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正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像平移及解析式的求法【知识点梳理及分析】一、有关正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)基础知识1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下： 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 二、图像的平移转换图像的平移转换遵循左加右减，上加下减原则 1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.2.两种变换方法注意：左侧为先平移后伸缩，右侧为先伸缩后平移 三、正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)解析式的求法1.表达式的化简（主要利用辅助角公式）（1）辅助角公式sin cos a b αα+22)a b αϕ++(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,2222sin tan ba ab a b ϕϕϕ===++ ，该法也叫合一变形).（2）所涉及到公式① 两角和与差的正弦、余弦公式： (1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-②二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin =（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a③降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a += （2） 22cos 1sin 2aa -=注：表达式的化简攻略可化简的表达式多种多样，很难靠举例一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，主要有以下几个特征：（1）观察式子：主要有三点①系统：整个表达式是以正余弦为主，如果有正切需要切化弦进行统一 ②确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式看做一个角来进行变换③式子是否齐次：式子要做到齐次统一，利用所涉及到三角函数恒等式的公式进行转换，把同一角转换为齐二次式或是齐一次式在使用辅助角公式，使结果成为y ＝A sin(ωx ＋φ)（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂（注意平方降幂）.2. 求解A 、ω、φ以及确定解析式 (1)A 的求解A 的求解：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2（2）ω的求解结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω①如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两条对称轴为x=a ，x=b （a<b ），则T=2(b-a).②如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两个对称中心为（a ，0）、（b ，0）（a<b ），则T=2(b-a).③如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的对称轴与对称中心分别为x=a ，（b ，0）则T=4a -b .注意：在y ＝Asin(ωx ＋φ)中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.（3）φ的求解①代入法：把图上已知点代入即可. ②五点法确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”（即图像上升时与x 轴交点）为ωx ＋φ=0；“第二点”（即图像的“峰点”）为ωx ＋φ=π2；“第三点”（即图像下降时与x 轴交点）为ωx ＋φ=π；“第四点”（即图像的“谷点”）为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（4）y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 中“B ”的确定 B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2补充：函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束④dx c bx a y ++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。
掌握y y ＝A sin(ωx ＋φ)y ＝sin x 1：y ＝sin(x ＋φ)；C 1上各点的横坐标缩小(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1)到原来的1ω倍(纵坐标不变)得C 2：y ＝sin(ωx ＋φ)；C 2上各点纵坐标伸长(当A >1时)或缩小(0<A <1)到原来的A 倍得到C 3：y ＝A sin(ωx ＋φ)(Δ>0，ω>0)．一、选择题1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向右平移π6个单位长度 答案：C解析：因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以将函数y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，就可得到函数y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 2．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 答案：C解析：把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．3．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝1＋cos2xC ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos2x －1答案：B解析：将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数为y ＝1＋cos2x .4．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π3个单位长度 答案：B解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝cos2⎝⎛⎭⎫x －π3. 5．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4答案：B解析：y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ 若为偶函数，则π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z 经验证当k ＝0时，φ＝π4. 6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位长度，得到的图象对应的解析式是( ) A ．y ＝sin 12x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案：C解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象，故所求解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6. 二、填空题7．如果将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－4x 的图象向左平移φ个单位后正好与原函数的图象重合，那么最小正数φ＝______________.答案：π2解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－4x ――→向左平移φ个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤π6－4(x ＋φ)＝sin ⎣⎡⎦⎤π6－4x －4φ 若与原函数图象重合，则需满足－4φ＝2k π，k ∈Z ，当k ＝－1时，最小正数φ＝π28．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象可以看作把函数y ＝12sin2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．答案：右 π8解析：∵y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝12sin2⎝⎛⎭⎫x －π8，∴由y ＝12sin2x 的图象向右平移π8个单位长度便得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 9．先将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再作所得图象关于y 轴的对称图形，则最后所得图象的解析式是________．答案：y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 解析：向右平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3， 关于y 轴对称则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －2π3＝ －sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 三、解答题10．用五点法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，并指出函数的单调区间． 解：(1)列表 列表时由2x ＋π3的取值为0，π2，π，3π2，2π，再求出相应的x 值和y 值．(2)描点．(3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得的简图向左、向右扩展，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的简图(图略)． 可见在一个周期内，函数在⎣⎡⎦⎤π12，712π上递减，又因函数的周期为π，所以函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．同理，递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z )． 11．先将函数y ＝sin x 的图象向右平移π5个单位，再变化各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为2π3的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的图象，求ω和φ. 解：将函数y ＝sin x 的图象向右平移π5个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π5的图象，再变化y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π5的图象各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为23π的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的图象，得到ω＝2πT ＝2π23π＝3，所以ω＝3，φ＝－π5.12．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位 C ．向左平移π4个单位 D ．向右平移π4个单位 答案：A 解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8. 13．函数y ＝sin x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象经过怎样的变化而得到？ 解：∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝ sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∴y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6 y ＝sin2x――→横坐标变为原来的2倍纵坐标不变y ＝sin x .。
第14 课时平移变换、伸缩变换课时目标掌握y＝sin x 与y＝A sin( ωx＋φ) 图象之间的关系，会用“五点法”和变换法作y ＝A sin( ωx＋φ) 的图象，并会由函数的图象与性质求y＝A sin( ωx＋φ) 的解析式．识记强化y＝sin x 图象上所有点向左( φ>0) 或向右( φ<0) 平移| φ| 个单位得C1 ：y＝sin( x＋φ) ；C1 上各点的横坐标缩小( 当ω>1 时) 或伸长( 当0<ω<1) 到原来的1ω倍( 纵坐标不变) 得C2：y＝sin( ωx＋φ) ；C2 上各点纵坐标伸长( 当A>1 时) 或缩小(0<A<1) 到原来的A倍得到C3：y＝A sin( ωx＋φ)( Δ>0，ω>0) ．课时作业一、选择题1．要得到函数y＝sin 2x＋π3 的图象，只要将函数y＝sin2 x 的图象( )A．向左平移π个单位长度 B ．向右平移3π3个单位长度C．向左平移答案：C π个单位长度 D ．向右平移6π6个单位长度解析：因为y＝sin 2x＋π3π＝sin2 x＋6，所以将函数y＝sin2 x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，就可得到函数y＝sin2 x＋ππ6 ＝sin 2x＋3 的图象．2．把函数y＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1( 纵坐标不变) ，得到的图象所对应的函数是( ) 2πA．y＝sin 2x－3B ．y＝sinx2＋π6πC．y＝sin 2x＋答案：C3D ．y＝sin 2x＋2π3解析：把函数y＝sin x 的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y＝πsin x＋3的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y＝πsin 2x＋3的图象．3．将函数y＝sin2 x 的图象向左平移π个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得到4的图象对应的函数是( )1A．y＝cos2x B．y＝1＋cos2xC．y＝1＋sin 2x＋D．y＝cos2x－1答案：B π4解析：将函数y＝sin2 x 的图象向左平移π个单位长度，得到函数y＝sin2 x＋4π4的图π象，即y＝sin 2x＋数为y＝1＋cos2 x.2＝cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位长度，所得到的图象对应的函4．为了得到函数y＝sin 2x－π6的图象，可以将函数y＝cos2x 的图象( )A．向右平移π个单位长度6B．向右平移π个单位长度3C．向左平移π个单位长度6D．向左平移答案：B π个单位长度3解析：y ＝sin 2x－π6＝cosπ2π－2x－6＝cos2π3－2x ＝cos 2x－2π3＝πcos2 x－3.5．将函数y＝sin(2 x＋φ) 的图象沿x 轴向左平移π个单位后，得到一个偶函数的图象，8则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C．0 D ．－答案：B π4左移解析：y＝sin(2 x＋φ) ―个―单→位y＝sin 2 x ＋π8π8＋φ＝sin 2x＋π4＋φ若为偶函数，则ππ＋φ＝4 2＋kπ，k∈Zπ经验证当k＝0 时，φ＝4.6．将函数y＝sin x－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍( 纵坐标不变) ，再将所得的图象向左平移π3个单位长度，得到的图象对应的解析式是( )A．y＝sin 12x B ．y＝sin1x－2π22C．y＝sin 答案：C 1πx－2 6D ．y＝sin 2x－π6解析：y ＝sin x－π3横坐标伸长到原来的2倍的图象――→y ＝sin12x－π3的图象y＝sin 12πx＋3π－3＝sin 12x－π6的图象，故所求解析式为y＝sin1πx－2 6.二、填空题7．如果将函数y＝sin π－4x 的图象向左平移φ个单位后正好与原函数的图象重合，6那么最小正数φ＝______________.答案：π2解析：y＝sin π向左平移－4x ――→6φ个单位y＝sinπ6－x＋φ＝sinπ6－4x－4φπ若与原函数图象重合，则需满足－4φ＝2kπ，k∈Z，当k＝－1 时，最小正数φ＝28．函数y＝12πsin 2x－4 的图象可以看作把函数y＝12sin2 x 的图象向________平移________个单位长度得到的．答案：右π81π解析：∵y＝sin 2x－2 4＝12sin2 x－π8，∴由y＝12sin2 x 的图象向右平移π8个单位长度便得到y＝12sin 2x－π4的图象．9．先将函数y＝sin2 x 的图象向右平移π个单位长度，再作所得图象关于y 轴的对称图3形，则最后所得图象的解析式是________．2π答案：y＝－sin 2x＋3解析：向右平移2ππ个单位长度得到y＝sin 2x－3 3，2π关于y 轴对称则y＝sin －2x－3＝－sin 2x＋2π3.三、解答题π10．用五点法画出函数y＝2sin 2x＋解：(1) 列表3的图象，并指出函数的单调区间．x －π6π12π37π125π6π2x＋30π2π3π22πy 0 2 0 －2 03π列表时由2x＋3的取值为0，π，π，23π2，2π，再求出相应的x 值和y 值．(2) 描点．(3) 用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得的简图向左、向右扩展，得到y＝2sin 2x＋π3 ( x∈R)的简图( 图略) ．可见在一个周期内，函数在7π，12π上递减，又因函数的周期为π，所以函数的递12减区间为kπ＋7ππ，kπ＋12 12( k∈Z) ．同理，递增区间为kπ－5π，kπ＋12π12( k∈Z)．11．先将函数y＝sin x 的图象向右平移π5个单位，再变化各点的横坐标( 纵坐标不变) ，得到最小正周期为2π的函数y＝sin( ωx＋φ)( 其中ω>0) 的图象，求ω和φ .3解：将函数y＝sin x 的图象向右平移ππ个单位，得到y＝sin x－5 5的图象，再变化y＝sin x－π5的图象各点的横坐标( 纵坐标不变)，得到最小正周期为23π的函数y＝sin( ωx2π＋φ)( 其中ω>0) 的图象，得到ω＝＝T 2π2π3＝3，所以ω＝3，φ＝－π5.能力提升12．要得到函数y＝cos 2x－π4的图象，只要将y＝sin2 x 的图象( )A．向左平移π个单位8B．向右平移π个单位8C．向左平移π个单位4D．向右平移答案：A π个单位4解析：y＝cos 2x－π4＝cosπ4－2x＝sin π－2ππ－2x ＝sin 2x＋4 44＝sin 2 x＋π8.13．函数y＝sin x 的图象可由y＝cos 2x－π6的图象经过怎样的变化而得到？解：∵y＝cos 2x－π6 ＝cosπ6－2x ＝sin π－2π6－2x＝sin 2x＋π3＝sin2 x＋π6.∴y＝cos 2x－π6＝sin2 x＋π6y横坐标变为原来的2倍＝sin2 x 纵坐―标―不→变y＝sin x.5。
高中数学三角函数图像平移变换最难题型技巧轻松解，颠覆你的认知三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
三角函数让一些同学真的是很头痛的知识点，它不仅变化多端，而且技巧性很强。
有时候你稍微不注意，没有弄清楚题目的变化，题目可能就要全军覆没。
在考研备考复习过程中，三角函数这块知识点也是必不可少的。
考研涉及的关于三角函数的知识点考查形式很多，比如有关三角函数的等价无穷小代换、万能公式代换积分、涉及三角函数的微分方程……今天先给大家分享一些结论性的三角函数积分知识。
今天讲这个专题有三个元素量：第一个是初始函数，第二个是变换过程，第三个是目标函数。
这三个元素量组合成三种题型，它是知二求一，就是说任意两个是已知的，让你求第三个。
所说它分三个题型：①已知初始函数和变换过程，求目标函数;②已知变换过程和目标函数，求初始函数;③已知初始函数和目标函数，求变换过程。
我告诉大家，前两个题型非常简单，我今天不给大家讲，我前面有讲《2句话搞定三角函数图像平移变换问题》，只要看过我这篇文章或者视频课，把这个点领悟透彻，这两题非常容易就做出来了。
我给大家答案，大家可以自己去做一下，第一题答案是：A;第二题答案：B。
今天就主要来讲一讲如何搞定第三种题型：已知初始函数和目标函数，求变换过程。
它为什么难度比较大呢，就是因为它给的两个函数的名称不一样，你首先是要统一名称，而且是唯一的，你如果统一成cosx就有可能有正确的先期，如果统一成sinx可能就没有正确选项。
所以这类题只能出选择题，不能出填空题。
为什么?因为填空它的答案不唯一!!所以一般不会出填空题。
为方便大家能将这个知识点理解透彻，我用常规方法解一道题讲原理，最后给大家讲秒杀方法，那么这种题目就可以10秒出答案!常规方法解例1：首先我统一成cosx看能不能选出答案。
三⾓函数的平移知识点和练习三⾓函数图象的作法：1．y=Asin(ωx+φ)的图象：①⽤五点法作图:五点取法由ωx +?=0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.②图象变换：先平移、再伸缩两个程序③A---振幅 ?π2=T----周期πω21==Tf ----频率相位--+?ωx 初相--?2、函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三⾓函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换⽅法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ?=+的图象()ωωω→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变得sin()y x ω?=+的图象()A A A >→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0)k k k >得sin()y A x k ?=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωωω>个单位得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0)k k k >得sin()y A x k ω?=++的图象．注意：利⽤图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现⽆论哪种x ? ? ? ?ω+x2ππ23ππ2)sin(?ω+=x A y0 A0 -A 0变形，请切记每⼀个变换总是对字母x ⽽⾔，即图象变换要看“变量”起多⼤变化，⽽不是“⾓变化”多少。
高中数学课程：三角函数图像的平移
最新考纲要求:
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性. 考情定向分析:
以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.
现就三角函数图像的平移问题作出总结
例如：如何画出Y=2sin(2x+π/4)函数图像
方法一：
由y=sinx----→横坐标缩为原来的1/2倍：得y=sin2x----→再向左平移π/8个单位：得y=sin2(x+π/8).----→然后纵坐标伸长为原来的2倍：得y=2sin(2x+π/4）。
方法二：
由y=sinx----→向左平移π/4个单位：得y=sin（x+π/4）----→再将横坐标缩为原来的
1/2倍：得y=sin(2x+π/4).----→然后纵坐标伸长为原来的2倍：得y=2sin(2x+π/4).
思考：形如y=Αsin（wx+ψ）的图像两种不同的方法变换，其结果是一致的。
方法一：先变换三角函数的周期T=2π/w，再平移|φ|/w个单位（此处不得直接平移|φ|个单位，平移时的单位必须是X前面系数变为1，即y=Αsinw[ x+（ψ/w）]，平移只针对的是自变量X。
再变换振幅为A倍。
方法二：先平移|φ|的个位（此是的自变量X前系数为1），再变
换三角函数的周期T=2π/w，再变换振幅为A倍。
必修4－系列微课讲稿三角函数图像平移的几种方法大家好，本节微课内容是“三角函数图像平移的几种方法”，主要讲三角函数图像平移的多种方法，达到深刻理解三角函数图像之间的关系的目的。
首先， 我们一起来看下面的例题： 函数cos(2)3y x π=+的图像可由函数sin(2)6y x π=-的图像经过怎样的变换得到？ 分析一：大家不难发现这两个三角函数的名称不一样，一般都会怎么想？。
将这两个函数变为同名三角函数，再考虑平移变换.我们考虑将余弦变正弦，应该用哪个诱导公呢？ 大家容易想到诱导公式(1)cos sin()2x x π=-；可得cos(2)sin(2)36x x ππ+=-，由于出现了-2x,这显然不利于平移； 所以我们应当用诱导公式(2)cos sin()2x x π=+；可得5cos(2)sin(2)36x x ππ+=+ 下面看解答过程： 方法一：解：由诱导公式（2）可将cos(2)3y x π=+ 化为5sin(2)6y x π=+,下面待定系数法即可. 设：52()266x x ππα+-=+，解得：2πα= 所以，函数cos(2)3y x π=+ 的图像可由函数sin(2)6y x π=-的图像向左平移 2π个单位得到.请同学们自己完成将正弦变余弦的情况.分析二：我们是否可以从化归的角度来分析呢？请大家看化归路径：sin(2)sin 2cos 2cos(2)63y x y x y x y x ππ=-→=→=→=+； 请看解答过程： 方法二： 解：将函数sin(2)6y x π=- 的图像向左平移12π个单位得到sin 2y x =的函数的图像; 将所得图像向左平移4π个单位得到函数cos 2y x =的图像; 再将所得图像向左平移6π个单位得到cos(2)3y x π=+函数的图像; 所以,函数cos(2)3y x π=+的图像可由函数sin(2)6y x π=-图像向左平移 12462ππππ++=个单位得到.分析三：注意到两个函数的ω都等于2，我们还可以从两个函数图像的最大值点的位置关系，得出第三种解法.方法三： 解：令sin(2)16x π-=，解得,()3x k k Z ππ=+∈ 令：cos(2)13x π+=解得：,()6x k k Z ππ=-+∈ 当k=0时，知相邻两个最大值点的横坐标相差2π个单位,结合位置关系， 可知，函数cos(2)3y x π=+的图像可由 函数sin(2)6y x π=- 的图像向左平移2π单位得到. 小结：方法一的思路是化为同名三角函数；方法二的思路是化归思想；方法三是特殊值法；思维的角度不同，得出的解决方案也不同.希望大家多加体会与练习，培养自己的发散思维能力.谢谢！。
三角函数图象的平移和伸缩函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-． 所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。
三角函数平移变换、伸缩变换一、选择题1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度2．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π33．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝1＋cos2xC ．y ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝cos2x －14．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度5．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π46．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位长度，得到的图象对应的解析式是( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6二、填空题7．如果将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x 的图象向左平移φ个单位后正好与原函数的图象重合，那么最小正数φ＝______________.8．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象可以看作把函数y ＝12sin2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．9．先将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再作所得图象关于y 轴的对称图形，则最后所得图象的解析式是________．三、解答题10．用五点法画出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，并指出函数的单调区间．10解：(1)11．先将函数y ＝sin x 的图象向右平移π5个单位，再变化各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为2π3的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的图象，求ω和φ.能力提升题12．要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位13．函数y ＝sin x 的图象可由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象经过怎样的变化而得到？参考答案与解析1答案：C解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以将函数y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，就可得到函数y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．2答案：C解析：把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 3答案：B解析：将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数为y ＝1＋cos2x .4答案：B解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.5答案：B解析：y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ若为偶函数，则π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z经验证当k ＝0时，φ＝π4. 6答案：C解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象，故所求解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.7答案：π2解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ――→向左平移φ个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－4(x ＋φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－4x －4φ 若与原函数图象重合，则需满足－4φ＝2k π，k ∈Z ，当k ＝－1时，最小正数φ＝π28答案：右 π8解析：∵y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝12sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8，∴由y ＝12sin2x 的图象向右平移π8个单位长度便得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象．9答案：y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3解析：向右平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，关于y 轴对称则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.列表时由2x ＋π3的取值为0，π2，π，3π2，2π，再求出相应的x 值和y 值．(2)描点．(3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得的简图向左、向右扩展，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的简图(图略)．可见在一个周期内，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，712π上递减，又因函数的周期为π，所以函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．同理，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z )．11解：将函数y ＝sin x 的图象向右平移π5个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的图象，再变化y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的图象各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为23π的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的图象，得到ω＝2πT ＝2π23π＝3，所以ω＝3，φ＝－π5.12答案：A解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8.13解：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∴y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 y＝sin2x ――→横坐标变为原来的2倍纵坐标不变y ＝sin x .。
