天津市静海县第一中学2015-2016学年高二12月学生学业能力调研考试数学(理)试题

2015-2016学年天津市静海一中高二（下）开学数学试卷（理科）一、选择题：（每小题4分，共28分）.1．（4分）设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（）A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥cC．b⊂β，若b⊥α，则β⊥αD．a，b⊂α，a∩b＝P，c⊥a，c⊥b，若α⊥β，则c⊂β2．（4分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0平行，则m的值为（）A．0B．﹣8C．2D．103．（4分）条件甲：“a＞0且b＞0”，条件乙：“方程﹣＝1表示双曲线”，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的全面积是（）A．（368π+65）cm2B．（368+56π）cm2C．（386+56π）cm2D．（386+65π）cm25．（4分）如果椭圆的两焦点为F1（﹣1，0）和F2（1，0），P是椭圆上的一点，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，那么椭圆的方程是（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝16．（4分）若抛物线y2＝2px上恒有关于直线x+y﹣1＝0对称的两点A，B，则p的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（0，）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）7．（4分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）二、填空题：每小题4分，共20分.8．（4分）设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则＝．9．（4分）过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率e＝．10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为CD、DD1的中点，则异面直线EF 与A1C1所成角的余弦值为．11．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝PC＝，侧棱P A与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为．12．（4分）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．三、解答题：共5题，共57分13．（15分）已知直线l1的方程为3x+4y﹣12＝0，（1）求l2的方程，使得：①l2与l1平行，且过点（﹣1，3）；②l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4；（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B两点，求三角形OAB（O为坐标原点）内切圆及外接圆的方程．14．（8分）已知命题p：当x∈R时，不等式x2﹣2x+1﹣m≥0恒成立：命题q：方程x2﹣（m+2）y2＝1表示双曲线，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．15．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB＝90°，∠P AB＝60°，AB＝BC＝CA，平面P AB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．16．（12分）已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣6x﹣6y+14＝0上（1）求的最大值和最小值；（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；（3）求x+y的最大值与最小值．17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°（1）若P A＝AB，求PB与平面PDC所成角的正弦值；（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求P A的长．四、提高题（共15分）18．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e ＝，与双曲线有相同的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II）过点F1的直线l与该椭圆C交于M、N两点，且|+N|＝，求直线l 的方程．（Ⅲ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任一条切线与椭圆C有两个交点A、B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，否则，说明理由．2015-2016学年天津市静海一中高二（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题4分，共28分）.1．【解答】解：A的逆命题为c⊥α，若α∥β，则c⊥β，根据面面平行的几何特征及线面垂直的性质，可得其逆命题成立；B的逆命题为b⊂α，c⊄α，若b∥c，则c∥α，根据线面平行的判定定理，可得其逆命题成立；C的逆命题为b⊂β，若β⊥α，则b⊥α，根据面面垂直的几何特征，当b与两平面的交线不垂直时，结论不成立，故C的逆命题不成立；D的逆命题为a，b⊂α，a∩b＝P，c⊥a，c⊥b，即c⊥α，若c⊂β，则α⊥β，由面面垂直的判定定理，可得其逆命题成立；故选：C．2．【解答】解：∵直线2x+y﹣1＝0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴＝﹣2，解得，故选：B．3．【解答】解：“a＞0且b＞0”，可推得“方程﹣＝1表示双曲线”，即甲可推出乙，而“方程﹣＝1表示双曲线”不能推出“a＞0且b＞0”，即乙不可可推出甲，故甲是乙的充分不必要条件故选：A．4．【解答】解：从该几何体的三视图可知，这个几何体是由两部分构成的，下部分是长方体，上部分是半个圆柱．且长方体的三边长分别为8cm，10cm，8cm，半个圆柱的底面半径为4cm，高为10cm．所以其全面积为（368+56π）cm2．故选：B．5．【解答】解：由|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列得|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|＝4，即2a＝4，a＝2，∴b2＝3．∴椭圆方程为＝1．故选：B．6．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），因为点A和B在抛物线上，所以有①②①﹣②得，．整理得，因为A，B关于直线x+y﹣1＝0对称，所以k AB＝1，即．所以y1+y2＝2p．设AB的中点为M（x0，y0），则．又M在直线x+y﹣1＝0上，所以x0＝1﹣y0＝1﹣p．则M（1﹣p，p）．因为M在抛物线内部，所以．即p2﹣2p（1﹣p）＜0，解得0＜p＜．所以p的取值范围是（）．故选：C．7．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，得到圆心坐标为（1，1），半径r＝1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝1，整理得：m+n+1＝mn≤，设m+n＝x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4＝0的解为：x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．二、填空题：每小题4分，共20分.8．【解答】解：法一：抛物线y2＝2x的焦点F（，0 ），当AB的斜率不存在时，可得A（，1），B（，﹣1），∴＝（，1）•（，﹣1）＝﹣1＝﹣，法二：由题意知，抛物线y2＝2x的焦点坐标为（，0），∴直线AB的方程为y＝k（x ﹣），由得k2x2﹣（k2+2）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1•y2＝k（x1﹣）•k（x2﹣）＝k2[x1•x2﹣（x1+x2）+]∴＝x1•x2+y1•y2＝，故答案为：﹣．9．【解答】解：如图，设设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，直角△ABG中，∠BAG＝60°，所以AB＝2AG，…①由圆锥曲线统一定义得：，∵∴AC＝2BD直角梯形ABDC中，AG＝AC﹣BD＝…②①、②比较，可得AB＝AC，又∵∴答：所求的离心率为10．【解答】解：取AD中点G，连结GF、GE由正方体的性质，可得EG∥A1C1，∠GEF就是异面直线EF与A1C1所成角设正方体的棱长等于2，可得△GEF中，GE＝GF＝EF＝∴∠GEF＝60°，得cos∠GEF＝即异面直线EF与A1C1所成角的余弦值为故答案为：11．【解答】解：过点P作PH⊥平面ABC于H，则∵AH是P A在平面ABC内的射影，∴∠P AH是直线P A与底面ABC所成的角，得∠P AH＝60°，∴Rt△P AH中，AH＝P A cos60°＝，PH＝P A sin60°＝，设三棱锥外接球的球心为O，∵P A＝PB＝PC，∴P在平面ABC内的射影H是△ABC的外心，由此可得，外接球心O必定在PH上，连接OA、OB、OC∵△POA中，OP＝OA，∴∠OAP＝∠OP A＝30°，可得P A＝OA＝∴三棱锥外接球的半径R＝OA＝1．因此该三棱锥外接球的体积为V＝πR3＝，故答案为：．12．【解答】解：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，则：．故答案为3三、解答题：共5题，共57分13．【解答】解：（1）①由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m＝0，以x＝﹣1，y ＝3代入，得﹣3+12+m＝0，即得m＝﹣9，∴直线l2的方程为3x+4y﹣9＝0．②由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x﹣3y+n＝0，令y＝0，得x＝﹣，令x＝0，得y＝，故三角形面积S＝＝4∴得n2＝96，即n＝±4∴直线l2的方程是4x﹣3y+4＝0或4x﹣3y﹣4＝0．（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B两点，即A（0，3），B（4，0），设内切圆的圆心坐标为（a，a），则，∴a＝，∴三角形OAB（O为坐标原点）内切圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝；外接圆的圆心坐标为（2，1.5），外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1.5）2＝6.25．14．【解答】解：当x∈R时，不等式x2﹣2x+1﹣m≥0恒成立，则△＝4﹣4（1﹣m）≤0，解得m≤0，即p：m≤0．方程x2﹣（m+2）y2＝1表示双曲线，则m+2＞0，解得m＞﹣2．即q：m＞﹣2．因为p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q一真一假．若p真q假，则m≤﹣2，若p假q真，则m＞0．综上m≤﹣2或m＞015．【解答】解法一（Ⅰ）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．因为AB＝BC＝CA，所以CD⊥AB，因为∠APB＝90°，∠P AB＝60°，所以△P AD为等边三角形，所以PO⊥AD，又平面P AB ⊥平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AD．PO⊥平面ABC，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角不妨设P A＝2，则OD＝1，OP＝，AB＝4．所以CD＝2，OC＝＝＝在RT△OCP中，tan∠OCP＝＝＝．故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan．（Ⅱ）过D作DE⊥AP于E，连接CE．由已知，可得CD⊥平面P AB．根据三垂线定理知，CE⊥P A．所以∠CED为二面角B﹣AP﹣C的平面角．由（Ⅰ）知，DE＝，在RT△CDE中，tan∠CED＝＝＝2，故二面角B﹣AP﹣C的大小为arctan2．解法二：（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB＝BC＝CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设P A＝2，由已知可得，AB＝4，OA＝OD＝1，OP＝，CD＝2，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，），所以＝（﹣1，﹣2，）＝（0，0，）为平面ABC的一个法向量．设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα＝＝＝．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin（Ⅱ）由（Ⅰ）知，＝（1，0，），＝（2，2，0）．设平面APC的一个法向量为＝（x，y，z），则由得出即，取x＝﹣，则y＝1，z＝1，所以＝（﹣，1，1）．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP的一个法向量为＝（0，1，0），则cosβ＝＝＝．故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．16．【解答】解：如图示：，（1）圆x2+y2﹣6x﹣6y+14＝0即为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4，可得圆心为C（3，3），半径为r＝2，设k＝，即kx﹣y＝0，则圆心到直线的距离d≤r，即≤2，平方得5k2﹣18k+5≤0，解得：≤k≤，故的最大值是，最小值为；（2）x2+y2+2x+3＝（x+1）2+y2+2表示点（x，y）与A（﹣1，0）的距离的平方加上2，连接AC，交圆C于B，延长AC，交圆于D，可得AB为最短，且为|AC|﹣r＝﹣2＝3，AD为最长，且为|AC|+r＝5+2＝7，则x2+y2+2x+3 的最大值为72+2＝51，x2+y2+2x+3的最小值为32+2＝11；（3）圆x2+y2﹣6x﹣6y+14＝0即为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4，令x﹣3＝2cos a，y﹣3＝2sin a，则x+y＝6+2（cos a+sin a）＝6+2sin（a+），∵﹣1≤sin（a+）≤1，∴6﹣2≤6+2sin（a+）≤6+2，∴x+y的最大值为6+2，最小值为6﹣2．17．【解答】解：（1）设AC∩BD＝O，∵在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，P A＝AB＝2，∠BAD＝60°∴BO＝1，AO＝CO＝，如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0），D（﹣1，0，0）∴＝（1，，﹣2），＝（﹣1，，﹣2），＝（0，2，﹣2），设平面PDC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝，得＝（﹣3，，3），设PB与平面PDC所成角为θ，则sinθ＝＝．∴PB与平面PDC所成角的正弦值为．（2）由（1）知＝（﹣1，，0），设P（0，﹣，t）（t＞0），则＝（﹣1，﹣，t），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝，得＝（3，，），同理，平面PDC的法向量＝（﹣3，，），∵平面PCB⊥平面PDC，∴＝﹣9+3+＝0，解得t＝，∴P A＝．四、提高题（共15分）18．【解答】解：（Ⅰ）由双曲线，得，c＝1，又，得a＝，∴b2＝1，故椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）得F1（﹣1，0），设过点F1（﹣1，0）的直线l：y＝k（x+1），由消去y，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，设M（x1．y1），N（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1+y2＝k（x1+x2+2）＝，由于F2（1，0），|+N|＝，则＝（x1﹣1，y1），＝（x2﹣1，y2），即有（x1+x2﹣2）2+（y1+y2）2＝，即有（﹣﹣2）2+（）2＝，解得k2＝1．检验：△＝16k4﹣4（1+2k2）（（2k2﹣2）＝16＞0，故k＝±1．则直线l的方程为：y＝x+1或y＝﹣x﹣1；（Ⅲ）假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2）且OA⊥OB，①当圆的切线不垂直x轴时，设该圆的切线方程为y＝kx+m，与x2+2y2＝2联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，∴△＝8（2k2﹣m2+1）＞0，∴，∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝，∵＝x1x2+y1y2＝0，∴，∴3m2﹣2k2﹣2＝0，则2k2＝3m2﹣2，∴对任意k，符合条件的m满足，∴，即m≥或m≤﹣，∵直线y＝kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，∴圆的半径为r＝，＝，∴所求的圆为，此时该圆的切线y＝kx+m都满足m≥或m≤﹣，∴所求的圆为，②当切线的斜率不存在时，切线x＝±，与椭圆x2+2y2＝2的两个交点为（，±）或（﹣，±），满足OA⊥OB，综上，存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x1，y1），B （x2，y2）且OA⊥OB．。

静海一中2018-2019第一学期高二数学（12月）学生学业能力调研试卷考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（105分）和第Ⅱ卷提高题（ 15分）两部分，共120分，考试时间为120分钟。

2. 试卷书写要求规范工整，卷面整洁清楚，否则酌情减3-5分，并计入总分。

一、选择题: （每小题3分，共18分） 1. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C （ ） A.x y 41±= B.x y 31±= D. x y 2±= 2. 已知等差数列{}n a 中，97=+a a 12a 的值是 （ ）4)1=-，则a 的值是 （ ）313 D. 310 体积为49，底面是边长为 3的正三角与平面111C B A 所成角的大小为 （ ）D. 6π 5 设),(),59,4(),,(2211y x C B y x A 是右焦点为F 的椭圆 192522=+y x 上三个不同的点，则＂CF BF AF ,,成等差数列＂是＂821=+x x ＂的 ( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既非充分也非必要条件6. 如图，21,F F 是椭圆 14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是21,C C 在第二、四象限的公共点．若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是 ( )A. 2B. 3C. 23D.26 二、填空题：（每小题3分，共24分）7. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C的一条渐近线方程是y =与抛物线x y 162=的焦点相同．则双曲线的方程为 ．8. 已知抛物线x y C 4:2=与点)1,1(-M ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与 C 交于B A ,两点，若0=∙MB MA ，则k = ．9. 在数列{}n a 中，2)1(,121=-+=+n n n a a a ，记 n S 是数列{}n a 的前n 项和，则60S = ．为正数，且512911102e a a a a =+，则A 到右焦点的距离等于02x ，则l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4=，则QF =13. 若正项等比数列{}n a ，已知,41=a 且622516a a a =，则 =++++na n a a a 321321 ． 14. 已知1a >， 1b >，则 2211b a a b +--的最小值为 ．三、解答题（本大题共6题，共78分）15. （10分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a S 21+-=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若12log +=n n a b ，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求nT T T 11121+++ 16.(15分) 如图，在三棱锥ABC P -中，ABC PA 底面⊥， 90=∠BAC ．点 N E D ,, 分别为棱BC PC PA ,,的中点，M 是线段AD 的中点，2,4===AB AC PA ．（1）求证：BDE MN 平面//；（2）求二面角N EM C --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为2173，求线段AH 的长．17.（10分） 已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=．（1）当2=a 时，求曲线)(x f 在1=x 处的切线方程；（2）设函数x a x f x h ++=1)()(，求函数)(x h 的单调区间．18. （13分）已知首项为21的等比数列{}n a 是递减数列，其前n 项和为n S ，且332211,,a S a S a S +++成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n n a a b 2log =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式16122≥++n T n 的最大n 值 19.(15分)如图，三棱柱DEF ABC -的侧面BEFC 是边长为 1 的正方形，侧面G DEB AB ADEB BEFC ,60,4, =∠=⊥侧面是DE 的中点．（1）求证：AGF CE 平面//；（2）求证：BEFC GB 平面⊥；（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角B GE P -- 的大小为 45?若存在，求 BP 的长；若不存在，说明理由．第Ⅱ卷 提高题（共15分）20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为 55．（1）求直线BF 的斜率； （2）设直线 BF 与椭圆交于点P (P 异于点B BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ），直线PQ 与y MQ ． ① 求λ的值； ② 若5sin =∠BQP PM静海一中2018-2019第一学期高二数学（12月）学生学业能力调研试卷答题纸第Ⅰ卷基础题（共105分）二、填空题（每题3分，共24分）7. 8. 9. 10.11. 12. 13. 14.三、解答题（本大题共6题，共78分）15. （10分）16.（15分）17．（10分）18.（13分）19.(15分）第Ⅱ卷提高题（共15分）20. （15分）。

2015-2016学年天津市静海一中等六校高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．“9>k ”是“方程14922=-+-k y k x 表示的图形为双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：22194x y k k +=--表示双曲线则有()()94049k k k k --<∴<>或，所以“9>k ”是“方程14922=-+-k y k x 表示的图形为双曲线”的充分不必要条件 【考点】充分条件与必要条件2．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则 A ．若m //α，n //α，则m //n B ．若m //α，m //β，则α//β C ．若m //n ，n α⊥，则m α⊥ D ．若m //α，α⊥β，则m ⊥β【答案】C【解析】试题分析：A 中两直线可能平行，相交或异面；B 中两平面平行或相交；C 中由线面垂直的判定定理可知结论正确；D 中直线m ，平面β间的位置关系可以是平行，相交或直线在面内【考点】空间线面平行垂直的判定与性质 3．下列四个命题中的真命题为 A.0x R ∃∈，使得00sin cos 1.5x x -=-B.x R ∀∈，总有2230x x --≥C.∀x R ∈，∃y R ∈，2y x <D. 0x R ∃∈，∀y R ∈，0y x y ⋅= 【答案】D【解析】试题分析：A 中000sin cos 4x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最小值为B 中满足不等式的x 的范围不是R ；C 中当0x ≤时不等式不成立；D 中01x =时命题成立【考点】命题真假的判定4．已知F 是抛物线2y x =的焦点,B A ,是该抛物线上的两点,||||=3AF BF +,则线段AB 的中点到y 轴的距离为 A ．34 B ．1 C ．54 D ．74【答案】C【解析】试题分析：：∵F 是抛物线2y x =的焦点，F （14，0）准线方程x=-14，设A ()11,x y ，B ()22,x y∴|AF|+|BF|=1211344x x +++=，解得1252x x +=∴线段AB 的中点横坐标为54∴线段AB 的中点到y 轴的距离为54【考点】抛物线方程及性质5．设1F 、2F 是双曲线1322=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，当21PF F ∆的面积为2时，21PF PF ⋅的值为A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】B【解析】试题分析：双曲线1322=-y x 的两个焦点坐标为（-2，0），（2，0） 设P 的坐标为（x ，y ），则∵21PF F ∆的面积为2∴12×4×|y|＝2∴|y|=1，代入双曲线方程解得|x|=6∴()()22122,2,43⋅=---⋅--=-+=PF PF x y x y x y【考点】双曲线性质6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.64B.72C.80D. 112 【答案】C【解析】试题分析：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是边长为4的正方体，上部是高为3的四棱锥的组合体，∴该几何体的体积是32121443803V V V =+=+⨯⨯=【考点】三视图7．已知圆的方程为015822=+-+x y x ，若直线2+=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是 A.43-B ．53-C ．35-D ．54-【答案】A【解析】试题分析：：∵圆C 的方程为015822=+-+x y x ，∴整理得：()2241x y -+=，∴圆心为C （4，0），半径r=1．又∵直线2+=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， ∴点C 到直线y=kx+2的距离小于或等于22≤化简得：2340k k +≤，解之得43-≤k ≤0，∴k 的最小值是43- 【考点】直线与圆相交的性质8．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ） A ．3 B ．2 B ．332 D ．2 【答案】A【解析】试题分析：设1212,,2F P m F P n F F c ===，由余弦定理得()22222cos 60c m n mn =+- ，即2224c m n mn =+-，设1a 是椭圆的长半轴，2a 是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得1212122,2,m n a m n a m a a n a a +=-=∴=+=-，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得22221340a c a -+=，221212123,13⎛⎫⎪⎝⎭==⋅==c a c c a a e e a a，解得2e【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质二、填空题9．已知两直线a y x a l 354)3(:1-=++与8)5(2:2=++y a x l 平行，则=a【答案】7-【解析】试题分析：由题意可知系数满足()()()()354238532a a a a ++=⨯⎧⎪⎨+⨯≠-⨯⎪⎩，解方程得7a =-【考点】两直线平行的判定10．双曲线8822=-ky kx 的一个焦点为)3,0(，则k 的值是 【答案】1k =-【解析】试题分析：2288kx ky -=变形为228119181y x k k k k k⎛⎫⎛⎫-=∴-+-=∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- 【考点】双曲线方程及性质11．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为【答案】【解析】试题分析：设圆锥底面的半径为r ，由题意可得圆锥的母线长为6，再根据圆锥底面的周长等于半圆的弧长，可得2πr=12⋅2π⋅6，求得r=3，故圆锥的高为h ==故此圆锥的体积是211933⋅=⋅⋅r h ππ 【考点】圆锥侧面积12．若点(3,1)是抛物线px y 22=的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝【答案】2【解析】试题分析：过点（3，1）且斜率为2的直线方程为y=2x-5，代入抛物线px y 22=，可得()2252x px -=，即()24202250x p x -++=∴20264p+=，∴p=2， 【考点】抛物线的简单性质13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的范围是【答案】[23【解析】试题分析：：∵B 和A 关于原点对称，∴B 也在椭圆上，设左焦点为F ′，根据椭圆定义：|AF|+|AF ′|=2a ，又∵|BF|=|AF ′|，∴|AF|+|BF|=2a ，①，O 是Rt △ABF 的斜边中点，∴|AB|=2c ，又|AF|=2csin α，②|BF|=2ccos α，③，把②③代入①，得2csin α+2ccos α=2a ，∴1sin cos c a αα=+，即11sin cos 4e πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴sin 13424e ππππαα⎛⎫≤+≤≤+≤≤≤⎪⎝⎭ 【考点】椭圆的简单性质 14．若曲线92-=x y 与直线0=-+m y x 有一个交点，则实数m 的取值范围是 .【答案】{}[)()+∞⋃⋃-,233,03 【解析】试题分析：290x -≥，曲线92-=x y ，可化为()2290x y y -=≥，290x -<，曲线92-=x y ，可化为()2290x y y +=≥，图象如图所示，直线与半圆相切时，m =y=±x ∴实数m 的取值范围是{}[)()+∞⋃⋃-,233,03 【考点】曲线与方程三、解答题15．命题p ：直线3+=kx y 与圆122=+y x 相交于B A ,两点；命题q ：曲线1622=--ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，若q p ∧为真命题，求实数k 的取值范围．【答案】k <-【解析】试题分析：命题p ：直线3+=kx y 与圆122=+y x 相交于A ，B 两点，可得圆心到直线的距离1=<d ，解得k 范围．命题q ：曲线1622=--ky k x 表示焦在y 轴上的双曲线，可得60k k -<⎧⎨<⎩，解得k 范围．由于p ∧q 为真命题，可得p ，q 均为真命题，即可得出试题解析：∵命题p ：直线y=kx+2与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点，∴圆心到直线的距离113002<++-⋅=k k d ，2222-<>∴k k 或，∵命题q ：曲线1622=--ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线 ⎩⎨⎧<<-∴06k k ，解得0<k ， ∵q p ∧为真命题，∴p ，q均为真命题，∴k <-【考点】复合命题的真假；直线与圆的位置关系、双曲线的标准方程及其性质 16．已知圆C ：2230x y Dx Ey ++++=，圆C 关于直线10x y +-=对称，圆心在第． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．【答案】(Ⅰ) 222430x y x y ++-+= (Ⅱ) 03=-+y x 或01=++y x【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的方程写出圆心坐标，因为圆C 关于直线x+y-1=0对称，②，①②联立求出D 和E ，即可写出圆的方程；（Ⅱ）设l ：x+y=a ，根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出a 即可 试题解析：（Ⅰ）由2230x y Dx Ey ++++=知圆心C 的坐标为(,)22D E-- 圆C 关于直线10x y +-=对称∴点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线10x y +-=上，即2D E +=-①且221224D E +-=② 又∵圆心C 在第二象限 ∴0,0D E >< 由①②解得D=2，E=－4∴所求圆C 的方程为：222430x y x y ++-+= （Ⅱ） 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零， 设l ：a y x =+圆C:22(x 1)(y 2)2++-=圆心)2,1(-C 到切线的距离等于半径2,即2221=-+-a,,1-=∴a 或3=a所求切线方程03=-+y x 或01=++y x 【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系17．如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB CA =,1AA AB =，0160=∠BAA ．(Ⅰ)证明C A AB 1⊥；(Ⅱ)若平面ABC ⊥平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)5【解析】试题分析：（Ⅰ）取AB 的中点O ，连接OC ，1OA ，1A B ，由已知可证1OA ⊥AB ，AB ⊥平面1OAC ，进而可得AB ⊥1AC ；(Ⅱ)易证OA ，1OA ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正向，OA为单位长，建立坐标系，求出平面11BB C C 的法向量1AC ，代入向量夹角公式，可得答案试题解析：(Ⅰ)取AB 得中点O ，连结OC ，11,OA A B ，因为CA=CB ，所以OC AB ⊥,由于11,60AB AA BAA =∠= 所以1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥，又因此1OC OA O = ，所以AB ⊥平面1OAC ,又1AC ⊆平面1OAC ,故1AB AC ⊥ (Ⅱ)由(Ⅰ)知1,OC AB OA AB ⊥⊥，又 平面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC 面11ABB A AB=，OC ∴⊥面11,ABB A AB OC =∴⊥面11ABB A 1OC OA ∴⊥1,,OA OC OA ∴两两垂直，以O 为坐标原点，OA的方向为x 轴正方向，OA为单位长度，建立如图坐标系，设AB=CB=2有题设知A (1,0,0),1A(0,,0),C(0,0,),B (－1,0,0),则BC=（1,0，,1BB =1AA =(－1A C=(0,设(),,n x y z = 是平面11CBBC 的法向量，则100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n BC n BB，即00x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可取)1n =-111cos 5⋅∴⋅==n AC n AC n AC 所以1AC 与平面11BB C C所成角的正弦值为5【考点】平面与平面垂直的性质；线面所成角18．已知抛物线24y x =的焦点为F , 直线l 过点(4,0)M . (Ⅰ)若点F 到直线l求直线l 的斜率;(Ⅱ)设,A B 为抛物线上两点, 且AB 不与x 轴垂直, 若线段AB 的垂直平分线恰过点M , 求证: 线段AB 中点的横坐标为定值.【答案】(Ⅰ)【解析】试题分析：（Ⅰ）设直线l 的方程为y=k （x-4），由已知，抛物线C 的焦点坐标为（1，0），因为点F 到直线l=l 的斜率；（Ⅱ）设线段AB 中点的坐标为N ()00,x y ，A ()11,x y ，B ()22,x y ，因为AB 不垂直于x 轴，所以直线MN 的斜率为004y x -，直线AB 的斜率为04x y -，直线AB 的方程为()00004x y y x x y --=-，由此能够证明线段AB 中点的横坐标为定值 试题解析：（Ⅰ）由已知，x=4不合题意．设直线l 的方程为y=k （x-4）， 由已知，抛物线C 的焦点坐标为（1，0）， 因为点F 到直线l的距离为=解得k =，所以直线l的斜率为± (Ⅱ) 设线段AB 中点的坐标为00(,)N x y , ),(),,(2211y x B y x A , 因为AB 不垂直于x 轴,则直线MN 的斜率为004y x -, 直线AB 的斜率为004x y -,直线AB 的方程为00004()x y y x x y --=-,联立方程000024(),4,x y y x x y y x -⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得2200000(1)(4)04x y y y y x x --++-=, 所以012044y y y x +=-,因为N 为AB 中点, 所以1202y y y +=, 即00024y y x =-,所以02x =.即线段AB 中点的横坐标为定值2.【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；点到直线的距离公式19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点.ABCDQMP(Ⅰ)若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ； (Ⅱ)点M 在线段PC 上，PC 31PM =，若平面PAD ⊥平面A B C D，且2P A P D A D ===，求二面角M BQ C --的大小.【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)3π【解析】试题分析：(Ⅰ)由题设条件推导出PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，从而得到AD ⊥平面PQB ，由此能够证明平面PQB ⊥平面PAD ；(Ⅱ)以Q 这坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C 的大小试题解析：(Ⅰ)由题条件，PQ AD BQ AD PQ BQ Q ⊥⎧⎪⊥⎨⎪=⎩AD ⇒⊥平面PQB ，又AD ⊂ 平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD(Ⅱ),PA BD Q = 为AD 的中点PQ AD ∴⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCDAD =PQ ∴⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以,,QA QB QP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()(()0,0,0,1,0,0,,Q A P B ∴)332,33,32(3132-=+=QC QP QM ， 设),,(z y x =是平面MBQ 的一个法向量，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩QM n QB n ，即⎩⎨⎧==03y z x ，令1=z 得⎪⎩⎪⎨⎧===103z y x ，∴)1,0,3(=n ，又)1,0,0(=是平面BQC 的一个法向量，()0,011cos ,2n m n m n m⋅⋅<>=⋅ ，故二面角M BQ C --的大小为3π. 【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题20．巳知椭圆2222:1(0)x yM a b a b +=>>的长轴长为且与椭圆22124+=x y有相同的离心率.(Ⅰ)求椭圆M 的方程；(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M 有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||AB 的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】(Ⅰ)22184x y +=(Ⅱ) 2283x y +=，AB∈⎣【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件推导出22c a e a ===，由此能求出椭圆M 的方程；（Ⅱ）假设存在圆C ：222x y r +=（r ＞0），若l 的斜率不存在，设l ：x=r ，求出2283x y +=，AB =l 的斜率存在，设l ：y=kx+m ，代入椭圆M 的方程，得()222124280k x kmx m +++-=，由此能求出圆C ：2283x y += 和|AB|的取值范围试题解析：(I )椭圆的长轴长为a =22124x y +=有相同的离心率e =故2, 2.c b ==所以椭圆M 的方程为22184x y += (II)若l 的斜率存在，设:l ,y kx m =+因l 与C相切，故r =， 即()2221m r k =+.① 又将直线l 方程代入椭圆M 的方程得()222124280,k x kmx m +++-= 设()()1122,,,,A x y B x y由韦达定理得1x +2x =24,12km k -+12x x =222812m k-+， 由0OA OB ⋅= 得到12x x +12y y =()21k +222812m k-++km 2412km k -++2m =0 化简得22388m k =+，② 联立①②得283r =。

静海一中2015-2016第二学期高二数学（文3月）学生学业能力调研卷命题人：翟建柱 刘卫星 审题人：郭连琴 主管领导：王金龙 考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（105分）和第Ⅱ卷提高题（15分）两部分，共120分。

2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。

第Ⅰ卷 基础题（共105分）一、选择题: （每小题4分，共20分）1.复数2(1)1i z i+=-的所对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于（ ） A ．28B ．32C ．33D ．273.函数()f x 在定义域R 内可导，若()()2f x f x =-，且当(),1x ∈-∞时，()()10x f x '-<，设()0af =，12b f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()3c f =，则（ ） A .a b c << B. b c a << C.c b a << D. c a b <<4.====，…，(b a ,均为实数)，则可推测b a ,的值分别为 （ ）A ．6,35B 6,17C ．5,24D ．5,355.如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( )A. CE ·CB ＝AD ·DBB. CE ·CB ＝AD ·ABC. AD ·AB ＝CD 2D. CE ·EB ＝CD 2二、填空题：（每小题4分，共28分）6.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE //BC ，且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．7..如图，过点D 作圆的切线切于B 点，作割线交圆于A ，C 两点，其中BD ＝3，AD ＝4，AB ＝2，则BC ＝________.第6题第7题8.已知()21f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数,则a 的取值范围是_______. 9.若函数()1ln 212+-=x x x f ，在其定义域()1,1+-a a 内存在极值，则实数a 的取值范围为 . 10.观察下列等式12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10……照此规律，第n 个等式可为________．11.用反证法证明“如果b a >，那么33b a >”的假设内容应是 . 12.已知函数()sin 2'()3f x x xf π=+，则'()3f π=____________.三、解答题（本大题共5题，共57分） 13.（12分）（1）复数z 满足(3)(2)5z i --=求z 的共轭复数； （2）已知复数22(815)(514)()z m m m m im =-++--∈RDAFEOBC①实数m 取什么值时，复数z 是实数；是虚数；是纯虚数； ②实数m 取什么值时，共轭复数z 对应的点在第一象限．14.(10分)（1）已知函数()().ln 122x a x a x x f ++-= 当2=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）已知函数313()22f x x x =-,求过．点(2,1)且与函数()f x 图象相切的切线方程； （3）根据本题总结求过点的曲线切线方程的步骤及注意事项.15.（12分）已知函数()c bx ax x x f +++=23在1-=x 与2=x 处都取得极值．(1)求b a ,的值及函数()x f 的单调区间； (2)若对[]3,2-∈x ，不等式()223c cx f <+恒成立，求c 的取值范围．16. （12分）如图，AB 是⊙O 的直径，F C ,是⊙O 上的点，OC 垂直于直径AB ，过F 点作⊙O 的切线交AB 的延长线于D ．连结CF 交AB 于E 点. (1)求证：DA DB DE ⋅=2；(2)若⊙O 的半径为32，OE OB 3=， 求EF 的长．17. （13分）已知函数()c bx ax x x f +++-=23在()0,∞-上是减函数，在()1,0上是增函数，(1)求b 的值；(2) 曲线()x f y =在点(1,2)处的切线斜率1-，求实数c a ,的值； （3）若1=a ，讨论函数()x f 的零点个数.第Ⅱ卷 提高题（共15分）18.（15分）已知函数()()1ln 0,f x a x a a R x=+≠∈ （1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线斜率及函数()f x 的单减区间； （2）若对于任意(]0,x e ∈，都有()0f x >，求实数a 的取值范围；（3）若函数)1(ln )(-=x x x g ，对于任意(]e x ,01∈，总存在(]e x ,02∈，使得()21)(x f x g >，求实数a 的取值范围.2015-2016学年度第二学期高二数学（文3月）学生学业能力调研卷答题纸第Ⅰ卷基础题（共105分）一、选择题（每题4分，共20分）二、填空题（每题4分，共28分）6._________7.________8._________9. _ _______10. 11. 12.三、解答题（本大题共5题，共57分）13.（12分）14.（10分）(1)(2)(3)15.（12分）DAFEOBC16．（12分）17．（13分）第Ⅱ卷提高题（共15分）18. （15分）2015-2016学年度第一学期高二数学（文12月）学生学业能力调研卷答案1-5CBDAA 6. 答案：457.答案：328. 答案 2；911. 答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n n ＋212. 答案：33b a ≤13. 12-15. 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得DAFEOBC⎩⎪⎨⎪⎧f －＝0，f ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＋b ＝0，12＋4a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－6.∴f (x )＝x 3－32x 2－6x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－3x －6.令f ′(x )<0，解得－1<x <2； 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >2. ∴f (x )的减区间为(－1,2)， 增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)由(1)知，f (x )在(－∞，－1)上单调递增； 在(－1,2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增． ∴x ∈时，f (x )的最大值即为f (－1)与f (3)中的较大者． f (－1)＝72＋c ，f (3)＝－92＋c .∴当x ＝－1时，f (x )取得最大值． 要使f (x )＋32c <c 2，只需c 2>f (－1)＋32c ，即2c 2>7＋5c ，解得c <－1或c >72.∴c 的取值范围为 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞. 16. 答案：（1）b =0（2）2,1==c a （3）略 17. 解:（1）连结OF ．∵DF 切⊙O 于F ， ∴∠OFD =90°．∴∠OFC +∠CFD =90°． ∵OC =OF ，∴∠ OCF =∠OFC ． ∵CO ⊥AB 于O ，∴∠OCF +∠CEO =90°． ∴∠CFD =∠CEO =∠DEF ，∴DF =DE ． ∵DF 是⊙O 的切线,∴DF 2=DB ·DA ． ∴DE 2=DB ·DA （2）231==OB OE ，CO=，422=+=OE CO CE ．∵CE ·EF = AE ·EB = (，∴EF =2．18. 解：（1）()()2211,0a ax f x x x x x-=-+=> 当1a =时，()'21x f x x-= 1分 ()'124k f == 2分 由()'0f x <，解得：01x <<所以，()f x 的单减区间为：()0,1 4分（2）()()'21,0,0ax f x x a x -=>≠ 令()'0f x =，求得：1x a = 5分 若对任意(]0,x e ∈都有()0f x >等价于()f x 在(]0,e 上的最小值0> 6分 ○1当1,0x e a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即0a <时，()'0f x <在(]0,x e ∈上恒成立，()f x ∴在(]0,e 单调递减 ()()()min 1,00,f x f e e e ⎛⎫∴==∴-⋃ ⎪⎝⎭，只需10a e +>，又0a < 10a e∴-<< 8分 ○2当10x a=>，即0a >时， （i ）若1e a ≥，即10a e<≤，则()'0f x ≤在(]0,x e ∈上恒成立， ()f x ∴在(]0,e 单调递减，()()min 10f x f e a e∴==+> 10a e∴<≤ 10分 （ii ）若1e <，及1a >()min 11ln ln 0f x f a a a a a a a ⎛⎫∴==+=-> ⎪⎝⎭1a e e∴<< 12分 综上：a 的取值范围为：()1,00,e e ⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭13分。