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１．椭圆的定义平面内到两定点F１，F２的距离的和等于常数（大于F１F ２）的点的轨迹叫做椭圆．两定点F１，F２叫做椭圆的焦点．集合P＝{M|MF１＋MF２＝２a}，F１F２＝２c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．（１）当２a＞F１F２时，P点的轨迹是椭圆；（２）当２a＝F１F２时，P点的轨迹是线段；（３）当２a＜F１F２时，P点不存在．２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）图形性质范围x∈[—a，a]，y∈[—b，b]x∈[—b，b]，y∈[—a，a]对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A１（—a,0），A２（a,0）B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a）B１（—b,0），B２（b,0）离心率e＝错误!，且e∈（0,１）a，b，c的关系c２＝a２—b２[小题体验]１．已知椭圆错误!＋错误!＝１的两焦点为F１，F２，过F１作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF２的周长为________．答案：１２２．已知直线x—２y＋２＝0过椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为________．解析：直线x—２y＋２＝0与x轴的交点为（—２,0），即为椭圆的左焦点，故c＝２．直线x—２y＋２＝0与y轴的交点为（0,１），即为椭圆的顶点，故b＝１，所以a２＝b２＋c２＝５，故椭圆的方程为错误!＋y２＝１．答案：错误!＋y２＝１３．已知椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率为错误!，则椭圆的标准方程为________．解析：设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．因为椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率e＝错误!，所以错误!解得错误!故椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１１．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．２．注意椭圆的范围，在设椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）上点的坐标为P（x，y）时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[小题纠偏]１．（２0１9·无锡一中月考）已知椭圆错误!＋错误!＝１的焦距为6，则m＝________.解析：∵椭圆错误!＋错误!＝１的焦距为6，∴当焦点在x轴时，（１３—m）—（m—２）＝9，解得m＝３；当焦点在y轴时，（m—２）—（１３—m）＝9，解得m＝１２．答案：３或１２２．若方程错误!＋错误!＝１表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由已知得错误!解得３＜k＜５且k≠４．答案：（３,４）∪（４,５）错误!错误![题组练透]１．与椭圆错误!＋错误!＝１有相同的焦点，且离心率为错误!的椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆错误!＋错误!＝１，得a２＝9，b２＝４，∴c２＝a２—b２＝５，∴该椭圆的焦点坐标为（±错误!，0）．设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１，a′＞b′＞0，则c′＝错误!，又错误!＝错误!，解得a′＝５．∴b′２＝２５—５＝２0，∴所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１２．（２0１8·海门中学测试）已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（１,0），点F关于直线y＝错误!x的对称点在椭圆C上，求椭圆C的标准方程．解：设点F关于y＝错误!x的对称点为P（x0，y0），又F（１,0），所以错误!解得错误!又点P在椭圆上，设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），所以错误!解得错误!则椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．３．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：（１）经过点P（—２错误!，0），Q（0,２）两点；（２）与椭圆错误!＋错误!＝１有相同的焦点且经过点（２，—错误!）．解：（１）由题意，P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以a＝２错误!，b＝２，所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．（２）设椭圆错误!＋错误!＝１的左、右焦点分别为F１，F２，所以F１（—１,0），F２（１,0），所以所求椭圆焦点在x轴上，设方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．由题意得错误!解得a２＝４＋２错误!，b２＝３＋２错误!或a２＝４—２错误!，b２＝３—２错误!（舍去），所以椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．[谨记通法]求椭圆标准方程的２种常用方法错误! 错误![典例引领]已知椭圆错误!＋错误!＝１（a ＞b ＞0）的右焦点为F ２（１,0），点H 错误!在椭圆上．（１）求椭圆的方程；（２）点M 在圆x ２＋y ２＝b ２上，且点M 在第一象限，过点M 作圆x ２＋y ２＝b ２的切线交椭圆于P ，Q 两点，求证：△PF ２Q 的周长是定值．解：（１）设椭圆的左焦点为F １.根据已知，椭圆的左右焦点分别是F １（—１,0），F ２（１,0），半焦距c ＝１，因为H 错误!在椭圆上，所以２a ＝HF １＋HF ２＝ 错误!＋ 错误!＝6．所以a ＝３，b ＝２错误!，故椭圆的方程是错误!＋错误!＝１．（２）证明：设P （x １，y １），Q （x ２，y ２），则错误!＋错误!＝１，所以PF ２＝错误!＝ 错误!＝ 错误!.因为0＜x １＜３，所以PF ２＝３—错误!x １.在圆x ２＋y ２＝b ２中，M 是切点，所以PM ＝错误!＝错误!＝ 错误!＝错误!x １.所以PF ２＋PM ＝３—错误!x １＋错误!x １＝３．同理，Q F ２＋Q M ＝３，所以F ２P ＋F ２Q ＋P Q ＝３＋３＝6．因此△PF ２Q 的周长是定值6．[由题悟法]利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法[即时应用]１．已知椭圆的两个焦点为F１（—错误!，0），F２（错误!，0），点P是椭圆上的点，且△PF１F２的周长是４＋２错误!，则椭圆的标准方程为________．解析：∵椭圆的两个焦点为F１（—错误!，0），F２错误!，∴椭圆的焦距为F１F２＝２错误!.∵△PF１F２的周长是４＋２错误!，∴PF１＋PF２＋F１F２＝４＋２错误!，可得PF１＋PF２＝４．根据椭圆的定义，可得２a＝PF１＋PF２＝４，∴a＝２，又∵c＝错误!，∴b＝错误!＝错误!，可得a２＝４，b２＝２．故椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１２．已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且错误!⊥错误!.若△PF１F２的面积为9，则b＝________.解析：由题意知PF１＋PF２＝２a，错误!⊥错误!，所以PF错误!＋PF错误!＝F１F错误!＝４c２，所以（PF１＋PF２）２—２PF１·PF２＝４c２，所以２PF１·PF２＝４a２—４c２＝４b２.所以PF１·PF２＝２b２，所＝错误!PF１·PF２＝错误!×２b２＝b２＝9．所以b＝３．以S△PF１F２答案：３错误!错误![锁定考向]椭圆的几何性质是高考的热点，常见的命题角度有：（１）求离心率的值或范围；（２）根据椭圆的性质求参数的值或范围；（３）焦点三角形的研究．[题点全练]角度一：求离心率的值或范围１．（２0１9·连云港调研）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，过F２且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若F１A⊥OB，则椭圆的离心率为________．解析：由题意，可得A错误!，B错误!.∵F１A⊥OB，∴错误!·错误!＝—１，可得a２—c２＝错误!ac，即e２＋错误!e—１＝0，解得e＝错误!（负值舍去）．答案：错误!２．从椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F１，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是________．解析：由题意可设P（—c，y0）（c为半焦距），k OP＝—错误!，k AB＝—错误!，由于OP∥AB，所以—错误!＝—错误!，y0＝错误!，把P错误!代入椭圆方程得错误!＋错误!＝１，即错误!２＝错误!，所以e＝错误!＝错误!.答案：错误!角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围３．若方程错误!＋错误!＝１表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．解析：∵方程错误!＋错误!＝１表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，∴错误!解得a＞7．∴实数a的取值范围是（7，＋∞）．答案：（7，＋∞）４．如果x２＋ky２＝２表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．解析：x２＋ky２＝２转化为椭圆的标准方程，得错误!＋错误!＝１，因为x２＋ky２＝２表示焦点在y轴上的椭圆，所以错误!＞２，解得0＜k＜１．所以实数k的取值范围是（0,１）．答案：（0,１）角度三：焦点三角形的研究５．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，点P为椭圆C上一点，且∠F１PF２＝60°.（１）求椭圆C的离心率的范围；（２）求证：△F１PF２的面积只与椭圆C的短半轴长有关．解：（１）设PF１＝m，PF２＝n，则m＋n＝２a.在△PF１F２中，由余弦定理可知，４c２＝m２＋n２—２mn cos 60°＝（m＋n）２—３mn＝４a２—３mn≥４a２—３·错误!２＝４a２—３a２＝a２（当且仅当m＝n时取等号）．所以错误!≥错误!，即e≥错误!.又0＜e＜１，所以e的取值范围是错误!.（２）证明：由（１）知mn＝错误!b２，所以S△PF１F２＝错误!mn sin 60°＝错误!b２，即△PF１F２的面积只与短半轴长有关．[通法在握]１．应用椭圆几何性质的２个技巧（１）与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．（２）椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如—a≤x≤a，—b≤y≤b,0＜e＜１，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．２．求椭圆离心率的方法（１）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．（２）列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b２＝a２—c２消去b，转化为含有e的方程（或不等式）求解．[演练冲关]１．已知椭圆错误!＋错误!＝１的离心率为错误!，则k的值为______．解析：当9＞４—k＞0，即—５＜k＜４时，a＝３，c２＝9—（４—k）＝５＋k，所以错误!＝错误!，解得k＝错误!.当9＜４—k，即k＜—５时，a＝错误!，c２＝—k—５，所以错误!＝错误!，解得k＝—２１，所以k的值为错误!或—２１．答案：错误!或—２１２．过椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左焦点F１作x轴的垂线交椭圆于点P，F２为椭圆的右焦点，若∠F１PF２＝60°，则椭圆的离心率为________．解析：由题意，可设P错误!.因为在Rt△PF１F２中，PF１＝错误!，F１F２＝２c，∠F１PF２＝60°，所以错误!＝错误!.又因为b２＝a２—c２，所以错误!c２＋２ac—错误!a２＝0，即错误!e２＋２e—错误!＝0，解得e＝错误!或e＝—错误!，又因为e∈（0,１），所以e＝错误!.答案：错误!３．（２0１9·南京一模）设椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，P 是椭圆C上的点，PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝θ，若cos θ＝错误!，则椭圆C的离心率为________．解析：∵PF２⊥F１F２，cos∠PF１F２＝错误!，F１F２＝２c，∴PF１＝6c，PF２＝４错误!c，又PF１＋PF２＝２a，∴6c＋４错误!c＝２a，∴椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!＝３—２错误!.答案：３—２错误!错误!错误![典例引领]如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的离心率为错误!，且过点错误!.过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m（m＞a）于点M.已知点B（１,0），直线PB交l于点N.（１）求椭圆C的方程；（２）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．解：（１）因为椭圆C的离心率为错误!，所以a２＝４b２.又因为椭圆C过点错误!，所以错误!＋错误!＝１，解得a２＝４，b２＝１．所以椭圆C的方程为错误!＋y２＝１．（２）设P（x0，y0），且—２＜x0＜２, x0≠１，则错误!＋y错误!＝１．因为MB是PN的垂直平分线，所以点P关于点B的对称点N（２—x0，—y0），所以x0＝２—m.由A（—２,0），P（x0，y0），可得直线AP的方程为y＝错误!（x＋２），令x＝m，得y＝错误!，即M错误!.因为PB⊥MB，所以k PB·k MB＝—１，所以k PB·k MB＝错误!·错误!＝—１，即错误!＝—１．因为错误!＋y错误!＝１．所以错误!＝１．因为x0＝２—m，所以化简得３m２—１0m＋４＝0，解得m＝错误!.因为m＞２，所以m＝错误!.[由题悟法]直线与椭圆的位置关系的解题策略解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．[即时应用]（２0１8·南通、扬州调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的离心率为错误!.A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足错误!＝２错误!.（１）若点P的坐标为（２，错误!），求椭圆的方程；（２）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且错误!＝m错误!，直线OA，OB的斜率之积为—错误!，求实数m的值．解：（１）因为错误!＝２错误!，而P（２，错误!），所以A错误!，代入椭圆方程，得错误!＋错误!＝１，１又椭圆的离心率为错误!，所以错误!＝错误!.２由１２，得a２＝２，b２＝１．故椭圆的方程为错误!＋y２＝１．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），C（x３，y３）．因为错误!＝２错误!，所以P（—２x１，—２y１），因为错误!＝m错误!，所以（—２x１—x２，—２y１—y２）＝m（x３—x２，y３—y２），即错误!于是错误!代入椭圆方程，得错误!＋错误!＝１，即错误!错误!＋错误!错误!—错误!错误!＝１，３因为A，B在椭圆上，所以错误!＋错误!＝１，错误!＋错误!＝１．４因为直线OA，OB的斜率之积为—错误!，即错误!·错误!＝—错误!，结合２知错误!＋错误!＝0．５将４５代入３，得错误!＋错误!＝１，解得m＝错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．已知椭圆的中心在原点，焦点F１，F２在x轴上，P（２，错误!）是椭圆上一点，且PF１，F１F２，PF２成等差数列，则椭圆的方程为______________．解析：∵椭圆的中心在原点，焦点F１，F２在x轴上，∴设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），∵P（２，错误!）是椭圆上一点，且PF１，F１F２，PF２成等差数列，∴错误!且a２＝b２＋c２，解得a＝２错误!，b＝错误!，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１２．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为１２，离心率为错误!，则该椭圆方程为________________．解析：设椭圆的方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），因为２a＝１２，错误!＝错误!，所以a＝6，c＝３，b２＝２7．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１３．椭圆错误!＋y２＝１的左、右两焦点分别为F１，F２，椭圆上一点P满足∠F１PF２＝60°，则△F１PF２的面积为________．解析：由题意，椭圆错误!＋y２＝１的左、右两焦点分别为F１，F２，则PF１＋PF２＝２错误!，F１F２＝２．由余弦定理，得F１F错误!＝PF错误!＋PF错误!—２PF１·PF２·cos 60°＝（PF１＋PF２）２—３PF１·PF，２解得PF１·PF２＝错误!.故△F１PF２的面积S＝错误!PF１·PF２·sin 60°＝错误!.答案：错误!４．（２0１9·南京名校联考）若n是２和8的等比中项，则圆锥曲线x２＋错误!＝１的离心率是________．解析：由n２＝２×8，得n＝±４，当n＝４时，曲线为椭圆，其离心率为e＝错误!＝错误!；当n＝—４时，曲线为双曲线，其离心率为e＝错误!＝错误!.答案：错误!或错误!５．（２0１8·北京东城模拟）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（—２,0），且长轴长与短轴长的比是２∶错误!，则椭圆C的方程是__________．解析：设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．由题意知错误!解得a２＝１6，b２＝１２．所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１6．（２0１8·启东中学检测）分别过椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左右焦点F１，F２所作的两条互相垂直的直线l１，l２的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设两直线交点为M，令MF１＝m，MF２＝n.由椭圆的定义可得m＋n＝２a，因为MF１⊥MF，所以m２＋n２＝４c２，因为（m＋n）２＝m２＋n２＋２mn≤２（n２＋m２），当且仅当m＝n＝a时取２等号，即４a２≤２（４c２），所以a≤错误!c，所以错误!≥错误!，即e≥错误!，因为e＜１，所以错误!≤e ＜１．答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·启东模拟）设点P在圆x２＋（y—２）２＝１上移动，点Q在椭圆错误!＋y２＝１上移动，则P Q的最大值是________．解析：已知圆心C（0,２），P Q≤PC＋C Q＝１＋C Q，故只需求C Q的最大值即可．设Q（x，y），则C Q＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.∵—１≤y≤１，∴当y＝—错误!时，C Q max＝错误!＝错误!，∴P Q max＝１＋错误!.答案：１＋错误!２．（２0１9·常州模拟）若椭圆C的长轴长是短轴长的３倍，则C的离心率为________．解析：不妨设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），则２a＝２b×３，即a＝３b.所以a２＝9b２＝9（a２—c２）．即错误!＝错误!，所以e＝错误!＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·镇江期末）已知椭圆错误!＋错误!＝１（m＞n＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则错误!·错误!＝________.解析：法一：错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝|错误!|２—|错误!|２＝n—（m—n）＝２n—m.法二：设F１（—c,0），F２（c,0），P（x，y），则x２＋y２＝n，错误!·错误!＝（x＋c）（x—c）＋y２＝x２＋y２—c２＝n—（m—n）＝２n—m.答案：２n—m４．（２0１8·苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B１，B２分别为椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B２F⊥AB１，则椭圆C的离心率是________．解析：因为F（c,0），B２（0，b），B１（0，—b），A（a,0），所以错误!＝（c，—b），错误!＝（a，b）．因为B２F⊥AB１，所以ac—b２＝0，即c２＋ac—a２＝0，故e２＋e—１＝0，解得e＝错误!（负值舍去）．答案：错误!５．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（—２错误!，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝４，则椭圆C的方程为________．解析：设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），焦距为２c，右焦点为F′，连结PF′，如图所示．因为F（—２错误!，0）为C的左焦点，所以c＝２错误!.由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得PF′＝错误!＝错误!＝8．由椭圆定义，得PF＋PF′＝２a＝４＋8＝１２，所以a＝6，a２＝３6，于是b２＝a２—c２＝３6—（２错误!）２＝１6，所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１6．（２0１9·启东月考）如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且OF＝错误!，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________．解析：∵F为椭圆的右焦点，OF＝错误!，∴c＝错误!.设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（b＞0），∵A，B是椭圆的两个顶点，∴A错误!，B（0，b）．又∵C是AB的中点，∴C错误!.由OC的延长线交椭圆于点M，MF⊥OA，得M错误!.∵k OM＝k OC，∴错误!＝错误!，∴b＝错误!，故所求椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F１，F２在x轴上，离心率为错误!.过F１的直线l交C于A，B两点，且△ABF２的周长为１6，那么C的方程为________．解析：设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），因为AB过F１且A，B在椭圆C上，所以△ABF２的周长＝AB＋AF２＋BF２＝AF１＋AF２＋BF１＋BF２＝４a＝１6，所以a＝４．又离心率e＝错误!＝错误!，所以c＝２错误!，所以b２＝a２—c２＝8，所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１8．（２0１9·句容月考）离心率e＝错误!，焦距为４的椭圆的标准方程为________________．解析：∵椭圆的离心率e＝错误!，焦距为４，∴c＝２，a＝6，∴b２＝３２，∴椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１9．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），F１，F２分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF２交椭圆于另一点B.（１）若∠F１AB＝90°，求椭圆的离心率．（２）若错误!＝２错误!，错误!·错误!＝错误!，求椭圆的方程．解：（１）若∠F１AB＝90°，则△AOF２为等腰直角三角形，所以有OA＝OF２，即b＝c.所以a＝错误!c，e＝错误!＝错误!.（２）由题知A（0，b），F１（—c,0），F２（c,0），其中c＝错误!，设B（x，y）．由错误!＝２错误!，得（c，—b）＝２（x—c，y），解得x＝错误!，y＝—错误!，即B错误!.将B点坐标代入错误!＋错误!＝１，得错误!＋错误!＝１，即错误!＋错误!＝１，解得a２＝３c２.１又由错误!·错误!＝（—c，—b）·错误!＝错误!，得b２—c２＝１，即有a２—２c２＝１．２由１２解得c２＝１，a２＝３，从而有b２＝２．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．１0．（２0１8·南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF１并延长交椭圆于另一点Q，设错误!＝λ错误!.（１）若点P的坐标为错误!，且△P Q F２的周长为8，求椭圆C的方程；（２）若PF２⊥x轴，且椭圆C的离心率e∈错误!，求实数λ的取值范围．解：（１）因为F１，F２为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，所以PF１＋PF２＝Q F１＋Q F２＝２a，从而△P Q F２的周长为４a，由题意得４a＝8，解得a＝２．因为点P的坐标为错误!，且在椭圆上，所以错误!＋错误!＝１，解得b２＝３．所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．（２）因为PF２⊥x轴，且P在x轴上方，所以可设P（c，y0），且y0＞0，Q（x１，y１）．因为点P在椭圆上，所以错误!＋错误!＝１，解得y0＝错误!，即P错误!.因为F１（—c,0），所以错误!＝错误!，错误!＝（x１＋c，y１）．由错误!＝λ错误!，得—２c＝λ（x１＋c），—错误!＝λy１，解得x１＝—错误!c，y１＝—错误!，所以Q错误!.因为点Q在椭圆上，所以错误!２e２＋错误!＝１，即（λ＋２）２e２＋（１—e２）＝λ２，即（λ２＋４λ＋３）e２＝λ２—１．因为λ＋１≠0，所以（λ＋３）e２＝λ—１，从而λ＝错误!＝错误!—３．因为e∈错误!，所以错误!≤e２≤错误!，即错误!≤λ≤５．所以λ的取值范围为错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１9·宿迁调研）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左焦点为F，下顶点为A.若平行于AF且在y轴上截距为３—错误!的直线与圆x２＋（y—３）２＝１相切，则该椭圆的离心率为________．解析：由椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左焦点为F，下顶点为A，可得AF的斜率为—错误!，则平行于AF且在y轴上截距为３—错误!的直线方程为y＝—错误!x＋３—错误!.由该直线与圆x２＋（y—３）２＝１相切，可得错误!＝１，解得b＝c，所以e＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·连云港质检）已知两定点A（—２,0）和B（２,0），动点P（x，y）在直线l：y＝x＋３上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．解析：设点A关于直线l的对称点为A１（x１，y１），则有错误!解得x１＝—３，y１＝１，易知PA＋PB的最小值等于A１B＝错误!，因此椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!的最大值为错误!.答案：错误!３．已知椭圆M：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的右焦点F的坐标为（１,0），P，Q为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PF⊥Q F，C为P Q中点，线段P Q的垂直平分线交x轴，y轴于点A，B（线段P Q不垂直x轴），当Q运动到椭圆的右顶点时，PF＝错误!.（１）求椭圆M的方程；（２）若S△ABO∶S△BCF＝３∶５，求直线P Q的方程．解：（１）当Q运动到椭圆的右顶点时，PF⊥x轴，所以PF＝错误!＝错误!，又c＝１，a２＝b２＋c２，所以a＝错误!，b＝１．所以椭圆M的方程为错误!＋y２＝１．（２）设直线P Q的方程为y＝kx＋b，显然k≠0，联立椭圆方程得：（２k２＋１）x２＋４kbx＋２（b２—１）＝0，设点P（x１，y１），Q（x２，y２）,则错误!由错误!·错误!＝0，得（x１—１）（x２—１）＋y１y２＝0，即（k２＋１）x１x２＋（kb—１）（x１＋x２）＋b２＋１＝0，代入化简得３b２—１＋４kb＝0．４由y１＋y２＝k（x１＋x２）＋２b＝错误!，得C错误!，所以线段P Q的中垂线AB的方程为y—错误!＝—错误!错误!.令y＝0，x＝0，可得A错误!，B错误!，则A为BC中点，故错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝２错误!.由４式得，k＝错误!，则x A＝错误!＝错误!，所以错误!＝２错误!＝错误!＝错误!，解得b２＝３．所以b＝错误!，k＝—错误!或b＝—错误!，k＝错误!.经检验，满足条件１２３，故直线P Q的方程为y＝错误!x—错误!或y＝—错误!x＋错误!.。
9.5 椭圆必备知识预案自诊知识梳理1.椭圆的定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.已知集合P={M||MF 1|+|MF 2|=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a>0,c>0,且a ,c 为常数. (1)若a c ,则点M 的轨迹为椭圆; (2)若a c ,则点M 的轨迹为线段; (3)若a c ,则点M 不存在. 2.椭圆的标准方程及性质标准方程 x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)y 2a 2+x 2b2=1(a>b>0) 图形性 质 范围-a ≤x ≤a ,-b ≤y ≤b -b ≤x ≤b ,-a ≤y ≤a 对称性对称轴:坐标轴,对称中心:点(0,0) 顶点 A 1(-a ,0),A 2(a ,0) B 1(0,-b ),B 2(0,b ) A 1(0,-a ),A 2(0,a ) B 1(-b ,0),B 2(b ,0) 焦点 F 1(-c ,0),F 2(c ,0) F 1(0,-c ),F 2(0,c )轴长轴A 1A 2的长为2a ;短轴B 1B 2的长为2b离心率e=ca ,且e ∈(0,1) a ,b ,c的关系c 2=a 2-b 2(1)过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0xa 2+y 0y b 2=1.(2)若点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外,过点P作椭圆的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.(3)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点P(x,y),则当x=0时,|OP|有最小值b,这时,P为短轴端点;当x=±a时,|OP|有最大值a,这时,P为长轴端点.(4)若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,则a-c≤|PF|≤a+c.(5)椭圆的焦半径公式设M(x0,y0)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任意一点,椭圆的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(其中e是离心率).(6)椭圆中点弦的斜率公式若M(x0,y0)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点,则有k AB·k OM=-b2a2,即k AB=-b2x0a2y0.(7)弦长公式:若直线y=kx+b与椭圆相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=√1+k2|x1-x2|=√(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=√1+1k2|y1-y2|=√(1+1k2)[(y1+y2)2-4y1y2].(8)若P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点,F1,F2为焦点,若∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为b2tanθ2.(9)椭圆x2a2+y2b2=1的通径长为2b2a.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()(4)椭圆x2x2+x2x2=1(a>b>0)与椭圆x2x2+x2x2=1(a>b>0)的焦距相同.()(5)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()2.设F1,F2分别是椭圆x225+x216=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则点P与椭圆左焦点间的距离为()A.4B.3C.2D.53.(2020江西南昌三中期末)已知椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为√33,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为4√3,则椭圆C的方程为()A.x23+x22=1 B.x23+y2=1C.x212+x28=1 D.x212+x24=14.“0<m<2”是“方程x2x +x22-x=1表示椭圆”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”).5.(2020天津河北区线上测试,12)已知椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的离心率为√32,焦距为2√3,则椭圆的方程为.关键能力学案突破考点椭圆的定义及应用【例1】(1)已知F1,F2分别是椭圆E:x225+x29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l 为∠F1PF2的外角平分线,过点F2作l的垂线,交F1P的延长线于点M,则|F1M|=()A.10B.8C.6D.4(2)(2020山东东营联考)设F1,F2是椭圆x24+x2x2=1(0<b<2)的左、右焦点,过F1的直线l 交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|最大值为5,则椭圆的离心率为()A.12B.√22C.√5-12D.√32思考具有哪些特征的问题常利用椭圆的定义求解?解题心得常利用椭圆的定义求解的问题:(1)求解问题的结论中含有椭圆上动点到焦点的距离;(2)求解问题的条件中含有椭圆上动点到焦点的距离.对点训练1(1)过椭圆x225+x216=1的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PFQ的周长的最小值为()A.12B.14C.16D.18(2)已知点P(x,y)在椭圆x236+x2100=1上,F1,F2是椭圆的两个焦点,若△PF1F2的面积为18,则∠F1PF2的余弦值为.考点椭圆的标准方程及应用【例2】(1)(2020福建福州三模,理10)已知椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的焦距为2,右顶点为A.过原点与x轴不重合的直线交椭圆C于M,N两点,线段AM的中点为B,若直线BN经过椭圆C的右焦点,则椭圆C的方程为()A.x24+x23=1 B.x26+x25=1C.x29+x28=1 D.x236+x232=1(2)椭圆的离心率为√22,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆的方程为.(3)已知方程x2|x|-1+x22-x=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是.思考求椭圆的标准方程的基本方法是什么?利用该方法应注意些什么?解题心得1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.2.若椭圆的焦点位置不确定,则要分焦点在x轴上或在y轴上两种情况求解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式,避免讨论.3.椭圆的标准方程的两个应用:(1)椭圆x2x2+x2x2=1(a>b>0)与椭圆x2x2+x2x2=λ(a>b>0,λ>0)有相同的离心率.(2)与椭圆x2x2+x2x2=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2x2+x+x2x2+x=1(a>b>0,b2+k>0).恰当运用椭圆系方程,可使运算简便.4.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤.(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设椭圆标准方程为x2 x2+x2x2=1(a>b>0)或x2x2+x2x2=1(a>b>0);(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b的方程组;(4)得方程:解方程组求出a,b,即可得到椭圆的标准方程.对点训练2(1)(2020山东聊城调研)过点(3,2)且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为()A.x25+x210=1 B.x210+x215=1C.x215+x210=1 D.x225+x210=1(2)如图,中心在坐标原点,焦点分别在x轴和y轴上的椭圆C1,C2都过点A(0,-√2),且椭圆C1,C2的离心率相等,以椭圆C1,C2的四个焦点为顶点的四边形面积为2√2,则椭圆C1的标准方程为.(3)(2020湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为2√2-2,离心率为√22,则椭圆E的方程为.考点椭圆的几何性质及应用【例3】(1)(2020安徽合肥一中等六校检测)已知椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为P,直线l:4x-3y=0与椭圆相交于A,B两点.若|AF|+|BF|=6,点P到直线l的距离不小于65,则椭圆离心率的取值范围为()A.(0,95] B.(0,√32]C.(0,√53] D.(13,√32](2)设F1,F2是椭圆E:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=2a上一点,△F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,且直线PF1的斜率为13,则椭圆E的离心率为()A.1013B.58C.35D.23(3)已知椭圆x2x2+x2x2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,若椭圆上存在点M使得在△MF1F2中,sin∠xx1x2x=sin∠xx2x1x,则该椭圆离心率的取值范围为()A.(0,√2-1)B.(√22,1)C.(0,√22) D.(√2-1,1)思考求离心率的方法有哪些?解题心得求离心率常见的三种方法①求出a,c,代入公式e=xx;②由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=√x2x2=√x2-x2x2=√1-x2x2求解;③只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).对点训练3(1)(2020河南洛阳一模)已知椭圆x211-x+x2x-3=1的长轴在y轴上,且焦距为4,则m等于()A.5B.6C.9D.10(2)设F 是椭圆E :x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的右焦点,A 是椭圆E 的左顶点,P 为直线x=3x 2上一点,△APF 是底角为30°的等腰三角形,则椭圆E 的离心率为( )A.34 B.23C.12D.13(3)设椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上运动,|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为m ,xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为n ,且m ≥2n ,则该椭圆的离心率的取值范围为 .考点直线与椭圆的综合问题 (多考向探究)考向1 与弦长有关的问题【例4】已知椭圆M :x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的离心率为√63,焦距为2√2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B.(1)求椭圆M 的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设点P (-2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ,若点C ,D 和点Q (-74,14)共线,求k 的值.思考利用哪种弦长公式能使求直线和椭圆相交所得的弦长变简单?如何设直线的方程能减少计算量?解题心得与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式k AB·k OM=-x2x2,即k AB=-x2x0x2x0比较方便快捷,其中点M的坐标为(x0,y0).解决此类问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”.这两种方法的前提都是必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点.对点训练4(2020山东菏泽一模,21)已知椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以M(-a,b),N(a,b),F2和F1为顶点的梯形的高为√3,面积为3√3.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设A,B为椭圆C上的任意两点,若直线AB与圆O:x2+y2=127相切,求△AOB面积的取值范围.考向2中点弦、弦中点问题【例5】已知椭圆x22+y2=1.(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(2)求过点P12,12且被点P平分的弦所在直线的方程.思考如何快捷求解弦中点、中点弦的问题?点差法应用于何种题型?解题心得直线方程的设法,根据题意,如果需要讨论斜率不存在的情况,则设直线方程为x=ty+m,避免讨论;若所研究的直线的斜率存在,则可设直线方程为y=kx+b的形式,若平行于坐标轴的直线都包含,则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.对点训练5(2020山西太原五中3月摸底)若过椭圆x216+x24=1内一点P(3,1)的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为()A.3x+4y-13=0B.3x-4y-5=0C.4x+3y-15=0D.4x-3y-9=0考向3直线与椭圆的综合【例6】(2020北京,20)已知椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)过点A(-2,-1),且a=2b.(1)求椭圆C的方程;(2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q,求|xx||xx|的值.思考求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是什么?什么是设而不求思想?解题心得求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想,即根据题意,列出有关的方程,利用代数的方法求解.为减少计算量,在代数运算中,经常运用设而不求的方法,即把题目中涉及的点的坐标利用未知量设出来,但不需求出这些未知量,只需联立方程,判别式Δ>0,然后根据韦达定理列出x1+x2,x1x2的关系式,利用弦长公式|AB|=√x2+1|x1-x2|=√x2+1√(x1+x2)2-4x1x2=√1+1x2|y1-y2|=√1+1x2√(x1+x2)2-4x1x2=√x2+1√x|x|,选好公式能减少计算量.对点训练6(2020北京西城一模)设椭圆E:x22+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(1)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(2)若直线l2的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(3)在(2)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.1.求椭圆标准方程的两种常用方法定义法根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)求椭圆的方程,先定性,后定量,利用待定系数法求解,注意焦点位置不定的要讨论.2.椭圆定义的应用技巧求方程通过对题设条件分析、转化后,能够明确动点P满足椭圆的定义,便可直接求解其轨迹方程求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值,可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值;利用定义|PF1|+|PF2|=2a转化或变形,借助三角形性质求最值3.直线与椭圆相交时有关弦的问题的处理方法一般是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,注意直线斜率存在与否的讨论和判别式的符号判断的应用.数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征.数学抽象主要表现为:获得数学概念和规则,提出数学命题和模型,形成数学方法与思想,认识数学结构与体系.在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用弦中点的斜率公式:一、问题的提出在研究直线与椭圆相交形成的弦中点的有关问题时,往往需要求出弦的斜率.如果已知直线l与椭圆x 2x2+x 2x2=1(a>b>0)相交于A 、B 两点,线段AB 的中点为M (x 0,y 0),请抽象出弦AB的斜率公式并以结论的形式表达出来,然后给出结论的证明.结论:若M (x 0,y 0)是椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点,则有k AB =-x 2x 0x 2x 0.证明设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则有k AB =x 1-x 2x 1-x 2,{x 12x 2+x 12x 2=1,x 22x 2+x 22x 2=1,两式相减,得x 12-x 22x 2+x 12-x 22x 2=0,整理得x 12-x 22x 12-x 22=-x 2x2,即(x 1+x 2)(x 1-x 2)(x 1+x 2)(x 1-x 2)=-x 2x 2(x 1≠-x 2).因为M (x 0,y 0)是弦AB 的中点,所以k OM =x 0x 0=2x02x 0=x 1+x 2x 1+x 2,所以k AB ·k OM =-x 2x 2即k AB =-x 2x 0x 2x 0.当x 1=-x 2时,AB 平行于x 轴,此时x 0=0,k AB =0,k AB =-x 2xx 2x 0也成立,综上,k AB =-x 2x0x 2x 0.二、定理的应用应用一 求椭圆的基本元素 【例1】已知椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0),点F 为左焦点,点P 为下顶点,平行于FP 的直线l交椭圆于A ,B 两点,且AB 的中点为M (1,12),则椭圆的离心率为( )A.√22 B.12C.14D.√32答案A解析设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵AB 的中点为M (1,12),∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=1,又A ,B 在椭圆上,∴x 12x 2+x 12x 2=1,x 22x 2+x 22x 2=1.两式相减,得x 1-x 2x 1-x 2·x 1+x 2x 1+x 2=-x 2x 2,∵k AB =x 1-x 2x 1-x 2=k FP =-x x ,∴x x=2x 2x 2,∴a 2=2bc.∴a 4=4(a 2-c 2)c 2, ∴x 2x 2=12,∴x x =√22.故选A.评析1.中点弦斜率公式适用于有关椭圆的弦的中点问题.2.利用中点弦的斜率公式求离心率,就是根据中点弦斜率与椭圆方程中的a ,b ,c 之间的关系,利用椭圆的有关性质构造齐次方程,抽象转化为解关于a ,b ,c 的方程.应用二 求中点弦所在直线方程【例2】过椭圆x 216+x 24=1内一点M (2,1)画一条弦,使弦被点M 平分,则这条弦所在的直线方程为 .答案x+2y-4=0解析(方法1)设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (2,1)为AB 的中点,所以x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,又A ,B 两点在椭圆上,则x 12+4x 12=16,x 22+4x 22=16,两式相减,得(x 12−x 22)+4(x 12−x 22)=0,所以x 1-x 2x 1-x 2=-x 1+x24(x 1+x 2)=-12,即k AB =-12.故所求直线方程为x+2y-4=0.(方法2)设所求直线方程为y-1=k (x-2),代入椭圆方程并整理得,(4k 2+1)x 2-8(2k 2-k )x+4(2k-1)2-16=0.又设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是方程的两个根,于是x 1+x 2=8(2x 2-x )4x 2+1,又M 为AB 的中点,所以x 1+x 22=4(2x 2-x )4x 2+1=2,解得k=-12,故所求直线方程为x+2y-4=0.(方法3)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ,y ),由于弦的中点为M (2,1),则另一个交点为B (4-x ,2-y ),因为A ,B 两点在椭圆上,所以{x 2+4x 2=16,(4-x )2+4(2-x )2=16,两式相减得x+2y-4=0,由于过A ,B 的直线只有一条,故所求直线方程为x+2y-4=0.评析求中点弦所在的直线方程,一般先利用椭圆中点弦斜率公式求得中点弦的斜率,再根据点斜式求得中点弦所在的直线方程.应用三 求曲线轨迹方程【例3】过椭圆x 264+x 236=1上一点P (-8,0)作直线交椭圆于Q 点,则PQ 中点的轨迹方程为 .答案(x +4)216+x 29=1(x ≠-8)解析(方法1)设弦PQ 中点为M (x ,y ),弦端点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则有{9x 12+16x 12=576,9x 22+16x 22=576,两式相减得9(x 12−x 22)+16(x 12−x 22)=0,又因为x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y ,所以9×2x (x 1-x 2)+16×2y (y 1-y 2)=0,所以x 1-x 2x 1-x 2=-9x 16x ,而k PQ =x -0x -(-8),故-9x 16x =xx +8.化简可得9x 2+72x+16y 2=0(x ≠-8).所以PQ 中点M 的轨迹方程为(x +4)216+x 29=1(x ≠-8).(方法2)设弦中点M (x ,y ),Q (x 1,y 1),由x=x 1-82,y=x 12可得x 1=2x+8,y 1=2y ,又因为Q 在椭圆上,所以x 1264+x 1236=1,即4(x +4)264+4x 236=1,所以PQ 中点M 的轨迹方程为(x +4)216+x 29=1(x ≠-8).评析求解椭圆的弦中点的轨迹问题,一般利用椭圆中点弦斜率公式求得弦的斜率,再根据已知点与弦中点连线的斜率与已知直线的斜率相等求得轨迹方程,注意弦中点对方程的限制.应用四 求参数的范围【例4】已知椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0),A ,B 是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线l 与x轴交于点P (x 0,0),求证:-x 2-x 2x <x 0<x 2-x 2x. 证明设AB 的中点为M (x 1,y 1),由题设可知AB 与x 轴不垂直,∴y 1≠0.由椭圆的中点弦斜率公式,得k AB =-x 2x 2·x 1x 1,∴k l =x 2x1x 2x 1.∴直线l 的方程为y-y 1=x 2x1x 2x 1(x-x 1).把(x 0,0)代入得x 1=x 2x 2-x 2x 0.∵|x 1|<a ,∴-a<x 2x 2-x 2x 0<a ,即-x 2-x 2x <x 0<x 2-x 2x. 评析利用中点弦斜率公式求得弦的斜率,写出弦所在直线的方程,并用弦中点的横坐标的范围抽象出不等式来求解参数范围.技巧一 巧用平面几何性质【例1】已知椭圆C :x 24+x 23=1的右焦点为F ,P 为椭圆C 上一动点,定点A (2,4),则|PA|-|PF|的最小值为 .答案1解析设椭圆C 的左焦点为F',则|PF|+|PF'|=4,所以|PF|=4-|PF'|,所以|PA|-|PF|=|PA|+|PF'|-4.如图,易知当点P 在线段AF'上时,|PA|+|PF'|取最小值|AF'|=√(2+1)2+(4-0)2=5.所以|PA|-|PF|的最小值为1.解题心得解决此类问题要熟练掌握平面几何的性质,利用数形结合,找到解题的关键. 技巧二 设而不求,整体代换【例2】已知椭圆E :x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭圆E 于A ,B两点.若AB 的中点坐标为M (1,-1),则椭圆E 的标准方程为( )A.x 245+x 236=1 B.x 236+x 227=1 C.x 227+x 218=1 D.x 218+x 29=1答案D解析设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=2,y 1+y 2=-2,x 12x 2+x 12x 2=1,x 22x 2+x 22x 2=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)x 2+(x 1+x 2)(x 1-x 2)x 2=0,所以k AB =x 1-x 2x 1-x 2=-x 2(x 1+x 2)x 2(x 1+x 2)=x 2x 2. 又k AB =0+13-1=12,所以x 2x 2=12.又a 2-b 2=c 2=9,所以b 2=9,a 2=18. 所以椭圆E 的标准方程为x 218+x 29=1.解题心得本题设出A ,B 两点的坐标,却不求出A ,B 两点的坐标,巧妙地表达出直线AB 的斜率,通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.技巧三 巧用“根与系数的关系”,化繁为简【例3】已知椭圆x 24+y 2=1的左顶点为A ,过点A 作两条互相垂直的弦AM ,AN 交椭圆于M ,N两点.(1)当直线AM 的斜率为1时,求点M 的坐标;(2)当直线AM 的斜率变化时,直线MN 是否过x 轴上的一个定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.解(1)当直线AM 的斜率为1时,直线AM 的方程为y=x+2,代入椭圆方程并化简得5x 2+16x+12=0,解得x 1=-2,x 2=-65.所以点M (-65,45).(2)由题意可知直线AM ,AN 的斜率存在,且不为0.设直线AM 的斜率为k (k ≠0),直线AM 的方程为y=k (x+2),直线AN 的方程为y=-1x (x+2).由{x =x (x +2),x 24+x 2=1,化简得(1+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2-4=0, 则x A +x M =-16x 21+4x 2.又x A =-2,所以x M =-x A -16x 21+4x 2=2-16x 21+4x 2=2-8x 21+4x 2. 同理,可得x N =2x 2-8x 2+4.当x M =x N 时,2-8x 21+4x2=2x 2-8x 2+4,解得k=±1.此时直线MN 的方程为x=-65,直线MN 过x 轴上的点(-65,0).当x M ≠x N 时,k ≠±1,因为点M (2-8x 21+4x 2,4x 1+4x 2),N2x 2-8x 2+4,-4xx 2+4,所以k MN=4x 1+4x 2+4xx 2+42-8x 21+4x 2-2x 2-8x 2+4=5x 4-4x 2,所以直线MN 的方程为y-4x1+4x 2=5x4-4x 2x-2-8x 21+4x 2.令y=0,得x=-65. 所以直线MN 过x 轴上的点(-65,0). 综上所述,直线MN 过x 轴上的定点(-65,0).解题心得在圆锥曲线问题中,常设出直线与圆锥曲线的两个交点坐标,联立直线方程与圆锥曲线方程,消元得到一元二次方程,利用根与系数的关系,得到两个交点横坐标或纵坐标的关系.这是解决圆锥曲线问题的常用方法.通过设而不求,大大降低了运算量,体现了整体思想.技巧四 巧妙“换元”减少运算量【例4】如图,已知椭圆C 的离心率为√32,A ,B ,F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点,且S △ABF =1-√32.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知直线l :y=kx+m 与圆O :x 2+y 2=1相切,若直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,求△OMN 面积的最大值.解(1)由已知得椭圆C 的焦点在x 轴上,设椭圆C 的方程为x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0),则点A (a ,0),B (0,b ),F (c ,0),c=√x 2-x 2.由已知得e2=x 2x 2=x 2-x 2x 2=34,所以a 2=4b 2,即a=2b ,则c=√3b.又S △ABF =12|AF||OB|=12(a-c )b=1-√32, 所以12(2b-√3b )b=1-√32,解得b=1.所以a=2,c=√3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)圆O 的圆心坐标为(0,0),半径r=1,由直线l :y=kx+m 与圆O :x 2+y 2=1相切,得|x |√1+x 2=1,故m 2=1+k 2.由{x 24+x 2=1,x =xx +x 消去y ,得(1+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-1)=0. 由题意可知k ≠0,所以Δ=16(4k 2-m 2+1)=48k 2>0. 设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8xx4x 2+1,x 1x 2=4x 2-44x 2+1,所以|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(-8xx 4x 2+1)2-4×4x 2-44x 2+1=√16(4x 2-x 2+1)(4x 2+1)2=√48x 2(4x 2+1)2,所以|x 1-x 2|=4√3|x |4x 2+1.所以|MN|=√1+x 2|x 1-x 2|=√1+x 2·4√3|x |4x 2+1=4√3x 2(x 2+1)4x 2+1.所以△OMN 的面积S=12|MN|×1=2√3x 2(x 2+1)4x 2+1.令t=4k 2+1,则t>1,k 2=x -14,所以S=2√3×x -14(x -14+1)x2=√32√(x -1)(x +3)x 2=√32√x 2+2x -3x 2=√32√-3x2+2x +1=32√-(1x -13)2+49.当t=3,即4k 2+1=3,即k=±√22时,S 取得最大值,最大值为32×√49=1.解题心得圆锥曲线中的最值问题往往转化为函数的最值问题,可先根据已知条件建立目标函数,再求出函数的最值.在求函数的最值时,有时会利用换元,起到消除根号、降次等目的.9.5 椭圆必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)> (2)= (3)<考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2.A由题意知,OM是△PF1F2的中位线,所以|OM|=12|PF2|,所以|PF2|=6,所以|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.3.A因为△AF1B的周长为4√3,且△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,所以4a=4√3,则a=√3,又因为xx =√33,解得c=1,所以b=√x2-x2=√2,故椭圆C的方程为x23+x22=1.4.必要不充分方程x2x +x22-x=1表示椭圆,即{x>0,2-x>0,x≠2-x,解得0<m<2,且m≠1,所以“0<m<2”是“方程x2x +x22-x=1表示椭圆”的必要不充分条件.5.x24+y2=1由题意,椭圆的焦距2c=2√3,所以c=√3,又离心率e=xx=√32,所以a=2,所以b=√x2-x2=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.关键能力·学案突破例1(1)A(2)A(1)(1)如图,由直线l为∠F1PF2的外角平分线,l⊥F2M,可得|PM|=|PF2|.而在椭圆E:x225+x29=1中,a=5,2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10.故选A.(2)因为x24+x2x2=1,则a=2,由0<b<2可知,焦点在x轴上.因为过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8,所以|BF2|+|AF2|=8-|AB|,当AB垂直于x轴时|AB|最小,|BF2|+|AF2|值最大,此时|AB|=2x2x,又a=2,所以5=8-b2,解得b=√3,则椭圆的离心率e=xx =√1-x2x2=12.对点训练1(1)D(2)35(1)由椭圆的对称性可知,P,Q两点关于原点对称.设F'为椭圆另一焦点,则四边形PFQF'为平行四边形,由椭圆定义可知|PF|+|PF'|+|QF|+|QF'|=4a=20.又|PF|=|QF'|,|QF|=|PF'|,∴|PF|+|QF|=10.又PQ为椭圆内过原点的弦,∴|PQ|min=2b=8,∴△PFQ的周长的最小值为10+8=18.故选D.(2)椭圆x 236+x 2100=1的两个焦点为F 1(0,-8),F 2(0,8),由椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|=20,两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=202,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2=|F 1F 2|2=162,两式相减得2|PF 1||PF 2|(1+cos ∠F 1PF 2)=144.又x △xx 1x 2=12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=18,所以1+cos ∠F 1PF 2=2sin ∠F 1PF 2.解得cos ∠F 1PF 2=35. 例2(1)C (2)x 218+x 29=1或x 218+x 29=1 (3)m<-1或1<m<32 (1)(方法1)设M (x 0,y 0),则N (-x 0,-y 0),因为A (a ,0)且线段AM 的中点为B ,所以B (x +x 02,x 02),由B ,F ,N 三点共线,得xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,依题意,F (1,0),故xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 0-1,-y 0),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +x 02-1,x 02),即-(x 0+1)x 02+(x +x 02-1)y 0=0,又y 0≠0,解得a=3,所以b 2=32-12=8,所以椭圆C 的标准方程为x 29+x 28=1.故选C.(方法2)设M (x 0,y 0),则N (-x 0,-y 0),依题意,A (a ,0),因为AO 和NB 是△AMN 的中线,所以F (1,0)为△AMN 的重心,故x 0-x 0+x3=1,解得a=3,所以b 2=32-12=8,所以椭圆C 的标准方程为x 29+x 28=1.故选C.(2)由题意知xx =√22,得a 2=2b 2=2c 2.当焦点在x 轴上时,设椭圆的方程为x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0),在椭圆上任取一点P (x 0,y 0),取焦点F (-c ,0),则PF 的中点M 为(x 0-x 2,x 02),根据条件可得x 02=x 0-x 2+4,k PF =x 0x0+x=-1,联立两式解得x 0=-4,y 0=4-c ,代入椭圆方程解得a=3√2,b=3.由此可得椭圆的方程为x 218+x 29=1,同理,当焦点在y 轴上时,椭圆的方程为x 218+x 29=1.(3)由x 2|x |-1+x 22-x =1表示焦点在y 轴上的椭圆,得2-m>|m|-1>0,解得m<-1或1<m<32.对点训练2(1)C (2)x 24+x 22=1(3)x28+x24=1(1)椭圆3x2+8y2=24化为x28+x23=1,它的焦点为(±√5,0),可得c=√5,设椭圆的方程为x2x2+x2x2=1(a>b>0),可得9x2+4x2=1,又a2-b2=5,所以a=√15,b=√10,故所求的椭圆方程为x215+x210=1.(2)由题意可设椭圆C1:x2x2+x22=1,C2:x22+x2x2=1(a>√2,0<b<√2),由x2-2x2=2-x22,得ab=2,由2√x2-2·√2-x2=2√2,可得(a2-2)(2-b2)=2,解得a=2,b=1,即椭圆C1的标准方程为x24+x22=1.(3)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a-c,所以a-c=2√2-2,因为离心率e=√22,所以x x =√22,解得a=2√2,c=2,则b2=a2-c2=4,所以椭圆E的方程为x28+x24=1.例3(1)C(2)A(3)D(1)设椭圆的左焦点为F',P为短轴的上端点,连接AF',BF',如下图所示:由椭圆的对称性可知,A,B关于原点对称,则|OA|=|OB|,又|OF'|=|OF|,∴四边形AFBF'为平行四边形,∴AF=BF',又|AF|+|BF|=|BF|+|BF'|=2a=6,∴a=3,∵点P(0,b)到直线l距离d=|-3x|5≥65,∴b≥2,∴√x2-x2=√9-x2≥2,即0<c≤√5,∴e=xx ∈(0,√53].故选C.(2)由题意,因为△F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,所以|PF2|=|F2F1|.因为P为直线x=2a上一点,直线PF1的斜率为13,△PDF2是直角三角形,所以|PD|2+|DF2|2=|PF2|2,即(2x+x3)2+(2a-c)2=4c2,可得13e2+16e-20=0,解得e=1013或e=-2(舍去).故选A.(3)由正弦定理,可得|xx 1|sin∠xx 2x 1=|xx 2|sin∠xx 1x 2,结合题意可得|xx 1|x=|xx 2|x,所以|xx 1|x=|xx 2|x=|xx 1|+|xx 2|x +x .根据椭圆的定义可得|MF 1|+|MF 2|=2a ,所以|MF 1|=2xxx +x ,|MF 2|=2x 2x +x ,易知|MF 2|>|MF 1|.因为M 为椭圆上一点,所以a-c<|MF 2|<a+c ,即a-c<2x 2x +x <a+c , 整理得c 2+2ac-a 2>0,所以e 2+2e-1>0,解得√2-1<e<1.故选D. 对点训练3(1)C (2)B (3)12,1 (1)由椭圆x 211-x +x 2x -3=1的长轴在y 轴上,且焦距为4,可得√x -3-11+x =2,解得m=9.故选C .(2)如图,设直线x=3x 2与x 轴的交点为C ,由△APF 是底角为30°的等腰三角形和椭圆性质可知PF=AF=a+c ,FC=OC-OF=3x 2-c ,由题意可知∠PFC=60°,所以cos ∠PFC=xxxx=3x2-x x +x=12,解得e=xx =23.故选B.(3)∵|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ,∴|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a-|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|(a-c ≤|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a+c ). ∴|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(2a-|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=-|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2a|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=-(|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-a )2+a 2. ∵a-c ≤|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a+c ,∴|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-(|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-a )2+a 2∈[b 2,a 2].∴|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值m=a 2. 设P (x ,y ),则xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-c-x ,-y )·(c-x ,-y )=x 2+y 2-c 2=x 2+x 2x 2(a 2-x 2)-c 2=1-x 2x 2x 2+b 2-c 2,∵x ∈[-a ,a ],∴x 2∈[0,a 2],xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为n=b 2-c 2.由m ≥2n ,得a 2≥2(b 2-c 2)=2(a 2-2c 2),∴a 2≤4c 2,解得e=x x ∈12,1.例4解(1)由题意,得2c=2√2,所以c=√2.又e=xx =√63,所以a=√3,所以b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆M 的方程为x 23+y 2=1.(2)设直线AB 的方程为y=x+m.由{x =x +x ,x 23+x 2=1消去y ,得4x 2+6mx+3m 2-3=0,则Δ=36m 2-4×4(3m 2-3)=48-12m 2>0,即m 2<4.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-3x 2,x 1x 2=3x 2-34,所以|AB|=√1+x 2|x 1-x 2|=√1+x 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√6×√4-x 22,易得当m 2=0时,|AB|max =√6,故|AB|的最大值为√6.(3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),则x 12+3x 12=3,x 22+3x 22=3.又P (-2,0),所以可设k 1=k PA =x 1x 1+2,直线PA 的方程为y=k 1(x+2).由{x =x 1(x +2),x 23+x 2=1消去y ,得(1+3x 12)x 2+12x 12x+12x 12-3=0,则x 1+x 3=-12x 121+3x 12,即x 3=-12x 121+3x 12-x 1.又k 1=x 1x1+2,代入上式可得x 3=-7x 1-124x 1+7,所以y 3=x14x 1+7, 所以点C (-7x 1-124x 1+7,x14x 1+7). 同理可得点D (-7x 2-124x 2+7,x 24x 2+7). 故xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3+74,x 3-14),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 4+74,x 4-14).因为Q ,C ,D 三点共线,所以(x 3+74)(x 4-14)-x 4+74(x 3-14)=0.将点C ,D 的坐标代入化简可得x 1-x2x 1-x 2=1,即k=1.对点训练4解(1)由题意,得b=√3,且2x +2x2·√3=3√3,所以a+c=3.又a 2-c 2=3,解得a=2,c=1. 所以椭圆C 的方程为x 24+x 23=1.(2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).当圆O 的切线l 的斜率存在时,设l 的方程为:y=kx+m.切点为H ,连接OH ,则OH ⊥AB.联立{x =xx +x ,x 24+x 23=1,整理得(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0.所以x 1+x 2=-8xx 4x 2+3,x 1x 2=4x 2-124x 2+3.又直线l 与圆O :x 2+y 2=127相切,所以OH=|x |√x 2+1=√127.所以m 2=12(1+x 2)7.又|AB|=√1+x 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+x 2·√64x 2x 2-4(4x 2-12)(4x 2+3)(4x 2+3)2=√1+x 2·√48(3+4x 2-x 2)(4x 2+3)2=4√3√7√(1+x 2)(9+16x 2)(4x 2+3)2=4√3√7√1+x216x 4+24x 2+9.①若k ≠0时,|AB|=4√3√7√1+116x 2+24+9x 2. 因为16k 2+24+9x 2≥2√16×9+24=48,当且仅当k=±√32时,等号成立.所以|AB|≤4√3√7×√1+148=4√3√7×74√3=√7,易知|AB|>4√3√7,即4√3√7<AB ≤√7. ②当k=0时,|AB|=4√3√7.所以4√3√7≤|AB|≤√7.又|OH|=2√3√7,所以S △AOB =12|AB|·|OH|=2√32√7|AB|∈[127,√3].当圆O 的切线斜率不存在时,则AB 的方程为x=√127,或x=-√127.此时A ,B 的坐标分别为√127,√127,√127,-√127或-√127,√127,-√127,-√127. 此时S △AOB =127.综上,△AOB 面积的取值范围为[127,√3].例5解设弦的两端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),中点为M (x 0,y 0),则有x 122+x 12=1,x 222+x 22=1,两式作差,得(x 2-x 1)(x 2+x 1)2+(y 2-y 1)(y 2+y 1)=0,因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,x 2-x1x 2-x 1=k AB ,所以k AB =-x02x 0.①(1)设弦中点为M (x ,y ),由①式,2=-x2x ,所以x+4y=0.故所求的轨迹方程为x+4y=0-43<x<43.(2)由①式及题意可知,弦所在的直线的斜率k=-x 02x 0=-12,所以其方程为y-12=-12x-12,即2x+4y-3=0.对点训练5A 设弦的两端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P 为AB 中点.A ,B 在椭圆上,则x 1216+x 124=1,x 2216+x 224=1,两式相减,得x 12-x 2216+x 12-x 224=0,又因为x 1+x 2=6,y 1+y 2=2,可得x 1-x 2x 1-x 2=-34,则k=-34,直线AB 过点P (3,1),所以该弦所在的直线方程为y-1=-34(x-3),整理得3x+4y-13=0.故选A .例6解(1)由题意可得{4x 2+1x 2=1,x =2x ,解得{x 2=8,x 2=2,故椭圆C 的方程为x 28+x 22=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线MN 的方程为y=k (x+4),与椭圆方程x 28+x 22=1联立,可得x 2+4k 2(x+4)2=8,即(4k 2+1)x 2+32k 2x+(64k 2-8)=0,则x 1+x 2=-32x 24x 2+1,x 1x 2=64x 2-84x 2+1.直线MA 的方程为y+1=x 1+1x 1+2(x+2),令x=-4,可得y P =-2×x 1+1x 1+2-1=-2×x (x 1+4)+1x 1+2−x 1+2x 1+2=-(2x +1)(x 1+4)x 1+2,同理可得y Q =-(2x +1)(x 2+4)x 2+2.很明显y P y Q <0,且|xx ||xx |=|xx x x|,注意到y P +y Q =-(2k+1)x 1+4x 1+2+x 2+4x 2+2=-(2k+1)×(x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2),而(x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)=2[x 1x 2+3(x 1+x 2)+8]=264x 2-84x 2+1+3×(-32x 24x 2+1)+8=2×(64x 2-8)+3×(-32x 2)+8(4x 2+1)4x 2+1=0,故y P +y Q =0,y P =-y Q .从而|xx ||xx |=|xx x x|=1.对点训练6(1)解由题意可得M (-1,0),N (1,0),令x=-1,得y=±√22,所以|AB|=√2,因为|BC|=|MN|=2,且四边形ABCD 是矩形,所以四边形ABCD 的面积为S=|AB|·|BC|=2√2. (2)证明设l 1为y=k (x-m ),则{x 22+x 2=1,x =x (x -x ),故(2k 2+1)x 2-4k 2mx+2m 2k 2-2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 故{x 1+x 2=4x 2x2x 2+1,x 1x 2=2x 2x 2-22x 2+1,|AB|=√1+x 2|x 1-x 2|=√1+x 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =√1+x 2√16x 2-8x 2x 2+82x 2+1,同理可得|CD|=√1+x 2√16x 2-8x 2x 2+82x 2+1,因为四边形ABCD 为平行四边形,所以|AB|=|CD|,故√1+x 2√16x 2-8x 2x 2+82x 2+1=√1+x 2√16x 2-8x 2x 2+82x 2+1,即m 2=n 2,又m ≠n ,所以m+n=0. (3)解设AB 中点为P (a ,b ),则x 122+x 12=1,x 222+x 22=1,两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)2+(y1+y2)(y1-y2)=0,即a+2kb=0, 同理可得CD的中点Q(c,d),满足c+2kd=0,故k PQ=x-xx-x =x-x-2xx+2xx=-12x≠-1x,故四边形ABCD不能为矩形.。
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第5讲双曲线一、选择题1．设双曲线错误!－错误!＝1（a＞0）的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为（)．A．4 B．3 C．2 D．1解析双曲线x2a2－错误!＝1的渐近线方程为3x±ay＝0与已知方程比较系数得a＝2。
答案C2．已知双曲线C:错误!－错误!＝1的焦距为10,点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为( ）．A.错误!－错误!＝1B.错误!－错误!＝1C。
错误!－错误!＝1 D.错误!－错误!＝1解析不妨设a>0，b>0,c＝a2＋b2。
据题意，2c＝10，∴c＝5. ①双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，且P(2，1)在C的渐近线上,∴1＝错误!。
②由①②解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A。
答案A3．已知双曲线x2－错误!＝1的左顶点为A1,右焦点为F2，P为双曲线右支上一点,则错误!·错误!的最小值为（)．A．－2 B．－错误!C．1 D．0解析设点P(x,y)，其中x≥1。
依题意得A1（－1，0），F2(2,0)，则有错误!＝x2－1，y2＝3(x2－1），错误!·错误!＝(－1－x，－y）·(2－x，－y)＝（x＋1）（x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1）－x－2＝4x2－x－5＝4错误!2－错误!，其中x≥1.因此,当x＝1时，错误!·错误!取得最小值－2，选A.答案A4．过双曲线错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0）的左焦点F(－c,0)（c>0）作圆x2＋y2＝错误!的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若错误!＋错误!＝2错误!，则双曲线的离心率为( )．A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析设双曲线的右焦点为A，则错误!＝－错误!,故错误!＋错误!＝错误!－错误!＝错误!＝2错误!，即OE＝错误!AP。
1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的确定值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)【学问拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t (t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x2m＋y2n＝1 (mn<0)．【思考辨析】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的确定值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)(3)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线相互垂直，离心率等于 2.(√)(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与x2b2－y2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．(√)1．(教材改编)若双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A. 5 B．5C. 2 D．2答案 A解析由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝ 5.2．(2021·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－y24＝1 B.x24－y2＝1C．x2－y22＝1 D.x22－y2＝1答案 A解析 由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.3．(2022·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等 答案 A解析 由于0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A. 4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为________． 答案3解析 双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±mm x ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋3m ＋1＝ 3. 5．(教材改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 答案 x 28－y 28＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (3，－1)代入，得a 2＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1.题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 双曲线定义的应用例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________． 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .依据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 由于|MA |＝|MB |， 所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又依据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． 命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 依据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华 求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，依据已知条件，列出参数a 、b 、c 的方程并求出a 、b 、c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ (λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．(1)(2021·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________________．(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的确定值等于8，则曲线C 2的标准方程为________． 答案 (1)x 24－y 2＝1 (2)x 216－y 29＝1解析 (1)由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8. 由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. 题型二 双曲线的几何性质例3 (1)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5(2)(2021·山东)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________． 答案 (1)C (2)32解析 (1)如图， ∵FB →＝2F A →，∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴ba＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba)2＝4，∴e ＝2.(2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝ba x ，直线OB 的方程为y ＝－ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·b ax ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a 2，∴A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p2， ∴k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1， ∴2pb 2a 2－p22pb a ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94. ∴e ＝32.思维升华 (1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2)求双曲线的离心率时，将供应的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝ca转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．(1)(2021·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A ．±12 B ．±22C ．±1D ．±2(2)(2021·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( ) A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2 答案 (1)C (2)B解析 (1)如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c,0)，左，右顶点分别为A 1(－a,0)，A 2(a,0)，易求B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ， 则kA 2C ＝b 2aa －c ，kA 1B ＝b 2aa ＋c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有kA 1B ·kA 2C ＝－1，即b 2aa ＋c ·b 2aa －c＝－1，∴b 4a 2c 2－a2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ， ∴渐近线斜率k ＝±ba ＝±1.(2)e 1＝1＋b 2a2，e 2＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋ma ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m ，即e 1<e 2.故选B. 题型三 直线与双曲线的综合问题例4 (1)(2021·四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.433B ．2 3C ．6D ．4 3 答案 D解析 右焦点F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23，∴A (2,23)，B (2，－23)，∴|AB |＝4 3.(2)若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．①求k 的取值范围；②若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值． 解 ①由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*)∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >1，－2<k <2，所以1<k < 2.故k 的取值范围是{k |1<k <2}． ②由(*)得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1<k <2，∴k ＝52， 所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)， 得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )． ∵点C 是双曲线上一点． ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. 思维升华 (1)争辩直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2，0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2的距离差的确定值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程； (3)已知定点G (1,2)，点D 是双曲线C 右支上的动点，求|DF 1|＋|DG |的最小值． 解 (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，半焦距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上， 所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3.两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.由于M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6， 故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.(3)由已知，得|DF 1|－|DF 2|＝2， 即|DF 1|＝|DF 2|＋2，所以|DF 1|＋|DG |＝|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2，当且仅当G ，D ，F 2三点共线时取等号． 由于|GF 2|＝(1－2)2＋22＝5，所以|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2＝5＋2，故|DF 1|＋|DG |的最小值为5＋2.14．忽视“判别式”致误典例 (12分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析 由于“判别式”是推断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的缘由，任何状况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误． 规范解答解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，明显不符合题意．[2分] 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .[3分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0)．① [6分] ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.[8分]当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[11分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[12分]温馨提示 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清楚，但结论却不肯定正确．错误缘由是忽视对直线与双曲线是否相交的推断，从而导致错误，由于所求的直线是基于假设存在的状况下所得的．(2)本题属探究性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，肯定要留意检验．[方法与技巧]双曲线标准方程的求法：(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n ＝ 1 (mn >0)，这样可避开争辩和简单的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1 (AB <0)，这种形式在解题时更简便；(2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ (λ≠0)，据其他条件确定λ的值．[失误与防范]1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±ab x .4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要留意说明斜率不存在的状况．5．直线与双曲线交于一点时，不肯定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．(2021·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 答案 C解析 由于所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.2．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 3．(2022·江西)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D .x 212－y 24＝1 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b )． 由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴(a －4)2＋(－b )2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.4．(2021·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 答案 A解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 5．已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1 (a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1 (a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2.则e 1e 2等于( ) A.22B ．1 C. 3 D ．2 答案 B 解析 由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1＝c 1a 1＝5－12. 由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 22＝a 2c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5＋12.∴e 1e 2＝5－12×5＋12＝1.6．(2021·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.答案33解析 双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±x a ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，由于a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33. 7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________.答案 5解析 由于双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n >0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．8．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为______________． 答案 [3＋23，＋∞)解析 由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1， ∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点)，∴OP →·FP →≥3＋2 3.9．(2022·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________． 答案52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b ax ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b )，所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a 2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 由于|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ，所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2， 所以e ＝c a ＝52.10．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.B 组 专项力量提升 (时间：25分钟)11．(2021·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A解析 由题作出图象如图所示． 由x 2a 2－y 2b 2＝1可知A (a,0)， F (c,0)．易得B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a (c －a )，∴k CD ＝a (a －c )b 2.∵k AC ＝b 2a a －c ＝b 2a (a －c )，∴k BD ＝－a (a －c )b 2.∴l BD ：y －b 2a ＝－a (a －c )b 2(x －c )，即y ＝－a (a －c )b 2x ＋ac (a －c )b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a (a －c )b 2(x －c )，即y ＝a (a －c )b 2x －ac (a －c )b 2－b 2a .∴x D ＝c ＋b 4a 2(a －c ).∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2(a －c ).∴b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2， ∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<ba<1.12．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤233，2 B.⎣⎡⎭⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞答案 A解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4， ∴233<e ≤2，故选A. 13．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6. ∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28， 因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．答案 53解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.15．已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在其次象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积． 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则依据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，且满足⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1.(2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，|AB |＝10， 设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点，所以P 点坐标为(2x 0－5,2y 0)．将M 、P 坐标分别代入椭圆和双曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2025＋y 209＝1，(2x 0－5)225－4y 29＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0. 解得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)．∴y 0＝332.由此可得M (－52，332)，∴P (－10,33)．当P 为(－10,33)时，直线P A 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)，即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1，得2x 2＋15x ＋25＝0.∴x ＝－52或－5(舍去)，∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴．∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.。
2021高三数学解析几何第一轮复习资料(共67页)第九编解析几何§9.1直线的倾角和坡度1.设直线l与x轴的交点是p，且倾斜角为?,若将此直线绕点p按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为?+45°，则?的范围为.答案0°＜?＜135°2.（20222国家I文本）点（1,3）处曲线y=x-2x+4切线的倾角为45°3.过点m（-2，m），n（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为.答案14.已知直线L的倾角为？，和0°≤? ＜135°，则直线L的斜率的值范围为-∞, - 1) ∪ [0, + ∞)5.若直线l经过点（a-2，-1）和（-a-2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-答案-三基础自测如果2的直线是垂直的，则实数a的值为。
323 例1如果？∈?,?，那么直线2xcos+倾斜角3Y+1=0的值范围为625答案?,??6.例2（14点）：已知直线L1:ax+2Y+6=0和直线L2:x+（A-1）y+A-1=0，（1）尝试判断L1和L2是否平行；（2）当L1⊥ L2，求A的值解（1）方法一当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时，l1:y=-3,L2:x-y-1=0，L1与L2不平行；树枝当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1:y=-a1x-3,l2:y=x-(a+1),21?a2二?a1l1∥l22?1?a，解得a=-1,3.（a？1）5分综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.分方法二：从a1b2-a2b1=0，a（a-1）-132=0，从A21c2-a2c1≠0，得a(a-1)-136≠0,分∴陆上通信线？？a（a？1）？1.2.01∥2.a（a2）1)160分a2？A.2.0A=-1，？a（a2）1)6分因此，当a=-1时，L1‖L2，否则L1和L2不是平行分支（2）方法一当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直，故a=1不成立.分当≠ 1，L1:y=-a2x-3，L12:y=1？ax-（a+1），12分通过A.2.2121? a=-1？a=3。
