2020年宁夏中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列各式中正确的是()A. a3⋅a2=a6B. 3ab−2ab=1C. 6a2+13a=2a+1 D. a(a−3)=a2−3a2.小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图(如图)，则下列说法正确的是()A. 中位数是3，众数是2B. 众数是1，平均数是2C. 中位数是2，众数是2D. 中位数是3，平均数是2.53.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是()A. 14B. 12C. 35D. 344.如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F=30°，∠C=45°，AB与DE相交于点G，当EF//BC时，∠EGB的度数是()A. 135°B. 120°C. 115°D. 105°5.如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=()A. 13B. 10C. 12D. 56.如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=√2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是()A. 1−π4B. π−14C. 2−π4D. 1+π47.如图，函数y=x+1与函数y2=2x的图象相交于点M(1,m)，N(−2,n).若y1>y2，则x的取值范围是()A. x<−2或0<x<1B. x<−2或x>1C. −2<x<0或0<x<1D. −2<x<0或x>18.如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主=a2，S左=a2+a，则S俯=()A. a2+aB. 2a2C. a2+2a+1D. 2a2+a二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.分解因式：3a2−6a+3=______．10.若二次函数y=−x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是______．11.有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是______．12.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺(1尺=10寸).问这根圆形木材的直径是______寸．x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，13.如图，直线y=52把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是______．AB的长为半径画14.如图，在△ABC中，∠C=84°，分别以点A、B为圆心，以大于12弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半EF的长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A=______度．15.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：(1)阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；(2)阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；(3)阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为______．16.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b.如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为______．三、解答题（本大题共10小题，共72.0分）17.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)．(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．18.解不等式组：{5−x≥3(x−1)①2x−13−5x+12<1②．19.先化简，再求值：(a+1a+2+1a−2)÷2a2−4，其中a=√2．20.在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．(1)求A、B两种防疫物品每件各多少元；(2)现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？21.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA=AB．22.某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x<0.10.1≤x<0.20.2≤x<0.30.3≤x<0.40.4≤x<0.5频数042410使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x<0.10.1≤x<0.20.2≤x<0.30.3≤x<0.4频数2684(1)计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；(2)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？(一年按365天计算)23.如图，在△ABC中，∠B=90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)连接DE，若∠A=30°，求BE．DE24.“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y(m)与步行时间x(min)之间的函数关系式如图中折线段AB−BC−CD所示．(1)小丽与小明出发______min相遇；(2)在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．25.在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号(为正整数)与脚长(毫米)的对应关系如表1：鞋号(正整数)222324252627…脚长(毫米)160±2165±2170±2175±2180±2185±2…为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据b n 定义为[b n]如表2：序号n123456…鞋号a n222324252627…脚长b n160±2165±2170±2175±2180±2185±2…脚长[b n]160165170175180185…定义：对于任意正整数m、n，其中m>2.若[b n]=m，则m−2≤b n≤m+2．如：[b4]=175表示175−2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．(1)通过观察表2，猜想出a n与序号n之间的关系式，[b n]与序号n之间的关系式；(2)用含a n的代数式表示[b n]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；(3)若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？26.如图(1)放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF(∠B=∠E=30°)，若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止)，移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图(2)，AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC=DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒．(1)在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；(2)计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、a3⋅a2=a5，所以A错误；B、3ab−2ab=ab，所以B错误；C、6a2+13a =2a+13a，所以C错误；D、a(a−3)=a2−3a，所以D正确；故选：D．利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案．本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，而幂的乘方是底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；合并同类项的时候字母部分不变，系数进行计算，只有当系数计算结果为0时，整体为0．2.【答案】C【解析】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2；平均数为(0×1+1×4+2×6+3×2+4×2)÷15=2；众数为2；故选：C．根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断．此题考查了平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．3.【答案】B【解析】解：画树状图如图：共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个，∴能构成三角形的概率为1224=12，故选：B．画出树状图，找出所有的可能情况数以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．本题考查了列表法与树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有n种可能，而且．这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn4.【答案】D【解析】解：过点G作HG//BC，∵EF//BC，∴GH//BC//EF，∴∠HGB=∠B，∠HGE=∠E，∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F=30°，∠C=45°∴∠E=60°，∠B=45°∴∠HGB=∠B=45°，∠HGE=∠E=60°∴∠EGB=∠HGE+∠HGB=60°+45°=105°故∠EGB的度数是105°，故选：D．过点G作HG//BC//EF，则有∠HGB=∠B，∠HGE=∠E，又因为△DEF和△ABC都是特殊直角三角形，∠F=30°，∠C=45°，可以得到∠E=60°，∠B=45°，有∠EGB=∠HGE+∠HGB即可得出答案．本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出辅助线是解本题的关键．5.【答案】B【解析】解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB//CD，AB=BC=CD=DA=13，EF//BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，又∵AB//CD，EF//BD，∴DE//BG，BD//EG，∵DE//BG，BD//EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD=EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD=13，CO=12，∴OB=OD=√132−122=5，∴BD=2OD=10，∴EG=BD=10；故选：B．连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：连接CD，如图，∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=√2AC=√2×√2=2，∴CD=12AB=1，∴图中阴影部分的面积=S△ABC−S扇形ECF=12×√2×√2−90⋅π⋅12360=1−π4．故选：A．连接CD，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质求出CD的值，再分别计算出扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形的面积和等腰直角三角形的性质．7.【答案】D【解析】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当直线图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为−2<x<0或x>1，故答案为：−2<x<0或x>1．故选：D．的图象，即可得出当y1>观察函数y=x+1与函数y2=2xy2时，相应的自变量x的取值范围．本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵S主=a2=a⋅a,S左=a2+a=a(a+1)，∴俯视图的长为a+1，宽为a，=a⋅(a+1)=a2+a，∴S俯故选：A．由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论．本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键．9.【答案】3(a−1)2【解析】解：原式=3(a2−2a+1)=3(a−1)2．故答案为：3(a−1)2．首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．10.【答案】k>−1【解析】解：∵二次函数y=−x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，∴Δ=4−4×(−1)×k>0，解得：k>−1，故答案为：k>−1．根据二次函数y=−x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，可知判别式Δ>0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围．本题考查判别式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．11.【答案】23【解析】解：列表得：共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种，∴两次抽出数字之和为奇数的概率为46=23．故答案为：23．列表得出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．本题考查了列表法与列树状图法以及概率公式；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．12.【答案】26【解析】解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴AD=BD=12AB=12尺=5寸，设半径OA=OE=r，∵ED=1，∴OD=r−1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r−1)2+52=r2，解得：r=13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得AD=BD=12AB=12尺=5寸，设半径OA=OE=r，则OD=r−1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r−1)2+52=r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．13.【答案】(4,125)【解析】解：在y=52x+4中，令x=0得，y=4，令y=0，得0=52x+4，解得x=−85，∴A(−85,0)，B(0,4)，由旋转可得△AOB≌△A1O1B，∠ABA1=90°，∴∠ABO=∠A1BO1，∠BO1A1=∠AOB=90°，OA=O1A1=85，OB=O1B=4，∴∠OBO1=90°，∴O1B//x轴，∴点A1的纵坐标为OB−OA的长，即为4−85=125；横坐标为O1B=OB=4，故点A1的坐标是(4,125)，故答案为：(4,125).首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，A1的横坐标等于OB，而纵坐标等于OB−OA，即可得出答案．本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．14.【答案】32【解析】解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，∴AD=BD，∠ABD=∠CBD=12∠ABC，∴∠A=∠ABD，∴∠A=∠ABD=∠CBD，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，且∠C=84°，∴∠A+2∠ABD=180°−∠C，即3∠A=180°−84°，∴∠A=32°．故答案为：32．由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得∠A=∠ABD=∠CBD，再根据三角形内角和定理即可得解．本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．15.【答案】6【解析】解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b(a,b均为整数)，依题意，得：{a>bb>4 a<8，∵a，b均为整数∴4<b<7，∴b最大可以取6．故答案为：6．设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b(a,b均为整数)，根据给定的三个条件，即可得出关于a，b的二元一次不等式组，结合a，b均为整数即可得出b的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．本题考查二元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出二元一次不等式组是解题的关键．16.【答案】27【解析】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，(b−a)2=3，图2中大正方形的面积为：(a+b)2，∵(b−a)2=3a2−2ab+b2=3，∴15−2ab=32ab=12，∴(a+b)2=a2+2ab+b2=15+12=27，故答案为：27．根据题意得出a2+b2=15，(b−a)2=3，图2中大正方形的面积为：(a+b)2，然后利用完全平方公式的变形求出(a+b)2即可．本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．17.【答案】解：(1)由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)，则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1(1,−3)，B1(4,−1)，C1(1,−1)，连接A1C1，A1B1，B1C1得到△A1B1C1．如图所示△A1B1C1为所求；(2)由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧则A2(2,6)，B2(8,2)，C2(2,2)，连接各点，得△A2B2C2．第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧A2(−2,−6)，B2(−8,−2)，C2(−2,−2)，连接各点，得△A2B2C2．综上所述：如图所示△A2B2C2为所求；【解析】(1)将△ABC 的各个点关于x 轴的对称点描出，连接即可．(2)在△ABC 同侧和对侧分别找到2OA =OA 2，2OB =OB 2，2OC =OC 2所对应的A 2，B 2，C 2的坐标，连接即可．本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．18.【答案】解：由①得：x ≤2，由②得：x >−1，所以，不等式组的解集是−1<x ≤2．【解析】分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集．本题考查了不等式组的解法，关键是求出两个不等式的解，然后根据口诀求出不等式组的解集．19.【答案】解：原式=(a+1)(a−2)+a+2a 2−4⋅a 2−42 =a 2−a −2+a +22=a 22当a =√2时，原式=(√2)22=1．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握． 20.【答案】解：(1)设A 种防疫物品每件x 元，B 种防疫物品每件y 元，依题意，得：{60x +45y =114045x +30y =840， 解得：{x =16y =4． 答：A 种防疫物品每件16元，B 种防疫物品每件4元．(2)设购买A 种防疫物品m 件，则购买B 种防疫物品(600−m)件，依题意，得：16m +4(600−m)≤7000，解得：m ≤38313，又∵m 为正整数，∴m的最大值为383．答：A种防疫物品最多购买383件．【解析】(1)设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，根据“如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品(600−m)件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB//DC．∴∠FEA=∠DEC，∠F=∠ECD．又∵EA=ED，∴△AFE≌△DCE．∴AF=DC．∴AF=AB．【解析】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用(SAS,ASA，SSS)来证明△AFE≌△DCE，根据全等的性质再证明AF=DC，从而证明AF=AB．本题考查平行四边形的性质及全等三角形等知识，是比较基础的证明题．×(0×0.05+4×0.15+ 22.【答案】解：(1)未使用节水龙头20天的日平均用水量为：1202×0.25+4×0.35+10×0.45)=0.35(m3)，×(2×0.05+6×0.15+8×0.25+使用了节水龙头20天的日平均用水量为：1204×0.35)=0.22(m3)；(2)365×(0.35−0.22)=365×0.13=47.45(m3)，答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省47.45m3水．【解析】(1)取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量即可；(2)先计算平均一天节水量，再乘以365即可得到结果．此题主要考查节水量的估计值的求法，考查加权平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】(1)证明：连接OE，如图1所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，又∵OE=OC，∴∠ACE=∠OEC，∴∠BCE=∠OEC，∴OE//BC，∴∠AEO=∠B，又∵∠B=90°，∴∠AEO=90°，即OE⊥AE，∵OE为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；(2)解：连接DE，如图2所示：∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC=90°，∴∠DEC=∠B，又∵∠DCE=∠ECB，∴△DCE∽△ECB，∴BEDE =CECD，∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=60°，∴∠DCE=12∠ACB=12×60°=30°，∴CECD =cos∠DCE=cos30°=√32，∴BEDE =√32．第23页，共23页【解析】(1)连接OE ，证明OE//BC ，得∠AEO =∠B =90°，即可得出结论；(2)连接DE ，先证明△DCE∽△ECB ，得出BE DE =CE CD ，易证∠ACB =60°，由角平分线定义得∠DCE =12∠ACB =12×60°=30°，由此可得CE CD 的值，即可得出结果．本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识；结合题意灵活运用知识点是解题关键． 24.【答案】30【解析】解：(1)由图象可得小丽与小明出发30min 相遇，故答案为：30；(2)①设小丽步行的速度为V 1m/min ，小明步行的速度为V 2m/min ，且V 2>V 1，则{30V 1+30V 2=5400(67.5−30)V 1=30V 2， 解得：{V 1=80V 2=100， 答：小丽步行的速度为80m/min ，小明步行的速度为100m/min ；②设点C 的坐标为(x,y)，则可得方程(100+80)(x −30)+80(67.5−x)=5400，解得x =54，y =(100+80)(54−30)=4320m ，∴点C(54,4320)，点C 表示：两人出发54min 时，小明到达甲地，此时两人相距4320m ．(1)直接从图象获取信息即可；(2)①设小丽步行的速度为V 1m/min ，小明步行的速度为V 2m/min ，且V 2>V 1，根据图象和题意列出方程组，求解即可；②设点C 的坐标为(x,y)，根据题意列出方程解出x ，再根据图象求出y 即可，再结合两人的运动过程解释点C 的意义即可．本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图象获取信息是解题关键．25.【答案】解：(1)a n =21+n ；[b n ]=160+5(n −1)=5n +155；(2)由a n =21+n 与[b n ]=5n +155解得：[b n ]=5a n +50，把a n =42代入a n =21+n 得n =21，所以[b 21]=5×42+50=260，则：260−2≤b 21≤260+2，即258≤b 21≤262．第12页，共23页 答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm ～262mm ；(3)根据[b n ]=5n +155可知[b n ]能被5整除，∵270−2≤271≤270+2，∴[b n ]=270，将[b n ]=270代入[b n ]=5a n +50中得a n =44． 故应购买44号的鞋．【解析】(1)观察表格里的数据，可直接得出结论； (2)把n 用含有a n 的式子表示出来，代入[b n ]=5n +155化简整理，再计算鞋号为42对应的n 的值，代入[b n ]=5n +155求解即可；(3)首先计算[b n ]=270，再代入[b n ]=5a n +50求出a n 的值即可．此题主要考查了一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，读懂题意是解题的关键．26.【答案】解：(1)解：因为Rt △ABC 中∠B =30°，∴∠A =60°，∵∠E =30°，∴∠EQC =∠AQM =60°，∴△AMQ 为等边三角形，过点M 作MN ⊥AQ ，垂足为点N ．在Rt △ABC 中，AC =√3,BC =AC ⋅tanA =3，∴EF =BC =3，根据题意可知CF =x ，∴CE =EF −CF =3−xCQ =CE ⋅tanE =√33(3−x)， ∴AQ =AC −CQ =√3−√33(3−x)=√33x ， ∴AM =AQ =√33x ， 而MN =AM ⋅sinA =12x ，∴S △MAQ =12AQ ⋅MN =12×√33x ⋅12x =√312x 2，(2)由(1)知BF=CE=3−xPF=BF⋅tanB=√33(3−x)，∴S重叠=S△ABC−S△AMQ−S△BPF=12AC⋅BC−12AQ⋅MN−12BF⋅PF=12×3×√3−√3 12x2−12(3−x)√33(3−x)=−√34x2+√3x=−√34(x−2)2+√3，所以当x=2时，重叠部分面积最大，最大面积是√3．【解析】(1)解直角三角形ABC求得EF=BC=3，设CF=x，可求AQ=√33x，MN=12x，根据三角形面积公式即可求出结论；(2)根据“S重叠=S△ABC−S△AMQ−S△BPF”列出函数关系式，通过配方求解即可．本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．第23页，共23页。
