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《倍角公式》课件

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课件1：8.2.3 倍角公式

课件1：8.2.3 倍角公式

(4)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10° ＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10° ＝4(sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°) ＝4ssinin2200°°＝4.
探究二 给值求值 例 2.已知 cosx－π4＝ 102，x∈π2， 4π. (1)求 sinx 的值； (2)求 sin2x＋π3的值．
cos π
5
＝2sin
5 π
＝14.
2sin5
2sin5
2sin5
(2)原式＝[sin(π2－1π2)－sin1π2][sin(2π－1π2)＋sin1π2]
＝cos1π2－sin1π2cos1π2＋sin1π2
＝cos21π2－sin21π2＝cosπ6＝
3 2.
反思感悟 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用倍角公式，结合诱导公式和同角三角函 数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用 倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出 应用倍角公式的条件，使得问题出现可以连用倍角的正弦 公式的形式.
＝－sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα2
2
2
＝－
α 2cos2.
题型探究
探究一 给角求值
例 1.求下列各式的值．
π (1)cos5cos
5π；
(2)sin51π2－sin1π2sin51π2＋sin1π2.
ππ π
π π 1 4π
解：(1)原式＝2sin5cos5πcos
5
sin ＝
5
跟踪训练 3.(1)化简：cos12θ－tan θtan 2θ；

高一数学人教B版必修4课件3-2-1倍角公式

高一数学人教B版必修4课件3-2-1倍角公式
4．由于 sin2x＝2sinx·cosx， 从而 1±sinx＝sin2x±cos2x2，可用于无理式的化简及运算．
5．要熟悉公式的逆用．如
sin3α·cos3α
＝
1 2
sin6α.4sinα4·cosα4＝22sinα4·cosα4＝2sinα2，S
1－2tatann4204°0°＝tan80°，cos22α－sin22α＝cos4α.
∴sinα－cosα＝ sinα－cosα2
＝
1－sin2α＝
17 3.
cos2α＝
1－sin22α＝
17 9.
[辨析]
由
sinα
＋
cosα
＝
1 3
及
0<α<π
知
π 2
<α<π
，
且
|sinα|>|cosα|，故应讨论 sinα－cosα 与 cos2α 的符号得 sinα－
cosα>0，cos2α<0.
[解析] 解法一：因为 sin4π＋α·sinπ4－α ＝sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，
所以 sinπ2＋2α＝13，即 cos2α＝13.
因为 α∈2π，π，则 2α∈(π，2π)，
所以 sin2α＝－ 1－cos22α＝－23 2，
• [点评] 以上几种方法大致遵循以下规律： 首先都是由复杂端向简单端转化；其次是 化倍角为单角；最后，证题中注意对数字 的处理，尤其是对“1”的妙用．
[解析] 左边＝tanta2θn－θ 1，
右边＝－
2 2tanθ
＝－1－tatnaθn2θ
1－tan2θ
＝tanta2θn－θ 1，
∵左边＝右边，
[正解] 将 sinα＋cosα＝13两边平方得

课件7：3.2.1倍角公式

课件7：3.2.1倍角公式

＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝81×－ 35－387×23＝－
5＋6 24
7 .
规律方法
直接应用二倍角公式求值的三种类型：
(1)sin
α(或
cos
同角三角函数的关系 α)――――――――――→cos
α(或
sin
二倍角公式 α)――――――→
sin 2α(或 cos 2α)．
(2)sin
(3)解：①因为 α 是第三象限角，cos α＝－43，
所以 sin α＝－ 1－cos2 α＝－ 47，
所以
sin
2α＝2sin
αcos
α＝2×－
47×－34＝3
8
7 .
②因为 β∈2π，π，sin β＝23，所以 cos β＝－ 1－sin2 β＝－ 35，
cos 2α＝2cos2 α－1＝2×196－1＝18，所以 cos(2α＋β)
[解] y＝sin4x＋2 3sin xcos x－cos4x
＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋2 3sin xcos x
＝－cos 2x＋
3sin
2x＝2
3 2 sin
2x－12cos
2x＝2sin2x－π6，
所以 T＝22π＝π，ymin＝－2.
由 2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋32π，k∈Z， 得 kπ＋π3≤x≤kπ＋56π，k∈Z， 又 x∈[0，π]，所以令 k＝0，得函数的单调递减区间为3π，56π.
α 2cos α
α 2
＝sin
α 2cos
α 2cos
α＝21sin
Байду номын сангаас
αcos

倍角公式PPT优秀课件

倍角公式PPT优秀课件
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
8
82
试试看 教材144页A1题
4、 8si4 nc 8o 4 sc 8o 2 sc 4o 1 s 212
例2、已知 sin5， （，），
13 2
求 si2 n,co 2 ,sta2 n的值。
解： sin5， （，），
13 2
cos 12 si2 n2s13ic n os25(1)2 120
（1）cos 12
13
（2）tan 4
3
（3）sin() 7 2
4
26
（4）tan() 1
47
（5）去掉（，），结果又如何
2
• 例3证明恒等式
2cos2 sin 2 2 s in s2 i ncostan
证明：左边
2sin cos sin
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]

2(cos2 sin2) 2sin2 cos sin(2cos 1)
cos(2cos 1) tan =右边

课件 倍角公式

课件 倍角公式

复习引入：
cos(α+β)= sin (α+β)= tan(α+β)= 公式推导 cosαcosβ-sinαsinβ; sinαcosβ+cosαsinβ;
tanα+tanβ 1－tanαtanβ
令α=β，求cos 2α、sin 2α、tan2α
sin(α+β) α cos(α+β) α
=sinαcosα+cosαsinα =2sinαcosα =cosαcosα－sinαsinα =cos2α－sin2α
利用公式进行三角函数关系式的化简
例题3、化简 （1）、(sinα-cosα)2
(2)、
1 1 1 tan 1 tan
解: (1)（sinα-cosα)2 = sin2α+cos2α-2sinαcosα=1-sin2α
1 1 1 tan (1 tan ) （2） 1 tan 1 tan 1 tan 2
教学目标：
1、会利用sin(α＋β)，cos(α＋β)， tan(α＋β) 推导出sin2α，cos2α，tan2α公式。认识整个 公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 2、记住并能正确应用二倍角公式进行求值、化 简、证明，掌握公式的基本应用方法，提高分 析问题、解决问题的能力。
教学重点：二倍角公式的证明和灵活应用 教学方法：讨论法和讲练结合
2 tan tan 2 2 1 tan
练一练
1、化简 （1）、cos4α-sin4α
(2)、sin cos 2 2
=(cos2α+sin2α)(cos2αsin2α)=cos2α 1 1 2 sin cos sin 2 2 2 2

数学人教必修B第三册课件：8.2.3 倍角公式

数学人教必修B第三册课件：8.2.3 倍角公式
24 sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°
=
24 ·cos6°
23 sin12°cos12°cos24°cos48°
=
16cos6°
22 sin24°cos24°cos48°
sin96°
=
=
16cos6°
16cos6°
=
1
.
16
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛求连续几个正弦或余弦的积,常构造正弦的倍角公式连续
×
3 24
=- ,
5 25
π
π
sin 2α=-cos 2 + 2 =1-2cos2 + 4
3 2
5
7
=1-2×
= 25.
π
2
所以 cos 2 + = cos
4
2
2
24 7
31 2
= 2 × - 25 - 25 =- 50 .
(2)因为 sin 2α=-cos 2 +
π
=- 2cos2 + 4 -1 ,
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
给值求值问题
π
3 π
3π
π
例 2(1)已知 cos + 4 = 5 , 2≤α< 2 ,求 cos 2 + 4 的值;
π π
π
(2)已知 α∈ - 2 , 2 ,且 sin 2α=sin - 4 ,求 α.
π
3π
3π
π
7π
解:(1)因为2≤α< 2 ,所以 4 ≤α+4 < 4 .

倍角公式和半角公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件

cos2 sin2 1
cos2 1 cos2 2
cos2 1 sin2
sin2 1 cos2
cos 2 cos2 sin2 (1 sin2 ) sin2
cos2 (1 cos2 ) 1 2sin2
2cos2 1
第3页
公式变形：
1 sin 2 (sin cos )2
第7页
• 例3证实恒等式
sin 2 sin
2 cos 2 2sin 2 cos
tan
证实：左边
2sin cos sin
2(cos2 sin 2 ) 2sin 2
cos
sin (2 cos 1) cos (2 cos 1)
tan =右边
所以等式成立
第8页
五、归纳总结
1、二倍角公式是和角公式特例，表达将普 通化归为特殊基本数学思想方法。
1 cos 2 2 cos2
升幂缩角公式
1 cos 2 2 sin 2
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂扩角公式
第4页
二、公式了解：
1、对“二倍角”定义了解：不但“2α”是“α”3， 而且“α”是2
二 倍角， “4α”是“2α”二倍角， “3α”是 2 二倍角。
1、sin 22。30，cos 22。30， 2
4
2、2 cos2 1 2
8
2
3、sin2 cos2 2
8
82
4、8sin cos cos cos
48 48 24 12
1 2
第6页
例2、已知 sin 5 ， （ ，），
13
2
求 sin 2 , cos 2 , tan 2 值。

高中教育数学必修第三册《8.2.3 倍角公式》教学课件

2
π
(2)可利用 π－2α＝2( －α)求值；
3
3
(3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos (2α
＋β)．
方法归纳
直接应用倍角公式求值的三种类型
同角三角函数的关系
倍角公式
(1)sin α(或cos α)
cos α(或sin α)
sin
2α(或cos 2α)．
−
1−cos 2A−2B
2
sin 2B＋cos 2A cos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2A cos 2B＝右边，∴等式成立．
题型4 倍角公式的灵活运用
1+sin α−cos α 1+cos α+sin α
【思考探究】 (1)在化简
＋
时，如何灵活使用
1+sin α+cos α
1−cos α+sin α

的情况都成立，如2α是α的倍角，8α是4α的倍角， 是 的倍角等等．
2
4
知识点二 倍角公式的变换
(1)因式分解变换
cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos α－sin α).
(2)配方变换
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcos α＝(sin α±cos α)2.
6
例4 (1)化简： 1 + sin θ − 1 − sin θ，其中θ∈(0，π)；
π
7π
2
2
(2)求函数f(x)＝5 3cos x＋ 3sin x－4sinx cos x，x∈[ ， ]的最小
4
值，并求其单调递减区间．
24

高二数学倍角公式PPT优秀课件

3.2 倍角公式和半角公式 3．2.1 倍角公式
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正 弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用．
●教学建议 对于二倍角公式的学习，要注意引导学生从和角公式 C(α ＋β)，S(α＋β)，T(α＋β)出发，寻找思维的突破口，学生不难想到， 教学中，要求学生对“倍”的相对性有一定的认识，事实上， 灵活使用“倍”的变换、“换元”等都体现了思维的灵活性， 对学生推理能力的发展能起到很好的推动作用．
B.8
1
1
C.16
D.2
【解析】 原式＝14sin 30°＝18.
【答案】 B
课时作业（二十七）
已知
α∈(0，2π)，且
sin2α－sin
αcos
α－2cos2α＝0，求
π tan(3
－α)的值．
【思路探究】 将弦函数关系式转化为 tan α 的方程，先
求 tan α，再求 tan(π3－α)．
二倍角公式
S2α：sin 2α＝ 2sin αcos α ；
C2α：cos
2α＝
cos2α－sin2α 2tan α
＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α
；
T2α：tan 2α＝ 1－tan2α .
利用二倍角公式给角求值
求下列各式的值： (1)cosπ5cos25π；(2)12－cos2π8； (3)1－2tatnan125105°0°； (4)sin 10°sin 50°sin 70°.
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
利用二倍角公式给值求值 已知 sin(π4－x)＝153，0<x<π4，求cocsoπ4s＋2xx的值．

3.2.1倍角公式课件人教新课标B版


3 32＝
3.
明目标、知重点
呈重点、现规律
1.对“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α 是 4α 的二倍；6α 是 3α 的二倍；4α 是 2α 的二倍；3α 是
3 2α
的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；2αn＝22n·＋α1(n∈N*).
明目标、知重点
2.二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用
＝2×153×－1123＝－112609； cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×1532＝111699； tan 4α＝csoins 44αα＝－111192609＝－111290.
169 反思与感悟 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一
方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系式及诱导
思考 余弦的二倍角公式是否有其他变形？
答 二倍角的余弦公式 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－
1－cos 2α 2sin2α 变形较多，应用灵活.其中 sin2α＝ 2 ，cos2α＝
1＋cos 2
2α
1－cos
称作降幂公式， 2
α＝sin2α2，1＋c2os
α＝cos2α2称
明目标、知重点
探究点一 二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导 思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α 的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切 公式.你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？ 答 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α； tan 2α＝tan(α＋α)＝1－2tatnanα2α.
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13 169
tan 2 sin 2 (120)169 120 cos2 169 119 119
变式训练：
等腰三角形ABC的一个底角B的余弦值为0.6，求顶角A的余弦值.
• 例2 已知 (0, ) 化简
2
（1）
sin


cos
22
1 sin.
2

2 tan 4
• 教学难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的 基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用．
一.复习回顾：
• 写出两角和的正弦、余弦、正切公式
sin( ) sin cos sin cos cos( ) cos cos sin sin
tan( ) tan tan 1 tan tan
13
2
求 sin 2, cos2, tan 2 的值。
解： sin 5 ， （ ，），
13
2
cos 12

sin
2

13
2sin
cos

2
5
( 12)

120
13 13 169
cos2 1 2sin2 1 2( 5 )2 119
牛刀小试：不查表，求下列各式的值 • (1) sin15 cos15 1
4.
• (2) cos2 sin 2 2 .
8
82
2 tan 22.5
• (3)
1.
1 tan 2 22.5
• (4)
1 2sin 2 75
3. 2
三.典型例题
例1、已知
sin 5 ， （ ，），

sin160o 8sin 20o

1. 8
思维拓展
1.若 tan = 3 求 sin2 cos2 的值
解：
sin2
-cos2
=
2sin

cos
cos2


cos2
sin2


sin
2

2 tan 1 tan 2 7

.
1 tan 2
5
新疆
王新敞
奎屯
新疆 王新敞
奎屯
2.求函数
的最小正周期,最值
解： y cos 2x.
最小正周期为，最值为1.
四、归纳总结
1、这节课你学到了什么知识？ ¤倍角公式及应用； ¤它是和角公式的特例，它的发现与证明体现了
一般到特殊的数学归纳推理方法。 2、通过这节课的学习，你有什么感悟？ ¤今后要勇于探索、勇攀高峰，探索—无极限； ¤客观世界是联系的，不是孤立的； ¤学习既要独立思考，又需要团体合作。
倍角公式
学习目标：
• 知识与技能：掌握倍角公式的推导，明确的取值 范 围；
• 过程与方法：能应用倍角公式进行简单的三角函数 式的求值、化简和证明．
• 情感态度与价值观：通过本节学习，进一步培养提 高学生的归纳推理能力，树立由一般到特殊的归纳 以及探究意识．
• 教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公 式的两种变形。
二.合作探究： 倍角公式的推导
令
sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos
sin 2 2sin cos
cos( ) coscos sin sin
cos( ) coscos sin sin
cos2 cos2 sin2 (C2)
1 2sin2 2cos2 1
tan
2

1
2
tan tan2
(T2 )
cos2 sin2 1
cos2 cos2 sin2 cos2 (1 cos2 ) 2cos2 1

2、对“二倍角”定义的理解：不仅“2α”是“α”3， 而且“α”是2
的二 倍角， “4α”是“2α”的二倍角， “3α”是 2 的二倍角。
3、公式成立条件：S2 、C2 在任何条件下均成立
即
T2成k立，则需
1
且
tan2
k
0

且（taknZ有) 意义
4
2
4、“倍角”与“二次”的关系：升角——降次，降角——升次 .要 用联系的观点看世界.
（2） 1 tan 2
4
tan .
2
（3） 1 sin 2 sin cos .
（4） 1 cos2
2
cos2.
例3、求值：
（1） 8sin cos cos cos
48 48 24 12 4sin cos cos .
24 24 12
2sin cos sin 1 .
12 12 6 2
（2） cos20 cos40 cos80
2sin 20o cos 20o cos 40o cos80o 2sin 20o
sin 40o cos 40o cos80o

2sin 20o

sin 80o cos80o 4sin 20o
cos2 1 sin2 sin2 1 cos2 (1 sin2 ) sin2
1 2sin2
2.公式变形
1 cos2 2cos2
升幂缩角公式
1 cos2 2sin2
3.探究小结
1、公式是用单角三角函数来表达二倍角的三角函数．
cos2 cos2 sin2
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan
2

1
2
tan tan2
1.倍角公式 sin 2 2sin cos (S2)