河北武邑中学2020届高三年级下学期期中考试文科数学附参考答案
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河北武邑中学2019-2020学年高三下学期期中考试数学试题（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 4 页．考试结束后，将答题纸和机读卡一并交回．注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，请认真核准准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．第Ⅰ卷：选择题（60分）一. 选择题：（本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}1,2A =，{}|,,B x x a b a A b A ==+∈∈，则集合=B A Y （ ） A ．{1，2} B ．{1，2,3}C ．{1，2,4}D ．{1，2,3,4}2.设复数z 满足11=+z ii，则||z =（ ） A ．1 B ．5 C ．2 D ．2 3．已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为（ ） A ．1 B ．12-C ．1或12-D ．112-或 4．如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（ ）A ．病人在5月13日12时的体温是38℃B ．从体温上看，这个病人的病情在逐渐好转C ．病人体温在5月14日0时到6时下降最快D ．病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定 5．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题：①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//m α，βn//，且//m n ，则//αβ③若m α⊥，βn//，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若m α⊥，βn//，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题是（ ） A ．①③ B ．②④C ．③④D ．①6．定义21a a122121b a b a b b -=，已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1110a x b y c ++=与直线2220a x b y c ++=平行”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．下列格式中正确的是（ ） A ．43tan 77ππ> B ．1317tan tan 45ππ-<⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- C ．tan281tan665︒>︒ D ．tan4tan3>8．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（ ）年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） A ．2020B ．2021C ．2022D ．20139．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ） A ．20i <，1S S i=-，2i i = B ．20i ≤，1S S i=-，2i i = C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i ≤，2SS =，1i i =+ 10．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x =交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠=-，则双曲线的离心率为（ ）ABCD．11．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na n nb S =，则数列{}n b 的最小项为（ ） A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项12．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷：非选择题（90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若α，β为锐角，且4παβ+=，则()()1tan 1tan αβ++=__________；()()()()1tan11tan 21tan31tan 45++++=ooooL __________.14.若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，且()3,6-∈m ，则m x y z +=仅在点1(1,)2A -处取得最大值的概率为 ．15．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年.16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______. 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题， 每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分17．（12分）如图，在四边形ABCD 中，A 为锐角，2cos sin()3sin 6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD V 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211mr r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值.18．（12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量 24681012收益 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67他们分别用两种模型①y bx a =+，②bxy ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：xy61i ii x y =∑621ii x=∑730 1464.24364（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； （Ⅱ）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： （ⅰ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程； （ⅱ）若广告投入量18x =时，该模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，……，(,)n n x y ，其回归直线y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()n iii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑$1221ni ii ni i x y nx yx nx==-=-∑∑，x b y aˆˆ-=.19．（12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值； （Ⅲ）若2BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．20．（12分）椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）的离心率是2，点(0,1)P 在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=-u u u v u u u v．（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点，是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由21．（12分）已知函数()()2ln f x x x ax a R =-∈在定义域内有两个不同的极值点.（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点为12,x x ，且12x x <，求证：121x x ⋅>.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合.圆C 的参数方程为cos sin x a a y a θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，05a <<），直线l ：sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且||AB =（1）求a ；（2）若M ，N 为曲线C 上的两点，且3MON π∠=，求||||OM ON +的范围.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|2||2|.f x x x =+- (1)解不等式: f (x )<5;(2)当x ∈R 时，f (x )> ax +1,求实数a 的取值范围.期中考试 高三数学（文）答案1.D2.C 3．【答案】C【分析】先验证1q =合题意，1q ≠时，利用等比数列的通项公式与求和公式列方程求解即可. 【详解】等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =， 若1q =，37a =，33721S =⨯=，符合题意；若1q ≠，则()213171211a q a q q ⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解得12q =-，即公比q 的值为1或12-，故选C.4．【答案】C【分析】根据折线图，结合选项即可判断. 【详解】由该发烧病人的体温记录折线图，可知对于A ，病人在5月13日12时的体温是38℃，故A 正确；对于B ，从体温上看，这个病人的体温逐渐趋于正常，说明病情在逐渐好转，故B 正确； 对于C ，病人体温在5月13日6时到12时下降最快，故C 错误； 对于D ，病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定，故D 正确. 综上可知，C 为错误选项，【点睛】本题考查了折线图的特征和简单应用. 5．【答案】D【分析】根据空间线面关系、面面关系对各命题的正误进行判断，即可得出正确选项. 【详解】对于命题①，若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥，该命题正确；对于命题②，若//m α，βn//，且//m n ，则α与β平行或相交，命题②错误； 对于命题③，若m α⊥，βn//，且m n ⊥，则α与β平行、垂直或斜交，命题③错误； 对于命题④，//n βQ ，过直线n 作平面γ，使得l βγ=I ，则//n l ，//m n Q ，//m l ∴，m α⊥Q ，l α∴⊥，l β⊂Q ，则αβ⊥，命题④错误.【点睛】本题考查有关线面、面面关系命题真假的判断，可以根据空间中的线面关系、面面关系有关定理或者利用模型来进行判断，考查推理能力. 6．【答案】B【分析】根据两直线平行的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得出结论. 【详解】若直线1110a x b y c ++=与直线2220a x b y c ++=平行，则11220a b a b =且11220a c a c ≠， 因此，“11220a b a b =”是“直线1110a x b y c ++=与直线2220a x b y c ++=平行”的必要不充分条件. 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力． 7．【答案】D【分析】利用诱导公式以及正切函数的单调性即可比较大小 【详解】 对于A ，433tantan tan 777ππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ， 且3377ππ-<， 由于tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，则43tan 77ππ<，故A 错误；对于B ，13tan tan 34tan 44ππππ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝-⎭Q ，22tan 3ta 17ta n 555n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又2452πππ->->-， tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，∴1317tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.对于C ，()()tan 281tan 36079tan 79=-=-oo ooQ ，()()tan 665tan 72055tan 55=-=-o o o o ，由于7955-<-o o ，且tan y x =在()90,90-o o单调递增，tan281tan665︒<∴︒，故C 错误；对于D ，33422πππ<<<<Q， tan 30,tan 40∴<>，故D 正确；【点睛】本题考查了诱导公式以及正切函数的单调性，熟记诱导公式时关键. 8．【答案】B【分析】表n 示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得()3400150%40040002nn⎛⎫⨯+=⨯> ⎪⎝⎭，解出满足该不等式的最小正整数n 的值，即可得出结果.【详解】设快递行业产生的包装垃圾为y 万吨，n 表示从2015年开始增加的年份的数量， 由题意可得()3400150%4002nny ⎛⎫=⨯+=⨯ ⎪⎝⎭，由于第n 年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，即340040002n⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，3102n⎛⎫∴> ⎪⎝⎭， 两边取对数得3lg 12n >，即115.67863lg3lg 2lg 2n >=≈-， 因此，从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨， 故选：B ．【点睛】本题考查了指数函数模型在实际生活中的应用，列出不等式是解题的关键，考查运算求解能力. 9．【答案】D【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2SS =，不满足1S S i=-，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键. 10．【答案】B【分析】求得双曲线的渐近线方程，联立抛物线方程，求得A ，B 的坐标，以及F 的坐标，设AF 的倾斜角为α，由二倍角的余弦公式和同角的基本关系式，以及直线的斜率公式，双曲线的离心率公式，计算可得所求值. 【详解】解：双曲线()22221,0x y a b a b-=>的两条渐近线方程为b y x a =±，由抛物线24y x =和by x a =，联立可得22224444,,,a a a a A B b b bb ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由抛物线的方程可得(1,0)F ，设AF 的倾斜角为α，斜率为224tan 41ab a b α=-，而22222222cos sin 1tan 7cos cos 2cos sin cos sin 1tan 9AFB ααααααααα--∠==-===-++，解得tan α=， 设a t b =，可得2441t t =-t =，则c e a === 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力. 11．【答案】A【分析】由n S 与n a 的关系1(1)n n n a S S n -=->化简即可求出n S 及n a ，可得n b ，分析单调性即可求解. 【详解】∵1(1)n n n a S S n -=->,∴1n n n S a S --=,则21(1)n S n -=-,即2*(N )n S n n =∈,∴22(1)21n a n n n =--=-.易知0n b >,∵212+1+14422+1n n n n b b n n -==，（）, 244142()(1)1n n b n b n n +∴==++当11n >+时, 1n >, ∴当13n ≤<时, 1n n b b +>, 当3n ≥时,1n n b b +<, 又23132,281b b ==, ∴当3n =时, n b 有最小值.【点睛】本题主要考查了数列n S 与n a 的关系，数列的单调性.12．【答案】A【分析】可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-，当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f x xx =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键. 13．【答案】2 232 【分析】利用两角和差正切公式来构造出tan tan tan tan 1αβαβ++=，代入()()1tan 1tan αβ++可求得结果；根据()()1tan 1tan αβ++的规律可整理得到结果. 【详解】()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-Q tan tan 1tan tan αβαβ∴+=-即tan tan tan tan 1αβαβ++=()()1tan 1tan 1tan tan tan tan 2αβαβαβ∴++=+++=()()()()()()()()1tan11tan 21tan31tan 4521tan11tan 21tan31tan 44∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+o o o o o o o o 2223222=⨯=故答案为：2；232【点睛】本题考查利用两角和差正切公式求值的问题，关键是能够通过两角和差正切公式和特殊角三角函数值构造出所求式子的构成部分.14.【答案】9115．【答案】戊戌【分析】由题意可得数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以2017年的天干和地支分别为首项，即可求解． 【详解】由题意，可得数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从2017年到2078年经过了61年，且2017年为丁茜年，以2017年的天干和地支分别为首项，则61106÷=余1，则2078年的天干为戊，61125÷=余1，则2078年的天干为戌，所以2078年为戊戌年． 【点睛】本题主要考查了等差数列的实际应用问题，其中解答中得出数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以2017年的天干和地支分别为首项，利用等差数列求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．16．【答案】【分析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下：由正方体的性质可知，1A M NC P ，则1A ，,,M CN N 四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ，所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形， 其对角线123AC =，22MN =，所以其面积12223262S =⨯⨯=． 故答案为：26【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.17．【答案】（1）23π（2）3【分析】(1)根据三角函数的和差角公式与三角函数值求解即可. (2)根据正弦定理参变分离,再利用A 的取值范围求解 【详解】 （1）由题,2cos sin()A A C +=33sin[()]sin[()]sin(2)sin sin 2A A C A A C A C C C C ++--+=++=,即1sin(2)sin 2A C C C +=sin(2)sin 3A C C π⎛⎫⇒+=- ⎪⎝⎭,因为23A C C π+>-.故23A C C π+≠-.所以2233A C C A C πππ++-=⇒+=. （2）122sin 2sin BD BD m A C r r ≥+=+22sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12sin 22sin 2A A A ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故当62A ππ+=时6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最大值所以m ≥,即实数m 的最小值为【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的运用以及正弦定理与根据角度范围求解三角函数范围的问题,属于中等题型.18．【答案】（1）应该选择模型①，理由见解析（2）（ⅰ）$38.04y x =+（ⅱ）62.04 【分析】（1）结合题意可知模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，即可。
