练题组1.化学科学的形成与发展1.(2024河南郑州联考)我国科学家为世界科技发展做出了重要贡献,下列属于我国科学家研究成果的是()①新一代抗疟药——双氢青蒿素的合成②提出原子学说——为近代化学发展奠定基础③首次蛋白质的人工合成——结晶牛胰岛素④发现元素周期律——把化学元素及其化合物纳入统一的理论体系A.①②B.③④C.①③D.②③2.(2024山东莱阳一中模拟)下列描述中,不正确的是()A.我国科学家成功合成结晶牛胰岛素,在世界上首次实现了蛋白质的人工合成B.近代化学诞生的标志是道尔顿提出了电子学说C.尽量购买本地、当季的食物,可减少运输中的能耗,符合“低碳生活”的理念D.化学家可以在微观层面上操纵分子和原子,组装分子器件和分子机器等题组2.化学科学及其特征3.(2024安徽定远中学模拟)下列诗文中隐含化学变化的是()A.月落乌啼霜满天,江枫渔火对愁眠B.掬水月在手,弄花香满衣C.飞流直下三千尺,疑是银河落九天D.举头望明月,低头思故乡4.(2024山东泰安模拟)2020年10月7日,诺贝尔化学奖授予两位女科学家,以表彰她们“开发出一种基因组编辑方法”。

下列说法错误的是()A.化学是在原子、分子水平上研究物质的一门学科B.化学科学的特征是从宏观和微观两个角度认识物质、以符号形式表征物质、在不同层面上创造物质C.化学科学是一门具有创造性的科学D.现代化学注重理论分析、推理,不需要做化学实验5.(2024辽宁实验中学模拟)下列说法错误的是()A.化学是在原子、分子水平上研究物质的组成、结构、性质、转化及其应用的基础自然科学B.化学已成为自然科学领域中一门中心的、实用的和创造性的基础科学C.化学变化是自然界中物质变化的所有形式D.将宏观与微观联系起来研究物质及其变化是化学的特点和魅力所在题组3.化学科学的探索空间与应用6.化学是一门充满神奇色彩的科学,关于其研究领域说法错误的是()A.探索原子、分子的特征和行为,从而控制原子、分子之间的反应B.分析自然界物质构成,以便在工厂中实现规模生产C.合成与开发自然界中并不存在的新物质、新材料满足人们生产生活需求D.合成与开发自然界中并不存在的新元素,解决环境、能源、资源问题7.下列属于化学科学研究范畴的是()A.分子组装技术操控球形C60分子构成“纳米算盘”B.两个氢原子核聚变成一个氦核,释放巨大能量,用于发电C.大量电器释放电磁辐射,造成电磁污染D.许多金属在低温下具有超导性8.(2024河南部分学校模拟)化学是一门充满神奇色彩的科学,下列说法错误的是()A.现代化学还将在能源与资源、材料科学、环境科学、医药与健康等领域产生广泛的影响B.研究氯气的性质用到观察、实验等方法C.中国3 200兆帕超级钢问世,说明化学是一门具有创造性的科学D.俄国科学家门捷列夫提出原子论,为近代化学的发展奠定了坚实的基础B级关键能力提升练以下选择题有1~2个选项符合题意。

高微作业1作业#11. 教材（微观经济理论，马斯克莱尔等著）1.B.3，1.B.4，1.B.5，2.D.1，2.D.2 （假设她如果不工作，她可以消费24小时闲暇），2.D.3，2.E.1， 2.E.4， 2.E.6，, 2.E.7 ，2.E.82. 需求函数假设商品空间为二维（L = 2），商品价格和财富为}2424:),,{(123 21p w p w p p P <<?∈≡++。

考虑如下的瓦尔拉斯需求函数：2:x P →? :???? ??----=21121221221124,24)),,(~),,,(~(p p w p p p p w w p p x w p p x .2.1. x ~是否满足0阶齐次？x ~是否满足瓦尔拉斯定律？x ~是否满足显示偏好弱公理（WARP ）？2.2. 计算),(~w p x D .2.3. 商品1是正常品还是劣等品？商品1是奢侈品还是必需品？商品1是普通品还是吉芬商品？2.4. 商品2是正常品还是劣等品？商品2是奢侈品还是必需品？商品2是普通品还是吉芬商品？2.5. 计算x ~的斯拉茨基替代矩阵S(p, w)，该替代矩阵是否是负半定？是否是对称的？2.6. 写出商品2的斯拉茨基方程，分别判断替代效应，财富效应，以及总效应的符号。

请给出文字说明。

3. 斯通-格瑞（Stone-Geary ）效用函数商品空间为X = x ∈R L x l ≥b l ,l =1,..,L ，效用函数为u:X →R:u x 1,…..,x L = (x l ?b l )a l L l =1, 其中b l ∈R , a l ∈R++,l =1,….,L 。

为了保证预算集为非空集合，我们对价格-财富组合（p, w ）作进一步限制。

假设新的价格-财富组合为P = p ,w ∈R ++L +1: p l b l <="">如果b l <0, x l 有可能为负数，因此本题中并没有对需求作非负约束。

华东理工高等数学作业本第1次作业答案第3章（之3）第15次作业教学内容: §3.3.1 00型3.3.2 ∞∞型1. 填空题*（1）若0≠p ，则px px xx x cos sin 1cos sin 1lim0-+-+→________=.解：p 1.**（2）_______)e1ln()e 1ln(lim11=+--+-∞→x x x .解：2e -。

2. 选择题。

**（1）若)()(limx g x f x x →是00待定型，则“Ax g x f x x =''→)()(lim 0”是“Ax g x f x x =→)()(lim 0”的（ B ）（A ）充要条件； (B)充分条件，非必要条件；（C ）必要条件，非充分条件； (D) 既非充分条件，也非必要条件.**（2）若)()(limx g x f x x →是∞∞的未定型，且Ax g x f x x =''→)()(lim 0，则=→)(ln )(ln lim 0x g x f x x（ B ）（A ）A ln ；（B ）1； (C)2A ； (D)21A.***3 求极限 xx x xxx arctan 3 3e2elim220---+-→.解：原式= =+----→2201116e2e2limxxxxx 2203e elim2xxx xx ---→xxxx 23e e2lim220-+=-→31ee4lim20=-=--→xxx .4 求下列极限:**（1）+→0lim x )0()sin ln()sin ln(>>a b bx ax ； **（2）∞→x lim)43ln()35ln(236+-++x x x x .解：（1）原式bxa x cos cot lim+→=ax b bxa x tan tan lim+→=1=.（2）)431ln(ln )751ln(ln lim 22636x x x x x x x +-++++=∞→原式=++++-+→∞limln()ln ln()ln x x xxx x x 3157113436222=3.****5. xex x x -+→1)1(lim.解： ])1[(lim )00()1(lim 10'+=-+→→xx x x x x e x 210)1()1)](1ln()1([lim x x x x x x x x ++++-=→2]21)1ln(1lim[])1ln()1(lim[02e xx e xx x x e x x -=-+-=++-=→→.***6. 若已知()x f '在0=x 连续，且有()00=f ，2)0(='f ，求极限()()[]2limxx f f x f x ?→.解：xx f f xx f xx f f xx f xx f f x f x x x x )]([lim)(lim)]([)(lim)]([)(lim2→→→→?=?=?82)]0('[)]0('[)0(')('1)](['lim1)('lim3320===?=??=→→f f f x f x f f x f x x .***7. 设()x f 具有2阶连续导数，且()00=f ，试证()x g 有1阶连续导数，其中()()()??=≠=.0,0,0,'x f x xx f x g证明：依题意，当0≠x 时，2)()(')('xx f x x f x g -?=均连续.故只需证明 )0(')('lim 0g x g x =→ 即可.由导数定义，有)0("212)0(')('lim)0(')(lim)0(')(lim0)0()(lim)0('02f xf x f xxf x f xf xx f x g x g g x x x x = -=-=-=--=→→→→又)0(')0(''212)(')(')(''lim)()('lim)('lim 020g f xx f x f x x f xx f x x f x g x x x == -+=-=→→→.故命题得证.。

课时作业(一) 空间向量及其线性运算[练基础]1．在正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，AB → －D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B ． AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ．AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D ．AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2．在平行六面体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，AB → ＋AD → ＋AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B ． CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ．BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ． DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗3．在正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，下列各组向量与AC → 共面的有( )A ．B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ．BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗4.在四面体OABC 中，OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC → ＝c ，OM → ＝2MA → ，BN → ＋CN → ＝0，用向量a ，b ，c 表示MN → ，则MN → 等于( )A.12 a －23 b ＋12 c B ．－23 a ＋12 b ＋12c C ．12 a ＋12 b －12 c D ．23 a ＋23 b －12c 5．(多选)下列说法错误的是( )A ．在平面内共线的向量在空间不一定共线B ．在空间共线的向量在平面内不一定共线C ．在平面内共线的向量在空间一定不共线D ．在空间共线的向量在平面内一定共线6．化简：AB → －AC → ＋BC → －BD → －DA → ＝________．7．如图所示，在长方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB → ，AD → ，OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝________．8．如图所示，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1与B 1D 1交于M .(1)化简AA 1＋12(AD → ＋AB → )； (2)若BM → ＝xAB → ＋yAD → ＋z AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数x ，y ，z 的值．[提能力]9．在三棱锥S ­ ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足EG EF＝13，若SA → ＝a ，SB → ＝b ，SC → ＝c ，则AG → ＝( ) A ．13 a －12 b ＋16 c B ．－23 a ＋16 b ＋16c C ．16 a －13 b ＋12 c D ．－13 a －16 b ＋12c 10．(多选)下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是( )A ．PC → ＝13 P A → ＋23PB → B ．OP → ＝13 OA → ＋13 OB → ＋13OC → C ．OP → ＝OA → ＋OB → ＋OC →D ．OP → ＋OA → ＋OB → ＋OC → ＝011．在三棱锥O ­ ABC 中，E 为OA 中点，CF → ＝13CB → ，若OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC → ＝c ，EF → ＝p a ＋q b ＋r c ，则p ＋q ＋r ＝________．12．已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)用向量法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM → ＝14(OA → ＋OB → ＋OC → ＋OD → ).[培优生]13．在棱长为1的正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，点M 和N 分别是正方形ABCD 和BB 1C 1C的中心，点P 为正方体表面上及内部的点，若点P 满足DP → ＝mDA → ＋nDM → ＋kDN → ，其中m 、n 、k ∈R ，且m ＋n ＋k ＝1，则满足条件的所有点P 构成的图形的面积是________．。

高中+通用技术作业
1.介绍一种新型能源技术，比如太阳能、风能、水能等，并说明其优势和应用情况。

2. 分析一款智能手机的设计理念和技术特点，探讨其对用户生活的影响和未来发展趋势。

3. 研究一种先进的制造工艺，比如3D打印、激光切割、数控加工等，并分析其在现代工业中的应用和前景。

4. 探究一种智能家居系统的原理和构成，介绍其功能和优点，并分析其在未来家庭生活中的发展前景。

5. 研究一种新型材料，比如碳纳米管、石墨烯、超导材料等，并探讨其物理特性和应用领域。

6. 分析一种流行的社交媒体平台，比如微信、微博、Facebook 等，并探讨其对人们交流、娱乐、学习等方面的影响和作用。

7. 探究一种虚拟现实技术，比如头戴式显示器、手柄控制器等，并说明其应用情况和未来发展趋势。

8. 研究一种智能交通系统，比如自动驾驶汽车、智能交通信号灯等，并探讨其在城市交通管理中的作用和未来发展前景。

9. 分析一种智能穿戴设备，比如智能手表、智能眼镜、智能健康手环等，并说明其功能和应用情况。

10. 探究一种区块链技术，比如比特币、以太坊等，并分析其在金融、物流、保险等领域中的应用和前景。

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第一章　函 数习　题　一（A）１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：（１）（x－２）２＞９； （２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．解　（１）由（x－２）２＞９得｜x－２｜＞３，从而解得x－２＞３　或　x－２＜－３由此得　x＞５或x＜－１．因此，解集合为（－∞，－１）∪（５，＋∞）（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：因此，该不等式的解集合为（－１，＋∞）（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此，解集合为（x０－δ，x０＋δ）（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）２．证明如下不等式：（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜证　（１）由绝对值性质（４），有｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：（１）y＝x与y＝x２；（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；（３）y＝１与y＝ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x；（４）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；（５）y＝ｌｎ（x２－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x２）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．解　（１）因y＝x２＝｜x｜与y＝x的对应规则不同（值域也不同），故二函数不相同．（２）因y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）的定义域均为D f＝［－２，１］，故此二函数相同．（３）因ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x≡１，x∈（－∞，＋∞），故此二函数相同．（４）因y＝１＋ｃｏｓ２x＝２ｃｏｓ２x＝２｜ｃｏｓx｜与y＝２ｃｏｓx的对应规则不同，可知此二函数不相同．（５）因y＝ｌｎ（x２－４x＋３）＝ｌｎ［（x－１）（x－３）］的定义域为D f＝（－∞，１）∪（３，＋∞）；y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）的定义域为D f＝（３，＋∞）．因此，此二函数不相同．（６）因y＝ｌｎ（１０－３x－x２）＝ｌｎ［（２－x）（５＋x）］与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）的定义域均为D f＝（－５，２），故此二函数相同．４．求下列函数的定义域：（１）y＝x２＋x－２； （２）y＝ｓｉｎ（x）；（２）y＝９－x２＋１ｌｎ（１－x）；（４）y＝ｌｎx２－９x１０；（５）y＝１x－３x＋１０x－１０；（６）y＝（x－１）（x－３）x－３．解　（１）使该函数有定义的x应满足条件：x２＋x－２＝（x－１）（x＋２）≥０由此解得x≥１或x≤－２．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，２］∪［１，＋∞）．（２）使该函数有定义的x应满足条件：x≥０　且　ｓｉｎx≥０而由ｓｉｎx≥０得２kπ≤x≤（２k＋１）π，k＝０，１，２，…．因此，该函数的定义域为D f＝∪∞k＝０［（２kπ）２，（２k＋１）π２］．（３）使该函数有定义的x应满足如下条件：９－x２≥０，　１－x＞０，　１－x≠１解得　｜x｜≤３且x＜１且x≠０．因此，该函数定义域为D f＝［－３，０）∪（０，１）．（４）使该函数有定义的x应满足条件：x２－９x１０≥１由此得　x２－９x－１０＝（x＋１）（x－１０）≥０，解得x≥１０或x≤－１因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１］∪［１０，＋∞）（５）使该函数有定义的x应满足如下条件：x－３≠０，　x－１０≠０，　x＋１０x－１０≥０由此解得x＞１０或x≤－１０．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１０］∪（１０，＋∞）．（６）使该函数有定义的x应满足条件：x－３≠０，　（x－１）（x－２）x－３≥０即（x－１）（x－２）≥０　且　x－３＞０痴x＞３（x－１）（x－２）≤０　且　x－３＜０痴１≤x≤２因此，该函数定义域为D f＝［１，２］∪（３，＋∞）．５．已知函数f（x）＝q－x２，｜x｜≤３x２－９，｜x｜＞３求函数值f（０），f（±３），f（±４），f（２＋a）．解　因为x＝０，x＝±３时，｜x｜≤３，所以f（０）＝９＝３， f（±３）＝９－（±３）２＝０又因为x＝±４时，｜x｜＞３，所以f（±４）＝（±４）２－９＝７当｜２＋a｜≤３即－５≤a≤１时，f（２＋a）＝q－（２＋a）２＝（１－a）（５＋a）当｜２＋a｜＞３即a＞１或a＜－５时，f（２＋a）＝（２＋a）２－９＝（a－１）（a＋５）所以f（２＋a）＝（１－a）（５＋a），－５≤a≤１（a－１）（５＋a），a＜－５或a＞１．６．讨论下列函数的单调性：（１）y＝１＋６x－x２； （２）y＝ｅ｜x｜．解　（１）易知该函数定义域为D f＝［０，６］．设x１，x２∈（０，６），　x１＜x２则f（x１）－f（x２）＝６x１－x２１－６x２－x２２＝（６x１－x２１）－（６x２－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝６（x１－x２）－（x２１－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝［６－（x１＋x２）］（x１－x２）６x１－x２１＋６x２－x２２＜０，０＜x１＜x２＜３＞０，３＜x１＜x２＜６所以该函数在区间（０，３）上单调增加，在区间（３，６）上单调减少．另解，因６x－x２＝９－（x－３）２，所以y＝１＋６x－x２是圆（x－３）２＋（y－１）２＝３２的上半圆．由此可知，该函数在（０，３）上单调增加，在（３，６）上单调减少．（２）因y＝ｅ｜x｜＝ｅx，x≥０ｅ－x，x＜０所以，该函数在［０，＋∞）上单调增加，在（－∞，０］上单调减少．７．讨论下列函数是否有界：（１）y ＝x ２１＋x２； （２）y ＝ｅ－x ２；（３）y ＝ｓｉｎ１x；（４）y ＝１１－x．解　（１）因为｜y ｜＝x２１＋x ２＝１－１１＋x２≤１所以，该函数有界．（２）因为｜y ｜＝ｅ－x ２＝１ｅx ２≤１ｅ０＝１所以，该函数有界．（３）因为ｓｉｎ１x≤１（x ≠０），所以，该函数有界．（４）对任意给定的正数M ＞０，令x ０＝１－１２M≠１，则｜y （x ０）｜＝１１－１－１２M＝２M ＞M此式表明，对任意给定的M ＞０，存在点x ０∈D f ，使｜y （x ０）｜＞M ．因此，该函数无界．８．讨论下列函数的奇偶性：（１）f （x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ； （２）y ＝x ５－x ３－３；（３）f （x ）＝ｌｎ（x ＋１－x ２）；（４）f （x ）＝１－x ，x ＜０，１，x ＝０，１＋x ，x ＞０．解　（１）因为f （－x ）＝（－x ）ｓｉｎ（－x ）＋ｃｏｓ（－x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ＝f （x ），x ∈（－∞，＋∞）所以，该函数为偶函数．（２）因为f （－x ）＝－x ５＋x ３－３≠f （x ）或－f （x ）所以，该函数既不是偶函数，也不是奇函数．（３）因为f （－x ）＝ｌｎ（－x ＋１＋x ２）＝ｌｎ（１＋x ２）－x２x ＋１＋x２＝－ｌｎ（x＋１＋x２）＝－f（x），　x∈（－∞，＋∞）所以，该函数为奇函数．（４）因为x＞０（即－x＜０）时，　f（－x）＝１－（－x）＝１＋xx＜０（即－x＞０）时，　f（－x）＝１＋（－x）＝１－x所以f（－x）＝１－x，x＜０１，x＝０１＋x，x＞０＝f（x）因此，该函数为偶函数．９．判别下列函数是否是周期函数，若是周期函数，求其周期：（１）f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx； （２）f（x）＝｜ｓｉｎx｜；（３）f（x）＝xｃｏｓx；（４）f（x）＝１＋ｓｉｎπx．解　（１）因为f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx＝２ｓｉｎx＋π４所以f（x＋２π）＝２ｓｉｎx＋２π＋π４＝２ｓｉｎx＋π４＝f（x）因此，该函数为周期函数，周期为２π．（２）因f（x＋π）＝｜ｓｉｎ（x＋π）｜＝｜－ｓｉｎx｜＝｜ｓｉｎx｜＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为π．（３）因ｃｏｓx是以２π为周期的周期函数，但是f（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓ（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓx≠xｃｏｓx＝f（x）所以，该函数不是周期函数．（４）因为f（x＋２）＝１＋ｓｉｎ（x＋２）π＝１＋ｓｉｎπx＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为２．１０．求下列函数的反函数及其定义域：（１）y＝１－x１＋x； （２）y＝１２（ｅx－ｅ－x）；（３）y＝１＋ｌｎ（x－１）；（４）y＝５３x－５；（５）y＝２ｓｉｎx３，　x∈－π２，π２；（６）y＝２x－１，０＜x≤１２－（x－２）２，１＜x≤２．解　（１）由y＝１－x１＋x　解出x，得x＝１－y１＋y因此，反函数为y＝１－x１＋x其定义域为D（f－１）＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞）（２）由所给函数解出ｅx，得ｅx＝y±１＋y２＝y＋１＋y２（因为ｅx＞０，所以舍去“－”号）由此得x＝ｌｎ（y＋１＋y２）因此反函数为y＝ｌｎ（x＋１＋x２）其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（３）所给函数定义域为D（f）＝（１，＋∞），值域为Z（f）＝（－∞，＋∞）．由所给函数解出x，得x＝１＋ｅy－１，故反函数为y＝１＋ｅx－１其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（４）所给函数定义域、值域分别为D（f）＝（－∞，＋∞），　Z（f）＝（－∞，＋∞）由所给函数解出x，得x＝１３（y５＋５），　y∈Z（f）＝（－∞，＋∞）所以，反函数为y＝１３（x５＋５）其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－∞，＋∞）（５）由所给函数解出x，得x＝３ａｒｃｓｉｎy２所以，反函数为y＝３ａｒｃｓｉｎx２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝［－１，１］．（６）由所给函数可知：当０＜x≤１时，y＝２x－１，y∈（－１，１］；当１＜x≤２时，y＝２－（x－２）２，y∈（１，２］；由此解出x，得x＝１２（１＋y），－１＜y≤１２－２－y，１＜y≤２　（舍去“＋”号，因１＜x≤２）因此，反函数为y＝１２（１＋x），－１＜x≤１２－２－x，１＜x≤２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－１，２］．１１．分析下列函数由哪些基本初等函数复合而成：（１）y＝ｌｏｇa x； （２）y＝ａｒｃｔａｎ［ｔａｎ２（a２＋x２）］；（３）y＝ｅ２x／（１－x２）；（４）y＝ｃｏｓ２x２－x－１．解　（１）所给函数由对数函数y＝ｌｏｇa u与幂函数u＝x复合而成；（２）所给函数由反正切函数y＝ａｒｃｔａｎu、幂函数u＝v２、正切函数v＝ｔａｎw 和多项式函数w＝a２＋x２复合而成；（３）所给函数由指数函数y＝ｅu和有理分式函数u＝２x１＋x２复合而成；（４）所给函数由幂函数y＝u２、余弦函数u＝ｃｏｓv、幂函数v＝w与多项式函数w＝x２－x－１复合而成．１２．设销售某种商品的总收入R是销售量x的二次函数，且已知x＝０，１０，２０时，相应的R＝０，８００，１２００，求R与x的函数关系．解　设总收入函数为R（x）＝ax２＋bx＋c（a≠０）已知R（０）＝０　所以c＝０又知R（１０）＝８００，　R（２０）＝１２００即有１００a＋１０b＝８００，　４００a＋２０b＝１２００整理后，得联立方程组１０a＋b＝８０，　２０a＋b＝６０由此解得　a＝－２，b＝１００．因此，总收入函数为R（x）＝１００x－２x２＝x（１００－２x）．１３．某种电视机每台售价为２０００元时，每月可售出３０００台，每台售价降为１８００元时，每月可多售出６００台，求该电视机的线性需求函数．解　设该电视机的线性需求函数为Q＝a－bp则由已知条件有Q（２０００）＝a－２０００b＝３０００Q（１８００）＝a－１８００b＝３６００由此解得a＝９０００，b＝３．因此，该商品的线性需求函数为Q＝９０００－３p．１４．已知某商品的需求函数与供给函数分别由下列方程确定：３p＋Q２d＋５Q d－１０２＝０p－２Q２s＋３Q s＋７１＝０试求该商品供需均衡时的均衡价格p e和均衡数量Q e．解　供需均衡的条件为Q d＝Q s＝Q e，对应均衡价格为p e，于是有３p３＋Q２e＋５Q－１０２＝０p e－２Q２e＋３Q e＋７１＝０由其中第二个方程得p e＝２Q２e－３Q３－７１　（倡）将上式代入第一个方程，得７Q２e－４Q e－３１５＝０由此解得Q e＝７（舍去负根）．将Q e＝７代入（倡）得p e＝６．因此，该商品供需均衡时，均衡价格p e＝６，均衡数量Q e＝７．（B）１．填空题：（１）已知函数f（x）的定义域为（０，１］，则函数f（ｅx）的定义域为，函数f x－１４＋f x＋１４的定义域为；（２）已知函数f（x）＝x１＋x２，则f（ｓｉｎx）＝；（３）已知函数f（x）＝x１－x，则f［f（x）］＝，f｛f［f（x）］｝＝；（４）已知f（３x－２）＝x２，则f（x）＝；（５）已知某商品的需求函数、供给函数分别为：Q d＝１００－２p，　Q s＝－２０＋１０p，则均衡价格p e＝，均衡数量Q e＝；答　（１）（－∞，０］，１４，３４； （２）ｓｉｎx｜ｃｏｓx｜；（３）x１－２x，x１－３x；（４）１９（x＋２）２；（５）１０，８０．解　（１）由０＜ｅx≤１得x∈（－∞，０］，由０＜x－１４≤１且０＜x＋１４≤１，得x∈１４，３４；（２）f（ｓｉｎx）＝ｓｉｎx１－ｓｉｎ２x＝ｓｉｎxｃｏｓ２x＝ｓｉｎx·｜ｃｏｓx｜；（３）f［f（x）］＝f（x）１－f（x）＝x１－２x，f｛f［f（x）］｝＝f［f（x）］１－f［f（x）］＝x１－３x；（４）令t＝３x－２，则x＝１３（t＋２），于是f（t）＝f（３x－２）＝x２＝１３（t＋２）２＝１９（t＋２）２所以f（x）＝１９（x＋２）２（５）由Q d＝Q s＝Q e，得１００－２p e＝－２０＋１０p e解得　p e＝１０，从而Q e＝８０．２．单项选择题：（１）若函数y＝x＋２与y＝（x＋２）２表示相同的函数，则它们的定义域为．（Ａ）（－∞，＋∞）； （Ｂ）（－∞，２］；（Ｃ）［－２，＋∞）；（Ｄ）（－∞，－２］．（２）设f （x ）＝１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜＞１，则f ｛f ［f （x ）］｝＝．（Ａ）０；（Ｂ）１（Ｃ）１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜≥１；（Ｄ）１，｜x ｜≥１，０，｜x ｜＜１．（３）y ＝ｓｉｎ１x在定义域内是．（Ａ）周期函数；（Ｂ）单调函数；（Ｃ）偶函数；（Ｄ）有界函数．（４）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数中，必为偶函数．（Ａ）y ＝｜f （x ）｜；（Ｂ）y ＝［f （x ）］２；（Ｃ）y ＝－f （－x ）；（Ｄ）y ＝f （x ２）ｃｏｓx ．（５）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，且f （x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx ，则f （x ）．（Ａ）是周期函数，且周期为π；（Ｂ）是周期函数，且周期为２π；（Ｃ）是周期函数，且周期为３π；（Ｄ）不是周期函数．答　（１）Ｃ；　（２）Ｃ；　（３）Ｄ；　（４）Ｄ；　（５）Ｂ．解　（１）由（x ＋２）２＝｜x ＋２｜＝x ＋２≥０可知x ≥－２，故选（Ｃ）．（２）因f ［f （x ）］＝１，｜f （x ）｜＜１０，｜f （x ）｜≥１＝１，｜x ｜≥１０，｜x ｜＜１f ｛f ［f （x ）］｝＝１，｜f ［f （x ）］｜＜１０，｜f ［f （x ）］｜≥１＝１，｜x ｜＜１０，｜x ｜≥１故选（Ｃ）．（３）因ｓｉｎ１x≤１，橙x ≠０，故选（Ｄ）．（４）因f （（－x ）２）ｃｏｓ（－x ）＝f （x ２）ｃｏｓx ，故选（Ｄ）．（５）因f （x ＋２π）＝f （x ＋π）＋ｓｉｎ（x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx －ｓｉｎx ＝f （x ）故f （x ）为周期函数，且周期为２π，选（Ｂ）．３．设f２x ＋１２x －２－１２f （x ）＝x ，求f （x ）．解　令t ＝２x ＋１２x －２，则x ＝２t ＋１２t －２，代入所给方程，得f （t ）－１２f ２t ＋１２t －２＝２t ＋１２t －２其中，由所给方程有f２t ＋１２t －２＝t ＋１２f （t ）于是得f （t ）－１２t ＋１２f （t ）＝２t ＋１２t －２由此得f （t ）＝２３t ２＋t ＋１t －１因此f （x ）＝２３x ２＋x ＋１x －１．４．证明下列各题：（）若函数f （x ），g （x ）在D 上单调增加（或单调减少），则函数h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（或单调减少）．（２）若函数f （x ）在区间［a ，b ］，［b ，c ］上单调增加（或单调减少），则f （x ）在区间［a ，c ］上单调增加（或单调减少）．证　（１）对任意的x １，x ２∈D ，且x １＜x ２，因f （x ），g （x ）单调增加（减少），故有f （x １）＜f （x ２）　（f （x １）＞f （x ２））g （x １）＜g （x ２）　（g （x １）＞g （x ２））于是h （x １）＝f （x １）＋g （x １）＜f （x ２）＋g （x ２）＝h （x ２）（h （x １）＞h （x ２））所以，h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（减少）．（２）对任意的x１，x２∈［a，c］，x１＜x２，若　a≤x１＜x２≤b或b≤x１＜x２≤c，则由题设有f（x１）＜f（x２）　（或f（x１）＞f（x２））若　a≤x１≤b＜x２≤c，则由题设有f（x１）≤f（b）＜f（x２）　（或f（x１）≥f（b）＞f（x２））综上所述，f（x）在［a，c］上单调增加（或单调减少）．５．设函数f（x）与g（x）在D上有界，试证函数f（x）±g（x）与f（x）g（x）在D 上也有界．证　因f（x）与g（x）在D上有界，故存在常数M１＞０与M２＞０，使得｜f（x）｜＜M１，　｜g（x）｜＜M２，　橙x∈D．令M＝M１＋M２＞０，则有｜f（x）±g（x）｜≤｜f（x）｜＋｜g（x）｜＜M１＋M２＝M，橙x∈D因此，f（x）±g（x）在D上有界．再令M＝M１M２，则有｜f（x）g（x）｜＝｜f（x）｜｜g（x）｜＜M１M２＝M，橙x∈D因此，f（x）g（x）在D上有界．６．证明函数f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．证　要证f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界，只需证明：对任意给定的常数M＞０，总存在x０∈（０，＋∞），使得｜x０ｓｉｎx０｜＞M．事实上，对任意给定的M＞０，令x０＝π２＋２（１＋［M］）π∈（０，＋∞）（［M］为M的整数部分），则有｜f（x０）｜＝π２＋２（１＋［M］）π·ｓｉｎπ２＋２（１＋［M］）π＝π２＋２（１＋［M］）πｓｉｎπ２＝π２＋２（１＋［M］）π＞M于是，由M＞０的任意性可知，f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．７．已知函数函数f（x）满足如下方程af（x）＋bf１x＝c x，x≠０其中a，b，c为常数，且｜a｜≠｜b｜．求f （x ），并讨论f （x ）的奇偶性．解　由所给方程有af１x＋bf （x ）＝cx于是，解方程组af （x ）＋bf １x＝c xaf１x＋bf （x ）＝cx可得f （x ）＝ac －bcx ２（a ２－b ２）x因为f （－x ）＝ac －bc （－x ）２（a ２－b ２）（－x ）＝－ac －bcx２（a ２－b ２）x＝－f （x ）所以，f （x ）为奇函数．８．某厂生产某种产品１０００吨，当销售量在７００吨以内时，售价为１３０元／吨；销售量超过７００吨时，超过部分按九折出售．试将销售总收入表示成销售量的函数．解　设R （x ）为销售总收入，x 为销售量（单位：吨）．依题设有当０≤x ≤７００时，售价p ＝１３０（元／吨）；当７００＜x ≤１０００时，超过部分（x －７００）的售价为p ＝１３０×０．９＝１１７（元／吨）．于是，销售总收入函数为R （x ）＝１３０x ，　０≤x ≤７００１３０×７００＋１１７×（x －７００），　７００＜x ≤１０００＝１３０x ，０≤x ≤７００１１７x ＋９１００，７００＜x ≤１０００可见销售总收入R （x ）为销售量x 的分段函数．９．某手表厂生产一只手表的可变成本为１５元，每天固定成本为２０００元，每只手表的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？解　设每天生产x 只手表，则每天总成本为C （x ）＝１５x ＋２０００因每只手表出厂价为２０元，故每天的总收入为２０x （元），若要不亏本，应满足如下关系式：２０x ≥１５x ＋２０００解得x≥４００（只）即，若要不亏本，每天至少应生产４００只手表．１０．某玩具厂每天生产６０个玩具的成本为３００元，每天生产８０个玩具的成本为３４０元，求其线性成本函数．该厂每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本各为多少？解　设线性成本函数为C（x）＝ax＋b其中C（x）为总成本，x为每天的玩具生产量．由题设有C（６０）＝６０a＋b＝３００（元）C（８０）＝８０a＋b＝３４０（元）由此解得a＝２，　b＝１８０因此，每天的线性成本函数为C（x）＝２x＋１８０其中a＝２元为生产一个玩具的可变成本，b＝１８０元为每天的固定成本．第二章　极限与连续习　题　二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：（１）u n＝５n－３n； （２）u n＝１nｃｏｓnπ；（３）u n＝２＋－１２n；（４）u n＝１＋（－２）n；（５）u n＝n２－１n；（６）u n＝a n（a为常数）．解　（１）将该数列具体写出来为２，７２，４，１７４，２２５，…，５－３n，…观察可知u n→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为u n＝１nｃｏｓnπ＝１n（－１）n＝１n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为u n－２＝－１２n＝１２n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知u n→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为０，３２，８３，１５４，２４５，…观察可知u n→∞（n→∞）．所以，该数列发散．（６）当a＜１时，u n＝a n→０（n→∞）；当a＞１时，u n＝a n→∞（n→∞）；当a＝１时，u n＝１→１（n→∞）；当a＝－１时，u n＝（－１）n，发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a ≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：（１）ｌｉｍn→∞－１３n＝０； （２）ｌｉｍn→∞n２＋１n２－１＝１；（３）ｌｉｍn→∞１n＋１＝０；（４）ｌｉｍn→∞n２＋a２n＝１（a为常数）．证　（１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使u n－０＝１３n＜ε只需n＞ｌｏｇ３１ε　（∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３１ε＞０）取正整数N＝１＋ｌｏｇ３１ε＞ｌｏｇ３１ε，则当n＞N时，恒有－１３n－０＜ε因此ｌｉｍn→∞－１３n＝０．（２）对任意给定的ε＞０，要使u n－１＝n２＋１n２－１－１＝２n２－１＝２n＋１·１n－１≤１n－１＜ε只需n＞１＋１ε．取正整数N＝１＋１ε，则当n＞N时，恒有n２＋１n２－１－１＜ε由此可知ｌｉｍn →∞n ２＋１n ２－１＝１．（３）对任意给定的ε＞０，要使u n －０＝１n ＋１－０＝１n ＋１＜１n＜ε只需n ＞１ε２．取正整数N ＝１ε２＋１，则当n ＞N ＞１ε２时，恒有１n ＋１－０＜ε．由此可知ｌｉｍn→∞１n ＋１＝０．（４）对任意给定的ε＞０，要使u n －１＝n ２＋a２n －１＝a２n （n ２＋a ２＋n ）＜a２２n２＜ε只需n ＞a２ε．取正整数N ＝a ２ε＋１，则当n ＞N ＞a２ε时，恒有n ２＋a２n－１＜ε因此ｌｉｍn →∞n ２＋a２n＝１．３．求下列数列的极限：（１）ｌｉｍn →∞３n ＋５n ２＋n ＋４； （２）ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n；（４）ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１；（５）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ；（６）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n．解　（１）因为３n ＋５n ２＋n ＋４＝３＋５n１＋１n ＋４n ２→３（n →∞）所以ｌｉｍn→∞３n ＋５n ２＋n ＋４＝３．（２）因为n ＋３－n ＝３n ＋３＋n →０（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）＝０．（３）因为（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４１４n＋２４n＋３４n＋１１／n→４（n →∞）所以ｌｉｍn→∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４．（４）因为（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２·－１２n＋１－１２n ＋１＋１→１２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２．（５）因为 １＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝１－１２n ＋１１－１２＝２１－１２n ＋１→２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２．（６）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２１－１２n ＋１，１＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝１－１４n －１１－１４＝４３１－１４n ＋１于是１＋１２＋１２２＋…＋１２n １＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝３２·１－１２n ＋１１－１４n ＋１→３２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n＝３２．４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍx →３（２x －１）＝５； （２）ｌｉｍx →２＋x －２＝０；（３）ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４；（４）ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．证　（１）对任意给定的ε＞０，要使（２x －１）－５＝２x －３＜ε只需取δ＝ε２＞０，则当０＜x －３＜δ时，恒有（２x －１）－５＝２x －３＜２δ＝ε因此ｌｉｍx →３（２x －１）＝５．（２）对任意给定的ε＞０，要使x －２－０＝x －２＜ε只零取δ＝ε２＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x －２－０＝x －２＜δ＝ε所以ｌｉｍx →２＋x －２＝０．（３）对任意给定的ε＞０，要使（x ≠２）x ２－４x －２－４＝（x ＋２）－４＝x －２＜ε只需取δ＝ε＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x ２－４x －２－４＝x －２＜δ＝ε因此ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４．（４）对任意给定的ε＞０，要使（１－１－x ）－１＝１－x ＜ε只需０＜１－x ＜ε２取δ＝ε２＞０，则当０＜１－x ＜δ时，恒有（１－１－x ）－１＝１－x ＜δ＝ε因此ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．５．讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？若存在，求其极限值：（１）f （x ）＝１－１－x ，x ＜１，在x ＝１处；x －１，x ＞０（２）f （x ）＝２x ＋１，x ≤１，x ２－x ＋３，１＜x ≤２，x ３－１，２＜x ，在x ＝１与x ＝２处．解　（１）因为f （１－０）＝ｌｉｍx →１－f （x ）＝ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋f （x ）＝ｌｉｍx →１＋（x －１）＝０这表明f （１－０）≠f （１＋０）．因此，ｌｉｍx →１f （x ）不存在．（２）在x ＝１处，有f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（２x ＋１）＝３．f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２－x ＋３）＝３．因f （１－０）＝f （１＋０）＝３，所以，ｌｉｍx →１f （x ）＝３（存在）；在x ＝２处，有f （２－０）＝ｌｉｍx →２－（x ２－x ＋３）＝５f （２＋０）＝ｌｉｍx →２＋（x ３－１）＝７因f（２－０）≠f（２＋０），所以ｌｉｍx→２f（x）不存在．６．观察判定下列变量当x→？时，为无穷小：（１）f（x）＝x－２x２＋２； （２）f（x）＝ｌｎ（１＋x）；（３）f（x）＝ｅ１－x；（４）f（x）＝１ｌｎ（４－x）．解　（１）因为当x→２或x→∞时，x－２x２＋２→０因此，x→２或x→∞时，x－２x２＋２为无穷小．（２）因为当x→０时，ｌｎ（１＋x）→０因此，x→０时，ｌｎ（１＋x）为无穷小．（３）因为当x→＋∞时，ｅ１－x＝ｅｅx→０，因此，x→＋∞时，ｅ１－x为无穷小．（４）因为当x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）→０因此，x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）为无穷小．７．观察判定下列变量当x→？时，为无穷大：（１）f（x）＝x２＋１x２－４； （２）f（x）＝ｌｎ１－x；（３）f（x）＝ｅ－１／x；（４）f（x）＝１x－５．解　（１）因为当x→±２时，x２－４x２＋１→０因此当x→±２时，x２＋１x２－４→∞所以，x→±２时，x２＋１x２－４为无穷大．（２）因为当x→１时，１－x→０＋当x→∞时，－x→＋∞因此当x→１时，ｌｎ１－x→－∞当x→∞时，ｌｎ１－x→＋∞所以，x→１或x→∞时，ｌｎ１－x为无穷大．（３）因为ｌｉｍn→０－－１x＝＋∞所以ｌｉｍx→０－ｅ－１／x＝＋∞由此可知，x→０－时，ｅ－１／x为无穷大．（４）因为ｌｉｍx→５＋x－５＝０所以ｌｉｍx→５＋１x－５＝＋∞由此可知，x→５＋时，１x－５为无穷大．８．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx→３（３x３－２x２－x＋２）； （２）ｌｉｍx→０５＋４２－x；（３）ｌｉｍx→１６x－５x＋４x－１６；（４）ｌｉｍx→０（x＋a）２－a２x（a为常数）；（５）ｌｉｍx→０x２＋a２－ax２＋b２－b（a，b为正的常数）；（６）ｌｉｍx→１x＋x２＋…＋x n－nx－１（提示：x＋x２＋…＋x n－n＝（x－１）＋（x２－１）＋…＋（x n－１））解　（１）由极限的线性性质，得原式＝３ｌｉｍx→３x３－２ｌｉｍx→３x２－ｌｉｍx→３x＋２＝３x３３－２×３２－３＋２＝６２（２）因为ｌｉｍx→０（２－x）＝２≠０，所以原式＝５＋ｌｉｍx →０４２－x ＝５＋４ｌｉｍx →０（２－x ）＝５＋４２＝７．（３）因为x －５x ＋４＝（x －４）（x －１），x －１６＝（x －４）（x ＋４）．所以原式＝ｌｉｍx →１６（x －４）（x －１）（x －４）（x ＋４）＝ｌｉｍx →１６x －１x ＋４＝３８．（４）因为（x ＋a ）２－a ２＝x （x ＋２a ），所以原式＝ｌｉｍx →０x （x ＋２a ）x＝ｌｉｍx →０（x ＋２a ）＝２a ．（５）原式＝ｌｉｍx →０（x ２＋a ２－a ）（x ２＋a ２＋a ）（x ２＋a ２＋b ）（x ２＋b ２－b ）（x ２＋b ２＋b ）（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２（x ２＋b ２＋b ）x ２（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２＋b ２＋bx ２＋a ２＋a＝b a（６）因为 x ＋x ２＋…＋x n－n ＝（x －１）＋（x ２－１）＋…＋（x n－１）＝（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →１（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］x －１＝ｌｉｍx →１［１＋（x ＋１）＋…＋（x n －１＋xn －２＋…＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）．９．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx →∞［x ２＋１－x ２－１］； （２）ｌｉｍx →∞（x －１）１０（３x －１）１０（x ＋１）２０；（３）ｌｉｍx →＋∞５x ３＋３x ２＋４x ６＋１；（４）ｌｉｍx →∞（x ＋３１－x ３）；（５）ｌｉｍx →＋∞x （３x －９x ２－６）；（６）ｌｉｍx →＋∞（a x＋９）－a x＋４（a ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →∞２x ２＋１＋x ２－１＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１－１x１０３－１x １０１＋１x２０＝３１０（３）原式＝ｌｉｍx →＋∞５＋（３／x ）＋（４／x ３）１＋（１／x ３）＝５．（４）因为（x ＋３１－x ３）［x ２－x３１－x ３＋（３１－x ３）２］＝x ３－（３１－x ３）３＝１所以原式＝ｌｉｍx→∞１x ２－x ３１－x ３＋（３１－x ３）２＝０．（５）因为x （３x －９x ２－６）＝x （３x －９x ２－６）（３x ＋９x ２－６）３x ＋９x ２－６＝x ［９x ２－（９x ２－６）］３x ＋９x ２－６＝６x３x ＋９x ２－６所以原式＝ｌｉｍx →＋∞６x３x ＋９x ２－６＝ｌｉｍx →＋∞６３＋９－（６／x ２）＝１（６）原式＝ｌｉｍx →＋∞５a x＋９＋a x＋４＝１，０＜a ＜１１０－５，a ＝１０，a ＞１．１０．求下列各题中的常数a 和b ：（１）已知ｌｉｍx →３x －３x ２＋ax ＋b＝１；（２）已知ｌｉｍx →＋∞（x ２＋x ＋１－ax －b ）＝k （已知常数）．解　（１）由于分子的极限ｌｉｍx →３（x －３）＝０，所以分母的极限也应为０（否则原式＝０≠１），即有ｌｉｍx →３（x ２＋ax ＋b ）＝９＋３a ＋b ＝０另一方面，因分子＝x －３，故分母x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －c ），于是原式＝ｌｉｍx →３x －３（x －３）（x －c ）＝ｌｉｍx →３１x －c ＝１３－c＝１由此得c ＝２．于是得x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －２）＝x ２－５x ＋６由此得a ＝－５，b ＝６（２）原式可变形为原式＝ｌｉｍx →＋∞［x ２＋x ＋１－（ax ＋b ）］［x ２＋x ＋１＋（ax ＋b ）］x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞（１－a ２）x ２＋（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b显然应有１－a ２＝０，即有a ＝±１．于是原式＝ｌｉｍx →＋∞（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞１－２ab ＋（１－b ２）／x１＋（１／x ）＋（１／x ２）＋a ＋（b ／x ）＝１－２ab１＋a＝k （a ≠－１）由上式可知，a ≠－１，于是a ＝１，从而有１－２b２＝k 痴b ＝１２－k ．１１．已知f （x ）＝２＋x１＋x（１－x ）／（１－x ）（１）ｌｉｍx →０f （x ）； （２）ｌｉｍx →１f （x ）； （３）ｌｉｍx →∞f （x ）．解　令g （x ）＝２＋x １＋x ，h （x ）＝１－x１－x．（１）因为ｌｉｍx →０g （x ）＝２，ｌｉｍx →０h （x ）＝１所以ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０g （x ）h （x ）＝２１＝２．（２）因为 ｌｉｍx →１g （x ）＝３２＞０ｌｉｍx →１h （x ）＝ｌｉｍx →１（１－x ）（１＋x ）（１－x ）（１＋x ）＝ｌｉｍx →１１１＋x ＝１２所以ｌｉｍx →１f （x ）＝ｌｉｍx →１g （x ）h （x ）＝３２１２（３）因为ｌｉｍx →∞g （x ）＝ｌｉｍx →∞１＋（２／x ）１＋（１／x ）＝１＞０ｌｉｍx →∞h （x ）＝ｌｉｍx→∞（１／x ）－（１－x ）（１／x ）－１＝０所以ｌｉｍx →∞f （x ）＝ｌｉｍx→∞g （x ）h （x ）＝１０＝１．１２．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x ｓｉｎ２x ； （２）ｌｉｍx →０ｔａｎ５xｓｉｎ２x ；（３）ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ａｒｃｓｉｎ２x；（４）ｌｉｍx →∞x ｓｉｎ１x；（５）ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）x２；（６）ｌｉｍx →０ｔａｎ３x －ｓｉｎ２xx；（７）ｌｉｍx →０１－ｃｏｓxx ｓｉｎx；（８）ｌｉｍx →０ax －ｓｉｎbxｔａｎkx（a ，b ，k ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x３x·２x ｓｉｎ２x ·３２＝３２．（２）原式＝ｌｉｍx →０ｔａｎ５x ５x ·２x ｓｉｎ２x ·５２＝５２．（３）原式＝ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ４x ·２x ａｒｃｓｉｎ２x ·４２＝２．（４）令u ＝１x，则x →∞时u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０ｓｉｎu u＝１．（５）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）（２x ）２·４＝４ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x ２x ２＝４．（６）原式＝３ｌｉｍx →０ｔａｎ３x ３x －２ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x２x ＝３－２＝１（７）因为１－ｃｏｓx ～１２x ２（x →０），所以原式＝１２ｌｉｍx →０x ２x ｓｉｎx ＝１２ｌｉｍx →０x ｓｉｎx ＝１２（８）原式＝ｌｉｍx →０a k ·kx ｔａｎkx －b k ·ｓｉｎbx bx ·kxｔａｎkx＝a k －b k ＝a －bk．１３．求下列极限：（１）ｌｉｍx →∞１－１xx； （２）ｌｉｍx →∞１＋５xx；（３）ｌｉｍx →０（１－ｓｉｎx ）１／x；（４）ｌｉｍx →０（１＋３x ）１／x；（５）ｌｉｍx →０１－x２２／x；（６）ｌｉｍx →∞x －２x ＋２x．解（１）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１－x－x－１＝１ｅ．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１x ／５x ／５５＝ｅ５．（３）令u ＝ｓｉｎx ，则x →０时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u u ／ａｒｃｓｉｎ（－u ）＝ｅ－１．（４）原式＝ｌｉｍx →０［（１＋３x ）１／（３x ）］３＝ｅ３（５）原式＝ｌｉｍx →０１－x ２－２／x－１＝ｅ－１（６）原式＝ｌｉｍx →∞１－４x ＋２x＝ｌｉｍx→∞１－４x ＋２－（x ＋２）／４－４x ／（x ＋２）＝ｅ－４另解，令u ＝－x ＋２４，则x ＝－４u －２，且u →∞（x →∞时），于是原式＝ｌｉｍu →∞１＋１u－４u －２＝ｌｉｍu →∞１＋１uu －４·ｌｉｍu →∞１＋１u－２＝ｅ－４．１４．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０（ｃｏｓx ）１／（１－ｃｏｓx ）； （２）ｌｉｍx →０（ｓｅｃ２x ）ｃｏｔ２x；（３）ｌｉｍx →π／２（１＋ｃｏｓx ）５ｓｅｃx；（４）ｌｉｍx →０ｓｉｎx －ｔａｎxｓｉｎx３；（５）ｌｉｍx →０（ｓｉｎx ３）ｔａｎx１－ｃｏｓx ２；（６）ｌｉｍx →π／６１－２ｓｉｎxｓｉｎ（x －π／６）；（７）ｌｉｍx →π／４（ｔａｎ２x ）ｔａｎπ４－x ．解（１）令u ＝１－ｃｏｓx ，则ｃｏｓx ＝１－u ，且u →０（x →０时），因此原式＝ｌｉｍu →０（１－u ）１／u＝ｅ－１．（２）令u ＝ｃｏｔ２x ，则ｓｅｃ２x ＝１＋１ｃｏｔ２x＝１＋１u ，且x →０时，u →＋∞．因此原式＝ｌｉｍu →＋∞１＋１uu＝ｅ（３）令u ＝ｃｏｓx ，则ｓｅｃx ＝１u ，且x →π２时，u →０．因此原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）５／u＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u ５＝ｅ５．（４）因为x →０时，ｓｉｎx ～x ，ｓｉｎx ３～x ３，ｃｏｓx －１～－x２２所以 原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎx （ｃｏｓx －１）ｃｏｓx ·ｓｉｎx３＝ｌｉｍx →０x ·（－x ２／２）x ３ｃｏｓx＝－１２ｌｉｍx →０１ｃｏｓx ＝－１２．（５）因为x →０时，ｓｉｎx ３～x ３，ｔａｎx ～x ，１－ｃｏｓx ２～１２（x ２）２，所以原式＝ｌｉｍx →０x ３·xx ４／２＝２（６）令u ＝x －π６，则x →π６时，u →０，且有ｓｉｎx ＝ｓｉｎu ＋π６＝１２（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）于是有 原式＝ｌｉｍu →０１－（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）ｓｉｎu＝ｌｉｍu →０１－ｃｏｓu ｓｉｎu －３＝ｌｉｍu →０u ２／２ｓｉｎu－３＝－３．（７）因为ｔａｎ２x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x ＝ｓｉｎ２xｃｏｓ２x －ｓｉｎ２xｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎπ４－x ｃｏｓπ４－x ＝ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx所以ｔａｎ２x ｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x －ｓｉｎ２x ·ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ＝ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２从而原式＝ｌｉｍx →π／４ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２＝１２２＋２２２＝１２．１５．讨论下列函数的连续性：（１）f （x ）＝x１－１－x ，x ＜０，x ＋２，x ≥０；（２）f （x ）＝ｅ１／x，x ＜０，０，x ＝０，１xｌｎ（１＋x ２），x ＞０．解　（１）由题设知f （０）＝２，且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x １－１－x＝ｌｉｍx →０－x （１＋１－x ）x ＝２f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋（x ＋２）＝２可见ｌｉｍx →０f （x ）＝２＝f （０）．所以，该函数在x ＝０处连续．另一方面，x１－１－x 在（－∞，０）内为初等函数，连续；x ＋２在（０，＋∞）内为线性函数，连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．（２）因f （０）＝０，且 f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｅ１／x＝０， f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋１xｌｎ（１＋x ２）＝ｌｉｍx →０＋x ｌｎ（１＋x ２）１／x ２＝０·１＝０所以　ｌｉｍx →０f （x ）＝０＝f （０）．因此，该函数在x ＝０处连续．另一方面，ｅ１／x在（－∞，０）内连续，１xｌｎ（１＋x ２）在（０，＋∞）内连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．１６．指出下列函数的间断点及其类型；如为可去间断点，将相应函数修改为连续函数；作出（１）、（２）、（３）的图形：（１）f （x ）＝１－x２１＋x ，x ≠－１，０，x ＝－１；（２）f （x ）＝x ２，x ≤０，ｌｎx ，x ＞０；（３）f （x ）＝x x ； （４）f （x ）＝x ｓｉｎ１x．解　（１）由题设知f （－１）＝０，而ｌｉｍx →－１f （x ）＝ｌｉｍx →－１１－x ２１＋x ＝ｌｉｍx →－１（１－x ）＝２≠f （０）所以，x ＝－１为该函数的可去间断点．令f （－１）＝２，则f ～（x ）＝１－x ２１＋x ，x ≠－１２，x ＝－１＝１－x在（－∞，＋∞）内连续．f （x ）的图形如图２．１所示．图２．１图２．２（２）由题设有f （０）＝０，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x ２＝０，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋ｌｎx ＝－∞所以，x ＝０为该函数的无穷间断点．f （x ）的图形如图２．２所示．（３）该函数在x ＝０处无定义，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－xx ＝ｌｉｍx →０－x－x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x x＝ｌｉｍx →０＋x x＝１．图２．３因为左、右极限均存在但不相等，所以，x ＝０为该函数的跳跃间断点．f （x ）的图形如图２．３所示．（４）该函数在x ＝０处无定义．因ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０x ｓｉｎ１x＝０，故x ＝０为该函数的可去间断点．若令f （０）＝０，则函数f ～（x ）＝x ｓｉｎ１x，x ≠００，x ＝０在（－∞，＋∞）内连续．１７．确定下列函数的定义域，并求常数a ，b ，使函数在定义域内连续：（１）f （x ）＝１x ｓｉｎx ，x ＜０，a ，x ＝０，x ｓｉｎ１x＋b ，x ＞０；（２）f （x ）＝ax ＋１，x ≤１，x ２＋x ＋b ，x＞１；（３）f （x ）＝１－x ２，－４５＜x ＜３５，a ＋bx ，其他．解　（１）D f ＝（－∞，＋∞）．因f （x ）在D f 的子区间（－∞，０）与（０，＋∞）内均为初等函数．因此，f （x ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）内连续．现讨论f （x ）在分界点x ＝０处的连续性．已知f （０）＝a ，而且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｓｉｎxx ＝１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x ｓｉｎ１x＋b ＝b 当f （０－０）＝f （０＋０）＝f （０）时，即当a ＝b ＝１时，f （x ）在x ＝０处连续．综上所述，当a ＝b ＝１时，该函数在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（２）D f ＝（－∞，＋∞）．因为f （－１）＝１－a ，且f （－１－０）＝ｌｉｍx →（－１）－（x ２＋x ＋b ）＝bf （－１＋０）＝ｌｉｍx →（－１）＋（ax ＋１）＝１－a 所以，当a ＋b ＝１时，f （x ）在x ＝－１处连续．又因f （１）＝１＋a ，且f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（ax ＋１）＝a ＋１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２＋x ＋b ）＝２＋b所以，当a ＋１＝２＋b ，即a －b ＝１时，f （x ）在x ＝１处连续．综上所述，当a ＋b ＝１且a －b ＝１，即a ＝１，b ＝０时，f （x ）在x ＝－１和x ＝１处连续，从而f （x ）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（３）D f ＝（－∞，＋∞）．因f －４５＝a －４５b ，且f －４５－０＝ｌｉｍx →－４５－（ax ＋b ）＝a －４５b f －４５＋０＝ｌｉｍx →－４５＋１－x ２＝３５所以，当a －４５b ＝３５，即５a －４b ＝３时，f （x ）在点x ＝－４５处连续．又因f３５＝a ＋３５b ，且f３５－０＝ｌｉｍx →３５－１－x ２＝４５f３５＋０＝ｌｉｍx →３５＋（a ＋bx ）＝a ＋３５b 所以，当a ＋３５b ＝４５，即５a ＋３b ＝４时，f （x ）在点x ＝３５处连续．综上所述，当５a －４b ＝３且５a ＋３b ＝４，即a ＝５７，b ＝１７时，f（x）在x＝－４５与x＝３５处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（B）１．填空题：（１）ｌｉｍn→∞１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２＝ ；（２）ｌｉｍx→０ｌｎ（x＋a）－ｌｎax（a＞０）＝ ；（３）ｌｉｍx→a＋x－a＋x－ax２－a２（a＞０）＝ ；（４）若ｌｉｍx→＋∞xx n＋１－（x－１）n＋１＝k≠０，n为正整数，则n＝ ，k＝ ；（５）x→０时，１＋x－１－x是x的 无穷小；（６）设f（x）＝ｓｉｎx·ｓｉｎ１x，则x＝０是f（x）的 间断点；（７）设f（x）＝x x，则x＝０是f（x）的 间断点；（８）函数f（x）＝１x２－５x＋６的连续区间是 ．答　（１）０； （２）１a； （３）１２a；（４）２００８，１２００８； （５）等价；（６）可去； （７）跳跃； （８）（－∞，２）∪（３，＋∞）．解　（１）因为１４n≤１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２≤１n且ｌｉｍn→∞１４n＝０，ｌｉｍn→∞１n＝０．所以，由夹逼定理可知，原式＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a１／x＝１aｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a a／x＝１aｌｎｌｉｍx→０１＋x a a／x＝１aｌｎｅ＝１a．（３）因为x－a＋x－ax２－a２＝x－ax＋a（x＋a）＋１x＋a且ｌｉｍx→a＋x－ax＋a（x＋a）＝０，ｌｉｍx→a＋１x＋a＝１２a所以，原式＝１２a．（４）因为x n＋１－（x－１）n＋１＝［x－（x－１）］［x n＋x n－１（x－１）＋…＋x（x－１）n－１＋（x－１）n］＝x n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n所以，由题设有原式＝ｌｉｍx→＋∞x２００８－n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n＝k≠０显然，要上式成立，应有２００８－n＝０，即n＝２００８．从而原式＝ｌｉｍx→＋∞１１＋１－１x＋…＋１－１x n－１１－１x n＝１n＝k所以，k＝１n＝１２００８．（５）因为ｌｉｍx→０１＋x－１－xx＝ｌｉｍx→０２１＋x＋１－x＝１所以，x→０时，１＋x－１－x是x的等价无穷小．（６）因为ｌｉｍx→０ｓｉｎx·ｓｉｎ１x＝ｌｉｍx→０ｓｉｎx x·ｌｉｍx→０xｓｉｎ１x＝１×０＝０．所以，x＝０是f（x）的可去间断点（令f（０）＝０，即可）．（７）因为f （０－０）＝ｌｉｍx →０－－x x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋xx＝１左、右极限存在，但不相等，故x ＝０为跳跃间断点．（８）该函数有定义的条件是x ２－５x ＋６＝（x －２）（x －３）＞０由此得x ＜２或x ＞３．因此，该函数的连续区间为（－∞，２）或（３，＋∞）．２．单项选择题：（１）函数f （x ）在点x ０处有定义，是极限ｌｉｍx →x ０f （x ）存在的 ．（Ａ）必要条件； （Ｂ）充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）无关条件．（２）下列“结论”中，正确的是 ．（Ａ）无界变量一定是无穷大；（Ｂ）无界变量与无穷大的乘积是无穷大；（Ｃ）两个无穷大的和仍是无穷大；（Ｄ）两个无穷大的乘积仍是无穷大．（３）设函数f （x ）＝１，x ≠１，０，x ＝１，则ｌｉｍx →１f （x ）＝ ．（Ａ）０； （Ｂ）１； （Ｃ）不存在； （Ｄ）∞．（４）若ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋bx ２－３x ＋２＝－１，则 ．（Ａ）a ＝－５，b ＝６； （Ｂ）a ＝－５，b ＝－６；（Ｃ）a ＝５，b ＝６；（Ｄ）a ＝５，b ＝－６．（５）设f （x ）＝１－x １＋x，g （x ）＝１－３x ，则当x →１时， ．（Ａ）f （x ）与g （x ）为等价无穷小；（Ｂ）f （x ）是比g （x ）高阶的无穷小；（Ｃ）f （x ）是比g （x ）低阶的无穷小；（Ｄ）f （x ）与g （x ）为同阶但不等价的无穷小．（６）下列函数中，在定义域内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝ｃｏｓx ，x ≤０，ｓｉｎx ，x ＞０； （Ｂ）f （x ）＝１x，x ＞０，x ，x ≤０；（Ｃ）f （x ）＝x ＋１，x ≤０，x －１，x ＞０；（Ｄ）f （x ）＝１－ｅ－１／x ２，x ≠０，１，x ＝０．（７）下列函数在区间（－∞，１）∪［３，＋∞］内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝x ２＋２x －３； （Ｂ）f （x ）＝x ２－２x －３；（Ｃ）f （x ）＝x ２－４x ＋３；（Ｄ）f （x ）＝x ２＋４x ＋３．（８）若f （x ）在区间 上连续，则f （x ）在该区间上一定取得最大、最小值．（Ａ）（a ，b ）； （Ｂ）［a ，b ］； （Ｃ）［a ，b ）； （Ｄ）（a ，b ］．答　（１）Ｄ；　（２）Ｄ；　（３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ；　（６）Ｄ；　（７）Ｃ；　（８）Ｂ．解　（１）ｌｉｍx →x ０f （x ）是否存在与f （x ）在点x ０是否有定义无关，故应选（Ｄ）．（２）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都不正确．例如n →∞时n ｓｉｎn 是无界变量，而不是无穷大；n →∞时，n ｓｉｎn 是无界变量，n 是无穷大，而n ·n ｓｉｎn ＝n ２ｓｉｎn 是无界变量，不是无穷大；n →∞时，n 与－n 都是无穷大，但n ＋（－n ）＝０是一常量，不是无穷大．（Ｄ）正确．例如，设ｌｉｍu →∞u ０＝∞，　ｌｉｍu →∞v n ＝∞则对任意给定的M ＞０，存在正整数N １，N ２，使当n ＝N １，n ＞N ２时，恒有u n＞M ，v n ＞M取N ＝ｍａｘ｛N １，N ２｝，则当n ＞N 时，恒有u n v n＝u n ·v n＞M ·M ＝M２这表明ｌｉｍn →∞u n v n ＝∞．（３）易知f （１－０）＝f （１＋０）＝１，从而ｌｉｍx →１f （x ）＝１，故应选（Ｂ）．（４）因为ｌｉｍx →２（x ２－３x ＋２）＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －１）＝０，因此，分子的极限也应为０，即应有x ２＋ax ＋b ＝（x －２）（x －c ）＝x ２－（２＋c ）x ＋２c由此得a ＝－（２＋c ），b ＝２c于是，由题设有ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋b x ２－３x ＋２＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －c ）（x －２）（x －１）＝ｌｉｍx →２x －cx －１＝２－c ＝－１由此得c ＝３，从而得a ＝－５，b ＝６．故应选（Ａ）．（５）因为。

目录第一章集合与函数概念1．1 集合 (1)课时1 集合的含义与表示 (1)课时2 集合间的基本关系 (3)课时3 集合的基本运算 (5)课时4 集合习题课 (7)1．2 函数及其表示 (9)课时5 函数的概念 (9)课时6 函数的定义域 (11)课时7 函数的值域 (13)课时8 函数的表示法 (15)1．3 函数的基本性质 (17)课时9 单调性与最大（小）值(1) (17)课时10 单调性与最大（小）值(2) (19)课时11 奇偶性(1) (21)课时12 奇偶性(2) (23)课时13 单调性与奇偶性 (25)第二章基本初等函数(I)2．1 指数函数 (27)课时1 指数与指数幂的运算 (27)课时2 指数函数及其性质(1) (29)课时3 指数函数及其性质(2) (31)2．2 对数函数 (33)课时4 对数与对数运算 (33)课时5 对数函数及其性质(1) (35)课时6 对数函数及其性质(2) (37)2．3 幂函数 (39)课时7 幂函数 (39)第三章函数的应用3．1 函数与方程 (41)课时1 方程的根与函数的零点 (41)课时2 用二分法求方程的近似解 (43)3．2 函数模型及其应用 (45)课时3 几类不同增长的函数模型 (45)课时4 函数模型的应用实例 (47)附：第一章检测卷第二章检测卷第三章检测卷模块测试卷(I)模块测试卷( II )参考答案与点拨第一章 集合与函数概念1．1 集合课时1 集合的含义与表示【例】若以集合{a ，b ，c ，d}中的四元素为边长构成一个四边形，那么这个四边形可能是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形思路突破 对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．1．下列所指对象能构成集合的是 ( )A ．与0接近的数B ．我班喜欢唱歌的同学C ．我校参加奥林匹克竞赛的同学D ．我班的高个子学生2．给出下列关系：①12∈N Q ；③3-∉N*；④3-∈Q ，其中正确的个数为 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D．4个3．直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为 ( )A．{(x，y)|x=0，y≠0或x≠0，y=0}B．{(x，y)|x=0且y=0}C．{(x，y)|xy=0}D．{(x，y)|x，y不同时为0}4．下列集合中表示同一集合的是 ( )A．M={(3，2)} N={(2，3)}B．M={1，2} N={(1，2)}C．M={(x，y)|x+y=1} N={y|x+y=1}D．M={3，2} N={2，3}5．由实数x，-x，|x| ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．若集合A={1，x，x2-x}，则实数x的集合为____．∈N，x∈Z}，正确的是 ( )7．用列举法表示集合A={x|125xA．{1，2，3，4}B．{0，1，2，3，4}C ．{-1，0，1，2，3，4}D ．{-7，-1，1，2，3，4}8．集合A ＝{1，3，5，7，…}用描述法可表示为 ( )A ．{x|x=n ，n ∈N +}B ．{x|x=2n-1，x ∈N +}C ．{x|x=2n+1，n ∈N +}D ．{x|x=n+2，n ∈N}9．设x 、y 是非零实数，试用列举法表示集合|||||||x y xy a a x y xy ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭为____．10．（教材变式题）用适当的方法表示下列集合．(1)被3除余1的数的集合； (2)小于18的质数的集合；(3)方程2x 2-3x-2=0的解集； (4)方程组11x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集11．集合{x|x>3}与集合{t|t>3}是否表示同一集合？12．已知集合A={a-2，2a 2+5a ，12}，且-3∈A ，求a ．13．若集合M={x|mx2+x+1=0}只有一个元素，求实数m的取值范围．14．已知三元素集合A={x，xy，x-y}，B={0，|x|，y}，且A=B．求x与y的值∈A．15．由实数构成的集合A满足条件：①1∉A；②若a∈A，则11a-(1)若2∈A，试求集合A；(2)若x∈A，试求集合A；(3)试讨论该集合能否是单元素集合．课时2 集合间的基本关系【例】已知集合A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax-1=0}，若B⊂A．试求a的值．思路突破首先将集合A、B具体化，对集合B具体化时，要注意对参数a进行讨论，然后由B⊂A，求a 的值．1．用适当的符号填空．(l)a____{a ，b ，c}; (2)0____{x|x 2=0}(3)∅____{x|x 2+1=0}; (4){x|x 是正方形}____{x|x 是菱形}；(5){0}____{x|x 2=x}; (6){2，1}____{x|x 2-3x+2=0}．2．下列结论：①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④如果M ⊆N ．则不属于集合M 的元素必不属于集合N其中，正确的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．若集合A={正方形}，B={菱形}，C={矩形}，D={平行四边形}，则下列关系中正确的是 ( )A ．A ⊂B ⊂D B ．A ⊂B ⊂CC ．B ⊂C ⊂D D ． A ⊂C ⊂B4．（高考改编题）已知{1，2}⊆A ⊂{1，2，3，4}，则满足条件的A 的个数是 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．集合|,,|,2442k k M x x k Z N x x k Z ππππ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,则M 、N 关系是 ( ) A ．M=N B ．M ⊃N C ．M ⊂N D ．M ⋂N=∅6．（高考变式题）设x 、y ∈R ，集合A={(x ，y)|y=x}，集合(,)|1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则集合A ．B 关系是 ( )A ．A ⊂B B ．A ⊃BC ．A=BD ．A ⊆B7．(新颖题)定义集合A*B={x|x ∈A 且x ∉B}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则A*B 的子集个数为 ( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．（2006·上海理）已知A={-1，3，m}，集合B={3，4}，若B ⊆A ．则实数m 的取值为____．9．已知集合A={x|-1<x<3}，B={x|x>a}且A ⊂B ，则实数a 的范围为____．10．已知集合P={x|x 2=1}，Q={x|ax=1}，Q ⊆P ，求实数a 的集合____．11．设集合A={1，3，a}，B={1，a 2-a+1}，且A ⊇B ，求a 的值．12．设集合A={x|x 2+4x=0}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0，a ∈R}，且B ⊆A ，求实数a 的值．13．集合A={x|2a+1≤x ≤3a-5}，B={x|3≤x ≤22}，且A ⊆B ，求所有实数a 组成的集合．课时3 集合的基本运算【例】已知集合A={a 2，a+1，-3}，B={a-3，2a-1，a 2+1}，若A ⋂B={-3}，求实数a 的值．思路突破 由A ⋂B={-3}知-3∈B ．由此展开讨论，求出a 后要注意检验是否符合题意．1．已知集合M 、P 满足M ⋃P=M ，则一定有 ( )A ．M=PB ．M ⊃PC ．M ⋂P=PD ．M ⊆P2．已知集合A={x| x 2-x-2=0}，集合B={x|-1<x ≤2}，则集合A ⋂B 等于 ( ) A ．{x|-1≤x ≤2} B ．{-1} C ．{2} D ．{-1，2}3．(2008．安徽文)若A 为全体正实数的集合，B={-2，-1，1，2}，则下列结论中正确的是 ( )A ．A ⋂B={-2，-1}B ．(RC A)⋃B=(-∞，0)C ．A ⋃B=(0，+∞)D ．(R C A)⋂B={-2，-1}4．满足{1，3}⋃A={1，3，5}的集台A 的个数是 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=-x 2+1，x ∈R}，则M ⋂N= ( ) A ．{0，1} B ．{(0，1)} C ．{1} D ．R6．(2007．江苏)已知全集U=Z ，A={-1，0，1，2}，B={x|x 2=x}则A ⋂U C B= ( ) A ．{-1，2} B ．{-1，0} C ．{0，1} D ．{1，2}7．已知集合A ＝{1，2，3，x}，B={3，x 2}，且A ⋃B={1，2，3，x}，则x=____．8．设A 、B 是全集U 的两个子集且A ⊆B ，则集合U C A 与U C B 的关系是____．9．在下列各图形中，分别用集合表示相应的阴影部分．(1)____ (2)____ (3)____ (4)____10．设M={1，2，m 2-3m-1}，P={-1，3}，且M ⋂P={3}，求实数m11．设全集U={2，4，a 2-a+1}，A={a+1，2}，U C A={7}，求实数a 的值．12．(变式题)已知U=R ，A={x|x 2+px+12=0}，B={x|x 2-5x+q=0}，若(U C A)⋂B={2}，(U C B)⋂A={4}，求A ⋃B ．13．已知A={x|a ≤x ≤a+3}．B={x|x>1或x<-6}(1)若A ⋂B=∅，求实数a 的取值范围；(2)若A ⋃B=B ，求实数a 的取值范围．14．某班共有学生50名，其中参加数学课外小组的学生有22人，参加物理课外小组的学生有18人，同时参加数学、物理两个课外小组的有13人，问：(1)数学和物理两个小组至少参加一个的学生有多少人？(2)数学和物理两个课外小组都不参加的学生有多少人？课时4 集合习题课1．下列各式中正确的是 ( )A ．0=∅B ．∅⊂{0}C ．∅={0}D ．0∈∅2．设A 、B 是非空集合，存在元素a ∈A ，且a ∉B ，则 ( )A ．B ⊂A B ．A ⋂B ⊂BC ．A ⋂B ⊂AD ．A ⊂B3．已知集合M={(x ，y)|x+y<0，xy>0}和P ＝{(x ，y)|x<0，y<0}，那么 ( )A ．P ⊂MB ．M ⊂PC ．M=PD ．M ⊄P4．集台A={x|x=3k-2}，B={x|x=3k+1}，C={x|x=6k+1}，以上k ∈Z ，则 ( )A ．∅⊆C ⊂B ⊂A B ．C=B ⊂AC ．C ⊂B=AD ．C ⊃B=A5．(2008·山东理）满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ⋂{ a 1，a 2，a 3}= { a 1，a 2}的集合M 的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．方程组326x y x y -=-⎧⎨+=⎩的解集的正确表示方法为 ( )A ．{1，4}B ．{4，1}C ．{(1，4)}D ．{x=1，y ＝4}7．(2007·全国I 理)设a ，b ∈R ，集合{1，a+b ，a}=0bb a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，则b-a= ( )A ．1B ．-1C ．2D ．-28．已知M={x|y=x 2-1}，N={y|y=x 2-1}，那么M ⋂N= ( )A ．∅B ．MC ．ND ．R9．设集合M={x|-1≤x<2}，N={x|x-k≤0}，若M⋂N≠∅，则k的取值范围是 ( )A．(-∞，2] B．[-1，+∞)C．(-1，+∞) D．[-1，2]10．(2008·天津理)设集合S={x||x-2|>3}，T={x|a<x<a+8)，S⋃T=R，a的取值范围是 ( )A．-3<a<-1 B．-3≤a≤-1C．a≤-3或a≥-1 D．a<-3或a>-111．设A={x|-2≤x≤4），B={x|x<a}，且A⋂B≠∅，则a的取值范围是____．12．设A={x|x2-8x+15=0}．B={x|ax-1=0}，若A⋂B=B，则实数a组成的集合为____．13．已知方程x2-px+15=0与方程x2-5x+q=0的解集分别为A与B且A⋂B={3}，则p+q的值为____．14．集合A={x|x2-3x+2=0}，集合B={x|x2-mx+2=0}，A⋃B=A，求实数m．1．2 函数及其表示课时5 函数的概念【例】判断下列对应关系是否为函数关系．(1)x→y=|x|，x∈R，y∈R;(2)x→y=1x，x∈{-1，0，2}，y∈110,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，；(3)x→y为x的平方根，x∈(0，+∞)，y∈R．思路突破欲判断一个对应A→B是否为函数，必须抓住函数概念的实质，即A中元素的任意性，B中元素的唯一性．1．函数符号y=f(x)表示A．y等于f与x的乘积 B．f（x）一定是一个式子C．y是x的函数 D．对于不同的x，y也不同2．下列说法中正确的有①y=f(x)与y=f(t)表示同一个函数；②y=f(x)与y=f(x+1)不可能是同一函数；③f(x)=1与g(x)=x0是同一函数;④定义域和值域都相同的两函数是同一个函数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．下列图象中不能作为函数y=f(x)的图象的是( )4．下列各组函数中，表示同一函数的序号是____．①f （x ）=|x|，②f （x ）g （x ）2；③f （x ）=211x x --，g(x)=x+1；④5．已知A=N ，B={b|b=2a-1．a ∈N}，f （x ）是集合A 到B 的函数，则f(9)的值为____；若f （m ）=9，则m 的值为____．6．已知集合P={x|0≤x ≤4}，Q={y|0≤y ≤2}，下列对应能表示从P 到Q 的函数的是____．（请用题号表示）①f:x →y=12x ；②f:x →y=13x ；③f:x →y=23x ；④f:x →7．(创新题)如图1-5-1是一个数值转换机，若输入a ____；若输入实数x输出的结果为f(x)，则，f(x)=____．8．(1)已知函数f(x)=2x-1，g(x)=131x +，则f(g(0))=____，g(f(0))=____； (2)已知，f(x)与g(x)分别由上面的表格给出，则f(f(1))=____，g(g(1))=____．f(g(____))=0．g(f(____))=3．9．将长为a 的铁丝折成矩形，面积y 关于边长x 的函数关系式为____．其定义域为____．10．已知函数f(x)=ax+b ，且f(0)=0，f(2)=4，求f(1)，f(-1)的值．11．已知函数f(x)=x 2+x-1，(1)求f(2)，f(x 1)；(2)若f(x)=5，求x ．12．已知函数f(x)=x ax b+ (a 、b 为常数，且a ≠0）满足f(2)=1，f(x)=x 有唯一解，求函数y=f(x)的解析式和f[f(-3)]的值．13．已知函数f(x)=x 2+ax+b ，集合A={x|f(x)=x}，集合B={x|f[f(x)]=x ，x ∈R}，当A=｛-1，3｝时，求集合B ．课时6 函数的定义域【例】求下列函数的定义域12x -； (4)y=0(2)1x x-+．思路突破 求函数定义域首先是判定自变量的全部限制要求，即应使函数式各部分同时有意义，其次求各约束条件的交集．1．(2008．全国Ⅱ)函数( )A ．{x|x ≥0}B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ≥1}⋃{0}D ．{x|0≤x ≤1}2．求函数∈Z)的定义域____．3．函数f(x)=22(10)(02)3(2)x x x x x +-≤<⎧⎪-≤<⎨⎪≥⎩ 的定义域为____．4．函数的定义域为____．5．f(x)的定义域为[1，4]，则f(x+2)的定义域为____．6．(x)的定义域为[-1，1]，则g(x)=f(x+12)+f(x-12)的定义域为____．7．f(x)的定义域是[a ，b]，其中a<0<b ，且|a|>b ．则g(x)=f(x)+f(-x)的定义域为____．8．函数的定义域为[0，3]，则f(x)的定义域为____．9．函数f(x+3)的定义域为[-4，5]，则f(2x-3)的定义域为____．10．已知f(x)=212ax ax ++的定义域是全体实数，求实数a 的取值范围．11．如图1-6-1，用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x ．求此框架围成的面积y 与x 的函数关系y=f(x)，并求其定义域．12．若A ，(a<1)的定义域为B ．(1)求A ．(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．课时7 函数的值域【例】 求下列函数的值域．(1)y=-x 2+4x+2; (2)y=125x x -+；(4)y=|x+3|+|x-5|．思路突破 利用配方法、换元法、分离常数法及数形结合法解决1．当1≤x ≤3时，函数f(x)=x 2+6x 的值域为____．2．213x y x +=-的值域为____．3．函数的值域是____．4．函数y=|x-2|+|x+1|的值域是____．5．函数____．6．求函数y=-x 2-2x+3的定义域分别为以下几种情况时的值域．(1)x ∈R (2)x ∈[-5，-2）(3)x ∈(-2，1) (4)x ∈(0．3]7．求函数y=-x 2-2|x|+3的值域，8．设函数f(x)=-x 2+1的值域为A ，函数g(x)=|x|+5的值域为B ，求R C (A ⋃B)9．已知函数y=x 2-3x-4的定义域为[0，m]，值域为[254-，-4]，试求m 的取值范围．10．若实数x ，y 满足x 2+4y 2=4x ，求S=x 2+y 2的取值范围．课时8 函数的表示法【例】(1)已知一次函数f （x ）=ax+b ，af(x)+b=9x+8．求f(x)；(2)已知二次函数f(x)图象的顶点是（-2，-3），与x 轴的两个交点间的距离为6．求该二次函数的解析式思路突破 (1)中只需把f(x)=ax+b 代人af(x)+b=9x+8即可得关于a 、b 的方程组；(2)中可用待定系数法，利用顶点式或两点式求解．1．下列说法正确的是 ( )A ．函数图象必须是光滑的，连续不断的曲线B ．分段函数是由几个不同的函数组成的，它不是一个函数C ．函数都可以用解析式来表示D ．函数图象与垂直于x 轴的任意一条直线最多只有一个公共点2．(1)已知f(x+1）=2x 2-4x ，则； (2)已知f(x)=10(0)10(0)x x x <⎧⎨≥⎩ ，则f[f(-7)]=____．3．已知f(x)=x 2+x+1，g(x-1)=f(x+1)，则g(x)=____．4．已知f(x)=x 2-1，g(x)=3x+1．则g[f(0)]=____，f[g(x)]=____．5．已知221111x x f x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则f(x)的解析式是____．6．已知2f （x ）+f （x 1）=3x ，x ≠0，则f(x)的解析式是____．7．为庆祝学校建立50周年，某校组织合唱汇演，高一年级排列队形为10排，第一排20人，后面每排比前排多1人，写出每排人数m 与这排的排数n 之间的函数关系式为____．自变量n 的取值范围是____．8．作出下列各函数的图象．(1)y=1-x ，0≤x ≤2，且x ∈Z ；(2)y=2x 2-4x-3，0≤x ≤3；(3)y=|1-x|；(4)2.(01)1(10)x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ ．9．如图1-8-1，根据y=f(x)，x ∈R 的图象，写出y=f(x)的解析式．图1-8-110．已知函数，f(x)=22(1)(12)2(2)x x x x x x +≤-⎧⎪-<<⎨⎪≥⎩ ，若f(a)=3，求a 的值．11．已知二次函数f(x)满足f(1+1x )=1x +221x x +，求f(x)的解析式．12．如图1-8-2，直线l ⊥x 轴，从原点开始向右平移直线l ，在x=10处停止，它扫过∆AOB 所得图形的面积为S ，它与x 轴的交点为(x ，0)(1)求函数S=f(x)的解析式；(2)求函数S=f(x)的值域；(3)l在何处时，S=10?图1-8-21．3 函数的基本性质课时9 单调性与最大（小）值(1)【例】证明下列函数在所定义的区间上是单调函数(1)y=1-x3，x∈R;(2)y=1x，x∈(0，+∞x∈[1，+∞）思路突破利用单调性的定义，根据取值、作差、变形、定号四个步骤证明函数的单调性，变形其中部分注意技巧，通常考虑配方、因式分解、通分、有理化等方法．1．下列判断正确的是 ( )A．对于函数y=f(x)定义域内的一个区间D，存在两个数x1、x2∈D，当x1<x2时，有f(x1)>f（x2），则函数f(x)在区间D上是增函数B．对于函数y=f(x)定义域内的一个区间D，存在两个数x1、x2∈D，当x1<x2时，有f(x1)<f（x2），则函数，f(x)在区间D上是增函数C．如果函数y=f(x)在定义域内的某个区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在它的定义域上具有单调性D．如果函数y=f(x)在定义域内的某个区间D上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在D上区间具有单调性2．下列函数中，在区间(0，+∞)上为增函数的是 ( )A．y=3-x B．y=x2+1 C．y=-x2 D．y=x2-2x+33．已知函数：①y=|x|；②y=||xx；③y=2||xx-；④y=x+||xx，其中在(-∞，0)上为增函数的有 ( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④4．函数 ( )A．(- ∞，-3] B．(-∞，-1] C．[1，+ ∞) D．[-3，-1] 5．若f(x)在R上是增函数且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为____．6．函数y=a x-在(0，+∞)上是减函数，则y=-2x 2+ax 在(0，+∞)上的单调性为____．7．如图1-9-1所示为y=f(x)的图象，则它的单调减区间为____．图1-9-18．函数f(x)=2x 2-mx+3在区间[-2，+∞）上是增函数，在区间（-∞，-2]上是减函数，则实数m 的值为____．9．已知y=f(x)在R 上是增函数，则f(a 2-a+1)与f 34⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系是____．10．作出函数f(x)的单调区间．11．已知y=f(x)是定义在(-1，1)上的增函数，且f(a-2)-f(4-a 2)<0，求a 的取值范围．12．已知函数f(x)是R 上的减函数，且a+b>0求证：f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)．13．已知f(x)=x 21x -，求证：f （x ）在(0，+∞)上是增函数．课时10 单调性与最大（小）值(2)【例】(1)试讨论f(x)=x+1x 在(0，+∞)上的单调性，并画出函数的大致图象；(2)分别求出函数f(x)=x+1x 在[12，2]和[13，4]上的最大值、最小值； (3)求函数g(x)=21x x +-在145⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值、最小值思路突破 讨论函数单调性的基本方法是用定义进行判断．关键就是要找出增区间和减区间的交界点，找寻此点的方法是：当x 1，x 2在某点的两侧任意各取一点且规定x 1，x 2大小时，f(x 1)-f （x 2）没有确定的符号：当x 1，x 2在某点的同侧任意各取一点且规定x 1，x 2大小时，f(x 1)-f(x 2)有确定的符号，此时我们断定该点就是要找的点．通过函数的单调性研究函数的最值是求最值的基本而又重要的方法．1．若函数y=mx+b 在(-∞，+∞)上是增函数，则有 ( )A ．b>0B ．b<0C ．m>0D ．m<02．若一次函数y=kx+b(k ≠0)在（-∞，+∞）上是单调递减函数，则点(k ，b)在直角坐标平面的 ( )A ．上半平面B ．下半平面C ．左半平面D ．右半平面3．设f(x)，g(x)都是单调函数，有如下四个命题：①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递增；②若f(x)单调递增，g(x)单调递减．则f(x)-g(x)单调递增；③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递减；④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递减其中，真命题是 ( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④4．定义函数()()f x y f x ⎧=⎨--⎩ (x>0) (x<0)且函数y 在区间[3，7]上是增函数，最小值为5，那么函数y 在区间[-7，-3]上 ( )A ．为增函数，且最小值为-5B ．为增函数，且最大值为-5C ．为减函数，且最小值为-5D ．为减函数，且最大值为-55．如图1-10-1为函数y=f(x)，x ∈[-4，7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间____．图1-10-16．若f(x)=x 2+2(a-1)x+4是区间（-∞，4]上的减函数，则实数a 的取值范围是____．7．函数f(x)=mx 2-(5m-2)x+m 2-4在[2，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围为____．8．函数f(x)= (a-1)x 在[1，3]上的最大值为2，则a 的值为____．9．求函数10．已知f(x)=12x 2-x+32的定义域和值域均为[1，b](b>1)，试求b 的值．11．已知f(x)=x 2-4ax+2a+6(a ∈R)，若f(x)的值域为非负数，求a 的取值范围．12．求f(x)=x2-2ax-1在[0，2]上的最大值和最小值．13．在矩形ABCD中，AD=15，AB=a(a>15)，E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD上的点，若AE=AF=CG=CH，问AE取何值时，四边形EFGH的面积最大？并求最大面积．课时11 奇偶性(1)【例】判断下列函数是否具有奇偶性：(1) ()f x (2)(1)(0) ()(1)(0)x x xf xx x x->⎧=⎨+<⎩思路突破含绝对值的函数如何处理绝对值是关键，基本方法是考查绝对值内的符号，本题先考虑x的基本范围即定义域，可简化问题；由于分段函数的自变量x所在的范围不同，其对应的表达式有所区别，因此对于分段函数奇偶性的处理要采取分类讨论的数学思想．1．下列函数是偶函数的是 ( )A．y=x2，x∈[-1，2] B．y=x2+x，x∈RC．y=2|x|-1，x∈R D．y=x3，x∈R2．下列说法中不正确的是 ( )A．图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B．奇函数的图象一定经过原点C．若偶函数的图象不经过原点，则它与x轴交点的个数一定是偶数D．图象关于y轴对称的函数一定是偶函数3．边长为x的正方形的面积为f(x)，则f(x)是 ( )A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数4．奇函数y=f(x)，x∈R的图象必定经过点 ( )A．（a，f（-a）） B．(-a，f(a)) C．(-a，-f(a)) D．(a，f1a⎛⎫ ⎪⎝⎭）5．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有( ) A．f(x)-f(-x)>0 B．f(x)-f（-x）≤0C．f(x)·f(-x)≤0 D．f(x)·f(-x)>06．已知y＝f(x)是偶函数且其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是 ( ) A．1 B．0 C．2 D．47．如果定义域为[3-a，5]的函数f(x)为奇函数，那么实数a的值为____．8．若函数f（x）=（m-2）x2+（m-1）x+3是偶函数，则实数m的值为____．9．已知f(x)=ax5+bx3+cx+5(a，b，c是常数)，且f(5)=9，求f(-5)的值为____．10．偶函数f(x)在y轴右侧的图象如图1-11-1所示，试画出f(x)在y轴左侧的图象．图1-11-111．判断下列函数是否具有奇偶性．(1)f(x)= x2- |x|+1，x∈[-1，(3)f(x)=（x-1） (4)f(x)=x+1x．12．(2008湖北文高考改编题)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=(x)，当x∈(0，2)时f(x)=2x2，求f(7)．13．设奇函数f(x)的定义域为[-5，5]，若当x∈[0．5]时，f(x)的图象如图1-11-2所示，则不等式f(x)<0的解是？课时12 奇偶性(2)【例】已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)=x 2+3x-1，求f （x ）的解析式思路突破根据偶函数的对称性求解对称区间的解析式是基本而重要的题型．关键是利用偶函数的定义及x ≥O 的函数表达式求出x<0的函数表达式．注意“求什么设什么”即设x<0，则-x>0可以沟通已知条件1．给出下列四个命题，其中正确的命题是 ( )①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R)；④若奇函数f(x)在x=0有定义，则恒有f(0)=0；⑤若f(x)为偶函数，则有f(x)=f(-x)=f(|x|)．A ．①②B ．②⑤C ．④⑤D ．③④2．下列函数既是奇函数又是偶函数的是 ( )A ．()f x ．()f x C ．0()0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩ D ．10()10x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ 3．若函数f (x)是偶函数，当-1≤x<0时，f(x)=x+1，则0<x ≤1时，f(x)的解析式为 ( )A ．f(x)=x-1B ．f(x)=1-xC ．f(x)=-x-1D ．f(x)=x+14．若函数g(x)，f(x)都是奇函数，F(x)=a ·g(x)+b ·f(x)+2在(0，+∞）上有最大值5，则在(-∞，0)上F(x)有 ( )A ．最大值-5B ．最小值-5C ．最大值-1D ．最小值-15．已知定义在[-5，5]上的偶函数f （x ）满足f(3)=2，则f （-3）+1=____．6．设F(x ）=12[f(x)-f(-x)] (f(x)为定义在R 上的任意函数），则F （x ）为____函数（试判断奇偶性）；若F(x)=12[f(x)+f(-x)]，F （x ）为____函数． 7．已知f （x ）=ax 2+bx+3a+b 是偶函数，且其定义域为[a-1，2a]，则a=____．b=____．8．设f(x)是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且x>0时有f(x)=x 2+1，则f(-2)=____．9．若f(x)=(m-1)x 2+6mx+2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(-2)从小到大的顺序为____．10．已知奇函数f(x)的定义域为[-5，5]，若当x ∈[0，5]时f(x)的图象如图1-12-1所示，则不等式x ·f(x)<0的解集是____．11（教材改编题）已知函数f(x)是R 上的奇函数，且当x>0时．f(x)=-x 2+2x+2．求f （x ）表达式．12．已知函数f(x)对任意非零实数x 、y ，总有f(x+y)=f(x)+f （y ）恒成立．求证：y=f(x)为奇函数．课时13 单调性与奇偶性【例】已知f(x)是偶函数，它在区间[a ，b]上是减函数(0<a<b)．试证f(x)在区间[-b ，-a]上是增函数．思路突破 解答本题关键是如何把f(x)在[a ，b]上递减转化为f （x ）在[-b ，-a]上递增，这时转化的必备条件是f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x)．1．若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在(-∞，0)上是减函数，且f(2)=0，则使得f （x ）<0的x 的取值范围是 ( )A ．(-∞，2)B ．(2，+∞)C ．(- ∞，-2)⋃(2，+ ∞)D ．(-2，2)2．定义在区间(-∞，+∞)上的奇函数f(x)为单调增函数，偶函数g(x)在区间[0，+∞）上的图象与f(x)图象重合．设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是 ( ) ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)； ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)； ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)．A ．①与④B ．②与③C ．①与③D ．②与④3．(2007·广东高考)若函数f(x)=x 3(x ∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是 ( ) A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数4．已知f(x)是奇函数且对任意的数x 1，x 2(x 1≠x 2)恒有2121()()f x f x x x -->0，则一定正确的是 ( )A ．f(3)>f(-5)B ．f(-3)<f(-5)C ．f(-5)>f(3)D ．f(-3)>f(5)5．如果奇函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，且最大值为3．那么f(x)在区间[-2，-1]上有最____值，其最值为____．6．若h （x ）、g(x ）均为奇函数，f(x)=ah(x)+bg(x)+2在(0，+∞)上有最大值5，则在（-∞，0）上，f(x)有最小值____．7．给出下列四个函数：①f(x)=-x-x 3；②f(x)=1-x ；③f(x)=3x ；④f(x)=31x x x --．其中既是奇函数又是定义域上的减函数的函数是____．8．奇函数f(x)的定义域为（-1，1），且在（-1，1）上是增函数，若f(1-a)+f(1-2a)<0．则实数a 的取值范围是____．9．(2007·上海春）设函数y=f(x)是奇函数，若f （-2）+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=10．给出一个函数y=f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于x ∈R ，都有f(1+x)=f （1-x ）；乙：在(-∞，0]上函数递减；丙：在(0，+∞)上函数递增；丁：f(0)不是函数的最小值．如果其中恰有三人说得正确，请写出一这样的函数：____．11．定义在(-1，1)上的奇函数f （x ）=21ax b x ++，若f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭= 52，且f(t-1)+f(t)<0，求t 的取值范围．12．设函数f （x ）对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f （x ）+f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)=-2． (1)证明f(x)为奇函数； (2)证明f （x ）在R 上为减函数；(3)若f(2x+5)+f(6-7x)>4．求x 的取值范围．第二章 基本初等函数（I ）2．1 指数函数课时1 指数与指数幂的运算【例】化简下列各式：(1)3()2a b <；2111122---思路突破 熟练运用分数指数幂与根式的互化关系．正确运用分数指数幂的运算性质是正确计算的保证．1．下列运算结果中，正确的是 ( ) A ．a 2·a 3=a 6B ．(-a 2)3=(-a 3)2C ．0=0 D ．(-a 2)3=-a 62．a ∈R ，n ∈N+，则下列结论中恒成立的是 ( )A a =B ．n=aC ．．(π-3.14)0=03．当1<x<3 ( ) A ．4-2x B ．2 C ．2x-4 D ．44．以下计算正确的是 ( )A B ．C5．下列各式中，错误的是 ( ) A ．()13327a÷0.3a -1=10a 2B ． 221111333333a b a b a b ⎛⎫⎛⎫-÷+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．12223)3)1⎡⎤=-⎣⎦ D =6．2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于 ( )A ．2-2kB ．2-(2k-1)C ．-2-(2k+1)D ．27．化简111113216842(12)(12)(12)(12)(12)-----+++++的结果是 ( )A ．11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13212-- D ．1323122-⎛⎫- ⎪⎝⎭8．若10x =2，10y=3，则3210x y-=____．9．()121x --有意义，则x 的取值范围____．10．已知y=()()11223223x x -+-x 、y 依次是____．11．(1)； 23-⎛⎝⎭=____．(2)用最简根式表示：12x -=____；=____．12．已知11222a a-+=，(1)求a+1a的值； (2)求3322aa-+的值．13．已知10α=2，10β=3把下面的数写成底数是10的幂的形式． (1)49 (2)274-课时2 指数函数及其性质(1)【例】若函数y=(a 2-3a+3)a x是指数函数．求a ．思路突破 指数函数的定义是y=a x（a>0且a ≠1）叫做指数函数．1．某种细菌在培养过程中，每20min 分裂一次（一个分裂为2个），则经过3个小时，该细菌由1个可繁殖成____个．2．已知指数函数f(x)=a x（a>0且a ≠1）的图象经过点(3，π)，则f(-3)的值为 ( )A ．πB ．1 D ．1π3．a=0．80．7，b=0.80.9，c=1.20．3，d=1.50．8，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ( )A ．a>b>c>dB ．d>c>b>aC ．a>b>d>cD ．d>c>a>b4．二次函数y=ax 2+bx 与指数函数y=xb a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象只可能是 ( )5．f(x)=(a 2-1)x在（-∞，+∞）上是减函数．则a 满足的条件为 ( )A ．|a|>1B ．．．6．函数____．7．(2007·山东改编)已知集合M={-1，1}，N={x ∈Z|12<2x+1<4}，则M ⋂N=____．8．f(x)=a x（a>o 且a ≠1），在[1，2]上最大值比最小值大2a ，则a=____．9．已知函数f(x)满足：①对任意x 1<x 2，都有f(x 1)<f(x 2)；②f(x 1+x 2)=f(x 1)·f(x 2)．写出一个同时满足这些条件的函数解析式____．10．(2007·重庆)若函数f(x)=R ，则实数a 的取值范围____．11．已知y 1= 2231x x a -+，y 2= 225x x a+- (a>0且a ≠1)求x 的范围，使(1) 12y y =；(2) 12y y >．12．若函数f(x)定义域是(0，2)，求f(3-3x)的定义域．13．当-1≤x ≤0时，求函数y=2x+2-3·4x的最大值及最小值．课时3 指数函数及其性质(2)【例】画出函数y=|3x-1|的图象，并利用图象回答： (1)根据图象，写出函数的单调区间；(2)k 为何值时，方程|3x-1|=k 无解？有一解？有两解？思路突破 (1)清楚有关绝对值函数|f(x)|图象的翻折变换：保留x 轴及其上方的图象，将x 轴下方的图象沿x 轴翻折到上方(2)用数形结合的方法，将方程|3 x-1|=k 的解的个数问题等价转化为直线y=k 与y=|3 x-1|图象的交点个数问题．1．已知函数f(x)=4+a x-1(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 的坐标是 ( )A ．(1．5)B ．(1，4)C ．(0，4)D ．(4，0)2．若0<a<1，b<-1，则函数f(x)=a x+b 的图象不经过 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．函数y=a |x|(a>1)的图象是 ( )4．函数y= 231x x a-+ (0<a<1)的单调增区间是 ( )A ．[0，+∞)B ．(-∞，32] C ．[32，+∞) D ．(-∞，+∞)5．函数____．6．函数y= 2213x x-⎛⎫⎪⎝⎭的值域为____．7．判断函数f(x)=11212x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭·x 的奇偶性____．8．(全国卷I 改编)已知函数y=e x的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称，则f(2x)=____．9．若函数f(x)=()22xx a xa+-的图象关于y 轴对称，则实数a 的取值为____．10．函数331x x y =+的值域是____．11．关于x 的方程(13)x=235a a +-有负根，则a 的取值范围为____．12．(2006·全国卷I)设a 是实数，f(x)=a-221x+(x ∈R)． (1)试证明对任意实数a ，f(x)为增函数； (2)试确定a 的值使f(x)为奇函数．13．函数y=a 2x+2a x-1(a>0且a ≠1)在[-1．1]上最大值为14，求实数a 的值．2．2对数函数课时4 对数与对数运算【例】将下列指数式化成对数式，将对数式化成指数式(1)61264-=； (2)103=1000； (3)e t=a(a>0)；(4) 1813log =-4； (5)lg0．01=-2; (6)ln10=2．303．思路突破 指数式与对数式的相互关系如图2-4-1，通常将以10为底数的对数称为常用对数log 10N 简记为lgN ；以e 为底的对数称为自然对数log e N 简记为lnN ．1．若log 7[log 3(12log x)]=0，则x= ____．2．若f(12log x)=x ，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ____．3．已知log a 2=x ，log a 3=y ，则a 2x+y= ___．4． 231log 27-= ____．5．若lga ，lgb 是方程2x 2-4x+1=0的两个实根，则lg(ab)·(lg a b）2= ____．6．化简1002lg(lg )2lg(lg )a a +的结果是 ( ) A ．12B ．1C ．2D ．47．若log 37·log 29·log 49a=log 412，则a= ____．8．若log a x=2，log b x=4，log c x=1，则log abc x= ____．9．已知lg2=0．3010，lg3=0．4771，lgx=-2+0．7781，则x= ____．10．如果方程lg 2x+(lg2+lg3) lgx+lg2·lg3=0的两根为12,x x ，则12x x ∙的值为 ( )A ．lg2·lg3B ．lg2+lg3C ．16D ．-611．求值(l)lg ２5+lg2·lg5+lg20：12．(1)已知log 189=a ，18b=5，试用a 、b 表示log 3645； (2)设log 89=a ，log 35=b ，试用a 、b 表示lg213．设x 、y 、z 均为正实数，且3x=4y=6z． (1)若z=1，求(x-1)·(2y-1)的值； (2)求证：1112zxy-=14．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x+b+clog x 2=0，甲写错了常数b ，得到根14、18；乙写错了常数c ，得到根12、64，求这个方程真正的根．课时5 对数函数及其性质(1)【例】比较下列各组数的大小：(1)log 23.4，log 28.5; (2)log 23.4，1; (3)log 20.5，0; (4) 3.4 3.41123log ,log ； (5)log 67，log 76； (6)434log ，232log ．思路突破比较两个对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性进行比较；二看真数，底数不同而真数相同的两个对数可用换底公式变为倒数；三找中介值，底数、真数均不同的两个对数可选择适当的中介值进行比较．1．在同一直角坐标系内，函数y=a -x与y=log a x(a>1)的图象只可能是 ( )2．若a>0且a ≠1，函数y=log a (x-1)-1的图象必过定点____．3．函数y=log 2x 与y=12log x的图象 ( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y=x 对称4．已知f(6x )=2log x，那么f(8)的值为 ( )A ．43B ．8C ．18D ．125．(2007·上海文)方程3x-1=19的解是____．6．(2007·重庆理) 234(0)9a a =>，则23log a =____．7．已知0<a<l ，0<b<1，则关于x 的不等式(3)log x ba -<1的解集为____．8．若对数log (x-1)(4x-5)有意义，则x 的取值范围是 ( ) A ．54≤x<2 B ．54<x ≤2 C ．54<x<2或x>2 D ．2≤x ≤39．已知函数y=f(2x)的定义域是[-1，1]，则函数f(log 2x)的定义域是 ( )A ．[-1，1]B ．[12，2] C ．[1，2] D ．4]10．(2007·安徽改编)A={x ∈N+|2≤22-x<8}，B={x ∈R||log 2x|>1}，则A ⋂(R C B)的元素的个数为____．11．已知函数f(x)=3+12log x(x ≥1)．则f （x ）的值域为____．12．求函数y=12log (7-2x-x 2)，x ∈[0，1]时最大值与最小值．13．求定义域．(1)y =a(1-a x)(a>0，a ≠1)．14．求函数y=22log log 24x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域，其中x 满足-3≤12log x≤12-．课时6 对数函数及其性质(2)【例】画出函数草图并指出其单调区间． (1)y=|log 2x|; (2)y=12log x．思路突破 区分|f(x)|与f(|x|）对于f(x)的图象变换：前者保留x 轴上方的图象，将x 轴下方的图象关于x 轴对称上去；后者为偶函数，先保留f （x ）图象的右半部分，再关于y 轴对称得到左半部分的图象．1．已知函数y=14log x与y=kx 的图象有公共点A ．且A 的横坐标为2，则k=____．2．(2008·安徽) 2()f x ____．3．没a>0且a ≠1．若P=()31log a a +，Q=()21log a a+，则P 、Q 的大小关系是 ( )A ．P>QB ．P<QC ．P=QD ．不确定4．设0<a<1，且函数f(x)=|log a x|，则下列各式成立的是 ( )A ．()11234f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ． ()11243f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()11234f f f ⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． ()11243f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．已知函数2log ,(0)()3,(0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦____．6．(2007·全国卷改编）函数f(x)=log a x(a>1)在[a ，2a]上最大值与最小值差为12，则a=____．7．(2008·全国卷)若x ∈(e -1，1)，a=1nx ，b=21nx ，c=1n 3x ，则 ( ) A ．a<b<c B ．c<a<b C ．b<a<c D ．b<c<a8．已知f(x)=x 2)，且f(2)=4．627，则f(-2)=____．9．(2008·上海高考)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，+∞）时，f(x)=lgx ，则满足f(x)>0的x 的取值范围____．10．函数y=213log x +在区间____内为增函数．11．函数y=lg(4+3x-x 2)单调减区间足 ( )A ．)32⎡⎢⎣，４ B ．31,2⎛⎤- ⎥⎦⎝C ．)32⎡+∞⎢⎣，D ．(-1，4)12．函数y=log a (2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围为 ( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(0，2) D(2，+∞)13．已知f(x)=log ax b x b +- (a>0，b>0且a ≠1)(1)求f(x)的定义域并判断其奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性．14．已知函数f(x)=21log 1x x+-(1)求证：f(x 1)+f(x 2)=12121x x f x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭；(2)若11a b f ab +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，1()2f b -=，求f(a)的值．2．3 幂函数课时7 幂函数【例】求下列幂函数的定义域与值域，并判断函数的奇偶性 (1)y=56x ； (2)y=35x ； (3)y=85x ； (4)y=54x-； (5)y=53x-； (6)y=23x-．思路突破 注意幂函数与指数函数的本质差异，结合几个常见幂函数的图象，了解幂函数的变化规律和性质．1．若函数y=(k 2-k-5)x 2为幂函数，则实数k 的值为____．2．已知幂函数f(x)的图象过点（2，2），则f(4)=____．3．已知a=34，b=341.4，c=231.1，试比较a ，b ，c 三个数的大小____．4．图2-7-1中的曲线是幂函数y=x n在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值．则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次是 ( ) A ．-2，-12，12，2 B ．2，12，-12，-2C ．-12，-2，2，12D ．2，12，-2，-125．若关于x 的函数y=(m-2)21m m x--是正比例函数，则m=____；若是反比例函数，则m=____； 若是二次函数，则m=____； 若是幂函数，则m=____．6．函数y=x -3在区间[-4，-2]上的最小值是____．7．下列函数中，是偶函数，且在(-∞，0]上是增函数的是 ( ) A ．y=23x-B ．y=-(x+1)2C ．(0)(0)x x y x x -≥⎧=⎨<⎩ D ．y=43x8．当x ∈(1，+∞)时，函数y=x a的图象恒在直线y=x 的下方，则a 的取值范围是 ( ) A ．0<a<1 B ．a<0 C ．a<1 D ．a>19．(2007·山东启东模拟)设a ∈11,1,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，则使函数y=x a的定义域为R 且都为奇函数的所有a 的值为 ( )A ．1，3B ．-1，1C ．-1，3D ．-1，1，310．若函数y=22m m x+-在第一象限的值随x 的增大而减小，则 ( )A ．m<-2或m>1B ．-2<m<1C ．m 可取任意值D ．m 的值不存在11．幂函数y=223m m x --(m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称．则其解析式为____．12．已知函数f(x)=-212x ，求f(x)的定义域，判断并证明f(x ）的单调性．13．已知幂函数f(x)=223m m x-- (m ∈Z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上为减函数，求f(x)表达式，并讨论ϕ(x)=()b xf x 的奇偶性(a ，b ∈R)．第三章 函数的应用3．1 函数与方程课时1 方程的根与函数的零点【例】求函数f(x)=ax 2-x-1仅有一个零点，求实数a 的取值范围思路突破 根据字母a 对函数零点的影响入手进行求解．1．若函数f(x)唯一的零点在区间 (1，5)内，则下列说法中错误的是 ( ) A ．函数f(x)在(1，2)或[2，3）内有零点 B ．函数f(x)在(3，5)内无零点 C ．函数f(x)在(2，5)内有零点 D ．函数f(x)在(2，4)内不一定有零点2．函数f(x)=-x 2+5x-6的零点是 ( ) A ．-2，3 B ．2，3 C ．2，-3 D ．-2，-33．函数f(x)=2x 2-mx+3有一个零点为32，则f(1)= ( )A ．0B ． 10C ．-3D ．由m 而定的其他常数4．在区间[3，5]上有零点的函数是 ( ) A ．f(x)=2xln(x-2)-3 B ．f(x)=-x 3-3x+5 C ．f(x)=2x-4 D ．f(x)=1x-+25．(2007·湖南)函数244(1)()43(1)x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩ 的图象和函数g(x)=log 2x 的图象的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．16．二次函数y=f(x)满足，f(3+x)=f(3-x),且f(x)=0有两实根x 1、x 2，则12x x += ( )A ．0B ．3C ．6D ．不能确定7．实数a 、b 、c 是图象连续不断的函数y=f(x)定义域中的三个数，且满足a<b<c ，f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，则函数g=f(x)在区间(a 、c)上的零点个数为 ( )。

课时作业(十三)物质的量的单位——摩尔1．下列叙述中不正确的是()A.2 mol铁原子B.1 mol Fe3＋C.0.5 mol氧D.0.5 mol氮气C[0.5 mol氧，是指0.5 mol氧气还是0.5 mol氧原子不清楚，指代不明确，故C错误。

] 2．下列关于阿伏加德罗常数的说法错误的是()A.6.02×1023就是阿伏加德罗常数B.1 mol水中约含有6.02×1023个水分子C.含有阿伏加德罗常数个粒子的物质的量是1 molD.1 mol 氨气所含的原子数约为2.408×1024答案： A3．下列叙述中正确的是()A.摩尔是表示物质所含微粒数量以及物质质量的具有双重意义的单位B.摩尔是国际单位制中7个基本物理量之一C.含有6.02×1023个氧原子的H3PO4的物质的量是0.25 molD.2H既可以表示2个氢原子又可以表示2 mol氢原子C[物质的量是国际单位制中七个基本物理量之一，它表示含有一定数目粒子的集合体，其单位是摩尔，A、B项错误；1个H3PO4分子中含有4个O，即1 mol H3PO4中含有4 mol O，含有6.02×1023个氧原子的H3PO4的物质的量是0.25 mol，C项正确；2H可以表示2个氢原子，但不能表示2 mol氢原子，2 mol氢原子应表示为2 mol H。

] 4．下列说法中正确的是()A.硫酸的摩尔质量是98 gB.2 mol OH－的质量是34 gC.铁原子的摩尔质量等于它的相对原子质量D.1 mol N2的质量是14 g答案：B5．设N A为阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是()A.常温下，23 g NO 2含有N A 个氧原子B.1 L 0.1 mol ·L－1的氨水含有0.1 N A 个OH －C.常温常压下，22.4 L CCl 4含有N A 个CCl 4分子D.1 mol Fe 2＋与足量的H 2O 2溶液反应，转移2N A 个电子A [NH 3·H 2O 是弱电解质，1 L 0.1 mol·L －1的氨水不能电离出0.1 N A 个OH －，B 项错误；CCl 4为液体，22.4 L CCl 4含有的分子数大于N A 个，C 项错误；1 mol Fe 2＋与足量的H 2O 2溶液反应，转移N A 个电子，D 项错误。

微积分基础大作业作业要求：从方案一和方案二中任意选择一项方案完成，提交作业方式有以下三种，请务必与辅导教师沟通后选择：1. 将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．2. 在线提交word文档．3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．方案一完成下列题目，要求写出解题过程，满分100分1.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（12分）2.欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？（12分）3.用钢板焊接一个容积为4立方米的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？（12分）4.某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？（12分）5.设有一块边长为30厘米的正方形铁皮，从它的四角截去同样大小的正方形，做成一个无盖方盒子，问截去的小正方形为多大才能使做成的方盒子容量最大？（12分）6.求抛物线y2=2x与直线y=x−4所围成图形的面积.（12分）7.计算曲线y=x2与y=√x所围成的平面图形绕x轴旋转得到的旋转体的体积.（12分）8.随着经济的高速增长，环境污染问题备受关注.经测量知，某水库目前的污染物总量已达Q0（单位：t），且污染物均匀地分散在水中.如果不再向水库排污，则清水以不变的速度r（单位：km3/年）流入水库，并立即与水库中的水混合，水库中的水又以同样的速度r流出.若记当前的时刻为t=0（1）求时刻t水库中残留污染物的数量Q(t);（10分）（2）问需要多少年，才能使水库中污染物的数量降至原来的10%.（6分）方案二参照教材第3章导数的应用和第5章积分的应用内的各案例，从生活和工作中选择一个实际问题，抽象提炼出其中的数学问题，并使用本门课程学到的微积分知识加以解决。