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第三章 综合素质检测

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第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a 、b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] C[解析] 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得a i －1＝b ＋i ，所以a ＝1，b ＝－1. 2．(2012·课标全国文，2)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i[答案] D[解析] 本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念． z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i 5＝－1＋i ，故z 的共轭复数为－1－i.3．(2012～2013学年度山东沂水县高二期中测试)若a 、b ∈R ，i 是虚数单位，且(1＋a i)i ＝1－b i ，则在复平面内，复数a ＋b i 所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] ∵(2＋a i)i ＝1－b i ，∴－a ＋2i ＝1－b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1－b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2， ∴复数a ＋b i ＝－1－2i 所对应的点在第三象限． 4．设复数z ＝2＋i (1＋i )2，则复数z 的虚部是( )A.12 B ．－1 C ．－i D ．1[答案] B[解析] z ＝2＋i 2i ＝－2i ＋12＝12－i ，∴复数z 的虚部是－1. 5．复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12i C.12－12i D.12＋12i [答案] C[解析] ∵i 2＋i 3＋i 4＝－1＋(－i)＋1＝－i ， ∴原式＝－i 1－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－12i.6．已知复数z 满足2－iz ＝1＋2i ，则z ＝( ) A ．4＋3i B ．4－3i C ．－i D ．i [答案] D[解析] 由2－i z ＝1＋2i ，得z ＝2－i 1＋2i＝(2－i )(1－2i )5＝2－4i －i －25＝－i ，∴z ＝i.7．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 10的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－32 D ．32[答案] A[解析] 本题主要考查复数的基本运算，1－i1＋i ＝－i ，(－i)10＝－1，故选A.8．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] ∵z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )25＝4－4i －15＝35－45i. ∴z 在复平面内对应的点为 (35，－45)，故选D.9．若复数z ＝a ＋3i1－2i (a ∈R )，且z 是纯虚数，则|a ＋2i|等于( )A. 5 B ．210 C ．2 5 D ．40 [答案] B[解析] z ＝a ＋3i 1－2i ＝(a ＋3i )(1＋2i )5＝a ＋2a i ＋3i －65＝a －6＋(2a ＋3)i5，当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a －6＝02a ＋3≠0，得a ＝6，∴a ＋2i ＝6＋2i ， ∴|a ＋2i|＝210.10．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2[答案] D[解析] ∵z 2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝－1sin2θ＝0，∴2θ＝2k π＋π (k ∈Z )， ∴θ＝k π＋π2.令k ＝0知，D 正确．11．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于( )A ．1＋52i B ．－1＋52i C ．1－52i D ．－1－52i[答案] D[解析] 设x ＝i t (t ∈R 且t ≠0)， 于是2t i －1＋i ＝y －(3－y )i ， ∴－1＋(2t ＋1)i ＝y －(3－y )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12t ＋1＝－(3－y )，∴⎩⎨⎧t ＝－52y ＝－1.∴x ＋y ＝－1－52i.12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i[答案] A[解析] 由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i1＋i ＝3－i.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________. [答案] 6－2i[解析] 本题考查了复数的基本运算． ∵z ＝1－2i ，∴z －＝1＋2i ， ∴z ·z －＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝5＋1－2i ＝6－2i.14．已知a 、b ∈R ，且a －1＋2a i ＝4＋b i ，则b ＝________. [答案] 10[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝42a ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝10.15．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．[答案] 83[解析] z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3a ＋4a i ＋6i －825＝3a －825＋4a ＋625i ， ∵z1z 2为纯虚数，∴⎩⎨⎧3a －825＝04a ＋625≠0，∴a ＝83.16．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，则复数z在复平面对应的点位于第________象限．[答案] 四[解析] ∵a 、b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i， 即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i 2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＋2b ＝155a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－10. ∴复数z ＝a ＋b i ＝7－10i 在复平面内对应的点位于第四象限． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？ [解析] z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2， 即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12， 即m ＝－12时，z 为纯虚数．18．(本题满分12分)已知复数z 满足z z －i(3z )＝1＋3i ，求z . [解析] 将方程两边化成a ＋b i 的形式，根据复数相等的充要条件来解．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则z ·z －＝x 2＋y 2， 3z ＝3x ＋3y i 3z ＝3x －3y i∴x 2＋y 2－3y －3x i ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－3y ＝1－3x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3.∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.19．(本题满分12分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R )是复数4－20i 的共轭复数，求实数x 的值．[解析] 因为复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，由题意得 x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ， 根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2＝4， ①x 2－3x ＋2＝20. ② 方程①的解为x ＝－3或x ＝2. 方程②的解为x ＝－3或x ＝6. 所以实数x 的值为－3.20．(本题满分12分)设a 、b 为共轭复数，且(a ＋b )2－3ab i ＝4－6i ，求a 和b .[解析] ∵a 、b 为共轭复数，∴设a ＝x ＋y i(x 、y ∈R ) 则b ＝x －y i ，由(a ＋b )2－3ab i ＝4－6i ，得 (2x )2－3(x 2＋y 2)i ＝4－6i ，即⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＝4－3(x 2＋y 2)＝－6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝1y 2＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1y ＝±1. ∴a ＝1＋i ，b ＝1－i ；a ＝－1＋i ，b ＝－1－i ； a ＝1－i ，b ＝1＋i ；a ＝－1－i ，b ＝－1＋i. 21．(本题满分12分)已知z ＝1＋i ， (1)求w ＝z 2＋3z －4；(2)如果z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a 、b 的值．[解析] (1)w ＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝2i ＋3－3i －4＝－1－i. (2)z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a ＋a i ＋b (1＋i )2－1－i ＋1 ＝(a ＋b )＋(a ＋2)i i ＝(a ＋2)－(a ＋b )i ， ∴(a ＋2)－(a ＋b )i ＝1－i ， ∴a ＝－1，b ＝2.22．(本题满分14分)设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )． (1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值． [解析] (1)由已知，得⎩⎨⎧log 2(1＋m )<0， ①log 12(3－m )<0， ②解①得－1<m <0. 解②得m <2.故不等式组的解集为{x |－1<m <0}， 因此m 的取值范围是{x |－1<m <0}．(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，整理得log 2(1＋m )(3－m )＝1. 从而(1＋m )(3－m )＝2， 即m 2－2m －1＝0，解得m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0. 故m ＝1±2.1．若复数a ＋3i1－2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6[答案] D[解析] a ＋3i 1－2i ＝(a ＋3i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝a －6＋(3＋2a )i 5＝a －65＋3＋2a 5i. 由纯虚数的定义，得a －65＝0，且3＋2a5≠0， 解得a ＝6，故选D.2．若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x 、y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3x y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1.∴z 1＝－3－i ，故选C.3．复数(3i －1)i 的共轭复数是( ) A ．3－iB ．3＋iC ．－3－iD ．－3＋i[答案] D[解析] ∵z ＝(3i －1)i ＝－3－i ，∴z －＝－3＋i ，故选D. 4．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( )A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i [答案] A[解析] z 2－2z ＝(1＋2i)2－2(1＋2i)＝1＋22i －2－2－22i ＝－3.5．当z ＝1－i 2时，z 100＋z 50＋1的值等于( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i[答案] D[解析] z 2＝12(1－2i －1)＝－i ，z 50＝(－i)25＝－i ，z 100＝(－i)2＝－1，故原式＝－i.6．复数z ＝m －2i 1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] z ＝m －2i 1＋2i ＝(m －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝15[m －4]－2(m ＋1)i ，其实部为m －4，虚部为－2(m ＋1)由⎩⎪⎨⎪⎧ m －4>0－2(m ＋1)>0，得⎩⎨⎧m >4m <－1，此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．7．规定运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪ z i －i 2＝1－2i ，设i 为虚数单位，则复数z ＝________.[答案] 1－i[解析] 由已知可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪ z i －i2＝2z ＋i 2＝2z －1＝1－2i ，∴z ＝1－i.。

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高二数学选修第3章综合素质检测

高二数学选修第3章综合素质检测

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知二次函数y ＝ax 2＋(a 2＋1)x 在x ＝1处的导数值为1，则该函数的最大值是( ) A.2516 B.258 C.254 D.2522．曲线y ＝x 3的切线中斜率等于1的直线( )A ．不存在B ．存在，有且仅有一条C ．存在，有且恰有两条D ．存在，但条数不确定 3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝04．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调减区间为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞) 5．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x 的单调区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞) 6．若对于任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1 D ．f (x )＝x 4＋27．已知抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( ) A ．20B ．9C ．－2D ．28．已知f (x －1)＝2x 2－x ，则f ′(x )等于( ) A ．4x ＋3B ．4x －1C ．4x －5D ．4x －39．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确10．函数f (x )＝x 2＋(2－a )x ＋a －1是偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是( )A ．y ＝2xB ．y ＝－2x ＋4C ．y ＝－xD ．y ＝－x ＋2 11．设函数f (x )的图象如图，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是下图中的( )12．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴，直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A.π22B ．π2C ．2π2D.12(2＋π)2二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．14．若函数f (x )＝ax 2－1x 的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．15．曲线y ＝－133－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－53处的切线的倾斜角为________．16．函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)、Q (－1，12)．求：(1)曲线在点P 处，点Q 处的切线斜率； (2)曲线在点P 、Q 处的切线方程．18．(本题满分12分)已知f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a 、b 的值．19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋12(a －1)x 2＋bx (a ，b 为常数)在x ＝1和x ＝4处取得极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－2,2]时，y ＝f (x )的图象在直线5x ＋2y －c ＝0的下方，求c 的取值范围．20．(本题满分12分)(2010·陕西文，21)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值和该切线方程．21．(本题满分12分)已知x ＝1是函数f (x )＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋nx ＋1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m <0.(1)求m 与n 的关系表达式． (2)求f (x )的单调区间．22．(本题满分14分)若t 为大于－2的常数，求函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，t ]上的最值．1[答案] B[解析] y ′＝2ax ＋a 2＋1，∵y ′|x ＝1＝2a ＋a 2＋1＝1， ∴a 2＋2a ＝0，a ＝0或a ＝－2，又∵a ≠0，a ＝－2，y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －542＋258，∴函数的最大值为258，故选B. 2[答案] C[解析] y ′＝(x 3)′＝3x 2，令3x 2＝1，得x ＝±33，切点为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39，故选C.3[答案] A[解析] 考查斜率与导数及直线方程基本知识．因为y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1.而x ＝1时y ＝1，故l 方程为4x －y －3＝0. 4[答案] B[解析] 由导数几何意义知，在(－∞，2]上f ′(x )<0，故单调递减． 5[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1) ＝3(x ＋1)2≥0对x ∈R 恒成立，所以f (x )＝x 3＋3x 2＋3x 在R 上为增函数，故选A. 6[答案] B[解析] 把答案代入验证，排除A 、C 、D ，故选B. 7[答案] C[解析] 由题意得y ′|x ＝2＝1，又y ′＝－4x ＋b ， ∴－4×2＋b ＝1，∴b ＝9， 又点(2，－1)在抛物线上， ∴c ＝－11，∴b ＋c ＝－2，故选C. 8[答案] A[解析] ∵f (x －1)＝2x 2－x ，令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝2(t ＋1)2－(t ＋1)＝2t 2＋3t ＋1， ∴f (x )＝2x 2＋3x ＋1，∴f ′(x )＝4x ＋3，故选A. 9[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7， 由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立， ∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D. 10[答案] A[解析] 考查利用导数确定切线方程．由f (x )为偶函数得a ＝2，即f (x )＝x 2＋1，从而f ′(1)＝2.切点(1,2)，所以切线为y ＝2x .11[答案] D[解析] 由y ＝f (x )图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.12[答案] A[解析] y ＝x sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2处切线为y ＝－x ，所围成的三角形面积为π22.13[答案] ⎝⎛⎭⎫22，＋∞[解析] f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 令f ′(x )>0得x >a 或x <－a ， 令f ′(x )<0得－a <x <a ，∴当x ＝－a 时，f (x )取极大值f (－a )＝2a 3＋a ， ∵a >0，∴2a 3＋a >0，当x ＝a 时，f (x )取极小值f (a )＝a －2a 3，由题意得a －2a 3<0， 又a >0，∴1－2a 2<0，∴a >22. 14[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x 2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x 2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15[答案] 135°[解析] y ′|x ＝－1＝－1，所以k ＝－1，即倾斜角为135°. 16[答案] [－2,1)[解析] 由于f ′(x )＝－x 2＋1.易知(－∞，－1)上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减．故若函数在(a,10－a 2)上存在最大值条件为⎩⎪⎨⎪⎧a <1，10－a 2>1，f (1)≥f (a ).所以－2≤a <1.17[解析] ∵－1＝1t －2，∴t ＝1 ∴y ＝11－x， ∴y ′＝1(1－x )2. (1)当P 为切点时，k 1＝y ′|x ＝2＝1， 当Q 为切点时，k 2＝y ′|x ＝－1＝14.(2)当P 为切点时，方程为x －y －3＝0； 当Q 为切点时，x －4y ＋3＝0.18[解析] 显然a ≠0(否则f (x )＝b 与题设矛盾)，由f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝0及x ∈[－1,2]得，x ＝0.(1)当a >0时，列表：由上表知，f (x )在[f (x )在[0,2]上是减函数．且当x ＝0时，f (x )有最大值，从而b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3， ∵a >0，∴f (－1)>f (2)，从而f (2)＝－16a ＋3＝－29，∴a ＝2.(2)当a <0时，用类似的方法可判断当x ＝0时，f (x )有最小值，当x ＝2时，f (x )有最大值， 从而f (0)＝b ＝－29，f (2)＝－16a －29＝3，得a ＝－2. 综上，a ＝2、b ＝3或a ＝－2、b ＝－29. 19[解析] (1)f ′(x )＝x 2＋(a －1)x ＋b .由题设知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝1＋(a －1)＋b ＝0，f ′(4)＝16＋4(a －1)＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4.所以f (x )＝13x 3－52x 2＋4x .(2)由题设知f (x )<－12(5x －c )，即c >23x 3－5x 2＋13x .设Q (x )＝23x 3－5x 2＋13x ，x ∈[－2,2]，所以c 只要大于Q (x )的最大值即可．Q ′(x )＝2x 2－10x＋13，当x ∈(－2,2)时Q ′(x )>0.所以Q (x )max ＝Q (2)＝343，所以c >343. 20[解析] 本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的最值和证明不等式等基础知识，考查推理论证能力和分析问题和解决问题的能力．f ′(x )＝12x，g ′(x )＝a x (x >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x ＝ax，解得a ＝e2，x ＝e 2，∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e )，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)．21[解析] (1)f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n ，∵x ＝1是函数f (x )＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋nx ＋1的一个极值点，∴f ′(1)＝0，∴3m －6(m ＋1)＋n ＝0，∴n ＝3m ＋6.(2)函数f (x )的定义域为R ， f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n ＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋3m ＋6＝3(x －1)[mx －(m ＋2)]＝3m (x －1)⎝⎛⎭⎫x －m ＋2m ＝3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m .∵m <0，∴1＋2m<1，令f ′(x )>0，得3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m >0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m <0，∴1＋2m<x <1， 故函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤1＋2m ，1，令f ′(x )<0，得3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m <0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m >0，∴x >1或x <1＋2m， 故函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，1＋2m 和(1，＋∞)．22[解析] 对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，知f (x )在区间[－2，－1]，(1，＋∞)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减．①当t ∈(－2，－1)时，f (x )在区间[－2，t ]上单调递增． 所以f (x )min ＝f (－2)＝－2，f (x )max ＝f (t )＝t 3－3t .②当t ∈[－1,1]时，f (x )在(－2，－1)上单调递增，在(－1，t )上单调递减．由f (t )≥f (1)＝－2＝f (－2)知f (x )min ＝f (－2)＝－2，f (x )max ＝f (－1)＝2.③当t ∈(1，＋∞)时，f (x )在区间(－2，－1)上递增，在区间(－1,1)上递减，在(1，t )上递增，所以f (x )的最小值为f (－2)，f (1)中较小者．因为f (－2)＝f (1)＝－2，所以f (x )min ＝－2.令f (t )＝2，即t 3－3t －2＝0○ ，据f (－1)＝2知t ＝－1是○ 式的一个根．所以t 3－3t －2＝(t ＋1)(t 2－t －2)＝(t ＋1)2(t －2)，所以t ＝2也为○ 式的根，即f (2)＝2.由f (x )的单调性知，当t ∈(1,2]时，f (x )max ＝f (－1)＝2，当t ∈(2，＋∞)时，f (x )max ＝f (t )＝t 3－3t .综上，f (x )min ＝－2.f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，t ∈[－1，2]，t 3－3t ，t ∈(－2，－1)∪(2，＋∞).[点评] 利用导数求最值，关键是极值点与端点值比较，最大的为f (x )最大值，最小的为f (x )最小值．本题按照导数为0的点与区间的位置关系进行讨论．进而对最值情况展开讨论．。

浙教版七年级科学上册第3章综合素质检测含答案

浙教版七年级科学上册第3章综合素质检测含答案

第3章综合素质评价一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分。

每小题只有一个选项符合题意)1．如图为天文爱好者拍摄的月食照片。

从图中可以推测出地球的()A.形状特点B.自转方向C.海陆分布D.体积大小2．地球是人类的家园。

下列关于地球的说法中，不正确的是()A.地球的最大周长约为4万千米B.地球的平均半径约为6 371千米C.地球是一个不规则的球体D.地球有一根巨大的地轴3．科学家发现一颗名为开普勒62e的宜居行星。

如图所示为该行星与其绕转的恒星所组成的天体系统，该天体系统相当于宇宙结构层次中的()A.地月系B.太阳系C.银河系D.河外星系4．下列关于经纬线的说法中，不正确的是()A.经线的形状是半圆弧，纬线的形状是圆圈B.经线指示南北方向，纬线指示东西方向C.经线长度相等，纬线长度不等D.所有的纬线都平行，所有的经线也都平行5．下列关于太阳系的叙述中，正确的是()A.太阳系的主要质量集中在八大行星上B.太阳系中类似地月系的天体层次只有一个C.大部分小行星位于木星与火星轨道之间D.太阳黑子是一些不发光、不发热的黑点6．截至5月底，2024年太阳已经发生多次大耀斑，这预示着第25个太阳周将进入高峰期。

下列关于太阳的说法中，不正确的是()A.耀斑一般发生在光球层B.太阳活动强时地球上可能会出现极光C.太阳黑子的多少往往作为太阳活动强弱的标志D.太阳大气从里到外依次为光球层、色球层和日冕层7．2024年4月25日，神舟十八号载人航天飞船成功发射，标志着我国对宇宙的探索又上升了一个新的台阶。

下列对宇宙的有关认识正确的是()A.夜晚看到的星星都是恒星B.宇宙的大小结构层次为：宇宙→太阳系→银河系→地月系C.流星现象是由于流星体闯入地球大气层，与大气层摩擦燃烧产生的D.从侧面看，银河系是一个车轮状的大漩涡8．下列各点既位于东半球又位于北半球的是()A.30°N，10°WB.30°S，10°WC.40°S，165°ED.10°N，165°E 9．2022年10月，我国科学家利用中国天眼(FAST)在致密星系群——“斯蒂芬五重星系”及周围天区发现了1个尺度约为200万光年的巨大原子气体系统，该系统比银河系大20倍，为研究宇宙打开了一个崭新的窗口。

北师大版高中数学【选修1-1】 综合素质检测3课时作业含答案

北师大版高中数学【选修1-1】 综合素质检测3课时作业含答案

第三章综合素质检测 时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．y ＝2x ＋6从x ＝2到x ＝2.5的平均变化率是( ) A ．0 B ．0.5 C ．2 D ．2.5[答案] C[解析] y ＝2x ＋6从x ＝2到x ＝2.5的平均变化率是Δy Δx ＝2×2.5＋6－2×2＋62.5－2＝2，故选C.2．已知物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8m/s 2，若v ＝s 1＋Δt －s 1Δt ，当Δt 趋于0时，v 趋近于9.8m/s ，则9.8m/s( )A ．是物体从0s 到1s 这段时间的平均速度B ．是物体从1s 到(1＋Δt )s 这段时间的平均速度C ．是物体在t ＝1s 这一时刻的瞬时速度D ．是物体在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度 [答案] C[解析] 根据瞬时变化率的概念可知．3．物体运动方程为s ＝14t 4－3t 2，则t ＝4时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．64 C ．16 D ．40[答案] D[解析] ∵s ′＝(14t 4－3t 2)′＝t 3－6t ， ∴s ′(4)＝43－6×4＝40.4．f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是( ) A ．－43 B ．－3 C ．－1 D ．3[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝x 2＋2，所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3.5．(2014·合肥一六八中高二期中)若可导函数f (x )的图像过原点，且满足lim Δx →fΔxΔx＝－1，则f ′ (0)＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] ∵f (x )图像过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝lim Δx →f0＋Δx －f 0Δx ＝lim Δx →0 f ΔxΔx＝－1，∴选B.6．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系为( ) A ．k 1>k 2 B ．k 1<k 2 C ．k 1＝k 2 D ．不确定 [答案] A[解析] ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， ∴k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π2＝0， ∴k 1>k 2.7．曲线y ＝x 3，x >0在点P 处的切线的斜率为k ，当k ＝12时，P 点坐标为( ) A ．(－8，－2) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．(－12，－18) [答案] C[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)(x 0>0)， ∴k ＝3x 20＝12，∴x 0＝±2，∴x ＝2， ∴P 点坐标为(2,8)，故选C.8．(2013·山西省太原五中月考)已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B ．333 C ． 3 D ．393[答案] D[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D.9．(2013·烟台质检)已知二次函数f (x )的图像如图所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )[答案] B[解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图像为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B.10．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215[答案] C[解析] f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′ ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8.∵{a n }为等比数列，a 1＝2，a 8＝4， ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．设f (x )＝1sin x ＋1cos x ，则f ′(π3)＝________. [答案] －23＋2 3[解析] f ′(x )＝(1sin x ＋1cos x )′＝－cos x sin 2x ＋sin xcos 2x ， ∴f ′(π3)＝－12322＋32122＝－23＋2 3. 12．(2014·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x＝2·x 2－x －2x ＝2·x ＋1x －2x，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)． 13．(2014·枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________．[答案] 4[解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0得，y ＝a2， 令y ＝0得，x ＝－a ，由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.14．已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝____________. [答案] 6[解析] ∵f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝12＋2f ′(2)． ∴f ′(2)＝－12. ∴f ′(x )＝6x －24. ∴f ′(5)＝30－24＝6.15．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是________．(填上正确的序号)①f (x )＝x 2，②f (x )＝e －x ，③f (x )＝ln x ，④f (x )＝tan x ，⑤f (x )＝x ＋1x . [答案] ①③⑤[解析] ①中的函数f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则x 20＝2x 0，解得x 0＝0或2，故①中函数存在巧值点；对于②中的函数，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则e －x 0＝－e －x 0，易知此方程无解，故②中函数不存在巧值点；对于③中的函数，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则ln x 0＝1x 0，由于函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图像有交点，因此方程有解，故③中函数存在巧值点；对于④中的函数，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则tan x 0＝1cos 2x 0，即sin x 0cos x 0＝1，显然无解，故④中函数不存在巧值点；对于⑤中的函数，要使f (x 0)＝f (x 0)，则x 0＋1x 0＝1－1x 20，即x 30－x 20＋x 0＋1＝0，设函数g (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，则g ′(x )＝3x 2－2x ＋1>0且g (－1)<0，g (0)>0，显然函数g (x )在(－1,0)上有零点，故⑤中函数存在巧值点．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．求下列函数的导数： (1)f (x )＝(x ＋1)2(x －1)； (2)f (x )＝2－2sin 2x2； (3)f (x )＝e x ＋1e x －1；(4)f (x )＝2tan x .[答案] (1)f ′(x )＝3x 2＋2x －1 (2)f ′(x )＝－sin x (3)f ′(x )＝－2e xe x－12(4)f ′(x )＝2cos 2x[解析] (1)因为f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2x －1.(2)因为f (x )＝2－2sin 2x2＝1＋cos x ， 所以f ′(x )＝－sin x .(3)f ′(x )＝e x ＋1e x －1－e x ＋1e x －1e x －12＝－2e x e x －12.(4)因为f (x )＝2tan x ＝2sin xcos x ， 所以f ′(x )＝2sin xcos x －cos x2sin xcos 2x＝2cos 2x ＋2sin 2x cos 2x ＝2cos 2x .17．求曲线y ＝f (x )＝12x 2－3x ＋2ln x 在(3，f (3))处切线的斜率及切线方程． [答案] 斜率23 切线方程y ＝23x －132＋2ln3 [解析] 由已知x >0， ∴f ′(x )＝x －3＋2x .曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率为f ′(3)＝23.又f (3)＝92－9＋2ln3＝－92＋2ln3. ∴方程为y －(－92＋2ln3)＝23(x －3)， 即y ＝23x －132＋2ln3.18．求过原点作曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x －1的切线方程． [答案] x ＋y ＝0或23x －4y ＝0 [解析] 设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′＝3x 2－6x ＋2， ∴切线斜率为3x 20－6x 0＋2，∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(x －x 0) ∵切点在曲线C ，∴y 0＝x 30－3x 20＋2x 0－1，①又切线过原点，∴－y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(－x 0)，②由①②得0＝－2x 30＋3x 20－1， ∴2x 30－3x 20＋1＝0，因式分解得：(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴x 0＝1或x 0＝－12，∴两个切点为(1，－1)，(－12，－238)∴两条切线方程为y ＋1＝－1(x －1)和y ＋238＝234(x ＋12) 即x ＋y ＝0或23x －4y ＝0.19．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ (3)求T ′(5)，并说明它的实际意义．[答案] (1)16℃ (2)1.6℃ (3)t ＝5时蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min[解析] (1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为T (0)＝1200＋5＋15＝39，T (10)＝12010＋5＋15＝23，故从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.(2)平均变化率为T10－T 010＝－1610＝－1.6(℃)．它表示从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.(3)T ′(5)＝lim Δt →1205＋Δt ＋5＋15－1205＋5－15Δt＝－1.2，它表示t ＝5时蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min.20．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )，g (x )的表达式．[答案] f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16 [解析] ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8，∴f (x )＝2x 3－8x . ∴f ′(x )＝6x 2－8.对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，得4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16.∴g (x )＝4x 2－16. 综上，可知f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16. 21．求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是一元三次函数，且f (0)＝0，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(3)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [答案] (1)f (x )＝12x 3－94x 2 (2)f (x )＝2x 2＋2x ＋1 [解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝0＝df0＝0＝cf1＝3a ＋2b ＋c ＝－3f3＝0＝27a ＋6b ＋c，解之，得a ＝12，b ＝－94，c ＝0，d ＝0. 故f (x )＝12x 3－94x 2.(2)由于f ′(x )为一次函数，则f (x )必为二次函数． 令f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 代入x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1中， x 2(2ax ＋b )＋(－2x ＋1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 即(－b ＋a )x 2＋(b －2c )x ＋(c －1)＝0， 由多项式恒等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋a ＝0b －2c ＝0c －1＝0，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2c ＝1.所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。

第三章 空间向量与立体几何2

第三章 空间向量与立体几何2

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是( )A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量[答案] D[解析] 只有当a 、b 不共线且a ∥α，b ∥α时，D 才正确． 2．在下列条件中，使M 与不共线三点A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 [答案] C[解析] ∵点M 在平面ABC 内，∴对空间任一点O ，有OM →＝xOA →＋yAB →＋zAC →且x ＋y ＋z ＝1，故A 、B 、D 均不对．3．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α) ，且a ∥ b 则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0° [答案] A[解析] ∵|a |2＝2，|b |2＝2， (a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．4．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14[答案] D[解析] AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1,6，λ－3)， ∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝2×1－6×6－2(λ－3)＝0， 解得λ＝－14，故选D.5．已知向量e 1、e 2、e 3是两两垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2－e 3，b ＝e 1＋2e 3，则(6a )·(12b )等于( )A ．15B ．3C ．－3D ．5 [答案] B[解析] (6a )·(12b )＝3a ·b ＝3(3e 1＋2e 2－e 3)·(e 1＋2e 3)＝9|e 1|2－6|e 3|2＝3.6．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为 a ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则〈A ′B →，B ′D ′→〉＝( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] D[解析] B ′D ′→＝BD →， ∵△A ′BD 为正三角形， ∴〈A ′B →，BD →〉＝120°.7．如图，四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝12MA ，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－13a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c [答案] B[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－13OA →＝12(b ＋c )－13a ＝－13a ＋12b ＋12c . 故选B.8．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 是线段AB 上一点，且AC AB ＝13，则C 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－12，52 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－3，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫103，－1，73 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－72，32 [答案] C[解析] 由题意知，2AC →＝CB →，设C (x ，y ，z )，则2(x －4，y －1，z －3)＝(2－x ，－5－y,1－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －8＝2－x ，2y －2＝－5－y ，2z －6＝1－z .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－1，z ＝73.即C ⎝⎛⎭⎪⎫103，－1，73. 9．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( )A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) [答案] D[解析] ∵l ∥α，∴a ·n ＝0， 经检验知选D.10．已知△ABC 的顶点A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 的长等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] 解法一：设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －1，y ＋1，z －2)，BD →＝(x －5，y ＋6，z －2)，AC →＝(0,4，－3)，∵AD →∥AC →，且BD →⊥AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，4y ＋1＝－3z －2，4(y ＋6)－3(z －2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－215，z ＝225.∴|BD →|＝5.解法二：设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)，∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ. ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)， 又AC →＝(0,4，－3)，AC →⊥BD →， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0， ∴λ＝－45，∴BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125，∴|BD →|＝(－4)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫952＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝5.11．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A.12B.22C.13D.16[答案] C [解析]如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，A (1,0,0)，C (0,2,0)．从而D 1E →＝(1,1，－1)，AC →＝(－1,2,0)，AD 1→＝(－1,0,1)， 设平面ACD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎨⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝0，－a ＋c ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，a ＝c .令a ＝2，则n ＝(2,1,2)． 所以点E 到平面ACD 1的距离为 h ＝|D 1E →·n ||n |＝2＋1－23＝13.12．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC 1的中点，设GF ，C 1E 与AB 所成的角分别为α，β，则α＋β等于()A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°[答案] D [解析]建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则B (2,0,0)，A (2,2,0)，G (0,0,1)，F (1,1,0)，C 1(0,0,2)，E (1,2,1)．则BA →＝(0,2,0)，GF →＝(1,1，－1)，C 1E →＝(1,2，－1)，∴cos 〈BA →，GF →〉＝|BA →·GF →||BA →|·|GF →|＝13，cos 〈BA →，C 1E →〉＝|BA →·C 1E →||BA →|·|C 1E →|＝23，∴cos α＝13，sin α＝23，cos β＝23，sin β＝13，cos(α＋β)＝0，∴α＋β＝90°.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知a ＝(x,2，－4)，b ＝(－1，y,3)，c ＝(1，－2，z )，且a 、b 、c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________.[答案] (－64，－26，－17)[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y －12＝0，x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17.14．已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为________．[答案] 14 [解析]设上、下底面中心分别为O 1、O ，则OO 1⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、OO 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵AB ＝2，A 1B 1＝1，∴AC ＝BD ＝22，A 1C 1＝B 1D 1＝2， ∵平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ，∴∠B 1BO 为侧棱与底面所成的角，∴∠B 1BO ＝60°，设棱台高为h ，则tan60°＝h2－22，∴h ＝62，∴A (0，－2，0)，D 1(－22，0，62)，B 1(22，0，62)，C (0，2，0)，∴AD 1→＝(－22，2，62)，B 1C →＝(－22，2，－62)， ∴cos 〈AD 1→，B 1C →〉＝AD 1→·B 1C →|AD 1→|·|B 1C →|＝14，故异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为14.15．三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线P A 与底面ABC 所成角的大小为______．[答案] 45°[解析] 由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴BC ＝2， ∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°， 取BC 边中点E ，则 PE ＝22，AE ＝22，又P A ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠P AE ＝45°， ∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ， ∴BC ⊥平面P AE ， ∴平面P AE ⊥平面ABC ，∴∠P AE 为直线P A 与平面ABC 所成角．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为________．[答案]102[解析] 过B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N .则可求得AM ＝12，BM ＝32，CN ＝12，DN ＝32，MN ＝1.由于BD →＝BM →＋MN →＋ND →，∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝(32)2＋12＋(32)2＋2(0＋0＋0)＝52，∴|BD →|＝102.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若e 1、e 2、e 3是三个不共面向量，则向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面？请说明理由．[解析] 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3λ1－λ2＝22λ1＋λ2＝－1λ1＋3λ2＝－4⇒λ1＝15，λ2＝－75.即c ＝15a －75b .∴a 、b、c 共面．18．(本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →.[解析] ∵BG ＝2GD ， ∴BG →＝23BD →.又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， ∴PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .19．(本小题满分12分)如图所示，在四面体ABCD 中，AB ，BC ，CD 两两互相垂直，且BC ＝CD ＝1.(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ； (2)求二面角C －AB －D 的大小；(3)若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度．[解析] 解法一：(1)∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ， ∴CD ⊥平面ABC . 又∵CD ⊂平面ACD ， ∴平面ACD ⊥平面ABC .(2)∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥BD .∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角． ∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°. ∴二面角C －AB －D 的大小为45°.(3)过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH . ∵平面ACD ⊥平面ABC ， ∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°. 在Rt △BHD 中，BD ＝2， ∴BH ＝22.又∵在Rt △BHC 中，BC ＝1， ∴∠BCH ＝45°， ∴在Rt △ABC 中，AB ＝1.解法二：(1)同解法一．(2)设AB ＝a ，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则B (0,0,0)，A (0,0，a )，C (0,1,0)，D (1,1,0)，BD →＝(1,1,0)，BA →＝(0,0，a )．平面ABC 的法向量CD →＝(1,0,0)，设平面ABD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有BD →·n ＝x ＋y ＝0，BA →·n ＝az ＝0，∴z ＝0，取y ＝1，则x ＝－1， ∴n ＝(－1,1,0)．∴cos 〈CD →，n 〉＝CD →·n |CD →||n |＝－22，由图可知二面角C －AB －D为锐角，∴二面角C －AB －D 的大小为45°.(3)AC →＝(0,1，－a )，CD →＝(1,0,0)，BD →＝(1,1,0)．设平面ACD 的一个法向量是m ＝(x ′，y ′，z ′)，则AC →·m ＝y ′－az ′＝0，CD →·m ＝x ′＝0，令z ′＝1，∴y ′＝a ，则m ＝(0，a,1)． ∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°，∴cos 〈BD →，m 〉＝BD →·m |BD →||m |＝aa 2＋1·2＝cos60°，解得a ＝1，∴AB ＝1.20．(本小题满分12分)底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠C ＝π2，AA 1＝AC ，D 为CC 1上的点，且CC 1＝3C 1D ，求二面角B －B 1D －A 的余弦值．[解析] 以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AC ＝3，则A (0,3,0)，B 1(3,0,3)，D (0,0,2)．∴AD →＝(0，－3,2)，AB 1→＝(3，－3,3)． 设平面ADB 1的法向量n ＝(1，λ，μ)，则⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AB 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－3λ＋2μ＝0，3－3λ＋3μ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－3.∴n ＝(1，－2，－3)．又平面BB 1D 的法向量CA →＝(0,3,0)， ∴cos 〈n ，CA →〉＝n ·CA →|n ||CA →|＝－614×3＝－147.由题意可知，二面角B －B 1D －A 为锐角， ∴二面角B －B 1D －A 的余弦值为147.21．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AA 1＝5，E 、F 分别为D 1D 、B 1B 上的点，且DE ＝B 1F ＝1.(1)求证：BE ⊥平面ACF ； (2)求点E 到平面ACF 的距离．[解析] (1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,5)，E (0,0,1)，F (2,2,4)．∴AC →＝(－2,2,0)，AF →＝(0,2,4)，BE →＝(－2，－2,1)，AE →＝(－2，0,1)．∵BE →·AC →＝0，BE →·AF →＝0，∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC ∩AF ＝A . ∴BE ⊥平面ACF .(2)解：由(1)知，BE →为平面ACF 的一个法向量， ∴点E 到平面ACF 的距离d ＝|AE →·BE →||BE →|＝53.故点E 到平面ACF 的距离为53.22．(本小题满分14分)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．[解析] 解法一：设正方体的棱长为1，如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (1,0,0)，E (0,1，12)，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE →＝(－1,1，12)，AD →＝(0,1,0)．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.即直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1), BE →＝(－1,1，12)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 得一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE→＝0，得⎩⎨⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0.所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)． 设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)．又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)，而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在一点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE . 解法二：(1)如图(a)所示，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD . 又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1， 所以EM ⊥ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影， ∠EBM 为直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3.于是，在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝23.即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .如图(b)所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接EG ，BG ，CD 1，FG .因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1，B ，G ，E 共面．所以BG ⊂平面A 1BE . 因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ，因此四边形B 1BGF 为平行四边形，所以B 1F ∥BG .而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.。