浅谈数学中的美学体现
【摘要】：自然科学及人文科学中的美，也都能在数学中体现出来，并且显示出它独有的特点。主要包含了统一美，简约美，对称美，奇异美。数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。
【关键词】：数学美，统一美，简约美，对称美，奇异美
【正文】：
一．数学与美学的关系
数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。
广义上的美学是这样定义的：美学是从人对现实的审美关系出发，以艺术作为主要对象，研究美、丑、崇高等审美范畴和人的审美意识，美感经验，以及美的创造、发展及其规律的科学。美学是以对美的本质及其意义的研究为主题的学科。美学是哲学的一个分支。研究的主要对象是艺术，但不研究艺术中的具体表现问题，而是研究艺术中的哲学问题，因此被称为“美的艺术的哲学”。美学的基本问题有美的本质、审美意识同审美对象的关系等。
世俗的观念，往往认为数学是枯燥乏味的，与美学无缘。事实上，这是一种偏见。数学是科学的经典学科，而且几乎与科学的所有学科都相关甚至密切相关。自然科学及人文科学中的美，也都能在数学中体现出来，并且显示出它独有的特点。数学家克莱因认为:“数学是人类最高超的智力成就，也就是人类心灵最独特的创作。德国诗人诺瓦利说：“纯数学是一门科学，同时也是一门艺术”。我国数学家徐利治说：“古今中外的杰出数学家和科学
家都莫不高度赞赏并应用了数学科学中的美学方法。” 并且说：“数学园地处处开放着美丽花朵，它是一片灿烂夺目的花果园”。这就是说，数学中存在着美。
数学中的和谐统一美
古希腊哲学家赫拉克利特认为，对立面的统一是万物生长发展的动力，美是和谐，是对立统一的结果。辩证唯物主义认为，世界是物质的，世界的统一性在于它的物质性，物质运动呈现多样性与规律性，作为反映客观事物的量的方面的属性和规律的数学，它反映了这一统一性，其概念、定理、公式及法则等也必然是相互联系的，在一定的条件下处于一个统一体系中。
毕达哥拉斯认为宇宙统一于数。数学的统一美，既表现在宏观上，也表现在微观上。数学的统一美大致可分为各数学分支之间的统一和数学运算的统一。
数学拥有一个庞大的学科体系，由于近代数学的发展，数学的分支愈来愈多，各时代数学家都试图统一各数学分支。笛卡尔用解析几何把几何学、代数学、逻辑学统一了起来；高斯用曲率把欧几里得集合、罗巴齐夫斯基几何和黎曼几何统一起来。微分和积分开始是作为两种数学运算、两类数学问题分别加以研究的。当牛顿和莱布尼茨各自独立地将微分和积分真正沟通，通过微积分基本定理将两种运算统一起来，明确地找到了两者的内在联系：微分和积分是互逆的两种运算，微积分学才真正的建立起来。射影几何的建立是数学统一的典型成果。与欧氏几何相比，射影几何的一个重要特点在于点与直线的对称统一。由于引进了无穷远点，在射影几何中点和直线的地位就是完全对称的，这也促使了射影几何的建立。统一是数学家们永远追求的目标之一。
数学中最基本的就是运算。我们对运算的认识是从“数”的运算开始，后来，知道运算不仅仅局限于“数”，“式”也可以进行运算。进而学习到向量的运算、排列组合的运算、矩阵的运算，这说明运算不仅可以在数之间进行，而且可以在数以外的其他对象之间进行。实质上，运算的对象可以是抽象的集合，从一般意义上说，Ｇ上的一个二元运算是Ｇ×Ｇ到Ｇ的一个映射。由此可见，运算不一定是加法、乘法，它可以是更一般意义上的运算，其实它是一种映射：对Ｇ中任意两个元素ａ、ｂ，由运算可唯一确定Ｇ中的元素ｃ。因此，一般运算的概念是指一个或几个集合到一个集合的映射。数学美的统一性正体现了数学知识的部分与部分、部分与整体之间的有机联系。比如，在数学中，小数、分数的四则运算可以化归为整数的四则运算，而整数的四则运算又可归结为表内加、减法和表内乘法。
二．数学中的对称美
对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系，在数学中，对称的概念略有拓广常把某些具有关连或对立的概念视为对称，这样对称美便成了数学中的一个重要组成部分，对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它根本，美和对称紧密相连。古希腊人十分留意各种对称现象，以至于他们竟创立一种学说，认为世界一切的规律都是从对称来的。
对称在数学上的表现尤为普遍。比如正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形，园也是。正六面体、球等都是点、线、面对称图形。在代数上形如
等等均为对称多项式（即多项式中任何两个变元对调后所得多项式与原多项式相同）。在高等数学中，对称的例子也是经常遇到。过点
(x0,y0,z0))的直线方程写成对称形式为：其中是直线的方向余弦。从更广泛的意义上讲，“数论”中的奇数和偶数、质数与合数；“代数”中的正数和负数；“三角”中的正弦与余弦、正切与余切、正割与余割等等也可视为对称概念。从运算关系角度看： + 与 - 、×与÷、乘幂与开方、指数与对数、微分与积分，矩阵与逆矩阵…，这些互逆运算也可视为“对称”关系。从函数角度看：函数与反函数也可视为一种“对称”。从命题角度看：正定理与逆定理、否定理、逆否定理等也存在着对称关系。“共轭”也蕴含“对称”性。“对偶”关系也可视为“对称”形式。
数学形式和结构的对称性，数学命题关系中的对偶性都是对称美的自然表现。在数学解题方面，对称方法往往使问题解决的过程简捷明快。
三．数学中的简洁美
现代一些科学大家仍然把相信自然界中有一种最终的简单性当做自己的最高信念，他
们不仅在理智上坚持客观存在简单性，而且对大自然的内在简单性充满着一种不可遏制的激情。爱因斯坦说：“美,本质中就是简单性。”他还认为，只有借助数学,才能达到简单性的美学准则.中世纪英国哲学家奥卡姆崇尚简单美,他说：“自然界运动总是遵循最简单的途迳,诸多理论中最简单的理论，是比较美的理论。”哲学家奥卡姆与物理学家爱因斯坦的这种美学理论，在数学界也被多数人所认同。当然,朴素、简单仅仅是其外在形式,要达到“朴素而天下美莫能与之争美”的境界,还必须有深厚的底蕴。只有既朴实清秀,又底蕴深厚,才称得上至美。
数学上最重要的五个数，分别是自然对数e，圆周率PI,虚数单位I，0和1。这五个数恰好能组成一个公式：E的（I*PI）次方，再加上1等于0。这个公式充分体现了数学的简约美，给人以无限享受。
数学中,无论是叙述或证明都十分简洁、凝炼的定理,堪称诗一般的精品。但它不是天生的尤物，往往是经过几代数学家们不懈探索、精心加工才得以诞生的。数学美是人的本质力量通过宜人的数学思维结构呈现的，它以抽象的形式反映和谐的自然图像。
四．数学中的奇异美
奇异美是数学美的另一个基本内容。它显示出客观世界的多样性，是数学思想的独创性和数学方法新颖性的具体表现。英国哲人培根说过：“没有一个极美的东西不是在调和中有着某些奇异。”他甚至还说：“美在于独特而令人惊异。”
徐利治教授说“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美。”弗兰西斯·培根曾说：“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇异。”这句话的意思是：奇异存在于美的事物之中，奇异是相对于我们所熟悉的事物而言。一个事物十分工整对称、十分简洁或高度统一，都给人一种奇异感，一个新事物、新规律、新现象的被揭示，总是使人们感到一种带有奇异的美感，令人产生一种惊奇的愉快。数学审美对象的奇异性有以下几种典型表现形式。奇异性是数学美的一个重要特征，它反映了显示世界中非常规现象的一个侧面，也是数学发现中的重要美学因素。数学领域中的一些新的观念的产生，就是来自对奇异美的追求。
奇异，包含着多方面的含义。一是新颖、富有创造性，具有某种独到之处；二是新奇，出乎常识和预料，使人赞叹、惊愕。数学中的奇异美，常表现在数学的结果和数学的方法
