三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2
θ+sin 2
θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2
x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=
2
β
α+－
2
β
α-等。
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2
2
b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?=
a
b
确定。 1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==
x
x
x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得???=+=，1
cos sin cos 2sin 2
2x x x
x 解这个方程组得.
55cos 552sin ,55cos 552sin ???????-=-=??
?????==x x x x 2．求
)
330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(
----的值．
解：原式
)
30360cos()150sin()30720tan()
120360sin()30180cos()180120tan(o
--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=
3．若
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x ，求sin x cos x 的值．
解：法一：因为
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，
得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2
x =1，联立方程组，解得 ，，???????=-=??
?
????-==1010cos 10
103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?-
=103
cos sin x x 法二：因为
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，
所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2
， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有?-
=10
3cos sin x x 4．求证：tan 2
x ·sin 2
x =tan 2
x －sin 2
x ．
证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2
x ，问题得证．
法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2
x ，问题得证． 5．求函数)6
π
2sin(
2+=x y 在区间[0，2]上的值域．
解：因为0≤x ≤2π，所以,6
π76π26π,π20≤+≤≤≤
x x 由正弦函数的图象， 得到],1,2
1
[)6π2sin(-∈+x
所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．
(1)y ＝sin 2
x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．
解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2
x ＋cos x )＋3，
令t =cos x ，则,4
13
)21(413)21(3)(],1,1[222
++-=++-=++-=-∈t t t t y t
利用二次函数的图象得到].4
13
,
1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2
－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，
)4π
sin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,4
5[+-∈y
7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．
解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是4
1
个周期，这样求得
44
=T ，T =16，所以?=8πω
又由)28π
sin(22?+?=，得到可以取).4
π
8πsin(2.4
π+=
∴=x y ?
8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4
x ．
(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2
π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数x
x
y cos 3sin 1--=
的值域．
解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4
x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2
x －sin 2
x )(cos 2
x ＋sin 2
x )－sin2x )4
π
2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x
所以最小正周期为π．
(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8
π
3=x 时，
f (x )取最小值为.2-
1． 已知2tan =
θ，求（1）
θθθ
θsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.
解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-
+
=
++θθθ
θθθθθθ； (2) θ
+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ2
2222
2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 3
2
4122221cos sin 2cos sin cos sin 222-=
++-=+θ
θ+θθ
-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
2． 求函数2
1sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。
解：设sin cos )[4
π
t x x x =+=
+∈，则原函数可化为
2213
1()24
y t t t =++=++
，因为[t ∈，所以
当t =
max 3y =，当12t =-时，min 3
4
y =，
所以，函数的值域为3
[34
y ∈+，。 3．已知函数2
()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。
（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； （2）证明：函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-
对称。 解：2
2
()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--
2sin 22cos 2)4
πx x x =-=- (1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，
所以，当2242ππx k π-
=+，即38
π
x k π=+时，()f x
最大值为 (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称，只要证明对任意x R ∈，有
()()88
ππf x f x --=-+成立，
因为())]2)28842
ππππ
f x x x x --=---=--=-，
())]2)28842ππππ
f x x x x -
+=-+-=-+=-， 所以()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称。
4． 已知函数y=21cos 2
x+2
3sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,
（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（1）y=
21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2
x －1)+ 41+43（2sinx ·cosx ）+1 =41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+45 =21sin(2x+6π)+4
5 所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6
π
+k π,（k ∈Z ）。
所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6
π
+k π,k ∈Z} （2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：
（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x+6
π
)的图像； （ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6π
)的图像；
（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6
π
)的
图像；
（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+4
5
的图像。 综上得到y=
21cos 2
x+2
3sinxcosx+1的图像。
历年高考综合题
一，选择题
1.（08全国一6）2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π的奇函数
2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ?
?
=+
??
?
的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ）
A ．向左平移
π
6个长度单位 B ．向右平移
π
6个长度单位 C ．向左平移5π
6
个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角
B ． 第二象限角
C ． 第三象限角
D ． 第四象限角
4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．2
5.（08安徽卷8）函数sin(2)3
y x π
=+图像的对称轴方程可能是 （ ）
A ．6
x π
=-
B ．12
x π
=-
C ．6
x π
=
D ．12
x π
=
6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移
2
π
个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x
7.（08广东卷5）已知函数2
()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）
A 、最小正周期为π的奇函数
B 、最小正周期为
2π
的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2
π
的偶函数
8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ）
A. －3，1
B. －2，2
C. －3，
32
D. －2，
32
9.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移
3
π
个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1
x π
=
则θ的一个可能取值是 （ ）
A.
512π B.512π- C.1112
π D.1112π-
10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin
2
x
f x x
x =+是 （ ）
A ．以4π为周期的偶函数
B ．以2π为周期的奇函数
C ．以2π为周期的偶函数
D ．以4π为周期的奇函数
11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则
MN 的最大值为 （ ）
A ．1
B
C
D ．2
12.（08山东卷10
）已知πcos sin 6αα??-
+= ??
?7πsin 6α?
?+ ??
?的值是（ ）
A
．5
-
B
．
5 C ．45-
D ．45
13.（08陕西卷1）sin 330?等于 （ ） A
．-
B ．12-
C ．12
D
14.（08四川卷4）()2
tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.（08天津卷6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A ．sin 23y x x π??
=-
∈ ???
R ， B ．sin 26x y x π??
=+∈
???
R ， C ．sin 23y x x π??
=+
∈ ???
R ， D ．sin 23y x x 2π??
=+
∈ ??
?
R ， 16.（08天津卷9）设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π
=，则 （ ） A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
17.（08浙江卷2）函数2
(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （ ）
A.
2
π B .π C.32π D.2π
18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(2
32cos(ππ
，∈+=x x y 的图象和直线2
1
=y 的交点个数是 （ ）
A.0
B.1
C.2
D.4 二，填空题
19.（08北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω?
?
=-
??
?
的最小正周期为
5
π，其中0ω>，则ω= ． 21.（08辽宁卷16）设02x π??
∈ ???
，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．
22.（08浙江卷12）若3
sin(
)25
π
θ+=，则cos 2θ=_________。 23.（08上海卷6）函数f (x )＝3sin x +sin(π
2+x )的最大值是
三，解答题
24. （08四川卷17）求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
25. （08北京卷15）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω??
=+
??
?
（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03??????
，上的取值范围．
26. （08天津卷17）已知函数2
2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的
最小值正周期是
2
π
． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．
27. （08安徽卷17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域
28. （08陕西卷17）已知函数2()2sin cos 444
x x x
f x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ?
?
=+
??
?
，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C 19.
34 20. 10 21.3 22. 25
7- 23.2 24. 解：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-
()2272sin 24cos 1cos x x x =-+-
2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+ ()2
1sin 26x =-+
由于函数()216z u =-+在[]11-，中的最大值为
()2
max 11610z =--+= 最小值为
()2
min 1166z =-+=
故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6
【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值； 【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；
25. 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=
11
2cos 222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω?
?=-+ ??
?．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以
2π
π2ω
=，解得1ω=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ??=-
+ ??
?． 因为2π03
x ≤≤， 所以ππ7π2666
x --≤≤，
所以1πsin 2126x ??-
- ??
?≤≤， 因此π130sin 2622x ?
?-+ ??
?≤≤，即()f x 的取值范围为302??
????
，． 26. 解：
()2
42sin 22
4sin 2cos 4cos 2sin 22
2cos 2sin 12sin 2
2cos 12+??? ?
?
+=+??? ??
+=++=+++?
=πωπωπωωωωωx x x x x x x
x f 由题设，函数()x f 的最小正周期是2
π，可得
222π
ωπ=，所以2=ω． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+??? ??
+=
πx x f ．
当ππ
π
k x 22
4
4+=
+
，即()Z k k x ∈+
=
216ππ
时，??? ?
?+44sin πx 取得最大值1，所以函数()x f 的最大值是22+，此时x 的集合为?
??
???∈+=Z k k x x ,216|ππ
27. 解：（1）
()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+
1cos 2sin 2(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =
++-+
221cos 22sin cos 2x x x x =
++-
1cos 22cos 22x x x =
-
sin(2)6
x π
=- 2T 2
π
π=
=周期∴ （2）
5[,],2[,]122636
x x ππ
πππ
∈-
∴-∈- 因为()sin(2)6
f x x π
=-在区间[,]123ππ-
上单调递增，在区间[,]32
ππ
上单调递减，
所以 当3
x π
=
时，()f x 取最大值 1
又
1()()12
22f f π
π-
=<=，
∴当12x π=-时，()f x 取最小值所以 函数 ()
f x 在区间[,]122ππ
-
上的值域为[
28. 解：（Ⅰ）
()f x sin
22x x =+π2sin 23x ??=+ ???
． ()f x ∴的最小正周期2π
4π12
T =
=． 当πsin 123x ??+=-
???时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ??
+= ???
时，()f x 取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ??=+
???．又π()3g x f x ?
?=+ ??
?．
∴1ππ()2sin 233g x x ????=++ ????
???π2sin 22x ??
=+ ???2cos 2x =．
()2cos 2cos ()22x x g x g x ??
-=-== ???
．
∴函数()g x 是偶函数．
常用三角恒等变换技巧
1 “角变换”技巧
角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。
例1 已知534cos =??
? ??
+πx ，4743ππ< π + x ，而“未知角”是x 和x 2，注意到4 4π π-??? ? ? + =x x ，可直接运用相关公式求出x sin 和x cos 。 【简解】因为ππ4743< π24 <+ ? ? + πx ，所以πππ2423<+ ?+πx 10274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin - =??? ?? +-??? ??+=??????-??? ? ?+=ππππππx x x x ， 从而10 2 cos -=x ，7tan =x . 原式= 7528tan 1sin 2cos sin 22-=-+x x x x . 【反思】（1）若先计算出10 2 cos - =x ，则在计算x sin 时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出x s i n 和x cos . 但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由 2 422π π-??? ??+=x x ，运用诱导公式和倍角公式求出x 2sin 。 例2 已知)tan()tan(βαλβα-=+，其中1≠λ，求证： 1 1 2sin 2sin -+=λλβα 【分析】所给条件中出现的“已知角”是βα+与βα-，涉及的“未知角”是α2与β2，将三个角比较分析发现)()(2βαβαα-++=，)()(2βαβαβ--+=，把“未知”角转化为两个“已知”角的代数和，然后用相关公式求解。 【简证】 ()()[]()()[] βαβαβαβαβα--+-++=sin sin 2sin 2sin ) sin()cos()cos()sin() sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-+--+-++-+= )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++= 1 1 )tan()tan()tan()tan(-+= ----+-=λλβαβαλβαβαλ 【反思】（1）以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；（2）本题也可由已知直接求出αtan 与βtan 的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有： ()ββαα-+=，()ββαα+-=， ()ββαβα-+=+22，()ββαβα+-=-22，)4 (24απ παπ--=+， ?+?=?304575等. 2 “名变换”技巧 名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。 例3 已知向量)1,tan 1(x a -=，)0,2cos 2sin 1(x x b ++=，求b a x f ?=)(的定义域和值域； 【分析】易知)2cos 2sin 1)(tan 1()(x x x x f ++-=，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。 【简解】)2cos 2sin 1)(tan 1()(x x x x f ++-= () 1cos 2cos sin 21cos sin 12 -++?? ? ??- =x x x x x ()()x x x x sin cos sin cos 2+-= x 2cos 2= 由0cos ≠x 得，Z k k x ∈+ ≠,2 π π，22cos 2-≠x 所以，x x f 2cos 2)(=.的定义域是? ?? ? ??∈+ ≠Z k k x x ,2π π，值域是(]2,2-. 【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解. 例4 已知βα,都是锐角，且ααααβcos sin cos sin tan +-= ，求α αβcos sin sin -的值。 【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化 切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近. 【简解1】显然0cos ≠α时，??? ??-=+-=+-=4tan 4tan tan 14tan tan 1cos 1cos sin tan παπαπ αααααβ， 因为βα,都是锐角，所以4 π αβ-=， 所以， 22 4sin 2sin cos sin sin = ? ?? ? ? -= -αβα αβ . 【简解2】由 α αααββcos sin cos sin cos sin +-= 得，ααβ ααβcos sin cos cos sin sin +=-， 设 A =+=-α αβ ααβcos sin cos cos sin sin ，则 ()()[] 2 2222cos sin cos sin cos sin ααααββ++-=+A ， 所以，122 =A ，2 2 = A ，即22cos sin sin = -ααβ. 【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；简 解2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元. 3 “常数变换”技巧 在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子 结构，运用相关公式求解，如 x x 22cos sin 1+=，? =45tan 1，3 tan 3π =等. 例5 （1）求证: 2 3 cos sin 1cos sin 14 466=----x x x x ；（2）化简：x x 2cos 32sin +. 【分析】第（1）小题运用() 3 22cos sin 1x x +=和() 2 22cos sin 1x x +=把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的 ()?ω+=x A y sin 的形式，有利于系统研究函数的图象与性质. 【简解】（1）左边=x x x x x x x x 4422266322cos sin )cos (sin cos sin )cos (sin --+--+ 2 3cos sin 2)cos (sin cos sin 32 22222=+=x x x x x x . （2）原式=x x 2cos 3 tan 2sin π + x x 2cos 3 cos 3sin 2sin ?+ =π π3 cos 3sin 2cos 3 cos 2sin π π π x x +=? ?? ? ?+=32sin 2πx 【反思】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了 x x 22cos sin 1+=把整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了?=45tan 1，把分 式变成了整式. 4 “边角互化”技巧 解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解. 例6 在ABC ?中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且2a sin A = (2b +c ) sin B + (2c +b ) sin C ， （1）求角A 的大小； （2）若sin sin 1B C +=，证明ABC ?是等腰三角形. 【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。 【简解】（1）（角化边）由正弦定理 C c B b A a sin sin sin ==得， c b c b c b a )2()2(22+++=，整理得，bc c b a ++=2 22， 所以2