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高中数学教案——函数的极值和导数一、教学目标：1. 理解导数的概念，掌握基本初等函数的导数公式。
2. 学会利用导数判断函数的单调性，理解函数的极值概念。
3. 能够运用导数解决实际问题，提高解决函数问题的能力。
二、教学内容：1. 导数的定义及几何意义2. 基本初等函数的导数公式3. 导数的计算法则4. 利用导数判断函数的单调性5. 函数的极值及其判定三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义、基本初等函数的导数公式、导数的计算法则、利用导数判断函数的单调性、函数的极值及其判定。
2. 难点：导数的应用，如何利用导数解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用启发式教学，引导学生主动探究导数的定义及应用。
2. 利用多媒体课件，直观展示函数的导数与单调性、极值之间的关系。
3. 结合实际例子，让学生感受导数在解决实际问题中的重要性。
4. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程：1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考如何判断函数的单调性、2. 讲解导数的定义：通过几何直观，解释导数的含义，引导学生理解导数表示函数在某点的瞬时变化率。
3. 学习基本初等函数的导数公式：讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式。
4. 导数的计算法则：讲解导数的四则运算法则，举例说明。
5. 利用导数判断函数的单调性：引导学生利用导数符号判断函数的单调性，讲解“增函数”和“减函数”的概念。
6. 函数的极值及其判定：讲解极值的概念，举例说明如何利用导数判断函数的极值。
7. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
8. 总结：回顾本节课所学内容，强调导数在研究函数单调性、极值方面的应用。
9. 拓展：引导学生思考导数在其他领域的应用，如物理、经济学等。
10. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学评价：1. 课后作业：通过布置相关的习题，检验学生对导数概念、基本初等函数的导数公式、导数计算法则、单调性和极值的理解和应用能力。
3.3.3 函数的最大(小)值与导数如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．思考：若函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值吗？[提示]根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．下列说法正确的是( )A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值D[极值有可能是最值，但最值未必是极值，故选D．]2．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是()A ．π－1B ．π2－1C ．πD ．π＋1C[y ′＝1－cos x >0，故函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π是增函数，因此当x ＝π时，函数有最大值，且y max ＝π－sin π＝π.]3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2D ．4C [f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2. 由f (－1)＝－2，f (0)＝2，f (1)＝0得f (x )max ＝f (0)＝2.]求函数的最值(1)f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5，x ∈[－2,1]； (2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．[解] (1)f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝2，又x ∈[－2,1]，故x ＝－1，且f (－1)＝12. 又因为f (－2)＝1，f (1)＝－8，所以，当x ＝－1时，f (x )取最大值12； 当x ＝1时，f (x )取最小值－8. (2)∵f (x )＝3e x－e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e xx ) ＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x(x ＋3)(x －1)．∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)＜0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.求函数在闭区间上最值的步骤 1求f ′x ，解方程f ′x ＝0；2确定在闭区间上方程f ′x ＝0的根； 3求极值、端点值，确定最值.[跟进训练]1．求函数f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]上的最大值和最小值．[解] f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，且x ∈[0,2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0 ⎝⎛⎭⎫0，2π32π3 ⎝⎛⎭⎫2π3，4π3 4π3 ⎝⎛⎭⎫4π3，2π 2π f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗ππ3＋322π3－32∴当x＝0时，f(x)有最小值，为f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值，为f(2π)＝π.由函数的最值求参数值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0时，且x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x －1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b ↗ b ↘－16a＋b[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. 已知函数最值求参数值范围的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值范围是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围.[跟进训练]2．设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求a ，b 的值．[解] 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0) 0 (0，a ) a (a,1) 1 f ′(x )＋－0 ＋f (x )－1－32a ＋b ↗b↘－a 32 ＋b↗1－32a ＋b由表可知，f (x )的极大值为f (0)＝b ，极小值为f (a )＝b －a 32，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)及f (－1)与f (a )的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ＝1.又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，a ＝63.所以a ＝63，b ＝1.与最值有关的恒成立问题1．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若f (x )≥c 或f (x )≤c 恒成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )min 或c ≥f (x )max .2．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x )≥c 或f (x )≤c 成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )max 或c ≥f (x )min .【例3】 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． [思路点拨] (1)利用配方法，即可求出二次函数f (x )的最小值h (t )；(2)构造函数g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )，只需使g (t )在(0,2)上的最大值小于零即可求得m 的取值范围．[解] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g(t)在(0,2))<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？[解] 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，等价于g (t )的最小值g (2)<0.∴－3－m <0， ∴m >－3，所以实数m 的取值范围为(－3，＋∞)． 分离参数求解不等式恒成立问题1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题． 1．判断正误(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× 2．函数y ＝ln x x的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．103A [函数y ＝ln xx的定义域为(0，＋∞)．y ′＝1－ln x x 2，由1－ln x x2＝0得x ＝e ， 当0<x <e 时，y ′>0， 当x >e 时，y ′<0.因此当x ＝e 时，函数y ＝ln x x 有最大值，且y max ＝1e ＝e －1.]3．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为( )A ．2B ．4C ．18D ．20D [f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0得x ＝±1. 当0≤x <1时，f ′(x )<0； 当1<x ≤3时，f ′(x )>0.则f (1)最小，又f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，f (3)>f (0)，所以最大值为f (3)，即M ＝f (3)， N ＝f (1)，所以M －N ＝f (3)－f (1)＝(18－a )－(－2－a )＝20.]4．设函数f (x )＝12x 2e x，x ∈[－2,2]，若f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．[解] f′(x)＝x e x＋12x2e x＝e x2x(x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：当x＝0时，min要使f(x)>m对x∈[－2,2]恒成立，只需m<f(x)min，∴m<0，即实数m的取值范围为(－∞，0)．。
函数的极值与导数(教案)第一章：极值的概念教学目标：1. 理解极值的概念；2. 能够找出函数的极值点；3. 能够判断函数的极值类型。
教学内容：1. 引入极值的概念；2. 讲解极值的判断方法；3. 举例讲解如何找出函数的极值点；4. 讲解极大值和极小值的概念；5. 举例讲解如何判断函数的极大值和极小值。
教学活动：1. 引入极值的概念，引导学生思考什么是极值；2. 通过示例讲解如何找出函数的极值点，引导学生动手尝试；3. 讲解极大值和极小值的概念，引导学生理解极大值和极小值的区别；4. 通过示例讲解如何判断函数的极大值和极小值，引导学生进行判断。
作业布置：1. 练习找出给定函数的极值点；2. 练习判断给定函数的极大值和极小值。
第二章：导数的基本概念教学目标：1. 理解导数的概念；2. 能够计算常见函数的导数；3. 能够利用导数判断函数的单调性。
教学内容：1. 引入导数的概念；2. 讲解导数的计算方法；3. 举例讲解如何利用导数判断函数的单调性；4. 讲解导数的应用。
教学活动：1. 引入导数的概念，引导学生思考什么是导数；2. 通过示例讲解如何计算常见函数的导数，引导学生动手尝试；3. 讲解导数的应用，引导学生理解导数在实际问题中的应用；4. 通过示例讲解如何利用导数判断函数的单调性，引导学生进行判断。
作业布置：1. 练习计算给定函数的导数；2. 练习利用导数判断给定函数的单调性。
第三章：函数的单调性教学目标：1. 理解函数单调性的概念；2. 能够利用导数判断函数的单调性；3. 能够找出函数的单调区间。
教学内容：1. 引入函数单调性的概念；2. 讲解如何利用导数判断函数的单调性；3. 举例讲解如何找出函数的单调区间；4. 讲解函数单调性的应用。
教学活动：1. 引入函数单调性的概念，引导学生思考什么是函数单调性；2. 通过示例讲解如何利用导数判断函数的单调性，引导学生动手尝试；3. 讲解如何找出函数的单调区间，引导学生理解单调区间的概念；4. 通过示例讲解如何找出给定函数的单调区间，引导学生进行判断。
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与性质1.1 极值的定义引入极值的概念，解释函数在某一点的局部性质。
通过图形和实例直观展示极值的存在。
1.2 极值的判定条件介绍函数的导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。
分析导数为正和导数为负时函数的单调性，得出极值的判定条件。
1.3 极值的判定定理介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理在极值判定中的应用。
证明极值的判定定理，并通过实例进行验证。
第二章：导数与函数的单调性2.1 导数的定义与计算引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
讲解导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。
2.2 导数与函数的单调性分析导数正负与函数单调性的关系，得出单调递增和单调递减的定义。
通过实例和图形展示导数与函数单调性的联系。
2.3 单调性的应用讲解利用单调性解决函数极值问题的方法。
分析函数的单调区间和极值点，得出函数的单调性对极值的影响。
第三章：函数的极值点与导数3.1 极值点的定义与判定引入极值点的概念，解释极值点是函数导数为零或不存在的点。
讲解极值点的判定方法，包括导数为零和导数不存在的条件。
3.2 极值点的求解方法介绍求解极值点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的极值点。
3.3 极值点的应用分析极值点在实际问题中的应用，如最优化问题。
举例说明如何利用极值点解决实际问题。
第四章：函数的拐点与导数4.1 拐点的定义与判定引入拐点的概念，解释拐点是函数导数由正变负或由负变正的点。
讲解拐点的判定方法，包括导数的正负变化和二阶导数的符号。
4.2 拐点的求解方法介绍求解拐点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的拐点。
4.3 拐点的应用分析拐点在实际问题中的应用，如曲线拟合和物体的运动。
举例说明如何利用拐点解决实际问题。
第五章：函数的极值与图像5.1 极值与函数图像的关系分析极值点在函数图像中的位置和特征。
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。
2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。
3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。
(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。
二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。
2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。
3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。
(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。
三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。
2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。
3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。
(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。
(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。
四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。
2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。
3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。
(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。
第三章 导数及其应用备课人 周志英3.1 导数的概念教学目的1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。
教学重点和难点导数的概念是本节的重点和难点 教学过程一、前置检测(导数定义的引入)1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。
先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉表格1 格 20<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆=∆+-∆+-=t tt t t t h h v ()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-=-∆+-∆+=t tt t t h t h v 当-=∆t 0.01时，-=v 13.051； 当=∆t 0.01时，-=v 13.149； 当-=∆t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=∆t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=∆t 0.000 1时，-=v 13.099 51；当=∆t 0.000 1时，-=v 13.100 49；当-=∆t 0.000 01时，-=v 1 3.099 951；当=∆t 0.000 01时，-=v 13.100 049； 当-=∆t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1；当=∆t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9；。
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与定义1.1 极值的概念引入极值的概念，让学生了解函数在某一点取得局部最值的含义。
通过图像和实际例子来说明极值的存在和重要性。
1.2 极值的定义介绍极值的定义，包括局部极值和全局极值。
解释极值的必要条件和充分条件。
第二章：导数与极值的关系2.1 导数的定义与性质复习导数的定义和基本性质，包括导数的符号变化与函数单调性的关系。
2.2 导数与极值的关系引入导数与极值的关系，讲解导数为零的点可能是极值点的原理。
通过实例来说明导数在判断极值中的作用。
第三章：一元函数的极值判定3.1 判定极值的存在性介绍判定极值存在性的方法，包括罗尔定理和拉格朗日中值定理。
3.2 判定极值的具体方法讲解利用导数符号变化判断极值的方法，包括导数单调性和零点存在性定理。
第四章：多元函数的极值4.1 多元函数极值的概念引入多元函数极值的概念，让学生了解多元函数在不同维度上的极值问题。
4.2 多元函数极值的判定讲解多元函数极值的判定方法，包括拉格朗日乘数法和海森矩阵。
第五章：实际应用中的极值问题5.1 应用背景介绍通过实际例子介绍极值在各个领域中的应用，如优化问题、物理学、经济学等。
5.2 实际应用案例分析分析具体案例，让学生了解如何运用极值理论和方法解决问题。
第六章：利用极值解决实际问题6.1 优化问题概述介绍优化问题的概念，解释最小值和最大值在优化问题中的作用。
举例说明优化问题在工程、经济等领域的应用。
6.2 利用极值解决优化问题讲解如何利用函数的极值解决优化问题，包括确定最优解的方法和步骤。
通过实际案例分析，让学生掌握优化问题的解决技巧。
第七章：函数极值的存在性定理7.1 拉格朗日中值定理复习拉格朗日中值定理的内容，解释其在函数极值存在性判断中的应用。
利用拉格朗日中值定理证明函数极值的存在性。
7.2 罗尔定理与极值存在性讲解罗尔定理的内容及其在函数极值存在性判断中的应用。
结合罗尔定理和拉格朗日中值定理，证明函数极值的存在性。
导数应用之极值与最值教案导数的应用教案教学目的：1.通过函数图像直观理解导数的几何意义。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。
重点难点：1.利用导数求函数的极值；2.利用导数求函数的单调区间；3.利用导数求函数的最值；4.利用导数证明函数的单调性；5.导数与函数、不等式方程根的分布等知识相融合的问题；6.导数与解析几何相综合的问题。
教学过程：一、准备知识1.导数的意义代数上，导数表示函数在某一点的变化率；几何上，导数表示函数图像在该点的切线斜率。
单调性与导数的关系：函数单调递增（递减）的区间内导数恒为正（负）。
2.光滑曲线：不会出现尖角，导数不会突变。
二、新课教授1.极值定义：设函数f(x)在点x附近有定义，如果对x附近的所有点都有f(x)<f(x)，则f(x)是f(x)的一个极大值，点x叫做函数y=f(x)的极大值点；反之，若f(x)<f(x)，则f(x)是f(x)的一个极小值，点x叫做函数y=f(x)的极小值点。
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。
下图是某函数在[a,b]上的函数图像，哪些是极值点，是极大值还是极小值。
这些极值点及极值点附近的导数有什么特点。
1) 如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0，在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值。
2) 如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a的左侧附近f’(x)0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值。
问：(1) 极值点的导数一定是吗？要求是可导函数。
2) 导数为零的点一定是极值点吗？3) 极大值一定比极小值大吗？2.如何求极值和最值求解函数极值的一般步骤：1) 确定函数的定义域；2) 求方程f’(x)=0的根；3) 用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格；4) 由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况。
§1函数的单调性与极值1. 1 导数与函数的单调性学习目标核心素养1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性．(重难点)3．会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其它函数的单调区间．(重点) 1．借助图象认识函数的单调性与导数的关系，提升学生的直观想象的核心素养．2．通过利用导数研究函数的单调性的学习，培养学生的数学抽象和数学运算的核心素养.1．函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0 常数函数2．函数图像的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图像越大大比较“陡峭”(向上或向下)越小小比较“平缓”(向上或向下) 思考：如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？[提示]函数f(x)为常函数．1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )A．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)＝0 D．不能确定A[由条件可知，f(x)在(a，b)内单调递增，∵f(a)≥0，∴在(a，b)内有f(x)>0.]2．已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )B [由f′(x)图像可知，f′(x)>0，函数单调递增，且开始和结尾增长速度慢，故应选B.] 3．已知函数f(x)＝12x 2－x ，则函数f(x)的单调增区间是( )A ．(－∞，－1)和(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)和(1，＋∞)D ．(1，＋∞)D [法一：f(x)＝12x 2－x ＝12(x －1)2－12，对应的抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，可知函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．法二：f′(x)＝x －1，令f′(x)>0，解得x>1．故函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．]单调性与导数的关系【例1】 (1)函数y ＝f(x)的图像如图所示，给出以下说法： ①函数y ＝f(x)的定义域是[－1,5]； ②函数y ＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]； ③函数y ＝f(x)在定义域内是增函数； ④函数y ＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0. 其中正确的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④(2)设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图像如图所示，则导函数y ＝f′(x)的图像可能为( )A BC D思路探究：研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．(1)A (2)D[(1)由图像可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.(2)由函数的图像可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.]1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图像研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点，分析导数的正负．1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )A B C D(2)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是( )(1)D (2)D [(1)A ，B ，C 均有可能；对于D ，若C 1为导函数，则y ＝f(x)应为增函数，不符合；若C 2为导函数，则y ＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)根据函数的导数的正负与单调性的关系，对照图像可知，答案应选D.]利用导数求函数的单调区间【例2】 求函数f(x)＝x ＋ax(a≠0)的单调区间．思路探究：求出导数f′(x)，分a>0和a<0两种情况．由f′(x)>0求得单调增区间，由f′(x)<0求得单调减区间．[解] f(x)＝x ＋ax的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax 2.当a>0时，令f′(x)＝1－ax2>0，解得x>a 或x<－a ；令f′(x)＝1－a x 2<0，解得－a<x<0或0<x<a ；当a<0时，f′(x)＝1－ax2>0恒成立，所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)和(a ，＋∞)；单调递减区间为(－a ，0)和(0，a)．当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤1．确定函数f(x)的定义域． 2．求导数f′(x)．3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x 的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．4．结合定义域写出单调区间．2．(1)函数f(x)＝e x－ex ，x∈R 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)(2)函数f(x)＝ln x －x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)(1)D (2)B [(1)∵f′(x)＝(e x－ex)′＝e x－e ， 由f′(x)＝e x－e>0，可得x>1．即函数f(x)＝e x －ex ，x∈R 的单调增区间为(1，＋∞)，选D. (2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝1x －1，由f′(x)＝1x－1>0，得0<x<1，所以函数f(x)＝ln x －x 的单调递增区间是(0,1)，选B.]已知函数的单调性求参数的取值范围1．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b<0时，f(x)的单调性如何？ [提示] 求函数的导函数f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a 2－3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数．2．函数单调性的充要条件如何？[提示] (1)在某个区间内，f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件．例如，函数f(x)＝x 3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但f′(x)＝3x 2≥0.(2)函数f(x)在(a ，b)内单调递增(减)的充要条件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a ，b)内恒成立，且f′(x)在(a ，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f′(x)＝0并不影响函数f(x)在该区间内的单调性．【例3】 已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b.(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．思路探究：(1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值． [解] y′＝3x 2－a.(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数．则y′＝3x 2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立， 即a≤3x 2在x∈(1，＋∞)时恒成立， 则a≤(3x 2)min . 因为x>1，所以3x 2>3.所以a≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]．(2)令y′>0，得x 2>a3.若a≤0，则x 2>a3恒成立，即y′>0恒成立，此时，函数y ＝x 3－ax ＋b 在R 上是增函数，与题意不符． 若a>0，令y′>0，得x>a3或x<－a 3. 因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a ＝3.1．将本例(1)改为“若函数y 在(1，＋∞)上不单调”，则a 的取值范围又如何？ [解] y′＝3x 2－a ，当a<0时，y′＝3x 2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a>0时，函数y 在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x 2－a ＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x 2－a ＝0可得x ＝a3或x ＝－a3(舍去)． 依题意，有a3>1，∴a>3， ∴a 的取值范围是(3，＋∞)．2．本例(1)中函数改为f(x)＝x 3－ax 2－3x.区间“(1，＋∞)”改为“[1，＋∞)，a 的取值范围如何？ [解] 由f(x)＝x 3－ax 2－3x 得 f′(x)＝3x 2－2ax －3，∵f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数， ∴3x 2－2ax －3≥0， ∴a 3≤x 2－12x. 令g(x)＝x 2－12x，x∈[1，＋∞)，g′(x)＝x 2＋12x2>0，即g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝0， ∴a 的取值范围为a≤0.1．解答本题注意可导函数f(x)在(a ，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a ，b)上恒成立，且f′(x)在(a ，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a ，b)上的单调性，求参数取值范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a ，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a ，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a ，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a ，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．3．已知函数f(x)＝2ax 3＋4x 2＋3x －1在R 上是增函数，求实数a 的取值范围． [解] f′(x)＝6ax 2＋8x ＋3.∵f(x)在R 上是增函数，∴f′(x)≥0在R 上恒成立， 即6ax 2＋8x ＋3≥0在R 上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧64－72a≤0，a>0，解得a≥89.经检验，当a ＝89时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫89，＋∞.1．函数的单调性与导数符号的关系 设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在(a ，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a ，b)为f(x)的单调增区间； (2)如果在(a ，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a ，b)为f(x)的单调减区间． 2．利用导数求函数的单调区间的步骤求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是所求的单调区间，其步骤如下：(1)求函数f(x)的定义域； (2)求出f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0可得函数f(x)的单调增区间，解不等式f′(x)<0可得函数f(x)的单调减区间． 3．函数f(x)在(a ，b)内单调递增(减)的充要条件是f ′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a ，b)内恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f′(x)＝0并不影响函数f(x)在该区间内的单调性．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．[答案](1)×(2)×(3)√2．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有( )A．f(2)＜f(e)＜f(3)B．f(e)＜f(2)＜f(3)C．f(3)＜f(e)＜f(2)D．f(e)＜f(3)＜f(2)A[因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝12x ＋1x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.]3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．(1,2)[f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2．] 4．已知函数f(x)＝x3－ax－1．(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1,1)；(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．[解]f′(x)＝3x2－a.(1)∵f(x)的单调减区间是(－1,1)，∴－1<x<1是f′(x)<0的解，∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，所以a＝3.(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵y＝3x2在R上的最小值为0.∴a≤0，∴a的取值范围是(－∞，0]．1.2 函数的极值学习目标核心素养1．理解函数的极大值和极小值的概念．(难点) 2．掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值．(重点、难点) 1．借助图象理解函数的极大值和极小值，提升了学生的直观想象的核心素养．2．通过利用导数求函数的极值的学习，培养了学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.1．极大值点与极大值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．2．极小值点与极小值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．[提醒]在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．3．极值的判断方法如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．4．求函数y＝f(x)极值点的步骤(1)求出导数f′(x)．(2)解方程f′(x)＝0.(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．思考：导数为0的点都是极值点吗？[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x ＝x 0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x 0两侧的符号是否相反．1．下列四个函数中，在x ＝0处取得极值的函数是( ) ①y＝x 3；②y＝x 2＋1；③y＝|x|；④y＝2x. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①③B [y′＝3x 2≥0恒成立，所以函数y ＝x 3在R 上单调递增，无极值点，①不符合；y′＝2x ，当x>0时，函数y ＝x 2＋1单调递增，当x<0时，函数y ＝x 2＋1单调递减，②符合；结合该函数图像可知，函数y ＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，③符合；函数y ＝2x在R 上单调递增，无极值点，④不符合．]2．函数y ＝x 3－3x 2－9x(－2＜x ＜2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值 D ．极小值－27，无极大值C [由y′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x ＜－1或x ＞3时，y′＞0；由－1＜x ＜3时，y′＜0， ∴当x ＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2,2)，故无极小值．] 3．函数f(x)＝x 3－3x 2＋1在x ＝__________处取得极小值． 2 [由f(x)＝x 3－3x 2＋1， 得f′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数． 故当x ＝2时，函数f(x)取得极小值．]求函数的极值(1)f(x)＝x 2－2x －1； (2)f(x)＝x 44－23x 3＋x22－6；(3)f(x)＝|x|.[解] (1)f′(x)＝2x －2，令f′(x)＝0，解得x ＝1． 因为当x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0， 所以函数在x ＝1处有极小值， 且f(x)极小值＝－2．(2)f′(x)＝x 3－2x 2＋x ＝x(x 2－2x ＋1)＝x(x －1)2．令f′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝1．所以当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,1) 1 (1，＋∞)f′(x) － 0 ＋ 0 ＋ f(x)单调 递减↘极小 值单调 递增↗无极值单调 递增↗所以当x ＝0时，函数取得极小值，且f(x)极小值＝－6.(3)f(x)＝|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0.显然函数f(x)＝|x|在x ＝0处不可导， 当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0，函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增； 当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0， 函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减． 故当x ＝0时，函数取得极小值， 且f(x)极小值＝0.极值点与导数的关系1．可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点． 点x 0是可导函数f(x)在区间(a ，b)内的极值点的充要条件： (1)f′(x 0)＝0；(2)点x 0两侧f′(x)的符号不同．2．不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x ＝0点)，也可能不是极值点(如y ＝x ，在x ＝0处不可导，在x ＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．1．已知函数f(x)＝x 2－2ln x ，则f(x)的极小值是________． 1 [∵f′(x)＝2x －2x ，且函数定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)， 当x∈(0,1)时，f′(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴当x ＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1．]利用函数的极值求参数【例2】 已知f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－3时都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．思路探究：(1)求导函数f′(x)，则由x ＝1和x ＝－23是f′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a ，b.(2)由f(－1)＝32求出c ，再列表求解．[解] (1)f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x)＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f′(x)＝0的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－23＝－23a ，1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝b 3，∴a＝－12，b ＝－2．(2)由(1)知f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f(－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1，∴f(x )＝x 3－12x 2－2x ＋1，∴f′(x)＝3x 2－x －2．当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，⎭⎪⎫－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 1 (1，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)单调递增 ↗4927单调递减 ↘－12单调递增 ↗∴f(x)的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1.当x ＝－23时，f(x)有极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝4927；当x ＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－12.已知函数极值求解析式的两点注意(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．已知函数f(x)＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x(x∈R，m 为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围．[解] f′(x)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6. 因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f′(x)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋6)>0，f′(1)＝1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1，解得m>3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．函数极值的综合应用[探究问题]1．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有几个极小值点？[提示] 一个．x 1，x 2，x 3是极值点，其中x 2是极小值点，x 1，x 3是极大值点． 2．函数y ＝f(x)在给定区间(a ，b)内一定有极值点吗？[提示] 不一定，若函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内是单调函数，就没有极值点．【例3】 已知函数f(x)＝x 3－3x ＋a(a 为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围．思路探究：求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a 的取值范围．[解] 令f′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1． 当x<－1时，f′(x)>0； 当－1<x<1时，f′(x)<0； 当x>1时，f′(x)>0.所以当x ＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a ； 当x ＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a. 因为方程f(x)＝0有三个不同实根，所以y ＝f(x)的图像与x 轴有三个交点，如图．由已知应有⎩⎪⎨⎪⎧2＋a>0，－2＋a<0，解得－2<a<2，故实数a 的取值范围是(－2,2)．1．本例中，若把“三个不同实根”改为“唯一一个实根”，结果如何？ [解] 由已知应有 2＋a<0或－2＋a>0. 即a>2或a<－2．2．本例中，若把“三个不同实根”改为“恰有两个实根”，结果如何？ [解] 由条件可知，只要 2＋a ＝0或－2＋a ＝0即可， 即a ＝±2．转化的思想求导数范围的应用方程f(x)＝0的根就是函数y ＝f(x)的零点，是函数图像与x 轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图像与x 轴交点的问题．我们可以根据函数图像在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围．3．设a 为实数，函数f(x)＝x 3－x 2－x ＋a. (1)求f(x)的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点？[解] (1)f′(x)＝3x 2－2x －1． 令f′(x)＝0，则x ＝－13或x ＝1．当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 －13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 1 (1，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)单调递 增↗极大值单调递 减↘极小值单调递 增↗所以f(x)的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f(1)＝a －1．(2)函数f(x)＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f(x)>0， x 取足够小的负数时，有f(x)<0， 所以曲线y ＝f(x)与x 轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f(x)极小值＝f(1)＝a －1．∵曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点， ∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0， 即527＋a<0或a －1>0，∴a<－527或a>1， ∴当a∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点．1．函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．由图可以看出，极大值的对应点是局部的“高峰”，极小值的对应点是局部的“低谷”．2．极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．3．函数在定义域内可能有许多极大值或极小值，但极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．4．若函数f(x)在[a ，b]上有极值且函数图像连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋1必有两个极值． ( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合． ( ) (3)函数f(x)＝1x 有极值．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．已知a 为函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2D [由题意得f′(x)＝3x 2－12，令f′(x)＝0得x ＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x ＝2处取得极小值，∴a＝2．]3．设a ∈R，若函数y ＝e x＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． (－∞，－1) [∵y＝e x＋ax ，∴y′＝e x＋a ，令y′＝e x＋a ＝0，则e x＝－a ， 即x ＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1．] 4．求函数y ＝x 4－4x 3＋5的极值． [解] y′＝4x 3－12x 2＝4x 2(x －3)． 令y′＝4x 2(x －3)＝0，得x 1＝0，x 2＝3. 当x 变化时，y′，y 的变化情况如下表：故当x 极小值。
高中数学教案——函数的极值和导数教案内容：一、教学目标1. 理解导数的概念，掌握导数的计算方法。
2. 掌握函数的单调性，能够判断函数的单调区间。
3. 理解函数的极值概念，能够求出函数的极值。
二、教学重点与难点1. 重点：导数的计算方法，函数的单调性，函数的极值。
2. 难点：导数的应用，函数的极值的求法。
三、教学方法采用讲解法、例题解析法、学生自主探究法。
四、教学准备1. 教学课件。
2. 相关例题及练习题。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考函数的增减性。
2. 讲解导数的概念：定义域内的函数在某一点的导数，即为该点的切线斜率。
引导学生理解导数的几何意义。
3. 导数的计算：讲解基本函数的导数公式，引导学生掌握导数的计算方法。
4. 函数的单调性：通过例题，讲解函数单调性的判断方法，引导学生掌握如何判断函数的单调区间。
5. 函数的极值：讲解函数极值的概念，通过例题，引导学生掌握求函数极值的方法。
6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。
注意：在教学过程中，要注重引导学生主动思考，培养学生的动手能力及解决问题的能力。
要及时解答学生的疑问，确保学生能够掌握所学知识。
六、教学内容与要求1. 理解曲线的切线与函数导数的关系。
2. 掌握基本函数的导数求解方法。
3. 能够运用导数判断函数的单调性。
七、教学过程1. 复习导入：通过回顾上节课的内容，引导学生复习导数的基本概念和计算方法。
2. 讲解导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示曲线在某点的切线斜率。
3. 导数的计算：详细讲解和练习基本函数的导数求解，包括幂函数、指数函数、对数函数等。
4. 函数单调性的判断：利用导数的概念，解释如何判断函数的单调性。
5. 例题解析：通过具体例题，演示如何运用导数判断函数的单调区间和求极值。
八、教学策略1. 采用互动式教学，鼓励学生提问和参与讨论。
北师大版选修1《函数的极值》教案及教学反思一、教学目标知识目标1.了解函数的极值和最值的概念；2.掌握求解函数的极值的方法；3.能够应用函数的极值和最值解决实际问题。
能力目标1.培养学生的数学思维能力和创新意识；2.提高学生的逻辑思维能力和数学语言描述能力；3.培养学生的动手实践能力和解决问题的能力。
二、教学内容教材内容本节课的教材内容来自于北师大版选修1《数学》中的第四章《函数与导数》的第二节《函数的极值》。
知识点1.极值的概念；2.极值存在的充分条件；3.求解函数的极值的方法；4.最值的概念及其求解方法。
三、教学过程1. 导入环节（5分钟）教师可以通过以下问题引导学生思考：•什么是函数的最值？•如何求解函数的最值？2. 概念解释（10分钟）1.极大值：在数集S中，若存在一个数M，使得对于 $\\forall x\\in S$，有 $f(x)\\leq f(M)$，则称M 为数集S的一个极大值，也称为函数f(x)的极大值。
2.极小值：在数集S中，若存在一个数m，使得对于 $\\forall x\\in S$，有 $f(x)\\geq f(m)$，则称m 为数集S的一个极小值，也称为函数f(x)的极小值。
3. 求解极值的方法（25分钟）为了让学生更好地理解极值和最值的概念，教师可以以图像的方式展示求解过程，同时着重讲解下列求解方法。
•辨别有无极值–有界闭区间极值存在的条件–无界区间必无最大值和最小值•单调性分析•求导法–极值的必要条件–极值的充分条件4. 练习与实践（30分钟）教师可以编写一些练习题或者提供一些实际问题让学生进行求解，例如：1.若F(x)=x3−3x，求其极值；2.求函数y=x3−3x2在[−2,3]区间内的最大值和最小值；3.在 $[0,+\\infty)$ 上，求函数 $\\displaystyley=x-e^{-x}$ 的最小值。
5. 总结回顾（5分钟）教师可以引导学生回顾本节课所学的内容并思考下列问题：1.极值存在的条件是什么？2.求解极值的方法有哪些？3.如何应用函数的极值和最值解决实际问题？四、教学反思函数的极值是函数与导数的一个重要应用。
函数的极值
课标要求 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。
三维目标 1 知识与技能
〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值
2 过程与方法
结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。
3 情感与价值
感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的
局部性质，增强学生数形结合的思维意识。
教材分析
教材首先给出极值的定义,并指出极值是函数在一个适当区间内的局部性质,并通过例2,例3总结出求函数极值的步骤 学情分析
学生已经掌握了导数和函数单调性的关系 教学重难点
重点 : 利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 提炼的课题
函数极值的概念 教学手段运用
教学资源选择 专家伴读
教学过程
〈一〉、创设情景，导入新课
1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？
（提问学生回答）
观察1.3.1图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：
（1）函数y=f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?
（2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?
（3）在a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?
2、极值的定义:
我们把点a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； 点b 叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。
极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.
<三>、讲解例题 例2, 例3,见课本
例4 函数()31
443f x x x =-+的极值
归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:
1求()'f x ,解方程()'f x =0,当()'f x =0时: (1) 如果在x 0附近的左边()'f x ＞0,右边()'f x ＜0,那么f(x 0)是极大值.
(2) 如果在x 0附近的左边()'f x ＜0,右边()'f x ＞0,那么f(x 0)是极小值 <四>、课堂练习
1、求函数f(x)=3xx 3的极值
2、思考：已知函数f （x ）=ax 3bxx 在x=2，x=1处取得极值, 求函数f （x ）的解析式及单调区间。
<五>、课堂小结:
1、 函数极值的定义
2、 函数极值求解步骤
3、 一个点为函数的极值点的充要条件。
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