人教版 八年级数学讲义 最短路径问题 (含解析)

第05讲最短路径课程标准学习目标①最短路径的基本原理②最短路径的基本模型 1.掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短，点到直线的距离最短。

2.掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。

知识点01最短路径的基本原理1.最短路径的基本原理：①两点之间，线段最短。

如图，②号线最短②点到直线的距离最短。

如图，PC最短。

③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。

如图，MN是垂直平分线，CA=CB。

知识点02最短路径的基本类型1——直线上一点到同侧两点的距离之和最短1.如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得MP＋MQ的值最小：方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。

解：如图，作点P关于直线l的对称点p’。

连接P’Q，P’Q与直线l交于点M，则此时MP＋MQ最小。

证明：∵P与P’关于直线l对称∴直线l是PP’的垂直平分线∴MP＝MP’∴MP＋MQ＝MP’＋MQ＝P’Q。

∴MP＋MQ此时有最小值，为P’Q的长度题型考点：①基本作图。

②求值计算。

【即学即练1】1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（）A．A点B．B点C．C点D．D点【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，∵M′N与直线l交于点C，∴点P应选C点．故选：C．【即学即练2】2．如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：如图，连接CE，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，∴EB＝EC，∴BE+EF＝CE+EF，∴当C、F、E三点共线时，EF+EC＝EF+BE＝CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD＝CF＝6，即EF+BE的最小值为6．故选：B．知识点03最短路径基本类型——角内一点与角两边构成的三角形周长最短1.如图，已知∠MON 以及角内一点P ，角的两边OM 与ON 上存在点A 与点B ，使得△PAB 的周长最小：方法点拨：分别作点P 关于OM 与ON 的对称点P ’与P ’’，连接P ’P ’’。

最短路径问题»知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。

本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。

知识梳理讲解用时：20分钟两点之间线段最短C DA BEA地到B地有3条路线A-C-D-B, A-B, A-E-B，那么选哪条路线最近呢? 选A-B，因为两点之间，直线最短--- _ _两点在一条直线异侧相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边I饮马，然后到B地•到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？两点在一条直线同侧作法：1、作B点关于直线L的对称点B'2、连接AB'交直线L于点C;3、点C即为所求.证明：在直线L上任意选一点C'（点C不与C重合），连接AC、BC、B' C'.在厶AB' C'中，AC +B' C' > AB'••• AC +BC > AC+BC所以AC+BC最短.【例题1】已知点A,点B都在直线I的上方，试用尺规作图在直线I上求作一点P,使得PA+PB勺值最小，则下列作法正确的是（）【答案】D【解析】根据作图的方法即可得到结论.解：作B关于直线I的对称点，连接这个对称点和A交直线I于P,则PA+PB勺值最小，••• D的作法正确，故选：D.讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称-最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键. 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站, 向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）【答案】D【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离.解：作点P关于直线L的对称点P',连接QP交直线L于M根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短.故选：D.讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了最短路径的数学问题.这类问题的解答依据是“两点之间, 线段最短”.由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别.教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习1.2 ］如图，A、B在直线I的两侧，在直线I上求一点P,使|PA-PB|的值最大.B【答案］见解析【解析］作点A关于直线I的对称点A'，则PA=PA，因而|PA- PB|=|PA'-PB|，则当A', B、P在一条直线上时，|PA- PB |的值最大.解：作点A关于直线I的对称点A'，连A B并延长交直线I于P.讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是作图-轴对称变换，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键.教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题•难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】如图，A、B在直线I的同侧，在直线I上求一点巳使厶PAB的周长最小.【答案】【解析】由于△ PAB的周长=PA+AB+P，而AB是定值，故只需在直线I上找一点P,使PA+PB最小.如果设A关于I的对称点为A',使PA+PB最小就是使PA +PB最小. 解：作法：作A关于I的对称点A'，连接A B交I于点P.则点P就是所要求作的点；理由：在I上取不同于P的点P',连接AP、BP .••• A和A关于直线I对称，••• PA=PA，P' A=P A，而 A ' P+BP^ A P' +BP••• PA+B R AP' +BP••• AB+AP+B R AB+AP +BP即厶ABP周长小于△ ABP周长.讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称-最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决.教学建议：把三角形的周长用线段表示出来，通过转化成一条线段利用两点之间线段最短进行解题•难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1 ］(I)如图①，点A、B在直线I两侧，请你在直线I上画出一点P,使得PA+PB 的值最小；(U)如图②，点E、F在直线I同侧，请你在直线I上画出一点P,使得PE+PF 的值最小；(川)如图③，点MN在直线I同侧，请你在直线I上画出两点OP,使得0P=1cm 且MO+OP+P的值最小.(保留作图痕迹，不写作法)【答案］见解析【解析］(I )图①，显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点；(II )图2,作E关于直线的对称点，连接FE'即可；(III )图③，画出图形，作N的对称点N',作NQ/直线I ， NQ=1cm连接MQ得出点0即可.解：（I）如图①，连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点P,这样PA+PB 最小，理由是：两点之间，线段最短；（II ）如图②，先作点E关于直线I的对称点E'，再连接E' F交I于点P,则PE+PF=E P+PF=E F,由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点；作N关于直线I的对称点N',过N'作线段N Q//直线I，且线段N Q=1cm连接MQ交直线I于O,在直线I上截取0P=1cm如图，连接NP,则此时MO+OP+PN值最小.讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称-最短路线问题的应用, 题目比较典型，第三小题有一定的难度，主要考查学生的理解能力和动手操作能力.教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题• 难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC, AB边于E, F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，求△ CDM周长的最小值.【答案】10【解析】连接AC ，由于△ ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD 丄BC ，再根据三角形的面积公式求出 AD 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可 知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ,故AD 的长为CM+M 的最小值，由此即可 得出结论.解：连接AD •••△ ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点,• ADL BC,• - S A AB =j-BC?AD=- ••• EF 是线段AC 的垂直平分线,•••点C 关于直线EF 的对称点为点A,••• AD 的长为CM+M 的最小值，解题思路：本题考查的是轴对称-最短路线问题， 熟知等腰三角形三线合一的性 质是解答此题的关键.教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段， 利用垂线段最短 进行解题.难度：4适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018【练习3.1 ]如图，已知点D 点E 分别是等边三角形 ABC 中BC AB 边的中点，AD=5点F 是AD 边上的动点，求BF+EF 的最小值.【答案】5X 4X AD=16 解得AD=8X4=8+2=10.【解析】 过C 作CEL AB 于E ,交AD 于F ,连接BF,贝U BF+EF 最小，证△ ADB ◎ △ CEB 得 CE=AD=,即 BF+EF=5解：过C 作CEL AB 于E ,交AD 于 F ,连接BF,则BF+EF 最小（根据两点之间线 段最短；点到直线垂直距离最短），由于C 和B 关于AD 对称，则BF+EF=CF •••等边△ ABC 中, BD=CD••• ACL BC,••• AD 是 BC 的垂直平分线（三线合一）,••• C 和B 关于直线AD 对称，••• CF=BF即 BF+EF=CF+EF=CE••• AD L BC, CEL AB•••/ ADB 2 CEB=90 ,在厶 ADB?3 CEB 中,ZADB=ZCEBZABD=ZCBE ,AB=CB•••△ ADB^A CEB （AAS ,CE=AD=5即 BF+EF=5讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是轴对称-最短路线问题， 涉及到等边三角形的性质，轴 对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用.教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段， 利用垂线段最短 进行解题•难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018[【例题4】如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？【答案】见解析【解析】虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸•关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的.解：如图，作BB'垂直于河岸GH使BB等于河宽，连接AB，与河岸EF相交于P,作PDL GH贝U PD// BB且PD=BB，于是PDBB为平行四边形，故PB =BD根据“两点之间线段最短” ，AB最短，即AP+BD最短.讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了轴对称 —— 最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”， 但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线 段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题•目前，往往利用对称性、平行四 边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法.教学建议：将3条线段进行转化成一条线段•难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018【练习4.1 ］作图题(1) 如图1, 一个牧童从P 点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮 水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线.(2) 如图2,在一条河的两岸有A ，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥 的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段 CD 表示•试问：桥CD 建在何处， 才能使A 至U B 的路程最短呢？请在图中画出桥CD 的位【答案］见解析【解析］(1)把河岸看做一条直线, 段最短的性质即可解决问题.(2)先确定AA =CD 且AA // CD 连接BA ，与河岸的交点就是点 C,过点 C 作CD 垂直河岸，交另一河岸于点 D, CD 就是所求的桥的位置.解：(1)根据垂直线段最短的性质，即可画出这条从草地到河边最近的线路，如 图1所示：利用点到直线的所有连接线段中，垂直线(2)先确定AA =CD且AA // CD连接BA，与河岸的交点就是点C,过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D, CD就是所求的桥的位置•如图2,讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用，解题的关键是灵活运用垂直线段最短的性质作图.教学建议：掌握求最短路径的几种基本题型和方法.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，/ PCD勺度数是多少？【答案】30°【解析】由于点C关于直线MN勺对称点是B,所以当B P、D三点在同一直线上时，PC+PD勺值最小解：连接PB.由题意知，••• B、C关于直线MN对称，••• PB=PC••• PC+PD=PB+PD当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PDR最小值，连接BD交MN于P,•••△ ABC是等边三角形，D为AC的中点，••• BDL AC,••• PA=PC•••/ PCD M PAD=30讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了线路最短的问题、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型.教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题•难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1 ］已知，如图△ ABC为等边三角形，高AH=10cmP为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB勺最小值为多少？【答案］10cm【解析］连接PC,根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BP PD+PB要取最小值，应使 D P、C三点一线.解：连接PC，•••△ ABC为等边三角形，D为AB的中点，••• PD+PB勺最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm解题思路：此题主要考查有关轴对称--最短路线的问题， 注意灵活应用等边三 角形的性质.教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018【例题6】如图，/ AOB 勺内部有一点P ,在射线OA OB 边上各取一点P i , B ，使得△ PRB，保留作图痕迹.【解析】作点P 关于直线OA 的对称点E ,点P 关于直线OB 的对称点F ，连接理由：••• RP=PE , RP=PF,EF 交OA 于P i ，交OB 于P 2, 连接PP , PR , △ PPP 2即为所求.解：如图，作点P 关于直线 EF 交OA 于P i ,交OB 于P 2, OA 的对称点E, 连接PP , PR , 点P 关于直线OB 的对称点F ,连接 △ PPP 2即为所求.R,叙述作图过程（作法） 【答案】见解析:.△ PRF2 的周长=PR+PF2+PP=ER+p i p2+p2F=EF,根据两点之间线段最短，可知此时△ PPP2的周长最短.讲解用时：5分钟解题思路：本题考查轴对称-最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型.教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点• 难度：4适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1 ］知识拓展：如图2,点P在/AOB内部，试在OA 0B上分别找出两点E、F,使△ PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）【答案］见解析【解析］作P关于OA 0B的对称点C D,连接CD角OA 0B于E、F.此时△PEF周长有最小值；作图如下：解题思路：题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题关键.教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，/ AOB=30，点P是/AOB内一点，PO=8在/ AOB勺两边分别有点R、Q （均不同于O）,求厶PQF周长的最小值.【答案】【解析】根据轴对称图形的性质，作出P关于OA OB的对称点M N,连接MN 根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可.解：分别作P关于OA OB的对称点M N.连接MN交OA OB交于Q 尺则厶PQF符合条件.连接OM ON由轴对称的性质可知，OM=ON=OR=8/ MON H MOP主NOP=Z AOB=Z3O° =60°,则A MO为等边三角形，••• MN=8••• QP=QMRN=RP讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称-最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质的灵活运用.教学建议：对称之后，角度也是相同的，做定点关于动点所在直线的对称点.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1 ］如图，/ AOB=30，/ AOB内有一定点P,且OP=10 0A上有一点Q, 0B上有一定点只若厶PQR周长最小，求它的最小值.【答案］10【解析］先画出图形，作PM L 0A与0A相交于M并将PM延长一倍到E,即ME=PM作PN!0B与0B相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN连接EF与0A相交于Q,与0B相交于R,再连接PQ PR则厶PQR即为周长最短的三角形.再根据线段垂直平分线的性质得出△ PQR=EF再根据三角形各角之间的关系判断出△ E0F的形状即可求解.解：设/ P0A羽，则/ P0B=30 作PML0A与0A相交于M,并将PM延长一倍至U E, 即卩ME=P M作PN10B与0B相交于N,并将PN延长一倍到F, 即卩NF=PN连接EF与0A相交于Q,与0B相交于R,再连接PQ PR则A PQR即为周长最短的三角形.v 0A是PE的垂直平分线，••• EQ=QP同理，0B是PF的垂直平分线，••• FR=RP•••△ PQR勺周长=EF.v 0E=0F=0P=1（且/ E0F M E0P# P0F=2） +2（30°-9）=60°,•••△ EOF是正三角形，••• EF=10即在保持0P=1（的条件下△ PQR勺最小周长为10.作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答. 教学建议：做定点关于动点所在直线的对称点，利用轴对称的性质进行解题 难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018 课后作业【作业11如图，在铁路I 的同侧有A 、B 两个工厂，要在铁路边建一个货场 C,货场应建 在什么地方，才能使A 、B 两厂到货场C 的距离之和最短？A * J«【答案1见解析【解析1作点B 关于直线I 的对称点B'，连接AB ，交I 于点C,则点C 即 为所求点.解：如图所示：A\ ・1 ■■i I—'讲解用时：3分钟【作业2】 解答此类题目的关键根据轴对称的性质难度：3 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2018故答案为：10.用三角板和直尺作图.(不写作法，保留痕迹)如图，点A, B在直线I的同侧.(1)试在直线I上取一点M使MA+M的值最小.(2)试在直线I上取一点N,使NB- NA最大.--------------------------------- 1【答案】见解析【解析】(1)作点A关于直线I的对称点，再连接解答即可；(2)连接BA延长BA交直线I于N,当N即为所求；解：(1)如图所示：「/___ 7；/M*(2)如图所示；*----- z理由：••• NB- NAC AB•••当A、B、N共线时，BN- NA的值最大.讲解用时：3分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】如图，已知点D点E分别是等边三角形ABC中BC AB边的中点，AD=6点F 是AD 边上的动点，求BF+EF的最小值.【答案】6【解析】过C作CEL AB于E,交AD于F,连接BF,贝U BF+EF最小，证△ ADB ◎△ CEB得CE=AD=,即BF+EF=6解：过C作CEL AB于E,交AD于F,连接BF,则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF•••等边△ ABC中, BD=CD••• ADL BC,••• AD是BC的垂直平分线（三线合一）,••• C和B关于直线AD对称，••• CF=BF即BF+EF=CF+EF=CE••• ADL BC, CEL AB•••/ ADB2 CEB=90 ,在厶ADB?3 CEB中,fZAEB=ZCEB••• Z 阳XZCBE,I AB=CB•••△ ADB^A CEB（AAS ,••• CE=AD=6即BF+EF=6.讲解用时：3分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，点P是/ AOB内部的一点，/ AOB=30 , 0P=8cm M N是OA OB上的两个动点，则求△ MPN周长的最小值？【答案】8【解析】设点P关于0A的对称点为C,关于0B的对称点为D,当点M N在CD 上时，△ PMN勺周长最小.解：分别作点P关于OA 0B的对称点C D,连接CD分别交OA 0B于点M N, 连接OR OC OD PM PN•••点P关于0A的对称点为C,关于0B的对称点为D,••• PM=CMOP=OC / COA N POA•••点P关于0B的对称点为D,••• PN=DN OP=OD / DOB N POB••• OC=OD=OP=8cmZ COD N COA+Z POA+N POB+N DOB=N POA+2/ POB=2/ AOB=60 ,•••△ COD!等边三角形，CD=OC=OD=8cm•••△ PMN勺周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MNCD=8cm故答案为：8.讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

最短路径问题解题技巧：先把立体图形展开成平面图形，再根据两点之间线段最短来解决问题例1、如图，厨房里有一个圆柱体的糖罐，底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只饥饿的蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C偷糖吃，试求出爬行的最短路程1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm。

A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为_________dm．2、如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.3、如图，A、B两个小城镇在河流CD同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元(1)请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节约？(2)求出总费用是多少？课后作业1、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是（）A.2B.4C.6D.82、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．3、如图所示，一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高为______m4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-6,0）、（0,8）。

以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___________5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°。

（1）求∠BAC的度数。

（2）若AC=2，求AD的长。

6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC=________7、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED。

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2023-2024学年人教版八年级数学上学期13.4课题学习 最短路
径问题
一．选择题（共6小题）
1．如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1，P 2
交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2＝6，则△PMN 周长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2．如图，直线L 是一条输水主管道，现有A 、B 两户新住户要接水入户，图中实线表示铺
设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，直线l 是一条河，P ，Q 是两个村庄．计划在l 上的某处修建一个水泵站M ，向P ，
Q 两地供水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，直线m 表示一条河，M ，N 表示两个村庄，欲在m
上的某处修建一个给水站，向。

专题13.10最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小（同侧转化为异侧）；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△PAB的周长最小。

图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形PAQB的周长最小。

图4【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

图5【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON 上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

图6【考点1】两定一动型；【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【考点3】一定两动（垂线段最短）型；【考点4】两定两动型；【考点5】一定两动（等线段）转化型；.第二部分【题型展示与方法点拨】【考点1】两定一动型；【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC ∆中，3,4AB AC ==，EF 垂直平分BC ，交AC 于点D ，则ABP 周长的最小值是（）A ．12B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P 的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 与点D 重合时，AP BP +的值最小，即可得到ABP 周长最小．解：∵EF 垂直平分BC ，∴点B ，C 关于EF 对称．∴当点P 和点D 重合时，AP BP +的值最小．此时AP BP AC +=，∵3,4AB AC ==，ABP ∴ 周长的最小值是347AP BP AB AB AC ++=+=+=，故选：C ．【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在ABC V 中，1216AB AC ==，，20BC =．将ABC V 沿射线BM 折叠，使点A 与BC 边上的点D 重合，E 为射线BM 上的一个动点，则CDE 周长的最小值．【答案】24【详解】设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF 先根据折叠的性质可得12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，再根据两点之间线段最短可得当点E 与点F 重合时，CDE 周长最小，进而求解即可．解：如图，设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF ，由折叠的性质得：12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，20128CD BC BD ∴=-=-=，CDE ∴ 周长8CD DE CE AE CE =++=++，要使CDE 周长最小，只需AE CE +最小，由两点之间线段最短可知，当点E 与点F 重合时，最小值为AC ，∴CDE 周长为：681624AC +=+=．故答案为：24．【点拨】本题考查了折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，45MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，当PAB 的周长取最小值时，APB ∠的度数为（）A ．45︒B ．90︒C ．100︒D ．135︒【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路线问题、四边形的内角和定理、轴对称的性质等知识点，掌握两点之间线段最短的知识画出图形是解题的关键．如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，连接A B ''，此时PAB 的周长最小为A B ''，求出A B ''即可．解：如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，然后连接A B ''，∵点A '与点P 关于直线OM 对称，点B '与点P 关于ON 对称，∴A P OM B P ON A A AP B B BP ''''⊥⊥==，，，，∴A APA B BPB ''''∠=∠∠=∠，，∵A P OM B P ON ''⊥⊥，，∴180MON A PB ''∠+∠=︒，∴18045135A PB ''∠=︒-︒=︒，在A B P ''△中，由三角形的内角和定理可知：18013545A B ''∠+∠=︒-︒=︒，∴45A PA BPB ''∠+∠=︒，∴1354590APB ∠=︒-︒=︒．故选：B ．【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，45AOB ∠=︒，点M N 、分别在射线OA OB 、上，5MN =，15OMN S = ，点P 是直线MN 上的一个动点，点P 关于OA 的对称点为1P ，点P 关于OB 的对称点为2P ，连接1OP 、2OP 、12PP ，当点P 在直线MN 上运动时，则12OPP 面积的最小值是．【考点3】一定两动型（垂线段最短）；【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC V 中，3AB =，4BC =，5AC =，AB BC ⊥，点P 、Q 分别是边BC 、AC 上的动点，则AP PQ +的最小值等于（）A ．4B ．245C ．5D ．275【答案】B 【分析】作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，根据对称可得：AP PQ A P PQ A Q ''+=+≥，得到当,,A P Q '三点共线时，AP PQ +最小，再根据垂线段最短，得到A Q AC '⊥时，A Q '最小，进行求解即可．解：作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB =，AD 是ABC V 的角平分线，若P Q 、分别是AD 和AC 边上的动点，则PC PQ +的最小值是．AD 是BAC ∠的平分线，1QAD Q AD∴∠=∠在AQD 与1AQ D 中【考点4】两定两动型；【例4】如图，已知24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，1OP =，C 在OA 上，D 在OB 上，E 在OP 上．当CP CD DE ++取最小值时，此时PCD ∠的度数为（）A ．36︒B ．48︒C ．60︒D ．72︒【答案】D 【分析】作点P 关于OA 的对称点P'，作点E 关于OB 的对称点'E ，连接'OP 、'PP 、'OE 、'EE 、''P E ，则由轴对称知识可知=''CP CD DE CP CD DE ++++，所以依据垂线段最短知：当''P C D E 、、、在一条直线上，且'''P E OE ⊥时，CP CD DE ++取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以'P C PC =，'E D ED =，'1OP OP ==，=''CP CD DE CP CD DE ++++，'P OE ∠''P C D E 、、、在一条直线上，且''P E ''=9048=42OP E ∠︒-︒︒，'='''=7842CP P OP P OP E ∠∠-∠︒-︒=【答案】44βα-=︒【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．OQM OQM NQP '∴∠=∠=∠，OPQ ∠∴1(180)2PQN AOB α∠=︒-=∠+∠44βα∴-=︒，故答案为：44βα-=︒．【考点5】一定两动（等线段）转化型；【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中∠ACB =50°，AC =BC ，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且AE =CF ，当BF ＋CE 取最小值时，∠AFB 的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C 【分析】先构造△CFH 全等于△AEC ，得到△BCH 是等腰直角三角形且FH=CE ，当FH+BF 最小时，即是BF+CE 最小时，此时求出∠AFB 的度数即可．解：如图，作CH ⊥BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小，∵AC=BC ，∴CH=AC ，∵∠HCB=90°，AD ⊥BC ，∴AD//CH ，∵∠ACB=50°，∴∠ACH=∠CAE=40°，∴△CFH ≌△AEC ，∴FH=CE ，∴FH+BF=CE+BF 最小，此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．故选：C ．【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，有一定难度．【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在ABC V 中，80CAB ∠=︒，2AB =，3AC =，点E 是边AB 的中点，CAB ∠的角平分线交BC 于点D ．作直线AD ，在直线AD 上有一点P ，连结PC 、PE ，则PC PE -的最大值是．∵CAB ∠的角平分线交∴FAP ∠∠=∵AP AP =，∴APF APE ≌∴PF PE =，第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为．【答案】12【分析】以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，可证得△ECB ≌△DCA 从而得到BE=AD ，再根据三角形的三边关系即可得出结论．解：如图1，以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，∵CE=CD ，CB=CA ，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA ，∴△ECB ≌△DCA （SAS ），∴BE=AD ，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴则AD 的最大值与最小值的差为12．故答案为：12【点拨】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD 转化为BE 从而求解，是一道较好的中考题．【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在ABC V 中，90,60,4A B AB ∠=∠=︒=︒，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值为．在Rt DFC △中，30DCF ∠=︒，12DF DC ∴=，122()2AD DC AD DC +=+2()AD DF =+，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即此时，60B ADB ∠=∠=︒，2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，AC 、BD 在AB 的同侧，点M 为线段AB 中点，2AC =，8BD =，8AB =，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值为（）A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，证明'' A MB 为等边三角形，即可解决问题．解：如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，∵120CMD ∠=︒，∴60∠+∠=︒AMC DMB ，∴60''∠+∠=︒CMA DMB ，∴60''∠=︒A MB ，∵MA MB MA MB ''===，∴'' A MB 为等边三角形∵14CD CA A B B D CA AM BD ''''<++=++=，∴CD 的最大值为14，故选：C ．【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角ABC V 中，302A BC ∠=︒=，，ABC V 的面积是6，D 、E 、F 分别是三边上的动点，则DEF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．6D ．7∴AM AE AN ==，MF =∵BAC BAD DAC ∠=∠+∠∴MAN MAB BAD ∠=∠+∠∴(2MAN BAE EAC ∠=∠+∠。