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第五讲数学培优——平行四边形与矩形
【学习目标】
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；
2．理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．
3. 理解矩形的概念.
4. 掌握矩形的性质定理与判定定理.
专题一：平行四边形【要点梳理】
要点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点二、平行四边形的性质
（1）_____________________________；（2）_____________________________；
（3）_____________________________；（4）_____________________________；
（5）对称性：_____________________________；
要点三、平行四边形的判定
（1）_____________________________；（2）_____________________________；
（3）_____________________________；（4）_____________________________；
要点四、三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
要点诠释：
三角形有三条中位线，三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
要点五、平行线间的距离
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
（3）平行线间的平行线平行且相等
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
例1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC．
1
2
1
4
类型二、平行四边形的判定
例
2、如图所示，E 、F 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 上的点，且四边形AECF 和DEBF 都是平行四边形，AF 和BE 相交于点G ，DF 和CE 相交于点H ．求证：四边形EGFH 为平行四边形．
【变式】如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ，若CE=CF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．
类型三、平行四边形与面积有关的计算
例3、如图所示，在ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ．若∠EAF ＝60°，BE ＝2，DF ＝3，求AB ，BC 的长及ABCD 的面积．
【变式】如图，已知ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM ＝9，BD ＝12，AD ＝10，
求该平行四边形的面积.
类型四、三角形的中位线
例4、如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是DC 的中点，N 是AB 的中点．求证：∠PMN=∠PNM ．
cm cm
专题二：矩形【要点梳理】
要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点二、矩形的性质
（1）_____________________________；（2）_____________________________；
（3）_____________________________；（4）_____________________________；
（5）对称性：_____________________________；
要点三、矩形的判定
（1）_____________________________；（2）_____________________________；
（3）_____________________________；（4）_____________________________；【典型例题】
类型一、矩形的性质
例1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是
类型二、矩形的判定
例2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证
明你的结论.
例3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．
求证：四边形EFGH是矩形．
类型三、直角三角形斜边上的中线的性质
例4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）
A．20 B．12 C．14 D．13
【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．
