关于几何最值问题解法的探讨

1 / 3立体几何中最值问题求解策略立体几何中最值问题令许多学生无从下手，本文试做一归纳总结，供同学们复习时参考。

策略一 转化为求函数最值例1 已知正方形ABCD 、ABEF 所在平面互相垂直，2,M 为线段AC 上一动点，当M 在什么位置时，M 到直线BF 的距离最短？分析：本题是求点到线距离最值问题，实际上就是求异面直线AC 、BF 间距离。

可用代数中求最值的方法来解决。

解：作MH ⊥AB 于H,作HN ⊥BF 于N ,易知MH ⊥平面ABEF. 由三垂线定理可知，MN ⊥BF.设AM=x,则MH=AH=22222x ,HN=22HB=112x -则MN 2=MH 2+HN 2=2211(1)22x x +-=2322()433x -+所以当AM=23时，MN 6策略二 借助 均值不等式求最值例2 求半径为R 的球内接正三棱锥体积的最大值。

解：如右图所示，设正三棱锥高1O A =h, 底面边长为a 由正三棱锥性质可知1O B =33a ，又知OA=OB=R 则在Rt ABC ∆中，2223()()a R h R =-- ∴23(2)a h R h =-∴V=22133(2)34a h R h =-=3(2)22h hR h -322233h h R h ⎛⎫++- ⎪≤ ⎪ ⎪⎝⎭=3327R (当且仅当22h R h =-，即43h R =时，取等号 ) CDEAFB MNHD AOBCO 12 / 3∴ 正三棱锥体积最大值为3327R策略三 借助最小角定理建立不等关系例3 l β∂--是直二面角，,,A B A β∈∂∈，B 不在l 上，设AB 与,β∂成的角分别是12,θθ，求 12θθ+的最大值。

解析：如图所示，过A 作L 垂线，垂足为C,易知AC β⊥过B 作L 垂线，垂足为D,易知BD ⊥∂.所以2,ABC θ∠= 1BAD θ∠=，在Rt ABD ∆中，122ABD DAB ππθ∠=-∠=-由最小角定理可知2122BAD ππθθ<-∠=-，所以122πθθ+<。

几何最值问题解题技巧
几何最值问题是一个常见的数学问题，它涉及到在给定的几何形状中找到一个或多个点的最大或最小值。

解决这类问题需要一定的技巧和策略。

以下是一些解决几何最值问题的技巧：
1. 转化问题：将最值问题转化为几何问题，例如求点到直线的最短距离，可以转化为求点到直线的垂足。

2. 建立数学模型：根据问题的具体情况，建立适当的数学模型，例如利用勾股定理、三角函数等。

3. 寻找对称性：在几何图形中寻找对称性，例如利用轴对称、中心对称等性质，可以简化问题。

4. 利用基本不等式：利用基本不等式（如AM-GM不等式）可以求出某些量的最大或最小值。

5. 转化为一元函数：将问题转化为求一元函数的最大或最小值，然后利用导数等工具求解。

6. 构造辅助线：在几何图形中构造辅助线，可以改变问题的结构，从而更容易找到最值。

7. 尝试特殊情况：在某些情况下，尝试特殊情况（例如旋转、对称等）可以找到最值。

8. 逐步逼近：如果无法直接找到最值，可以尝试逐步逼近的方法，例如二分法等。

以上技巧并不是孤立的，有时候需要综合运用多种技巧来解决一个问题。

在解决几何最值问题时，需要灵活运用各种方法，不断尝试和调整，才能找到最合适的解决方案。

高中数学立体几何中的最值问题在高中数学的学习中，立体几何一直是一个重点和难点，而其中的最值问题更是让许多同学感到头疼。

这类问题往往需要我们综合运用空间想象力、几何知识以及数学方法来求解。

接下来，让我们一起深入探讨立体几何中的最值问题。

一、常见类型及解法1、距离最值问题（1）两点间距离最值在立体几何中，求两点间距离的最值，常常需要我们将空间中的两点转化到同一平面内。

例如，在长方体中，求异面直线上两点的最短距离，就需要通过平移将其转化为共面直线，然后利用平面几何中的知识求解。

（2）点到直线距离最值求点到直线的距离最值时，通常要找到点在直线上的投影。

如果直线是某一平面的斜线，那么可以通过作垂线找到投影，再利用勾股定理计算距离。

（3）点到平面距离最值对于点到平面的距离最值，一般可以利用空间向量法。

先求出平面的法向量，然后通过向量的数量积来计算点到平面的距离。

2、面积最值问题（1）三角形面积最值在立体几何中，涉及三角形面积的最值问题，可能需要考虑三角形的边长关系或者角度大小。

例如，已知三角形的两边及其夹角，当夹角为直角时，面积最大。

（2）四边形面积最值对于四边形，如平行四边形，其面积可以表示为底边乘以高。

当底边长度固定时，高取得最大值时面积最大；或者当四边形的对角线相互垂直时，面积等于对角线乘积的一半。

3、体积最值问题（1）柱体体积最值对于柱体，如圆柱、棱柱，其体积等于底面积乘以高。

当底面积不变时，高最大则体积最大；反之，高最小时体积最小。

（2）锥体体积最值锥体体积为三分之一底面积乘以高。

在求解锥体体积最值时，需要关注底面积和高的变化。

二、例题分析例 1：在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别是棱AB、BC 的中点，求点 A1 到直线 EF 的距离。

解：连接 A1C1、C1F、EF，因为 A1C1 平行于 EF，所以点 A1 到直线 EF 的距离等于点 A1 到直线 C1F 的距离。

几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的依据有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；方法：一般如果求一条线段的最值通常将所求线段转化到一个三角形中且另两边长度为定值（和为 定值）利用三角形三边关系确定最值或者是选择特殊位置或极端位置比如垂直，端点；如果是两条线段通常是将其中一条线段的位置进行转化。

比如做定点或动点的对称点（尤其注意一些常见的对称轴比如角平分线，菱形或正方形的对角线，矩形或正方形对边中点连线，坐标轴象限角平分线） ，全等转化等；其它的比如立体图形通过展开成平面图形解决1.如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=4，连接BD ，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为 ．2. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】A ．1 BC．55 D ．52 3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是 .4.如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 为边AD 上一动点，AE ⊥BP ，垂足为E ，连DE ，DE 的最小值 ．5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且保持AE=CF ，连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中EF 的最小值为（ ）6.如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，D 是线段BC 上的一个动点，DE ⊥AB,DF ⊥AC 交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．7. 如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．则S 四边形AECF = ，S △AEF 的最小值是8.在Rt△POQ 中，OP=OQ=4,M 是PQ 中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A 、B ，△AOB 的周长最小值 。

几何中的最值问题的解决策略
在几何中，最值问题通常是要找到一个几何对象的最大值或最小值。

以下是几何中解决最值问题的一些常用策略：
1. 利用性质或定理：利用已知的几何性质或定理来推导出最值问题的解。

例如，利用三角形的角度和性质来证明某个角度或边长的最大值或最小值。

2. 利用几何画图法：通过绘制几何图形，并观察图形的性质来解决最值问题。

例如，通过绘制直角三角形来找到两条边长之和固定时，两条边长的乘积的最大值。

3. 利用代数方法：将几何问题转化为代数问题，并通过求导、求解方程等代数方法来求解最值问题。

例如，通过代数方法来证明一个函数的极值点是函数的最大值或最小值。

4. 利用不等式：通过建立合适的不等式关系来限制几何对象的取值范围，并通过求解不等式来解决最值问题。

例如，通过利用三角不等式来推导出三角函数的最值问题。

5. 利用等式的极值性质：利用等式的极值性质来解决最值问题。

例如，通过证明函数的取值范围，并找到函数在取值范围边界处的最大值或最小值。

综上所述，解决几何中的最值问题需要运用几何性质和定理，绘制几何图形观察性质，以及运用代数方法、不等式关系和极
值性质等。

同时，解决最值问题还需要对几何对象的性质有深刻的理解和运用。

浅谈解析几何中最值问题的求法【摘要】最值问题是解析几何中的一类重要题型，通常以圆锥曲线为载体，涉及的知识面较广，解法灵活多样，常用的方法有：函数法、基本不等式法、圆锥曲线定义转化法、数形结合法等.下面本人谈谈解析几何中的最值问题的几种常用求解方法.【关键词】解析几何;最值;求法（一）函数法把所求的最值表示为关于某个变量的函数，转化为函数（最常用的是二次函数）的最值问题进行求解.此法的关键是建立其函数关系式.例1 设f1，f2分别是椭圆x2[]4+y2=1的左、右焦点.若p是该椭圆上的一个动点，求pf1·pf2的最大值和最小值.解知a=2,b=1,c=3，所以f1(-3,0)，f2(3,0),设p（x,y)，则pf1·pf2=（-3-x,-y）,(3-x,-y)=x2+y2-3=x2+1-x2[]4-3=1[]4(3x2-8).因为x∈［-2,2］，故当x=0，即点p为椭圆短轴端点时，pf1·pf2有最小值-2；当x=±2，即点p为椭圆长轴端点时，pf1·pf2有最大值1.说明利用二次函数求最值时，首先要求出定义域，然后则要根据二次函数在其定义域内的单调性来判定.（二）基本不等式法利用基本不等式可以求函数（包括多元函数）的最值，但是要重视在利用基本不等式进行放缩的过程中，等号能否成立这一问题.例2 已知椭圆x2[]a2+y2=1(a为常数，且a>1)，向量m=(1,t)(t>0)，过点a(-a,0)且以m为方向向量的直线与椭圆交于点b，直线bo交椭圆于点c（o为坐标原点）.(1)用t表示△abc的面积s(t)；(2)若a=2，t∈1[]2,1，求s(t)的最大值.解 (1)直线ab的方程为y=t(x+a)，由y=t(x+a),x2[]a2+y2=1,得(a2t2+1)y2-2aty=0,∴y=0或y=2at[]a2t2+1,∴点b的纵坐标为y b=2at[]a2t2+1,∴s(t)=2s△oab=|oa|·y b=2a2t[]a2t2+1(t>0,a>1).(2)当a=2时，s(t)=8t[]4t2+1=8[]4t+1[]t.∵t∈1[]2,1，∴4t+1[]t≥24t·1[]t=4,当且仅当4t=1[]t,即t=1[]2时，上式等号成立.∴s(t)=8[]4t+1[]t≤8[]4=2,即s(t)的最大值等于2.说明应用基本不等式求函数的最值时，应注意使用不等式的条件、等号成立的条件等，否则容易出错.（三）定义法根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等.方法的关键是恰当应用圆锥曲线的定义.例3 已知a（3，2），b（-4，0），p是椭圆x2[]25+y2[]9=1上一点，则|pa|+|pb|的最大值为( ).a.10b.10-5c.10+5d.10+25解由椭圆方程得a=5,b=3,所以c=a2-b2=4,故b(-4,0)为椭圆的左焦点.因为32[]25+22[]9<1,所以点a在椭圆内.设椭圆的右焦点为e(4,0),根据椭圆的定义可得|pb|+|pe|=2a=10,故|pa|+|pb|=|pa|+10-|pe|=10+(|pa|-|pe|),当p,a,e三点不共线时，有|pa|-|pe|<|ae|,当p位于射线ae与椭圆的交点p1处时，有|pa|-|pe|=|ae|,当p位于射线ea与椭圆的交点p2处时，有|pa|-|pe|=-|ae|, 故有-|ae|≤|pa|-|pe|≤|ae|.而|ae|=（3-4）2+（2-0）2=5，所以|pa|+|pb|=10+（|pa|-|pe|）∈［10-5，10+5］.故选c.说明利用圆锥曲线的定义求最值，特别适合求与曲线上的点到焦点距离有关的问题，其依据就是椭圆或双曲线上的点到两焦点距离有着固定的规律，以及抛物线上任意一点到准线的距离与到焦点的距离相等.（四）平面几何法一个最值问题若能建立其几何模型，则可利用几何模型的几何特性，使问题获得解决.例4 已知点a(4,1),b(0,4)和直线l:3x－y－1=0，试在l上找一点p，使|pa|－|pb|最大，试求p点的坐标.解如图，设b关于l的对称点为b′(x′,y′),则bb′的中点x′[]2,y′+4[]2在l上，有3·x′[]2-y′+4[]2-1=0 ①.又 bb′⊥l，有y′-4[]x′=-1[]3②.由①②可得b′的坐标为(3,3),由a(4,1),b′(3,3)可得直线ab′的方程为2x+y－9=0.设ab′与l交于p点，易求得p的坐标为(2,5),在l上任取一点p′，由平面几何知识可知：|p′a|-|p′b|=|p′a|-|p′b′|≤|ab′|=|pa|-|pb|，故点p(2,5)为所求的点.说明采用平面几何中“三角形两边之差小于第三边”这一直观结论使问题获解，避免了代数形式的复杂运算.总之，最值问题是圆锥曲线的综合问题，它涉及直线、圆锥曲线的定义、方程及位置关系，同时又与三角、函数、不等式、方程、平面向量、导数等代数知识紧密联系.解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和识图能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.。

几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值； （2）应用垂线段最短的性质求最值； （3）应用轴对称的性质求最值； （4）应用二次函数求最值； （5）应用其它知识求最值。

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值： 典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】A ．21B ．5C ．1455 5 D ．52例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 。

例3、已知A（1，5），B（3，-1）两点，在x轴上取一点M，使AM-BM取得最大值时，则M的坐标为（）练习题：1.（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是_ ▲ ．2、（2012四川眉山3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 .二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例4.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【】A．1 B3 C． 2 D3＋1例5.（2012四川广元3分）如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为【】A.（0，0）B.（21-，21-） C.（22，22-） D.（22-，22-）例6. （2012浙江宁波3分）如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．练习题：1. （2011浙江衢州3分）如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为【 】A 、1B 、2C 、3D 、42.（2011四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M 是BC 的中点．（1）求证：△MDC 是等边三角形；（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．5.（2011云南昆明12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P 从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．三、应用轴对称的性质求最值：典型例题：例7. （2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为．例8. （2012广西贵港2分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN 于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是▲。

初中几何图形中有关最值问题的解题思路分析摘要：知名数学家哈曼威尔认为“数学是无限的科学。

”为此，当面对不计其数的数学问题时，我们不仅需要通过反复训练来培养解决问题的能力，而且必须在解决问题过程中总结经验，同时确定必要的数学方法，并得到特定的能力来解决这些问题。

知道解题方法之后，将有利于对解题环节进行科学、有效的决策从而保证解题的顺利。

因此，将最值作为出发点，可以反映出中学数学中的大多数知识点。

研究期间会涉及到许多数学思想和方法。

在探索过程中，学生的各方面能力，比如思维、实践、创新能力都可以得到提高。

关键词：最值问题；解决方法；应用引言：最值问题具有很强的应用性。

它也适用于自然学科，例如化学和物理。

我们还将以最值问题建模用作解决现实生活中问题的一种方式。

初中几何的最值问题是近几年中考的热点，这类问题涉及的知识面广，知识之间的联系紧密，题型也比较多样，灵活性强。

解决这类问题能力要求较高，也是难点，趋于考查学生用运动变化观点处理问题的能力，即考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，又考查学生运用这些核心素养处理问题的思辨能力，因此在中考具有一定难度。

一、利用垂线段最短求最值例1如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，P为线段AB上一动点，连接PC，线段PC的最小值为____.解析：当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，∴•AB•PC＝•AC•BC，∴PC＝.这是利用垂线段最短中“一动一定”的模型，即P点在AB上运动，当PC⊥AB时，垂线段最短。

变式1如图2，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，点F是AD上的动点，点E是AC上的动点，则CF+EF的最小值为__________.变式2如图3，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，点F是AD上的动点，则的最小值为__________.变式3变式2中条件不变，则13CF+5AF的最小值为__________.教学分析：变式1是“垂线段最短”中“两动一定”的问题，作点E关于AD对称点E′，如图5，当E′运动到CE′⊥AB交AD于点F，即CF+EF的值最小，转化为例1的问题.变式2将变式1中求两线段的和的最小值变式为线段与线段的倍数和的最小值，此时关键点是将转化为一条线段，构造以AF为斜边的直角三角形，过点F作AB的垂线交AB与点E（如图6），即，该问题转化为变式1的类型中“两动一定”，求CF+EF的最小值，又回归到例1，点到直线垂线段最短。

初中几何最值问题解法探究发布时间：2022-09-30T07:04:08.838Z 来源：《中小学教育》2022年11期作者：王忠新[导读] 几何最值问题近年来颇受各地中考命题者所青睐，其向着多形式的题型发展，并有拓宽和加深的趋势。

王忠新广东省深圳市龙华中学 518109摘要：几何最值问题近年来颇受各地中考命题者所青睐，其向着多形式的题型发展，并有拓宽和加深的趋势。

这类问题涉及的知识面广，综合性强，要求解题者具有较强的数学转化能力和创新意识。

关键词：初中；几何最值问题；解法探究引言数学教育目前要求培养学生的核心素养。

在几何最值问题教学中，如何兼顾学生的答题能力和核心素养值得思考。

初中几何最值问题方法的探索要面向学生，面向学生的思维，有助于核心素养凸显重要能力的实现。

一、初中几何最值问题重要性在中学几何知识体系中，最值问题是一个重要的知识领域，它不仅涉及几何知识，而且涉及数学思维。

它不仅在课堂上清晰地体现出来，也是中考的重要组成部分。

因此，无论是学生还是老师，往往都关注几何学的最值问题。

在学生看来，学生往往不知道“最值”在哪里，所以做题时出现与其他类型问题的不同解法。

所以客观上也引起了学生解题时的心理紧张和混乱。

在解决这个问题的过程中，试图从几种方法的总结角度找到一种解决方法，从应试效果的角度起到一定的作用。

但是学生自身觉得其在学习数学技术方法，而不是完全理解几何最值的问题。

目前学生的数学核心素养，即符合学生终身发展和社会发展的必备品质、能力和精神，主要包括：严肃、认真、执着、务实的品质，数理抽象、逻辑推理、数学模型、直观想像、数学计算与统计分析的基本才能，以及科学探索、大胆创新的精神。

初中数学的核心素养是学生经过数学学习，形成对自己的基本认识、了解和处理身边事情的品质，是当人和环境之间产生互动时，所体现出来的思维方法和解决问题的策略。

其所面临的现象既可能是数学问题，也可以是非现实问题，而具有相当数理素质者既可以用数理的角度观察问题，又可以用数理的思维方式思考实际问题、以数理的思考方式解决问题。