广东省2015中考数学冲刺复习课件：第37课时++与圆有关的综合题PPT教学课件

数学
第37课时 与圆有关的综合题
2020/10/16
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第37课时 与圆有关的综合题
知识考点•对应精练
【知识考点】 （1）圆与三角函数； （2）圆与函数； （3）圆与点、线、三角形； （4）圆与多边形.
【对应精练】 1.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线 AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF． （1）求证：PB与⊙O相切； （2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明； （3）若AC=12，tan∠F= ，求cos∠ACB的值
AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
(1)求证：∠BCA=∠BAD;
(2)求DE的长;
(3)求证:BE是⊙O的切线.
【答案】
(1)∵AB=DB，
∴∠BDA=∠BAD，
又∵∠BDA=∠BCA，
∴∠BCA=∠BAD.
(2)在Rt△ABC中，AC=
，
易证△ACB∽△DBE，得
，
∴DE=
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第37课时 与圆有关的综合题
真题演练•层层推进
1.（2014广东梅州）如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心 的圆过点C． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若∠AOB=120°，AB= ，求⊙O的面积．
【答案】
（1）证明：如图，连接OC，
∵在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，∴OC⊥AB，
∵
，∴
，
设BE=x，则BF=2x，
∴EF=
，
∵ BE•BF= EF•BD，
∴BD= ，
∴AB=2BD= ，
∵AC²+AB²=BC²，即
∴
，
∴BC=
，
∴
.
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第37课时 与圆有关的综合题
【方法总结】 （1）看到求圆的切线，想到：有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直 ，证半径； （2）看到圆中的三角函数，想到三角函数一般在直角三角形中使用，直径 所对的圆周角是直角； （3）看到过圆外的同一点的两条切线，想到切线长定理； （4）看到垂直于弦的直径，想到垂径定理. 【失分盲点】 （1）易忽视圆中的两条半径构成等腰三角形这个条件； （2）在证明一条直线是圆的切线时，若直线与圆的公共点未确定时，易犯 证明直线与半径垂直的错误； （3）在圆中的三角形，易犯不说明其为直角三角形就应用三角函数解决问 题的错误.
（2）EF²=4OD•OP，理由如下：
∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴
，即OA²=OD•OP，
∵EF=2OA， ∴ EF²=OD•OP，即EF²=4OD•OP；
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第37课时 与圆有关的综合题
【答案】
（3）如图，连接BE，则∠FBE=90°，
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第37课时 与圆有关的综合题
【解析】 （1）PA为⊙O的切线， （2）AB⊥OP，由垂径定理，可得AD=BD，从而有PA=PB； （3）证OB⊥PB即可说明PB为⊙O的切线，由△AOP≌△OPB，即有； （4）由△OAD∽△OPA得OA²=OD•OP，由EF=2OA，代入可求EF，OD，OP之间关 系； （5）连接BE，构建Rt△BEF，由，tan∠F= ，可设BE=x，BF=2x，由勾股定 理可得EF= ，由面积法求得BD= ，则AB= ，由勾股定理求得BC=20 ，则cos∠ACB可求.
又OB为半径，
∴BE是⊙O的切线.
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第37课时 与圆有关的综合题
3.(2014广东)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D
，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，
连接PF.
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
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第37课时 与圆有关的综合题
【答案】
(3)连结OB，OD则OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BCD=180°，
又∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠BCE=∠BAC，
由(1)知∠BCA=∠BAD，
∴∠BCE=∠OBC，
∴OB∥DE，
∵BE⊥DE，
∴OB⊥BE，
第37课时 与圆有关的综合题
【答案】 （3）如图，连接AP， ∵OD=OE，OA=OP ∴∠1=∠2= ∠POC， ∵PD⊥AB，AC为⊙O的直径 ∴∠PDA=∠FBD=90 °， ∴PD∥FB ∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∵OD⊥AB ∴AD=BD ∴△ADP≌△DBF（AAS） ∴DP=FB ∴四边形DBFP是矩形 ∴∠DPF=90 °，即OP⊥PF 又∵OP为⊙O的半径 ∴PF是⊙O的切线.
∵以O为圆心的圆过点C，∴AB与⊙O相切；
（2）解：∵OA=OB，∠AOB=120°， ∴∠A=∠B=30°，
∵ABB= ， ∴OC=AC•tan∠A=
=2，
∴⊙O的面积为：π×22=4π．
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第37课时 与圆有关的综合题
2.（2013广东）如题24图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA，
（2）求证：OD=OE；
（3）PF是⊙O的切线。
【答案】
（1）因为OC= AC=6，∠POC=60°，
所以劣弧PC的长为
=2π；
（2）因为OD⊥AB，PE⊥AC
所以∠ODA=∠OEP=90°，
又因为∠AOD=∠POE，OA=OP，
所以△OAD≌△OPE（AAS)
所以OD=OE；
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第37课时 与圆有关的综合题课时作业
一、选择题
1.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD
等于（ C ）
A.160°
B.150° C.140°
D.120°
2.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是
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第37课时 与圆有关的综合题
【答案】
（1）如图，连接OA，
∵PA与⊙O相切，∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D为AB的中点，即OP垂直平分AB，∴PA=PB，
又OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴BP⊥OB，即PB与⊙O相切；