椭圆中焦点三角形的性质含答案

椭圆的焦半径，焦点三角形焦半径：椭圆上任意一点和焦点的连线称为焦半径：焦半径公式：椭圆的焦点在x 轴上时，),(00y x P 是椭圆上任意一点，则1PF =_______________, 2PF =___________(左加右减)椭圆的焦点在y 轴上时，),(00y x P 是椭圆上任意一点，则1PF =_______________, 2PF =___________(下加上减)焦点三角形：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则=∆21PF F S ____________性质四：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率=e ________________例1：设),(y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点，21,F F 为它的左，右焦点，求21PF PF ⋅的最值。

例2、已知P 是椭圆1162522=+y x 上的一点，21,F F 是两个焦点，且3021=∠PF F ,求21F PF ∆的面积。

例3、设椭圆的中心为原点O,长轴在x 轴上，上顶点为A,左右焦点分别为21,F F ,线段21,OF OF 的中点分别为21,B B ,且21B AB ∆是面积为4的直角三角形。

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过1B 作直线l 交椭圆于Q P ,两点，使,22QB PB ⊥求直线l 的方程。

椭圆中的焦点三角形定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。

其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形考点1 有关周长和距离问题：例1.（08浙江）已知12F F ,为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若2212F A F B +=，则AB =变式（06年四川）如图把椭圆22221x y a b +=的长轴分成8等分，过每个点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于127,,,P P P 七个点。

F 是椭圆的一个焦点，则127PF PF PF ++=变式2 已知12F F ,是椭圆2212516x y +=的左，右焦点，点P 在椭圆上运动，则12PF PF 的最大值是考点2 有关角的问题：例2（2000全国）椭圆22194x y +=的焦点为12F F ,，点P 为其上的动点，当12FPF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是变式：椭圆22194x y +=的焦点为12F F ,，点P 为其上的动点，当12FPF ∠为直角时，点P 横坐标的取值范围是性质一：当点P 从右至左运动时，12FPF ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，12FPF ∠达到最大变式: (2004湖南卷)12F F ,是椭圆C ：22184x y +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数考点3 有关离心率的问题：例3已知椭圆22221x y a b +=，(0)a b >>的两焦点分别为12F F ,，若椭圆上存在一点P ，使得12FPF ∠0120=，求椭圆离心率e 的取值范围性质二：已知椭圆方程为22221x y a b +=，(0)a b >>的两焦点分别为12F F ,，设焦点三角形12F PF 中，12FPF ∠θ=，则2cos 12e θ≥-（当且仅当动点为短轴端点时取等号）变式（09江西）已知12F F ,是椭圆的两个焦点，满足12MF MF 0=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围考点4 有关面积的问题：（122tan2F PF S b θ∆=）（θ为焦点三角形顶角）例4P 是椭圆22154x y +=上的点，12F F ,是椭圆的焦点，若12FPF ∠6π=，则12PF F 的面积等于变式：P是椭圆2214xy+=上的点，12F F,是椭圆的焦点，若12FPF∠3π=，则12PF F的面积等于变式：（04湖北）已知椭圆221169x y+=的左右焦点分别是12F F,，点P在椭圆上，若12,,P F F是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A 95B 3 C94D94或7性质4过椭圆焦点的所有弦中通径（垂直于焦矩的弦），最短，通径为22b a（2007天津）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=． 解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac=+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF，即23c =将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F AOF F A=． 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以2212132F AF A F A a F A==-， 解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a =． （Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0x y -，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=， 整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=，于是122412km x x k +=-+，21222212m b x x k -=+．由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k---=++=+++··． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，． 所以120x x x ==，12y =，．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即2220202b x x --=， 解得22023x b =． 这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=． 综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD Q Q ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ②由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=． 整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=，于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥。

高中数学破题致胜微方法（椭圆的基本性质）11.椭圆中焦点三角
形的周长问题 Word版含答案
今天我们研究椭圆中焦点三角形的周长问题。

利用椭圆的第一定义，过椭圆一个焦点
的弦与另一个焦点构成的三角形周长为定值，即长轴的倍。

先看例题：例：如图,椭圆:的左焦点为,过的直线交椭圆于两点,求△的周长.
规律整理：椭圆
的左焦点为，右焦点为，
过的直线交椭圆于，两点，则的周长为
椭圆的左焦点为，右焦点为，
过的直线交椭圆于，两点，则的周长为
注意：这类三角形周长为定值，与直线的倾斜角无关。

再看一个例题，加深印象例：在平面直角坐标系
中，椭圆的中心为原点，焦点
在轴上，离心率为
.过的
直线交于，两点，且的周长为，那么的方程为（）
即.
又,所以,所以.故椭圆的方程是. 练习：
. 设，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，△的周长为，求；若，求椭圆的离心率.
. 已知椭圆：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于、两点，若△的周长为，则的方程为( ) . . . .
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椭圆中焦点三角形的性质及应用
又，故满足：故为直角三角形、说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功、性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。

性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。

证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得：
命题得证。

（2000年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。

简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到的取值范围是性质五：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。

由正弦定理得：由等比定理得：而，∴。

已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120，求tanF1PF2．解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝∴椭圆的方程为＝1．(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60－θ椭圆的离心率则，整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．
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焦点三角形是指由椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形.焦点三角形较为特殊，其一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴.与焦点三角形有关的问题经常出现在解析几何试题中.下面结合实例来探讨一下与焦点三角形有关的问题的解法.一、根据椭圆或双曲线的定义求解解答椭圆和双曲线中焦点三角形问题，首先要明确这两种圆锥曲线的几何特征和定义.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.若P为椭圆上一点，根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|=2a.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，用代数式可表示为||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ，根据椭圆的定义可知（1）4c2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ；(2)S△PF1F2=|PF1||PF2|·sinθ；(3)焦点三角形的周长为2(a＋c).对于双曲线，也有类似的性质.例1.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为()5,0和()-5,0，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，ΔABC的面积为2，则双曲线的方程为.解：设||PF1=r1，||PF2=r2，根据双曲线的第一定义可知，||r1-r2=2a，因为PF1⊥PF2，所以r21+r22=||F1F22，可得ìíîïïïïr21+r22=20，SΔABC=12r1r2=2，||r1-r2=2a，解得a2=3，而c=5，所以b2=2，可得双曲线方程：x23-y22=1.此题比较简单，根据题目中的垂直关系，利用双曲线的定义和三角形的面积公式即可建立关于||PF1、||PF2的方程组，解方程组就可以求出双曲线的方程.例2.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1,F2，曲线C1和C2的一个交点为P，且PF1⊥PF2，则C1的离心率e1与C2的离心率e2一定满足的关系是（）.A.e1+e2=2B.1e1+1e2=2C.e21+e22=2D.1e21+1e22=2解：设椭圆C1的方程为x2a21+y2b21=1，双曲线C2的方程为x2a22-y2b22=1，点P在第一象限，半焦距为c.则||PF1+||PF2=2a1，||PF1-||PF2=2a2，所以||PF1=a1+a2,||PF2=a1-a2，因为PF1⊥PF2，||PF12+||PF22=4c2，所以a21+a22=2c2，所以æèçöø÷a1c2+æèçöø÷a2c2=2，即1e21+1e22=2.解答本题，需利用椭圆与双曲线的定义，借助勾股定理建立关于||PF1、||PF2的方程，然后将其转化为a、c的方程，根据圆锥曲线离心率公式e=c a，得到e1、e2的关系式.二、根据正余弦定理求解若三角形ABC的三个内角的对边为a、b、c，则有正弦定理：asin A=b sin B=c sin C=2R.余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C.在解答与焦点三角形有关的问题时，可根据正余弦定理建立关于焦点三角形三边的关系式，通过解方程求考点透视36丈丈丈丈数列求和问题是高考数学试题中的“常客”.这类问题的命题形式多变，侧重于考查等差、等比数列的性质、通项公式、前n 项求和公式.解答此类问题的常用方法有分类讨论法、并项求和法、倒序相加法、裂项相消法等.本文主要介绍分类讨论法、倒序相加法和裂项相消法.一、分类讨论法有时数列中出现几类具有不同特征的项，此时需采用分类讨论法来求数列的和.运用分类讨论法求数列的和，需根据数列中各项的特点，对n 进行分类讨论，如分奇数项、偶数项，分整数项、分数项，分正数项、负数项等.运用该方法解题，需仔细观察数列的通项公式的结构或数列中各项的特点，并确定分类的标准，然后逐类进行讨论，求出各类数列的和，最后综合所得的结果即可解题.例1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=4，a n +1=2S n +1.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.解：（1）数列n 的通项公式是a n n -1.（过程略）（2）设b n =||3n -1-n -2，则b 1=2，b 2=1，当n ≥3时，3n -1>n +2，可得b n =3n -1-n -2，n ≥3，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1=2，T 2=3.当n ≥3时，T n =3+9()1-3n -21-3-()n +7()n -22=3n-n 2-5n +112，故T n =ìíîïï2,(n =1)3n -n 2-5n +112.()n ≥2数列{b n }的通项公式中含有绝对值，经分析可知，当n =1、2时和当n ≥3时数列的前n 项和式不一样，因此需采用分类讨论法，分别讨论当n =1、2时和当n ≥3时数列的通项公式和前n 项和，最后综合所有情况即可.二、倒序相加法倒序相加法是求数列前n 项和的常用方法之一，考点透视。

椭圆焦点三角形的性质马振保椭圆是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点．而椭圆焦点三角形相关问题.在求解这类问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大的繁锁，产生厌学数学的情绪．为了解除这种困惑，培养或提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握一定的解题方法或数学思想是很必要的．在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首先探讨椭圆焦点三角形的性质，然后再讨论这些性质的应用.椭圆上一点与其两焦点所构成的三角形叫做椭圆的焦点三角形.椭圆焦点三角形的性质以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点1F ，2F 及椭圆上任意一点P （除长轴上两个端点外）为顶点的21PF F ∆，叫做椭圆的焦点三角形.设21PF F ∠=θ，21F PF ∠=α，12F PF ∠=β，椭圆的离心率为e ，则有以下性质：图1性质1 θcos 12221+=⋅b PF PF . 证明：在21PF F ∆中，由余弦定理，有2221212221)2(cos 2c F F PF PF PF PF ==⋅⋅-+θa PF PF 221=+221222142a PF PF PF PF =⋅++∴2212124cos 224c PF PF PF PF a =⋅⋅-⋅-∴θ整理，得.cos 12221θ+=⋅b PF PF例1 如图2：1F 、2F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF ∆是面积为1的正三角形，求2b 的值．图2分析：此题按常规思路是从12=∆POF S 入手，即=S 224360sin 21c PO OF =⋅︒，求得.3342=c 所以点P 的坐标分别为2c ，c 23.由于点P 在椭圆上，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22222221434ac b bc a c 解此方程组就可得到2b 的值．但这涉及到解二元二次方程组，计算量很大，非常麻烦.若用性质1求解可使运算得以简化．解：连接,1PF 则︒=∠9021PF F ， 有21221PF F POF S S ∆∆=︒⋅⋅⋅=∴90sin 2121121PF PF.290sin 90cos 1241122=∴⋅+⋅=∴︒︒b b 性质2 .2tan221θ⋅=∆b S PF F证明：由性质1得θsin 212121⋅⋅⋅=∆PF PF S PF F .2tan cos 1sin sin cos 1221222θθθθθ⋅=+⋅=⋅+⋅=b b b 例2 已知1F 、2F 是椭圆1256422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上任一点，且321π=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：如果设P 点的坐标为),(y x ，由P 点在已知椭圆上且321π=∠PF F ，利用这两个条件，列出关于x ,y 的两个方程，解出x ,y ．再求21PF F ∆的面积，这种方法，运算量大且过程繁杂，须另寻捷径．知道321π=∠PF F ，可以直接利用性质2求解，使运算量简化.解：2tan221θ⋅=∆b S PF F.33256tan2521=⋅=∴∆πPF F S 例3已知点),(00y x P )0(0>y 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任一点，且θ=∠21PF F .求证：2tan 20θ⋅=c b y . 证明： 0212221211y c h F F S PF F ⋅⋅=⋅⋅=∆ 2tan221θ⋅=∆b S PF F=⋅⋅∴0221y c 2tan 2θ⋅b00>y.2tan 20θ⋅=∴c b y例4 点P 是椭圆14522=+y x 上一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标．分析：要求点P 的坐标，不妨设P 点坐标为),(00y x ，由P 点在已知椭圆上和21PF F ∆的面积等于1，可列两个方程，解方程可得点P 的坐标．此题也可在例3的基础上进行求解．解：设P 点坐标为),(00y x ,则有cc S c b y PF F 12tan 2120==⋅=∆θ122=-=b a c.1100±=∴=∴y y把10±=y 代入14522=+y x 得.2150±=x .1215121512151215），），（，），（，），（，坐标为（点----∴P 性质3)12arccos(22-≤<ab O θ.证明：由正弦定理，有θαβsin sin sin 2121F F PF PF ==)](180sin[sin sin sin sin sin 2121βαβαθβα+-+=+=+∴F F PF PF2cos2sin 22cos2sin2)sin(sin sin βαβαβαβαβαβα+⋅+⋅-+⋅=++=2sin 12cos 12cos 2cosθβαβαβα=+≤+-=θcos 12-= a PF PF 221=+)(44222221b a c F F -==θθcos 12cos 122222222-≤-∴-≤-∴b a a b a a即2222cos aa b -≥θ. 因为πθ<<0，所以 2222arccos a a b -≤θ.当点P 在长轴上的端点时，0=θ，这时，21PF F ∆不存在，因此，)12arccos(022-≤<ab θ.性质4 离心率 .2cos2cosβαβα-+=e 证明：由正弦定理，有)sin(sin sin sin 212121βαθαβ+===F F F F PF PF2cos2sin 22cos2sin2sin sin )sin(2121βαβαβαβαβαβα-⋅++⋅+=++=+∴PF PF F F .2cos2cosβαβα-+==∴e ac例5（2004年福建高考题）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求这个椭圆的离心率.分析：由2ABF ∆是正三角形可知122AF AF =，根据椭圆的第一定义可求得a AF 2322⋅=.再由22130cos AF F F =︒可求得离心率e.若用性质4解题，求解更简便．解：根据已知条件有.30,902121︒︒=∠=∠A F F F AF （如图3）.3330cos 60cos 23090cos23090cos2cos 2cos ==-+=-+=∴︒︒︒︒︒︒βαβαe图3性质5ee+-=⋅112tan2tanβα. 证明：由正弦定理，有θαβsin sin sin 2121F F PF PF ==βαβαβαθsin sin )sin(sin sin sin 2121++=+=+∴PF PF F F=++==∴βαβαsin sin )sin(a c e 2cos2sin 22cos2sin2βαβαβαβα-+++ 2sin2sin 2cos 2cos 2sin2sin 2cos 2cos 2cos 2cosβαβαβαβαβαβα⋅+⋅⋅-⋅=-+= 2tan2tan12tan 2tan 1βαβα⋅+⋅-= ee+-=⋅∴112tan2tanβα. 例 6 如图4，P 是椭圆12222=+by a x 上一点，1F 、2F 是焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF 求椭圆的离心率．图4分析：知道,2,1221αα=∠=∠F PF F PF 我们可以直接利用性质5解题． 解：由性质5有e e ee +-=⋅=⋅∴+-=⋅11cos 2cos 2sin cos sin 2cos 2sin1122tan 2tan 22αααααααααee +-=+-∴11cos cos cos 122ααα 化简，得.1cos 2-=αe以上五个椭圆焦点三角形的性质是高考考查的重点也是难点，值得我们去重视这部分内容的教学，而双曲线的焦点三角形性质可以类比椭圆的去学习。

焦点三角形的美妙性质焦点三角形的性质，都和焦点三角形的内外角平分线有着紧密联系，同时，又都和圆锥曲线的定义密切相关。

由椭圆和双曲线的定义的相似，我们看出，他们的性质也异常相似！在焦点三角形的统一下，他们的性质和谐地完美着！1 定义椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形，叫做焦点三角形。

2 性质焦点三角形有以下一系列美妙性质：2.1 椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S= b2tan θ 2 ，双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S=b2cot θ 2 ，其中，θ=∠F1PF2，P是椭圆或双曲线上任意一点，F1、F2是对应曲线的焦点。

以下同证明：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，a2=b2＋c2，由余弦定理有：4c2=(2c)2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=(|PF1|+|PF2|) 2 -2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ∴2|PF1||PF2|(1+cosθ)=4a2－4c2= 4(a2-c2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1+cosθ ，∴焦点三角形的面积S= 1 2 |PF1||PF2|sinθ= b 2 sinθ 1+cosθ =b2tan θ2 (∵sinθ1+cosθ =tan θ 2 )对双曲线，则有：|PF1|－|PF2|=±2a，|F1F 2 |=2c，a2＋b2=c2，由余弦定理有：4c 2 =(2c)2= |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1|－|PF2|) 2 ＋2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ= (±2a) 2 ＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4a2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)∴2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4c2－4a2=4(c2－a2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1－cosθ ，∴焦点三角形的面积S=1 2 |PF1||PF2|sinθ=b 2 sinθ 1－cosθ =b2cot θ 2 (∵sinθ 1+cosθ =cot θ 2 )2.2 对椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1 ，设l是其焦点三角形的过点P的外角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；对双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1，设l是其焦点三角形的过点P的内角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆。