三角函数恒等变换含答案及高考题
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三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos 2
θ+sin 2
θ=tanx ·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2
x ;配凑角:α=(α+β)-β,β=
2
β
α+-
2
β
α-等。
(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。
(4)引入辅助角。asin θ+bcos θ=2
2
b a +sin(θ+ϕ),这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定,ϕ角的值由tan ϕ=
a
b
确定。 1.已知tan x =2,求sin x ,cos x 的值. 解:因为2cos sin tan ==
x
x
x ,又sin 2x +cos 2x =1, 联立得⎩⎨⎧=+=,1
cos sin cos 2sin 2
2x x x
x 解这个方程组得.55cos 5
52sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x
2.求
)
330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(
----的值.
解:原式
)
30360cos()150sin()30720tan()
120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-=
.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=
3.若
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x ,求sin x cos x 的值.
解:法一:因为
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以sin x -cos x =2(sin x +cos x ),
得到sin x =-3cos x ,又sin 2x +cos 2x =1,联立方程组,解得
,,⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10
103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-
=103
cos sin x x 法二:因为,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以sin x -cos x =2(sin x +cos x ),
所以(sin x -cos x )2=4(sin x +cos x )2, 所以1-2sin x cos x =4+8sin x cos x , 所以有⋅-
=10
3cos sin x x 4.求证:tan 2x ·sin 2x =tan 2x -sin 2x .
证明:法一:右边=tan 2x -sin 2x =tan 2x -(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1-cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ,问题得证. 法二:左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1-cos 2x )=tan 2x -tan 2x ·cos 2x =tan 2x -sin 2x ,问题得证. 5.求函数)6
π
2sin(2+
=x
y 在区间[0,2π ]上的值域. 解:因为0≤x ≤2π,所以,6
π76π26π,π20≤+≤≤≤
x x 由正弦函数的图象, 得到],1,2
1
[)6π2sin(-∈+x
所以y ∈[-1,2]. 6.求下列函数的值域.
(1)y =sin 2x -cos x +2; (2)y =2sin x cos x -(sin x +cos x ). 解:(1)y =sin 2x -cos x +2=1-cos 2x -cos x +2=-(cos 2x +cos x )+3,
令t =cos x ,则,4
13
)21(413)21(3)(],1,1[222
++-=++-=++-=-∈t t t t y t
利用二次函数的图象得到].4
13
,
1[∈y (2)y =2sin x cos x -(sin x +cos x )=(sin x +cos x )2-1-(sin x +cos x ),令t =sin x +cos x 2=
,)4
π
sin(+x ,则
]2,2[-∈t 则,,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,4
5
[+-∈y
7.若函数y =A sin(ωx +φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为)2,2(,它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式.
解:由最高点为)2,2(,得到2=A ,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与x 轴交点的间隔是4
1个周期,这样求得
44
=T ,T =16,所以⋅=8πω
又由)28π
sin(22ϕ+⨯=,得到可以取).4
π
8πsin(2.4
π+=
∴=x y ϕ
8.已知函数f (x )=cos 4x -2sin x cos x -sin 4x .
(Ⅰ)求f (x )的最小正周期; (Ⅱ)若],2
π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值. 数x
x
y cos 3sin 1--=
的值域.
解:(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x -2sin x cos x -sin4x =(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )-sin2x )4
π
2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x
所以最小正周期为π.
(Ⅱ)若]2π,0[∈x ,则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ,所以当x =0时,f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8
π
3=x 时,