百强名校人教高中数学精品课件_【数学】《三角函数概念与公式的应用》课件(1)(新人教A版必修4)(整理版)

P
α
3
2
3 1


点P的坐标为：
2 ，2


P点的坐标是唯一确定的吗？
1 3
- ，
2 2


O
x
A(1,0)
课堂探究
一般地，任意给定一个角α，
它的终边OP与单位圆交点P的
坐标能唯一确定吗？
当角α确定时
角的终边确定，终边与单位圆的交点P确定
点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的
思考：点P的横坐标和纵坐标是否可看成关于角α
的函数？
探索新知——三角函数第一定义（单位圆定义）
三角函数定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位
圆相交于点P(x，y)
(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sinα,即
y=sinα;
(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα,即
x=cosα
任意角α的三角函数值仅与α有关，而与点P在
角的终边上的位置无关.
05 课堂探究 -例题讲授
例3、已知角α的终边过点P(2,-3) ,求α的三个
三角函数值. 【解】∵ x 2 ， y 3 ，
∴ r 22 (3)2 13 ．
y
3
3 13

∴ sin
；
r
13
13
x
则|P0M0|＝|y0|，|PM|＝|y|，
|OM0|＝|x0|，|OM|＝|x|，
可得
y0
1

y
r
y
∵ y与y0同号 y0
r
x
y
同理可得：
cos , tan
r

3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin
45°cos
30°＋cos
60°sin
30°＝
2 2
× 23＋21×21＝ 46＋14＝1＋4
6 .
(2)原式＝sin(－2π＋π6)＋cos(2π＋25π)tan(4π＋0)＝sinπ6＋cos25π×0＝12.
• [归纳提升] 诱导公式一的应用思路 • 1．诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等． • 2．利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0～2π之
题型二 诱导公式一的应用
例 2 计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin(－116π)＋cos
12π 5 tan 4π.
[分析] 利用诱导公式一化简 → 求出三角函数值 → 代入求值
[ 解析] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－
间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”．

【对点练习】❷ 求下列各式的值． (1)cos235π＋tan(－145π)； (2)sin810°＋tan765°－cos360°. [解析] (1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan(－4π＋π4)＝cosπ3＋tanπ4＝21＋1＝23. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)－cos(360°＋0°)＝1 ＋1－1＝1.
正
负
• 思考1：(1)三角函数在各象限的符号由什么决定？ • (2)三角函数值的符号有简记口诀吗？ • 提示：(1)三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推

象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最
后判断乘积的符号．
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25
(1)C
[因为点P在第四象限，所以有tan cos
α>0， α<0，
由此可判断角α终边
在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
终边关于
x
轴对称，若
sin
α＝15，则
交于点P(x，y)， 则角β的终边与单位圆相交于点
sin β＝________.
Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝15，所以sin β
＝－y＝－15.]
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4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
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24
三角函数值符号的运用
【例 2】 (1)已知点 P(tan α，cos α)在第四象限，则角 α 终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断 tan α，cos α 的符号，再判断角 α 终边在第几
5．公式一
sin α cos α tan α
8
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1．sin(－315°)的值是( )

t


+60
3
2


C.y＝50sin

2
t +60
2
3
D.y＝50sin

2
t +10
2
3
如果某种现象的变化具有周期性，那么我们可以根据这一现象的特征和条件，
利用三角函数知识建立数学模型，从而把这一具体现象转化为一个特定的数学
模型——三角函数模型.
（2）由题意可知ω＝ 3 2 ＝ ，由（1）知∠MOP0＝ ，
60
10
6
∴ 所求函数的解析式为h＝ 4 sin
10
答案：（1）
（ 2 3 +2）m
t

+2.
6
（2）h＝ 4 sin
10
t

+2
6
2. ［2020·黑龙江哈三中高三期末］如图，某摩天轮上一点P在t时刻距离地面高
2
2
2
∴ h＝4.8sin(θ- )+4.8+0.8＝-4.8cos θ+5.6；
2
当0<θ≤ 时，上述解析式也成立.
2
故h与θ之间的函数解析式为h＝5.6-4.8cos θ.
（2）由题意知观览车逆时针运动的角速度是 rad/s，
30
∴ t秒转过的弧度数为 t，∴ h＝5.6-4.8cos
这样的题只需根据已知条件确定参数，求出函数解析式，再代入计算即可.
（2）对于函数y＝Asin（ωx+φ）+b（A>0，ω>0），最大值为A+b，最
小值为b-A.

【解析】射线 = − 3 < 0 经过第二象限，
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =


=
3
，cos
2
tan =


=
3
−1
3
2
所以sin =
=


=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.

（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，



= − , −




（4）在角 的终边上取一点

则 −
则 =



,


=−
=

,

−


= −；
−, ，即 = −, = , = ，


当 = 或



时，点的坐标是(, )和(− ， )



一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π

转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；

根据图象过点（0.005，311），代入U=311sin(100πt+φ)，可得φ=2kπ，k∈Z． 所以U=311sin(100πt)，t∈[0，+∞)．
归纳小结
问题9 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中， 涉及哪些数学思想？
答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满 足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过 数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．
s 3cos( g t ), t ∈[0,∞).
l3
（1）当l=25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad）； （2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确到 0.1cm）?
新知探究
4．建模解模
解：（1）∵ s 3cos( g t ) ，∴可得s的最大值为3．
时，i
－5
；
当 t 1 时，i 0．
60
新知探究
4．建模解模
练习1 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不 计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平 衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周 期摆动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（ 单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
φ为初相． 问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（
t=0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？ 答案： 由图可知，A=5，T= 1 s，初始状态的电流为4.33A．
50
新知探究
4．建模解模
解：由图3（2）可知，电流最大为5A，因此A=5；
电流变化的周期T= 1 s，即 2π = 1 s，解得ω=100π；

•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2021年4月30日 星期五 2021/4/302021/4/302021/4/30
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2021年4月 2021/4/302021/4/302021/4/304/30/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/4/302021/4/30Apr il 30, 2021
•
11、人总是珍惜为得到。2021/4/302021/4/302021/4/30Apr-2130-Apr-21
•
12、人乱于心，不宽余请。2021/4/302021/4/302021/4/30Fri day, April 30, 2021
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2021/4/302021/4/302021/4/302021/4/304/30/2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/4/302021/4/302021/4/302021/4/30
谢谢大家
三角函数概念与公式的应用 第二课时
例7 化简下列各式：
( 1 ) s i n 3( 1 1)c o s 3( 1t a n )c o st a n ; t a n
( 2 ) sin 2 sin c o s
sin c o s ta n 2 1
sin (3 2
).
例8 证明：
1
2sincos 1 sin cos
sin cos sin cos
4，求α的值.
例12 已知 tan
1 tan
3，求
tan 2
(sin
cos)2
1 tan 2

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历史课件：/kejian/lish i/
预
习
3
探新知
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4
1．单位圆
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②x
叫做
α 的余弦函数，记作 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/
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探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
忽视对参数的分类讨论致误
典例 角α的终边过点P(-3a,4a),a≠0,则cos α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
4x-3y=0(x≤0)上,不妨令 x=-3,则 y=-4,∴r=5,∴cos α==-5,sin

4
3
4
1
α= =-5,则 cos α-sin α=-5 + 5 = 5.
1
答案:5
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
2
延伸探究 已知角 α 的终边上有一点 P(- 3,m),且 sin α= 4 m,求
的取值范围是(
)
A.(-2,3]
B.(-2,3)
C.[-2,3)
D.[-2,3]
解析:由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半
轴上,所以有 3-9 ≤ 0, 解得-2<a≤3.
+ 2 > 0,
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
诱导公式一的应用
例3求下列各式的值:
思维辨析
随堂演练
变式训练1(1)已知α=2,则点P(sin α,tan α)所在的象限是(
)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
π
解析:因为α=2∈ 2 ,π ,即α在第二象限,所以sin α>0,tan α<0,则
点P(sin α,tan α)在第四象限.
答案:D
(2)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a

2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。