下载文档原格式
《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明在数学分析中，实数完备性是一个非常重要的概念。
实数完备性是指实数轴上不存在任何空缺的性质，即任何实数序列都有收敛的子序列。
实数完备性可由七大定理进行证明，并且这七个定理之间也可以相互证明。
下面将对这七大定理进行证明，并且展示它们之间的相互证明。
第一个定理是确界定理（或称上确界定理）。
它的表述是：有上界的非空实数集必有上确界。
证明如下：先证明存在性，假设S是有上界的非空实数集，令M为S的一个上界，那么对于S中的任意元素x，都有x≤M。
接下来我们来证明M是S的上确界。
首先，我们要证明M是S的一个上界，即对于任意x∈S，x≤M。
其次，我们要证明对于任意ε>0，存在一个元素s∈S，使得M-ε<s≤M。
这两点都可以使用导致上确界的性质来证明。
因此，我们证明了确界定理。
第二个定理是区间套定理。
它的表述是：若{[an,bn]}是一个递减的闭区间序列，并且满足an≤bn，则存在一个唯一的实数x同时含于所有闭区间[an,bn]中。
证明如下：首先，我们证明了区间套的任意两个闭区间之间的交集不为空。
其次，我们证明了{an}是一个递增有上界的实数序列，{bn}是一个递减有下界的实数序列。
因此，根据实数完备性的定义，存在唯一的实数x满足an≤x≤bn，即x属于所有闭区间的交集。
第三个定理是柯西收敛准则。
它的表述是：一个实数序列是收敛的充分必要条件是它满足柯西收敛准则，即对于任意ε>0，存在自然数N，使得当m,n≥N时，有，am-an，<ε。
证明如下：首先，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的有界性。
其次，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的单调性。
因此，根据实数完备性的定义，实数序列的柯西收敛准则是实数序列收敛的充分必要条件。
第四个定理是实数域的离散性。
它的表述是：任意两个实数之间必存在有理数和无理数。
证明如下：假设a和b是两个实数，并且a<b。
第七章 实数的完备性§1 实数完备性的基本定理1． 验证 数集},2,11)1{(L =+−n n n有且只有两个聚点11−=ξ和12=ξ 解 因{1+}21n 是{(-1)n+n 1}的所有偶数项组成的子列,且,1)211(lim =+∞→nn 故12=ξ是数集},2,11)1{(L =+−n n n的一个聚点.由于}1211{−+−n 是原数集的所有奇数项组成的子列,且,1)1211(lim −=−+−∞→n n 因而11−=ξ也是原数集的聚点.下证该数集再无其它聚点. 时，有则当取001}21,21min{,1εϕϕεϕ>−+=±≠∀n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−=−−−为奇数为偶数为奇数，为偶数）（n n n n n n n n n n ,11.1111,1111ϕϕϕϕϕ.1200εε>−≥n故ϕ不是该数集的聚点.这就证明原数集只有两个聚点,即1+与1−. 2．证明:任何有限数集都没有聚点.证 设S 是有限数集,则对任一S R a 因,1,0=∃∈ε是有限数集,故领域),(0εa U 内至多 有S 中的有限个点,故a 不是S 的聚点,由a 的任意性知,S 无聚点.3．设)},{(n n b a 是一严格开区间套,即1221b b b a a a n n <<<<<<<<L L L , 且.0)(lim =−∞→n n n a b 证明存在唯一一点ξ,有L ,2,1,=<<n b a n n ξ证 作闭区间列]},{[n n y x , 其中L ,2,1,2,211=+=+=++n b b y a a x n n n n n n ，由于),(,11N n b y b a x a n n n n n n ∈∀<<<<++ 故有(1) ))(,(],[),(11N n b a y x b a n n n n n n ∈∀⊂⊂++，从而L ,2,1],,[],[11=⊂++n y x y x n n n n(2) )(0N n a b x y n n n n ∈∀−<−<从而由]},{[.0)(lim ,0)(lim n n n n n n n n y x x y a b 所以得=−=−∞→∞→为闭区间套.由区间套定理知,存在一点).,2,1()1().,2,1](,[L L =<<=∈n b a n y x n n n n ξξ有由满足条件),2,1(L =<<n b a n n ξ的点ξ的唯一性的证明与区间套定理的证明相同.4．试举例说明:在有理数集内,确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立。
实数完备性的证明第一部分 七个定理的证明1.单调有界定理→区间套定理证明：已知n a ≤1+n a （∀n ）， n a ≤n b ≤1b ，∴由单调有界定理知{n a }存在极限，设∞→n limna = r ，同理可知{n b }存在极限，设∞→n lim n b =r ' ，由∞→n lim （nna b-）=0得r r '-=0即r r '=∀n ，有n a ≤n b ，令∞→n ，有n a ≤r r '=≤n b ，∴∀n ，有n a ≤r ≤n b 。
下面证明唯一性。
用反证法。
如果不然。
则∃ 21r r ≠，同时对任意 A a ∈，1r a ≤，2r a ≤对任意b 有1r b ≥ 2r b ≥，不妨设21r r <，令221'r r r +=显然2'1r r r <<⇒A r ∈'，B r ∈'，这与B A |是R 的一个分划矛盾。
唯一性得证。
定理证完。
2.区间套定理→确界定理证明：由数集A 非空，知∃A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知∃b 是A 的上界，记[1a ，1b ]=[a ，b ]，用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a+是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[1a ，211b a+]；如果211b a+不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[211b a +，1b ]；用2a ，2b 的中点222b a+二等分[2a ，2b ]……如此继续下去，便得区间套[na ，nb ]。
其中n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。
由区间套定理可得，∃唯一的 ∞=∈1],[n n nb ar ，使∞→n lim n a =∞→n limn b = r 。
A x ∈∀，由≤x n b （n=1，2，……）， 令∞→n ，≤x ∞→n lim n b = r ∴ r是A 的上界。
第七章 实数的完备性1 关于实数集完备性的基本定理(练习题)1、验证：数集{(-1)n +n1}有且只有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1. 证：∵(-1)2k +2k 1; (-1)2k+1+12k 1+∈{(-1)n +n 1}, 且 ∞→k lim [(-1)2k +2k 1]=1; ∞→k lim [(-1)2k+1+12k 1+]=-1，∴±1是{(-1)n +n1}的聚点. 设x 0是不同于±1的聚点，则取ε0=21min{|x 0-1|,|x 0+1|}，存在N=ε1， 当n=2k>N 时，(-1)n +n1>1-ε0>-1-ε0，当n=2k+1>N 时，(-1)n +n1<-1+ε0<1+ε0，又当x 0<-1时，ε0=21(-x 0-1)，2ε0=-x 0-1，即x 0+ε0=-1-ε0，当-1<x 0≤0时，ε0=21(x 0+1)，2ε0=x 0+1，即x 0-ε0=-1+ε0，当0≤x 0<1时，ε0=21(1-x 0)，2ε0=1-x 0，即x 0+ε0=1-ε0，当x 0>1时，ε0=21(x 0-1)，2ε0=x 0-1，即x 0-ε0=1+ε0，∴(-1)n +n 1>x 0+ε0或(-1)n +n 1<x 0-ε0，即(-1)n +n1落在U(x 0,ε0)外部，∴落在U(x 0,ε0)至多只有有限个点，与聚点概念矛盾. ∴{(-1)n +n1}有且只有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1.2、证明：任何有限集都没有聚点.证：设S 为有限集，x 0是它的聚点，由聚点定义存在互异{x n }⊂S 且∞→n lim x n =x 0，数列{x n }有无限项，与S 为有限集矛盾. 原命题得证.3、设{(a n ,b n )}是一个严格开区间套，即a 1<a 2<…<a n <…<b n <…b 2<b 1，且∞→n lim (b n -a n )=0. 证明：存在唯一一点ξ，有a n <ξ<b n , n=1,2,…证：作闭区间列{[x n ,y n ]}，其中x n =2a a 1n n ++, y n =2bb 1n n ++, n=1,2,… ∵a n <x n <a n+1, b n <y n <b n+1, ∴有(a n+1,b n+1)⊂[x n ,y n ]⊂(a n ,b n )，从而有 [x n+1,y n+1]⊂[x n ,y n ], n=1,2,… 又b n+1-a n+1<y n -x n <b n -a n ，由∞→n lim (b n -a n )=0得∞→n lim (y n -x n )=0. ∴{[x n ,y n ]}为闭区间套，由区间套定理，存在唯一一点ξ，使得ξ∈[x n ,y n ]⊂(a n ,b n ), n=1,2,…设数ξ’∈(a n ,b n ), n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤b n -a n , n=1,2,…，则 |ξ-ξ’|≤∞→n lim (b n -a n )=0，∴ξ’=ξ. 原命题得证.4、试举例证明：在有理数集内，确界原理、单调有界原理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立。
§1 关于实数集完备性的基本定理1．证明数集有且只有两个聚点和解：令数集数列则数列都是各项互异的数列，根据定义2，1和－1是S的两个聚点．对任意且令由得取，则当n＞N时，或者有或者有总之由定义2知x0不是S的聚点，故数集有且只有1和－1两个聚点．2．证明：任何有限数集都没有聚点．证明：用反证法．设S是一个有限数集．假设ζ是S的一个聚点，按照定义2，在ζ的任何邻域内都含有S中无穷多个点，这个条件是不可能满足的，因为S是一个有限集．故任何有限集都没有聚点．3．设是一个严格开区间套，即满足且证明：存在惟一的一点ξ，使得证明：由题设知，是一个闭区间套．由区间套定理知，存在惟一的点ξ，使n以…，即4．试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立．解：（1）设则S是有界集，并且但故有理数集S在Q内无上、下确界，即确界原理在有理数集内不成立．（2）由的不足近似值形成数列这个数列是单调有上界的，2是它的一个上界．它的上确界为于是它在有理数集内没有上确界．因此，单调有界原理在有理数集内不成立．（3）设M是由的所有不足近似值组成的集合．则1.4是M的一个下界，2是M 的一个上界．即M是一个有界无限集，但它只有一个聚点故在有理数集内不存在聚点．因此，聚点定理在有理数集内不成立．（4）的不足近似值形成的数列满足柯西条件（因为当m，n＞N时，但其极限是而不是有理数，于是这个满足柯西条件的数列在有理数集内没有极限．因此，柯西收敛准则在有理数集内不成立．5．设问（1）H能否覆盖（0，1）？（2）能否从H中选出有限个开区间覆盖（i）解：（1）有有所以即故H 能覆盖（0，1）．（2）设从H 中选出m 个开区间，它们是令则并集的下确界为于是的子集，实际上故不能从H 中选出有限个开区间来覆盖从H 中选出98个开区间因为所以这些开区间覆盖了故可以从H 中选出有限个开区间覆盖6．证明：闭区间的全体聚点的集合是本身．证明：设的全体聚点的集合是M ．设不妨设则由实数集的稠密性知，集合中有无穷多个实数，故a 是的一个聚点．同理，b也是的一个聚点．设不妨设则故x 0的任意邻域内都含有中的无穷多个点，故x 0为的一个聚点．总之设令则即不是的聚点，即故M．综上所述，M＝，即闭区间的全体聚点的集合是本身．7．设为单调数列．证明：若存在聚点，则必是惟一的，且为的确界．证明：设是一个单调递增数列．假设ξ，η是它的两个不相等的聚点，不妨设ξ＜η．令δ＝η－ξ，则δ＞0，按聚点的定义，中含有无穷多个中的点，设则当n＞n1时，x n 于是中只能含有{x n }中有穷多个点，这与ξ是聚点矛盾．因此，若存在聚点，则必是惟一的．假设无界，则即任给M＞0，存在正整数N，当n＞N时，x n＞M，于是小于M 的只有有限项，因此不可能存在聚点，这与已知题设矛盾，故有界．对任给的ε＞0，由聚点定义，必存在x N，使按上确界定义知综上，若有聚点，必惟一，恰为的确界．8．试用有限覆盖定理证明聚点定理．证明：设S 是实轴上的一个有界无限点集，并且假设S没有聚点，则任意都不是S 的聚点，于是存在正数使得中只含有S中有穷多个点．而开区间集是的一个开覆盖．由有限覆盖定理知，存在的一个有限覆盖，设为它们也是S的一个覆盖．因为每一个中只含有S 中有穷多个点，故S 是一个有限点集．这与题设矛盾．故实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点．9．试用聚点定理证明柯西收敛准则．证明：设收敛，令于是，对任给的ε＞0，存在正整数N，使得当n，m ＞N时，有于是设数列满足柯西收敛准则的条件．如果集合只含有有限多个不同的实数，则从某一项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立．此时，这个常数就是数列的极限．如果集合含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的．于是由聚点定理，集合至少有一个聚点假如有两个不等的聚点ξ，η，不妨设η＞ξ，令δ＝η－ξ，则与都含有集合中无限多个点．这与取，存在正整数N ，当n ，m ＞N 时，有矛盾．故的聚点是惟一的，记之为ξ．对于任意ε＞0，存在N ，使得当n ，m ＞N 时，又因为ξ是的聚点，所以存在n0＞N ，使得因而，当n ＞N 时，故数列收敛于ξ．10．用有限覆盖定理证明根的存在性定理．证明：根的存在定理：若函数f 在闭区间上连续，且f （a ）与f （b ）异号，则至少存在一点，使得f （x 0）＝0．假设方程f （x ）＝0在（a ，b ）内无实根，则对每一点有由连续函数的局部保号性知，对每一点存在x 的一个邻域，使得f （x ）在内保持与f （x ）相同的符号．于是，所有的形成的一个开覆盖．根据有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间来覆盖．把这些开区间的集合记为S ，则点a 属于S 的某个开区间，设为它的右端点x 1＋δ1又属于S的另一个开区间，设为以此类推，经过有限次地向右移动，得到开区间，使得δn ）这n 个开区间显然就是的一个开覆盖．f （x ）在每一个内保持同一个符号．在内f （x ）与f （a ）具有相同的符号．因为所以f （x ）在内也具有f （a ）的符号．以此类推，f （b ）与f （a ）具有相同的符号．这与f （a ）与f （b ）异号矛盾．故至少存在一点，使得f （x 0）＝0．11．用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理．证明：一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，则f 在上一致连续．因为f 在上连续，所以任绐任意ε＞0，存在对任意有取．则H 是的无限开覆盖．由有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为取对任意不妨设，即当时，由于因此由一致连续定义，f 在上一致连续．§2 上极限和下极限1．求以下数列的上、下极限。
实数完备性：实数集完备性的基本定理共有6个，实数集的确界原理，函数的单调有界定理和数列的柯西收敛定理，将要学习的有：区间套定理，聚点定理和有限覆盖定理。
它们都是等价的：由任何一个定理都可以推出其他5个定理。
完备性是指在数学及其相关领域中，当一个对象具有完备性，即它不需要添加任何其他元素，这个对象也可称为完备的或完全的。
完备性也称完全性，可以从多个不同的角度来精确描述这个定义，同时可以引入完备化这个概念。
第七章 实数的完备性 1 关于实数集完备性的基本定理一、区间套定理与柯西收敛准则 定义1：设区间列{[a n ,b n ]}具有如下性质： 1、[a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1], n=1,2,…;(即a 1≤a 2≤…≤a n ≤…≤b n ≤…≤b 2≤b 1) 2、∞→x lim (b n -a n )=0， 则称{[a n ,b n ]}为闭区间套，或简称区间套.定理7.1：(区间套定理)若{[a n ,b n ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,…, 即a n ≤ξ≤b n , n=1,2,…. 证：由a 1≤a 2≤…≤a n ≤…≤b n ≤…≤b 2≤b 1知: {a n }递增有界，∴{a n }有极限ξ，且a n ≤ξ，n=1,2,….又{b n }递减有界，∴{b n }有极限，又∞→nlim (b n -a n )=0，∴∞→n lim b n =∞→n lim a n =ξ， 且b n ≤ξ，n=1,2,…，即a n ≤ξ≤b n , n=1,2,….设数ξ’∈[a n ,b n ], n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤b n -a n , n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤∞→nlim (b n -a n )=0，∴ξ’=ξ. 原命题得证.推论：若ξ∈[a n ,b n ] (n=1,2,…)是区间套{[a n ,b n ]}所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε).例：证明：定理2.10：(数列的柯西收敛准则)数列{a n }收敛的充要条件是：对任给的ε>0，存在N>0，使得对m,n>N 有|a m -a n |<ε.证：[必要性]设∞→n lim a n =A ，由数列极限定义， 对任给的ε>0，存在N>0，当m,n>N 时，有|a m -A|<2ε，|a n -A|<2ε， ∴|a m -a n |≤|a m -A|+|a n -A|<ε.[充分性]∵对任给的ε>0，存在N>0，使得对n ≥N 有|a n -a N |≤ε，即 即在区间[a N -ε,a N +ε]内含有{a n }中几乎所有项(即除有限项外的所有项). 令ε=21，则存在N 1，在区间[a 1N -21,a 1N +21]内含有{a n }中几乎所有项.记[α1, β1]=[a 1N -21,a 1N +21].令ε=221，则存在N 2(>N 1)，在[a 2N -221,a 2N +221]含有{a n }几乎所有项. 记[α2, β2]=[a 2N -221,a 2N +221]∩[α1, β1]，[α2, β2]含有{a n }几乎所有项，且满足[α1, β1]⊃[α2, β2]及β2-α2≤21.依次令ε=321,…,n 21,…, 可得闭区间列{[αn , βn ]}，其中每个区间都含有{a n }几乎所有项，且 满足[αn , βn ]⊃[αn+1, βn+1], n=1,2,…, βn -αn ≤1-n 21→0 (n →∞)， 即{[αn , βn ]}是区间套，由区间套定理， 存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[αn , βn ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[αn , βn ]⊂U(ξ; ε)，∴在U(ξ; ε)内含有{a n }几乎所有项，∴∞→nlim a n =ξ.二、聚点定理与有限覆盖定理定义2：设S 为数轴上的点集，ξ为定点. 或ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点. 如：点集S={(-1)n +n 1}有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1；点集S={n1}只有一个聚点ξ=0； 又若S 为开区间(a,b)，则(a,b)内每一点以及端点a,b 都是S 的聚点； 根据定义，正整数集N +没有聚点，任何有限数集也没有聚点。
定义2’：(等阶定义)对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域都含有S 中异于ξ的点，即U ⁰(ξ;ε)∩S ≠Ø，则称ξ为S 的一个聚点.定义2”：(等阶定义)若存在各项互异的收敛数列{x n }⊂S ，则其极限∞→n lim x n =ξ称为S 的一个聚点.定理7.2：(魏尔斯特拉斯聚点定理)实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点.证：∵S 为有界点集，∴存在M>0，使得S ⊂[-M,M]，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，则至少有一个[a 2,b 2]含S 中无穷多个点， ∴[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=21(b 1-a 1)=M.将[a 2,b 2]等分成两个子区间，则至少有一个[a 3,b 3]含S 中无穷多个点， ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=21(b 2-a 2)=2M . 依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =2-n 2M→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且 每一个闭区间都含有S 中无穷多个点. 由区间套定理， 存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)，∴U(ξ; ε)内含有S 中无穷多个点，∴ξ为S 的一个聚点. 原命题得证.推论：(致密性定理)有界数列必含有收敛子列.证：设{x n }为有界数列，若{x n }中有无限多个相等的项，则 由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的. 若数列{x n }不含有无限多个相等的项，则{x n }在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理知， 点集{x n }至少有一个聚点ξ，则{x n }有一个以ξ为极限的收敛子列.例：证明：数列{a n }柯西收敛准则的充．分．条件. 证：取ε=1，则存在正整数N>0，当m=N+1及n>N 时，有|a n -a m |<1. ∵|a n |=|a n -a m +a m |≤|a n -a m |+|a m |<|a m |+1.取M=max{|a 1|,|a 2|,…,|a N |,|a m |+1}，则对一切正整数n ，有|a n |≤M.由致密性定理，有界数列{a n }必有收敛子列{a kn }，设∞→klim a kn =A ，则 对任给的ε>0，存在K>0，使得当m,n,k>K 时，同时有 |a n -a m |<2ε，|a kn -A|<2ε. ∴当m=n k (≥k>K)时，得|a n -A|≤|a n - a kn |+|a kn -A|<ε，∴∞→n lim a n =A ，柯西收敛准则充分条件得证.定义3：设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如(α, β)的开区间）.若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S ；若H 中开区间的个数是无限(有限)的，则称H 为S 的一个无限开覆盖(有限开覆盖).定理7.3：(海涅—博雷尔有限覆盖定理)设H 为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[a,b].证：若不能用H 中有限个开区间来覆盖[a,b]. 等分[a,b]为两个子区间， 则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记这个子区间为[a 1,b 1]，则[a 1,b 1]⊂[a,b]，且b 1-a 1=21(b-a). 再等分[a 1,b 1]为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记这个子区间为[a 2,b 2]，则[a 2,b 2]⊂[a 1,b 1]，且b 2-a 2=221(b-a). 如此不断重复上述步骤，可得到一个闭区间列{[a n ,b n ]}，它满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1], n=1,2,…, b n -a n ≤n21(b-a)→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n , b n ], n=1,2,…. ∵H 是[a,b]的一个开覆盖，∴存在开区间(α, β)∈H ，使ξ∈(α, β). 由定理7.1的推论，当n 充分大时有 [a n , b n ]∈(α, β)，即 [a n ,b n ]被(α, β)覆盖，矛盾，命题得证.注：定理7.3对开区间不一定成立，如： 开区间集{(1n 1,1)}(n=1,2,…)构成了开区间(0,1)的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住(0,1).三、实数完备性基本定理的等价性实数完备性的六个基本定理：1、确界原理；2、单调有界定理；3、区间套定理；4、有限覆盖定理；5、聚点定理；6、柯西收敛准则. 这六个命题是相互等价的.例1：用数列的柯西收敛准则证明确界原理. 证：设S 为非空有上界数集. 由实数的阿基米德性， 对任何正数a ，存在整数k a ，使得λa =k a a 为S 的上界，而λa -a=(k a -1)a 不是S 的上界，即存在a ’∈S ，使得a ’>(k a -1)a.分别取a=n1, n=1,2,…，则对每一个正整数n ，存在相应的λn ，使得λn 为S 的上界，而λn -n 1不是S 的上界，故存在a ’∈S ，使得a ’>λn -n1. 又对正整数m ，λm 是S 的上界，故有λm ≥a ’，∴λm >λn -n 1，即λn -λm <n1；同理有λm -λn <m 1，∴|λm -λn |<max ⎪⎭⎫ ⎝⎛m 1,n 1，于是， 对任给的ε>0，存在N>0，使得当m,n>N 时，有|λm -λn |<ε.由柯西收敛准则，数列{λn }收敛，记∞→nlim λn =λ. ∵对任何a ∈S 和正整数n ，有a ≤λn ，∴a ≤λ，即λ是S 的一个上界. 对任何δ>0，由n1→0(n →∞)，∴对充分大的n 同时有n1<2δ，λn >λn -2δ.又λn -n 1不是S 的上界，∴存在a ’∈S ，使得a ’>λn -n1，即有a ’>λn -2δ-2δ=λ-δ. ∴λ为S 的上确界.同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界.。
