12-13年度高等数学期末试卷AI试卷A

淮 海 工 学 院11 - 12 学年 第 2 学期 高等数学A(2)试卷(A 闭卷)答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1．设向量(1,0,2)a =，(0,1,2)b =，则a b ⨯= --------------------------------------（C ）（A ）23（B ）2 （C ）3 （D ）42．2(,)()yf x y x x y =+，则(,0)xx f x=----------------------------------------------------（B ）（A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x23. sin cos u y x z =+-在点(0,0,1)-处沿下列哪个方向的方向导数最大-------（A ） （A ）(0,1,1)-（B ）(1,0,1)- （C ）(1,0,1)-（D ）)1,0,1( 4．二次积分x d y x f dy ee y⎰⎰10),(的另一种积分次序为-----------------------（C ）（A ）1ln 0(,)x dx f x y dy ⎰⎰ （B ）10(,)x e dx f x y dy ⎰⎰（C ）⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),( （D ）1(,)xe e dxf x y dy ⎰⎰5．2252(51)(1)x y x y ds +=++=⎰-----------------------------------------------------------------（D ）（A ）0 （B ） π （C ）2π （D ）6．设n u =，则级数-------------------------------------------------------------------（C ）（A ）11nn n u ∞∞==∑与（B ）∑∞=1n nu与1n ∞=都发散（C ）∑∞=1n nu收敛，而1n ∞= （D ）∑∞=1n n u 发散，而1n ∞=7．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为2,0(),0x x f x x x πππ⎧--<≤=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(7)S π=------（B ） （A ）2π- （B ）22π- （C ）22π （D ）2π8．微分方程28xy y y e -'''++=的一个特解可设为--------------------------------------（D ） （A ）xae- （B ）x axe - （C ）()x ax b e -+ （D ）2xax e -二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1． 设(,)z f xy x y =+，其中(,)f u v 可微，且0,u f ≠求1()x y uz z f -. 解：x u v z yf f =+------------------------------------------------------------------------------------2y u v z xf f =+-----------------------------------------------------------------------------------2则1()x y uz z y x f -=-.---------------------------------------------------------------------3 2．设D 由,y x y ==x 轴所围成，求2231(1)Ddxdy x y ++⎰⎰. 解: :01,06D r πθ≤≤≤≤----------------------------------------------2则原式12360(1)d r rdr πθ-=+⎰⎰-----------------------------------------212320(1)(1)12r d r π-=++⎰32π=.---------------------------------33．设空间闭区域Ω{}22(,,)1,12x y z x y z =+≤-≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的内侧，用高斯公式计算2()2()(1)x y dydz y z x dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰． 解: 2,2(),(1)P x y Q y z x R z z =+=-=+------------------------------------------1Ω是半径为1、高为3的圆柱体 ------------------------------------------------1原式=()P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y z ∑Ω∂∂∂++=-++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰--------------2 dv Ω=-⎰⎰⎰3π=-．--------------------------------------------------------------------3 4．求411x y y e x x '+=的通解. 解： 1141[]'dx dx x x xye e e x ⎰⎰=-----------------------------------------------------------------------2则4[]'xxy e =-----------------------------------------------------------------------------------2有414xxy e C =+，---------------------------------------------------------------------------2故41()xy e C x=+.--------------------------------------------------------------------------1三、计算题（8分）和建制造，乐在共享。

桂 林 电 子 科 技 大 学 试 卷2012—2013 学年第 2 学期 课号课程名称 高等数学AII （A 卷; 闭卷） 适用班级（或年级、专业） 2012级一．填空题（每小题3分，共12分） 1．设y x y x f cos 2sin ),(=，则=),2(ππx f .2．设⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1)(2是以π2为周期的函数，其傅里叶（Fourier ）级数在点π=x 处收敛于 .3．=-+→xyxy y x 11lim)0,0(),( .4．设)2,1,2(=a ，)10,1,4(-=b ，a b c λ-=，且c a ⊥，则=λ . 二．单选题（每题3分，共12分） 1．幂级数∑+∞=+011n n x n 的收敛域是（ ）A ．]1,1(-B ．),(+∞-∞C ．)1,1(-D ．)1,1[- 2．函数222y x z +=在点)1,1(处的梯度为（ ）A ．j i 24+B ．j i 24+-C ．j i 24-D ．j i 24-- 3．设有以下命题：A ．若1lim 1>+∞→nn n u u ，则∑+∞=1n n u 发散B ．若∑+∞=1n nu收敛，则∑+∞=+12013n n u收敛C ．若级数∑+∞=1n nu收敛，且),2,1( =≥n v u n n ，则级数∑+∞=1n nv也收敛D ．若)(1n n nv u+∑+∞=收敛，则∑+∞=1n n u 、∑+∞=1n n v 不一定都收敛则以上命题中不正确的是（ ）4．若),(y x f z =在点),(000y x P 可微，则下列结论不一定成立的是（ ） A ．),(y x f 在该点处偏导存在 B ．),(y x f 在该点处偏导数连续 C ．),(y x f 在该点处连续 D ．),(y x f 在该点处切平面存在 三．计算题（每小题6分，共18分）1．设L 为椭圆13422=+y x ，其周长为a ，计算曲线积分⎰+Lds y x )43(22的值. 2．计算曲线积分⎰+Ldy x xydx 22，其中L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到点)1,1(B 的一段弧.3．求函数22y x u -=在)1,1(点沿)3,4(-=l方向的方向导数.四．解答下列各题（每小题7分，共35分）1．讨论二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,1cos )(),(x x xy x y x f 在)0,0(处的连续性. 2．求曲面积分⎰⎰∑+=dxdy yzdzdx I 2，其中∑为球面4222=++z y x 的外侧在0≥z 的部分.3．将函数xe xf 2)(=展开为x 的幂级数.4．求平行于x 轴且经过两点)2,0,4(-和)7,1,5(的平面方程5．求幂级数∑+∞=12n nn x n 的收敛域及和函数.五．解答题（每小题9分，共18分） 1．计算积分⎰⎰Dxyd σ，其中D 是由22x x y x -≤≤所围成. 2．计算⎰⎰⎰Ω=xdxdydz I ，其中Ω是由三个坐标平面与平面12=++z y x 所围成的区域.六．证明题（本题5分）设)(u f 有连续导数，证明：曲面)(z y f x z -+=上任一点的切平面平行于某一定直线.。

高数A(1)(A 卷)期末考试题参考答案一. 填空题(每小题3分，共33分)(1) 1,;e (2) 0,1; (3) 0;22111();28x x o x =+-+ (5)1;4 (6) 1;y x e =+ (7) ;x e C --+ (8) ;2π(9) 1(ln 21);2+ (10) 1;e e- (11) ().x y x C e =+ 二. 计算题(每小题8分，共48分)1. 解. 3311001tan tan sin lim lim 11sin 1sin x x x x x x x x x →→+-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ (2分) ()3()1()tan sin lim 1(),()1sin x x x x x xx x x ϕϕϕϕ→-⎡⎤=+=⎢⎥+⎣⎦(4分)因为 ()1()lim 1(),x x x e ϕϕ→+= ( 5分)3300()tan sin 1limlim,(1sin )2x x x x x x x x ϕ→→-==+ ( 7分)所以原式.= ( 8分) 解法二. 原式＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++→x x x x sin 1tan 1ln 1lim exp 30(1分) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+=→3)sin 1ln()tan 1ln(lim exp x x x x ( 3分) ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=→2203sin 1cos tan 1sec lim exp x x x x x x (4分)⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-+=→)sin 1)(tan 1(3cos )tan 1(sec )sin 1(lim exp 220x x x x x x x x (5分) e = ( 8分) 解法三. 解. 原式⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→x x x x sin 1tan 1ln 1limexp 3(1分) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-⋅=→x x x x x sin 1sin tan 1lim exp 3( 5分) e = ( 8分)2. 解：3222243sin 2cos 4sin cos cos 2sin ,2cos 4cos 2cos x x x x x xx x x '++⎛⎫== ⎪⎝⎭(3分) 21111ln tan sec 2242224tan 24x x x πππ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭( 6分)12cos x=( 7分) 31.cos dy dx x= ( 8分) 3. 解. 方程两边同时对x 求导，得222[sec ()](1)[sec ()](1)x y y x y y ''--⋅-=-⋅- ( 4分)2sin ()y x y '=- ( 5分)2sin()cos()(1)y x y x y y '''=---( 7分)32sin()cos ().x y x y =-- ( 8分)4．解法一.12dx =-⎰( 2分)212⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ ( 6分)3arcsin(21).2x C =--+ ( 8分)解法二.dx =⎰( 2分)令11sin ,,2222x u u ππ-=-<<( 3分) 则31sin 22dx u du ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰ ( 5分) 31cos 22u u C =-+ ( 6分)3arcsin(21).2x C =--+ ( 8分)5．解. 2(1)0,()t f f t e -'== ( 1分)()112301()()3t f t dt f t d t =⎰⎰ ( 2分) 131301()()33t f t t f t dt '=-⎰ ( 4分)213013t t e dt -=-⎰ ( 5分) ()212016t t d e -=⎰( 6分) 121.6e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭( 8分)6. 解. 齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin .y C x C x =+ ( 3分)211cos cos 222x x =+ ( 4分) 非齐次方程12y y ''+=的特解11.2y *= ( 5分)设非齐次方程1cos 22y y x ''+=的特解为2cos 2sin 2,y A x B x *=+ ( 6分) 代入计算得1,0,6A B =-= 于是得21cos 2.6y x *=- ( 7分) 原方程的通解为1211cos sin cos 2.26y C x C x x =++- ( 8分) 三．解. 抛物线2y x =在点2(,)a a 处的切线方程为22,y ax a =- ( 2分)这条切线与抛物线241y x x =-+-的两个交点的横坐标记为1x 和2x (不 妨设21(),x x > 则1x 和2x 是方程222(2)10x a x a +-+-=的两个根，从而得21212211,2(2),x x a x x a x x ⋅=-+=--= (4分)上述切线与抛物线 241y x x =-+-所围成的平面图形面积 2122(412)x x S x x ax a dx =-+--+⎰( 6分)3224(243)3a a =-+ (8分)122()8[2(1)1](1).S a a a '=-+- ( 9分)令()0S a '=得唯一驻点1,a = (10分)当1a <时，()0;S a '< 当1a >时， ()0,S a '> 所以1a =为极小值点，即最小值点，也就是说，1a =时所围图形面积最小。

⾼数1（2）12级A卷+答案学院数计出卷教师李刚(2013.5.10) 系主任签名制卷份数专业 2012级⼯科，本科 A 班级编号江汉⼤学 2012——2013 学年第 2 学期考试试卷课程编号：课程名称：⾼等数学Ⅰ（2）试卷类型：A、B 卷考试形式：开、闭卷考试时间：120 分钟⼀、选择题（本⼤题共5⼩题，每题3分，共15分）1. 微分⽅程xy 3dy —2[y+xy(1+lnx)]dx=0是 ( B ) A. 齐次⽅程 ; B. 可分离变量⽅程 ; C. ⼀阶线性齐次⽅程 ; D. ⼀阶线性⾮齐次⽅程 .2.设z=(3x f y +,若当y=-1时,z=x,则 ( A )A. z=3y +x+1;B. z=3y +x;C. z=3y --x--1;D. z= –3y +x+1. 3. 设平⾯区域D 由x=0,y=0,x+y=21,x+y=1围成,若I 1=??+Ddxdy y x 3)][ln(, I 2=+Ddxdy y x 3)(,I 3=??+Ddxdy y x 3)][sin(,则I 1,I 2,I 3之间的关系为 ( C ) A. I 1ds y x )(= ( B )A. –2;B.2; C. –1 ; D. 1.5. 下列级数中绝对收敛的有 ( D )A. ∑∞=+-121)1(n nn n ; B; ∑∞=-1!2)1(2n nn n ;C. ∑∞=-+-111)1(n n n n; D. ∑∞=--1312)1(n nn n .⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，每题3分，共21分） 1. 曲线满⾜⼆阶微分⽅程x y =" ,经过点M(0,1)且在此点与直线y=2x+1相切,则此曲线⽅程为y= 63x +2x+1.2. 过点(1, —1, —3)且与平⾯3x —2y+3z —1=0平⾏的平⾯⽅程为 3x —2y+3z+4=0 .3. 已知⼆元函数z=)1ln(y x +,则)1,1(dz = 21(dx-dy) . 4. 函数z xy x u --=23在点P(1, 1,0)处的梯度为 {2, —2,—1} . 5. I=10),(ydx y x f dy ,交换积分次序得I=101),(xdy y x f dx6. 设∑为锥⾯22y x z +=及平⾯z=1所围成的区域的整个边界曲⾯，则对⾯积的曲⾯积分∑+ds y x )(22= π221+ . 7. 函数f(x)=ln(1+x)展开成x-3的幂级数为f(x)= ln4+∑∞=---11)43(1)1(n n n x n . 三、计算题（本⼤题共6⼩题，每题8分，共48分）1. 求微分⽅程xxe y y y -=++32'3"的通解.解：特征⽅程0232=++r r 解为2,121-=-=r r ，对应齐次⽅程的通解为x x e c ec Y 221--+=1,3)(-==-λxxe x f 是特征⽅程的单根，故可设xe b ax x y -+=)(*，代⼈原⽅程得3,23-==b a , 特解x e x x y --=)323(2*，故所求通解为*y Y y +==x x e c e c 221--++x e x x --)323(2.2. 求直线241312-=-=-z y x 与平⾯2x+y+z －6=0的交点.解:将所给直线的参数⽅程t z t y t x 24,3,2+=+=+=代⼈平⾯⽅程，得06)24()3()2(2=-+++++t t t ，解得1-=t ，代⼈参数⽅程，故交点为（1,2,2）.3. 设u=f(x,yx),其中f 具有⼆阶连续导数,求y u ??,22y u ??.解: y u ??=―2yx 2'f22yu=…….='232f y x +22"42f y x .4. 计算I=Ω+dxdydz y x z 22,其中Ω是由抛物⾯z=1－x 2－y 2与z=0所围成的闭区域. 解: ⽤柱⾯坐标计算I=-?πθ201102r rdz zr dr d =π+-1642)2(dr r r r =……=1058π.5. 计算曲线积分?+L dy xy x )2(2,其中L 是椭圆11422=+y x 上由点A(2,0)经点C(0,1)到点B(―2,0)的⼀段弧.解: 补线路⽤格林公式计算. y P ??=0,xQ=2x+2yL=+BAL ―BA=+Ddxdy y x )22(―?+BAxy x )2(2dy =0+02-??Dydxdy =?--2241022x ydy dx =dx x )41(222?--=38.6. 求级数∑∞=+011n nx n 在收敛域内的和函数并求∑∞=+02)1(1n nn .解: nn n a a1lim +∞→=1收敛域为)1,1[-，令S(x)=∑∞=+011n nx n , xS(x)= ∑∞=++0111n n x n ,求导得 x x x xs n n -==∑∞=11)]([0'积分)1ln(11)()(00x xdx x xs x xs x x --=-==??，⼜s(0)=1,故=?-?--=01)1,0()0,1[)1ln(1)(x x x x x s ，)21(s =∑∞=+02)1(1n nn =)21ln(2-=2ln2四、应⽤题（6分）求原点到曲⾯1)(22=--z y x 上的最短距离.解:⽬标函数:d 2=x 2+y 2+z 2,约束条件为: ),,(z y x ?=(x ―y)2―z 2―1=0 作L(x,y,z,λ)= x 2+y 2+z 2+λ[(x ―y)2―z 2―1]=---==-==--==-+=01)(0220)(220)(2222z y x L z z L y x y L y x x L z y x λλλλ解得 (21,-21,0)或(-21,21,0), 故d 2=21,即d=2.五、证明题（5分）1. 设)(22y x yf z +=，f 为可导函数，证明：z yx x z y y z x =??-??. 证明：xz ??= '2xyf ，y z ??='2222)(f y y x f ++，代⼈左=z yx y x xf x z y y z x =+=??-??)(22=右 .六.综合题（5分）设曲线积分ydy x f dx y e x f Lxcos )(sin ])([--?与路径⽆关，其中f(x)具有⼀阶连续的导数，且f(0)=0,求f(x).解:y e x f y P x cos ])([-=??，y x f xQcos )('-=??，由已知y P x Q ??=??，即有x e x f x f =+)()('，通解为)21()()(222x xx x e c e dx e c e x f ?+=+=--，由f(0)=0，得21-=c ，于是2)(x x e e x f --=.注：将试题答案或解答过程写在答题纸上常⽤公式：1.)('"x f qy py y =++:)()(x P e x f m x λ=,可令特解xm k e x Q x y λ)(*=k=0,1,2；]sin )(cos )([)()2()1(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=，可令特解]sin )(cos )([)2()1(*x x R x x R e x y m m x k ωωλ+=, k=0,1,{}n l m ,m ax =2. 拉格朗⽇乘数法：⽬标函数：),,(z y x f u =，条件：0),,(=z y x ?，求可能的极值点时，可作拉格朗⽇函数),,(),,(),,,(z y x z y x f z y x L λ?λ+=3. 第⼀类曲线积分：))((),(),(βαωψ?≤≤===t t z t y t x ，则dt t t t t t t f ds z y x f ?ωψ?ωψ?)()()()](),(),([),,(2'2'2'第⼀类曲⾯积分：dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f y x D xy),(),(1)],(,,[),,(''++=∑4. 格林公式：+=??-??L DQdy Pdx dxdy yPx Q )(5.)11(,110<<-=-∑∞=x x x n n，)11(,)1()1ln(11≤<--=+∑∞=-x x n x n n n⾼等数学Ⅰ（2）A卷答题纸⼀、选择题（本⼤题共5⼩题，每题3分，共15分）Array1. （）2. （）3. （）4. （）5. （）⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，每题3分，共21分）1. ；2. ；3. ；7. .三、计算题（本⼤题共6⼩题，每题8分，共48分）1.2.3.4.5.6.四、应⽤题（6分）五、证明题（5分）六、综合题（5分）。

《高等数学》期末考试A卷（附答案）【编号】ZSWD2023B0089一、填空题（每小题2分，共20分）1．设 是正整数， 为非零实数，若20001lim ()x x x x，则 _________________，______________________。

【答案】120012001,2．设)(x f 的定义域是]1,0[，且102a ，则()()f x a f x a 的定义域是____________________________ .【答案】1[,]a a3．2211sin()lim x x x x ______________________。

【答案】04．设1111010,(),x x x x e e x f x e e x，0 x 是)(x f 的___________间断点. 【答案】跳跃5．设24cos y x ，则dy ________________________. 【答案】3448sin cos x x x dx6．203sin limxx t dt x _________________________________.【答案】137． 函数2412()()x f x x的渐近线有______________________________.【答案】20,x y8．函数()x f x x e 的单调递增区间为____________________________.【答案】(,0)9．若 C x dx xx f sin )(ln '，则 )(x f .【答案】C e x )sin( 10.[()()]aaf x f x dx ______________________________________.【答案】0二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．若下列极限存在，则成立的是( ) .A. 0()()lim '()x f a x f a f a x B. 0000()()lim '() x f x f x x f x xC. 0(12)(1)lim '(1)t f t f f tD. 4(8)(4)lim '(4)4x f x f f x【答案】B2．当0 x 时，与x 等价的无穷小量是( )A. x x 1sinsin B. xx sin C. x x 22 D. )1ln(x【答案】D3． 当0x x 时，0'()f x ，当0x x 时，0'()f x ，则0x 必定是函数()f x 的（ ）A. 驻点B. 最大值点C.极小值点D. 以上都不对 【答案】D4．设'()f x 存在且连续，则()'df x （ ）A. ()f xB. '()f xC. '()f x cD. ()f x c 【答案】B 5．设4()2xx f t dt，则40 f dx （ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A三、计算下列各题（每小题5分，共35分）1. 求极限)sin 11(cot lim 0xx x x解: )sin 11(cot lim 0x x x x xx x xx x tan sin sin lim 030sin lim x xx x （0 x 时x sin ～x ，x tan ～x ）2031cos lim x x x 616sin lim 0 x x x2. 设3sin 2,0()9arctan 2(1),0xx ae x f x x b x x ，确定,a b 的值，使函数在0 x 处可导。

高等数学ＡII 期末考试题（2012级）一、填空题（每小题3分，共12分）1. (,)sin 2cos f x y x y =，则(,)2x f ππ= 。

解：()()(,)sin 2cos sin 2cos =2cos 2cos sin 2sin (,)22x f x y x y x y x y x yf ππ'''=+-∴= 2.设21,0()1,0x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 是以2π为周期的函数，其傅里叶级数在点x π=处收敛于 。

解：易见，x π=是函数的间断点，则在该点处傅里叶级数收敛于221[1(1)]22ππ++-=3.(,)(0,0)lim x y →= 。

解：2(,)(0,0)(,)(,)11lim lim lim 2x y x y x y →→→- 4. 设(2,1,2),b (4,1,10),c b ,a a λ==-=-且a c ⊥，则=λ 。

解：c b (42,1,102),02(42)(1)2(102)03a c a c a λλλλλλλλ=-=----⊥⇒⋅=⇒-+--+-=⇒=二、选择题（每小题3分，共12分）1.幂级数n n ∞=的收敛域是（ ） （Ａ）(1,1]- （Ｂ）(),-∞+∞ （Ｃ）(1,1)- （Ｄ）[1,1)-解：1lim 1n n n n a a ρ+→∞→∞=== 则收敛半径为1 当1x =-时，级数成为n n ∞=，由莱布尼兹审敛法知其收敛当1x =时，级数成为0n ∞=，发散 故收敛域为[1,1)- 选D 2.函数222z x y =+在点（1,1）处的梯度为（ ）（Ａ）42i j + （Ｂ）42i j -+ （Ｃ） 42i j - （Ｄ）42i j -- 解：(1,1)(1,1)(4,2)(4,2)gradf x y == 选A3. 以下命题不正确的是（ ） （Ａ）若11lim >=+∞→ρn n n u u ，则1n n u ∞=∑发散（Ｂ）若1n n u∞=∑收敛，则20131n n u ∞+=∑收敛（Ｃ）若级数1n n u∞=∑收敛，且(n 1,2,)n n u v ≥=L ，则级数1n n v ∞=∑也收敛 （Ｄ）若1(u)n n n v ∞=+∑收敛，则11u n n n n v ∞∞==∑∑，不一定都收敛 注意到C 是正项级数的审敛法。

第１页 共2页淮 海 工 学 院12 – 13 学年 第 二 学期 高等数学A （2） 期末试卷（A 卷）1．向量(1,1,0)a =，(0,1,1)b =-所成夹角为----------------------------（C ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π2．2(,)(2)tan(23)f x y x y x y =+-+，则(,2)xx f x =--------------------------------（B ） （A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x 2 3. 3sin xu e y z =-+在点(0,0,1)-处沿下列哪个方向的方向导数最大--------（D） （A ）)1,1,0(- （B ）(0,1,1)- （C ）(3,1,1)- （D ）(3,1,1)- 4．二次积分1ln 10(,)x edx f x y dy ⎰⎰的另一种积分次序为----------------------（B ） （A ） 011(,)ye dyf x y dx -⎰⎰（B ）011(,)y e dy f x y dx -⎰⎰（C ）1(,)ye dyf x y dx -⎰⎰（D ）011(,)y edy f x y dx -⎰⎰5．设L 为椭圆2251x y +=，其周长为l ，则()(5)Lx y x yd s ++=⎰----------------（B ） （A ） 5l （B ） l （C ） （D ） 5l6．若级数1(65)nn p ∞=-∑收敛，则p 的取值范围是------------------------------------------（B ）（A ）(,2-∞ （B ）(2 （C ）(1,32) （D ）(32,)+∞ 7．若幂级数21(4)n nn a x ∞+=-∑在7x =处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（A ）（A ）3 （B ）9 （C ）11 （D ）1218．12xy C C e -=+是下列哪个微分方程的通解------------------------------------------（C ） （A ）0='-''y y （B ）0=-''y y （C ）0='+''y y （D ）0=+''y y二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 1．设(,)f u v 是二元可微函数，=(,)z f y x x y ，求+x y xz yz .解：21x u v y z f f x y =-+----------------------------------------------------------------------------2 21y u v xz f f x y=-----------------------------------------------------------------------------3故+0x y xz yz =.------------------------------------------------------------------------------22．求22xy De dxdy +⎰⎰D :2214x y ≤+≤.解: :02,12,D r θπ≤≤≤≤--------------------------------------------2 则原式2221r d e rdr πθ=⎰⎰----------------------------------------------22221r e dr π=⎰4()e e π=-.-----------------------------------------------------------33．设空间闭区域Ω{(,,)0x y z z =≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的内侧，用高斯公式计算3222()3()(1)xz dydz y z x dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰．解: 3222,3(),(1)P x z Q y z x R z z =+=-=---------------------------------------1Ω是半径为1的半球体 --------------------------------------------------------------------2 则 原式()xyz Pdydz Qdzdx Rdxdy P QR dxdydz ∑Ω=++=-++⎰⎰⎰⎰⎰-------------2dv Ω=-⎰⎰⎰23π=-． ---------------------------------------------------------------24．求解微分方程111y y x x'-=++． 解: 公式法， 11111[(1)]dx dx x x y e e dx C x-++⎰⎰=++⎰------------------------------------------3 ln(1)ln(1)1[(1)]x x e e dx C x+-+=++⎰------------------------------------------21(1)()x dx C x=++⎰(1)(ln )x x C =++．---------------------2第２页 共2页三、计算题（本大题8分）设方程0132=--xz y z 确定了),(y x z z =，求（1）)1,0,1(-dz；（2）曲面),(y x z z =在点)1,0,1(-处的切平面方程. 解: 令1),,(32--=xz y z z y x F则1)1,0,1(=-x F ，1)1,0,1(=-y F ，3)1,0,1(-=-z F ---------------------------------2（1）=-)1,0,1(dz dx F F z x )1,0,1()1,0,1(---)(31)1,0,1()1,0,1(dy dx dy F F z y +=----------------------2（2）切平面的法向量 )311(-=，，n--------------------------------------------2 切平面方程为 0)1(3)1(=+-+-z y x .----------------------------------------2 四、计算题（本大题8分）和建制造，乐在共享。

2012—2013学年第2学期《高等数学》下试卷A核分人签名_____________一、填空。

(每空3分共15分)1．微分方程x xe y ='''的通解是 2．过两点M(3，-2，1)和N （-1,0，2）的直线方程 3．交换积分次序=⎰⎰-y d y x f dx x 1010),(____________________4．设D 为圆域π≤+22y x ，则=+⎰⎰dxdy y x D)sin(225．判断级数∑∞=+11!n n n 的敛散性为 二、单项选择题(每小题3分共15分)1．二重极限22)0,0(),(lim y x xyy x +→值为 （ ） A ．0 B ．21C ．1D ．不存在 2. 空间曲线t x cos = t y sin = t z = 在2π=t 处的切线的方向向量是 （ ）A ．)2,1,0(π；B ．)1,0,1(-； Ｃ．)1,0,1(； Ｄ．)2,0,1(π。

3．曲线积分⎰=-lydx xdy 21（ ）其中Ｌ为沿422=+y x 顺时针方向一周A ．π2-B ．π4-C ．π4D ．0 4．已知曲面)0(1:22≥--=∑z y x z 则=++++⎰⎰∑dS yx z y x 2222441（ ）A. 2πB. πC.1D. π215．.已知22),(y x y x y x f -=-+则=∂∂+∂∂yy x f x y x f ),(),(（ ）A ．y x 22- B. y x + C. y x 22+ D. y x - 三、解答下列各题（每小题7分共35分）1. 设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂2.设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x 求dz dx dz dy3.求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值。

4. 求旋转抛物面122-+=y x z 在点（2，1，4）处的切平面和法线方程。

《高等数学AI 》期末复习题一参考答案一、选择题：1. C ；2. C ；3. D ；4. B ；5. D ；二、填空题：1、[ 2，4 ]；2、1；3、x = 1；4、y = x + 1；5、5272x ；6、单调增加；7、( - 1，6 )；8、3；9、y = 1；10、C ln x a a+；1112、π2；13、3。

三、计算下列极限：1、解：原式 = 201cos lim x xx→- 2、解：原式 = 1lim (1)1xx x →∞++ = 22012lim x x x → =1111lim (1)(1)11x x x x +-→∞+⋅+++ =12。

= e 。

四、计算下列导数：1、解：y ′ = 22(1)(2)x x x +-++2、解：y ′ = cos 1sin xx+。

=21(2)x + d y = 21(2)x + d x 。

3、解：方程两边对x 求导：3 y 2 y ′ - 3 y ′ - 6 x 5 = 0，y ′ = 5221x y -。

五、计算下列积分：1、解：dx x x ⎰++2212=dx x x ⎰+++11122=dx x ⎰++)111(2=arctan C x x ++。

2、解：dx x x ⎰+2sin 1cos =)(sin sin 112x d x⎰+=arctan(sin )C x +。

3、解：原式 = ( x 3 – x 2 + x )|10 = 1。

4、解：原式 =111000||11x x x xe e d x e e e e -=-=-+=⎰。

5、解：令t=x = t 2 ，d x = 2 t d t ，原式 = 102cos t t dt ⎰ =11002(sin |sin )t t t dt -⎰102(sin1cos |)2(sin1cos11)t =+=+-。

六解：(1) 函数的定义域为：( - ∞，- 3 ) ∪ ( - 3，+ ∞)。