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数学的美与理的感想或者心得数学作为一门学科，无疑是人类智慧的结晶之一。
它以其严密的逻辑性和深邃的思维方式，引领着人类探索数字与形式的奥秘。
我的数学旅程始于学生时代，通过实际学习和思考，对数学这门学科逐渐产生了深深的兴趣与热爱。
在学习的过程中，我逐渐体悟到了数学的美与理，下面我将分享一下我的感想和心得。
首先，数学之美。
数学之美体现在它那宏伟且千变万化的结构之中。
数学的世界可以说是一个无限大的宇宙，在这个宇宙中有各种各样的数学结构和规律，如数列、函数、集合、矩阵、几何等等。
这些结构和规律构成了数学的基础，也是数学美的一种体现。
其中，数列是我最喜欢的数学结构之一。
数列是一系列按照一定规律排列的数的集合，它既简单又复杂，既规律性又多样化。
简单的等差数列和等比数列是我们最早接触的数列，它们有着明确的递推公式和规律，容易理解和推导。
而级数、特殊数列（如斐波那契数列、卢卡斯数列等）等则是不那么容易理解和推导的数列，它们具有奇特的性质和规律，令人折服。
在数学的世界中，我也逐渐体验到了数学的抽象之美。
数学的抽象性体现在它能够将现实世界中复杂的问题简化为抽象的数学模型和符号，通过这些抽象的模型和符号来研究问题，为我们提供了一种独特的思考方式。
数学的抽象性还可以让我们将具体问题应用到不同领域和情境中，从而产生出更广泛和深刻的应用。
几何是数学中令我着迷的另一个方面。
几何是研究图形和空间的学科，通过点、线、面等基本元素的组合和运算，用数学语言描述形状和空间的性质。
几何不仅具有实用性，还有着深远的哲学意义。
在几何中，我们可以感受到美的存在和秩序的存在。
几何图形的对称性、比例关系、黄金分割等等，都是数学美的一种体现。
这些美丽的几何形状和性质让我们对世界的观察和理解更加深入和精确。
其次，数学之理。
数学之理是指数学的逻辑性和推导性，它是数学严密性的重要体现。
数学的推导过程通常是根据一些已知的定理、公理或原理，通过严格的推理过程得出结论。
数学家的名人名言在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么. ---达哥拉斯数学是科学之王. ——-高斯数学是无穷的科学.——赫尔曼外尔在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要. ——康托尔一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量. ——拉奥数学知识对于我们来说,其价值不止是由于他是一种有力地工具,同时还在于数学自身地完美;在数学内部或外部地展开中,我们看到了最纯粹的逻辑思维活动,以及最高级地智能活力地美学体现;--- Pringsheim,Alfred思维的经济原则在数学中得到了高度的发挥;数学是各门科学在高度发展中所达到的最高形式的一门科学,各门自然学科都频繁的求助于它;---Mach,E哪里有数,哪里就有美.---Proclus数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深.数学沿着他自己的道路而无拘无束的前进着,这并不是因为他有什么不受法律约束之类的种种许可证,而是因为数学本来就具有一种由其本性所决定的并且与其存在相符合的自由.---Hankel, Hermann几何、理论算术和代数,这些学科除了定义和公理之外,没有其他原则,除了演绎以外,没有其他证明过程但就在这一过程中,却已综合了简单性、复杂性、严密性和一般性,这一特性是不为其它学科所具有的;---Whewell,W.数学知识有三个不同于其它知识地主要特征：其一是数学知识比其它知识更清晰地使其结果具有真理性；其二是数学知识乃是获得其它正确知识地必经的第一步；其三是数学知识的获得并不依赖于其它知识;---Schubert,H.数学家毫不顾及声明或猜想,他们仅仅根据定义和公理,并用论证和推理来演绎每一件事;事实上,现在把那些仅由猜想或假说建立起来的理论称之为科学事不正确的,因为猜想往往求助于某种见解或主张,因而他不能由此而产生知识;---Reid,Thomas没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性;---Carus,Paul法国数学家彭加勒Poincare, ,曾经说过‘逻辑是证明的工具,直觉是发明的工具;"逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇见任何障碍,但是它不能告诉我们哪条道路能引导我们到达目的地;为此必须从远处了望目标,教导我们了望的本领的是直觉;没有直觉,数学家就会像这样一个作家,他只会按语法写诗,但是却毫无思想;希尔伯特D. Hilbert 强调说,’数学知识终究要依赖于某种类型的直觉洞察力;着名数学家华罗庚说：研究科学最宝贵的精神之一,是创造的精神,是独立开辟荒原的精神,科学之所以得有今日,多半是得利于这样的精神,在’山穷水尽疑无路‘的时候,卓越的科学家往往是另蹊境,创造出‘柳暗花明又一村’的境界;数学是科学的大门钥匙,忽视数学必将伤害所有的知识,因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的;更为严重的是,忽视数学的人不能理解他自己这一疏忽,最终将导致无法寻求任何补救的措施;---Bacon,Roger数学不是规律的发现者,因为他不是归纳;数学也不是理论的缔造者,因为他不是假说;但数学却是规律和理论的裁判和主宰者,因为规律和假说都要向数学表明自己的主张,然后等待数学的裁判;如果没有数学上的认可,则规律不能起作用,理论也不能解释; ----Peirce,Benjamin历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细,哲学使人深邃,道德使人严肃,逻辑与修辞使人善辩;--- Bacon,Francis对数学的酷爱,不仅在吾辈之中与日俱增,而且在军队中也是一样,对此已在上次战役中充分地体现出来了;蓬乃派托自己就有很好地数学素养,当然不能要求所有学过数学的人都能成为拉普拉斯和拉格朗日那样的几何学家,或者都成为蓬乃派托那样的英雄;但是,数学毕竟在他们的头脑中留下了痕迹;这就能使他们比未经过数学训练的人作出更多的贡献;---Lalande没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性;---Carus,Paul学习数学是为了探索宇宙的奥秘;如所知,星球与地层、热与电、变异与存在的规律,无不涉及数学真理;如果说语言反映和揭示了造物主的心声,那么数学就反映和揭示了造物主的智慧,并且反复地重复着事物如何变异为存在地故事;数学集中并引导我们地精力、自尊和愿望去认识真理,并由此而生活在上帝地大家庭中;正如文学诱导人们地情感与了解一样,数学则启发人们地想象与推理;---Chancellor,.笛卡儿的解析几何于牛顿的微积分已被扩张到罗巴切夫斯基、黎曼、高斯和塞尔维斯托的奇异的数学方法中这种扩张比哲学史上所记载的任何一门学科的扩张更大胆;事实上,数学不仅是各门学科所必不可少的工具,而且它从不顾及直观感觉的约束而自由地飞翔着;历史地看,数学还从没有象今天那样表现出对于纯粹推理地至高无上; ---ButlerNicholas Murray数学家的名言. “如果没有数所制造的关於宇宙的永恒的仿造品,则人类将不能继续生存;” ----尼采2. “不懂几何者免进;” ----3. “几何无王者之道” ---- 欧几里得4. “数学家实际上是一个着迷者,不迷就没有数学;” ---- 诺瓦利斯5. “没有大胆的猜测,就做不出伟大的发现;” ---- 牛顿6. “数统治着宇宙;”----毕达哥拉斯7. “数学,科学的女皇;数论,数学的女皇;”----高斯8. “上帝创造了整数,所有其余的数都是人造的;” ----克隆内克9. “上帝是一位算术家” ----雅克比10. “一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家;”----维尔斯特拉斯11. “纯数学这门科学再其现代发展阶段,可以说是人类精神之最具独创性的创造;”----怀德海12. “可以数是属统治着整个量的世界,而算数的四则运算则可以看作是数学家的全部装备;”----麦克斯韦13. “数论是人类知识最古老的一个分支,然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的;”----史密斯14. “无限再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵;”----希尔伯特15. “发现每一个新的群体在形式上都是数学的,因为我们不可能有其他的指导;”----达尔文16. “宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了;”----京斯17. “这是一个可靠的规律,当数学或哲学着作的作者以模糊深奥的话写作时,他是在胡说八道;”----AN怀德海18. “给我五个系数,我讲画出一头大象;给我六个系数,大象将会摇动尾巴;”----柯西19. “纯数学是魔术家真正的魔杖;”----诺瓦列斯20. “如果谁不知道正方形的对角线同边是不可通约的量,那他就不值得人的称号;”----柏拉图21. “整数的简单构成,若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉;”----伯克霍夫22. “数学不可比拟的永久性和万能性及他对时间和文化背景的独立行是其本质的直接后果;”----A埃博23. “生命只为两件事,发展数学与教授数学” ----普尔森24. “用心智的全部力量, 来选择我们应遵循的道路;”----笛卡儿25. “我不知道, 世上人会怎样看我; 不过, 我自己觉得, 我只像一个在海滨玩耍的孩子, 一会捡起块比较光滑的卵石, 一会儿找到个美丽的贝壳; 而在我前面, 真理的大海还完全没有发现;” ----牛顿26. “我之所以比笛卡儿看得远些, 是因为我站在巨人的肩上;” ----牛顿27. “不亲自检查桥梁的每一部分的坚固性就不过桥的旅行者是不可能走远的; 甚至在数学中有些事情也要冒险;”28. ----贺拉斯.兰姆29. “前进吧, 前进将使你产生信念;”----达朗贝尔30. “读读欧拉, 读读欧拉, 他是我们大家的老师;” ----拉普拉斯31. “如果我继承可观的财产, 我在数学上可能没有多少价值了;”----拉格朗日32. “我把数学看成是一件有意思的工作, 而不是想为自己建立什么纪念碑; 可以肯定地说, 我对别人的工作比自己的更喜欢; 我对自己的工作总是不满意; ”----拉格朗日33. “一个人的贡献和他的自负严格地成反比,这似乎是品行上的一个公理; ”----拉格朗日34. “看在上帝的份上, 千万别放下工作这是你最好的药物; ”----达朗贝尔35. “我的成功只依赖两条; 一条是毫不动摇地坚持到底; 一条是用手把脑子里想出的图形一丝不差地制造出来;”36. ----蒙日37. “天文科学的最大好处是消除由于忽视我们同自然的真正关系而造成的错误; 因为社会秩序必须建立在这种关系之上, 所以这类错误就更具灾难性; 真理和正义是社会秩序永恒不变的基础; 但愿我们摆脱这种危险的格言, 说什么进行欺骗和奴役有时比保障他们的幸福更有用各个时代的历史经验证明, 谁破坏这些神圣的法则, 必将遭到惩罚;”38. ----拉普拉斯39. “有时候, 你一开始未能得到一个最简单,最美妙的证明, 但正是这样的证明才能深入到高等算术真理的奇妙联系中去; 这是我们继续研究的动力, 并且最能使我们有所发现;” ----高斯40. “如果别人思考数学的真理像我一样深入持久, 他也会找到我的发现;” ----高斯41. “人死了, 但事业永存; ” ----柯西42. “精巧的论证常常不是一蹴而就的,而是人们长期切磋积累的成果; 我也是慢慢学来的,而且还要继续不断的学习;” ----阿贝尔43. “到底是大师的着作, 不同凡响”----伽罗瓦44. “异常抽象的问题, 必须讨论得异常清楚; ” - ---笛卡儿45. “我思故我在;”----笛卡儿46. “我决心放弃那个仅仅是抽象的几何;这就是说,不再去考虑那些仅仅是用来练思想的问题;我这样做,是为了研究另一种几何,即目的在于解释自然现象的几何;”----笛卡儿47. "数学是人类知识活动留下来最具威力的知识工具,是一些现象的根源;数学是不变的,是客观存在的,上帝必以数学法则建造宇宙;”----笛卡儿48. “直接向大师们而不是他们得的学生学习;” ----阿贝尔49. “挑选好一个确定得研究对象, 锲而不舍; 你可能永远达不到终点, 但是一路上准可以发现一些有趣的东西;” ---克莱因50. “我决不把我的作品看做是个人的私事, 也不追求名誉和赞美; 我只是为真理的进展竭尽所能; 是我还是别的什么人, 对我来说无关紧要, 重要的是它更接近于真理; ”----维尔斯特拉斯51. “思维的运动形式通常是这样的：有意识的研究-潜意识的活动-有意识的研究;”----庞加莱52. “就是持续的斗争, 如果我们偶尔享受到宁静, 那是我们先辈顽强地进行了斗争;假使我们的精神, 我们的警惕松懈片刻, 我们将失去先辈为我们赢得的成果; ” ----庞加莱53. “如果我们想要预见数学的将来, 适当的途径是研究这门学科的历史和现状; ”----庞加莱54. 一个有科学创新能力的人不但要有科学知识,还要有文化艺术修养;——钱学森55. “我国科学家王菊珍对待实验失败有句格言,叫做“干下去还有50%成功的希望,不干便是100%的失败;”56. ----王菊珍57. “一个人就好像一个分数,他的实际才能好比分子,而他对自己的估价好比分母;分母越大,则分数的值就越小;” ----58. "数学的本质在於它的自由.”---- 康扥尔Cantor59. “在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.”---- 康扥尔Cantor60. "没有任何问题可以向无穷那样深深的触动人的情感, 很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想, 然而也没有任何其他的概念能向无穷那样需要加以阐明.”---- 希尔伯特Hilbert61. “数学是无穷的科学”----赫尔曼外尔62. "问题是数学的心脏”---- “只要一门科学分支能提出大量的问题, 它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡.” ----Hilbert64. “数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深.”---- 高斯65. “时间是个常数,但对勤奋者来说,是个‘变数’;用‘分’来计算时间的人比用‘小时’来计算时间的人时间多59倍;” ----雷巴柯夫66. “在学习中要敢于做减法,就是减去前人已经解决的部分,看看还有那些问题没有解决,需要我们去探索解决;” ----华罗庚67. “天才=1%的灵感+99%的血汗;”---- 爱迪生68. “要利用时间,思考一下一天之中做了些什么,是‘正号’还是‘负号’,倘若是‘+’,则进步;倘若是‘-’,就得吸取教训,采取措施;” ----季米特洛夫69. “近代最伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时,写下一个公式：A=x+y+z;并解释道：A代表成功,x代表艰苦的劳动,y代表正确的方法,Z代表少说空话;”----爱因斯坦70. “数学是无穷的科学.” ----赫尔曼外尔71. “数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深. 数学是科学之王.” ----高斯72. “在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.” ----康扥尔73. “只要一门科学分支能提出大量的问题, 它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡.”74. ----希尔伯特75. “在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么.” ----毕达哥拉斯76. “一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.” ----77. “一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量.” ----拉奥78. “数学——科学不可动摇的基石,促进人类事业进步的丰富源泉;” ---- 巴罗“在奥林匹斯山上统治着的上帝,乃是永恒的数;” ----雅可比80. “我们必须知道, 我们必将知道;” ----希尔伯特81. “扔进冰水, 由他们自己学会游泳, 或者淹死; 很多学生一直要到掌握了其他人做过的, 与他们问题有关的一切,才肯试着靠自己去工作, 结果是只有极少数人养成了独立工作的习惯; ” .贝尔82. “一个人如果做了出色的数学工作, 并想引起数学界的注意, 这实在是容易不过的事情, 不论这个人是如何位卑而且默默无闻, 他只需做一件事：把他对结果的论述寄给处于领导地位的权威就行了;” ----莫德尔83. “数学家通常是先通过直觉来发现一个定理; 这个结果对于他首先是似然的, 然后他再着手去制造一个证明;” ----哈代84. “一个做学问的人, 除了学习知识外, 还要有“tast”, 这个词不太好翻译, 有的译成品味, 喜爱; 一个人要有大的成就, 就要有相当清楚的“tast”; ”----杨振宁85. “数学是科学之王. ” ----高斯86. “如果认为只有在几何证明里或者在感觉的证据里才有必然,那会是一个严重的错误;给我五个系数,我将画出一头大象;给我第六个系数,大象将会摇动尾巴;人必须确信,如果他是在给科学添加许多新的术语而让读者接着研究那摆在他们面前的奇妙难尽的东西,已经使科学获得了巨大的进展;”----柯西87. “数学是一门演绎的学问,从一组公设,经过逻辑的推理,获得结论;”----陈省身88. “科学需要实验;但实验不能绝对精确;如有数学理论,则全靠推论,就完全正确了;这是科学不能离开数学的原因;许多科学的基本观念,往往需要数学观念来表示;所以数学家有饭吃了,但不能得诺贝尔奖,是自然的;” ---陈省身89. “数学中没有诺贝尔奖,这也许是件好事;诺贝尔奖太引人注目,会使数学家无法专注于自己的研究;” ----陈省身90. “我们欣赏数学,我们需要数学;”----陈省身91. “一个数学家的目的,是要了解数学;历史上数学的进展不外两途：增加对于已知材料的了解,和推广范围;”----陈省身92. “虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,从而认识现象的真实原因,但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象;”----欧拉93. “因为宇宙的结构是最完善的而且是最明智的上帝的创造,因此,如果在宇宙里没有某种极大的或极小的法则,那就根本不会发生任何事情;”----欧拉94. “迟序之数,非出神怪,有形可检,有数可推;”----祖冲之95. “事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本干知,发其一端而已;又所析理以辞,解体用图,庶亦约而能周,通而不黩,览之者思过半矣;”----刘徽96. “虚数是奇妙的人类棈神寄托,它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物;”----莱布尼茨97. “不发生作用的东西是不会存在的;”----莱布尼茨98. “考虑了很少的那几样东西之后,整个的事情就归结为纯几何,这是物理和力学的一个目标;” ----莱布尼茨99. “几何看来有时候要领先于分析,但事实上,几何的先行于分析,只不过像一个仆人走在主人的前面一样,是为主人开路的;”----西尔维斯特100. “也许我可以并非不适当地要求获得数学上亚当这一称号,因为我相信数学理性创造物由我命名已经流行通用比起同时代其它数学家加在一起还要多; ”----西尔维斯特101. “一个没有几分诗人才能的数学家决不会成为一个完全的数学家;”----魏尔斯特拉斯。
丘成桐：感受数学之美(为数学之纯美而工作，是丘成桐一生的追求。
这位当代数学大师以大刀阔斧般气魄，革新了微分几何学，其研究影响力遍及理论物理和几乎所有核心数学分支，取得了超越前人的成就。
作为华夏子孙，丘成桐始终怀着一颗爱国心，关心培养中国的年轻人，帮助中国成为数学强国。
这也是他一生事业的重点。
促进海内外华人数学家交流2007年圣诞节前一个星期，浙江大学数学中心丘成桐办公室的灯光每天亮到凌晨。
这段时间，全球1200多位华人数学家及国际知名数学大师云集风景秀丽的杭州，聚首第四届世界华人数学家大会，探讨数学最新研究进展。
丘成桐正是会议的发起者与筹办人。
在丘成桐看来，天下华人本一家，华夏子孙有割不断的血缘。
中国要发展，需要海内外华人数学家共同交流合作，将中国的数学提升到世界一流水平。
这不仅是祖宗愿意看到的，也是后人愿意看到的。
为期一周的大会，使浙江大学沉浸在活跃的学术氛围中。
大会邀请了基础数学、应用数学以及统计学等数学相关领域的一流人才，开设内容丰富的讲坛。
庞加莱猜想的主证者之一汉密尔顿教授专门做了学术报告。
大会开幕式上，有7位华人数学家获得晨兴数学奖。
他们在基础数学和应用数学的创新成就，可引证中国数学家过去10年的整体进展。
“中国培养的数学家第一次获得晨兴数学金奖，我十分高兴。
”丘成桐欣慰地说。
“我最高兴的是看到很多年轻学生都来参加，与国际一流大师交流，有利于他们开阔视野，了解当今数学发展的走向。
”会议期间，丘成桐作《中国古代数学》的精彩演讲，尽管时间安排在晚上8点，仍旧吸引了许多学生，教室里挤满了人，没有座位，有人索性在讲台前席地而坐。
为了鼓励数学新人，大会还首次面向全球华人大学生颁发新世界数学奖。
“从这次评选可以看出，中国的博士、硕士论文开始有质，但量不够；学士论文比博士、硕士论文量多，但质不是世界一流。
”丘成桐表现出一贯的直率，“反映出中国高校导师放在本科教育的时间不够。
这跟国外不一样，比如哈佛大学每年总有3到4篇有创造性的学士论文发表在最好的学术刊物上，我希望5到10年，中国学士能达到世界最好学校的水平，我是乐观的，希望老师多花一点工夫，把中国数学本科教育搞上去。
美育在数学教育中的渗透数学家大会上，一位位数学大师用洋溢着激情的字眼描绘数学。
但数学真的那么美吗？对于大多数中国学生来说，他们感受不到数学的魅力。
我国数学家徐利治认为：”数学教学的目的之一是使学生获得对数学的审美能力，即能增进学生对数学美的主观感受能力。
”数学是人类文明的结晶，数学的结构、图形、布局和形式无不体现数学中美的因素。
然而在教学实践中，我却发现相当部分学生都不能把数学与美联系在一起，这在一定程度上说明我们数学美育教学的欠缺。
因此，我认为在数学课堂教学中进行美育教育是十分必要的，也是十分重要。
在教学中注重美育渗透会有效地提高教学质量，促进学生综合素质的提升。
1.让学生认识到数学美的特征简单性。
数学的简单美具有形式简洁、秩序、规整和高度统一的特点，还具有数学规律的普遍性和应用的广泛性。
例如，众所周知的三角形、平行四边形、梯形的面积公式，形式多么简洁规整，应用又多么广泛普遍。
在梯形的面积公式s=1/2（a+b）h（a为上底，b为下底， h为高）中，当a=0时变成三角形的面积公式；当a=b 时，变成平形四边形的面积公式，这种既有区别又有联系、既对立又统一、从量变到质变的辩证方法在数学中处处可见。
1.1 和谐性。
各种自然形态，特别是动植物的生态以及人类的许多造物形态都有蕴含丰富的数学关系，有丰富的对称美、和谐美。
作为反映和研究客观规律的数学科学，集中反映了这种美的特征。
数学美的和谐性是指数学内容与结构系统的协调完备和数学所表现出的均衡对称。
1.2 严谨性。
严谨性是数学的独持之美，它表现在数学定义准确地揭示了概念的本质属性；数学结论存在且唯一，对错分明，不模棱两可；数学的逻辑推理严密，从它的公理开始到演绎的最后一个环节不允许有一句假话，即使错一个符号也不行。
如，极限过程，是一个无限接近的过程，人们无法经历它的全过程，而极限理论却使我们在推理想象中完成这个过程。
数学美的这种严谨性，要求数学工作者具有实事求是，谦虚谨慎，孜孜不倦地追求真理的美德，这正是数学美的伦理价值所在。
数学论文之品味数学之美数学，作为自然科学的皇后，不但锻炼我们的智力，也陶冶着我们美的情操。
数学之美，体现在许多方面，让人叹为观止。
下面我们就从几个方面来品味数学之美吧。
一、简洁美爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。
”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。
物理学家爱因期坦的这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。
朴素，简单，是其外在形式。
只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。
欧拉给出的公式：V－Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。
世间的多面体有多少？没有人能说清楚。
但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西。
如：平面图的点数Ｖ、边数Ｅ、区域数Ｆ满足V－Ｅ＋Ｆ＝２，这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式。
由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。
在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。
比如：圆的周长公式：C=2πR勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。
平均不等式：对任何正数正弦定理：ΔＡＢＣ的外接圆半径Ｒ，则数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。
正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。
二、和谐美数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式：，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。
欧拉公式：，曾获得“最美的数学定理”称号。
欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。
与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是――（１）。
这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。
季理真：从倒数第一到数学大师的嬗变爱好化学的他阴差阳错学了数学，而且20多年来一直坚持作数学研究。
人到中年的他，说自己做事做人终于开始从容起来，“作数学终于找到了感觉”，就像从大一时数学成绩的倒数第一前进到大四的名列前茅，需要一个过程。
或许，成长和成熟的只是能力和心态，他的相貌似乎永远定格在大学时代——穿着白衬衫的他看上去非常年轻，就像大学校园里走着的研究生。
季理真说：“数学是丰富而美丽的。
她无论是内在还是外表都是多姿多彩的。
这种美不仅仅体现在数学各分支间，或者数学与物理等学科间意想不到的联系，也来自于数学在科学技术中方方面面的巨大应用。
”“数学是很好玩的，并且是会有收获的。
当数学家是一件美事。
”2007年12月17日，杭州第四届世界华人数学家大会晨兴数学奖颁奖仪式上，美国密歇根大学数学系教授、第四届晨兴奖银奖获得者季理真在发表获奖感言时这样表达对数学的热爱。
在我心中永强中学一直是最美的校园季理真1964年出生在浙江温州一个普通的农村家庭。
父亲小学没毕业，母亲没念过书。
季理真上面有1个姐姐、3个哥哥，大哥初中毕业，二哥小学都没毕业，三哥也是初中毕业。
他们的学习成绩都还不错，但因为“文革”却没有机会读下去。
“家里5个孩子中我最小，那时候我想要是有个城镇户口就好了，能解决吃饭问题。
当时惟一的出路就是读书，因为在家里年龄最小，就有条件一直读，家里从来不给我施加压力，我的成长是很自由的。
”时隔30多年，季理真还对当年参加初中入学考试的场景记忆犹新：“当年我和其他来自永兴小学的同学参加中学入学考试，每个人都是从家里自带一张凳子，到一块露天的晒谷场，我们坐在地上，趴在凳子上写考卷。
”“我们读小学时，去趟永强中学是件大事。
偶尔我会去那里买书。
我在学校里逛了一圈，发现永强中学三面都被一条清澈的河包围，一面是墙，只有一座桥连接着外面，这令我惊喜和着迷，就像通向神秘城堡的一座桥。
我被她的清幽、美丽和宁静所打动。
”“后来我去过国内外许多大学和研究院，有的很漂亮，也是独一无二的，比如德国黑森林里的数学学院，可以俯视太平洋的加利福尼亚州的数学学院，位于地中海旁的法国的数学研究学院，会游泳的人可以在那里放松一下心情，但在我心中，永强中学一直是最美丽的校园。
1. “数学家实际上是一个著迷者，不迷就没有数学。
”——诺瓦利斯2. “没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。
”——牛顿3. “数统治着宇宙。
”——毕达哥拉斯4. “数学，科学的女皇；数论，数学的女皇。
”——高斯5. “上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的。
”——克隆内克6. “上帝是一位算术家”——雅克比7. “一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。
”——维尔斯特拉斯8. “纯数学这门科学在其现代发展阶段，可以说是人类精神之最具独创性的创造。
”——怀德海9.“无限! 再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。
”——希尔伯特10. “发现每一个新的群体在形式上都是数学的，因为我们不可能有其他的指导。
”——达尔文11. “给我五个系数，我将画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴。
”——柯西12. “纯数学是魔术家真正的魔杖。
”——诺瓦列斯13. “如果谁不知道正方形的对角线同边是不可通约的量，那他就不值得人的称号。
”——柏拉图14. “整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。
”——伯克霍夫15. “数学不可比拟的永久性和万能性及他对时间和文化背景的独立行是其本质的直接后果。
”——A.埃博16. “生命只为两件事，发展数学与教授数学”——普尔森17. “我之所以比笛卡儿看得远些，是因为我站在巨人的肩上。
”——牛顿18. “如果我继承可观的财产，我在数学上可能没有多少价值了。
”——拉格朗日19. “我把数学看成是一件有意思的工作，而不是想为自己建立什么纪念碑。
可以肯定地说，我对别人的工作比自己的更喜欢。
我对自己的工作总是不满意。
”——拉格朗日20. “一个人的贡献和他的自负严格地成反比，这似乎是品行上的一个公理。
”——拉格朗日21. “看在上帝的份上，千万别放下工作! 这是你最好的药物。
”——达朗贝尔22. “有时候，你一开始未能得到一个最简单，最美妙的证明，但正是这样的证明才能深入到高等算术真理的奇妙联系中去。
数学大师谈数学中的几何美“数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定”。
今天很高兴在这边做这个演讲，我对文学、人文科学其实都不是很懂，都是自学，所以讲人文方面都是班门弄斧，希望你们专家能够原谅。
今天讲的几何学倒是我的专长，我研究几何学45年，对几何一直都是很喜欢，我的数学就是从几何学来，以后更应用到很多方面。
现在我们来讲几何的起源。
几何起源很老，基本上有4000年的历史。
古代人在生活实践中发现了很多简单的几何图形，发觉它们满足了一定的规律——简洁、明了，具有一种美感。
于是他们开始研究几何，这种美感令人赞叹。
几何图形，在埃及、巴比伦都有很多论述，但这些论述都不是系统化的。
1、泰勒斯。
到公元前68年，在希腊文明中才得到明确的推崇。
第一位对几何有兴趣的希腊哲学家叫泰勒斯（Thales），他开始晓得不能够用神秘宗教来解释自然，要创造一个演绎的方法，利用逻辑的思想来统一自然界与几何的现象。
这是一个很大的突变，以前哪个国家的文化都没有这种想法。
2、毕达哥拉斯他的学生毕达哥拉斯(Pythagoras)采取了定理证明的概念，毕达哥拉斯学派很重要，影响了整个西方的科学思想，这里不是一个人，是一群数学家。
他们认为宇宙的实体有两个：一个是数字，万物都是数字，数的存在是有限方面的实体；一个是无限的空间，空间是存在的无限的实体。
数字跟空间合在一起，生出宇宙万象。
这个概念一路影响到今天，不仅仅是几何本身，早在16世纪发展解析几何的时候，就用到坐标系统、用到数字来描述，到现在计算机能够用数字来描述，世界上一切东西都跟这个有关；而我们看到物体的分布影响到空间几何，也受到空间几何的影响，这个概念也是近代物理爱因斯坦推崇的主要概念。
3、柏拉图的三个著名几何问题第三个重要的人物是柏拉图（Plato），他是一位哲学家也是数学家，他在雅典郊外成立了一个很出名的学院叫Academy（也称柏拉图学园），相传他的文章讲“不懂几何学者，不能进这个学园的门”，可见柏拉图在希腊学界多么重视几何学。
这种理念也影响了西方科学相当长的时间。
柏拉图虽是哲学家，但他对数学有很浓厚的兴趣，他认为几何上有五种正多面体，在三维空间里只有五个正多面体，跟二维空间不一样。
这个命题在欧几里得的《几何原本》中被证明。
这个命题的证明并不是很简单，可是这个定理令希腊的哲学家很兴奋，他们认为这是自然界赐予的一个美好的理论。
这种理念影响了很久，甚至到了19世纪，伟大的天文学家开普勒，还企图用此来解释宇宙的结构、身体的运行，不幸地，开普勒的解释是错误的。
可在大自然的晶体里，我们可以找出五种结构出来，这五个结构影响到今天的数学发展。
柏拉图提出了三个著名的几何问题：三等分一角；构造正方形与单位圆同面积；构造立方体，其体积是单位立方体的两倍。
我希望你们在中学学过这三个问题，这三个问题影响数学界差不多2000多年，第三个问题在中国、印度亦出现过。
如果容许用复杂的机械来解决这三个问题，古代数学家早已找到答案，但柏拉图坚持我们用最单纯的几何方法，即只靠圆规和直尺来构造，也因此这三个问题影响了很久。
第三个问题又叫Delos问题，传说Delos城的居民为了解除太阳神Apollo（阿波罗）降给他们的瘟疫，向Delphi（智慧女神）神庙的祭司求救，祭祀要求他们做一个立方体，它的体积要刚巧是Apollo祭坛立方体的一倍。
他们不懂得怎么解决，只好向柏拉图请教。
这个问题有很久的历史，可能是蛮有兴趣的一个传说。
4、伽罗华群论柏拉图提出的这三个几何问题直到19世纪伽罗华理论（Galois Theory）出现后，才得到完满的解决。
伽罗华是位年轻数学家，21岁就去世了，他解决这个问题的时候才20岁，留下了很多重要手稿。
他去世不是病死也不是其他，而是为了争女朋友跟一个朋友决斗而亡，很不幸。
他的方法中是用到一个很重要的概念叫群论，用群论解决了这三个问题。
他们发现这些问题跟用圆规与直尺构造的数字有密切关系。
他们发现这些数字必须满足一些以整数位系数多项式方程式。
然而，假如用圆规与直尺来做的话，这三个问题所产生的数字（比如√π、?2）并不能满足这些方程（1882年的Lindemann证明π为超越数，它不满足任何整数为系数的方程），因此，这些古典问题是不能用圆规和直尺来解决的。
所以这三个问题是很古老的问题，直到19世纪用相当高深的数学才能完满地解决。
这三个问题只不过是好奇，可是解决它们的方法却影响到近代数学与近代科学的发展。
伽罗华群论成为20世纪、21世纪最重要的理论之一。
5、欧几里得五条公理欧几里得是柏拉图之后集几何学的大成，他由五条公理推到大量有趣的命题，实开千古科学演绎法之先河，直接影响到以后牛顿力学体系。
牛顿利用三个基本定律来推导天体的运行，其中逻辑运用之妙，无可伦比。
逻辑运用，是很重要的事情，这也是整个中国科学发展缺少的一部分，西方从希腊数学家就开始了。
欧几里得其实用了柏拉图学生亚里士多德发明的三段论证法。
三段论证有大前提、小前提、结论，看起来简单，可是学生很少明白，中国的科学也很少用。
欧几里得就是通过归纳法，发现平面几何上有五条显而易见的性质。
举例来讲，两点可以用一条直线连起来等种种不同方法，归纳出五条公理，并根据这个公理推导出平面几何所有的定理。
这是一个漂亮伟大的贡献。
第5条公理叫平行公理，在直线外任何一点，必有唯一的直线通过这点而不与原来的直线相交，就是一个平行线。
我们都学过这个公理，很多人现在认为可以接受。
可是差不多有20世纪，哲学家都不大愿意接受这条公理，他们企图用其他四条公理去证明，但都没有办法成功。
今天看起来好像简单的一个问题，可是哲学家始终不服输，一路到19世纪初期，算术几何的面世，才发现平行公理是不能用其他四条公理证明的。
6、高斯、黎曼、傅里叶因此，我们又产生了一个新的几何——算术几何。
算术几何跟平面几何不大一样，平行公理最重要的是影响到算术几何的诞生，也影响到几何学对空间观念的完全改变。
算术几何以后，通过两个伟大的几何学家——高斯与黎曼，对空间的观念开始完全改变。
空间不再是欧式几何那样简单的一个空间，而是能够变动、能够影响我们天天看到的物理现象有关的空间。
由于平行公理的变化，从平行移动的观念引出了内对称的观念，进而影响到高等物理粒子的变化，内对称主宰一切已知粒子的变化，著名的物理学家杨振宁先生的理论就是要从内对称演绎的。
近代数学开始影响近代物理学的发展。
19世纪伟大的法国数学家傅里叶，他讲数学可以用来决定最一般的规律，同时也可以量度时间、空间、温度，所以他讲数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定。
数学是很抽象的，可是从一个伟大的应用数学家那里，看得出来数学有其自己的空间、发展的方法，不一定跟其他自然科学有同样的问题，它是走自己的路。
以简制繁的观念也影响到艺术的发展。
大部分学者认为统御自然界的共通原理必须简洁，从牛顿、到爱因斯坦、到笛卡尔、到杨振宁，都是这样的看法。
所以，描述自然界的绘画，或者表露心灵与自然界交接的诗篇与颂词亦必如此。
这种观念，我认为起源于希腊的基本精神。
调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展。
数学的美，使我们与大自然更为接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，加深了我们的视野。
下面讲讲古希腊人的精神。
也是从我父亲的一本书里所引，我父亲是个哲学家（编者注：丘成桐父亲名丘镇英）。
英国一个出名的作者叫狄更逊（Dickinson）在其所著《希腊人的人生观》（The Greek View of Life）中说：调和呦！就在这一字的意义上，我们可以有办法解说希腊文明的主要观念。
希腊人视美与善，身与心，个人与国家、神与人为调和统一的。
1、美与善之调和柏拉图在《理想国》中讲：“美术家能洞鉴美与善之真性，发挥之于技术，使吾伎之青年，身之所居，目之所见，耳之所闻，无一而非善，而善之真际，即同时流露于其身目，有如清风之来自蓬莱，人之灵魂与同情之美，于不知不觉之间。
”2、身与心之调和希腊大政治家伯里克理斯（Pericles）讲：“我们是美之爱好者，但我们的趣味是淡雅的，我们陶冶心灵，但我们也不失却丈夫气。
”柏拉图在《理想国》中以体育和音乐为教育之基。
前者是养身，后者是修心，可见注重身心调和。
3、个人与国家的调和亚里士多德说“国家系相同的人们，求达可能的最善生活的一种组合。
”所以希腊人绝不能逃避对国家应尽的义务，但也要个人的自由，个人与国家在一定分限上调和无间。
4、神与人的调和希腊人认为神是美丽而人性的生物。
男神是雄伟的美男子，女神是纯洁的美女子。
你可以讲它是宗教，其实不是宗教，这是希腊人的理想，假借众神来表现。
调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展。
数学的美，使我们与大自然更为接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，加深了我们的视野。
也正由于这个原因，从宇宙的起源，星球的运行，原子的结构，一直到山水人物的绘画都有许多几何学家参与其中，进行研究，做出了基本的贡献。
远古的时候，无论埃及人、巴比伦人、印度人和中国人都对历法有浓厚的兴趣。
这些关于星体运行的学问，自然牵涉到几何学。
事实上，古希腊人早已知道如何量度地球的半径和地球到太阳的距离。
古代中国人对地图的制作有重要贡献，刘安在《淮南子》中也讨论了如何计算地日的距离，可见古人一方面好奇，一方面由实际需要来发展几何，传说中国同余定理的发现始于历法的计算。
而希腊天文学家西帕恰斯发明正弦的概念来测量星体的运行；托勒密则造弦表，以后阿拉伯和印度数学家将三角发展出来，可见天文学对数学的影响。
现在回头再讲数学、几何学，从古希腊想法发展出来的结果，对毕达哥拉斯学派来讲，万物皆数，第一个他发现音乐可以用数字来解释，这个学问表面上跟几何学毫无关系，但到19世纪，傅里叶对波动力学开始研究后，谱分析逐渐在几何学生根，任何一个图形都有它的谱，这些谱的研究已经成为几何学的主流。
是怎么产生的呢？举一个例子来讲，我们设想几何图形由一片薄膜做成，比如鼓，可以是用任何几何图形做成的鼓，击打这个鼓，会发出不同的声音，这个声音用谱来分析，可以推测鼓的形状，这是一个重要的问题。
也可以看出几何与音乐的关系，从几何图形产生的音乐，我们可以推导出几何图形是怎样的。
音乐的美由耳朵来感受，几何的美由眼睛来感受。
美丽的音乐与图形都有调和的意义，这是刚才希腊人的调和之意。
这种调和的意思可以用数学来定义，举个例子，我们固定两端的琴弦，弹奏时会形成很多不同的波，这些波由基本的正弦函数组成，如弦长为L，这些函数可写成sin （nx/l），这是个很漂亮的函数，有调和的意思在里边。
什么叫调和函数？调和函数的定义是这样子，它定义于空间，并满足于一个重要性质，即它在每个点上的值等于它在环绕这点上球的平均值。
