第8章 多元函数微分法及其应用 习题 9 (2)

第八章多元函数微分学习题解第八章多元函数微分学习题解第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。

解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。

解： 2(,,)()()xyx f x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。

解：将0y =代入原式得： 20(0)xx f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210yx -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）zx y=-解：要使表达式有意义，必须0x y ≥， ∴ {(,)|}D x y x y =≥★★（3）22ux y=+解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z =解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）22ln()1x z y x x y=-+--解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）2210y x y x y→→+知识点：二重极限。

思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。

1第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z ∂∂∂2，则在D 上，上， x y zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的处连续的 条件。

条件。

2．求下列函数的定义域．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx zu +=3．求下列各极限．求下列各极限(1)x xyy x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23yx z ∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数．求下列函数的偏导数(1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，te u =，t v ln =，求全导数dt dz。

7．设()z y e u x-=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu 。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y yx z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

的偏导数。

10．设y x ye z x2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y zz x ln =确定的隐函数，求x z∂∂，yz ∂∂。

第八章 多元函数微分法及其应用A 题1、 填空题1） 设()22,y x y x f +=，()22,y x y x g -=，则()[]=2,,y y x g f2） 设()y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z3） 设()y x y y x y x f arctan arctan ,22-⋅=，则()=∂∂y x f ,04） 设()()y ax x x z ++++=ϕ211，若已知：当0=x 时，()2ln ey z =，则=dz 5） 设()y x f z ,=，由1345=++yz xz z 所确定，则()=0,0'x f6） 设2lnx y z +=，则在点()1,1,10M 的法线方程为 7） 曲面1232222=++z y x 上点()1,2,1-处的切平面方程为8） 设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为2、 下列函数的定义域并图示 1)y x y x z -++=112)()221ln y x x x y z --+-=3)22arccosy x z u +=3、 求下列各极限1)()()221,0,1limy x xy y x +-→2)()()xyxy y x 42lim 0,0,+-→3)()()()y xy y x sin lim0,2,→4、 问函数xy x y z 2222-+=在何处间断.5、 求下列函数的偏导数 1)uvv u s 22+=2)()()xy xy z 2cos sin +=3)yx z tanln =4)z y x u =6、 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点()5,4,2处的切线对于x 轴的倾角是多少?7、 设()()yx y x y x f arcsin1,-+=，求()1,x f x .8、 求下列函数的22x z ∂∂,22y z ∂∂,yx z ∂∂∂2 1)xy z arctan=2)x y z =9、 求下列函数的全微分 1)22y x y z +=2)yz x u =10、求函数22y x xy z +=当2=x ，1=y ，01.0=∆x ，03.0=∆y 时的全增量和全微分.11、计算()()3393.102.1+的近似值.12、已知边长为cm x 6=与cm y 8=的矩形，如果x 边增加cm 5而y 边减少cm 10，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？13、设v u z ln 2=，而y x u =，y x v 23-=，求x z ∂∂，yz ∂∂.14、设()y x z -=arcsin ，而t x 3=，34t y =，求dtdz .15、设()12+-=a z y e u ax ，而x a y sin =，x z cos =，求dxdu .16、求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）1)()xy ey x f u ,22-=2)()xyz xy x f u ,,=17、设()y y x f x z cos ,31-=，求x z ∂∂，yz ∂∂.18、设()22y x f z +=，其中f 就有二阶导数，求22x z ∂∂，y x z ∂∂∂2，22y z ∂∂.19、求下列函数的22xz ∂∂，y x z ∂∂∂2，22y z ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数） 1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y x x f z ,2)()y x u f z ,,=，其中y xe u =3)()y x ey x f z +=,cos ,sin20、设y z z x ln =，求x z ∂∂及yz ∂∂.21、设()y x z z ,=由方程()0,2=xyz F 确定，求dz .22、设()z y x x ,=，()z x y y ,=，()z x z z ,=都是由方程()0,,=z y x F 所确定的具有连续偏导数的函数，求xz z y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂.23、设()z y x z y x 3232sin 2-+=-+，计算yz x z ∂∂+∂∂.24、求下列方程组所确定函数的导数或偏导数 1)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x 求dz dx ，dz dy2)设⎪⎩⎪⎨⎧-=+=vu e y v u e x u u cos sin 求x u ∂∂，y u ∂∂，x v ∂∂，y v ∂∂25、求曲线mx y 22=，x m z -=2在点()000,,z y x 处的切线和法线方程.26、求出曲线t x =，2t y =，3t z =上的点，使在该点的切线平行于平面42=++z y x .27、求椭球面12222=++z y x 上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程.28、求函数22y x z +=在点()2,1处沿从点()2,1到点()32,2+的方向的方向导数.29、求函数222z y x u ++=沿曲线t x =，2t y =，3t z =在点()1,1,1处的切线正方向（对应于t 增大的方向）的方向导数.30、设()z y x xy z y x z y x f 62332,,222--++++=，求()0,0,0gradf 及()1,1,1gradf .31、问函数z xy u 2=在点()2,1,1-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.32、求函数()()y y x ey x f x 2,22++=的极值.33、求函数xy z =在适合条件1=+y x 下的极大值.34、欲选一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米a 元，侧面造价为每平方米b 元，现用A 元造一个容积最大的水池，求它的尺寸.35、要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.36、在平面xoy 上求一点，使它到0=x ，0=y 及0162=-+y x 三直线的距离平方之和为最小.B 题1、 填空题1) 设()x y y x z -+=22arcsin ，其定义域为2) 设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin ,2xy xy xy y x y x f ，则()=1,0x f 3) 已知函数()22,y x y x y x f z -=-+=，则=∂∂+∂∂y z x z 4) 函数()z y x z y x f 1,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，则()=1,1,1df 5) ()y x f ,在点()y x ,处可微分是()y x f ,在该点连续的 的条件，()y x f ,在点()y x ,处连续是()y x f ,在该点可微分的 的条件6) ()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂存在是()y x f ,在该点可微分的 条件 7) 由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数()y x z z ,=在点()1,0,1-处的全微分为8) 设y x e u xsin -=，则y x u ∂∂∂2在点⎪⎭⎫ ⎝⎛π1,2处的值为 9) 设()()y ax y xy f xz ++=ϕ1，f ，ϕ具有二阶连续导数，则=∂∂∂y x z 2 10) 由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()2,3,0处的指向外侧的单位法向量为11) 曲面4323232=++z y x 上任一点的切平面在坐标轴上的截距平方和为12) 设()222ln zy x u ++=在点()2,2,1-M 处的梯度=M gradu 13) 设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为2、 求函数()()2221ln 4,y x y x y x f ---=的定义域，并求()()y x f y x ,lim0,21,⎪⎭⎫⎝⎛→.3、 证明：()()0lim220,0,=+→yx xy y x .4、 证明下列极限不存在1) ()()()222220,0,limy x y x y x y x -+→2) ()()4220,0,limy x xy y x +→5、 求下列函数的偏导数1) ()yxy z +=12)nx e z t kn cos 2-=3) ()xyy x ey x z 2222++=6、 设()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000,2222222y x y x yx y x y x f ，求()y x f x ,及()y x f y ,.7、 设y x z arctan =，而v u x +=，v u y -=，验证：22vu v u v z u z +-=∂∂+∂∂.8、 设()u xF xy z +=，而xyu =，()u F 为可导函数，证明：xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂.9、 设()22yx f y z -=，其中()u f 为可导函数，验证：211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.10、设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xv x u ∂∂⋅∂∂.11、设()()xy x g y x f z ,2+-=，其中函数()t f 二阶可导，()v u g ,具有连续二阶偏导数，求yx z ∂∂∂2.12、设()y x f u ,=的所有二阶偏导数连续，而23ts x -=，23ts y +=，证明：2222⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂t u s u y u x u 及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.13、设v e x u cos =，v e y usin =，uv z =，试求x z ∂∂和yz ∂∂.14、在方程02222=∂∂-∂∂y ux u 中，函数u 具有二阶连续偏导数，令⎩⎨⎧+=-=y x y x ηξ，求u 以ξ，η为自变量的新方程.15、设0=-xyz e z，求22xz∂∂.16、设()v u ,Φ具有连续偏导数，证明由方程()0,=--Φbz cy az cx 所确定的函数()y x f z ,=，满足c yz x z a=∂∂+∂∂. 17、设()()⎩⎨⎧-=+=y v x u g v y v ux f u 2,,，其中f ，g 具有一阶连续偏导数，求x u ∂∂和xv ∂∂.18、求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点()1,1,1处的切线及法平面方程.19、试证曲面a z y x =++()0>a 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为一常数.20、求函数z y x u ++=在球面1222=++z y x 上点()000,,z y x 处沿球面在该点的外法线方向的方向导数.21、设()θθsin ,cos =l ，求函数()22,y xy x y x f +-=在点()1,1处沿方向l 的方向导数，并分别确定角θ，使这个导数有： a)最大值 b)最小值 c)等于022、证明：曲面()0,=--bz y az x F 上任意点处的切平面与直线z bya x ==平行（a ，b 为常数）.23、求平面1222=++z cwy b v x a u 的三截距之积在条件1222222=++c w b v a u 之下的最小值.24、经过⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1,2的所有的平面中，哪一个平面与坐标面围成的立体体积最小？最小体积是多少？25、抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这个椭圆的最长与最短距离.C 题1、 讨论函数()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,0,00,0,1sin ,2222y x y x y x y x y x f 在()0,0点处的连续性，偏导数存在性，可微性. 2、 设yx y z 1tan⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求x z ∂∂及yz ∂∂. 3、 设()y x z z ,=由方程()z y f y x z ,2++=所确定，求xz∂∂， y z ∂∂及y x z ∂∂∂2.4、 设()y x z z ,=由方程⎰-+=x y zt dt e x z 22所确定，求xz ∂∂， y z ∂∂.5、 设()t x f y ,=，而t 是由方程()0,,=t y x F 所确定的x ，y 的函数，其中f ，F 都具有一阶连续偏导数，试证明：tF y F t f x Ft f t F x f dxdy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=.6、 设()z y x f u ,,=，()0,,2=z e x yϕ，x y sin =，其中f ，ϕ都具有一阶连续偏导数，且0≠∂∂x ϕ，求dxdu. 7、 设变换⎩⎨⎧+=-=ayx v y x u 2可把方程0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y zy x z x z 转化为02=∂∂∂v u z ，求常数a . 8、求椭球面2132222=++z y x 上某点M 处的切平面π的方程，使π过已知直线L ：2121326--=-=-z y x . 9、 求函数22y xy x z +-=在区域1≤+y x 的最大值，最小值.10、求旋转椭球面14222=++z y x 在第一卦限部分上的点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小.第八章 多元函数微分法及其应用习 题 答 案A1、填空题1)422422y y x x +- 2）()22y x y -+ 3）y -4）()()()dy y ax x dx y ax x a y ax x dz +++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=2221212ln 21 5）51- 6）111111--=-=-z y x 7)()()()0162812=-++--z y x 8）352、下列函数的定义域并图示1）(){}0,0,>->+y x y x y x 2）(){}1,0,0,22<+≥>-y x x x y y x 3）(){}0,0,,22222≠+≥-+y x z y x z y x3、1）1 2）41-3）2 4、(){}02,2=-x y y x 5、 1）21u v v u s -=∂∂,21vuu v s -=∂∂2）()()[]xy xy y xz2sin cos -=∂∂,()()[]xy xy x y z 2sin cos -=∂∂ 3）y x y x z 2csc 2=∂∂,y x yx y z2csc 22-=∂∂ 4）1-=∂∂z yx z y x u ,x x zy u z y ln 1=∂∂,x x z yz u z yln 2-=∂∂ 6、4π7、()11,=x f x 8、 1）()222222y x xyx z +=∂∂,()222222y x xy y z +-=∂∂,()222222y x x y y x z +-=∂∂∂2）y y x z x 222ln =∂∂,()2221--=∂∂x y x x yz ,()y x y y x z x ln 112+=∂∂∂- 9、1）()()xdy ydx y xxdz -+-=23222）xdz yx xdy zx dx yzx dz yzyz yz ln ln 1++=- 10、02.0=∆z ，03.0=dy 11、95.2 12、cm 5-13、()()22223323ln 2y y x x y x y x x z -+-=∂∂，()()223223323ln 2y y x x y x yx y z ----=∂∂ 14、()()232431413t t t dt dz ---= 15、x e dx du ax sin =16、1）'2'12f ye xf xuxy +=∂∂,'2'12f xe yf y u xy +-=∂∂ 2）'3'2'1yzf yf f x u ++=∂∂,'3'2xzf xf y u +=∂∂,'3xyf zu=∂∂ 17、()2'1cos ,33x y y x f xf x z --=∂∂,x y f f y zsin '2'1+-=∂∂ 18、'''22224f f x x z +=∂∂，''24xyf y x z =∂∂∂，'''22224f f y yz +=∂∂ 19、1）''222''22''112212f y f y f x z ++=∂∂,'22''22''122211f y f y f yx y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂∂ ''2242'23222f yx f y x y z +=∂∂ 2）()''''''2''22xx y xu ux y uu f e f f e f xz +++=∂∂'''''''''22u y xy xu y yu y uu y f e f f xe f e f xe yx z ++++=∂∂∂ ()'''''''22''22yyy yu u uy y uu f xe f f f e x f yz ++++=∂∂ 3）()''332''13''112'1'322cos 2cos sin f e xf e xf xf f e xz y x y x y x ++++++-=∂∂()''332''32''13''12'32sin cos sin cos f e yf e xf e yf x f e yx z y x y x y x y x +++++-+-=∂∂∂()''332''23''222'2'322sin 2sin cos f e yf e yf yf f e yz y x y x y x ++++-+-=∂∂ 20、z x z x z +=∂∂,()z x y z y z+=∂∂2 21、dy y z dx yf f x dz -'-=122 22、1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z y y x 23、1=∂∂+∂∂y zx z 24、1）y x z y dz dx --=，yx xz dz dy --= 2）()1cos sin sin +-=∂∂v v e v x u u ,()1cos sin cos +--=∂∂v v e v y u u ()[]1cos sin cos +--=∂∂v v e u e v y v u u ,()[]1cos sin sin +-+=∂∂v v e u e v x v u u25、切线方程：000211z z z y m y y x x --=-=- 法线方程：()()()02100000=---+-z z z y y y mx x 26、()1,1,11--P 及⎪⎭⎫⎝⎛--271,91,312P 27、切平面方程：2112±=+-z y x28、321+ 29、147630、()→→→--=k j i gradf 6230,0,0，()→→+=j i gradf 361,1,131、→→→+-=k j i gradu 42是方向导数取最大值的方向，此方向导数的最大值为21=gradu32、极小值：21,21e f -=⎪⎭⎫⎝⎛- 33、极大值：4121,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛z34、a A y x 3＝＝宽长，aAb a z 32＝高35、当长，宽都是32k ，而高3221k 为时，表面积最小 36、⎪⎭⎫⎝⎛516,58 B 解答及提示 1、 填空题1)(){}0,1,22≥>≤+x y y xy x 2) ()11,0=x f 3)y x 22-4)dy dx - 5)充分，必要 6)必要 7)dy dx dz 2-=8)2⎪⎭⎫⎝⎛e π 9)()()()y x ay y x xy yf y x z ++++=∂∂∂'''''2ϕϕ 10)()3,2,05111)64 12)()2,2,192- 13)35 2、 (){}x y y x y x 4,10,222≤<+<，43ln 2 3、 提示：222221y x y x xy +≤+ 4、 证明下列极限不存在1)()1lim222220=-+=→y x y x y x yx x ,()0lim2222220=-+=→y x y x y x xy x2)1lim 242202+=+=→k ky x xy kyx y 5、 求下列函数的偏导数1)()121-+=∂∂y xy y x z ,()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=∂∂xy xy xy xy y z y 11ln 1 2)nx e kn t z t kn cos 22--=∂∂,nx ne xzt kn sin 2--=∂∂ 3) ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++=∂∂+y x y x y y x x ex z xyy x 2222222222 ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=∂∂+2222222222xy y x x y x y eyz xyy x 6、提示：()0,0处的偏导数应按定义求()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002,22222223y x y x y x xy y x f x ,()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=000,2222222222y x y x y x y x x y x f y10、()()'211g y yf f xv x u ++=∂∂⋅∂∂ 11、22212''22xyg g x g f y x z +++-=∂∂∂ 13、提示：由⎪⎩⎪⎨⎧==ve y ve x uusin cos 解出()()⎩⎨⎧==y x v v y x u u ,,再解或者由⎪⎩⎪⎨⎧==ve y v e x uusin cos 直接分别求对于x ，对于y 的偏导数，通过解关于x u ∂∂，y u ∂∂或x v ∂∂，y v ∂∂的方程组解出x u ∂∂，y u ∂∂ ，x v ∂∂，yv∂∂14、提示：将ξ，η看作中间变量，通过复合函数偏导数运算求得新方程为02=∂∂∂ηξu15、()322322222xy e e z y z xy ze y x z z zz ---=∂∂ 17、()()()'1'2'2'1'1'2'2'11211g f yvg xf g f zyvg uf x u ------=∂∂，()()()'1'2'2'1'1'1'11211g f yvg xf uf xf g y u----+=∂∂ 18、提示：平法球法切向＝ηηη→→→⨯,切线方程：1191161--=-=-z y x 法平面方程：024916=--+z y x20、()000,,000z y x luz y x ++=∂∂处沿球面在该点的外法线方向的方向导数21、θθsin cos +=∂∂l f ,a)4πθ= b)45πθ=c)43πθ=或47π22、提示：令()()bz y ay x F z y x G --=,,,,已知曲线在任意点处的法向量即为{}''',,z y x G G G =→η 23、提示：考虑()uvw c b a w v u f 222,,=在条件1222222=++cw b v a u 之下的最小值，由拉格朗日乘数法得最小值为abc 3324、提示：设平面方程为0=+++D Cz By Ax ，问题即求：22262361C B A D V =在条件0312=+++D C B A 下的最小值，由拉格朗日乘数法得平面方程为：0662=-++z y x ，最小体积是325、提示：问题可看作2222z y x d ++=在条件⎩⎨⎧=+++=122z y x y x z 下的最值，令()()()1,,,,22222-+++++++=z y x u yx z y x u z y x F λλ求得最长距离为：359+，最短距离为：359-C 解答及提示解：1）因为()2222221sin0y x y x yx +≤++≤又 0lim 2200=+→→y x y x 由夹逼准则知：()01sinlim 22220=++→→yx y x y x ,又因 ()00,0=f ,所以 ()y x f ,在()0,0处连续 2）根据定义 ()y x f ,在()0,0处的偏导数为：()()()()()01s i n lim0,00,0lim0,02200'=∆∆⋅∆=∆-∆+=→∆→∆xx x xf x f f x x x同理可得 ()00,0'=y f3）()()()()[]()()22221sin0,00,0y x y x f y x f z ∆+∆⋅∆+∆=-∆+∆+=∆ ()()()()[]()()2222''1sin0,00,0y x y x y f x f y x ∆+∆⋅∆+∆+∆+∆= 而 ()()[]()()()()01sinlim2222220=∆+∆∆+∆⋅∆+∆→∆→∆y x y x y x y x所以 ()y x f ,在()0,0处可微分C1、解：两边取对数有：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y y z tan ln 1ln两边对x 求偏导有：x yxy x y x z z 22sec tan1111⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂故xyx y x x z y2112s e ct a n 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂ 同理： xy x y xy x y x y y y z y y2112sec tan 1tan ln tan 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂ 2、解：两边分别对x 求偏导有：xzf x z z∂∂+=∂∂'212, 故 '221f z x z -=∂∂ 同理由：y z f f y z z ∂∂++=∂∂'2'112，得： '2'121f z f y z -+=∂∂ 对方程'221f z x z -=∂∂两边同时求y 的偏导有：()2'2''22''21222f z y z f f y z y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--∂∂-=∂∂∂将'2'121f z f y z -+=∂∂代入上式有： ()()3'2'1''22''22''21'2''21'12'2'2'1''22''21'2'122222221212f z f f f f f zf f f z f z f f f f z f y x z -++-+--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---+-=∂∂∂ 4、解：方程可表示为：⎰⎰-+=-xat xy at dt e dt e x z 222（a 为任意常数）对方程两边求x 的偏导数有：()()x z z e e x x z z x y ∂∂--+=∂∂-21122，所以 ()zx y e z ez z x x z +-=∂∂-2242，同理得 ()zx y ez e z y z +=∂∂-2225、 由题意可知：tF x Fdxdt ∂∂∂∂-=，t F y F dy dt ∂∂∂∂-=，由()()y x t x f y ,,=，两边对x 求导有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂=dx dy y t x t t f x f dx dy ，得：yt t f x t t f x f dx dy ∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂=1 将上面偏导代入即得结果 6、解：dx dz z f dx dy y f x f dx du ∂∂+∂∂+∂∂= ，易见 x dxdy cos = 由()0,,2=z e x yϕ，对方程两边求x 的导数有：0cos 2'3'2'1=++dx dz x e x yϕϕϕ，得'3'2'1cos 2ϕϕϕx e x dx dzy +-= 7、 解法一：v z u z x z ∂∂+∂∂=∂∂，vza u z x z ∂∂+∂∂-=∂∂222222222v z v u z u z x z ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂，2222222244v z a v u z a u z x z ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂()22222222vza v u z a u z y x z ∂∂+∂∂∂-+∂∂-=∂∂∂ 将上述结果代入原方程，经整理后可得：()()065102222=∂∂-++∂∂∂+vz a a v u z a 依题意a 应满足：⎩⎨⎧≠+=-+0510062a a a ，3=∴a解法二：将z 视为以x ，y 为中间变量的u ，v 的二元复合函数，由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=++=222a v u y a v av x ，从而2+=∂∂a a u x ，2+=∂∂a a v x ，21+-=∂∂a u y ，21+=∂∂a v y yz a x z a a u y y z u x x z u z ∂∂+-∂∂+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂212 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+=∂∂∂v y y z v x y x z a y y y x z v x x z a a v u z 2222222212 ()()()22222222212222yza y x z a a x z a a∂∂+-∂∂∂+-+∂∂+=依题意 0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y z y x z x z ，即 y x zx z y z ∂∂∂+∂∂=∂∂222226 代入上式得 ()()y x za a x z a a v u z ∂∂∂+-+∂∂+-=∂∂∂22222223262，令 02=∂∂∂v u z ，得：⎩⎨⎧≠+=-0203a a 故 3=a 8、解：令()2132,,222-++=z y x z y x F ，x F x 2'=，y F y 4'=，z F z 6'=椭球面在点()000,,z y x M 处的切平面π的方程为()()()0642000000=-+-+-z z z y y y x x x ，即2132000=++z z y y x x因为平面π过直线L ，故直线L 上任意两点，如点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3,6，⎪⎭⎫ ⎝⎛27,0,0应满足平面π的方程，代入有：212366000=++z y x ()1 20=z ()2 又因为2132202020=++z y x ()3解()1，()2，()3有 30=x ，00=y ，20=z 及 10=x ，20=y ，20=z 故所求切平面方程为：72=+z x 及 2164=++z y x9、 解：函数z 在闭区域1≤+y x 上连续，故存在最大值，最小值令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0202''x y z y x z yx ⇒ 0==y x 此时 0=z显然()0.0是函数在区域内的唯一驻点，且()()[]02122222≥-++=+-=y x y x y xy x z所以函数在驻点()0.0取得最小值，而函数的最大值只可能在区域的边界上取得 设()y x f z ,=，显然()()y x f y x f ,,=--，故只需讨论以下边界的函数值 1）1=+y x 10≤≤x 10≤≤y 2）1=-y x 10≤≤x 01≤≤-y 对于情形1）()()4121311222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=x x x x x z∴ 当 0=x 或 1=x 时 z 取最大值 1ma x=z对于情形2）()()432111222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=x x x x x z∴ 当 0=x 或 1=x 时 1ma x=z综上()00,0min ==z z ()()()()10,11,00,11,0ma x=====--z z z z z10、设所取的点为()z y x M ,,，在点M 处切平面的法向量为⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,2,2z y x ，切平面方程为()()()0222=-+-+-z Z zy Y y x X x ，即14=++Z z yY xX （考虑到14222=++z y x ） 此平面在三个坐标轴上的截距分别为：x 1，y 1，z4 问题即为求()z y x ,,，使得函数()2221611,,z y x z y x F ++=在条件⎪⎩⎪⎨⎧>>>=++0,0,014222z y x z y x 下求极值令 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++=141611,,,222222z y x z y x z y x G λλ则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==+-==+-==+-=014022022022222'2'2'2'z y x G z zG y y G x x G z y x λλλλ 解得 λ18222===z y x代入约束条件得 14181812=⎪⎭⎫ ⎝⎛++z 由 0,0,0>>>z y x 知21==y x ，2=z ， ∴所求点为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21,21M。

第八章 多元函数微分法及其应用8.01 在“充分”，“必要”，“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内：（1）()y ,x f 在点()y ,x 可微分是()y ,x f 在该点连续的充 分条件；()y ,x f 在点()y ,x 连续是()y ,x f 在该点可微分的必 要条件。

（2）)y ,x (f z =在点()y ,x 的偏导数x z ∂∂及y z∂∂存在是()y ,x f 在该点可微分的必 要条件；)y ,x (f z =在点()y ,x 可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z∂∂存的充 分条件。

（3）)y ,x (f z =的偏导数x z ∂∂及y z∂∂点()y ,x 存在且连续是()y ,x f 在该点可微分的充 分条件。

（4）函数()y ,x f z =的两个二阶混合偏导数y x z 2∂∂∂及x y z2∂∂∂在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的充 分条件。

8.02求函数()()222yx 1ln y x 4y ,x f ---=的定义域，并求()y ,x f lim 0y 21x →→。

解：1)⎩⎨⎧≤<+<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-->--≥-x4y 1y x 01y x 10y x 10y x 422222222，定义域：(){}x 4y ,1y x 0y ,x D 222≤<+<=2)由初等函数的连续性知：43ln 20211ln 0214)0,21(f )y ,x (f lim 2220y 21x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯==→→+8.03 证明极限422y 0x y x xy lim+→→不存在。

证明：当点()y ,x 沿用x k y 1=趋于点()0,0时，有222220x 4220x k y 0x k 1k x k x kx lim y x xy lim 1+=+=+++→→=→，显然它是随着k 的不同而改变的，故：极限422y 0x y x xy lim+→→+不存在。

第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。

（完整版）高等数学（同济版）多元函数微分学练习题册.doc第八章多元函数微分法及其应用第一作一、填空：1. 函数 z ln(1 2 )y x23x y 的定义域为x12. 函数 f (x, y, z) arccosz的定义域为y 2x 23. 设 f ( x, y) x 2 y 2 , (x) cos x, ( x) sin x, 则f [ (x), (x)].sin xy .4. lim xx 0二、（）： 1. 函数1的所有断点是 :sin x sin y(A) x=y=2n π（ n=1,2,3,?）；(B) x=y=n π (n=1,2,3, ?) ； (C) x=y=m π (m=0, ±1，± 2，? )；(D) x=n π ,y=m π (n=0, ± 1，± 2，?，m=0,± 1,± 2,? )。

答：（）sin 2( x 2 y 2 , x 2y 22. 函数 f (x, y)x 2 y 2在点（ 0， 0）：2 ,x 2 y 2（ A ）无定；（B ）无极限；（ C ）有极限但不；（ D ）。

答：（）三、求 lim2xy 4 .x 0 xyya四、明极限 limx 2 y 22 不存在。

2 2xx y ( x y)y 0第二节作业一、填空题：1 sin( x2 y), xy 01. 设 f ( x, y)xy ,则 f x (0,1) .x 2 ,xy2. 设 f (x, y)x ( y 1) arcsinx, 则 f x ( x,1).y二、选择题（单选）：设 z 2x y 2 , 则 z y 等于 :( A) y 2 x y 2 ln 4; (B) (x y 2 ) 2 y ln 4; (C ) 2 y( x y 2 ) e x y 2 ;(D ) 2 y 4 x y 2 .答：（）三、试解下列各题：1. 设 z ln tan x , 求 z, z .2. 设 z arctan y, 求2z .y x yxx y四、验证 rx 2 y 2 z 2 满足2r2r2r 2 .x 2 y 2 z 2r第三节作业一、填空题：1. 函数 zy 当x 2, y时的全增量z全微分值x 1, x 0.1, y0.2dz.y2. 设z e x , 则dz.二、选择题（单选）：1. 函数 z=f(x,y) 在点 P 0（ x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（ A ）充分条件；（ B ）充要条件；（ C ）必要条件；（ D ）无关条件。

(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。

解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在 。

(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。

第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1．填空。

（1）设()y x y x f 23,+=，则()()y x f xy f ,,=________________；(2) 设,),(2y x xyx y f +=+则()y x f , =_________________； (3) 设),1(-+=x f y z若当1=y 时x z =，则函数()x f =________________；(4) 函数)1ln(2)(x y x z -+=的定义域是_________________________；(5) 函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是，此定义域可用平面图形表示为_____________________________________。

2．求极限。

（1）)()cos(1lim22222200y x y x y x y x ++-→→ （2）yx x a y x x +→+∞→+2)11(lim4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0,0,242424y x y x y x xy z 的连续性。

第二节 偏导数1．填空。

（1）,tan ln y x z=则______________=∂∂xz ，___________=∂∂y z；（2）,)1(y xy z +=则______________=∂∂xz，___________=∂∂y z ； (3) 设222),,(zx yz xy z y x f ++=，则),,(z y x f z =__________,),,(z y x f zz =__________, ),,(z y x f zzx =__________,)3,5,2(zzx f =__ ________；（4）设 ⎰--Φ=at x atx du u t x f )(),(，（Φ为连续函数），则x f ∂∂=__ ________, tf∂∂=__ ________。

第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是 （C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是 （A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为 （D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为 （A ） （A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ） （A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点 （B ）点P 0是函数z 的极小值点 （C ）点P 0非函数z 的极值点 （D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

第8章 多元函数的微分法及其应用§8.1 多元函数的基本概念一、填空题1．已知22),(y x xyy x f -=+ ，则f(x,y)= 。

2．函数)1ln(4222y x y x Z ---=的定义域为 。

3．11lim0-+→→xy xy y x = 。

二、判断题1． 如果P 沿任何直线y=kx 趋于（0，0）,都有A P f kxy x ==→)(lim 0，则A y x f y x =-→→)(lim 00。

（ ）2． 从0)0,(lim 0=→x f x 和2)2,(lim 0=→x x f x 知),(lim 0y x f y x →→不存在。

（ ）3． 下面定义域的求法正确吗？)ln(11),(y x y x y x f -+-+=解：012)2()1()2(0)1(01>-⇒+⎩⎨⎧>->-+x y x y x 所以定义域为x>1/2的一切实数。

三、选择题1． 有且仅有一个间断点的函数是（ ）（A ）、x y （B ）、)22ln(y x e x +- （C ）、yx x+ （D ）、arctanxy 2.下列极限存在的是（ ） （A ）、y x x y x +→→00lim（B ）、y x y x +→→1lim 00 （C ）、y x x y x +→→200lim （D ）、y x x y x +→→1sin lim 00四、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。

1．y x y x z --+=112.221)ln(yx x x y z --+-=3．)]1)(9ln[(2222-+--=y x y x z 五、求下列极限，若不存在，说明理由。

1．22101lim y x xy y x +-→→2. 222200cos 1limy x y x y x ++-→→3．y x x y x +→→00lim§8.2 偏导数一、判断题1． 如果f(x,y)在(x 0,y 0) 处，xf ∂∂存在，则一元函数f(x,y 0)在（x,y 0）处连续。

同济第六版高数下习题册答案第八章 多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、xyz arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→ （0） 2、x y x x y3)2,(),()1(lim+∞→ (6e )四、证明极限 242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。

证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。

当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01s i n lim 22)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。

所以函数 在整个xoy 面上连续。

六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：1、设z=xy xe xy + ,验证 z x y +=∂∂+∂∂yz y x z x证明：x yx yx ye x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设yxy xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4、设yz x u =, 求x u ∂∂ ，y u ∂∂ ，zu ∂∂解：1-=∂∂y z x y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂ 5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂ 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx x y x f )0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→ 连续； 201s i n lim )0,0(xf x x →= 不存在， 0000lim )0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：1）x y e z = )1(2dy x dx x y edz xy +-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zy x u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz y z y ln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=， 求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--=∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx zz y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin)(),(2222y x y x yx y x y x f 在（0，0）点处的连续性 、偏导数、 可微性解：)0,0(01sin)(lim 2222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。

1 / 28习题8-11. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ；解：0,0x y D ≥≥⇒=(){,0,x y y x ≥≥(2) 221)ln(yx xx y z --+-=；解：220,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}22,01x y y x xy >≥+<且(3) )0(122222222>>-+++---=r R rz y x z y x R u ；解：222222220R x y z x y z r ≤---<++-⇒，0D ⇒=(){}22222,,x y z rx y z R <++≤(4) 22arccosyx z u +=。

221,0x y D ≤+≠⇒=(){}22,0x y z x y ≤+≠2. 求下列多元函数的极限:： (1) 22y 01)e ln(limyx x y x ++→→；解：y 1ln 2x y →→== (2) xy xy y x 42lim0+-→→；解：令t=xy，1200001(4)12lim 14x t t y t -→→→→-+===-2 / 28(3) x xyy x sin lim50→→；解：0050sin sin lim5lim 55x x y y xy xyx x →→→→==(4) 22x 222200e)()cos(1limy y x y x y x ++-→→；解：22222222222x 001cos()11cos()2(sin ),lim 20022()ey x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+Q (5) xyy x y x )(lim 220+→→。

解：0,xy >设22ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理2200222222lim ln()2222000ln()()ln()0lim ln()0,lim()1x y xy x y xyx x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e→→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得,3. 证明下列极限不存在： (1) y x yx y x -+→→00lim；证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x+===-当沿直线趋于原点(0,0)时.001lim,1x y x y mm x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。

可编辑修改精选全文完整版第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题 1. 极限= （提示：令22y k x =） （ B ）(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于(D) 存在且不等于0或2、设函数，则极限= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设，则= （ B ）(A)(B)(C)(D)6、设，则 （ A ）（A ） （B ） （C ） （D ）7、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若，则= （ D ） (A) (B)(C)(D)9、设，则（ A ）(A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 10、设，则 （ D ）(A) (B)(C) (D)11、曲线在点处的法平面方程是 （C ） (A) (B)(C)(D)12、曲线在点处的切线方程是 （A ）(A) 842204x z y --=-=(B) (C) (D)13、曲面在点处的切平面方程为 （D ）（A ） （B ）（C ）（D ）14、曲面在点处的法线方程为 （A ）（A ） （B ） （C ） （D ）15、设函数，则点是函数 的 （ B ）（A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数具有二阶连续偏导数，在处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点是函数的极大值点 （B ）点是函数的极小值点（C ）点非函数的极值点 （D ）条件不够，无法判定17、函数在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) (B) (C) (D)二、填空题 1、极限= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：2、极限=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：3、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：4、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：，5、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：6、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-）7、设，要使处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：8、设，要使在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：19、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线及11、设，则_________ .答：3cos5 12、设，则= _________ .答：1 13、设，则=_________ .答：14、设，则在极坐标系下，= _________ .答：015、设，则= _________.答：16、设，则= ___________ .答：17、函数由所确定，则= ___________ .答：18、设函数由方程所确定，则= _______ .答：19、由方程所确定的函数在点（1，0，－1）处的全微分= _________ .答：20、曲线在点处的切线方程是_________.答：21、曲线在对应于点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x22、曲面在点处的法线方程为_________ .答：eze y x 22212=-+=- 23、曲面在点处的切平面方程是_________.答：24、设函数由方程确定，则函数的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数在点处取得极值，则常数_________，_________.答：0，426、函数在条件下的极大值是_______答：三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.4 2、求极限 .解：= 43、求极限 .解：原式=4、求极限 .解：= -85、设，求.解：6、设，求.解：7、设函数由所确定，试求（其中）.解一：原式两边对求导得，则同理可得：解二：xy xz F F y z xy yz F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数的极值.解：由，得驻点074334>=--==yyyxxy xx z z z z D，函数在点处取极小值.9、设，而，求.解：=-++(sin )3432t t e x y10、设，求.解：11、设，求.解：，，12、求函数的全微分.解：四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为米.水池底部的单位造价为. 则水池造价 且令由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e x z y x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+- 2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx ekn xy k tkn sin 2222--=∂∂, 所以22xy k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。