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实验三 电力系统暂态稳定分析电力系统暂态稳定计算实际上就是求解发电机转子运动方程的初值问题，从而得出δ-t 和ω-t 的关系曲线。
每台发电机的转子运动方程是两个一阶非线性的常微分方程。
因此，首先介绍常微分方程的初值问题的数值解法。
一、常微分方程的初值问题 （一）问题及求解公式的构造方法我们讨论形如式（3-1）的一阶微分方程的初值问题⎩⎨⎧=≤≤='00)(),,()(y x y bx a y x f x y （3-1） 设初值问题（3-1）的解为)(x y ，为了求其数值解而采取离散化方法，在求解区间[b a ,]上取一组节点b x x x x x a n i i =<<<<<<=+ 110称i i i x x h -=+1（1,,1,0-=n i ）为步长。
在等步长的情况下，步长为nab h -=用i y 表示在节点i x 处解的准确值)(i x y 的近似值。
设法构造序列{}i y 所满足的一个方程（称为差分方程）),,(1h y x h y y i i i i ϕ⋅+=+ （3-2）作为求解公式，这是一个递推公式，从（0x ，0y ）出发，采用步进方式，自左相右逐步算出)(x y 在所有节点i x 上的近似值i y （n i ,,2,1 =）。
在公式（3-2）中，为求1+i y 只用到前面一步的值i y ，这种方法称为单步法。
在公式（3-2）中的1+i y 由i y 明显表示出，称为显式公式。
而形如（3-3）),,,(11h y y x h y y i i i i i ++⋅+=ψ （3-3）的公式称为隐式公式，因为其右端ψ中还包括1+i y 。
如果由公式求1+i y 时，不止用到前一个节点的值，则称为多步法。
由式（3-1）可得dy =dx y x f ),( （3-4）两边在[i x ，1+i x ]上积分，得⎰++=+1))(,()()(1i ix x i i dx x y x f x y x y （3-5）由此可以看出，如果想构造求解公式，就要对右端的积分项作某种数值处理。
基于MATLAB的电力系统暂态稳定性仿真研究电力系统暂态稳定性研究是电力系统研究领域中的一个重要方向，其中基于MATLAB的仿真方法是一种常用的研究手段。
本文将介绍基于MATLAB的电力系统暂态稳定性仿真研究的主要内容和方法。
电力系统暂态稳定性是指电力系统在扰动发生后，恢复稳定运行的能力。
电力系统暂态稳定性的研究可以分为两个方面，即暂态过程研究和稳定性评估。
暂态过程研究主要关注电力系统在扰动发生后的响应过程，包括电压、电流、功率等参数的变化过程。
稳定性评估则是对电力系统暂态稳定性进行定量评估和分析，包括临界动态稳定的最大扰动规模以及稳定裕度等指标。
在进行电力系统暂态稳定性仿真研究时，MATLAB是一个常用的仿真工具。
MATLAB具有强大的数值计算和仿真功能，可以方便地建立电力系统的数学模型，并进行仿真实验。
下面将介绍基于MATLAB的电力系统暂态稳定性仿真研究的具体步骤。
首先，需要建立电力系统的数学模型。
电力系统可以通过节点电压和支路功率的代数方程和微分方程进行描述。
电力系统的数学模型可以根据实际系统的特点进行建立，包括发电机模型、负荷模型、传输线模型等。
其次，需要确定仿真的目标和参数。
在进行电力系统暂态稳定性仿真研究时，需要明确仿真的目标和所关注的参数，例如电压的稳定性、功率的变化等。
然后，进行电力系统暂态稳定性仿真实验。
通过MATLAB中的仿真工具，可以输入电力系统的数学模型和参数，进行仿真实验。
仿真实验可以通过改变系统的初始状态和输入参数，观察系统的响应过程和稳定性变化。
最后，进行仿真结果分析和评估。
通过对仿真结果的分析和评估，可以得到电力系统暂态稳定性的定量指标和结论。
仿真结果可以通过绘制波形图、相图等方式进行可视化展示，并进行统计和分析。
总的来说，基于MATLAB的电力系统暂态稳定性仿真研究是一种有效的研究手段，可以帮助研究人员深入了解电力系统暂态过程和稳定性特性。
通过仿真实验，可以评估电力系统的暂态稳定性，指导实际运行和调度，提高电力系统的安全性和稳定性。
基于MATLAB的电力系统暂态稳定仿真分析电力系统暂态稳定仿真分析是电力系统运行与控制中的重要内容之一、它通过模拟电力系统的暂态运行过程，分析系统在不同故障条件下的动态响应，评估系统的稳定性，并提供相应的控制与保护策略。
MATLAB作为一种功能强大的数学建模与仿真工具，被广泛应用于电力系统暂态稳定仿真分析中。
下面将分别从模型建立、仿真分析和结果评估三个方面，介绍基于MATLAB的电力系统暂态稳定仿真分析。
一、模型建立电力系统一般包括发电机、变电站、输电线路、负荷等元件。
在MATLAB中，可以通过建立系统的节点、支路和设备等模型，构建电力系统的仿真模型。
1.节点模型：电力系统的节点通常由发电机、负荷和母线组成。
在MATLAB中，可以通过定义节点的功率平衡方程和节点电压方程，建立节点模型。
2.支路模型：电力系统的支路一般包括输电线路、变压器和同步电动机等。
在MATLAB中，可以通过定义支路的电流-电压特性、阻抗和传输参数等，建立支路模型。
3.设备模型：电力系统的设备主要包括发电机、变压器和负荷等。
在MATLAB中，可以通过定义设备的功率-电流特性、阻抗和传输参数等，建立设备模型。
二、仿真分析建立电力系统的仿真模型后，可以使用MATLAB提供的仿真工具，进行仿真分析。
1.静态稳定分析：通过输入节点的电压和负载条件，计算各节点的电压和功率平衡，评估系统的静态稳定性。
2.动态稳定分析：在系统发生故障或负荷变化时，通过输入相应的故障或负荷变化信号，模拟系统的动态响应，并分析系统的中断时间和振荡特性等。
3.频域分析：通过对系统的输入和输出信号进行频谱分析，研究系统的频率特性和谐波性能，并评估系统的抗扰性能。
三、结果评估完成仿真分析后，需要对结果进行评估和优化。
1.稳定性评估：通过对系统的动态响应进行分析，评估系统在不同故障条件下的稳定性，并确定系统的稳定边界和临界条件。
2.控制与保护优化：根据仿真结果，确定适当的控制与保护策略，提高系统的稳定性和可靠性。
如何使用Matlab进行电力系统稳定性分析使用Matlab进行电力系统稳定性分析引言电力系统是现代社会不可或缺的一部分，对于保持社会稳定运行至关重要。
然而，由于电力系统的复杂性和非线性特点，其稳定性问题一直备受关注。
为了解决电力系统稳定性问题，研究人员和工程师们借助计算机软件来进行分析和预测。
本文将介绍如何使用Matlab进行电力系统稳定性分析。
一、Matlab在电力系统稳定性分析中的应用Matlab是一种强大的数值计算和数据分析工具，其广泛应用于电力系统工程中。
在电力系统稳定性分析中，Matlab提供了丰富的函数和工具包，可以用于模拟和优化电力系统的稳定性。
1. 电力系统模型的建立首先，需要建立电力系统的数学模型。
在Matlab中，可以利用Simulink工具箱来建立系统模型。
Simulink提供了丰富的电力系统组件和拓扑结构，可以方便地组装和调整系统模型。
利用Simulink可以建立各种类型的电力系统模型，包括发电机、变压器、负载等。
同时，Simulink还提供了不同的模型解算器，可以用于模拟系统的动态响应。
2. 稳定性指标的计算在电力系统稳定性分析中，需要计算一系列稳定性指标，如潮流稳定裕度、暂态稳定裕度等。
Matlab提供了各种函数和工具包，可以用于计算这些稳定性指标。
例如，可以使用Matlab的Power System Toolbox中的函数来计算系统的频率响应和阻尼响应。
3. 稳定性分析方法的研究稳定性分析方法是电力系统稳定性研究的核心内容。
Matlab提供了丰富的工具和算法来研究不同的稳定性分析方法，如能量函数法、直接稳定法和间接稳定法等。
可以通过编写Matlab脚本来实现这些算法，并进行稳定性分析。
4. 优化算法的应用在电力系统的稳定性分析中，经常需要进行参数优化，以提高系统的稳定性。
Matlab提供了多种优化算法，如遗传算法、粒子群优化算法等，可以用于电力系统的参数调整。
这些优化算法可以与电力系统模型相结合，通过迭代求解来获得最佳参数。
实验三 电力系统暂态稳定分析电力系统暂态稳定计算实际上就是求解发电机转子运动方程的初值问题，从而得出δ-t 和ω-t 的关系曲线。
每台发电机的转子运动方程是两个一阶非线性的常微分方程。
因此，首先介绍常微分方程的初值问题的数值解法。
一、常微分方程的初值问题 （一）问题及求解公式的构造方法我们讨论形如式（3-1）的一阶微分方程的初值问题⎩⎨⎧=≤≤='00)(),,()(y x y bx a y x f x y （3-1） 设初值问题（3-1）的解为)(x y ，为了求其数值解而采取离散化方法，在求解区间[b a ,]上取一组节点b x x x x x a n i i =<<<<<<=+ 110称i i i x x h -=+1（1,,1,0-=n i ）为步长。
在等步长的情况下，步长为nab h -=用i y 表示在节点i x 处解的准确值)(i x y 的近似值。
设法构造序列{}i y 所满足的一个方程（称为差分方程）),,(1h y x h y y i i i i ϕ⋅+=+ （3-2）作为求解公式，这是一个递推公式，从（0x ，0y ）出发，采用步进方式，自左相右逐步算出)(x y 在所有节点i x 上的近似值i y （n i ,,2,1 =）。
在公式（3-2）中，为求1+i y 只用到前面一步的值i y ，这种方法称为单步法。
在公式（3-2）中的1+i y 由i y 明显表示出，称为显式公式。
而形如（3-3）),,,(11h y y x h y y i i i i i ++⋅+=ψ （3-3）的公式称为隐式公式，因为其右端ψ中还包括1+i y 。
如果由公式求1+i y 时，不止用到前一个节点的值，则称为多步法。
由式（3-1）可得dy =dx y x f ),( （3-4）两边在[i x ，1+i x ]上积分，得⎰++=+1))(,()()(1i ix x i i dx x y x f x y x y （3-5）由此可以看出，如果想构造求解公式，就要对右端的积分项作某种数值处理。
基于Matlab的电力系统暂态稳定分析P R Sharma*1, Narender Hooda2法里达巴德YMCA科技大学，印度DCR科技大学，Murthal摘要:本文介绍了多机系统与基于Simulink模型的帮助下暂态稳定评估。
电力系统暂态稳定是基于从时域仿真输出得到的发电机转子的相对角度。
IEEE9条公交系统的自给自足的模式已经给出充分的细节,通过在不同的故障清除时间（FCT）的暂态稳定性分析，结果相对于模型在PSpice等电磁暂态仿真程序更准确和令人满意。
关键词：MATLAB；Simulink；FCT；暂态稳定1.简介现代电力系统由于安装大型发电机组、特高压联络线是一个复杂的系统。
由于增加了操作可能导致电力系统高度危险的状态，所以对对电力系统动态稳定的需要是在不断增加的。
暂态稳定评估（TSA）是电力系统的发展对电力系统保持平衡的能力的进化时受到扰动的动态安全评估的一部分。
系统反应这类大的变化对转子角、功率流母线电压和其他系统变量对系统的干扰。
暂态稳定性是表征经受故障电力系统的动态特性的情况下，初始状态下继续进行故障是平衡的。
如果一个系统故障后能保持同步运行并返回到初始状态或接近它可认为该系统具有暂态稳定性。
暂态稳定性是两个操作条件和干扰的功能。
这使得暂态稳定分析的复杂系统的非线性关系不可忽视。
在稳定评估临界清除时间（CCT）是为了维护电力系统的稳定性非常重要的参数。
CCT是最大持续时间发生在电力系统的失稳可能故障。
故障清除时间是随机设置的。
如果故障清除时间（FCT）比CCT更那么相对转子角度会失去稳定和系统将失去稳定。
通常用来查明了TSA 的方法是通过使用时域仿真，直接和人工智能的方法。
时域仿真方法实现了状态空间微分的求解方法。
Simulink 是一个互动的环境建模和模拟各种各样的动态系统。
一个系统是容易模块构建和迅速显示出结果来。
Simulink 中用于研究系统的非线性的影响，并因此是一种理想的研究工具。
电力系统分析电力系统暂态实验报告备注：序号（一）、（二）、（三）为实验预习填写项v+-voutv +-vin Continuous pow erguii +-iline Vin1PI Section LineCurrentBreakerclose at 0.02 sec.2.572e5 v60 Hz10 ohms图6-14 Powergui模块参数设置（2）Ac Voltage Source模块：电源电压2.57kV，60Hz，参考实验一，参数设置如图6-15所示。
图6-15 AC Voltage Source模块参数设置（3）电阻：参考实验一，参数设置10欧姆。
（4）Breaker模块：断路器，设置内阻0.001欧姆，0.02秒闭合。
（a）（b）图6-16 Breaker模块参数设置（5）输电线П模型模块（Pi Section Line）：100公里，60Hz,串联电阻0.2568Ω串联感抗2mH ，并联容抗8.6nF 。
（a）(b)图6-17 Pi Section Line（输电线П模型）模块参数设置（6）其余量测元件参考实验一【参考波形】U1与U2电压：图6-18 U1与U2电压波形图输电线电流I line电流响应与局部放大响应：（a）（b）图6-19 输电线电流I line电流响应与局部放大响应五、程序调试及实验总结程序调试：在实验过程中，电阻模块没有注意看实验二电阻值的设定值，把设置成了实验一的电阻值，导致输出波形图跟实验指导给出参考的波形图相差甚大。
后面问了同学更改过来后能输出正确的波形了。
实验总结：通过这一次的实验，让我加深对于电力系统暂态稳定内容的理解，使得我能把课堂理论教学的知识与实践相结合起来，进而提高我对电力系统暂态表现的认识。
也让我通过进行实际操作的过程中，从实验中观察到系统暂态响应发生时的现象和掌握正确处理的措施，并使用用MATLAB/Simulink来观测输出的波形图，并进行分析。
基于MATLAB的电力系统暂态稳定仿真分析电力系统暂态稳定性是指电力系统在受到外界扰动（如短路、负荷变动等）后，能够恢复到稳定状态的能力。
暂态稳定性分析是电力系统中的重要问题，对保证系统的可靠运行、发电厂和输电线路的设计、运行及调度具有重要意义。
本文将介绍基于MATLAB的电力系统暂态稳定仿真分析。
电力系统暂态稳定仿真分析主要包括以下几个方面：模型搭建、参数设置、模拟计算和结果分析。
具体步骤如下：第一步是模型搭建。
在MATLAB环境下，可以用Simulink工具箱搭建电力系统暂态稳定性仿真模型。
模型的构建包括发电机模型、输电线路模型、负荷模型和控制系统模型等。
发电机模型可以使用标准的仿真模型，包括短路电流，力电耦合和励磁系统等。
输电线路的模型通常采用电感电阻模型或者传输线模型。
负荷模型可以根据实际情况选择恒定功率负荷模型、电流负荷模型或者动态负荷模型。
控制系统模型包括发电机的励磁系统、调速系统和电压控制系统等。
第二步是参数设置。
参数设置是电力系统暂态稳定仿真分析的关键步骤。
参数设置涉及到发电机的参数、负荷的参数、线路的参数和控制系统的参数等。
发电机的参数可以从发电机的技术特性曲线上获取，负荷的参数可以从实际负荷曲线上获取，线路的参数可以通过实际测量或者使用经验公式计算得到，控制系统的参数可以通过设计或者仿真实验确定。
第三步是模拟计算。
模拟计算是通过对电力系统暂态稳定性模型进行仿真分析，获得系统在不同工况下的动态响应。
在MATLAB中，可以通过设置初始条件、加载扰动和执行仿真命令来进行模拟计算。
仿真计算应该考虑各种可能的故障和不同工况下的动态稳定性。
第四步是结果分析。
根据仿真计算的结果，可以对电力系统的暂态稳定性进行分析。
分析包括评估系统的稳定性指标，如暂态稳定极限、动态损耗和电压稳定性等；分析系统中关键元件（如发电机、线路）的动态行为；确定故障发生后的系统恢复时间等。
总而言之，基于MATLAB的电力系统暂态稳定仿真分析可以帮助电力系统设计和运营人员评估系统的暂态稳定性，预测电力系统在受到扰动后的动态响应，为系统的稳定运行提供理论依据。
电力系统分析实验实验报告（20 21 -20 22 学年第一学期）学号：学生姓名：专业班级：学院：实验报告要求内容一：要求有程序及运行结果截图。
1.对函数以分支结构编写程序，输入一个x值,输出函数y值。
（利用input函数及if、elseif语句编写）2.利用for循环语句求解1+2+...+100的值。
3.利用while循环语句求解1+3+...+99的值。
内容二：根据实验课上讲的5节点系统潮流计算程序，实现稳态教材第四章例4-2题的4节点系统的潮流计算（要求有系统结构图、已知条件、程序截图（修改部分的程序即可）、潮流计算结果截图）。
〔例4-2〕在下图所示的简单电力系统中，网络各元件参数的标幺值如下：z12=0.10+j0.40，y120=y210=j0.01528，z13=j0.3，k=1.1，z14=0.12+j0.50，y140=y410=j0.01920，z24=0.08+j0.40，y240=y420=j0.01413系统中，节点1，2为PQ 节点，节点3为PV 节点，节点4为平衡节点。
给定值为：P1s+jQ1s=-0.30-j0.18，P2s+jQ2s=-0.55-j0.13，P3s =0.5，U3s=1.10，s U 4•=1.05∠0容许误差ε=10-5试用牛顿—拉夫逊法计算潮流分布。
y z y1 S1 S3内容三：应用Matpower软件并利用各种方法（牛顿拉夫逊法等）实现教材第四章例4-2的4节点系统的潮流计算（要求有潮流计算方法选择的设置语句、程序（修改部分的程序即可）等），对各种计算方法所得结果进行对比分析（计算时间、迭代次数等）。
内容四：应用PowerWorld软件，建立一个电力系统的单线图；并应用该软件进行潮流计算、短路电流计算，要求有分析结果。
单线图：潮流计算结果短路电流计算以下全为金属性短路<3,2>条支路（短路点靠近3节点侧）：单相接地短路：两相短路：三相短路：两相接地短路：<5,3>条支路（短路点靠近5节点侧）：单相接地短路：两相短路：三相短路：两相接地短路：实验心得体会：电力系统的潮流计算和短路计算是电力系统分析中的一种最基本和常用的计算,它们是研究和分析电力系统的基础,对我们了解电力系统有着很重要的作用。
实验三 电力系统暂态稳定分析电力系统暂态稳定计算实际上就是求解发电机转子运动方程的初值问题，从而得出δ-t 和ω-t 的关系曲线。
每台发电机的转子运动方程是两个一阶非线性的常微分方程。
因此，首先介绍常微分方程的初值问题的数值解法。
一、 常微分方程的初值问题 （一）问题及求解公式的构造方法我们讨论形如式（3-1）的一阶微分方程的初值问题⎩⎨⎧=≤≤='00)(),,()(y x y bx a y x f x y （3-1） 设初值问题（3-1）的解为)(x y ，为了求其数值解而采取离散化方法，在求解区间[b a ,]上取一组节点b x x x x x a n i i =<<<<<<=+ 110称i i i x x h -=+1（1,,1,0-=n i ）为步长。
在等步长的情况下，步长为nab h -=用i y 表示在节点i x 处解的准确值)(i x y 的近似值。
设法构造序列{}i y 所满足的一个方程（称为差分方程） ),,(1h y x h y y i i i i ϕ⋅+=+ （3-2）作为求解公式，这是一个递推公式，从（0x ，0y ）出发，采用步进方式，自左相右逐步算出)(x y 在所有节点i x 上的近似值i y （n i ,,2,1 =）。
在公式（3-2）中，为求1+i y 只用到前面一步的值i y ，这种方法称为单步法。
在公式（3-2）中的1+i y 由i y 明显表示出，称为显式公式。
而形如（3-3）),,,(11h y y x h y y i i i i i ++⋅+=ψ （3-3）的公式称为隐式公式，因为其右端ψ中还包括1+i y 。
如果由公式求1+i y 时，不止用到前一个节点的值，则称为多步法。
由式（3-1）可得dy=dx y x f ),( （3-4） 两边在[i x ，1+i x ]上积分，得⎰++=+1))(,()()(1i ix x i i dx x y x f x y x y （3-5）由此可以看出，如果想构造求解公式，就要对右端的积分项作某种数值处理。
这种求解公式的构造方法叫做数值积分法。
（二）一般的初值问题的解法1． 欧拉法和改进欧拉法对于初值问题（3-1），采用数值积分法，从而得到（3-5）。
对于（3-5）右端的积分用矩形公式(取左端点)，则得到⎰+⋅≈1))(,())(,(i ix x i i x y x f h dx x y x f进而得到（3-1）的求解公式（3-2）),(1i i i i y x f h y y ⋅+=+ （i =0，1，2，n-1） （3-6）此公式称为欧拉（Euler ）格式。
如果对式（3-5）右端的积分用梯形公式)))(,())(,((2))(,(111++⎰++⋅≈i i x x i i x y x f x y x f hdx x y x f i i则可以得到初值问题（3-1）的梯形求解公式如式（3-7）[]),(),(2111=+++⋅+=i i i i i i y x f y x f hy y （i =0，1，2，n-1） （3-7） 式（3-7）是个隐式公式。
可以采取先用欧拉格式求一个)(1+i x y 的初步近似值，记作1+i y ，称之为预报值，然后用预报值1+i y 替代式（3-7）右端的1+i y ，再计算得到1+i y ，称之为校正值，这样建立起来的预报－校正方法称为改进欧拉格式[]⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+=⋅+=++++),(),(2),(1111i i i i i i i i i i y x f y x f h y y y x f h y y （3-8）2． 龙格—库塔方法在单步法中，应用最广泛的是龙格－库塔（Runge-kutta ）法，简称R －K 法。
下面直接给出一种四阶的龙格－库塔法的计算公式（3-9）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++⋅=++⋅=++⋅=⋅=++++==),()21,2()21,2(),()22(61342312143211K y h x f h K K y h x f h K K y h x f h K y x f h K K K K K y y i i i i i i i i i i （3-9） 它也称为标准（古典）龙格－库塔法。
例3-1 研究下列微分方程的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-+='0)0(21122y y xy 解：这是一个特殊的微分方程，其解的解析式可以给出，为21x xy +=应用龙格－库塔法，取h =，根据式（3-9）编写一段程序，由零开始自左相右逐步算出)(x y 在所有节点i x 上的近似值i y 。
计算结果见表3-1。
计算结果表明，四阶龙格－库塔方法的精度是较高的。
表3-1实际上，MATLAB 为常微分方程提供了很好的解题指令，使得求解常微分方程变得很容易，并且能将问题及解答表现在图形上。
因此，我们可以不用根据式（3-9）编写较复杂的程序，而只需应用MATLAB 提供的常微分方程解题器来解决问题。
下面给出用MATLAB 编写的解题程序。
首先编写描述常微分方程的ODE 文件，文件名为ˊmyfun ˊ，便于解题器调用它。
function dy = myfun(x,y) dy = zeros(1,1); dy=1/(1+x^2)-2*y^2;再编写利用解题器指令求解y 的程序。
clear x0=0; for i=1:4xm=2*i; y0=0;[x,y] = ode45('myfun',[x0 xm],[y0]); format long y(length(y)) endplot(x,y,'-')运行上述程序，在得到几个点的函数值的同时，也得到函数y 的曲线，如图3-1所示。
图3-1 根据运算结果画出y 的曲线二、 简单电力系统的暂态稳定性 （一）物理过程分析某简单电力系统如图3-2(a)所示，正常运行时发电机经过变压器和双回线路向无限大系统供电。
发电机用电势E' 作为其等值电势，则电势E ' 与无限大系统间的电抗为 212T LT dx x x x x +++'=I （3-10） 这时发电机发出的电磁功率可表示为 δδsin sin M P x UE P I II ='=（3-11） 如果突然在一回输电线路始端发生不对称短路，如图3-2(b)所示。
故障期间发电机电势E' 与无限大系统之间的联系电抗为 ∆II ++'++++'=x x x x x x x x x x T LT dT LT d)2)(()2()(2121 （3-12）在故障情况下发电机输出的电磁功率为 δδsin sin M P x UE P II IIII ='=（3-13） 在短路故障发生之后，线路继电保护装置将迅速断开故障线路两端的断路器，如图3-2(c)所示。
此时发电机电势E' 与无限大系统间的联系电抗为 21T L T dx x x x x +++'=III （3-14） 发电机输出的功率为 δδsin sin M P x UE P III IIIIII ='=（3-15） U =cE~GT 1T 2L~jx jx jx x j 'UE' (c )Ljx 1T jx 2T jx dx j 'U图3-2 简单电力系统及其等值电路（a ）正常运行方式及其等值电路；（b ）故障情况及其等值电路；（c ）故障切除后及其等值电路如果正常时发电机向无限大系统输送的有功功率为0P ，则原动机输出的机械功率T P 等于0P 。
假定不计故障后几秒种之内调速器的作用，即认为机械功率始终保持0P 。
因此，可以得到此简单电力系统正常运行、故障期间及故障切除后的功率特性曲线如图3-3所示。
0δk δcδm δhδ0P P T =Pδ图3-3 简单系统正常运行、故障期间及故障切除后的功率特性曲线对于上述简单电力系统，我们可以根据等面积定则求得极限切除角。
但是，实际工作需要知道在多少时间之内切除故障线路，也就是要知道与极限切除角对应的极限切除时间。
要解决这个问题，必须求解发电机的转子运动方程。
（二）求解发电机的转子运动方程求解发电机转子运动方程可以得出δ-t 和ω-t 的关系曲线。
其中δ-t 曲线一般称为摇摆曲线。
在上述简单电力系统中故障期间的转子运动方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=II )sin (1)1(1δωωωδM T J P P T dt d dtd （3-16） 式中，δ——功率角，其单位为弧度；ω——转子角速度，标幺值；1ω——转子的同步角速度，即1ω=f π2=，其单位为弧度/秒；J T ——发电机的惯性时间常数，其单位为秒；T P 、M P II ――分别为机械和电磁功率，标幺值。
这是两个一阶的非线性常微分方程，它的起始条件是已知的，即t =0t =0； ω=0ω=；δ=0δ=MTP P I -1sin 故障切除后，由于系统参数改变，以致发电机功率特性发生变化，必须开始求解另一组微分方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=III )sin (1)1(1δωωωδM T J P P T dt d dtd （3-17） 式中变量含义同前述，其中M P III 也为标幺值。
这组方程的起始条件为t =c t ；δ=c δ；ω=c ω其中c t 为给定的切除时间；c δ、c ω为与c t 时刻对应的δ和ω，它们可由故障期间的δ-t 和ω-t 的关系曲线求得（δ和ω都是不突变的）。
一般来说，在计算故障发生后几秒种的过程中，如果δ始终不超过180º，而且振荡幅值越来越小，则系统是暂态稳定的。
当发电机与无限大系统之间发生振荡或失去同步时，在发电机的转子回路中，特别是阻尼绕组中将有感应电流而形成阻尼转矩（也称为异步转矩）。
当作微小振荡时，阻尼功率可表达为：D P =ω∆D =)1(-ωD （3-18）式中，D 称为阻尼功率系数；ω∆为转子角速度的偏移量，标幺值；ω为转子角速度，标幺值。
阻尼功率系数D 除了与发电机的参数有关外，还和原始功角、δ∆的振荡频率有关。
在一般情况下它是正数。
在原始功角较小，或者定子回路中有串联电容使定子回路总电阻相对于总电抗较大时，D 可能为负数。
如果考虑阻尼功率的影响，则故障后的转子运动方程又可表达为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-=III ]sin )1([1)1(1δωωωωδM T J P D P T dt d dtd （3-19） 电力系统暂态稳定计算包括两类问题，一类是应用数值计算法得出故障期间的曲线后，根据曲线找到与极限切除角对应的极限切除时间，此时只需要求解微分方程（3-16）；另一类是已知故障切除时间，需要求出摇摆曲线来判断系统的稳定性，此时需要分段分别求解微分方程（3-16）和（3-17）。
