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2. 变数分离法
r 2 sin 2 令 (r, , ) R(r)( )( ), 代入上式并乘以 R
sin 2 2 R sin 1 2 8 2 2 ( E V )r 2 sin 2 0 r sin R r r 2 h
4. 单电子原子的波函数
2
0
d 1;
sin d 1;
0
0
R Rr dr 1
2
0 0
2
0
Y Y sin dd 1;
2 0
0
r sin drdd 1
2
●由角量子数规定的波函数通常用s，p，d，f，g，
些波函数列于表2.2。
●由n,l,m所规定，可用nlm表示： nlm=Rnl(r)lm()m()=Rnl(r)Ylm(,) 主量子数n=1,2,3,„,n; 角量子数 l=0,1,2,„,n-1; 磁量子数m=0,1,2,„,l ●,,R,Y,都要归一化，极坐标的微体积 元d=r2sindrdd:
2
1 i 2 e 2
cos 1 cos 1 sin 1 sin 1 cos 1 cos 2 2 sin 1 sin 2 2
4. 单电子原子的波函数 ●解方程和R方程比较复杂，只将解得的一
cos m
• 实函数解不是角动量z轴分量算符的本征函数，但便 于作图。 • 复函数解和实函数解是线性组合关系，彼此之间 没有一一对应关系。
m 0 1 -1 2 -2 复函数解
0
1
实函数解
0 1 2
1 2
1 i e 2 1 i 1 e 2
2 1 i 2 e 2
2
对于H原子，mN＝1836.1me，＝ 1836.1me/1837.1＝0.99946me，折合质量与 电子质量相差无几，说明质心与核间的距离很 小，可粗略地认为核不动，电子绕核运动，把 核放在原点上，即可得出H原子和类氢离子的 Schrödinger方程：
h Ze 2 2 E 40 r 8
mNr1＝mer2＝me(r－r1)
me r1 r mN me mN r2 r mN me
r mN me r2 r1 r
I m r m r
2 N 1
me r mN m m e N
2 e 2
2
mN r me m m e N
1 2 sin 2 2 R sin 8 2 2 2 整理， 得 r sin 2 r sin ( E V ) 2 R r r h
此式左边不含r,，右边不含，要使两边相 等，须等于同一常数，设为-m2，则得
2 2
●直角坐标到极坐标的变换
z
x=rsincos (1)
y=rsinsin (2)
z=rcos r2=x2+y2+z2 (3) (4)
0 y
e
r
z y x
• 由于r 无法分离变量， Sch eq 无法准确求 x 解，需要在球极坐 标系下。
• 球极坐标下，Laplace算符为：
h，…依次代表l=0,1,2,3,4,5,…的状态 ●原子轨道的名称与波函数的角度部分直接相关：
Y0,0
1 s 4
3 Y1,0 pz cos 4
Y1, 1
3 py sin sin 4 3 px sin cos 4
3. 方程的解
3. 方程的解
d 2 m 0 2 d
2
此为二阶常系数齐次线性 方程，有两个复数形式的 独立特解
m Ae
im
m m
A可由归一化条件得出：
2
0
m d A
m
2
2
0
e
im im
e d A
2
2 0
8 2 R r 2 ( E V ) R l(l 1) 2 2 r dr dr h r
方程、方程和R方程
d 2 m 2 d
2
1 d d m sin 2 l(l 1) sin d d sin
2
1 d 2 dR 8 R r 2 ( E V ) R l(l 1) 2 2 r dr dr h r
2
经变数分离得到的三个分别只含，和
r变量的方程依次称为方程、方程和R 方程，将方程和方程合并，Y(，) =()()，代表波函数的角度部分。 解这三个常微分方程，求满足品优条件 的解，再将它们乘在一起，便得 Schrödinger方程的解。
1 im e 2
m应是的单值函数，变化一周， m应保持 不变，即， m()= m(2) eim=eim（2）= eimeim2 即 eim2=cos(m2)isin(m2)=1, m的取值必须为m=0, 1, 2, …
1 im m e 2
第二章
原子的结构和性质
• 原子：由一个核和若干个电子组成的体系。 • 化学：研究原子之间化合与分解的科学。 • Rutherford在1909~1911年间，发现了电子， 提出行星绕太阳原子模型。 • Bohr氢原子结构模型：1913年提出
2.1单电子原子的Schrö dinger方程
2.2量子数的物理意义
cos m
2C C ( m m ) cos m 2
i2D D ( m m ) sin m 2
故
sin m
1 1 由归一化条件可得， C , D 2 i 2
1 实函数解为： cos m , 1 sin m sin m
2.1 单电子原子的Schrödinger方程 及其解
1.单电子原子的Schrödinger方程
Ze V 4π ε 0 r mem N μ me mN 对 H而 言 ， μ ＝ 0.99946m e
2
• 折合质量：绕通过质心与核和电子连线垂 直的轴转动的转动惯量与一质量等于折合 质量，离转轴距离为r的质点的转动惯量 相同：
复数形式的函数是角动量z轴分 量算符的本征函数，但复数不便于 作图，不能用图形了解原子轨道或 电子云的分布，需通过线性组合变 为实函数解：
1 im 1 i m e cosm sin m 2 2 2
1 im 1 i m e cosm sin m 2 2 2
d m 2 2 d
2
1 d 2 dR 8 2 r 2 m2 1 d d r (E V ) sin 2 2 R dr dr h sin sin d d
设两边等于l(l+1)，则得
1 d d m 2 sin 2 l(l 1) sin d d sin
1 2 1 1 2 r 2 sin 2 2 2 r r r r sin r sin
2 2
●变换为极坐标后的Schrödinger方程为：
1 2 1 1 2 8 2 2 E V 0 r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin h
2.3波函数和电子云图形
2.4多电子原子的结构 2.5元素周期表与元素周期性质
2.6原子光谱
•
化学运动的物质承担者是原子，
通过化合与分解实现物质的转化。为了 说明和掌握化学运动的规律，并运用它 去认识和改造客观世界，就要从研究原 子的结构和及其运动规律入手。
19世纪初，Dalton
提出原子学说；1897
年，J.J.Thomson发
现电子，打开了原子
内部结构的大门，化
学进入现代时期；
1909－1911年间，
Rutherford用α粒
子作穿透金箔的实
验，提出原子结构
的“行星绕太阳” 的模型；
1913，Bohr提出 两点假设：定态规 则和频率规则。 Bohr原子结构模 型解释了氢原子光 谱，但其他原子均 不能解释，需要用 量子力学规律解释。
