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4.2.2.1等差数列的前n 项和要点一 等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝11()(1)22n n a a n n na d +-=+ 【重点总结】(1)等差数列前n 项和公式的推导：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，倒序得S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋a 1.相加得2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)．由等差数列性质，得2S n ＝n(a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2.我们不妨将上面的推导方法称为倒序相加求和法. 今后，某些数列求和常常会用到这种方法．(2)在求等差数列前n 项和时，若已知a 1和a n 及项数n ，则使用S n ＝n (a 1＋a n )2；若已知首项a 1和公差d 及项数n ，则采用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 来求．要点二 等差数列前n 项和的主要性质 1．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列．2．若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ，①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝1n n aa+；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝n a ，S 奇S 偶＝1n n -.S 2n －1＝（2n -1）a n . 【重点总结】关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S 奇与S偶的关系是不相同的．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和．( ) (2)数列{a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S 2，S 4，S 6成等差数列．( ) (3)在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n .( ) (4)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1.( ) 【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 9＝10，则S 9等于( ) A ．45 B ．52 C ．108 D ．54 【答案】D【解析】S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×122＝54.故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则S 12＝( ) A ．28 B ．32 C ．36 D ．40 【答案】C【解析】∵数列{a n }为等差数列， ∴S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，∴2(S 8－S 4)＝S 4＋S 12－S 8，解得：S 12＝36.4．已知数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4，那么数列{a n }的前11项和等于________. 【答案】22【解析】∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 9＝a 1＋a 11＝4.∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝112×4＝22.题型一 等差数列前n 项和的基本运算【例1】在等差数列{a n }中，(1)已知a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)已知a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .(3)已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .【解析】(1)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.∴n ＝15，d ＝－16.(2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5. ∴a 8＝39，d ＝5.(3)∵a n ＝11，d ＝2，S n ＝35，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(n －1)×2＝11na 1＋n (n －1)2×2＝35解得n ＝5，a 1＝3或n ＝7，a 1＝－1. 【方法归纳】a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．【跟踪训练】在等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S m ＝－15，求m 及a m ；(2)a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10. (3)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.【解析】(1)∵S m ＝m ×32＋m (m －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝－15，整理得m 2－7m －60＝0解得m ＝12或m ＝－5(舍去)∴a m ＝a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(3)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340.题型二 等差数列前n 项和性质的应用【例2】(1)等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】利用等差数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列． 所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即30＋(S 9－100)＝2(100－30)，解得S 9＝210.(2)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.【答案】53【解析】由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. (3)已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝________. 【答案】14【解析】 S n －S n －4＝a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝80， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40.两式相加得4(a 1＋a n )＝120，∴a 1＋a n ＝30，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝15n ＝210，∴n ＝14.【笔记小结】(1)中S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等差数列． (2)中a 5b 5＝qa 5qb 5＝S 9T 9.(3)中S n －S n －4为末4项和，S 4为前4项和，倒序相加可得 4(a 1＋a n )． 【方法归纳】等差数列前n 项和的常用性质(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…是等差数列．(2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，公差为数列{a n }的公差的12.(3)涉及两个等差数列的前n 项和之比时，一般利用公式a m b n ＝2n －12m －1·S 2m －1T 2n －1进行转化，再利用其他知识解决问题．(4)用公式S n ＝n (a 1＋a n )2时常与等差数列的性质a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…相结合．【跟踪训练2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14等于( ) A ．18 B ．17 C ．16 D ．15 【答案】A【解析】设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.故选A.(2)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝( )A.1941B.1737C.715D.2041 【答案】A【解析】a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝a 9b 3＋b 9＋a 3b 2＋b 10＝a 9＋a 3b 2＋b 10＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝S 11T 11＝22－344－3＝1941.故选A.(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.【解析】(3)方法一：因为S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列，设公差为d ，前10项的和为：10×100＋10×92d ＝10，所以d ＝－22，所以前11项的和S 110＝11×100＋11×102d ＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.方法二：设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n n ＝d 2(n －1)＋a 1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 成等差数列． 所以S 100100－S 1010100－10＝S 110110－S 100100110－100，即10100－10010100－10＝S 110110－1010010，所以S 110＝－110.方法三：设等差数列{a n }的公差为d ，S 110＝a 1＋a 2＋…＋a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋[(a 1＋10d )＋(a 2＋10d )＋…＋(a 100＋10d )]＝S 10＋S 100＋100×10d ，又S 100－10S 10＝100×992d －100×92d ＝10－10×100，即100d ＝－22，所以S 110＝－110. 题型三 求数列{|a n |}的前n 项和【例3】在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和． 【解析】等差数列{a n }的公差 d ＝a 17－a 117－1＝－12－(－60)16＝3，∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－60＋3(n －1)＝3n －63， 令a n <0，即3n －63<0，则n <21.∴等差数列{a n }的前20项是负数，第20项以后的项是非负数，设S n 和S ′n 分别表示数列{a n }和{|a n |}的前n 项和．当n ≤20时，S ′n ＝－S n ＝－⎣⎡⎦⎤－60n ＋3n (n －1)2＝－32n 2＋1232n ；当n >20时，S ′n ＝－S 20＋(S n －S 20)＝S n －2S 20＝－60n ＋3n (n －1)2－2×⎝⎛⎭⎫－60×20＋20×192×3＝32n 2－1232n ＋1 260， ∴数列{|a n |}的前n 项和为S ′n ＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n ，n ≤20，32n 2－1232n ＋1 260，n >20.【方法归纳】已知{a n }为等差数列，求数列{|a n |}的前n 项和的步骤 第一步，解不等式a n ≥0(或a n ≤0)寻找{a n }的正负项分界点．第二步，求和：①若a n 各项均为正数(或均为负数)，则{|a n |}各项的和等于{a n }的各项的和(或其相反数)；②若a 1>0，d <0(或a 1<0，d >0)，这时数列{a n }只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 【跟踪训练3】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .【解析】a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n － ⎣⎡⎦⎤－32(n －1)2＋2052(n －1)＝－3n ＋104.∵n ＝1也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *)． 由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤34.7. 即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.①当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n ；②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n ＝2⎝⎛⎭⎫－32×342＋2052×34－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3 502. 故T n ＝⎩⎨⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34且n ∈N *，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35且n ∈N *.【易错辨析】混淆等差数列的性质致误【例4】已知等差数列{a n }的前n 项之和记为S n ，S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________. 【答案】120【解析】由题意知⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝1030a 1＋30×292d ＝70得⎩⎨⎧a 1＝25，d ＝215.所以S 40＝40×25＋40×392×215＝120.【易错警示】 1. 出错原因将等差数列中S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列误认为S m ，S 2m ，S 3m 成等差数列. 2. 纠错心得本题可用等差数列的性质：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列求解；还可以由S 10＝10，S 30＝70联立方程组解得a 1和d ，再求S 40.一、单选题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为18，若21S =，13n n a a -+=，则n 的值为（ ）A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】B 【分析】由已知得()121124n n n a a a a a a -+++=+=，得12n a a +=，再由等差数列求和公式可求得答案. 【解析】解：∵等差数列{}n a 的前n 项和为18，21S =，13n n a a -+=，∵121a a +=， ∵()121124n n n a a a a a a -+++=+=，解得12n a a +=， 又()1182n n n a a S +==，∵2182n ⨯=，∵18n =.故选：B.2．已知在等比数列{}n a 中，3544a a a =，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且74b a =，则13S =（ ） A ．26 B ．52 C ．78 D ．104【答案】B 【分析】利用等比中项的性质可求得4a 的值，即为7b 的值，再利用等差数列的求和公式可求得13S 的值. 【解析】因为在等比数列{}n a 中，3544a a a =，可得2444a a =，40a ≠，解得44a =，又因为数列{}n b 是等差数列，744b a ==，则()13113711313134522S b b b =⨯+==⨯=.故选：B.3．已知数列{}n a 的各项均不为零，1a a =，它的前n 项和为n S ．且n a1n a +（*N n ∈）成等比数列，记1231111n nT S S S S =+++⋅⋅⋅+，则（ ） A ．当1a =时，202240442023T < B ．当1a =时，202240442023T > C ．当3a =时，202210111012T > D ．当3a =时，202210111012T <【答案】C 【分析】结合等比性质处理得22n n a a +-=，再分1a =和3a =分类讨论，1a =时较为简单，结合裂项法直接求解，当3a =时，放缩后再采用裂项即可求解.【解析】由n a1n a +成等比数列可得，12n n n S a a +=⋅①，也即1122n n n S a a +++=⋅②，②-①得()1122n n n n a a a a +++=-，因为0n a ≠，所以，22n n a a +-=，即数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，当1a a =时，1122a a a =⋅，即22a =，对A 、B ，当1a =时，12341,2,3,4,n a a a a a n =====，此时数列为等差数列，前n 项和为()12n n n S +=，()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 故12311111111112121223+11n n T S S S S n n n ⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 当2022n =时，2022140442120232023T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故A 、B 错误； 对C 、D ，当3a =时，1352021202113,5,7,3+220232a a a a -====⨯=， 2420222,4,,2022a a a ===,当n 为偶数时，232n n nS +=， 当n 为奇数时，()()()2213132122n n n n n S n +++++=-+=， 所以()()12,2n n n S n N *++≤∈,()()121121212n S n n n n ⎛⎫≥=- ⎪++++⎝⎭, 此时202212320221111T S S S S =+++⋅⋅⋅+ 111111110112123342023202410121012⎛⎫>-+-++-=-= ⎪⎝⎭，故C 正确，D 错误. 故选：C4．数列{}n a 中，12a =，且112n n n n n a a a a --+=+-（2n ≥），则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2021项和为（ ） A ．20211010B ．20211011C ．20191010D ．40402021【答案】B 【分析】由已知可得221(1)(1)n n a a n ----=，从而得221(1)(1)(1)2n a a n n ---=+-+⋅⋅⋅+，再由12a =得2(1)(1)2n n n a +-=，所以212112(1)(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，然后利用裂项相消求和法可求得结果【解析】因为112n n n n na a a a --+=+-（2n ≥），所以22112()n n n n a a a a n -----=，整理得，221(1)(1)n n a a n ----=，所以221(1)(1)(1)2n a a n n ---=+-+⋅⋅⋅+，因为12a =，所以2(1)(1)2n n n a +-=， 所以212112(1)(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，所以数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2021项和为2021111111202121212232021202220221011S ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B5．有一个三人报数游戏：首先甲报数字1，然后乙报两个数字2、3，接下来丙报三个数字4、5、6，然后轮到甲报四个数字7、8、9、10，依次循环，则甲报出的第2028个数字为（ ） A ．5986 B ．5987 C ．5988 D ．以上都不对【答案】C 【分析】首先分析出甲第n 次报数的个数，得到甲第n 次报完数后总共报数的个数，计算出甲是第0n 次报数中会报到第2020个数字，再计算当甲第0n 次报数时，3人总的报数次数m ， 再推算出此时报数的最后一个数m S ，再推出甲报出的第2028个数字. 【解析】由题可得甲第n *()n N ∈次报数的个数为32n -， 则甲第n 次报完数后总共报数的个数为[1(32)](31)22n n n n n T +--==，再代入正整数n ，使2020,n T n ≥的最小值为37，得372035T =， 而甲第37次报时，3人总共报数为3631109⨯+=次， 当甲第109次报完数3人总的报数个数为109(1091)12310959952m S +=++++==， 即甲报出的第2035个数字为5995， 所以甲报出的第2028个数字为5988. 故选：C.6．已知数列{}n a 满足()112nn n a a n +=-+，*n N ∈，则10S =（ ）A ．32B ．50C ．72D ．90【答案】B 【分析】由递推关系式，求得12a a +，34a a +，56a a +，78a a +，910a a +，然后相加可得10S ． 【解析】由已知212a a =-+，122a a +=，436a a =-+，346a a +=，同理5610a a +=，7814a a +=，91018a a +=， 所以102610141850S =++++=． 故选：B ．7．庑殿是古代传统建筑中的一种屋顶形式，其可近似看作由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成，如图所示.若在等腰梯形与等腰三角形侧面中需铺瓦6层，等腰梯形中下一层铺的瓦数比上一层铺的瓦数多2,等腰三角形中下一层铺的瓦数是上一层铺的瓦数的2倍.两个等腰梯形与两个等腰三角形侧面同一层全部铺上瓦，其瓦数视作同一层的总瓦数.若顶层需铺瓦82块，整个屋顶需铺瓦666块，则最底层需铺瓦块数为（ ）A ．82B ．114C ．164D ．228【答案】C 【分析】由题意得等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成一个公差为2的等差数列{}n a ，等腰三角形中铺的瓦数自上而下构成一个公比为2的等比数列{}n b ，故得到()()11611282,1265262666,212a b b a ⎧+=⎪⎪⎡⎤-⨯⎨⎢⎥+⨯+=⎪-⎢⎥⎪⎣⎦⎩，进而可求得两个数列的通项公式，再分别求每个数列的第6项，()()56622502164a b +=+=可得到最终结果.【解析】由题意等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成一个公差为2的等差数列{}n a ， 等腰三角形中铺的瓦数自上而下构成一个公比为2的等比数列{}n b ， 由条件可知，()()11611282,1265262666,212a b b a ⎧+=⎪⎪⎡⎤-⨯⎨⎢⎥+⨯+=⎪-⎢⎥⎪⎣⎦⎩解之得1140,1ab ==，所以()14021238,2n n n a n n b -=+-=+=，所以()()56622502164a b +=+=，故最底层需铺瓦块数为164，故选：C.8．设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，已知数列{}n b 的等差数列，且2n n na nb a +=，33a =，4511b b +=，则n n S T +=（ ） A ．22n n - B ．22n n -C ．22n n +D ．22n n +【答案】D 【分析】设等差数列{}n b 的公差为d ，进而根据等差数列的通项公式计算得121b d =⎧⎨=⎩，故1n b n =+，n a n =，再根据等差数列前n 项和公式求解即可。
4.2.2 等差数列的前n 项和公式(第2课时)素养目标学科素养1.掌握等差数列前n 项和的性质及应用．(重点、难点) 2．会用裂项相消法求和．(重点)1.数学运算； 2．逻辑推理情境导学数列在我们日常生活中有着广泛的应用，比如仓库中堆放的钢管，想要知道共有多少个，可取同样的钢管反位置摆放，这样就可以知道有多少个．你能找到其中所应用的数学原理吗？1．数列{|a n |}的前n 项和问题根据通项公式判断数列{a n }是先正后负，还是先负后正，在正、负分界点处分两段，分别去掉绝对值符号，转化为等差数列的求和问题． 2．等差数列前n 项和的性质(1)设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(2)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形：①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)等差数列的前n 项和S n 一定是关于n 的二次函数．(×)(2)若无穷等差数列{a n }的公差d >0，则其前n 项和S n 不存在最大值．(√) (3)若两个等差数列的前n 项和分别为A n ，B n ，则一定有a n b n ＝A nB n.(×)1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝______，S n 的最小值为______.0 －10 解析：a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10，即a 1＋2d ＝－2，解得a 1＝－4，d ＝1，所以a 5＝a 1＋4d ＝0，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－9n2.当n ＝4或5时，S n 最小，为－10.2．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，且a 7b 7＝23，则S 13T 13＝________.23 解析：S 13T 13＝(a 1＋a 13)×132(b 1＋b 13)×132＝13a 713b 7＝a 7b 7＝23. 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大． 10或11 解析：令a n ≥0得－n 2＋10n ＋11≥0， 即n 2－10n －11≤0，∴－1≤n ≤11.∵n ∈N *，∴该数列前10项为正，第11项为0. ∴该数列前10或11项的和最大．4．已知等差数列{a n }，a n ＝2n －9，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.52 解析：由a n ≥0得n ≥4.5，∴前4项为负，以后各项为正，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋…＋a 10)＝－S 4＋S 10－S 4＝S 10－2S 4＝20－2×(－16)＝52.【例1】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n －⎣⎡⎦⎤－32(n －1)2＋2052(n －1)＝－3n ＋104. ∵a 1＝101也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104. 由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤1043.即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.①当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n .②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n | ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n＝2⎝⎛⎭⎫－32×342＋2052×34－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3 502. ∴T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35.已知等差数列{a n }，求{|a n |}的前n 项和的步骤： (1)确定{a n }的通项公式；(2)根据通项公式确定数列{a n }中项的符号，即判断数列{a n }是先负后正，还是先正后负； (3)去掉数列{|a n |}中各项的绝对值，转化为{a n }的前n 项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，再利用数列{a n }的前n 项和公式求解； (4)将{|a n |}的前n 项和写成分段函数的形式．在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和． 解：∵数列{a n }的公差d ＝a 17－a 117－1＝－12－(－60)17－1＝3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－60＋(n －1)×3＝3n －63. 令a n <0，即3n －63<0，解得n <21.∴数列{a n }的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数． 设S n ，S ′n 分别表示数列{a n }和{|a n |}的前n 项和， 当n ≤20时，S ′n ＝－S n ＝－⎣⎡⎦⎤－60n ＋n (n －1)2×3＝－32n 2＋1232n ；当n >20时，S ′n ＝－S 20＋(S n －S 20)＝S n －2S 20＝－60n ＋n (n －1)2×3－2×⎝⎛⎭⎫－60×20＋20×192×3＝32n 2－1232n ＋1 260.∴数列{|a n |}的前n 项和S ′n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n ，n ≤20，32n 2－1232n ＋1 260，n >20.【例2】等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，且a 1＝25，S 17＝S 9，数列{a n }前多少项和最大？解：(方法一)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，S 17＝S 9，∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2.从而S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.故前13项之和最大． (方法二)由方法一得d ＝－2. ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，∴当n ＝13时，S n 有最大值．求等差数列前n 项和S n 最值的方法：(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． (2)运用二次函数的图象求最值．1．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16D ．S 17A 解析：∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．⎝⎛⎭⎫－1，－78 解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.【例3】等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为其前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1S n .解：∵等差数列{a n }的首项a 1＝3，公差d ＝2，∴前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n (n ∈N *)，∴1S n ＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).把数列的通项公式拆成两项之差，即数列的每一项可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相抵消，于是前n 项和变成首尾若干项之和，这一求和方法称为裂项相消法．常见的拆项公式(其中n ∈N *)： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④若等差数列{a n }的公差为d ， 则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2. ⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).⑥1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑦1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑nk ＝11S k＝________.2nn ＋1解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d . 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，4a 1＋4×32d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 数列的前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2，裂项可得1S k ＝2k (k ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1，所以∑nk ＝11S k＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.探究题1 已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且S n T n ＝2n ＋13n －2，求a 9b 9的值．解：∵S 2n －1＝2n －12(a 1＋a 2n －1)＝(2n －1)a n ，T 2n －1＝2n －12(b 1＋b 2n －1)＝(2n －1)b n ， ∴a 9b 9＝S 2×9－1T 2×9－1＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝57. 探究题2 已知数列{a n }为等差数列，若a 7a 6<－1，且前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n的最大值为________．11 解析：∵a 7a 6<－1，且S n 有最大值，∴a 6>0，a 7<0且a 6＋a 7<0， ∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)<0，∴使S n >0的n 的最大值为11.探究题3 等差数列{a n }中，S m ＝n ，S n ＝m ，求S m ＋n . 解：设等差数列{a n }的公差为d . ∵S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝n ，①S n ＝na 1＋n (n －1)d2＝m ，②①－②得(m －n )a 1＋(m －n )(m ＋n －1)2d ＝n －m ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫a 1＋m ＋n －12d＝－(m ＋n )．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．12D ．13C 解析：因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零．又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 2＋a 8＝－6，则S n 的最小值等于( ) A ．－34 B ．－36 C ．－6D ．6B 解析：设数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＋a 8＝－6，∴2a 1＋8d ＝－6. 又a 1＝－11，∴d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)d2＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，∴当n ＝6时，S n 有最小值S 6＝－36.故选B ．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．42 B 解析：由于{a n }是等差数列，故S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，所以2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，即2(10－4)＝4＋S 6－10，解得S 6＝18.故选B ．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5C 解析：因为S 4＝2(a 2＋a 3)≥10，所以a 2＋a 3≥5.又S 5＝5a 3≤15，所以a 3≤3.而a 4＝3a 3－(a 2＋a 3)，故a 4≤4，当且仅当a 2＝2，a 3＝3时等号成立，所以a 4的最大值为4.故选C ． 4．已知等差数列{a n }的公差为1，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝102，试求a 3＋a 6＋…＋a 99的值． 解：由题意，等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝102，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97)＋(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98)＋(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝3(a 3＋a 6＋…＋a 99)－33×2d －33d ＝3(a 3＋a 6＋…＋a 99)－99， 所以a 3＋a 6＋…＋a 99＝102＋993＝67.5．某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行，感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现高发．据资料统计，某市11月1日开始出现该病毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该病毒的传播速度得到控制，从第t 天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30日为止．(1)设11月n 日当天新感染人数为a n ，求{a n }的通项公式(用t 表示)；(2)若到11月30日止，该市在这30日感染该病毒的患者共有8 670人，11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数． 解：(1)由题意得， 当n ≤t 时是公差为50，首项为20的等差数列， 此时a n ＝20＋50(n －1)＝50n －30(1≤n ≤t )．当n ≥t ＋1时是公差为－30，首项为50t －30的等差数列，此时a n ＝50t －30－30(n －t ) ＝－30n ＋80t －30(t ＋1≤n ≤30)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧50n －30，n ≤t ，－30n ＋80t －30，t ＋1≤n ≤30，n ∈N *.(2)由(1)可知，前t 日患者共有S t ＝(20＋50t －30)t 2＝(25t 2－5t )人．又第t ＋1日有－30(t ＋1)＋80t －30＝(50t －60)人，第30日有－30×30＋80t －30＝(80t －930)人．故t ＋1日至第30日共30－t 天的时间里共有S ′t ＝(50t －60＋80t －930)(30－t )2＝－65t 2＋2 445t －14 850.故1到30日共有S t ＋S ′t ＝25t 2－5t －65t 2＋2 445t －14 850＝－40t 2＋2 440t －14 850. 故－40t 2＋2 440t －14 850＝8 670⇒t 2－61t ＋588＝0即(t －12)(t －49)＝0，又1≤t ≤30 ，故t ＝12.当天新增患病人数为50×12－30＝570.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这一天的新患者人数为570人．1．已知等差数列{a n }，求{|a n |}的前n 项和的步骤 (1)确定{a n }的通项公式；(2)根据通项公式确定数列{a n }中项的符号，即判断数列{a n }是先负后正，还是先正后负；(3)去掉数列{|a n |}中各项的绝对值，转化为{a n }的前n 项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，再利用数列{a n }的前n 项和公式求解； (4)将{|a n |}的前n 项和写成分段函数的形式． 2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .3．利用裂项相消法求数列前n 项和．课时分层作业(六)等差数列的前n 项和公式(第2课时)(60分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 求数列{|a n |}的前n 项和1．(5分)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 15|＝( ) A ．139 B ．153 C ．144D ．178B 解析：∵a n ＝2n －7，∴a 1＝－5，d ＝2.∴S n ＝n 2－6n .∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a 15＝－S 3＋(S 15－S 3)＝S 15－2S 3＝153.2.(5分)在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值为________． 60 解析：∵a 1>0，a 10·a 11<0， ∴d <0，a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋a 2＋…＋a 10－(a 11＋a 12＋…＋a 18)＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 知识点2 等差数列前n 项和的最值问题3．(5分)已知数列{a n }为等差数列，a 2＝0，a 4＝－2，则其前n 项和S n 的最大值为( ) A ．98B ．94C ．1D ．0C 解析：∵a 2＝0，a 4＝－2，∴d ＝－1，∴a n ＝2－n .∴S n 的最大值为S 1＝S 2＝1.4．(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝26－2n ，若使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为( ) A ．12 B ．13 C ．12或13D ．14C 解析：由a n ≥0，得n ≤13，∴S 13＝S 12最大.5.(5分)已知等差数列{a n }，|a 5|＝|a 9|，公差d >0，则使得其前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是________．6或7 解析：∵d >0，∴|a 5|＝|a 9|可化为－a 5＝a 9. 即a 5＋a 9＝2a 7＝0.∴a 7＝0，∴a 6<0，a 8>0. ∴S 6＝S 7最小．知识点3 利用裂项相消法求数列的和 6．(5分)在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1(n ∈N *)．又b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和S n 为(A) A ．4n n ＋1B ．2n n ＋1 C ．n 2n －1D ．2n2n ＋1得分7.(5分)设数列{a n }满足对任意的n ∈N *，P n (n ，a n )满足P n P n ＋1＝(1,2)，且a 1＋a 2＝4，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和S n 为________． n2n ＋1解析：∵P n (n ，a n )，P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)， ∴P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，∴a n ＋1－a n ＝2. ∴{a n }为等差数列，d ＝2.∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝4，∴a 1＝1.∴a n ＝2n －1. ∵1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)·(2n ＋1)＝ 12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴S n ＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.知识点4 等差数列前n 项和性质的应用8．(5分)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝5n ＋3n ＋3，则a 5b 5的值为( ) A ．2 B ．72C ．4D ．5C 解析：∵两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝5n ＋3n ＋3，∴a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝A 9B 9＝5×9＋39＋3＝4.故选C ． 9．(5分)已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则此数列中绝对值最小的项为( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项D ．第8项C 解析：∵S 13<0，S 12>0，∴d <0. ∵S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0.∵S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0且|a 6|>|a 7|. ∴a 7的绝对值最小.能力提升练能力考点 拓展提升10.(5分)(多选)设{a n }是等差数列，S n 是前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则( ) A ．d >0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值BD 解析：由S 5<S 6得a 1＋a 2＋…＋a 5<a 1＋a 2＋…＋a 5＋a 6， ∴a 6>0.又S 6＝S 7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7，∴a 7＝0. 同理由S 7>S 8可得a 8<0.若S 9>S 5，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0， ∴2(a 7＋a 8)>0.由题设a 7＝0，a 8<0，显然A ，C 项是错误的．11．(5分)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个D 解析：∵a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1.当n ＋1＝2,3,4,6,12，即n ＝1,2,3,5,11时，a nb n是整数．12．(5分)(多选)已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7BC 解析：∵在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，∴a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0.又d <0，∴a 5>0，a 7<0，∴使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是5或6.13.(5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 19>0，S 20<0，则使S n 取得最大值的n 为________．10 解析：由S 19>0，S 20<0，可知{a n }为递减的等差数列．设其公差为d ，则d <0.由S 19＝19×(a 1＋a 19)2>0，S 20＝20×(a 1＋a 20)2<0，得a 1＋a 19＝2a 10>0，a 1＋a 20＝a 10＋a 11<0，所以a 10>0，a 11<0.所以使S n 取得最大值的n 为10.14.(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n －1，则数列{|a n |}的前n 项和为________．n 2＋2n 解析：由题可知数列{a n }的各项均为负值，设数列{|a n |}的前n 项和为S n ，则有S n ＝－a 1－a 2－…－a n ＝3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n .15.(10分)已知数列{a n }为等差数列，其中a 2＋a 3＝8，a 5＝3a 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2a n a n ＋1，设{b n }的前n 项和为S n ，求最小的正整数n ，使得S n >2 0202 021.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3d ＝8，a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝2a n a n ＋1＝12n －1－12n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1. 令1－12n ＋1>2 0202 021，解得n >1 010，故取n ＝1 011. 16.(10分)设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n是a 2n 和a n 的等差中项．(1)证明数列{a n }为等差数列，并求a n .(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大值，并求出取最大值时n 的值． 解：(1)由已知，得2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0. 当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1.所以2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，即2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)． 故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， 且a n ＝n .(2)由(1)可知a n ＝n .设c n ＝a n ·b n ，则c n ＝n (－n ＋5)＝－n 2＋5n ＝－⎝⎛⎭⎫n －522＋254. ∵n ∈N *，∴当n ＝2或n ＝3时，{c n }的最大项为6. 故{a n ·b n }的最大值为6，此时n ＝2或n ＝3.17.(10分)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝25，a 4＝16.(1)求n 为何值时，S n 取得最大值； (2)求a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20的值； (3)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：(1)在等差数列{a n }中，a 1＝25，a 4＝16， ∴公差d ＝a 4－a 14－1＝－3.∴a n ＝－3n ＋28.令a n ＝－3n ＋28≥0且n ∈N *，得n ≤9. ∴当n ≤9时，a n >0；当n >9时，a n <0. ∴当n ＝9时，S n 取得最大值． (2)∵数列{a n }是等差数列，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20＝10(a 2＋a 20)2＝10a 11＝10×(－3×11＋28)＝－50. (3)由(1)得，当n ≤9时，a n >0；当n >9时，a n <0. ∴当n ≤9时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝25n ＋n (n －1)2×(－3)＝－32n 2＋532n .当n >9时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a 9－(a 10＋a 11＋…＋a n )＝2S 9－S n ＝2×(9×25－36×3)－⎣⎡⎦⎤25n －32n (n －1)＝32n 2－532n ＋234. 所以T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋532n ，n ≤9，32n 2－532n ＋234，n >9.重难强化训练(一)数列和等差数列(60分钟 100分)练易错易错点1| 忽视数列是特殊的函数 [防范要诀]数列的通项a n 及前n 项和S n 都可看作定义域为正整数集或其子集上的函数，要善于运用函数的观点认识和理解数列问题． [对点集训]1．(5分)设a n ＝－n 2＋5n －6，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A ．163B ．133C ．34D ．0D 解析：此二次函数图象对称轴n ＝52∉N *.∴ 当n ＝2或3时，a n 取最大值，a 2＝a 3＝0.2．(5分)已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于任意n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >0 B ．k >－1 C ．k >－2D ．k >－3D 解析：∵a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2>n 2＋kn ＋2， 即k >－(2n ＋1)对于任意n ∈N *都成立， 当n ＝1时，－(2n ＋1)取最大值－3， ∴k >－3.3.(5分)已知数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大．10或11 解析：令a n ≥0得－n 2＋10n ＋11≥0， 即n 2－10n －11≤0，∴－1≤n ≤11.∵n ∈N *，∴该数列前10项为正，第11项为0. ∴该数列前10或11项的和最大． 易错点2| 不能正确进行a n 与S n 互化 [防范要诀]凡是已知S n 的表达式或S n 与a n 的关系式，都需要用到当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；另外，也不要忽视检验n ＝1是否也适合a n . [对点集训]4．(5分)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列C 解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1， ∴S n －1＋S n ＝a n (n ≥2)，两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴a n ＝0(n ≥2)． 当n ＝1时，S 1＋S 2＝a 2，∴2a 1＝0即a 1＝0. ∴{a n }是常数列，各项均为0.5.(5分)已知数列{a n }满足S n ＝n 2＋1，则通项公式a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2 解析：∵S n ＝n 2＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2与上式不符合．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.易错点3| 对等差数列的定义理解不透致误 [防范要诀]使用等差数列的定义时容易出现以下错误：(1)对定义中“从第二项起”理解有误，常常忽略首项；(2)忽略“任意”，误认为验证有限个相邻两项的差是常数即得等差数列；(3)误认为任意相邻两项的差就是等差数列的公差． [对点集训]6.(5分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥2，n ∈N *)，判断{a n }是否是等差数列．解：当n ≥2时，由2a n ＋1＝2a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝32.但a 2－a 1＝1≠32，故数列{a n }不是等差数列.7.(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝14(a n ＋1)2，且a n >0.求{a n }的通项公式．解：∵S n ＝14(a n ＋1)2.∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝14(a n ＋1)2－14(a n －1＋1)2. ∴a 2n －a 2n －1－2a n －2a n －1＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n >0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)． ∴{a n }为等差数列，公差为2.当n ＝1时，S 1＝a 1＝14(a 1＋1)2.∴a 21－2a 1＋1＝0. ∴a 1＝1.∴a n ＝2n －1. 练疑难8．(5分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3的值是( ) A ．12B ．23C ．34D ．1A 解析：∵在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)， ∴a 2×1＝a 1＋(－1)2＝1＋1＝2，解得a 2＝2， a 3×2＝a 2＋(－1)3＝2－1＝1.∴a 3＝12.9．(5分)若lg 2，lg (2x －1)，lg (2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．0 B ．log 25 C ．32D ．0或32B 解析：依题意得2 lg (2x －1)＝lg 2＋lg (2x ＋3)， ∴(2x －1)2＝2(2x ＋3)，∴(2x )2－4·2x －5＝0， ∴(2x －5)(2x ＋1)＝0，∴2x ＝5或2x ＝－1(舍)， ∴x ＝log 25.10．(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －7n ＋2，则此数列中数值最小的项是( ) A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项D ．第13项C 解析：∵a n ＝n －7n ＋2＝(n )2－7n ＋2 ＝⎝⎛⎭⎫n －722－414. 令n ＝72，则n ＝494＝12.25.∵n ∈N *，∴当n ＝12时，a n 最小．11．(5分)已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325D 解析：由题可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，根据等差数列的通项公式可得⎩⎨⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，从而解得875<d ≤325.12．(5分)等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，则下列结论正确的是( ) A ．S 30是S n 的最大值 B ．S 30是S n 的最小值 C ．S 30＝0 D ．S 60＝0D 解析：等差数列的前n 项和公式可写为S n ＝an 2＋bn 的形式，由S 20＝S 40知S n 关于直线n ＝30对称，但因为不知道a 的符号，所以无法判断S 30是最大或是最小．由S 20＝S 40可知S 60＝0，故选D ．13.(5分)数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋m 3n 为等差数列的实数m 的值为________． －12 解析：a 1＝5，a 2＝3×5＋32－1＝23， a 3＝3×23＋33－1＝95，依题意得5＋m 3，23＋m 32，95＋m33成等差数列，∴2·23＋m 32＝5＋m 3＋95＋m33，∴m ＝－12.经检验m ＝－12满足题设.14.(10分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .解：(1)由题意，得⎩⎨⎧3a 1＋3×22d ＝6，8a 1＋8×72d ＝－4.即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S n ＝3n ＋n (n －1)2×(－1)＝－12n 2＋72n .(2)由(1)，得S n n ＝－12n ＋72，所以S n ＋1n ＋1－S n n ＝－12(n ＋1)＋72－⎝⎛⎭⎫－12n ＋72＝－12，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为S 11＝3，公差为－12的等差数列，故T n ＝3n ＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝－14n 2＋134n .15.(10分)已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．(1)解：∵f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ， 即a n －1a n ＝－2n (看成关于a n 的方程)．∴a 2n ＋2na n －1＝0， 解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n ＞0， ∴a n ＝n 2＋1－n .(2)证明：作商比较，∵a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)＜1.又a n ＞0，∴a n ＋1＜a n ，故数列{a n }是递减数列.16.(10分)数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn ＋2.(1)若a 2＝a 7，求数列{a n }的最小项；(2)若不等式a n ≥a 4恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)由a 2＝a 7得k ＝－9，即a n ＝n 2－9n ＋2＝⎝⎛⎭⎫n －922－734. 因为n ∈N ＋，所以当n ＝4或5时，{a n }的最小项为a 4＝a 5＝－18. (2)a n ＝n 2＋kn ＋2＝⎝⎛⎭⎫n ＋k 22＋2－k24， 因为不等式a n ≥a 4恒成立，所以3.5≤－k2≤4.5，解得－9≤k ≤－7.所以实数k 的取值范围为{k |－9≤k ≤－7}．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
4．2．2 等差数列的前n 项和公式【题型归纳目录】题型一：等差数列前n 项和的有关计算 题型二：等差数列前n 项和的比值问题 题型三：等差数列前n 项和的性质 题型四：等差数列前n 项和的最值问题 题型五：求数列{}||n a 的前n 项和题型六：等差数列前n 项和公式的实际应用 题型七：由等差数列的前n 项和判断等差数列 题型八：等差数列片段和的性质 题型九：等差数列的奇数项与偶数项和 【知识点梳理】知识点一、等差数列的前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式 公式一：1()2n n n a a S +=证明：倒序相加法 1231n n n S a a a a a -=+++++①1221n n n n S a a a a a --=+++++②①+②：1213212()()()()n n n n n S a a a a a a a a --=++++++++因为121321n n n n a a a a a a a a --+=+=+==+所以12()n n S n a a =+ 由此得：1()2n n n a a S +=公式二：1(1)2n n n dS na -=+证明：将1(1)n a a n d =+-代入1()2n n n a a S +=可得：1(1)2n n n dS na -=+ 知识点诠释：①倒序相加是数列求和的重要方法之一．②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及1a 、n 、d 、n a 、n S 五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．知识点二、等差数列的前n 项和的有关性质 等差数列{}n a 中，公差为d ，则①连续k 项的和依然成等差数列，即k S ，2k k S S -，32k k S S -，…成等差数列，且公差为2k d ． ②若项数为2n ，则21()n n n S n a a +=+，S S nd -=奇偶，1nn S a S a +=奇偶③若项数为21n -，则21(21)n n S n a -=-，n S na =奇，(1)n S n a =-偶，n S S a -=奇偶，1S n S n =-奇偶知识点三、等差数列中的函数关系等差数列{}n a 的通项公式是关于n 的一次函数（或常数函数） 等差数列{}n a 中，11(1)()n a a n d dn a d =+-=+-，令1a d b -=，则： n a dn b =+（d ，b 是常数且d 为公差）（1）当0d =时，n a b =为常数函数，{}n a 为常数列；它的图象是在直线y b =上均匀排列的一群孤立的点．（2）当0d ≠时，n a dn b =+是n 的一次函数；它的图象是在直线y dx b =+上均匀排列的一群孤立的点．①当0d >时，一次函数单调增，{}n a 为递增数列； ②当0d <时，一次函数单调减，{}n a 为递减数列．等差数列{}n a 的前n 项和公式是关于n 的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-，令2d A =，12dB a =-，则： 2n S An Bn =+（A ，B 是常数）（1）当0d =即0A =时，1n S Bn na ==，n S 是关于n 的一个一次函数；它的图象是在直线1y a x =上的一群孤立的点．（2）当0d ≠即0A ≠时，n S 是关于n 的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线2y Ax Bx =+上的一群孤立的点．①当0d >时n S 有最小值 ②当0d <时，n S 有最大值 知识点诠释：1、公差不为0的等差数列{}n a 的通项公式是关于n 的一次函数．2、n a pn q =+（p ，q 是常数）是数列{}n a 成等差数列的充要条件．3、公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和公式是关于n 的一个常数项为零的二次函数．4、2n S An Bn =+（其中A ，B 为常数）是数列{}n a 成等差数列的充要条件．【方法技巧与总结】 1、等差数列前n 项和的最值（1）在等差数列{}n a 中，当10a >，0d <时，n S 有最大值，使n S 取得最值的n 可由不等式组100n n a a +⎧⎨⎩确定；当10a <，0d >时，n S 有最少值，使n S 取到最值的n 可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩确定． （2）2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若0d ≠，则从二次函数的角度看：当0d >时，n S 有最少值；当0d <时，n S 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，n S 取到最值．【典型例题】题型一：等差数列前n 项和的有关计算例1．（重庆市璧山来凤中九校2022届高三上学期联考模拟（二）数学试题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若681012a a a ++=，则15S =（ ） A ．150 B ．120 C ．75 D ．60【答案】D【解析】因为6810,,a a a 也成等差数列，故61082a a a +=，同理11582a a a += 因为681012a a a ++=，所以8312a =，故84a = 所以()115815815152156022a a a S a +⨯====. 故选：D例2．（2022·福建·泉州高三期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若954S =，8530S S -=，则11S =（ ） A ．77 B ．88 C ．99 D ．110【答案】B【解析】954S =，得5954a =，解得56a =， 8530S S -=，得6787330a a a a ++==，解得710a =，故7522a a d -==， 11651111()11888S a a d ==⨯+=⨯=.故选：B例3．（2022·江苏·盱眙县第二高级高二期中）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：3111,3a a ==，则25S =（ ）A ．72B ．75C ．60D ．100【答案】B【解析】由133a =可得：12513251322525257522a a aS a +=⨯=⨯==， 故选：B变式1．（2022·浙江·镇海高二期中）等差数列{}n a 中，已知113a =，21a =，1200n S =，则n 为（ ）A ．58B ．59C ．60D ．61【答案】C【解析】由{}n a 是等差数列，113a =，21a =得2123d a a =-=则()211120023n n n n S na d -=+==即23600n =，60n = 故选：C.变式2．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知等差数列{}n a 的前3项和为27，5230a a +=，则8a =（ ） A ．31 B ．32C ．33D ．34【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意313327S a d =+=，12530a d +=， 解得4d =，15a =，所以81752833a a d =+=+=． 故选：C【方法技巧与总结】 等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量1,,,n a d n a 和n S ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量1a 和d 的方程组，解出1a 和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．（2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若()*,,,m n p q m n p q +=+∈N ，则m n p q a a a a +=+，常与求和公式()12n n n a a S +=结合使用．题型二：等差数列前n 项和的比值问题例4．（2022·江苏省震泽高二阶段练习）已知,n n S T 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和，且()211,2,42n n S n n T n +==-，则1011318615a ab b b b +=++（ ）A ．1120 B ．4178C ．4382D ．2342【答案】B【解析】因为数列{}n b 是等差数列，所以318615b b b b +=+， 所以10101111318615615a a a ab b b b b b ++=+++， 又因为,n n S T 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和，且()211,2,42n n S n n T n +==-，所以101011120201131861561512020220141420278a a a a a S ab b b b b b b b T +⨯++=====+⨯-++++, 故选：B .例5．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a ab b ++等于（ ）A ．10724B ．724C ．14912D ．1493【答案】A【解析】两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+， 所以1212201212112171512121215212107221324212a a a a a a S b b b b b b T +⨯++⨯+=====++++⨯. 故选：A例6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若对于任意的正整数n 都有2131n n S n T n +=-，则89a b =（ ） A ．3552B ．3150C ．3148D ．3546【答案】B【解析】设()21n S n nt =+，()31n T n nt =-，0t ≠.则88713610531a S S t t t =-=-=，99823418450b T T t t t =-=-=，所以893150a b =. 故选：B.变式3．（2022·全国·高三专题练习）若等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项的和分别是n S 和n T ，且21nnna b n =+，则1111S T =（ ） A ．1221B ．1123C ．613D ．1223【答案】C【解析】因为{}n a 和{}n b 是等差数列,故()()1116111111161161113a a a S Tb b b +⨯===+⨯ 故选:C变式4．（2022·北京·北理工附中高二期中）已知两等差数列{}n a ，{}n b ，前n 项和分别是n A ，n B ，且满足2132n n A n B n +=+，则66a b =（ ） A ．1320B ．2335C ．2538D ．2741【答案】B【解析】两等差数列{}n a ，{}n b ，前n 项和分别是n A ，n B ，满足2132n n A n B n +=+， 所以1116611111111661111111221112322311235112a a a a a a A b b b b b b B +⨯+⨯+======++⨯+⨯. 故选：B变式5．（2022·全国·高三专题练习）已知Sn 是等差数列{an }的前n 项和，若a 1＝﹣2018，20192013620192013S S -=，则S 2020等于（ ） A ．﹣4040 B ．﹣2020 C ．2020 D ．4040【答案】C【解析】∵Sn 是等差数列{an }的前n 项和，∴数列{nS n}是等差数列． ∵a 1＝﹣2018，20192013620192013S S -=， ∴数列{nS n }的公差d 616==，首项为﹣2018， ∴20202020S =-2018+2019×1＝1， ∴S 2020＝2020． 故选：C ．变式6．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20212020120212020S S =+且13a =，则( ) A ．21n a n =+ B ．1n a n =+ C ．22n S n n =+ D ．24n S n n =-【答案】A【解析】设{}n a 的公差为d ， ∵()112n n n S na d -=+∴111222n S n d d a d n a n -=+⋅=⋅+-， 即{nS n }为等差数列，公差为2d ， 由20212020120212020S S -=知122d d =⇒=， 故()23212122n n n n a n S n n ++=+==+，﹒故选：A ﹒【方法技巧与总结】设{}n a ，{}n b 的前n 项和为n S ，n T ，则2121::n n n n a b S T --=． 题型三：等差数列前n 项和的性质例7．（2022·四川·成都市新津区成实外高级高二阶段练习（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．若98S S >，910S S >，则170S >，180S <B ．若170S >，180S <，则98S S >，910S S >C ．若170S >，180S <，则170a >，180a <D ．若170a >，180a <，则170S >，180S <【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，A 选项，若98S S >，910S S >，8989,0S a S a +>>，991010,0S S a a >+<，则0d <， 11791792171717022a a aS a +=⨯=⨯=>，则90a >， ()118189101892a a S a a +=⨯=+，无法判断符号，A 选项错误. B 选项，11791792171717022a a aS a +=⨯=⨯=>，则90a >， 所以898S a S +>，所以98S S >. ()1181891018902a a S a a +=⨯=+<，则100a <，所以9910S S a >+，910S S >，B 选项正确.C 选项，若170S >，180S <，171181880,0S S a a <=<+， 11791792171717022a a aS a +=⨯=⨯=>，则90a >， ()1181891018902a a S a a +=⨯=+<，则100a <， 则10,0a d ><，170a <，C 选项错误. D 选项，若170a >，180a <，则10,0a d ><， 当*117,N n n ≤≤∈时0n a >，所以170S >， 但()1181891018902a a S a a +=⨯=+>，所以D 选项错误. 故选：B例8．（2022·陕西·榆林市第一高一期末（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若56S S <，67S S =，78S S >，则下列结论错误的是（ ）A ．680a a +=B ．58S S =C ．数列{}n a 是递减数列D ．130S >【答案】D【解析】由67S S =，则7670S S a -==，即1760a d a +==， 又86720a a a +==，故A 正确； ()1553552a a S a +==，()()182********a a a a S a ++===， 则3215460a a a d -=+=，故58S S =，B 正确； 由56S S <，78S S >，即6560S S a -=>，8780S S a -=< 所以0d <，数列{}n a 是递减数列，故C 正确； 137130S a ==，D 错误.故选：D例9．（2022·河南·舞阳县第一高级高二阶段练习（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10911S S S <<，则下列选项不正确的是（ ）A ．0d >B ．10a <C ．200S >D ．210S <【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足109S S <，1011S S <，则100a <，110a >， 所以0d >，10a <，故A ，B 正确；由911S S <，可知10110a a +>，所以()()20120101110100S a a a a =+=+>，故C 正确； 因为110a >，所以2111210S a =>，故D 不正确． 故选: D变式7．（2022·四川成都·高一期中（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，且1215S S =，则使0n S >成立的最大n 值为（ ） A ．13 B ．14 C ．26 D ．27【答案】C【解析】由12151314150S S a a a =⇒++=1414300a a ⇒=⇒= 又10a >，所以公差0d < ()()126261314261302a a S a a +==+> ()1272714272702a a S a +=== 所以使0n S >成立的最大n 值为26 故选：C变式8．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足19160,a S S <=，则（ ） A ．0d < B ．n S 的最小值为25SC ．130a =D ．满足0n S >的最大自然数n 的值为25【答案】C【解析】由于916S S = ，101112131415160a a a a a a a ++++++= ， ∴上式中等差中项130a =，13110120a a a d -=-=＞ ，即0d ＞ ， 故A 错误；由等差数列的性质可知2513250S a == ，110S a =＜ ，即125S S ＜ ， 故B 错误；由以上分析可知C 正确，D 错误； 故选：C.变式9．（2022·陕西渭南·一模（理））已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若15=90S ，则8=a （ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．3【答案】B【解析】因为数列{}n a 为等差数列，所以()115815815152=159022a a S a a +⨯===， 所以86a =.故选：B.变式10．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，且319S S =，则21S =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】方法一：∵319S S =∴()193451941980S S a a a a a -=+++=+=∴4190a a +=∴()2112345192021S a a a a a a a a =+++++++()12320211419122a a a a a a a a a =++++=++==，方法二：由于2n S An Bn =+是二次函数2()f x Ax Bx =+,当x n =时的函数值()n S f n =，根据二次函数的对称性，由319S S =可知，n S 的关于11n =对称，因此21112S S a ===， 故选:B变式11．（2022·全国·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且20112014S S =，2003k S S =，则正整数k 的值为（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【答案】C【解析】设等差数列{}n a 公差为d ，所以 ()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 所以n S 可看成关于n 的二次函数，由二次函数图象的对称性及20112014S S =，2003k S S =，可得20112014200322k ++=，解得2022k =． 故选：C ．【方法技巧与总结】利用等差数列前n 项和的性质简化计算（1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出1a 和d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些； （2）等差数列前n 项和n S 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．（3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法． 题型四：等差数列前n 项和的最值问题例10．（2022·陕西·镇巴高二期中（文））在等差数列{}n a 中，1102029,a S S ==，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．15SB ．16SC ．15S 或16SD ．17S【答案】A【解析】因为{}n a 是等差数列，1020S S =， 所以111092019102022a d a d ⨯⨯+=+，整理得12290a d +=， 又因为129a =，所以2d =-； 所以()()()22129230152252n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+． 故当15n =时，n S 取得最大值． 故选：A.例11．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，当且仅当6n =时n S 取得最大值，若130a =，则公差d 的取值范围为（ ） A ．()6,5--B ．[]6,5--C ．()(),65,-∞-⋃-+∞D ．()[),65,-∞-⋃-+∞【答案】A【解析】由已知可得6700a a >⎧⎨<⎩，即30503060d d +>⎧⎨+<⎩，解得65d -<<-，故选：A ．例12．（2022·北京高二期中）等差数列{}n a 中，68a a <，680a a +=，则当前n 项和n S 最小时，n =（ ） A ．7 B ．8 C ．6或7 D ．7或8【答案】C【解析】设公差为d ，因为68a a <，所以20d >，所以0d >，因为680a a +=，所以720a =，所以70a =，所以160a d +=，160a d =-<，所以1(1)(1)622n n n n n S na d nd d --=+=-+2113169224d n ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以当6n =或7n =时，n S 取得最小值. 故选：C变式12．（2022·湖南·南县第一高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20210S <，20220S >，则当n S 最小时，n 的值为（ ）A ．1010B ．1011C ．1012D ．2021【答案】B【解析】由于等差数列的前n 项和2n S An Bn =+的形式，图象是由经过坐标原点的抛物线上的横坐标为正整数的所有点构成，由20210S <，20220S >可知抛物线的开口向上，且大于零的零点在区间(2021,2022)之间，因此对称轴在区间()1010.5,1011之间，离对称轴最近的横坐标为整数的点的横坐标为1011n =, ∴n S 取得最小值时n 的值为1011． 故选：B变式13．（2022·山西·怀仁市第高二阶段练习（文））等差数列{}n a 是递增数列，且公差为d ，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选项错误的是（ ）A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【答案】C【解析】对于A 选项，因为等差数列{}n a 是递增数列，则10n n d a a +=->，A 对； 对于B 选项，因为753a a =，即116312a d a d +=+，可得130a d =-<，B 对；对于C 选项，()()()2217117493222224n n n d n n d n n d d S na dn n -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以，当3n =或4时，n S 最小，C 错； 对于D 选项，()2702n n n d S -=>，因为N n *∈，解得7n >，故0n S >时n 的最小值为8，D 对.故选：C.变式14．（2022·全国·高二课时练习）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意*n ∈N 都有n k S S ≤成立，则k 的值是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由147125813999,31293,a a a a d a a a a d ++=+=⎧⎨++=+=⎩解得139,2,a d =⎧⎨=-⎩ ∴()()()221139140204002n n n d S na n n n n n n -=+=--=-+=--+． ∴当20n =时，n S 取得最大值． ∵对任意*n ∈N 都有n k S S ≤成立， ∴k S 为数列{}n S 的最大值，∴20k =． 故选：B.变式15．（2022·陕西·武功县普集高级高二阶段练习）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且122a =，716S S =，则n S 取最大值时n 的值为（ ）A ．12B ．12或11C ．11或10D ．10【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由716S S =，得1172116120a d a d +=+，即1110a d +=， 又122a =，所以2d =-，所以()2221242n a n n =--=-，令0n a =，可得12n =， 所以数列{}n a 满足：当11n ≤时，0n a >；当12n =时，0n a =；当13n ≥时，0n a <， 所以n S 取得最大值时，n 的取值为11或12.变式16．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知等差数列{}n a 中，514a a =，且公差0d <，则其前n 项和取得最大值时n 的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】B【解析】由等差数列的公差0d <，514a a =知，5140a a +=，所以9100a a +=，故9100,0a a ><，则数列{}n a 的前n 项和取得最大值时n 的值为9.故选：B变式17．（2022·广东·石门高级高二阶段练习）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，27a =-，512S a =，当n S 取得最小值时，n =（ ）A ．1B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】设数列{}n a 的公差为d ，由已知得111754252a d a a d +=-⎧⎪⎨⨯=+⎪⎩，解得1103a d =-⎧⎨=⎩， 2(1)32310322n n n n nS n --=-+⨯=，由于41a =-0<，520a =0>，即4n ≤时0n a <，5n ≥时，0n a >， 所以4n ≤时，n S 递减，5n ≥时，n S 递增，其中1110S a ==-， 由n S 的表达式得77S =-，84S =，78S S >， 所8n =时，n S 最小． 故选：D ．变式18．（2022·安徽省临泉第一高二阶段练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20210S >，20220S <，则使得前n 项和n S 取得最大值时n 的值为（ ）A ．2022B ．2021C ．1012D ．1011【答案】D【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20210S >，20220S <， 所以()()()()120211011202110111202220221202210111012202120212202102220221011101102a a a S a a a S a a a a ⎧+⨯===>⎪⎪⎨+⎪==+=+<⎪⎩，所以10110a >，101110120a a +<，所以10110a >，10120a <，即等差数列{}n a 的公差0d <， 所以，1011n ≤时，0n a >；1012n ≥时，0n a <， 所以，使得前n 项和n S 取得最大值时n 的值为1011. 故选：D变式19．（2022·山西·康杰高二开学考试）已知等差数列{}n a 的通项公式为31n a tn =-（t Z ∈），当且仅当10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 最大，则当10k S =-时，k =（ ）A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】D【解析】由条件可知，当10n =时，1031100a t =->，1131110a t =-<， 解得：31311110t <<，因为t Z ∈， 所以3t =，得313n a n =-， ()28313102k k k S +-==-，解得：20k =或13k =-（舍）.故选：D变式20．（2022·安徽·淮南第二高二开学考试）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知678125a a a a ++=，且10a >，当n S 取得最大值时，n 的值为（ ）A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵678125a a a a ++=， ∴()11318511a d a d +=+， ∴13702a d =->， ∴0d <， ∴1902d a =->，2002da =<，∴19S 取得最大值. 故选：C.【方法技巧与总结】（1）等差数列前n 项和n S 最大（小）值的情形①若10a >，0d <，则n S 存在最大值，即所有非负项之和． ②若10a <，0d >，则n S 存在最小值，即所有非正项之和． （2）求等差数列前n 项和n S 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 100n n a a +⎧⎨⎩或10n n a a +⎧⎨⎩来寻找． ②运用二次函数求最值． 题型五：求数列{}||n a 的前n 项和例13．（2022·河南安阳·高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和为{}n a 的前n 项和为210n S n n =-．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求1220a a a ++⋅⋅⋅+．【解析】（1）因为210n S n n =-，所以当1n =时，21111019a S =⨯=-=-，当2n ≥时，()()22111011211n S n n n n -=---=-+， 所以1211n n n a S S n -=-=-， 经检验：19a =-满足211n a n =-， 所以211n a n =-.（2）由（1）可知，令0n a ≥，则2110n -≥，得112n ≥， 又*N n ∈，所以当6n ≥时，0n a >；当5n ≤时，0n a <；所以1220122056a a a a a a a a ++⋅⋅⋅⋅--+++=-⋅⋅-⋅⋅⋅+()()5121220562a a a a a a a a =+++-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅+++⋅()22520225105201020S S =-=-⨯--+⨯+⨯250=.例14．（2022·山东青岛·高二期中）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且214n S n n =-.(1)求{}n a 的通项公式； (2)若123n n T a a a a =++++，求n T .【解析】（1）()214N*n S n n n =-∈当1n =时，211141113a S ==⨯-=，当2n ≥时，()()221141411152n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦， 1a 也符合上式，所以152n a n =-，（2）因为152n a n =-，所以17n ≤≤时，0n a >；7n >时，0n a <， 当17n ≤≤时，()212312313152142n n n n n n T a a a a a a a a S n n +-=++++=++++===-，当7n >时，()123123789n n n T a a a a a a a a a a a =++++=++++-+++()()212371237897221498n n a a a a a a a a a a a S S n n =++++-++++++++=-=-+.综上： 2214,171498,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩例15．（2022·山西省浑源高二阶段练习）表示n S 等差数列{}n a 的前n 项的和，且49S S =，112a =-. (1)求数列{}n a 的通项n a 及n S ； (2)求和12n n T a a a =+++【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由49S S =可得1143984922a d a d ⨯⨯+=+， 因为112a =-，解得2d =，所以，()()111221214n a a n d n n =+-=-+-=-， ()()12122141322n n n a a n n S n n +-+-===-. （2）142,17214214,8n n n a n n n -≤≤⎧=-=⎨-≥⎩，当17n ≤≤且N n *∈时，()212142132n n n T n n +-==-；当8n ≥且N n *∈时，()()()()2722147426713842n n n T T n n n n +--=+=+--=-+.综上所述，2213,171384,8n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩. 变式21．（2022·江苏·常熟高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．公差1,3,32m m d a S =-=-=-（其中m>2）． (1)求m ； (2)求1mi i a =∑．【解析】（1）∵{}n a 是等差数列，1,3,32m m d a S =-=-=-，所以()()111132134a m m m ma ⎧--=-⎪⎪⎨-⎪-=-⎪⎩，解得15212a m ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 即12m =；（2）由（1）可知()51113222n a n n =--=-+， ∴()513112242n n n n S n ⎛⎫⎪⎝=⎭-+-=， ∴12111221m i i i i a a a a a ====+++∑∑ ()1267812a a a a a a =+++-+++()()61263116224S S -=-=⨯-- 18=.变式22．（2022·广东·中山纪念高二期中）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若117a =-，点1(,)n n S S +在直线122n y x n n+=++(N )n *∈上． (1)求证：数列{}nS n是等差数列，并求{}n a 的通项公式； (2)若n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（1）因为点1(,)n n S S +在直线122n y x n n+=++上， 所以1122(1)(2)n n n S n S S n n n n++=++=++， 从而112211n n n n S S S Sn n n n ++=+⇒-=++， 因为11171S a ==-， 所以数列{}nS n是首项为17-，公差为2的等差数列； 故172(1)219nS n n n=-+-=-，即2219n S n n =- ①， 当2n ≥时，2212(1)19(1)22321n S n n n n -=---=-+ ②，由①②相减可得，421n a n =-，当1n =时，421n a n =-也满足题意， 故{}n a 的通项公式为：421n a n =-. （2）因为||n n b a =， 所以123||||||||n n T a a a a =++++，当4210n a n =-<时，5n ≤；当4210n a n =->时，6n ≥， 由(1)中结论可知，当5n ≤时，212219n n n T a a a S n n =----=-=-+；当6n ≥时，2555()221990n n n T S S S S S n n =-+-=-=-+，从而22219,521990,6n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩. 【方法技巧与总结】已知等差数列{}n a ，求绝对值数列{}||n a 的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．题型六：等差数列前n 项和公式的实际应用例16．（2022·甘肃·天水市第一高二阶段练习）如果数列1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．【答案】153 【解析】因为：1，615=+， 15159=++， 2815913=+++， 451591317=++++；即这些六边形数是由首项为1，公差为4的等差数列的和组成的； 所以：2(1)1422n n n c n n n -=⋅+⨯=-； ∴第9个六边形数为：2299153⨯-=．故答案为：153．例17．（2022·全国·高二课时练习）有n 台型号相同的联合收割机，现收割一片土地上的小麦，若同时投入工作，则到收割完毕需要24h ．现在这些收割机是每隔相同的时间依次投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕．如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍，则用这种方法收割完这片土地上的小麦需要______h ． 【答案】40【解析】设这n 台收割机工作的时间（单位：h ）依次为1a ，2a ，…，n a ， 依题意，{}n a 是一个等差数列，且15n a a =①，1224n a a a n ++⋅⋅⋅+=②； 由②得()1242n n a a n +=，所以148n a a +=③． 将①③联立，解得140a =．故用这种方法收割完这片土地上的小麦需要40h ． 故答案为：40例18．（2022·全国·高二课时练习）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其质量从大到小构成等差数列．若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的质量和为______斤．【答案】32【解析】解法一：设该若干段的质量从大到小构成等差数列{}n a ，其公差为d ，前n 项和为n S ，由题意每4段为1尺，可得44S =，20162S S -=，∴1114344,22019161520162,22a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⨯⎛⎫⎪+-+= ⎪⎪⎝⎭⎩解得16764a =，132d =-，∴中间两段的质量和为10111671321921964322a a a d ⎛⎫+=+=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．解法二：设该若干段的质量从大到小构成等差数列{}n a ，由题意每4段为1尺，可得12344a a a a +++=，201918172a a a a +++=， 两式相加得()12046a a +=，则101112032a a a a +=+=． 故答案为：32.变式23．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______． 【答案】9【解析】设第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分得的橘子个数组成数列{}n a ，其公差为3， 所以515453602S a ⨯=+⨯=，解得16a =， 所以29a =，即第二等诸侯分得的橘子个数是9． 故答案为：9变式24．（2022·内蒙古·赤峰高二阶段练习（文））将数列{}13n -按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：()1，()3,9，()27,81,243，…，则第100组中的第一个数是______.【答案】49503 【解析】由题意知， 前99组数共包含 991001239949502⨯++++==个数， 则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项， 即49503. 故答案为：49503变式25．（2022·浙江·杭州市余杭高级高二阶段练习）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上､中､下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，均为9环，则三层共有扇面形石板（不含天心石）数量是___________.【答案】3402【解析】从上层第一环石板数记为1a ，向外向下石板数依次记为{}n a ，此数列是等差数列，公差为9d =，首项19a =，三层共27项． 所以和为272726279934022S ⨯=⨯+⨯=． 故答案为：3402．【方法技巧与总结】（1）与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．（2）遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．题型七：由等差数列的前n 项和判断等差数列例19．（2022·湖南·雅礼高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,0,41n n n n n S a a a a S +=≠=-. (1)证明：24n n a a +-=. (2)求数列{}n a 的通项公式.【解析】（1）证明：141n n n a a S +=-∴当2n ≥时，141n n n a a S +=-，1141n n n a a S --=- ∴ 111444n n n n n n n a a a a a S S +--==--又0n a ≠，故可知114n n a a +--= 所以24n n a a +-= （2）由题意得：当1n =时，12141a a a =-，又因为11a =，故可知23a =由114n n a a +--=，可知数列{}n a 的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差为4，首项分别为：1，3 ∴当*21(N )n k k =-∈时，2114(1)4321n k a a k k n -==+-=-=-当*N )2(n k k =∈时，()234121n k a a k n ==+-=- 21n a n ∴=-例20．（2022·全国·高二课时练习）已知一个数列{}n a 的前n 项和2252n S n n r =-+．(1)当0r =时，求证：该数列{}n a 是等差数列； (2)若数列{}n a 是等差数列，求r 满足条件．【解析】(1)当0r =时，2252=-n n n S ，令1n =，125223=-=S ，所以2n ≥时，()()2125121-=---n S n n ，所以()()22125225121274-=-=---+-=-n n n a S S n n n n n ， 此时127423=-=a ， 所以274n a n =-，所以()()127427414--=--+-=-n n a a n n ， 可得数列{}n a 是公差为4-的等差数列.(2)2252n S n n r =-+，令1n =，得125223=-+=+S r r ， 所以2n ≥时，()()2125121-=---+n S n n r ，所以()()22125225121274-=-=---+-=-n n n a S S n n n n n ， 所以()()127427414--=--+-=-n n a a n n ， 可得2n ≥时，数列{}n a 是公差为4-的等差数列， 若数列{}n a 是等差数列，则12742323=-==+a r ， 所以0r =．例21．（2022·全国·高二）数列{}n a 的前n 项和2*100()n S n n n N =-∈.（1）判断{}n a 是不是等差数列，若是，求其首项、公差； （2）设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【解析】（1）当2n ≥时，221(100)[100(1)(1)]n n n a S S n n n n -=-=-----1012n =-. ∵2111001199a S ==⨯-=适合上式， ∴*1012()n a n n N =-∈.∵12n n a a +-=-为常数，∴数列{}n a 是首项为99，公差为-2的等差数列．（2）由（1），令10120n a n =-≥，得50.5n ≤，∵*n ∈N ，∴*50()n n N ≤∈， 即当*50,()n n N ≤∈时，0n a >，当*51,()n n N ≥∈时，0n a <，①当150n ≤≤时，0n a >，此时n n n b a a ==，∴{}n b 的前n 项和'2100n S n n =-.②当51n ≥时，0n a <，此时n n n b a a ==-，由51525152...(...)n n b b b a a a +++=-+++5050()n n S S S S =--=-，得数列{}n b 的前n 项和'5050()n n S S S S =+-250222500(100)n S S n n =-=⨯--25000100n n =-+.由①②得数列{}n b 的前n 项和为2*'2*100(,150)5000100(,51)nn n n N n S n n n N n ⎧-∈≤≤=⎨-+∈≥⎩. 变式26．（2022·云南大理·高二期末）数列{}n a 满足12a =，()1n n S na n n =--. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令()11n n b n a =+，求数列{}n b的前n 项和n T .【解析】（1）当2n ≥时，()()()11112n n S n a n n --=----，()11122n n n n n a S S na n a n --∴=-=---+，12n n a a -∴=+，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，()2212n a n n ∴=+-=.（2）由（1）得：()11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，11111111111111222334112122n n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 【方法技巧与总结】2n S An Bn =+（其中A ，B 为常数）是数列{}n a 成等差数列的充要条件．题型八：等差数列片段和的性质例22．（2022·江苏省苏州实验高二阶段练习）已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若41216,48S S =-=，则8S 的值为__________.【答案】0【解析】依题可知484128,,S S S S S --成等差，所以()882161648S S +=-+-，解得：80S =． 故答案为：0．例23．（2022·陕西·蓝田县城关高二期中（理））已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若2015S =，6075S =，则40S =__________．【答案】40【解析】由等差数列性质知：20S ，4020S S -，6040S S -成等差数列，()()40202060402S S S S S ∴-=+-，即()()40402151575S S -=+-，解得：4040S =.故答案为：40.例24．（2022·江苏南通·高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，3090S =，则20S =___________ 【答案】50【解析】由题设1020103020,,S S S S S --成等差数列， 所以20101030202()S S S S S -=+-，则20103033150S S S =+=， 所以2050S =. 故答案为：50变式27．（2022·全国·高二课时练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2k S =，28k S =，则4k S =______． 【答案】32【解析】由等差数列{}n a 前n 项和的性质， 可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列， ∴()2322k k k k k S S S S S -=+-，解得318k S =， ∴ 2，6，10，418k S -成等差数列，可得4210618k S ⨯=+-， 解得432k S =. 故答案为：32.变式28．（2022·浙江·杭州市富阳区场口高二阶段练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若57S =，1021S =，则15S =__________．【答案】42【解析】因为数列{}n a 为等差数列，所以n S ，2n n S S -，32n n S S -也是等差数列．由题意得57S =，10514S S -=，则151021S S -=，所以15212142S =+=．故答案为：42【方法技巧与总结】连续k 项的和依然成等差数列，即k S ，2k k S S -，32k k S S -，…成等差数列，且公差为2k d ． 题型九：等差数列的奇数项与偶数项和例25．（2022·江苏省苏州第高二阶段练习）一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为________. 【答案】3【解析】解:由题知不妨设等差数列为{}n a ,首项为1a ,公差为d ,项数为2,n n Z ∈, 故有221()84,2n n n a a S na ++===偶 121()512n n n a a S na -+===奇, 两式相减133n n S S na na nd +-=-==奇偶, 因为21(21)63n a a n d -=-=, 故11(21)21nd n d =-,故11,3n d ==. 故答案为:3例26．（2022·河南·高二阶段练习（理））在等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且1359960a a a a ++++=，则123100a a a a ++++=__________.【答案】145【解析】等差数列{}n a 中，已知公差12d =， 12310013599246100a a a a a a a a a a a a ++++=+++++++++24610013599a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++605085d =+=1231001260501452a a a a ++++=⨯+⨯=. 故答案为：145.例27．（2022·全国·高二）在等差数列{an }中，S 10＝120，且在这10项中，S S 奇偶＝1113，则公差d ＝________. 【答案】2【解析】解:由1201113S S S S+=⎧⎪⎨=⎪⎩奇偶奇偶,得5565S S =⎧⎨=⎩奇偶, 所以S S -奇偶＝5d ＝10，所以d ＝2. 故答案为：2.变式29．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为377，项数n 为奇数，且前n 项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________． 【答案】29【解析】因为n 为奇数，所以1716S n S n +==-奇偶，解得13n =． 所以13713377S a ==，所以729a =．故所求的中间项为29． 故答案为：29变式30．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一高二阶段练习）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公差d 为_________. 【答案】5【解析】设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由322759354k k k +== 可得6k =， 故公差32275566k k kd -===， 故答案为：5．变式31．（2022·甘肃·武威十高二课时练习）项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则该数列的中间项和项数分别为______． 【答案】11，7【解析】设等差数列{}n a 项数为21n ， 12113211(1)()(1)2n n n n a a S a a a n a +++++=+++==+奇，2224621()2n n n n a a S a a a a na ++=++++==偶，∴144=33S n S n +=奇偶，解得n =3，∴项数2n +1=7， 又因为1n S S a a +=-=奇中偶，所以4443311a S S ==--=奇偶，所以中间项为11． 故答案为：11，7.【方法技巧与总结】（1）若项数为2n ，则21()n n n S n a a +=+，S S nd -=奇偶，1nn S a S a +=奇偶（2）若项数为21n -，则21(21)n n S n a -=-，n S na =奇，(1)n S n a =-偶，n S S a -=奇偶，1S n S n =-奇偶【同步练习】一、单选题 1．（2022·江苏·马坝高中高二期中）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1107,43a a ==-，则10S =（ ） A ．250 B ．180- C ．180 D ．250-【答案】B【解析】由已知，数列{}n a 为等差数列， 1107,43a a ==-， 所以()()11010101074318022a a S ⨯-+⨯===-.故选：B.2．（2022·陕西·无高二期中（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS 的值为（ ）A ．717B ．310C ．314D ．38【答案】B【解析】因为{}n a 为等差数列，所以36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，因为936S S =，设39,6S k S k ==，由()()363962S S S S S -=+-，即()()6626S k k k S -=+-，则63S k =， 所以1294S S k -=，所以1210S k =， 所以612310S S =. 故选：B.3．（2022·陕西·礼泉县第二高二期中）设数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论不正确的是（ ）A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值【答案】C【解析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 正确； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：C4．（2022·江苏省苏州实验高二阶段练习）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若345a a +=，77S =，则其公差为（ ） A ．2 B ．3 C ．2- D ．3-【答案】D【解析】由已知得，3417125576772a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得，1103a d =⎧⎨=-⎩ 故选：D.5．（2022·江苏苏州·高二期中）n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若613S a =，10a >，则使n n S a >的n 的最大值为（ ） A ．2 B ．12C ．11D ．10【答案】C【解析】由6116153S a d a =+=，可得15a d =-， 而10a >，所以0d <，21(1)11222n n n d dS na d n n -=+=-，1(1)6n a a n d nd d =+-=-， n n S a >可转化为211622d dn n nd d ->-， 即2111622n n n -<-， 即213120n n -+<，解得112n <<， 而N n *∈，所以n 的最大值为11. 故选：C6．（2022·陕西·延安市第一高二阶段练习（理））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1=1a ,728S =．记。
