指数函数与对数函数的关系-指数函数、对数函数与幂函数PPT精品系列

一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝logbx(b＞1)的增长有何差异？
一般地，无论k(k＞0)、a(a＞1)、b(b＞1)如何取值，三种函数在区间(0，＋∞)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值．
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
【解析】(1)由于指数型函数的增长式为爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y=的增长速度最快，故选A.
(2)从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
x
y=2x
y=2x
0
1
0
2
4
4
4
16
8
6
64
12
8
256
16
10
1024
20
12
4096
24
…
…
…
可以看到，当自变量x越来越大时，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y＝2x的增长速度依然保持不变，与函数y＝2x的增长速度相比几乎微不足道．

(4)0.53,30.5,log30.5.
1
分析:(1)借助函数y= 2 ;(2)借助函数y=x3;(3)借助函数y=5.26x和
y=x-1;(4)利用中间值法.
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探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
1
解:(1)∵y= 2 在[0,+∞)内是增函数,1.5<1.7,
1
1
∴1.52 <1.72 .
②中x2的系数为2,因此不是幂函数;④是由两个幂函数相加而成的
函数,因此不是幂函数;⑤不符合幂函数中xα前的系数为1的条件,因
此不是幂函数.
反思感悟幂函数的判断方法
(1)幂函数同指数函数、对数函数一样,也是基本初等函数,同样
也是一种“形式定义”的函数,也就是说必须完全具备形如
y=xα(α∈R)的函数才是幂函数.
当m=-1时,f(x)=x2,符合题意,故m的值为-1.
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思维辨析
当堂检测
幂函数的概念
例1(1)已知点M 3 ,3 在幂函数f(x)的图像上,则f(x)的解析式为
3
(
)
A.f(x)=x2
B.f(x)=x-2
1
C.f(x)= 2
1
2
-
D.f(x)=
(2)下列函数中,是幂函数的为
过点(m,n)等.通常利用待定系数法求解,先设出幂函数的解析式
f(x)=xα,再利用已知条件列方程求出常数α的值.
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Hale Waihona Puke 探究四思维辨析 2 -2-3
2

• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
（1）定义域：R （2）值域：（0， +）
（3）单调性：当01时，指数函数在定义域上是减函数 当1时，指数函数在定义域上是增函数
（4）奇偶性：非奇非偶
幂函数指数函数对数函数比较大小
幂函数指数函数对数函数比较大小
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• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”

解法 2：a－b＝ln22－ln33＝3ln2－6 2ln3 ＝16(ln8－ln9)<0. ∴a<b.同理可得 c<a，∴c<a<b.故选 C.
[答案]C
4．考查函数的定义域 函数的定义域是历年高考中均考查的知识点，其难度 不大，属中低档题，但在求解时易漏掉部分约束条件造成错 解，因而也是易错题． [例 4] 函数 f(x)＝ 31x－2 x＋lg(3x＋1)的定义域是
[例 1] (1)化简
3 ÷(1－2
ba)×3 ab；
(2)求值：12lg3429－43lg 8＋lg 245.
(2)解法一 12lg3429－43lg 8＋lg 245 ＝lg472－lg4＋lg7 5 ＝lg(472×14×7 5) ＝lg 10＝12lg10＝12.
解法二 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5 ＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12.
[例7]求不等式x－1<log6(x＋3)的所有整数解． [解析]设y1＝x－1，y2＝log6(x＋3)，在同一坐标系中作
出它们的图像如图所示，两图像有两个交点，一交点的横坐标
显然在－3和－2之间，另一个交点设为P.
因为x＝1时，log6(1＋3)－(1－1)>0，x＝2时， log6(2＋3)－(2－1)<0，所以1<xP<2.
2．指数函数的概念与性质 (1)指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数． (2)y＝ax(a>0，a≠1)的图像
0<a<1
a>1

对数函数的图像是一条直线，在定义域内单调递 增。
性质
对数函数的图像与y轴的交点为1，函数的导数是1/x'，其中x'是x的倒数。
复合对数函数
定义
复合对数函数是指数函数和对数函数的组合形式，它表示为log(base) (x) ^ (y)，其中base是底数，x和y是函数的自变量。
当n为负整数时，幂 函数的最大值出现在 x=1处，且最大值为 1/2；
当n为分数时，幂函 数的最大值出现在 x=1处，且最大值为 1。
复合幂函数
定义
复合幂函数是指由幂函数与其他函数复合而成的函数，如 $f(x) = \sin x^{2}$。
性质
复合幂函数的性质取决于其内部的幂函数的性质以及外部函 数的性质。例如，如果内部函数是偶函数，则复合幂函数也 是偶函数；如果内部函数是奇函数，则复合幂函数也是奇函 数。
复合指数函数
定义：复合指数函数是指形式为f(ax+b)的函数，其中 a和b是常数，且a≠0。
1. 复合指数函数的图像与指数函数的图像类似，但需 要根据具体的函数表达式来确定。
性质
2. 复合指数函数的性质与指数函数的性质类似，但需 要根据具体的函数表达式来进行判断。
02
对数函数
对数函数的定义与性质
性质
1. 当x为有理数时，a^x仍为有 理数；当x为无理数时，a^x亦 为无理数。
2. 当a>1时，a^x>0；当 0<a<1时，a^x<0。
指数函数的图像与性质
图像：指数函数的图像是一条连续的曲线，经过原点 ，并在第一象限内单调递增。
1. 函数值y随x的增大而增大（当x为正数时）。
性质
2. 当x=0时，y=1（当a>1时），y=0（当0<a<1时 ）。

栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(4)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12，前面系数为 1， 指数为自变量 x，故它是指数函数． (5)y＝2×3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函 数． 故(1)(3)(4)为指数函数．
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
指数式的比较大小问题 比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3； (3)0.80.6，0.60.8.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)构造函数 f(x)＝1.8x. 因为 a＝1.8＞1，所以 f(x)＝1.8x 在 R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以 1.8－π＜1.8－3. (2)因为 y＝11..79x在 R 上是减函数， 所以11..79－－00..33＝11..79－0.3＞11..790＝1. 又因为 1.7－0.3 与 1.9－0.3 都大于 0， 所以 1.7－0.3＞1.9－0.3.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(3)取中间值 0.80.8. 因为 y＝0.8x 在 R 上单调递减，而 0.6＜0.8， 所以 0.80.6＞0.80.8. 又因为00..6800..88＝00..860.8＞00..680＝1，且 0.60.8＞0， 0．80.8>0，所以 0.80.8＞0.60.8.所以 0.80.6＞0.60.8.
x＝0 时，__y_＝__1___； 质 y值
x<0 时__0_<_y_<_1__
x>0 时，_0_<__y_<_1__； x＝0 时，_y_＝__1____；

xx化 简1 k得x ,
-1 x 1,
x 1-k ,
-
1
x
1,
所以当0<k<2时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1};
当k≥2时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.
12/10/2021
变式训练
3.(变结论)本例中的条件不变,判断f -1(x)的单调性,并给出证明. 解析 f -1(x)为(-1,1)上的增函数.
12/10/2021
探究二 指数函数与对数函数图像之间的关系
例2 (1)已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=logax的图像只能是 ( C )
(2)当a>1时,函数y=a-x与y=logax在同一平面直角坐标系中的图像是 ( A )
12/10/2021
解析 (1)y=ax与y=logax的单调性一致,故排除A、B;当0<a<1时,排除D;当a>1时,C
证明:由原题知f
-1(x)=log2
1
1
-
x
(x -1<x<1).
任取x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,
令t(x)=1 =x -(-=x-1+1) 2,
2
1-x
1-x
1 -x
则t(x1)-t(x2)=
-1
-
2 1-x12 - 2 = 2(1=-x2 )-2.(1-x1) 2 (x1 -x 2 )
正确.
(2)因为当a>1时,0< 1
a
<1,所以y=a-x=
1 a
x
是减函数,其图像恒过(0,1)点,y=logax为增
函数,其图像恒过(1,0)点,故选A.

知识回顾
三、对数函数的图像与性质 y＝logax(a>0 且 a≠1)的图像和Hale Waihona Puke 质.知识回顾知识回顾
四、指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 一般地，对于指数函数 y＝ax(a>1)和幂函数 y＝xn(n>0)， 通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论 n 比 a 大多少， 尽管在 x 的一定变化范围内，ax 会小于 xn，但由于 ax 的增长 快于 xn 的增长，因此总存在一个 x0，当 x>x0 时，就会有 ax>xn.
新知探究
在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)， y＝xn(n>0)都是________(填“增”或“减”)函数，但它们的 增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着 x 的增大，y ＝ ax(a>1) 的增长速度越来越快，会超过并会远远大于 y ＝ xn(n>0) 的增长速度，而 y ＝ logax(a>1) 的增长速度会越来越 慢 ． 因 此 ， 总 会 存 在 一 个 x0 ， 当 x>x0 时 ， 就 有 logax________x ________a .
典例精讲 题型一：函数增长快慢的比较
[方法总结] (1)我们常把指数的这种快速剧增形象地称为“指数爆炸”． (2)在计算器或计算机中，1.10×1012 常表示成 1.10E＋12. (3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和 y＝xn(n>0)都 是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着 x 增长，y ＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n>0)的增长速度，而 y ＝ logax(a>1) 则增长会越来越慢，因此，总会存在一个 x0 ，当 x>x0 时，就有 logax<xn<ax.

(1)
1 x 2
1
x2
2
x2
x 1
5
1
1
x2 x 2 5
1
(2)（x 2
)3
1
(x 2
)3
1
(x 2
1
x 2 )[(x
x 1 ) 1]
x x 1 3 x 0
5(3 1)
6. 4
3
36 3
81 9 2
7. 2 3 3 1.5 6 12 6
8．设 mn>0，x= m n ，化简：A= 2 x2 4 .
⑵ y 3 5x1 ⑶ y 2 x 1
函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量 x的取值范围。
（1）定义域为{x|x≠1}；
1
0 x 1
值域为{y|y>0且y≠1}
1
⑴ y 0.4 x1
⑵ y 3 5x1 ⑶ y 2 x 1
（2）
定义域为{x|
x
1 5
}
值域为{y|y≥1}
5x 1 ≥0
BC A
A’ B’ C’
f(a)=SAA’C’C-SAA’B-SB’C’C
(f2()af)(a)1 g(a) 1a(a2
2
2
ag(a2) 2 aa11)
1 [( a 2 a 1) ( a 1 a )] 2
1(
1
1
)0
2 a 2 a 1 a 1 a
7. (★★★★)当a≠0时，y=ax+b 和 y=bax
y 1 x 2
y 1 x
1
2
把 y 轴右边的图形翻折到 y 轴的左边
3. 作出函数 y= │ 2x -1│的图像
y= │ 2x -1│

(4)y=3x-1;
(5)y=(-10)x.
解:(1)是指数函数;
(2)x位于底数位置,因而不是指数函数;
(3)2x的系数为-1,不为1,因而不是指数函数;
(4)指数是x-1,不符合要求,不是指数函数;
(5)底数为-10,小于0,不是指数函数.
故(1)是指数函数,(2)(3)(4)(5)均不是指数函数.
3 -2.6
又∵-1.8>-2.6,∴ 4
< 4
.
5
(2)∵0< <1,
8
5
∴y= 8 在定义域 R 内是减函数.
2
5 -3
2
又∵-3<0,∴ 8
2
∴0.6-2>
3
2
4 -3
3
<
2
5 -3
> 8 =1.∴ 8
(3)∵0.6-2>0.60=1,
4 -3
5 0
当堂检测
>1.
4 0
=1,
3
.
第十八页，编辑于星期四：十三点 三十九分。
当x<0,a>1或x>0,0<a<1时,ax<1,即指数x和0比较,底数a和1比较,当不等号的方向相反(异)时,ax小于1,简称为“异小”.
做一做:(1)函数
在R上是(
)
第三页，编辑于星期四：十三点 三十九分。
课前篇自主预习
一
二
4.做一做:下列函数中,哪些是指数函数?
(1)y=πx; (2)y=x4; (3)y=-2x;
人教版高中数学B版必修二
已知某个函数是指数函数求参数值的步骤
(3)函数y=2-x的图像由y=2x的图像关于y轴对称后得到;函数y=-2x的图像由y=2x的图像关于x轴对称后得到;函数y=-2-x的图像由y=2x的图像

致性吗?
提示:当0<a<1时,上述两个函数均是其定义域上的减函数;当a>1
时,上述两个函数均是其定义域上的增函数.因此单调性具有一致
性,但变化速度有差异.
课前篇自主预习
一
二
3.填空.
(1)关系
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数.
(2)图像特征
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图像关于
与f-1(x)互为反函数,对此不能对自变量x随意变化拓展.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
正解:∵g(x)的图像过定点(1,2 018),
∴f(x+1)的图像过定点(2 018,1).
又∵f(x)的图像可以看作由f(x+1)的图像向右平移1个单位长度得
到的,∴f(x)过定点(2 019,1).
)
A.(0,0) B.(0,2) C.(1,1)
D.(2,0)
答案:B
解析:∵y=f(x)的图像过点(1,0),
∴其反函数y=f-1(x)的图像必过点(0,1),
即f-1(0)=1,∴y=f-1(x)+1的图像过点(0,2).
4.已知
1-3
4
f(x)= ,则 f-1 5
1+3
=
Hale Waihona Puke 答案:-21-3除D.故选B.
方法二:若0<a<1,则曲线y=ax下降且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)
上升且过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件.

30
· 高中新课标总复习（第1轮）· 文科数学 · 湖南 · 人教版
立足教育 开创未来
题型三 幂函数及其简单应用
例3（1）设α∈{-1,1, 1 ,3}，
则使函数y=xα的定义域为R且为2 奇函 数的所有α的值为 1,3 .
2
y=3u是增函数，
所以y 在［ 3
3-x2 3x2在（-∞,
3
2 ］上单调递增，
,+∞)上单调递减.
2
21
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点评 复合函数的值域可
采用换元法，结合中间变量的 范围求函数值域.
复合函数y=f(x)的单调性要 根据y=au，u=f(x)两函数在相应 区间上的单调性确定，遵循 “同增异减”的规律.
解析 由0<a<1知函数f(x)=logax为
减函数.故由logam<logan<0,得m>n>1.
6
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3.已知函数f(x)= 2x (x＜4)
f(x-1) (x≥4), 则f(-2)= 1 ,f(5)= 8 .
4
解析
28
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变式 已知函数f(x)=log 1 (x2-2ax+3).
2
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的 取值范围;
(2)若函数f(x)在(-∞,1]上为增函数， 求实数a的取值范围.
解析（1）依题意，
x2-2ax+3＞0对x∈R恒成立， 即Δ=(-2a)2-4×3＜0,即a2＜3, 解得a∈( - 3 , 3 ).

解析：(1)由 y＝2x＋3 得 x＝12y－32，
所以函数 y＝2x＋3 的反函数是 y＝12x－32.
(2)y＝log
2 3
x
的底数是23，它的反函数是指数函数
y＝23x.
(3)y＝23x－1 的值域是(－1，＋∞)，所以它的反函数为函数 y
＝log 2 (x＋1)(x>－1)． 3
(4)因为 y＝0.2x＋1，所以 y－1＝0.2x，x＝log0.2(y－1)，即 y＝ log0.2(x－1)，
a－ax∈(0，a)，所以值域是(－∞，1)．
②设 x1<x2<1，则 ax1<ax2<a，f(x2)－f(x1)＝loga(a－a x2 )－loga(a
－a
x1
)＝logaaa－－aa
x2 x1
<0，所以
f(x1)＞f(x2)，所以函数
f(x)为减函数．
(2)将方程整理得 2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，m 是指 数函数 y＝2x 的图像与直线 y＝－x＋3 交点 A 的横坐标，n 是对数 函数 y＝log2x 的图像与直线 y＝－x＋3 交点 B 的横坐标，由于函数 y＝2x 与 y＝log2x 互为反函数，所以它们的图像关于直线 y＝x 对称， 由题意可得出 A，B 两点也关于直线 y＝x 对称，于是可设 A，B 两
【解析】 解法一：∵y＝ax＋b 的图像过点(1,4)， ∴a＋b＝4，① 由 y＝ax＋b 得 ax＝y－b， ∴x＝loga(y－b)，交换 x，y 得 y＝loga(x－b)， 将点(2,0)代入 y＝loga(x－b)得 loga(2－b)＝0， ∴2－b＝1.②
由①②解得ab＝ ＝31， .