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3.1.1 两角差的余弦公式1.公式C(α-β)的推导是本节的难点:(1)结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;(2)探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其讨论线索进行探索,然后再作反思,予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则).其中完善的过程既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.2.学习本节内容的要求是:经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用,强调掌握数学公式,应用公式解决相关问题.3.本节的教学重点是两角差的余弦公式的应用,主要涉及两角差的余弦公式的正用、逆用和变形应用、直接求三角函数式的值或结合向量进行综合命题.1.已知角α,β,γ∈,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,求β-α的值.解:由已知得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β,将两式分别平方,然后相加得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1.∴sin2β-2sin βsin α+sin2α+cos2α-2cos αcos β+cos2β=1,即cos βcos α+sin βsin α=.∴cos(β-α)=.又∵α,β,γ∈,且sin γ=sin β-sin α>0,∴0<β-α<,∴β-α=.2.已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈.(1)求sin θ和cos θ的值;(2)若sin(θ-φ)=,0<φ<,求cos φ的值.解:(1)∵a⊥b,∴sin θ-2cos θ=0.∵θ∈,sin2θ+cos2θ=1,∴sin θ=,cos θ=.(2)∵0<φ<,0<θ<,∴-<θ-φ<.∵sin(θ-φ)=,∴cos(θ-φ)=.∴cos φ=cos[θ-(θ-φ)]=cos θcos(θ-φ)+sin θsin(θ-φ)=.3.设向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),其中0<α<β<π,若|2a+b|=|a-2b|,求β-α.解:2a+b=(2cos α+cos β,2sin α+sin β),a-2b=(cos α-2cos β,sin α-2sin β).∵|2a+b|=|a-2b|,∴|2a+b|2=|a-2b|2.∴(2cos α+cos β)2+(2sin α+sin β)2=(cos α-2cos β)2+(sin α-2sin β)2.∴4+4cos αcos β+4sin αsin β+1=1-4cos αcos β-4sin αsin β+4.∴8cos αcos β+8sin αsin β=0.∴cos(β-α)=0.又0<α<β<π,∴0<β-α<π.∴β-α=.。
《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？ （请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化 【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。
3.1.1 两角差的余弦公式1．两角差的余弦公式 [提示] 不一定成立，这是对公式的误解． 2．两角差的余弦公式的推导在平面直角坐标系中作单位圆O ，以Ox 为始边作α，β，它们的终边与单位圆分别交A ，B ，则OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)，∴OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β， 设OA →与OB →的夹角为θ，则由数量积定义知OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos θ＝cos θ， ∴cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β.∵α＝2k π＋β＋θ(如图1)或α＝2k π＋β－θ(k ∈Z )(如图2)，∴α－β＝2k π±θ(k ∈Z )，图1 图2所以cos(α－β)＝cos θ，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( ) A．cos 100°B．sin 100°C．32D．12C[原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32 .]2．cos(－15°)的值是( )A．6－22B．6＋22C．6－24D．6＋24D[cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.]3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝．12[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.]4．已知α是锐角，sin α＝23，则cos⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝．5＋236[由条件可求的cos α＝53，∴cos⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝cosπ3cos α＋sinπ3sin α＝1 2×53＋32×23＝5＋236.]【例1】(1)cos12的值为( )A．6＋24B．6－24C．2－64D．－6＋24(2)求下列各式的值：①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；③12cos 15°＋32sin 15°. (1)D [cos 13π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－cos π4cos π6－sin π4sin π6＝－22×32－22×12＝－6＋24.] (2)[解] ①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°) ＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14° ＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝32. ③12cos 15°＋32sin 15° ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．化简下列各式：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； (2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. [解] (1)原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)] ＝cos 45°＝22. (2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ 提示：cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β. 2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？提示：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)． 【例2】 (1)已知sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)＝( ) A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．32(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，求cos α的值．思路点拨：(1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C (α－β)求cos(α－β)．(2)由已知角π3＋α与所求角α的关系即α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3寻找解题思路．(1)D [因为sin α－sin β＝1－32， 所以sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝⎝⎛⎭⎪⎫1－322， ①因为cos α－cos β＝12，所以cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122， ②由①②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－3＋34＋14所以－2cos(α－β)＝－3， 所以cos(α－β)＝32.] (2)[解] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴π3＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513.∵α＝⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3， cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αcos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin π3＝－513×12＋1213×32＝123－526.]1．将本例(2)的条件改为“sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4”，如何解答？[解] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4，∴π2<α＋π4<π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－35×22＋45×22＝210.2．将本例(2)的条件改为“sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6”，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12的值．[解] ∵π6＜α＜5π6，∴－π2＜π3－α＜π6，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝－1213＜0，∴－π2＜π3－α＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－π4＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝22×513＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－7226.给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β； ②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)．＝(2)已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则β＝ ．思路点拨：(1)求α－β的范围→求cos （α－β）值→求α－β (2)明确β范围→利用β＝（α＋β）－α求cos β→确定β的值 (1)π4 (2)π3 [(1)∵α，β均为锐角，∴cos α＝55，cos β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 又∵sin α＞sin β，∴0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2.故α－β＝π4.(2)∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)．∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12.∵0＜β＜π2， ∴β＝π3.]1．本例(1)中“sin α”变为“cos α”，“sin β”变为“cos β”，α－β的值怎样？[解] ∵α，β均为锐角， ∴sin α＝1－cos 2α＝55， sin β＝1－cos 2β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. ∵sin α＜sin β， ∴0＜α＜β＜π2.∴－π2＜α－β＜0.∴α－β＝－π4.2．若本例(2)变为：已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，结果怎样？[解] 由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， 所以β＝π3.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围而得到错误答案．1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值． (2)确定角所在的范围(找区间)． (3)确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.1．下列命题正确的是( )A ．对于任意角α，β，都有cos(α－β)＝cos α－cos βB ．对于任意角α，β，都有cos(α－β)≠cos α－cos βC ．不存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．存在α和β，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β D [A 明显不成立；B 中当α＝π4，β＝π2时，等式成立，∴B 不成立；C 中，当α＝k π或β＝k π时(k ∈Z )等式成立，D 正确，因为当α＝β＝0时，等式成立．]2．cos 50°＝( )A ．cos 70°cos 20°－sin 70°sin 20°B ．cos 70°sin 20°－sin 70°cos 20°C ．cos 70°cos 20°＋sin 70°sin 20°D ．cos 70°sin 20°＋sin 70°cos 20°C [50°＝70°－20°，根据两角差的余弦公式知C 正确．] 3．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为 ． 1 [由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.]4．已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值．[解] 因为sin α＝－45，180°＜α＜270°，所以cos α＝－35.因为sin β＝513，90°＜β＜180°，所以cos β＝－1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝3665－2065＝1665.。
