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第八章 玻色统计和费米统计习题8.1试证明:对于玻色系统或费米系统,玻耳兹曼关系成立，即ln S k =Ω。
解：对于理想费米系统，与分布{}l a 相应的系统的微观状态数为 !!()!l l l l la a ωωΩ=-∏ 取对数，并应用斯特令近似公式，得()()ln ln ln ln llllllllla a a a ωωωωΩ=----⎡⎤⎣⎦∑另一方面，根据理想费米系统的熵为()ln ln ln ln S k k N U αβαβαβ⎛⎫∂Ξ∂Ξ=Ξ--=Ξ++ ⎪∂∂⎝⎭()ln l l l k a αβε⎡⎤=Ξ++⎢⎥⎣⎦∑其中费米巨配分函数的对数为 ()ln ln 1la l leβεω--Ξ=-+∑由费米分布 1lll a eαβεω+=+得 1ll l lea αβεωω--+=-和 lnl ll la a ωαβε-+=所以 ln lnl l ll la ωωωΞ=--∑()()ln ln ln ln ln l l ll l l l l l l l l l l l l l l aS k a k a a a a a ωωωωωωωωω⎛⎫-=+=----⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭∑∑两式比较可知：ln S k =Ω。
习题8-2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可表示为：()().ln 1ln 1B E s s s s lS k f f f f =--++⎡⎤⎣⎦∑，()().ln 1ln 1F D s s s s lS k f f f f =----⎡⎤⎣⎦∑其中s f 为量子态s 上的平均粒子数，s ∑对粒子的所有量子态求和。
解：我们先讨论理想费米系统的情形。
根据上题有，理想费米系统的熵可表示为 ()().ln ln ln F D lllllllllS ka a a a ωωωω=----⎡⎤⎣⎦∑()ln ln l l l l l l l l l a a ka a ωωωω⎡⎤-=--+⎢⎥⎣⎦∑ 1ln 1ln l l l l l ll l l l a a a a kωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 式中s∑表示对粒子各能级求和。
热力学与统计物理课程教案第八表 玻色统计和费来统计 8.1 热力学量的统计表达式一、非简并气体和简并气体第七章根据玻耳兹曼分布讨论了定域系统和满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统的平衡性质。
非简并条件可以表达为：12232>>⎪⎭⎫ ⎝⎛=h mkT πN V e α 或 122323<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mkT πh V N λn 人们把满足上述条件的气体称为非简并气体，不论是玻色子还是费米子构成，都可以用玻耳兹曼处理；不满足上述条件的气体称为简并气体，需要分别用玻色分布或费米分布处理。
微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质将产生决定性的影响，使玻色气体和费米气体的性质迥然不同。
二、热力学量的统计表达式（首先考虑玻色分布）本节推导玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式。
1、玻色系统首先考虑玻色系统。
如果把βα,和y 看作已知的参量，系统的平均总粒子数可由下式给出：∑∑-==+lβεαl ll leωa N 1①引出一个函数，名为巨配分函数，其定义为：l l ωβεαll le ----∏=Ξ∏=Ξ]1[ ②取对数得：∑----=Ξlβεαl l e ω)1ln(ln ③系统的平均总粒子数N 可通过Ξln 表示：Ξ∂∂-=ln αN ④ 内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值：∑∑-==+lll l ll l e ωεa εU 1⑤类似地可将U 通过Ξln 表为：Ξ∂∂-=ln βU ⑥ 外界对系统的广义作用力Y 是y εl ∂∂的统计平均值：y εeωa y εY ll βεαl l l l l ∂∂-=∂∂=∑∑+1可将Y 通过Ξln 表为：Ξ∂∂-=ln 1yβY ⑦上式的有一个重要特例是：Ξ∂∂=ln 1VβP ⑧ 由式④-⑦得：)ln (ln )ln ()(αd αdy y βd βN d βαYdy dU β∂Ξ∂-∂Ξ∂+∂Ξ∂-=+- 注意上面引入Ξln 的是y βα、、函数，其全微分为：dy yβd βαd αd ∂Ξ∂+∂Ξ∂+∂Ξ∂=Ξln ln ln ln 故有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ξ∂∂-Ξ∂∂-Ξ=+-ln ln ln )(ββααd N d βαYdy dU β 上式指出β是N d βαYdy dU +-的积分因子。
