重庆市南开中学2012届高三下学期3月月考数学(理)试题
- 格式：doc
- 大小：464.00 KB
- 文档页数：8
重庆市南开中学高2012届高三（下）3月月考数学试题（理科）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、在等差数列{}n a 中，若4566a a a ++=，则该数列的前9项的和为（ ） A 、17B 、18C 、19D 、202、点()1,1-到直线10x y -+=的距离为（ ）A 、12B 、32C 、2D 、23、已知1cos()44πα-=，则sin 2α=（ ） A 、78-B 、78C 、3132-D 、31324、设集合3{|0},{|log 1}1xP x Q x x x =≤=<-，那么“m P ∈”是“m Q ∈”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5、设空间中两条直线m 、n 和两个平面α、β，则下列命题中正确．．的是（ ） A 、若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则 B 、若//,,,m n m n αβαβ⊂⊥⊥则 C 、若,,,//m m n n αβαβ⊥⊥⊂则D 、//,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥则.6、在A B C ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3B π=，且不等式2680x x -+<的解集为{|}x a x c <<，则b =（ ）A 、2B 、C 、D 、127、已知()f x 是定义在(0,3)上的函数，()f x 的图象如图所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是（ ）A 、(0,1)(2,3)B 、(1,)(,3)22ππC 、(0,1)(,3)2πD 、(0,1)(1,3)8、已知正三棱锥A B C D -，E 为侧棱A B 中点，C E AD ⊥，若底面B C D ∆边长为2，则此三棱锥的体积为（ ） A 、23B、3C、3D、39、圆心角23A O B π∠=的扇形A O B ，半径2,r C =为弧A B 的中点，12O D O B =-，则C D A B ⋅= （ ）A 、2-B 、3-C 、3D 、210、如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体A B C D 的棱长为4，C 在平面α内，B 是直线l 上的动点则当O 到A D 的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为（ ） A、4+ B、2 C、D、第II 卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。
11、已知2933()3x x x f x a x ⎧-≠⎪-=⎨⎪=⎩，若()3f x x =在处连续，则a =__________12、长方体1111ABC D A B C D -的8个项点在同一球面上，且12,1AB AD AA ===，则顶点,A B 间的球面距离是_______________13、设变量x 、y 满足约束条件20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6y z x =-的取值范围是_______________14、对于任意的实数(0)a a b ≠和，不等式(12)a b a b a x x ++-≥-+-恒成立，则实数x 的取值范围是_______________15、在等腰梯形A B C D 中，//,AB CD AB CD >且，设以A 、B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C 、D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则12e e =_______________三、解答题：本大题共5小题，共75分（16，17，18题每题13分，19，20，21题每题12分）。
16、已知A B C ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4cos c A A B C b=∆且的面积2S ≥。
（1）求A 的取值范围；（2）求函数22()cos ()2422A A f A π=++-17、在三棱柱111ABC A B C -中，11,60AA BC A AC ⊥∠= ，111,AA AC BC A B ====（1）求证：平面111A BC AC C A ⊥平面；（2）如果D 为A B 的中点，求证：11//BC A C D 平面。
18、已知2()ln ,()f x x g x x ax ==-+，（1）若()()()h x f x g x =-在定义域内单调递增，求a 的取值范围； （2）在（1）的结论下，[]2(),0,ln 2xxx e ae x ϕ=+∈，求()x ϕ的最小值。
19、如图，A B C D 是边长为3的正方形，,//,3,DE ABCD AF DE DE AF BE ⊥=平面与平面A B C D 所成的角为60 。
（1）求证：AC BDE ⊥平面； （2）求二面角F BE D --的余弦值；（3）设点M 是线段B D 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//A M 平面B E F ，并证明你的结论。
20、已知数列{}n a 满足*1111,(2,)4(1)2n n nn a a a n n N a --==≥∈--（1）求234,,a a a（2）求证1(1)nn a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（3）设(21)sin 2n n n c a π-=，数列{}n c 的前n 项和为{}n T 。
求证：对任意的*4,7n n N T ∈<。
21、如图，抛物线21:4C y x =的焦准距（焦点到准线的距离）与椭圆22222:1(0)x y C a b ab+=>>的长半轴相等，设椭圆的右顶点为1,A C 、2C 在第一象限的交点为,B O 为坐标原点，且O A B ∆的面积为3。
（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）过A 的直线l 交抛物线1,C C D 于两点，射线,O C O D 分别交椭圆2C 于,E F 两点。
（i ）求证：O 点在以E F 为直径的圆的内部；（ii ）记,OEF OCD ∆∆的面积分别为12,S S ，问是否存在直线l ， 使得213?S S =请说明理由。
重庆市南开中学高2012届高三（下）3月月考数学试题(理科答案)一、选择题BDADB CCBBA 二、填空题 11、6 12、213、1[3,]3--14、15[,]2215、1三、解答题16、解：（1）1sin 2S bc A =4cos bc A =则1tan 12A S =≥ 42A ππ∴≤<(2)111()cos sin()22262f A A A A π=++=++521263A πππ≤+<()f A ∴无最小值，3A π=时()f A 取得最大值为3217、证明：（1）在011160,1,A AC A AC AA AC ∆∠===中，11,A C ∴=111,1,A BC A C ∆==中，BC 11BC A C =⊥A B ，又1111,,AA BC BC AC C A BC A BC ⊥∴⊥⊂ 平面平面111A BC ACC A ∴⊥平面平面. （2）连接11,A C AC O 交于，连接DO, 则由D 为AB 中点，O 为1A C 中点得：OD ∥1BC ,⊂OD 平面⊄11,BC DC A 平面DC A 1，∴1BC ∥平面DC A 1 18.解：22'22()ln ,()121()20210211212+2212),h x x x ax h x x ax h x x a x ax x xx a x xxy x xy x xa =+-∞-+∴=+-=≥-+≥+∴≤=+=+∞∴=+∈+∞∴≤（1）定义域为(0,+),又在定义域内单调递增恒成立，即恒成立又在在（0，单调递减，在（）单调递增2m in m in (),[0,ln 2],()=(2)1)0[0,ln 2]()0()(0)12)0,(ln())=0220ln()0,()0()(0)1;242,0ln()ln 2,(0,ln())(22xx x xx eae x x e e a a x x x a a a a a x x a a a a x x φφφφφφφφφφ=+∈∴+≤≤∈≥∴==+<--≤<-<≥∴==+-≤<-<-≤∴∈-（2）'若则当时，'，若则'当时，'，当时时，'2m in m in 2m in m in m in )0,(ln(),ln 2)()0,2()(ln();244,ln()ln 2,()0()(ln 2)42;22,()1;42,();4,()42.4a x x a ax a a x x a aa x a a x a x a φφφφφφφφφ<∈->∴=-=-<-->≤∴==+-≤≤=+-≤<-=-<-=+时，'当时'，综上：当当时当时19．解：（Ⅰ）∵DE ⊥平面ABCD ， ∴DE ⊥AC ，∵ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDE ．（Ⅱ）∵DE ⊥平面ABCD ，∴∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD=60°． ∴EDDB=3． 由AD=3，得DE=36，AF=36．如图，分别以DA ，DC ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D-xyz ．则 A （3，0，0），F （3，0，6），E （0，0，36），B （3，3，0），C （0，3，0）， ∴→BF=（0，-3，6），→EF=（3，0，-26）， 设平面BEF 的一个法向量为n =（x ，y ，z ），则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·→BF=0，n ·→EF=0。
即⎩⎨⎧-3y+6z=0，3x -26z=0。
令z=6，则n =（4，2，6）． ∵AC ⊥平面BDE ， ∴→CA=（3，-3，0）为平面BDE 的一个法向量，∴cos ＜n ，→CA ＞=n ·→CA |n ||→CA |=626×32=1313．故二面角F -BE -D 的余弦值为1313．（Ⅲ）依题意，设M （t ，t ，0）（t ＞0），则→AM=（t -3，t ，0），∵AM ∥平面BEF ，∴→AM ·n =0， 即4(t -3)+2t=0，解得t=2．∴点M 的坐标为（2，2，0），此时→DM=23→DB ，∴点M 是线段BD 靠近B 点的三等分点. 几何法（2）设,AC BD 交于O ，由于A O ⊥平面BED ，A F ∥平面BED ，所以F 到平面BED 的距离即为A O =经计算E F B F B E ===，cos sin FBE FBE ∠=∠=从而F 到B E距离为sin BF FBE ∠=，从而sin θ==，则cos θ=（3）如图过M 作M H ∥D E ，交B E 于H由于AM ∥平面BEF ，所以截得交线F H ∥A M ，从而AFH M 为平行四边形，有13A F M H D E ==，所以13B M B D =20、（1）224111,,71325a a a =-==-（2）12)1(1---=n n n a a ，])1(1)[2()1(111---+-=-+∴n n n n a a ，3)1(11=-+a∴数列1(1)nn a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭是首项为3，公比为2-的等比数列．1)2(3)1(1--=-+n n na ， 即123)1(11+⋅-=--n n n a1)1(2)12(sin --=-n n π ， 1231)1()2(3)1(111+⋅=----=∴---n n n n n c 当3≥n 时，则12311231123113112+⋅+++⋅++⋅++=-n n T212211211321])(1[28112312312317141--+=⋅+⋅+⋅++--n n7484488447612811])21(1[6128112=<=+<-+=-n ．又因为123T T T >> ∴对任意的*∈N n ，47n T <21.（1）焦准距2p =，所以长半轴2a =，而12B S a y =⋅⋅=，代入椭圆得2(3B ，又由于B 在椭圆上，可得23b = 所以22143xy+=（2）直线l 不垂直于x 轴，设为2x my =+，1122(,),(,)C x y D x y222143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得128y y =-，124y y m +=，从而124x x = 所以121240OC OD x x y y ⋅=+=-<，则E O F ∠为钝角，于是，O 点在以E F 为直径的圆的内部（3）12121||||sin ||||21||||||||sin 2E F O E O F EO FS y y O E O F S O C O D y y O C O D EO F ∠===∠直线O C ：1114y y x x x y ==与椭圆相交得221192364E y y =+，同理222192364F y y =+ 22222212192576(364)(364)12148EFy y y y m==+++2212121+48121()=99S mS ≥，则121133S S ≥>，所以，不存在。
