数学高一(北师大)必修3素材 1.3用样本的频率分布直方图估计总体分布的过程与步骤

§5 用样本估计总体 5.1 估计总体的分布学习 目标1.理解什么是频率分布表、频率分布直方图、频率折线图．(数学抽象)2.会列频率分布表，会画频率分布直方图和频率折线图，能根据频率分布直方图解决问题．(数据分析、直观想象)3.了解用样本估计总体的意义．(数学抽象)导思 1.频率分布直方图纵轴的含义是什么？2.频率分布直方图的制作步骤是什么？3.如何画频率折线图？1．频率分布表和频率分布直方图 (1)频率分布表编制的方法步骤：(2)频率分布表与频率分布直方图有什么不同？提示：频率分布表能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律．2．频率折线图(1)在频率分布直方图中，按照分组原则，在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．(2)当样本容量不断增大时，样本中落在每个区间内的样本数的频率会越来越稳定于总体在相应区间内取值的概率．也就是说，一般地，样本容量越大，用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确．(3)随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线．频率分布表、频率分布直方图与频率折线图各有什么优缺点？提示：①频率分布表：优点：频率分布表在数量表示上比较确切；缺点：不够直观、形象，分析数据分布的总体趋势不太方便；②频率分布直方图：优点：频率分布直方图能非常直观地表明数据分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式；缺点：从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了；③频率折线图：优点是它反映了数据的变化趋势．缺点：由图本身得不到原始的数据信息．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)频率分布直方图中的纵坐标指的是频率的值．()(2)频率分布直方图的宽度没有实际意义．()(3)频率分布直方图中各小矩形的面积之和可以不为1.()(4)在画频率折线图时，可以画成与横轴相连．()提示：(1)×.纵坐标指的是频率与组距的比值．(2) ×.频率分布直方图的宽度表示组距．(3)×.各小矩形的面积之和一定为1.(4) √.为了方便看图，一般习惯把频率折线图画成与横轴相连，所以横轴上左右两端点没有实际的意义．2．已知一个容量为40的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为5，6，7，10，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是________，频率是________. 【解析】第五组的频数为0.2×40＝8.所以第六组的频数为40－5－6－7－10－8＝4.频率为440＝0.1.答案：40.13．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50，60)内的汽车有________.【解析】因为小长方形的面积即为对应的频率，时速在[50，60)内的频率为0.3，所以有200×0.3＝60(辆).答案：60辆4．(教材例题改编)一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为50和0.25，则n＝________．【解析】由题意得50n＝0.25，所以n＝200.答案：200类型一频率分布直方图的绘制(数据分析、直观想象)【典例】1.频率分布直方图中，小矩形的面积等于()A．组距B．频率C．组数D．频数2．调查某校高一年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图．【思路导引】1.根据频率直方图中小矩形的几何意义，即可求解． 2．极差＝180－151＝29，组距为3，可分为10组．【解析】1.选B.根据小矩形的宽及高的意义，可知小矩形的面积为一组样本数据的频率．2．(1)①求极差：从数据中可看出，最大值是180，最小值是151，故极差为180－151＝29.②确定组距与组数：取3为组距，则极差组距 ＝293 ＝923 ，故可将样本数据分成10组．③第一组起点定为150.5，组距为3，这样分出10组：[150.5，153.5)，[153.5，156.5)，[156.5，159．5)，[159.5，162.5)，[162.5，165.5)，[165.5，168.5)，[168.5，171.5)，[171.5，174.5)，[174.5，177.5)，[177.5，180.5]. ④列频率分布表174.5～177.510.025177.5～180.510.025(2)画频率分布直方图如图所示：绘制频率分布直方图的注意事项(1)计算极差，需要找出这组数的最大值和最小值，当数据很多时，可选一个数当参照．(2)将一批数据分组，目的是要描述数据分布规律，要根据数据多少来确定分组数目，一般来说，数据越多，分组越多．(3)将数据分组，决定分点时，一般使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点．(4)列频率分布表时，可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内，以“正”字确定各个小组内数据的个数．(5)画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，一定不能标成频率．1．有一个容量为45的样本数据，分组后各组的频数如下：(12.5，15.5]，3；(15.5，18.5]，8；(18.5，21.5]，9；(21.5，24.5]，11；(24.5，27.5]，10；(27.5，30.5]，4.由此估计，不大于27.5的数据约为总体的()A．91% B．92% C．95% D．30%【解析】选A.不大于27.5的样本数为：3＋8＋9＋11＋10＝41，所以约占总体百分比为4145×100%≈91%.2．某中学同年级40名男生的体重数据如下(单位：千克)：616059595958585757575756 565656565656555555555454 54545353525252525251515150504948列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图． 【解析】①计算极差：61－48＝13(千克)； ②决定组距与组数，取组距为2，因为132 ＝612 ，所以共分7组；③决定分点，使分点比数据多一位小数．并把第1小组的分点减小0.5，即分成如下7组：47．5～49.5，49.5～51.5，51.5～53.5，53.5～55.5，55.5～57.5，57.5～59.5，59.5～61.5.④列出频率分布表如下：分组(Δx i ) 频数(n i ) 频率(f i ) 47.5～49.5 2 0.05 49.5～51.5 5 0.125 51.5～53.5 7 0.175 53.5～55.5 8 0.20 55.5～57.5 11 0.275 57.5～59.5 5 0.125 59.5～61.5 2 0.05 合计401.00⑤作出频率分布直方图如下：3．某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：107～109，3株；109～111，9株；111～113，13株；113～115，16株；115～117，26株；117～119，20株；119～121，7株；121～123，4株；123～125，2株．(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在109～121范围内的可能性是百分之几．【解析】(1)频率分布表如下：分组频数频率累积频率107～10930.030.03109～11190.090.12111～113130.130.25113～115160.160.41115～117260.260.67117～119200.200.87119～12170.070.94121～12340.040.98123～12520.02 1.00合计100 1.00(2)频率分布直方图如下：(3)由上述图表可知数据落在109～121范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在109～121范围内的可能性是91%.类型二频率折线图的画法及应用【典例】从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：40～50，2；50～60，3；60～70，10；70～80，15；80～90，12；90～100，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图及频率折线图； (3)估计成绩在60～90分的学生比例．【思路导引】画频率分布直方图和折线图⇒制作好频率分布表⇒纵坐标表示频率与组距的比值．【解析】(1)样本的频率分布表如下：成绩分组(Δx i ) 频数(n i ) 频率(f i ) f i Δx i 40～50 2 0.04 0.004 50～60 3 0.06 0.006 60～70 10 0.2 0.02 70～80 15 0.3 0.03 80～90 12 0.24 0.024 90～10080.160.016(2)频率分布直方图及频率折线图如图所示：(3)成绩在60～90的频率为1－0.04－0.06－0.16＝0.74， 所以可估计成绩在60～90分的学生比例为74%.本例条件不变，估计成绩在50～80分的学生的比例．【解析】成绩在50～60分的学生的频数为3，在60～70的学生的频数为10，在70～80分的学生的频数为15，所以成绩在50～80分的学生的频数为28，占总体的2850 ＝1425 .频率折线图的作法及应用(1)作法：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.(2)应用：频率折线图也是用一个单位长度表示一定的数量，但是，它是根据数量的多少在图中描出各个点，然后把各个点用线段顺次连接成的折线，因此，它不但可以表现出数量的多少，而且能够以折线的起伏，清楚而直观地表示出数量的增减变化的情况．提醒：画图时，横轴和纵轴的单位可不一致．有一个容量为100的某校毕业生起始月薪的样本，数据的分组及各组的频数如下：起始月薪(百元)[13，14)[14，15)[15，16)[16，17) 频数7112623起始月薪(百元)[17，18)[18，19)[19，20)[20，21]频数1584 6(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率折线图；(3)根据频率分布估计该校毕业生起始月薪低于2 000元的频率．【解析】(1)样本的频率分布表为起始月薪(百元)频数频率[13，14)70.07[14，15)110.11[15，16)260.26[16，17)230.23[17，18)150.15[18，19)80.08[19，20)40.04[20，21]60.06总计100 1.00(2)频率分布直方图和频率折线图如图．(3)起始月薪低于2 000元的频率为0.07＋0.11＋…＋0.04＝0.94，故起始月薪低于2 000元的频率的估计值是0.94.【补偿训练】某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80), [80，100].(1)求直方图中x的值；(2)如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1 000名新生中有多少名学生可以申请住宿．【解析】(1)由(x＋0.012 5＋0.006 5＋0.003×2)×20＝1，解得x＝0.025.(2)上学所需时间不少于40分钟的学生的频率为：(0.006 5＋0.003×2)×20＝0.25，估计学校1 000名新生中有1 000×0.25＝250名学生可以申请住宿．答：估计学校1 000名新生中有250名学生可以申请住宿．类型三用样本分布估计总体分布【典例】1.(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间2．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少；(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．【思路导引】1．利用频率分布直方图，计算出低于60分的人数的频率p，利用频数除以相应的频率p 得总人数．2．利用110次以上(含110次)的矩形面积除以所有的矩形面积之和，即可估计高一学生的达标率．【解析】1.选C. 低于4.5万元的比率估计为0.02×1＋0.04×1＝0.06＝6%，故A 正确；不低于10.5万元的比率估计为(0.04＋0.02×3)×1＝0.1＝10%，故B 正确；平均值为：(3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02)×1＝7.68万元，故C 不正确；4.5万元到8.5万元的比率为：0.1×1＋0.14×1＋0.2×1＋0.2×1＝0.64＝64%，故D 正确．2．(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此，第二小组的频率为：42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08. 又因为第二小组频率＝第二小组频数样本容量， 所以样本容量＝第二小组频数第二小组频率＝120.08 ＝150. (2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%. (3)由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内．用样本估计总体的常用方法(1)用频率分布表估计总体分布．根据样本数据可以制作频率分布表，利用频率分布表中的数据，如各小组的频数、频率，可以对总体中的有关量进行估计．(2)用频率分布直方图估计总体分布．根据样本数据绘制出的频率分布直方图具有直观的特点，可以直接判断出样本中数据的分布特点和变化趋势与规律，并由此对总体进行估计．(3)用频率折线图估计总体分布．由样本频率分布直方图可以绘制出频率折线图，且样本容量越大，分组的组距不断缩小，那么折线图就越接近于总体分布，从而由频率折线图对总体估计就越精确．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96，106](单位：厘米)，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].(1)求出x 的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本容量N 的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数．【解析】(1)由题意可知：(0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x )×2＝1，解得：x ＝0.075.(2)设样本中身高小于100厘米的频率为p 1，所以，p 1＝(0.050＋0.100)×2＝0.30，而p 1＝36N ，所以N ＝36p 1＝360.30 ＝120. (3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为p 2＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数n ＝p 2N ＝120×0.75＝90.。

2019-2020年高中数学《用样本的频率分布估计总体分布》教案1 北师大版必修3教学目标：知识与技能（1）通过实例体会分布的意义和作用。

（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。

（3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计。

过程与方法通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。

情感态度与价值观通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。

重点与难点重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。

难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。

教学设想【创设情境】在ＮＢＡ的xx赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布（板出课题）。

【探究新知】〖探究〗：P55我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。

如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等。

5用样本估计总体
【要点梳理】
要点一、频率分布的概念
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.
一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：
1.计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差
2.决定组距与组数
3.将数据分组
4.列频率分布表
5.画频率分布直方图
要点诠释：
频率分布直方图的特征：
1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.
2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.
要点二、频率分布折线图、总体密度曲线
1.频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.
2.总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，样本容量越大，所分组数越多，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
要点诠释：总体密度曲线能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息，能够精确的反映一个总体在各个区域内取值的规律.
要点三、茎叶图
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.
要点诠释：
茎叶图的特征：
(1)用茎叶图表示数据有两个优点：一是在统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示.
(2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.。

高中数学用样本的频率分布估计总体分布教案3北师大版必修3教学分析教科书通过探究栏目引导学生摸索居民生活用水定额治理问题,引出总体分布的估量问题,该案例贯穿于本节始终.通过对该问题的探究,使学生学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图.教科书在那个地点要紧介绍有关频率分布的列表和画图的方法,而关于频率分布的随机性和规律性方面则给教师留下了较大的发挥空间.教师能够通过初中有关随机事件的知识,也能够利用运算机多媒体技术,引导学生进一步体会由样本确定的频率分布表和频率分布直方图的随机性；通过初中有关频率与概率之间的关系,了解频率分布直方图的规律性,即频率分布与总体分布之间的关系,进一步体会用样本估量总体的思想.由于样本频率分布直方图能够估量总体分布,因此能够用样本频率分布特点来估量相应的总体分布特点,这就提供了估量总体特点的另一种途径,其意义在于：在没有原始数据而仅有频率分布的情形下,此方法能够估量总体的分布特点.三维目标1.通过实例体会分布的意义和作用,通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的方法.2.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图,明白得数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.3.通过对样本分析和总体估量的过程,感受数学对实际生活的需要,通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特点,从而恰当地选择上述方法分析样本的分布,准确地作出总体估量,认识到数学知识源于生活并指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系.重点难点教学重点：会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.教学难点:能通过样本的频率分布估量总佒的分布.课时安排1课时教学过程导入新课思路1在NBA的2006赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场竞赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33请问从上面的数据中你能否看出甲、乙两名运动员哪一位发挥比较稳固？如何依照这些数据作出正确的判定呢？这确实是我们这堂课要研究、学习的要紧内容——用样本的频率分布估量总体分布（板书课题）.思路2如何样通过上表中的数据,分析比较两时刻段内的高温（≥33 ℃）状况？这确实是我们这堂课要研究、学习的要紧内容——用样本的频率分布估量总体分布.思路3讨论：我们要了解我校学生每月零花钱的情形,应该如何样进行抽样？提问：学习了哪些抽样方法？一样在什么时候选取什么样的抽样方法呢?讨论：通过抽样方法收集数据的目的是什么？（从中查找所包含的信息,用样本去估量总体）指出两种估量手段：一是用样本的频率分布估量总体的分布,二是用样本的数字特点（平均数、标准差等）估量总体的数字特点.这确实是我们这堂课要研究、学习的要紧内容——用样本的频率分布估量总体分布.推进新课新知探究提出问题（1）我国是世界上严峻缺水的国家之一,都市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水,打算在本市试行居民生活用水定额治理,即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费.假如期望大部分居民的日常生活不受阻碍,那么标准a定为多少比较合理呢？你认为,为了较合理地确定出那个标准,需要做哪些工作？（让学生展开讨论）（2）什么是频率分布？（3）画频率分布直方图有哪些步骤？（4）频率分布直方图的特点是什么？讨论结果：（1）为了制定一个较为合理的标准a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情形,比如月均用水量在哪个范畴的居民最多,他们占全市居民的百分比情形等.因此采纳抽样调查的方式,通过分析样本数据来估量全市居民用水量的分布情形.分析数据的一种差不多方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据的排列方式,作图能够达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式,为我们提供说明数据的新方式.下面我们学习的频率分布表和频率分布图,则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度,来表示数据分布的规律.能够让我们更清晰地看到整个样本数据的频率分布情形.（2）频率分布是指一个样本数据在各个小范畴内所占比例的大小；一样用频率分布直方图反映样本的频率分布.（3）其一样步骤为：①运算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图.（4）频率分布直方图的特点：①从频率分布直方图能够清晰地看出数据分布的总体趋势.②从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.同样一组数据,假如组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也会不同.不同的形状给人以不同的印象,这种印象有时会阻碍我们对总体的判定,分别以0.1和1为组距重新作图,然后谈谈你对图的印象.提出问题（1）什么是频率分布折线图？（2）什么是总体密度曲线？（3）关于任何一个总体，它的密度曲线是否一定存在？是否能够被专门准确地画出来？（4）什么叫茎叶图？画茎叶图的步骤有哪些？（5）茎叶图有什么特点？讨论结果：（1）连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.（2）在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映总体在各个范畴内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息.（3）实际上,尽管有些总体密度曲线是客观存在的,但一样专门难像函数图象那样准确地画出来,我们只能用样本的频率分布对它进行估量,一样来说,样本容量越大,这种估量就越精确．（4）当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把如此的图叫做茎叶图.画茎叶图的步骤如下：①将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分,在此例中,茎为十位上的数字,叶为个位上的数字;②将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列,写在左(右)侧;③将各个数据的叶按大小次序写在其茎右(左)侧.（5）①用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的缺失,所有数据信息都能够从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据能够随时记录,随时添加,方便记录与表示.②茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上的数据尽管能够记录,然而没有表示两个记录那么直观,清晰.茎叶图、频率分布表和频率分布直方图差不多上用来描述样本数据的分布情形的.茎叶图由所有样本数据构成,没有缺失任何样本信息,能够在抽样的过程中随时记录(这关于教练员发觉运动员现场状态专门有用);而频率分布表和频率分布直方图则缺失了样本的一些信息,必须在完成抽样后才能制作.正确利用三种分布的描述方法，都能得到一些有关分布的要紧特点(如分布是否具有单峰性、是否具有对称性、样本点落在各分组中的频率等),这些要紧特点受样本的随机性的阻碍比较小,更接近于总体分布的相应的特点.频率分布表和频率分布直方图之间的紧密关系是明显的,它们只只是是相同的数据的两种不同的表达方式,茎叶图和频率分布表极为类似,事实上,茎相当于频率分布表中的分组;茎上叶的数目相当于频率分布表中指定区间组的频数.应用示例思路1例1 有100名学生,每人只能参加一个运动队,其中参加足球队的有30人,参加篮球队的有27人,参加排球队的有23人,参加乒乓球队的有20人.(1)列出学生参加运动队的频率分布表. (2)画出频率分布条形图.解：(1)参加足球队记为1,参加篮球队记为2,参加排球队记为3,参加乒乓球队记为4,得频率分布表如下：试验结果 频数 频率 参加足球队（记为1） 30 0.30 参加篮球队（记为2） 27 0.27 参加排球队（记为3） 23 0.23 参加乒乓球队（记为4）20 0.20 合 计1001.00(2)由上表可知频率分布条形图如下：例2 为了了解中学生的躯体发育情形,对某中学17岁的60名女生的身高进行了测量,结果如下：（单位：cm ）154 159 166 169 159 156 166 162 158 156 166 160 164 160 157 151 157 161 158 153 158 164 158 163 158 153 157 162 159 154 165 166 157 151 146 151 160 165 158 163 163 162 161 154 165 162 159 157 159 149 164 168 159 153 列出样本的频率分布表；绘出频率分布直方图.解：第一步,求极差：上述60个数据中最大为169,最小为146. 故极差为：169－146＝23 cm.第二步,确定组距和组数,可取组距为3 cm,则组数为327323 ,可将全部数据分为8组. 第三步,确定组限：［145.5,148.5),［148.5,151.5),［151.5,154.5),［154.5,157.5),［157.5,160.5),［160.5,163.5),［163.5,166.5),［166.5,169.5). 第四步,列频率分布表：分组 个数累计频数 频率 ［145.5,148.5)1 0.017 ［148.5,151.5) 3 0.050 ［151.5,154.5) 6 0.100 ［154.5,157.5) 8 0.133 ［157.5,160.5) 18 0.300 ［160.5,163.5)11 0.183 ［163.5,166.5) 10 0.167 ［166.5,169.5)30.050合计60 1.000 第五步,依照上述数据绘制频率分布直方图如下图：以上例1和例2两种情形的不同之处在于,前者的频率分布表列出的是几个不同数值的频率,相应的条形图是用其高度表示取各个值的频率；后者的频率分布表列出的是在不同区间内取值的频率,相应的直方图是用图表面积的大小来表示在各个区间内取值的频率.我们在处理一个数理问题时能够采纳样本的频率分布估量总体分布的方法,这是因为,频率分布随着样本容量的增大更加接近于总体分布,当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时,频率分布的直方图就演变成一条光滑的曲线——总体密度曲线.这条曲线是客观存在的,然而我们却专门难将它准确地画出,我们只能用样本的频率分布去对它进行估量.基于频率分布与相应的总体分布有这种关系,再加上我们通常并不明白一个总体的分布,我们往往是从一个总体中抽取一个样本,用样本的频率去估量相应的总体分布.一样说来,样本的容量越大,这种估量就越精确.例3 从某校高一年级的1 002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本,如下（单位：cm）．作出该样本的频率分布表，并估量身高不小于170(cm)的同学所占的百168 165 171 167 170 165 170 152 175 174 165 170 168 169 171 166 164 155 164 158 170 155 166 158 155 160 160 164 156 162 160 170 168 164 174 170 165 179 163 172 180 174 173 159 163 172 167 160 164 169 151 168 158 168 176 155 165 165 169 162 177 158 175 165 169 151 163 166 163 167 178 165 158 170 169 159 155 163 153 155 167 163 164 158 168 167 161 162 167 168 161 165 174 156 167 166 162 161 164 166（2）将区间［150.5,180.5］分成10组；分别是［150.5,153.5),［153.5,156.5),…,［177.5,180.5)；（3）从第一组［150.5,153.5)开始分别统计各组的频数,再运算各组的频率,列频率分布表：分组频数累计频数频率［150.5,153.5) 4 4 0．04［153.5,156.5) 12 8 0．08［156.5,159.5) 20 8 0．08［159.5,162.5) 31 11 0．11［162.5,165.5) 53 22 0．22［165.5,168.5) 72 19 0．19依照频率分布表能够估量,估量身高不小于170的同学所占的百分率为： ［0.14×5.1685.1711705.171--+0.07+0.04+0.03］×100%=21%．点评：一样地，编制频率分布表的步骤如下： （1）求极差,决定组数和组距；（2）分组,通常对组内的数值所在的区间取左闭右开区间； （3）登记频数,运算频率,列出频率分布表．思路2(1)列出样本频率分布表; (2)画出频率分布直方图;(3)估量身高小于134 cm 的人数占总人数的百分比.分析：依照样本频率分布表、频率分布直方图的一样步骤解题.（2）其频率分布直方图如下：（3）由样本频率分布表可知身高小于134 cm 的男孩显现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19,因此我们估量身高小于134 cm 的人数占总人数的19%.例 2 为了了解高一学生的体能情形,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如下图),图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标,试估量该学校全体高一学生的达标率是多少？分析：在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,小长方形的高与频数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于1. 解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小, 因此第二小组的频率为：391517424+++++=0.08；又因为频率=样本容量第二小组频数，因此样本容量=08.012=第二小组频率第二小组频数=150.（2）由图可估量该学校高一学生的达标率约为39151742391517++++++++×100%=88%.例 3 甲、乙两篮球运动员在上赛季每场竞赛的得分如下,试比较这两位运动员的得分水平．甲：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50; 乙：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.解：画出两人得分的茎叶图如下：从那个茎叶图能够看出甲运动员的得分大致对称,平均得分及中位数、众数差不多上30多分；乙运动员的得分除一个51外,也大致对称,平均得分及中位数、众数差不多上20多分,因此甲运动员发挥比较稳固,总体得分情形比乙好．知能训练1.下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,据下图可知（）A.甲运动员的成绩好于乙运动员B.乙运动员的成绩好于甲运动员C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D.甲运动员的最低得分为0分答案：A2.有一个容量为45的样本数据,分组后各组的频数如下：(12.5,15.5］,3;(15.5,18.5］, 8;(18.5,21.5］,9;(21.5,24.5］,11;(24.5,27.5］,10;(27.5,30.5］,4.由此估量,不大于27.5的数据约为总体的（）A.91%B.92%C.95%D.30%答案：A3.一个容量为20的样本数据,数据的分组及各组的频数如下：（10,20）,2；（20,30）,3；（30,40）,4；（40,50）,5；（50,60）,4；（60,70）,2.则样本在区间（10,50）上的频率为（）A.0.5B.0.7C.0.25D.0.05答案：B4.一个高中研究性学习小组对本地区2000年至2002年快餐公司进展情形进行了调查,制成了该地区快餐公司个数情形的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情形条形图（如下图）,依照图中提供的信息能够得出这三年中该地区每年平均销售盒饭____________万盒．快餐公司个数情形图快餐公司盒饭年销售量的平均数情形图答案：85拓展提升为了了解一大片经济林生长情形,随机测量其中的100株的底部周长,得到如下数据表（单位：cm）.135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 125 97 117 113 110 92 102 109 104 112 109 124 87 131 97 102 123 104 104 128 105 123 111 103 105 92 114 108 104 102 129 126 97 100 115 111 106 117 104 109 111 89 110 121 80 120 121 104 108 118 129 99 90 99 121 123 107 111 91 100 99 101 116 97 102 108 101 95 107 101 102 108 117 99 118 106 119 97 126 108 123 119 98 121 101 113 102 103 104 108 （1）编制频率分布表；（2）绘制频率分布直方图；（3）估量该片经济林中底部周长小于100 cm的树木约占多少？周长不小于120 cm的树木约占多少？解：（1）这组数据的最大值为135,最小值为80, 极差为55,可将其分为11组,组距为5．频率分布表如下：分组频数频率频率/组距［80,85) 1 0.01 0.002［85,90) 2 0.02 0.004［90,95) 4 0.04 0.008［95,100) 14 0.14 0.028［100,105) 24 0.24 0.048［105,110) 15 0.15 0.030［110,115) 12 0.12 0.024［115,120) 9 0.09 0.018［120,125) 11 0.11 0.022［125,130) 6 0.06 0.012［130,135］ 2 0.02 0.004 合计100 1 0.2（3）从频率分布表得,样本中小于100的频率为0.01+0.02+0.04+0.14=0.21,样本中不小于120的频率为0.11+0.06+0.02=0.19,估量该片经济林中底部周长小于100 cm的树木约占21%,周长不小于120 cm的树木约占19%．课堂小结总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于总体分布不易明白,因此我们往往用样本的频率分布去估量总体的分布.总体的分布分两种情形：当总体中的个体取值专门少时,用茎叶图估量总体的分布；当总体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的分布,方法是用频率分布表或频率分布直方图.作业习题2.2A组1、2.设计感想本节课是高一新课程必修三第二章《统计》中的第二节《用样本估量总体》的第一节课,尽管用样本估量总体是一种有用性专门强,操作烦琐、苦恼的工作,但却是统计学中常用的方法,在生产、生活中应用专门广泛.用样本估量总体,事实上确实是一种“以偏概全”“以部分代替全部”的思想.尽管有贬义的成分,但我们依旧要认真去教好学好,而且,这也是平常考试和高考中的重点内容之一.本节要解决的问题确实是:为何要用样本估量总体——社会生产、生活的实际需要(必要性),如竞赛、竞技中推测结果,评判质量谁好谁差,水平谁高谁低经常要用到.如何去用样本估量总体——用样本的频率分布去估量总体的频率分布；如何样用样本估量总体——作出样本频率分布表或频率分布直方图，明白得用“数据”语言说话.另外,本节课通过选取一些学生专门关怀的周围事例,对学生进行思想情操教育、意志教育并增强学生的自信心,使学生养成良好的学习态度.。