第02讲 函数图象(原卷版)

第01讲 一次函数的概念、图像与性质一、一次函数的概念1、概念：一般地，解析式形如y kx b =+（k 、b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数。

定义域：一切实数。

2、一次函数与正比例函数的关系：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。

3、常值函数一般的，我们把函数()y c c =为常数叫做常值函数。

二、一次函数的图像与性质1、 一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线． 2、 一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距，一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标是(0)b ，，直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．3、 一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到．当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”） 4、 直线位置关系：如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．5、一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质：当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升； 当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降． 6、一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得） 当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限； 当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限； 当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限； 当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限．考点一：一次函数识别【例题1】（2021·上海普陀·八年级期中）下列四个函数中，一次函数是（ ） A ．y ＝x 2﹣2xB ．y ＝x ﹣2C ．11y x=+D ．y x +1【变式训练1】（2021·上海奉贤·八年级期中）下列函数中是一次函数的是（ ） A ．y ＝2x B ．2y x=C ．y ＝x 2D ．y ＝kx +b （k ，b 为常数）考点二：根据一次函数的定义求参数【例题2】（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）当k ______时，y kx x =+是一次函数．【变式训练1】（2021·上海普陀·八年级期中）若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m 满足的条件是____________．【变式训练2】（2021·上海民办华二宝山实验学校八年级阶段练习）已知关于x 函数224(5)1m y m x m -=-++，若它是一次函数，则m =______.考点三：求一次函数的自变量与值域【例题3】（2021·上海杨浦·八年级期末）如果点A(3,)a 在一次函数31yx 的图像上，则a =__________．【变式训练1】（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）已知一次函数24y x =+的图象经过点(),8A m ，那么m 的值等于______． 考点四：列一次函数的解析式并求值【例题4】（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱中剩余油量y （升）与燃烧的时间x （小时）之间的函数关系式是______．【变式训练1】（2020·上海浦东新·八年级期末）汽车以60千米/时的平均速度，由A 地驶往相距420千米的上海，汽车距上海的路程s （千米）与行驶时间t （时）的函数关系式是_____．考点五：一次函数平移【例题5】（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）将直线112y x =--向上平移4个单位所得的直线表达式为______．【变式训练1】（2021·上海杨浦·八年级期中）将一次函数y ＝2x ﹣3的图象向上平移___个单位后，图象过原点．【变式训练2】（2021·上海浦东新·八年级期末）如果将函数31y x =-的图象向上平移3个单位，那么所得图象的函数解析式是________． 考点六：一次函数与坐标轴交点【例题6】（2021·上海普陀·八年级期末）将平面直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标轴三角形．如图中的一次函数图像与,x y 轴分别交于点,,A B 那么ABO 为此一次函数的坐标轴三角形．一次函数142y x =-+的坐标轴三角形的面积是_____．【变式训练1】（2021·上海杨浦·八年级期中）一次函数y ＝﹣2x ﹣3的截距是_____． 【变式训练2】（2021·上海·八年级期中）直线36y x =-与坐标轴所围成的三角形的面积是_____．【变式训练3】（2021·上海奉贤·八年级期末）直线21y x =-与x 轴交点坐标为_____________．考点七：根据一次函数解析式判断其经过象限【例题7】（2021·上海·上外附中八年级期末）一次函数y ＝2（x +1）﹣1不经过第（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ．四【变式训练1】（2021·上海徐汇·八年级期末）一次函数21y x =-+的图象经过哪几个象限（ ）A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限 【变式训练2】（2021·上海崇明·八年级期末）一次函数53y x =-+的图象不经过（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式训练3】（2021·上海金山·八年级期末）在直角坐标系中，一次函数y ＝12x ﹣1的图像不经过第____象限．考点八：已知函数经过的象限求参数范围【例题8】（2019·上海市西延安中学八年级期中）在同一真角坐标平面中表示两个一次函数y 1=kx +b ，y 2=−bx +k ，正确的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式训练1】（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）正比例函数()0y mx m =≠的图像在第二、四象限内，则点（--1m m ，）在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式训练2】（2020·上海金山·八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是（ ）A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0【变式训练3】（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）如果关于x 的一次函数(3)y m x m =-+的图像不经过第三象限，那么m 的取值范围________.【变式训练4】（2021·上海静安·八年级期末）已知一次函数y ＝（k ﹣1）x ＋1的图像经过第一、二、三象限，那么常数k 的取值范围是____．【变式训练5】（2021·上海·上外附中八年级期末）一次函数y ＝（2m ﹣1）x +m ﹣7的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是 ___．【变式训练6】（2017·上海嘉定·八年级期中）若正比例函数25m m y mx +-=的图像经过第二、四象限，则m =____________【变式训练7】（2018·上海普陀·八年级期末）如果关于x 的一次函数y ＝mx +(4m ﹣2)的图象经过第一、三、四象限，那么m 的取值范围是_____． 考点九：已知两条直线位置关系求参数【例题9】直线2(13)(22)y k x k =-+-与已知直线21y x =-+平行，且不经过第三象限，求k 的值．1.已知一次函数21544m y x +=-与233my x =-+的图像在第四象限内交于一点，求整数m 的值．2.已知两个一次函数144b y x =--和212y x a a=+；（1）a、b为何值时，两函数的图像重合?（2）a、b满足什么关系时，两函数的图像相互平行?（3）a、b取何值时，两函数图像交于x轴上同一点，并求这一点的坐标．3.（1）一次函数3y x b=+的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求b的值；（2）一次函数y kx b=+的图像与两坐标围成的三角形的面积是105，求一次函数的解析式．4.1）求直线14222y x y x=-=+和与y轴所围成的三角形的面积；（2）求直线24y x=-与直线31y x=-+与x轴所围成的三角形的面积．5.如图，已知由x轴、一次函数4(0)y kx k=+<的图像及分别过点C（1，0）、D（4，0）两点作平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7，试求这个一次函数的解析式．6.在式子()y kx b k b =+，为常数中，3119x y -≤≤≤≤当时，，kb 求的值．7.已知一次函数1121y x k =+-中y 随x 的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三 角形的面积不超过32，反比例函数23k y x-=的图像在第二、四象限，求满足以上条件的k 的 整数值．8.如图，已知函数1y x=+的图象与y轴交于点A，一次函数y kx b=+的图象经过点B（0，1-），并且与x轴以及1y x=+的图象分别交于点C、D；（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；（2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由；（3）若一次函数y kx b=+的图象与函数1y x=+的图象的交点D始终在第一象限，则系数k 的取值范围是________（请直接写出结果）题组A 基础过关练一、单选题1.下列关于x的函数中，是一次函数的是（）222211.3(1) (3)A y xB y xC y xD y x xx x=-=+=-=+-2.正比例函数y=(1－2m)x的图象经过点（x1，y1）和点（x2，y2）当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m<0 B．m>0 C．m＜12D．m＞123．（2018·上海金山·八年级期中）一次函数51y x=-的图像经过的象限是（）A．一、二、三B．一、三、四C．二、三、四D．一、二、四分层提分4．（2018·上海金山·八年级期中）一次函数图像如图所示，当2y >时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <5．（2020·上海浦东新·八年级期末）直线y ＝2x ﹣1在y 轴上的截距是（ ） A ．1 B ．﹣1C ．2D ．﹣2二、填空题6．（2019·上海普陀·八年级期中）如果将直线22y x =-向上平移3个单位，那么所得直线的表达式是___________．7．（2019·上海普陀·八年级期末）已知直线(2)3y k x =-+与直线32y x =-平行，那么k =_______．题组B 能力提升练1.一次函数(2)3y k x k =-+-的图像能否可以不经过第三象限?为什么?2.已知直线26x y k -=-+和341x y k +=+，若它们的交点第四象限，那么k 的取值范围是______________．3.如图，据函数y kx b =+的图像，填空：（1） 当1x =-时，y =____________；（2） 图像与坐标轴的交点坐标是_________________； （3） 当24x -≤≤时，y 的取值范围是______________．4.根据下列条件求解相应函数解析式： （1）直线经过点(45)，且与y=2x +3轴无交点； （2）直线的截距为3(123)．5.已知函数1y x =+与3y x =-+，求： （1）两个函数图象交点P 的坐标．（2）这两条直线与x 轴围成的三角形面积．6.把一次函数的图像向上平移323y x =-，求平移前的函数图像与函数23y x =--题组C 培优拔尖练1.直线31y =+和x 轴、y 轴分别相交于点A 、点B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边三角形ABC ，如果在第一象限内有一点P （12m ，）且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，求m 的值．2.函数12y y y =+且12y x m =+，2131y x m =+-． （1）若12y y 与图像的交点的纵坐标为4，求y 关于x 的函数解析式；（2）若（1）中函数y 的图像与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，若将此函数绕A 点顺时针旋转90°后交y 轴于C 点，求直线AC 的解析式．3.如图所示，直线323y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，D 是y 轴上的一点，若将DAB ∆沿直线DA 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，求直线CD 的解析式．4.直线31y =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt ABC ∆，且90BAC ∠=，如果在第二象限内有一点P （a ，12），且ABP ∆的面积与Rt ABC∆的面积相等，求a 的值．。

2023函数及其图象•函数的基本概念•函数的图像•不同类型函数的图像目录•函数图像的应用•函数图像的艺术01函数的基本概念设x和y是两个变量，D是一个给定的集合，在D上有唯一确定的y值与x对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。

集合D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。

函数的定义函数的表示方法图象法用图象表示函数，如f(x)=x^2的图象为开口向上的抛物线。

表象法用表格表示函数，如t=sin(x)。

解析法用等式表示函数，如y=2x+1。

函数的分类•常数函数：f(x)=c(c为常数)•一次函数：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)•二次函数：f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)•反比例函数：f(x)=k/x(k为常数，k≠0)•幂函数：f(x)=x^a(a为常数)•指数函数：f(x)=a^x(a为常数，a>0且a≠1)•对数函数：f(x)=log_a x(a为常数，a>0且a≠1)•复合函数：f(x)=u(x)+g(x)，其中u和g都是简单函数。

02函数的图像1函数图像的概念23将函数表达式中自变量与因变量之间的关系用图形表示出来。

函数图像在平面直角坐标系中，以横轴表示自变量，纵轴表示因变量。

坐标系根据函数表达式的性质，图像呈现不同形状，如直线、曲线、折线等。

函数图像的形状描点法根据函数表达式，求出一些自变量对应的因变量值，然后在坐标系上描出对应的点，最后用平滑的曲线或直线将这些点连接起来。

图示法利用计算器或编程语言，直接在计算机上绘制出函数图像。

绘制函数图像的方法函数图像的变换伸缩将函数图像按比例进行缩放，可以是横向或纵向。

平移将函数图像沿横轴或纵轴方向移动一定距离。

翻折将函数图像以某一条直线或点为对称中心进行翻折。

复合变换以上变换可以同时进行，也可以多次进行。

旋转将函数图像按一定角度顺时针或逆时针旋转一定角度。

03不同类型函数的图像线性函数一次函数的图像是直线，表达式为$y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是截距。

热点02二次函数图像与系数a，b，c之间关系二次函数图像与性质是四川成都中考数学的必考考点，常见以选填的形式，主要是函数与其系数之间关系等问题，一般出现在中考的第8题，以简单题为主，思路相对比较固定，但除了常规考法以外，日常练习中多注意新颖题目的考向。

【题型1图像与系数之间关系】a>A．0C．点B的坐标为()4,0【变式1-1】（2021·四川成都A ．0abc >B ．2【变式1-3】（2023·四川广安且点A 的横坐标是－2，点抛物线2y ax =的函数值都随着能是等边三角形；⑤当2-A ．①②③B ．【变式1-4】（2023·四川南充交点的横坐标分别为1x ，0204abc a b a <+<①②③A．2个B．3个C．4个D．5个【题型2二次函数与其他函数图像综合】．．．．=的图象与一次函数a+的图象可能是（2-1】在同一坐标系中，二次函数y ax．B．B ．C ．．2-3】已知,a b 是非零实数，a b >，在同一平面直角坐标系中，二次函数21y ax bx =+与一次函数b +的大致图象不可能是（）．B ．C ．．2-4】在同一平面直角坐标系中，一次函数y mx n =-的图象和二次函数2y mx nx =+的图象可能是．B ．．．（建议用时：30分钟）1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点()12，且与x 轴交点的横坐标分别为12x x ，，其中121012x x -<<<<，，下列结论：①0abc >．②20a b +<．③420a b c ++<．④248ac b a ->．⑤1a ≤-．其中，结论正确的个数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．（2023·四川成都·校考三模）已知抛物线()20y ax bx c a =++>，且1a b c ++=-，3a b c -+=-．则下列结论中错误的是（）A ．点()1,1-和()1,3--在抛物线上B ．抛物线与x 轴负半轴必有一个交点C ．0abc >D ．当02x ≤≤时，y 的最大值为3a 3．（2023·四川成都·统考二模）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．<0abc B ．函数的最小值为a b c ++C ．当13x -<<时，0y >D ．420a b c ++>4．（2023·四川成都·模拟预测）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴A．1个B．2 5．（2023·四川攀枝花·校考一模）抛物线A．2个B．3 7．（2023·四川成都·统考二模）如图，二次函数直线32x=-，根据图像判断以下说法正确的是（A ．240b ac -<C ．若0y >，则41x -<<8．（2023·四川广元·统考一模）如图，与y 轴的交点在()0,2和()0,3两点之间A ．1B ．29．（2023·四川南充·统考一模）二次函数A ．1个11．（2023·四川成都在第二象限．下列说法正确的是（A ．0a >C ．240b ac -<12．（2023·四川成都·统考一模）如图，已知二次函数与y 轴的交点B 在(02-，②930a b c ++=；③4A ．①③B ．13．（2023·四川成都·校考二模）在平面直角坐标系()1,0A -和点B ，其顶点坐标为A ．0abc <15．（2023·四川成都·坐标为(1,)n ，与y ①0abc >；②93a +A ．①②⑤B ．16．（2023·四川眉山·校考三模）如图，二次函数为(1)0，，对称轴为=1x -，结合图象给出下列结论：17．（2022·四川成都·校考一模）②3a +c ＞0；③4a +2b。

第2讲分离参数法：全分离及半分离知识与方法分离参数法解决恒成立求参问题,可以有两个角度:全分离和半分离.1.全分离参数法将含参表达式中的参数从表达式中完全分离出来,使所研究的函数由动态变为定态,进而可得到新函数的图像、性质(最值),将求参数的范围问题转化为求函数的最值或值域问题.在分离参数时,需点睛意:(1)参数系数的正负是否确定;(2)分参后目标函数的最值是否易解,若不易解,极可能需要洛必达法则辅助.2.半分离参数法其一般步骤为:将不等式变形为ax+b≥f(x)或ax+b≤f(x)的形式(其中a为参数,b为常数),然后画出图像,由图像的上下方关系得到不等式,从而求得参数的取值范围.不等号前后两个函数的图像特征为:直线y=ax+b与曲线y= f(x),而直线y=ax+b过定点(0,b).需要说明的是:半分离参数法一般只适用于客观题,解答题则不宜使用.典型例题全分离参数【例1】已知函数f(x)=e x+ax2−x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;x3+1,求a的取值范围.(2)当x≥0时,f(x)≥12【例2】设函数f(x)=e x−1−x−ax2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.【例3】已知函数f(x)=x(e x+1−a)(x∈R).(1)若a=2,判断f(x)在(0,+∞)上的单调性;(2)若f(x)−lnx−1≥0恒成立,求实数a的取值范围.【例4】已知函数f(x)=x3e ax−1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a=2,不等式f(x)≥mx+3lnx对x∈(0,+∞)恒成立,求m的取值范围. 换元后分离参数【例5】已知函数f(x)=x(e xa−2a−2)+a.(1)若a=−1,求f(x)的单调区间和极值点;(2)若x>0时,f(x)>−1(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.半分离参数【例6】已知函数f(x)=e x−ax−1(a∈R,其中e为自然对数的底数).(1)若f(x)在定义域内有唯一零点,求a的取值范围;(2)若f(x)≤x2e x在[0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.【例7】已知函数f(x)=xlnx+ax−1,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a=2时,对任意x>1,f(x)>b(x−1)恒成立,求正整数b的最大值.【例8】设函数f(x)=e x(2x−1)−ax+a,其中a<1.若存在在唯一的整数x0使得f(x0)<0.则a的取值范围是（）A.[−32e ,1) B.[−32e,34) C.[32e,34) D.[32e,1)强化训练1.设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y= g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥−2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.2.设函数f(x)=e x−ax−2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x−k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.3已知函数f(x)=ln2(1+x)−x21+x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若不等式(1+1n )n+a≤e对任意的n∈N∗都成立(其中e是自然对数的底数).求a的最大值.。