函数图像、函数与方程

第7讲函数的图象一、基础梳理1．作图：描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)；④画出函数的图象．2．图象变换法(1)平移变换①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．(3)翻折变换①作为y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象．②作为y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．(4)伸缩变换①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)缩(a＜1时)到原来的a倍．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)缩(a＞1时)到原来的1 a.3．识图：对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．4．用图：函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合思想的应用．一条规律对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．两个区别(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称．(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．三种方法画函数图象的方法有：(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响；(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．题型精讲题型一作函数的图象【例1】分别画出下列函数的图象．(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2x＋1 x＋1；(3)y＝10|lg x|.针对训练分别画出下列函数的图象． (1)y ＝x 2－4|x |＋3； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|.题型二 函数图象的识辨【例2】(1)下列函数图象中不正确的是( )．(2)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图象大致是(3)设b ＞0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为A ．1B ．－1 C.－1－52 D.－1＋52针对训练(1)函数f (x )＝x ＋|x |x 的图象是( )．(2)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )．题型三 函数图象的应用 【例3】(1)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． （2）函数y ＝3x －1x ＋2的图象关于________对称．(3)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f (x )＝log 12x ，则方程f (x )－1＝0在(0,6)内的所有根之和为( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．16 针对训练(1)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x－1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1](2)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是(3)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______．高考中函数图象的考查题型由解析式找图像【示例】函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )．二、图象平移问题【示例】若函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )．三、图象对称问题【示例】y ＝log 2|x |的图象大致是( )．课时作业7一、选择题1．一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )．2．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )．3．已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )．4．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．5．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )． A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根二、填空题6．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是________．7．函数f (x )＝x ＋1x 的图象的对称中心为________．8．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________． 三、解答题9．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．10．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )． (1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f (x )的表达式．。

一次函数的图像和性质一次函数是一个代数函数，也称为线性函数或直线函数。

它是最简单的一种函数形式，在数学和物理等领域中都有广泛的应用。

一次函数的一般形式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a≠0。

一次函数的图像是一个直线，在平面直角坐标系中表示为一根斜率为a的直线，并且通过点(0,b)。

斜率a表示函数的变化率，即y随x的变化速度。

当a>0时，表明随着x增大，y也增大；当a<0时，表明随着x增大，y减小；当a=0时，函数是一个常数函数。

一次函数图像的性质包括斜率、截距、与坐标轴的交点等。

1.斜率：一次函数的斜率表示函数图像在x轴方向每单位变化时，y轴方向的变化量。

斜率的计算可以通过选择两个不同的x值，计算对应的y值的差异，然后除以对应x值的差异。

即斜率a=Δy/Δx。

斜率为正的函数图像向上倾斜，斜率为负的函数图像向下倾斜，斜率为零的函数图像是水平的。

2. 截距：一次函数的截距表示函数图像与y轴的交点，它的值可以从函数的形式y=ax+b中得到。

当x=0时，y=b，因此截距为b。

3. 与坐标轴的交点：一次函数的图像与x轴的交点为y=0时的x值，可以通过令y=0，解方程ax+b=0，得到x=-b/a。

图像与y轴的交点已经在上述截距部分提到，为(0, b)。

4.平行：两个斜率相等的一次函数图像是平行的，它们可能在坐标轴上的交点不同，但是平行于同一直线。

5. 垂直平分线：对于一次函数y = ax + b，它的垂直平分线为x =-a/2、如果两个函数的图像关于该直线对称，那么它们是互为反函数。

6. 对称轴：对于一次函数y = ax + b，它的对称轴为x = -b/(2a)。

如果交换a和b的位置，可以得到该函数关于y轴对称函数。

如果交换x和y的位置，可以得到原函数的倒数。

7.等差数列：一次函数的图像可以表示等差数列，其中公差为斜率a。

数列的第一个项为截距b。

8.增长率：一次函数的增长率等于斜率a的绝对值。

函数和方程的区别和联系
函数和方程是数学中常见的概念，它们有一些区别和联系。

首先，函数是一种映射关系，它把一个自变量映射成一个因变量。

函数可以用一个公式或者一张图像来表示，比如 y=x^2 或者一条曲线。

而方程则是一个等式，它表示两个表达式之间的关系，比如 y=x+2。

其次，函数和方程可以相互转换。

一个函数可以被表示成一个方程，比如 y=x^2 可以转换为 x^2-y=0。

同样地，一个方程也可以被
表示成一个函数的形式，比如 x+y=3 可以表示成 y=3-x。

另外，函数和方程的解的含义也有所不同。

一个方程的解是使等式成立的变量值，而一个函数的解则是使函数取到某个特定值的自变量值。

比如，对于方程 x^2=4，它的解是 x=2 或者 x=-2；而对于函数 y=x^2，它的解是使 y=4 的 x 值，即 x=2 或者 x=-2。

总之，函数和方程是数学中基础的概念，它们之间有相互转换的关系，但是解的含义有所不同。

在数学中，我们经常使用这两个概念来描述自然界和社会现象中的规律和关系。

- 1 -。

函数、方程、不等式之间的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。

实际上，他们之间的联系非常紧密。

如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。

★函数与方程之间的关系。

先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。

对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。

如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。

我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。

所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。

这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。

这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。

举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示：该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数解析式23y x =-中，令0y =即可。

令0y =也就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交点的横坐标是相同的。

接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示：很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标正是方程22520x x -+=的解。

如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。

在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得很精准。

有时候只需要作出大致图像即可。

既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制对应的函数图象呢函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。

很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。

函数图像总结函数图像总结函数图像总结一基本函数图像1y=kx(x≠0)2y=kx+b(k≠0)3y4yax2bxc(a0)5yxa6yxk(k0)xk(k0)7yax(a 0,a1)x8ylogax(a0,a1)二抽象图像平移f(x）f(x+1)f(x）f(x-1)f(x）f(x)+1f(x）f(x)-1f(x)f(2x)f(x)2f(x) f(x）f(2x+2)y=f（-x）变成y=f（-x+2）练习：cosxcos2xcos2xcos（2x+4）cosxcos2x+4三图像的变换1f(x）f(|x|)保留y轴右边的，左边关于右边y轴对称2f(x）|f(x)|保留x轴上方的，下方关于x轴对称3f(x）f(-x）y轴对称4f(x）-f(x)x轴对称5f(x）-f(-x）原点对称6f(x）f（|x+1|）先根据1方法变成f（|x|）,在向左平移一个单位得到f（|x+1|）7f(x）f（|x|+1）先向左平移一个单位得到f（x+1），再根据1方法变成f（|x|+1）8f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称联想点（x,y）,(y,x)9f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称egf（x）= 2x与g（x）=-2x关于对称一、函数yf(x)与函数yf(x)的图象关系函数yf(x)的图象是由yf(x)的图象经沿y轴翻折180°而得到的（即关于y轴对称）。

注意它与函数yf(x)满足f(x)f(x)的图象是不同的，前者代表两个函数，后者表示函数yf(x)本身是关于y轴对称的。

（二）伸缩变换及其应用：函数yaf(bx)的图像可以看作是由函数yf(x)的图像先将横坐标伸长(|b|＜1）或缩短(|b|＞1）到原来的1倍，再把纵坐标伸长(|a|＞1）或缩短(|a|＜1）到原来的|a|倍即可得到。

如：|b|1的图像x1要求：1会画y=|x+1|y=-2会画f（x）=lg|x|以及f（x）=|lgx|3会画f（x）=|lg|x+1||以及f(x)=x2-4|x|+5f(x)=|x2-2x-3|二1由图像可知f（x+1）为偶函数对称轴为2由图像可知f（x+1）为奇函数关于点（，）对称Eg、对a，bR，记max{a，b}＝(A)0(B) a,ab，函数f（x）＝max{|x＋1|，|x－2|}(xR)的最小值是b,a＜b13(C)(D)3901（选讲）1、yf(x)绕原点顺时针方向旋转；yf（x）12、yf(x)；yf （x）绕原点逆时针方向旋转9000yQP(a,b)(yf(x)yQ1xP1(b,a)(yf1(x))P(a,b)(yf(x)0P1(b,a)1(yf(x))0（乙）x（甲）（图五）0说明：关于绕原点旋转180的变换实际上就是关于原点对称的问题。

第七讲：函数图像、函数与方程【考点梳理】 1、函数的图象 (1)平移变换：0,0,||()()a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−→=-向右移个单位向左移个单位 0,0,||()()+b b b b y f x y f x b ><=−−−−−−→=向上移个单位向下移个单位(2)伸缩变换：101,11,()()y f x y f x ωωωωω<<>=−−−−−−−−−−−−−→=纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍1,01,()()A A A A y f x y Af x ><<=−−−−−−−−−−−−→=横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍(3)对称变换：()()x y f x y f x =←−−−−→=-关于轴对称()()y y f x y f x =←−−−−→=-关于轴对称()()y f x y f x =←−−−−→=--关于原点对称(4)翻折变换：()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−→=去掉轴左侧图象，保留轴及右侧图象将轴右侧的图象翻折到左边()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴及其上方图象将轴下方的图象翻折到上方去2、函数与方程(1)判断二次函数()f x 在R 上的零点个数，一般由对应的二次方程()0f x =的判别式0,0,0∆>∆=∆<来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数()f x 在[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又()()0f a f b ⋅<，则()y f x =在区间(,)a b 内有唯一零点．【典型题型讲解】考点一：函数的图像【典例例题】例1．（多选题）在同一直角坐标系中，函数()()()10,1,xf x a a ag x a x =->≠=-且的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【详解】依题意，当1a >时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方，排除B ，C ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，因此，()f x 在(,0)-∞上递减，且x <0时，0<f (x )<1，D 不满足，A 满足； 当01a <<时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方，点(0,1)下方，排除A ，D ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，因此，f (x )在(0,)+∞上递增，且x >0时，0<f (x )<1，B 不满足，C 满足， 所以给定函数的图象可能是AC. 故选：AC【方法技巧与总结】1.熟练掌握高中八个基本初等函数的图像的画法2.函数的图像变换：平移，对称、翻折变换 【变式训练】1.已知图①中的图象是函数()y f x =的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（ ）A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =--【答案】C 【详解】图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数()y f x =的图象在y 轴右侧的部分， 然后将y 轴左侧图象翻折到y 轴右侧，y 轴左侧图象不变得来的， ∴图②中的图象对应的函数可能是(||)y f x =-. 故选：C.2.已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-， 作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，3.若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】因为函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数.所以01a << .因为函数()log 1a y x =-，定义域为()()11,-∞-+∞，故排除A 、B.当1x >时，函数()()log 1log 1a a y x x =-=-在1,上单调递减.当1x <-时, 函数()()log 1log 1a a y x x =-=--在()1-∞-单调递增. 故选:D.由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值12f ，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.4.函数()ln f x x x =的图象如图所示，则函数()1f x -的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】将函数()f x 的图象作以y 轴为对称轴的翻折变换，得到函数()f x -的图象，再将图象向右平移一个单位，即可得到函数()()()11f x f x -=--的图象． 故选：D ．考点二：求函数的零点或零点所在区间判断【典例例题】例1.已知函数()f x 满足()()1f x f x =--，且0x 是()e x y f x =+的一个零点，则0x -一定是下列函数的零点的是（ ）A ．()e 1xy f x =-B ．()e 1xy f x =--C ．()1e xy f x =+ D ．()e xy f x =-【答案】A 【详解】 因为()()1f x f x =--，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数．由已知可得()00e 0x f x +=，即()00e x f x =-．所以()00e 1x f x -=-，所以()00e 1x f x --=，故0x -一定是()e 1x y f x =-的零点，故A 正确，B错误； 又由()00e1x f x --=，得()001e x f x --=，所以()0011120e e e e x x x x f x -----+=+=≠，故C 错误；由()()000000e e e e 0x x x x f x f x -----=--=-≠，故D 错误.故选：A ．例2.函数()e 26xf x x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．()3,4B ．()2,3C ．()1,2D ．()0,1【答案】C 【详解】函数()e 26x f x x =+- 是R 上的连续增函数, 2(1)e 40,(2)e 20f f =-<=->,可得(1)(2)0f f <,所以函数()f x 的零点所在的区间是(1,2). 故选：C【方法技巧与总结】求函数()x f 零点的方法：（1）代数法，即求方程()0=x f 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数()x f y =的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. 【变式训练】1.已知函数()()21,01,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则1()2y f x =-的所有零点之和为（ ）A B C ．2 D ．0【答案】D 【详解】0x ≥时，由21(1)02x --=得1x =±，0x <时，由1102x +-=得12x =-或32x =-，所以四个零点和为1311022-=． 故选：D ．2．已知函数()24x f x x =+-，()e 4x g x x =+-，()ln 4h x x x =+-的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】C 【详解】 由已知条件得()f x 的零点可以看成2x y =与4y x =-的交点的横坐标，()g x 的零点可以看成e x y =与4y x =-的交点的横坐标，()h x 的零点可以看成ln y x =与4y x =-的交点的横坐标，在同一坐标系分别画出2x y =，e x y =，ln y x =，4y x =-的函数图象，如下图所示, 可知c a b >>， 故选：C .3.（2022·广东广州·二模）函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________． 【答案】9【详解】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令sin y x =π，ln 23y x =-， 显然sin y x =π与ln 23y x =-的图象都关于直线32x =对称， 在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ， 这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=， 所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9. 故答案为：94．若2log 3x x ⋅=，23y y ⋅=，ln 3z z ⋅=，则x 、y 、z 由小到大的顺序是___________. 【答案】y x z << 【详解】依题意，0,0,0x y z >>>，223log 3log x x x x ⋅=⇔=，3232y yy y ⋅=⇔=，ln 3z z ⋅=3ln z z⇔=，因此，2log 3x x ⋅=成立的x 值是函数12log y x =与43y x=的图象交点的横坐标1t ， 23y y ⋅=成立的y 值是函数22x y =与43y x=的图象交点的横坐标2t ， ln 3z z ⋅=成立的z 值是函数3ln y x =与43y x=的图象交点的横坐标3t ， 在同一坐标系内作出函数1223log ,2,ln xy x y y x ===，43y x=的图象，如图，观察图象得：213t t t <<，即y x z <<，所以x 、y 、z 由小到大的顺序是y x z <<. 故答案为：y x z <<6.函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（ ） A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】2()log f x x x =+为(0,)+∞上的递增函数，222111112log log 3log 03333332f ⎛⎫=+=-<-< ⎪⎝⎭=-，21111log 02222f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，()22222251log log 353log 333333f ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭()221log 32log 2703=->()()22222333511log log 354log 3log log 04444443281f ⎛⎫=+=-+=-+=-+> ⎪⎝⎭，则函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为12,23⎛⎫⎪⎝⎭故选：B考点三：函数零点个数的判断【典例例题】例1.函数()32,03e ,0xx x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩的零点个数为___________. 【答案】2 【详解】当0x ≤时，令320x +=，解得x =0<，此时有1个零点；当0x >时， ()3e x f x x =-+，显然()f x 单调递增，又1215e 0,(1)2e>022f f ⎛⎫=-+<=-+ ⎪⎝⎭，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.故答案为：2.例2.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（ ）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,e 1-【答案】B 【详解】∴()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数， 故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<. 故选：B.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.2.利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案3.利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。

初中数学教案：函数图像和方程的关系一、引言函数图像和方程的关系是初中数学重要的内容之一，它涉及到了函数的概念及其图像和方程之间的联系。

了解和掌握函数图像和方程的关系对于初中生来说是非常重要的，不仅可以帮助他们更好地理解函数的性质，还可以提高解决问题的能力。

本教案将介绍函数图像和方程的关系的概念和性质，并提供相应的教学活动和练习，以帮助学生巩固所学知识。

二、函数图像与方程的关系1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

在数学中，函数可以表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数的定义域和值域，即函数的图像。

2. 图像与方程的联系函数的图像可以通过方程来描述。

对于一元函数来说，可以将函数的方程表示为y=f(x)，其中x表示自变量的取值范围，y表示对应的因变量值。

函数图像上的每个点都满足函数的方程。

通过观察和分析函数的方程，我们可以得到函数的特性和性质，进而绘制出函数的图像。

三、教学活动1. 导入活动 - 探索函数图像与方程的关系教师可以提供一些简单的函数方程，让学生分析方程与图像之间的联系。

例如，给出y=x+1和y=x^2的方程，让学生画出相应的图像，并观察图像与方程之间的关系。

2. 实验活动 - 用户外运动模型探究函数图像与方程的关系教师可以引导学生进行一个实验活动，通过模拟小车运动的数据来探究速度和时间的关系。

让学生记录小车在不同时间下的位置，并根据数据绘制速度-时间图和位置-时间图。

通过分析图像，学生可以发现速度与位置的关系，并将其表示为函数的方程。

3. 讨论活动 - 探索不同函数图像的方程教师将一些函数图像分发给学生，让他们讨论这些图像的特点，并尝试找出与之对应的方程。

通过讨论，学生可以深入理解函数图像和方程之间的联系，并掌握函数的基本性质。

四、练习1. 基础练习a) 已知函数图像为抛物线，方程为y=ax^2+bx+c，求该抛物线的顶点坐标和对称轴方程。

一次函数与方程一次函数和方程是高中数学中的重要内容，其涉及到直线的方程、斜率、截距等概念。

以下就一次函数和方程进行详细介绍。

一、一次函数一次函数是指函数中只有一项是一次幂的函数，即f(x) = kx + b 的形式，其中k和b是常数。

它的图像为一条直线，称为直线函数，其自变量为x，因变量为y。

其中，k叫做直线的斜率，表示直线的倾斜程度；b叫做直线的截距，表示直线与y轴的交点。

在一次函数中，自变量和因变量通常分别称为x和y，其中x代表自变量，y代表因变量。

1.一次函数的定义域和值域一次函数的定义域是全体实数集，即Df = R。

而一次函数的值域可以通过观察斜率来推断，当k>0时，y的值域为[0,+∞)，当k<0时，y的值域为(-∞,0]，当k=0时，y的值域为b。

也可以通过求导的方式来确定一次函数的值域。

2.一次函数的性质（1）一次函数是一种线性函数，其图像为一条直线。

（2）斜率为正表示函数单调递增，斜率为负表示函数单调递减。

（3）当斜率k=0时，函数图像为一条水平直线，函数为常函数，截距b为函数的值。

（4）当截距b=0时，函数图像经过原点，称该函数为原点在原处的函数。

（5）当截距b不等于0时，直线与y轴相交于点(0,b)，其y坐标为截距b，斜率为k。

二、一次方程一次方程是指方程中只有一项是一次幂的方程，即ax+b=0的形式，其中a和b是常数，且a不等于0。

一次方程的解为x=-b/a，表示方程的解在x轴上的位置。

一次方程中，未知量通常表示为x。

1.一次方程的解法（1）移项法：将方程中已知项移至等式的另一侧，使未知量单独一侧，然后相应地整合方程的两侧，得到未知量的解。

（2）消元法：将方程中含有未知量的项相消，使得未知量单独一项，然后相应地整合方程的两侧，得到未知量的解。

（3）代入法：将方程中一个已知量代入另一个方程中，用代入公式求出未知量的解。

2.一次方程的性质（1）可以通过移项将一次方程变化为确定的形式，形式为x=b/a。

函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。

实际上，他们之间的联系非常紧密。

如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。

★函数与方程之间的关系。

先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。

对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。

如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。

我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。

所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。

这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。

这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。

举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。

令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。

接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。

如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。

在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。

有时候只需要作出大致图像即可。

既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。

很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。

专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质【知识点梳理】 知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a-+=．① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =， 则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a-+---=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 知识点3：二次函数图像的伸缩变换问题 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 先列表：再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0) 知识点4：二次函数图像的平移变换函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋bx a＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．【题型归纳目录】 题型1：根的判别式题型2：根与系数的关系（韦达定理） 题型3：二次函数图像的伸缩变换 题型4：二次函数图像的平移变换【典型例题】 题型1：根的判别式例1．已知关于x 的一元二次方程(k -2)x 2-2kx +k +1=0，若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 【答案】2k -＞且2k ≠ 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式大于0即可求解． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22210()k x kx k --++=有两个不相等的实数根， ∴224(2)4(2)(1)480b ac k k k k ∆=-=---+=+>，且20k -≠； 解得，2k -＞且2k ≠． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 例2．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2-4mx +4m 2-9＝0的两实数根． (1)若这个方程有一个根为-1，求m 的值；(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m 的取值范围；(3)已知Rt △ABC 的一边长为7，x 1，x 2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m 的值．【答案】(1)m的值为1或-2 (2)-2＜m＜1(3)m m＝49 24【解析】【分析】（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；（3）首先用m表示出方程的两根，分直角△ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理求出m的值.(1)解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，∴将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．解得m＝1或m＝-2．∴m的值为1或-2．(2)解：∵x2-4mx+4m2＝9，∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．∴x1＝2m+3，x2＝2m-3．∵2m+3＞2m-3，∴231 231 mm+-⎧⎨--⎩＞＜解得-2＜m＜1．∴m的取值范围是-2＜m＜1．(3)解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．若Rt△ABC的斜边长为7，则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．解得m＝∵边长必须是正数，∴m若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．解得m＝49 24．综上所述，m m ＝4924．【点睛】本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.例3．关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值． 【答案】(1)94k ≤ (2)32m =【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；（2）根据（1）确定2k =，从而求出方程2320x x -+=的解为121=2x x =，，然后分相同的根为1x =时和2x =时，两种情况讨论求解即可． (1)解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根， ∴()22=4=340b ac k ∆---≥， ∴94k ≤； (2) 解：∵94k ≤， k 是符合条件的最大整数， ∴2k =，∴方程230x x k -+=即为2320x x -+=， 解方程2320x x -+=得：121=2x x =，，∵一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根 当这个相同的根为1x =时， ∴1130m m -++-=， ∴32m =； 当这个相同的根为2x =时，∴()4123m m -++-， ∴1m =，∵当1m =时，方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0即为20x -=不是一元二次方程， ∴32m =． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解等等，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．例4．已知关于x 的一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根． 【答案】(1)14m ＞ 且0m ≠ (2)另一个根为32【解析】 【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可． （2）将x =0代入原方程，求出m ，再解方程即可． (1)解：∵2(21)20mx m x m --+-=是一元二次方程， 0m ∴≠ ，∵一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数，240b ac ＞ ，即：2(21)4(2)0m m m ＞ ，整理得：410m ＞ ， 14m ＞， 综上所述：14m ＞ 且0m ≠． (2)∵方程有一个根是0，将x =0代入方程得：20m -= ，2m ∴= ，则原方程为：2230x x -= ，解得：1230,2x x ==， ∴方程的另一个根为32．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：0＞方程有两个不相等的实数根 ， =0方程有两个相等的实数根，0＜方程没有实数根，方程有实数根．熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0是易错点． 例5．已知关于x 的一元二次方程2240x mx m -+-=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)2x =是方程的一个根吗？若方程有一个实数根为负数，求正整数m 的值． 【答案】(1)见解析(2)x =2是方程的一个根，1m = 【解析】 【分析】（1）证明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可． (1)证明：∵Δ=（-m ）2-4×（2m -4） =m 2-8m +16 =（m -4）2， ∵（m -4）2≥0，∴方程总有两个实数根． (2)解：把x =2代入方程左边，得左边=22-2m +2m -4=0=右边， ∴x =2是方程x 2-mx +2m -4=0的一个根； 用因式分解法解此方程x 2-mx +2m -4=0， 可得（x -2）（x -m +2）=0， 解得x 1=2，x 2=m -2，若方程有一个根为负数，则m -2＜0， 故m ＜2， ∴正整数m =1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．题型2：根与系数的关系（韦达定理）例6．已知关于x 的一元二次方程()22120mx m x m ++++=有两个不相等的实数根1x ，2x ．(1)求m 的取值范围；(2)若120x x ⋅=，求方程的两个根． 【答案】(1)14m <且0m ≠ (2)10x =，232x =-【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，从而到关于m 的不等式，求出m 的范围即可；（2）利用根与系数的关系可得122m x x m+⋅=，根据120x x ⋅=可得关于m 的方程，整理后即可解出m 的值，最后求出方程的根． (1)解：∵关于x 的一元二次方程()22120mx m x m ++++=有两个不相等的实数根，∴0>且0m ≠，即()()221420m m m +-⨯⨯+>且0m ≠， 解得：14m <且0m ≠． (2)∵关于x 的一元二次方程()22120mx m x m ++++=有两个不相等的实数根1x ，2x ，∴122m x x m+⋅=， ∵120x x ⋅=， ∴20m m+=， 解得：2m =-，经检验：2m =-是分式方程的解， ∴当2m =-时，方程为：2230x x --=， 解得：10x =，232x =-．【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程以及分式方程等知识．关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：⑴0>⇔方程有两个不相等的实数根；⑵0=⇔方程有两个相等的实数根；⑶0<⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：1x ，2x 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a⋅=． 例7．已知关于x 的一元二次方程2(31)210ax a x a -+++=． (1)求证：无论a 为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根分别为1x 、2x ，且212x x -=，求a 的值． 【答案】(1)见解析；(2)11a =，213a =-【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的变形求值即可． (1)解：∵一元二次方程2(31)210ax a x a -+++=，2(31)4(21)a a a ∆=+-+，221a a =++2(1)0a =+≥∴无论a 为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)解：依题意得，1231a a x x ++=，1221a ax x +=， ∵212x x -=，∴21212()44x x x x +-=，∴2314(21)()4a a a a++-=，即23210a a --=， （3a +1）（a -1）=0，解得11a =，213a =-；【点睛】本题考查了一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-及根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a=．例8．若α=20x x t -+=的根；(1)则方程的另外一个根β=______，t =______；(2)求()()323211ααββ-+-+的值．【答案】1- (2)1【解析】【分析】 （1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）根据,αβ是为一元二次方程210x x --=的根，可得3232αααβββ-=-=，，代入代数式化简，进而根据一元二次方程根与系数的关系代入求解即可．(1)解：∵α=20x x t -+=的根，设方程的另外一个根为β， ∴1βα+=1β∴==1t αβ∴=⋅==-1-； (2) ,αβ是为一元二次方程210x x --=的根210αα∴--=，210ββ--=21αα∴-=，21ββ-=，0α≠，0β≠，32ααα∴-=，32βββ-=，∴()()323211ααββ-+-+()()11αβ=++1αβαβ=+++1αβ+=，1αβ=-，∴原式1111=-+=【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的意义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．例9．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m --+=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若此方程的两实数根12,x x 满足()()12117x x --=，求m 的值．【答案】(1)34m <(2)1m =-【解析】【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则0∆>，由此求得m 的取值范围；（2）由12(1)(1)7x x --=得1212()17x x x x -++=，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解．(1) 解：关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m --+=有两个不相等的实数根， ∴22(23)40m m ∆=-->， 解得34m <． (2)解：根据题意得，212x x m =，1223x x m +=-．12(1)(1)7x x --=，∴1212()17x x x x -++=，即2(23)17m m --+=，解得1m =-或3m =， 又34m <， ∴1m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握两根之和与两根之积的表达式是解决本题的关键．例10．已知关于x 的一元二次方程22430x kx k -+=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若0k >，且该方程的两个实数根的差为3，求k 的值．【答案】(1)见解析 (2)32【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出24=b ac ∆-结合偶次方的非负性可得出Δ≥0，进而可证出：无论k 为何实数，方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=4k ，x 1x 2=3k 2，结合（x 1-x 2）2=9，即可得出关于k 的方程，解之即可得出结论．(1)∵222(4)4134k k k ∆=-⨯⨯=，且无论k 为何实数，240k ≥∴Δ≥0∴该方程总有两个实数根；(2)方法一：设该方程两个实数根分别为()1212,x x x x ≥，则有124x x k +=，1223x x k ⋅=123x x -=则()2129x x -= ()2121249x x x x ⋅+-= 2216129k k -=294k = 解得：32k =± ∵0k >． ∴32k 方法二：()()30x k x k --=解得：1x k =，23x k = 由题意得：123x x -=33k k -=，解得：32k =± ∵0k >．∴32k 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ=0时，一元二次方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x 1-x 2）2=1，找出关于k 的方程．题型3：二次函数图像的伸缩变换例11．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．(1)若点A 的坐标为（4，0）、点B 的坐标为（﹣1，0），求a +b 的值；(2)若y ＝ax 2+bx ﹣2的图象的顶点在第四象限，且点B 的坐标为（﹣1，0），当a +b 为整数时，求a 的值．【答案】(1)1a b +=- (2)13,1,22a = 【解析】【分析】（1）代入A 、B 坐标，求出a 、b 的值即可得解；（2）根据抛物线顶点在第四象限，又与x 轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即a ＞0，根据顶点在第四象限得出02b a-＞，求出a 的取值范围，进而得出a +b 的取值范围，即可求解． (1)代入A 、B 坐标，可得： 1642020a b a b +-=⎧⎨--=⎩， 解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 则a +b =-1；(2)∵抛物线顶点在第四象限，又与x 轴有两个交点，∴抛物线的开口向上，即a ＞0，且抛物线对称轴02b xa＞， ∵抛物线过B 点(-1,0)，∴代入B 点坐标可得：a -b -2=0，则有b =a -2，∴2022b a a a --=-＞， 解得a ＜2，∴02a ＜＜，∵a +b =a +a -2=2a -2，∴2222a --＜＜，∵a +b 是整数，∴a +b =a +a -2=2a -2为整数，∴2a -2可以为-1,0,1，∴a 可以为12，1，32． 【点睛】本题考查了求解抛物线与x 轴的交点、抛物线函数图象的坐标特征等知识，根据抛物线顶点在第四象限，又与x 轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即a ＞0，是解答本题的关键．例12．抛物线212y x bx c =-++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于点C ，对称轴为直线32x =-．(1)如图1，若点C 坐标为(0,2)，则b =_______，c =_________；(2)若点P 为第二象限抛物线上一动点，在（1）的条件下，求四边形ABCP 面积最大时，点P 坐标和四边形ABCP 的最大面积；(3)如图2，点D 为抛物线的顶点，过点O 作MN CD ∥别交抛物线于点M ，N ，当3MN CD =时，求c 的值．【答案】(1)32-，2； (2)点P （-2，3），四边形ABCP 的最大面积为9； (3)94． 【解析】【分析】（1）根据解析式和对称轴可求出b ，根据C 点坐标即可求出ｃ；（2）求出1:22AC l y x =+，过点P 作x 轴的垂线，交AC 于点Q ，设点213(,2)22P x x x --+，(0)x <，求出24(0)APC S x x x =--<△，进一步求出S 四边形ABCP 22=45(2)9APC ABC S S x x x +=--+=-++△△，即可求出结果；（3）求出直线CD 的解析式为：34y x c =-+，进一步可得直线MN 的解析式为：34y x =-，分别过C ，N 作x 轴的平行线，过D ，M 作y 轴的平行线交于点G ，H ，证明MHN DGC ∽△△，即可求出结果． (1)解：由题意可知：∵322b x a =-=-，∴32b =-， ∵点C 坐标为(0,2)，∴2c =；(2) 解：令2130222y x x ==--+，整理得(1)(4)0x x -+=， 解得1x =或4x =-，∴(4,0)A -，(1,0)B ，∵(0,2)C ，∴5AB =，2OC =， ∴152ABC S AB OC =⨯=△， ∵(4,0)A -，(0,2)C ， ∴1:22AC l y x =+， 过点P 作x 轴的垂线，交AC 于点Q ，设点213(,2)22P x x x --+，(0)x <则点1(,2)2Q x x +， 2213112(2)22222PQ x x x x x =--+-+=--，∴21()4(0)2APC APQ PCQ C A S S S PQ x x x x x =+=⨯-=--<△△△， ∴S 四边形ABCP 22=45(2)9APC ABC S S x x x +=--+=-++△△，∵10-<，函数图象开口向下，又0x <，∴当2x =-时，S 四边形ABCP 最大 = 9，此时点(2,3)P -，∴当点(2,3)P -时，四边形ABCP 的最大面积，最大面积为9；(3) 解：∵221313()222298y x x c x c =--+=-+++， ∴39,28D c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－， 又∵(0,)C c ，∴设直线CD 的解析式为1y kx b =+（k≠0） ，代入点D ，C 的坐标得119382c b c k b =⎧⎪⎨+=-+⎪⎩， 解得134k b c⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线CD 的解析式为：34y x c =-+， ∵MN CD ∥，∴直线MN 的解析式为：34y x =-， 由题意，联立2132234y x x c y x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 得：213024x x c +-=，解得：x =932c ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，由题意，N xM x ，M N x x -= 分别过C ，N 作x 轴的平行线，过D ，M 作y 轴的平行线交于点G ，H ，∴G H ∠=∠，DCG MOA MNH ∠=∠=∠，∴MHN DGC ∽△△， ∴CG CD NH MN=， ∵ MN ＝3CD ， ∴13CG CD NH MN ==， ∵39(,)28D c -+，(0,)C c ， ∴32CG = ， ∴39322NH =⨯= ，又∵M N NH x x =- ∴94c =． 【点睛】本题考查二次函数综合，难度较大，解题的关键是熟练掌握二次函数图象及性质，一次函数，相似三角形的判定及性质知识点．例13．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0ab ≠）．当2b x a=-时，函数y 有最小值1-．(1)若该函数图象的对称轴为直线1x =，并且经过()0,0点，求该函数的表达式．(2)若一次函数y ax c =+的图象经过二次函数2y ax bx c =++图象的顶点．①求该二次函数图象的顶点坐标．②若()(),,,a p c q 是该二次函数图象上的两点，求证：p q >．【答案】(1)22y x x =-(2)①顶点坐标为（-1，-1）；②证明见解析【解析】【分析】（1）先确定顶点坐标，再设出该函数的顶点式解析式，将点（0,0）的坐标代入解析式中求出a ，即可求解；（2）①将顶点1),2(b a --代入y ax c =+，再利用2414ac b a-=-，进行转化后，求出12b a -=-即可求解； ②设函数表达式为()211y a x =+-，代入两点坐标后得到p 和q 的表达式，利用作差法比较大小即可．(1)解：由题意，得函数图象的顶点坐标为()1,1-，所以可设函数表达式为()211y a x =--，把()0,0代入，解得1a =，所求函数的表达式为22y x x =-．(2) ①由题意，将顶点1),2(b a --代入y ax c =+， 化简，得12b c =+． 又因为2414ac b a-=-， 所以2b a =，1c a =-．所以12b a-=-， 所以顶点坐标为()1,1--． ②由①可知，函数顶点坐标为()1,1--，1c a =-，所以可设函数表达式为()211y a x =+-．所以()()22311,1111p a a q a a a =+-=-+-=-． ()()2321112p q a a a a a -=+---=+． 因为函数有最小值，所以0a >，所以0p q ->，所以p q >．本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数及其图象、作差法比较大小等，解题的关键是牢记函数的顶点式解析式和顶点坐标公式等．例14．已知点P 是二次函数()22111y x m m m =--++--图像的顶点．(1)小明发现，对m 取不同的值时，点P 的位置也不同，但是这些点都在某一个函数的图像上，请协助小明完成对这个函数的表达式的探究：①将下表填写完整：②描出表格中的五个点，猜想这些点在哪个函数的图像上？求出这个图像对应的函数表达式，并加以验证，(2)若过点（0，2），且平行于x 轴的直线与()22111y x m m m =--++--的图像有两个交点A 和B ，与②中得到的函数的图像有两个交点C 和D ，当AB CD =时，直接写出m 的值等于________；(3)若2m ≥，点Q 在二次函数()22111y x m m m =--++--的图像上，横坐标为m ，点E 在②中得到的函数的图像上，当90EPQ ∠=︒时，求出E 点的横坐标（用含m 的代数式表示）．【答案】(1)①（0，﹣1），（1，1），（2，5），表格见解析，②在二次函数图像上，二次函数表达式是21y x x =+-，验证见解析；； (3)2322m m -+【解析】（1）点P 是二次函数()22111y x m m m =--++--[]2(1)x m =---21m m +--图像的顶点，得到点P 的坐标表示为（m －1，21m m --），分别带入m 的值求解P 点的坐标，描出表格中的五个点，猜想这些点在一个二次函数图像上，设二次函数的表示为2y ax bx c =++，把（0，﹣1），（1，1），（2，5）分别代入，利用待定系数法求出函数表达式，把x ＝m －1代入函数表达式验证即可；（2）根据题意求出AB 和CD 的长度，利用AB ＝CD ，列出方程并解方程即可求得m 的值；（3）求出点Q 的坐标，设点E 的坐标为（t ，21t t +-），利用两点间距离公式表示出2PE 、2PQ 、2QE ，由勾股定理得到2PE ＋2PQ ＝2QE ，整理后即可表示出点E 的横坐标(1)解：∵点P 是二次函数()22111y x m m m =--++--[]2(1)x m =---21m m +--图像的顶点 ，∴点P 的坐标表示为（m －1，21m m --）当m ＝1时，m －1＝0，21m m --＝21111--=-，此时P 点坐标是（0，﹣1）；当m ＝2时，m －1＝1，21m m --＝22211--=，此时P 点坐标是（1,1）；当m ＝3时，m －1＝2，21m m --＝23315--=，此时P 点坐标是（2,5）；填写表格如下：故答案为：（0，﹣1），（1，1），（2，5）；②描出表格中的五个点，如图所示，猜想这些点在一个二次函数图像上，设二次函数的表示为2y ax bx c =++，把（0，﹣1），（1，1），（2，5）分别代入得11425c a b c a a c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得111a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴函数表达式为21y x x =+-当x ＝m －1时，2221(1)111y x x m m m m =+-=-+--=--，∴点P 在二次函数21y x x =+-的图像上，猜想成立．(2)解：∵过点（0，2），且平行于x 轴的直线与()22111y x m m m =--++--的图像有两个交点A 和B ， ∴当y ＝2时，()22211x m m m =--++--，方程整理得()2213x m m m -+=--解得11x m =-21x m =-∴AB ＝｜12x x -｜＝∵过点（0，2），且平行于x 轴的直线与抛物线21y x x =+-有两个交点C 和D ，∴当y ＝2时，221x x =+-，解得1x =，2x CD ＝｜12x x -∵AB ＝CD∴整理得244250m m --=解得1m =2m =； (3)解：∵点Q 在二次函数()22111y x m m m =--++--的图像上，横坐标为m ，∴当x ＝m 时，y ＝()222112m m m m m m --++--=--，∴点Q 的坐标是（m ，22m m --），∵点E 在②中得到的函数的图像上，∴可设点E 的坐标为（t ，21t t +-）由（1）知点P 的坐标表示为（m －1，21m m --），则22222(1)[(1)(1)]PE m t m m t t =--+---+-，22222(1)[(1)(2)]2PQ m m m m m m =--+-----=，22222()[(2)(1)]QE m t m m t t =-+---+-，∵90EPQ ∠=︒∴△EPQ 是QE 为斜边的直角三角形，由勾股定理得2PE ＋2PQ ＝2QE ，∴2222(1)[(1)(1)]m t m m t t --+---+-＋2＝2222()[(2)(1)]m t m m t t -+---+-解得t ＝2322m m -+． ∴点E 的横坐标是2322m m -+． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的顶点式、待定系数法求二次函数解析式、一元二次方程的解法、坐标系中两点间距离、勾股定理等知识，运算量较大，具备良好的计算能力是解答此题的关键． 题型4：二次函数图像的平移变换例15．已知关于x 的方程ax 2+（3a +1）x +3＝0．(1)求证：无论a 取任何实数时，该方程总有实数根；(2)若抛物线y ＝ax 2+（3a +1）x +3的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且a 为正整数，求a 值以及此时抛物线的顶点H 的坐标；(3)在（2）的条件下，直线y ＝﹣x +5与y 轴交于点C ，与直线OH 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h 的值或取值范围．【答案】(1)证明过程见详解．(2)a ＝1，(﹣2，﹣1)(3)h ＝72或﹣52≤h<2 【解析】【分析】（1）分别讨论当a ＝0和a ≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断； （2）令y ＝0，则 ax 2+（3a +1）x +3＝0，求出两根，再根据抛物线y ＝ax 2+（3a +1）x +3的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且a 为正整数，求出a 的值，即可求顶点坐标；（3）分两种情况讨论，通过特殊位置可求h 的范围，由平移的抛物线与直线CD （含端点C ）只有一个公共点，联立方程组可求h 的值，即可求解．(1)解：当a ＝0时，原方程化为x +3＝0，此时方程有实数根 x ＝﹣3．当a ≠0时，原方程为一元二次方程．∵∆＝（3a +1）2﹣12a ＝9a 2﹣6a +1＝（3a ﹣1）2≥0．∴此时方程有两个实数根．综上，不论a 为任何实数时，方程 ax 2+（3a +1）x +3＝0总有实数根．(2)∵令y ＝0，则 ax 2+（3a +1）x +3＝0．解得 x 1＝﹣3，x 2＝﹣1a ．∵抛物线y ＝ax 2+（3a +1）x +3的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且a 为正整数，∴a ＝1．∴抛物线的解析式为y ＝x 2+4x +3＝（x +2）2﹣1．∴顶点H 坐标为（﹣2，﹣1）；(3)∵点O （0，0），点H （﹣2，﹣1）∴直线OH 的解析式为：y ＝12x ，∵现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．∴设平移后的抛物线顶点坐标为（h ，12h ），∴解析式为：y ＝（x ﹣h ）2+12h ，∵直线y ＝﹣x +5与y 轴交于点C ，∴点C 坐标为（0，5）当抛物线经过点C 时，∴5＝（0﹣h ）2+12h ，∴h 1＝﹣52，h 2＝2， ∴当﹣52≤h<2时，平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点； 当平移的抛物线与直线CD （含端点C ）只有一个公共点， 联立方程组可得251()2y x y x h h =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，∴x 2+（1﹣2h ）x +h 2+12h ﹣5＝0，∴∆＝（1﹣2h ）2﹣4（h 2+12h ﹣5）＝0， ∴h ＝72， ∴抛物线y ＝（x ﹣72）2+74与射线CD 的唯一交点为（3，2），符合题意； 综上所述：平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，顶点横坐标h ＝72或﹣52≤h<2． 【点睛】此题考查了根的判别式、二次函数与x 轴的交点问题、二次函数与不等式的关系；解题的关键是第（3）题要根据CD 是射线，分情况讨论．例16．已知抛物线()2430y ax ax a =-+≠的图象经过点()2,0A -，过点A 作直线l 交抛物线于点()4,B m ．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)将抛物线向下平移()0n n >个单位，使顶点落在直线l 上，求m ，n 的值．【答案】(1)2134y x x =-++；()2,4(2)3；2【解析】【分析】（1）把点()2,0A -代入()2430y ax ax a =-+≠，求出a 的值即可；再运用顶点坐标公式求出顶点坐标即可； （2）把C ()4,m 代入2134y x x =-++可求出m 的值；再运用待定系数法求出直线AB 的解析式，从而可求出平移后押物线的顶点坐标，进一步可得结论．(1)将()2,0A -代入243y ax ax =-+得：0483a a =++，解得14a =-， ∴抛物线的函数表达式为2134y x x =-++， ∵121224b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，2214314441444ac b a ⎛⎫⨯-⨯- ⎪-⎝⎭==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， ∴顶点坐标为()2,4；(2)把C ()4,m 代入2134y x x =-++得， 4433m =-++=，设直线AB 的解析式为y kx b =+，将()2,0A -，()4,3B 代入y kx b =+得0234k b k b =-+⎧⎨=+⎩， 解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 的解析式为112y x =+， ∵顶点的横坐标为2，∴把2x =代入112y x =+得：2y =， ∴422n =-=．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正确理解题意是解答本题的关键．例17．将抛物线2(0)y ax a =≠向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P 是抛物线H 上的一个动点．(1)求抛物线H 的表达式；(2)如图1，点P 在线段AC 上方的抛物线H 上运动（不与A ，C 重合），过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，PD 交AC 于点E ．作PF AC ⊥，垂足为F ，求PEF 的面积的最大值；(3)如图，点M 是抛物线H 的对称轴L 上的一个动点，是否存在点M ，使得以点A ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)2(1)4y x =-++ (2)8164(3)存在点1M ⎛- ⎝⎭，2M ⎛- ⎝⎭，3(1,2)M --，4(1,4)M - 【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线2:(1)4H y a x =++，根据点A 的坐标，待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据题意求得直线AC 的解析式为3y x ，设()2,23P m m m --+，则(,3)E m m +，进而根据二次函数的性质求得PE 的最大值，进而根据21124PEF S PF EF PE =⋅=即可求解； （3）设(1,)M m -，(3,0)A -，(0,3)C ，则224MA m =+，221(3)MC m =+-，218AC =，分①当90AMC ∠=︒时，222MA MC AC +=，即2241(3)18m m +++-=，②当90MAC ∠=︒时，222MA AC MC +=，即224181(3)m m ++=+-，③当90MCA ∠=︒时，222MA MC AC =+即224181(3)m m +=++-，解方程求解即可．(1)解：由题意得抛物线的顶点坐标为(1,4)-，∴抛物线2:(1)4H y a x =++，将(3,0)A -代入，得：2(31)40a -++=，解得：1a =-，∴抛物线H 的表达式为2(1)4y x =-++；(2)如图1，由（1）知：223y x x =--+，令0x =，得3y =，∴(0,3)C ，设直线AC 的解析式为y mx n =+，∵(3,0),(0,3)A c -，∴303m n n -+=⎧⎨=⎩， 解得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为3y x ，设()2,23P m m m --+，则(,3)E m m +， ∴2223923(3)324PE m m m m m m ⎛⎫=--+-+=--=-++ ⎪⎝⎭， ∵10-<， ∴当32m =-时，PE 有最大值94， ∵3,90OA OC AOC ==∠=︒，∴AOC △是等腰直角三角形，∴45ACO ∠=︒，∵PD AB ⊥，∴90ADP ∠=︒，∴ADP AOC ∠=∠，∴PD //OC ，∴45PEF ACO ∠=∠=︒，∵PF AC ⊥，∴PEF 是等腰直角三角形，∴PF EF ==， ∴21124PEF S PF EF PE =⋅=， ∴当32m =-时，219814464PEF S ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭最大值； (3)∵2y x 2x 3=-++．∴设(1,)M m -，(3,0)A -，(0,3)C ∴224MA m =+，221(3)MC m =+-，218AC = ①当90AMC ∠=︒时，222MA MC AC += 即2241(3)18m m +++-=，解得m =∴1M ⎛- ⎝⎭，2M ⎛- ⎝⎭②当90MAC ∠=︒时，222MA AC MC +=，即224181(3)m m ++=+- 解得2m =-，即3(1,2)M --③当90MCA ∠=︒时，222MA MC AC =+即224181(3)m m +=++- 解得4m =，即4(1,4)M -综上所述：在抛物线的对称轴上存在点1M ⎛- ⎝⎭，2M ⎛- ⎝⎭，3(1,2)M --，4(1,4)M -，使以A 、M 、C 为顶点的三角形为直角三角形．【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，直角三角形问题，勾股定理，解一元二次方程，掌握二次函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，并能分类讨是解题的关键．例18．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点(0,3)C ，且3OC OA =．点E 是对称轴左侧的抛物线上一点，过点E 作EF x ∥轴，交抛物线于点F ．(1)若3EF =，求抛物线的解析式以及点E 的坐标；(2)若点E 沿抛物线向下移动，使得对应的EF 的取值范围为1213EF ≤≤，求移动过程中点F 的纵坐标F y 的取值范围．【答案】(1)2y x 2x 3=-++；17,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)153324F y -≤≤- 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出A 的坐标，用待定系数法即可求出抛物线解析式；设点()()12,,,E x n F x n ，利用E 是对称轴左侧的抛物线上一点，EF =3，得到213x x -=，利用抛物线的对称轴为直线x =1，得到1212x x +=，联立即可求得1x 的值，再代入抛物线即可求出答案；（2）设点()()12,,,F F E x y F x y ，利用E 是对称轴左侧的抛物线上一点，得到EF =21x x -，利用抛物线的对称轴为直线x =1，得到1212x x +=，则122x x =-，可得222EF x =-，利用已知条件求出2x 的取值范围，结合图象，再利用抛物线解析式即可得出结论． (1)解：点(0,3)C ，3OC ∴=，3OC OA =，1OA ∴=， ∴点(1,0)A -，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点(1,0)A -，与y 轴交于点(0,3)C ，230(1)(1)c b c =⎧⎨=--+⨯-+⎩解得：23b c =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++， EF x ∥轴，∴设点()()12,,,E x n F x n ，点E 是对称轴左侧的抛物线上一点，3EF =， 213x x ∴-=，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴：直线1x =，1212x x +∴=， ∴2112312x x x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：121252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当112x =-时，211723224n ⎛⎫⎛⎫=--+⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴点17,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)EF x ∥轴，∴设点()()12,,,F F E x y F x y ，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴：直线1x =， 1212x x +∴=， 122x x ∴=-，()21222222EF x x x x x ∴=-=--=-， 1213EF ≤≤，2122213x ∴≤-≤，21572x ∴≤，当7x =时，2F 727332y =-+⨯+=-，当152x =时，2F 151515323224y ⎛⎫=-+⨯+=- ⎪⎝⎭，∴移动过程中点F 的纵坐标F y 的取值范围：153324F y -≤≤-．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法确定二次函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x 轴的交点，配方法求得抛物线的对称轴，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 例19．已知抛物线2:=++l y x bx c 与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，其对称轴为直线26x AB ==，． (1)抛物线l 的函数表达式为__________．(2)设抛物线l 与y 轴交于点C ，直线2x =与BC 的交点为M ．将抛物线l 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线l '，l '与直线2x =交于点N ．当点N 在点M 下方时，m 的取值范围是___________．【答案】(1)245y x x =--(2)0m << 【解析】 【分析】（1）由对称轴为直线2x =，6AB =，可得,A B 坐标，将,A B 坐标代入2y x bx c =++，求出,b c 的值，进而可得抛物线l 的函数表达式；（2）如图，将0x =代入245y x x =--，求出C 点坐标，设直线BC 的解析式为y kx b =+，待定系数法求解析式为5y x =-，将2x =代入求出M 的点坐标，平移后的l '的解析式为()229y x m =-+-，设()2,N a ，3a <-，。

初中数学教案：函数与方程的相互转化函数与方程的相互转化引言：在学习数学的过程中，函数和方程是我们经常接触到的两个概念。

函数可以看作是一种特殊的方程，而方程则可以通过构建适当的函数来解决。

在初中阶段，学生们需要掌握函数与方程之间的转化关系，这不仅有助于他们对数学概念的理解，还可以提高他们解决实际问题的能力。

本教案将重点介绍初中数学中函数与方程之间的相互转化。

一、从函数到方程：1. 函数图像转为方程要将一个给定函数图像转化为相应的方程，首先需要观察图像所显示出来的特点。

例如，若给定一个抛物线图像，并且已知该抛物线经过点（2，4），并且对称轴为x轴，则可以确定这个抛物线的标准形式为y=a(x-h)²+k。

然后，代入已知条件（2，4），得到具体的a、h、k值。

最后写出该抛物线完整的方程。

同样地，在给定其他类型曲线时也可以采用类似方法进行转化。

2. 函数表达式转为方程有时候我们已经知道一个函数的表达式却想要将其转化为方程，以便进行解方程求解。

例如，已知函数y=3x+5，我们可以通过将该函数表达式中的y替换为0，来得到相应的方程3x+5=0。

这样我们就可以通过解这个方程来求出对应的x值。

二、从方程到函数：1. 方程转为函数图像当给定一个方程时，有时候我们希望能够将其绘制成函数图像以便更好地理解和分析。

例如，给定一个线性方程2x+y=4，我们可以通过画出对应的直线图像来表示这个方程。

首先将该方程改写为y=-2x+4的形式，然后找出两个点作为直线上的坐标，并通过连接这两个点得到直线图像。

同样地，在给定其他类型的方程时也可以采用类似方法转化为函数图像。

2. 方程解析式转为函数表达式有时候我们已经知道一个方程的解析式却想要将其转化为函数表达式以便更好地使用和计算。

例如，在已知一个圆形面积公式A=πr²时，如果想要得到半径r关于面积A 的表达式，则可以通过对该方程进行变形推导得到r=sqrt(A/π)。