2.2.3因式分解法

课题：2.2.3因式分解法（二）教学目标：1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。

2、会用因式分解法解某些一元二次方程。

3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。

教学重点:用因式分解法解一元二次方程．教学难点:将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解．教学过程：一、知识回顾（出示ppt课件）1、因式分解法：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．（1）用因式分解法的条件是:方程左边能够因式分解,而右边等于零;（2）因式分解法的依据： A ·B=0 ⇔A=0或B=0（3）因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一移：移项，使方程右边化为。

二分：将方程左边分解成两个的乘积。

三化：“两个因式的积等于零，至少因式为零”，得到两个一元一次方程。

四解：解两个，所得的解就是原方程的解。

二、课前练习（出示ppt课件）1、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？2、快速回答：下列各方程的根分别是多少？(1) .x(x-2)=0 ；(2) (x+2)(x-3)=0；(3) x2=x；(4) (3x+2)(2x-3)=0；根据性质：A ·B=0 ⇔A=0或B=0，快速说出结果。

3、解下列方程：（1）(x-2) 2=(2x+3) 2（2）(2x+3) 2=4(2x+3)x1=-13，x2=-5 x1=-32，x2=12（3）2(x-3) 2=x2-9（4）(2a-3) 2=(a-2)(3a-4)x1=3，x2=9 a1=a2=1分组练习，交流学习经验。

三、探究学习（出示ppt课件）例：解下列方程：1、x2-10x+24=0【解析】①用配方法解：配方，得：x2-10x+52-52+24=0，得：(x-5) 2-1=0 因式分解，得：(x-5+1)(x-5-1)=0，即：(x-4)(x-6)=0得方程：x-4=0或x-6=0，解得：x1=4，x2=6，②用公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)来因式分解。

《2.2.3 一元二次不等式的解法》教学设计2.2.3一元二次不等式的解法教学设计一、教材分析1、地位与作用一元二次不等式的解法在高中数学中具有重要地位。

它是在学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的基础上进行的，是对前面知识的深化和综合运用。

同时，一元二次不等式在解决实际生活中的优化问题、函数定义域、值域等问题中有着广泛的应用，是进一步学习数学和其他学科的重要工具。

在高考中，一元二次不等式的解法常常与函数、数列、解析几何等知识相结合进行考查，是考生必须掌握的基础知识。

2、教材内容教材首先通过实例引出一元二次不等式的概念，然后利用二次函数的图象来探究一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系，从而得出一元二次不等式的解法。

二、学情分析1、已有知识基础学生已经学习了一元一次不等式的解法，对于不等式的基本性质和求解不等式的基本步骤有了一定的了解。

学生也已经掌握了一元二次方程的解法，包括求根公式、因式分解法等，并且对二次函数的图象和性质有了初步的认识，如二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等。

2、学习能力大部分学生具备一定的逻辑推理能力和运算能力，但在将知识进行综合运用方面可能存在不足。

例如，将二次函数的图象特征与一元二次不等式的解集联系起来，对于一些学生来说可能是一个难点。

3、兴趣爱好和学习风格学生对于与实际生活相关的数学问题比较感兴趣，如在生活中如何通过一元二次不等式来解决利润最大化、资源最优化等问题。

在学习风格上，有些学生更倾向于直观的图象学习，而有些学生则擅长通过公式和计算来理解知识。

三、教学目标1、知识与技能学生能够理解一元二次不等式的概念，会将一元二次不等式转化为标准形式。

掌握一元二次不等式的解法，能够熟练运用二次函数的图象求解一元二次不等式。

能将一元二次不等式的解法应用于解决简单的实际问题。

2、过程与方法通过探究一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系，培养学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力。

新湘教版数学九年级上2.2.3用因式分解法解一元二次方程教学设计课题 2.2.3用因式分解法解一元二次方程单元第二单元学科数学年级九年级学习目标1.知识与技能：①了解因式分解法的概念与步骤。

②会用因式分解法解简单系数的一元二次方程。

2.过程与方法：探索因式分解法的步骤，培养学生分析问题、解决问题的能力，从而使学生树立数学转换的思想。

3.情感态度与价值观：通过运用因式分解法解一元二次方程，让学生体会解决问题方法的多样化，让学生体验数学逻辑的严密性。

重点能灵活地运用因式分解法解一元二次方程。

难点 1.能理解并灵活运用“若ab=0，则a=0或b=0”的概念；2.能灵活地运用因式分解法解一元二次方程。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图回顾知识+导入新课同学们，在上节课中，我们已将学习了用直接开方的方法、配方法以及公式法解一元二次方程的方法，这节课开始我们将学习一直解一元二次方程的另一种新的方法，在上新课之前，我们一起回顾下前面学习的知识：解下列一元二次方程：（1）x²-81=0（直接开方法）解：x²=81∴x=±9∴x1=9；x2=-9.（2）x²+4x+1=0（配方法）解：移项：x²+4x=-1配方：x²+4x+4=-1+4即（x+2）²=3∴x+2=±∴x1=-2；x2=--2.学生跟着教师回忆知识，并思考本节回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮回顾知识+导入新课（3）x²+x-2=0（公式法）解：这里a=1，b=，c=-2b²-4ac=2-4×1×（-2）=10>0∴x=∴x1=-；x2=.因式分解：把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解.平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²分解因式：（1）x²-81=x²-9²=（x+9）（x-9）（2）x²+4x=x（x+4）（3）x²+x+4=x²+x+2²=（x+2）²【知识探究】若ab=0，则a、b的值可能有哪几种情况？1.当a≠b时：①a=0，b≠0；②a≠0，b=0.2.当a=b时，a=b=0.结论：若ab=0，则a=0或b=0.【导入新知】解方程：x2-3x=0.在解这个方程的时候，我们可以用配方法：将原方程化为（x-）²=进行求解，我们也可以用公式进行公式法求解.有没有更简便的方法呢？解：对方程左边进行因式分解：x（x-3）=0根据“若ab=0，则a=0或b=0”，可以得到x=0或x-3=0∴x1=0；x2=3.课的知识，注意与老师一起推导公式。

2．2.3 一元二次不等式的解法[课程目标] 1.掌握一元二次不等式的概念；2.会用因式分解法和配方法解一元二次不等式．知识点一一元二次不等式的概念[填一填]一般地,形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c均为常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．知识点二一元二次不等式的解法[填一填]1．因式分解法(1)一般地,如果x1<x2,则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1,x2),不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞,x1)∪(x2,＋∞)．(2)解一元二次不等式,先把不等式化成定义形式ax2＋bx＋c>0(其中不等号也可以是“<”“≥”“≤”等),若ax2＋bx＋c比较容易因式分解,可先将其进行因式分解,然后根据不等式解集的形式写出不等式的解集．2．配方法(1)把一元二次不等式x2＋bx＋c>0化为(x＋h)2>k(h,k为常数)的形式,当k≥0时,就可以用直接开平方法求出不等式的解集．这种解一元二次不等式的方法叫做配方法．(2)一般步骤：一移,将含未知数的项移到不等号的左边,常数项移到不等号的右边；二除,二次项的系数不为1时,不等号两边同时除以二次项的系数,将其化为1；三配,不等号两边同时加上一次项系数一半的平方,将其左边配成完全平方式；四开,不等号右边是非负数时,用直接开平方法解不等式；方程右边是负数时,原不等式的解集为任意实数．[答一答]1．不等式x2－3x＋2>0的解集是什么？提示：x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)>0其解集为{x|x<1或x>2}．2．不等式(x－1)(x－a)>0(a∈R)的解是什么？提示：当a>1时,不等式的解集是(－∞,1)∪(a,＋∞)；当a＝1时,不等式的解集是(－∞,1)∪(1,＋∞)；当a<1时,不等式的解集是(－∞,a)∪(1,＋∞)．3．用配方法解不等式x2＋2x≤0.提示：x2＋2x＝(x＋1)2－1≤0,即(x＋1)2≤1,－1≤x＋1≤1,即－2≤x≤0,不等式的解集是[－2,0]．类型一 因式分解法解一元二次不等式 [例1] 求下列不等式的解集： (1)x 2－5x －6>0； (2)(2－x )(x ＋3)<0； (3)x 2－2x －8<0；(4)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．[解] (1)因为x 2－5x －6＝(x －6)(x ＋1), 所以原不等式等价于(x －6)(x ＋1)>0.所以原不等式的解集为(－∞,－1)∪(6,＋∞)． (2)原不等式等价于(x －2)(x ＋3)>0,所以不等式的解集为(－∞,－3)∪(2,＋∞)． (3)因为x 2－2x －8＝(x －4)(x ＋2), 所以原不等式等价于(x －4)(x ＋2)<0. 所以原不等式的解集为(－2,4)． (4)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2, 所以原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 因为9x 2－12x ＋4＝(3x －2)2, 所以原不等式等价于(3x －2)2>0, 所以原不等式的解集为{x |x ≠23}．用因式分解法解一元二次不等式,首先要把不等式进行因式分解,注意先把二次项系数化为正数,否则得到相反的结论.[变式训练1] 求下列不等式的解集： (1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－x 2＋8x －15>0； (3)x 2－4x －5<0； (4)－3x 2－2x ＋8≥0.解：(1)因为2x 2＋7x ＋3＝(2x ＋1)(x ＋3),所以原不等式等价于(2x ＋1)(x ＋3)>0. 所以原不等式的解集为(－∞,－3)∪(－12,＋∞)．(2)原不等式等价于x 2－8x ＋15<0. 因为x 2－8x ＋15＝(x －3)(x －5), 所以原不等式等价于(x －3)(x －5)<0.所以原不等式的解集为(3,5)． (3)因为x 2－4x －5＝(x ＋1)(x －5), 所以原不等式可化为(x －5)(x ＋1)<0. 所以原不等式的解集为(－1,5)． (4)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0, 即3(x －43)(x ＋2)≤0,即(x －43)(x ＋2)≤0,所以原不等式的解集为[－2,43]．类型二 配方法解一元二次不等式 [例2] 用配方法解下列不等式： (1)4x 2＋4x －5≤0； (2)14x 2＋x ＋2≥0. [解] (1)4x 2＋4x －5＝(2x ＋1)2－6≤0, 即(2x ＋1)2≤6,－6≤2x ＋1≤6, －1＋62≤x ≤6－12.所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＋62≤x ≤6－12. (2)14x 2＋x ＋2＝(12x ＋1)2＋1≥0, 因为不等式恒成立,所以不等式的解集为R .[变式训练2] 用配方法求下列不等式的解集： (1)x 2＋6x >1； (2)2x 2＋6≥7x .解：(1)原不等式等价于x 2＋6x －1>0,因为x 2＋6x －1＝x 2＋6x ＋9－9－1＝(x ＋3)2－10,所以原不等式可化为(x ＋3)2－10>0,即(x ＋3)2>10.两边开平方,得|x ＋3|>10,从而可得x ＋3>10或x ＋3<－10,所以x >10－3,或x <－10－3.所以原不等式组的解集为(－∞,－10－3)∪(10－3,＋∞)．(2)原不等式可化为x 2－72x ＋3≥0,因为x 2－72x ＋3＝x 2－72x ＋(74)2－(74)2＋3＝(x －74)2－116,所以原不等式可化为(x －74)2－116≥0,即(x －74)2≥116,得x －74≥14或x －74≤－14,解得x ≥2或x ≤32.故原不等式的解集为{x |x ≤32或x ≥2}．类型三 含参数的一元二次不等式的解法 [例3] 解关于x 的不等式ax 2＋3x ＋2>－ax －1(a >0)．[解] 不等式ax 2＋3x ＋2>－ax －1可化为ax 2＋(a ＋3)x ＋3>0,即(ax ＋3)(x ＋1)>0. 当－3a<－1,即0<a <3时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－1或x <－3a ；当－3a ＝－1,即a ＝3时,原不等式的解集为{x |x ≠－1}； 当－3a>－1,即a >3时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－3a .综上所述,当0<a <3时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3a 或x >－1；当a ＝3时,原不等式的解集为{x |x ≠－1}； 当a >3时,原不等式的解集为{x |x <－1或x >－3a }．含参数的一元二次不等式要注意对参数的讨论,不重复不遗漏．如本题要依据－3a 与－1的大小关系进行讨论．[变式训练3] 关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0,若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m <x <2,则m 的取值范围是(－∞,0)．解析：∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m <x <2, ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2,且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0,∴m 的取值范围是m <0.类型四 分式不等式的解法 [例4] 解下列不等式． (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3>1. [解] (1)∵2x －13x ＋1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0⇔⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13⇔x <－13或x ≥12,∴原不等式的解集为{x |x <－13,或x ≥12}．(2)方法1：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，2－x >x ＋3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >－3，x <－12，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12⇔－3<x <－12. ∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．方法2：原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0⇔－2x －1x ＋3>0⇔2x ＋1x ＋3<0⇔(2x ＋1)(x ＋3)<0⇔－3<x <－12.∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.[变式训练4] (1)下列选项中,使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( A )A ．x <－1B ．－1<x <0C ．0<x <1D ．x >1解析：由x <1x <x 2可得⎩⎨⎧x <1x，1x<x 2，即⎩⎨⎧x 2－1x<0，1－x3x <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或0<x <1，x <0或x >1，所以x <－1.(2)不等式：x ＋2x 2＋x ＋1>1的解集为{x |－1<x <1}．解析：因为x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0,所以原不等式可化为x ＋2>x 2＋x ＋1,即x 2－1<0,解得－1<x <1,所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}．1．下列各式：①x 2＋3>x ；②2x 2－3x >2x (x －1)－1；③3x 2－4x >5；④x 2>－1x ＋2.其中一元二次不等式有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①③把各项移到“>”左边,右边变为0,满足一元二次不等式的概念特征,是一元二次不等式；②化简后不含二次项,不是一元二次不等式；④中含有分式,不是一元二次不等式．2．不等式－x 2－2x ＋3>0的解集为( C ) A ．(－2,1) B ．(－3,－1) C ．(－3,1) D ．(－1,3)解析：原不等式等价于x 2＋2x －3<0,即(x ＋3)(x －1)<0,所以不等式的解集为(－3,1)． 3．不等式2x －1x ＋3>0的解集是( D )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(4,＋∞)C ．(－∞,－3)∪(4,＋∞)D ．(－∞,－3)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：2x －1x ＋3>0⇔(2x －1)(x ＋3)>0⇒x <－3或x >12.故选D.4．不等式－x 2＋5x >6的解集是(2,3)． 解析：不等式－x 2＋5x >6变形为x 2－5x ＋6<0, 因式分解为(x －2)(x －3)<0,解得2<x <3. ∴不等式－x 2＋5x >6的解集为(2,3)． 5．解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1； (3)x 2－2x ＋3>0.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0, 所以(2x ＋1)(x －2)<0,故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <2.(2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0, 所以(2x ＋1)(x －1)≥0,故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥1.(3)因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0, 故原不等式的解集是R .。

2.2.3 一元二次不等式的解法6种常见考法归类1、一元二次不等式的概念一般地，形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是常数，而且a ≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．注：一元二次不等式的二次项系数a 有a >0和a <0两种，注意aa <0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．2、一元二次不等式的解法（1）用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x 1<x 2，则不等式(x －x 1)(x －x 2)<0的解集是(x 1，x 2)，不等式(x －x 1)(x －x 2)>0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞).①这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”．②因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解．依据是：ab >0当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0 ；ab <0当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b >0 或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b <0.（2）用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总是可以变为(x －h )2>k 或(x －h )2<k 的形式，然后根据k 的正负等知识，就可以得到不等式的解集．注：(1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集．(2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系4、简单分式不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．注：当分式不等式等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．5、求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程：6、一元二次不等式的解法：(1)图像法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：∪确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；∪画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；∪由图像得出不等式的解集．对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p ＜q 时，若(x －p)(x －q)＞0，则x ＞q 或x ＜p ；若(x －p)(x －q)＜0，则p ＜x ＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．7、含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数； (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．8、三个“二次”之间的关系一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∪，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．9、简单的分式不等式的解法对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．注：设A 、B 均为含x 的多项式 （1）00>⇔>A AB B （2）00<⇔<AAB B（3）000≥⎧≥⇔⎨≠⎩AB A B B （4）000≤⎧≤⇔⎨≠⎩AB AB B 10、解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．考点一 解不含参数的一元二次不等式 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 考点三 利用不等式的解集求参数考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立有解问题 考点六 一元二次不等式的实际应用考点一 解不含参数的一元二次不等式1．（2023秋·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式(1)(2)0x x -+>的解集为（ ） A ．{2x x <-或1}x >B ．{21}x x -<<C ．{12}x x <<D ．{1x x <或2}x >2．（2023秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式： (1)23710x x -≤； (2)2104x x -+<； (3)2340x x -+>．3．（2023·上海·高一专题练习）解下列不等式： （1）22310x x -+-<； （2）()2160x -->；（3）2260340x x x x ⎧--≤⎨+-<⎩4．（2023秋·高一校考课时练习）解下列不等式： （1）22320x x --> （2）2350x x -+>（3）2620x x --+≥ （4）2414x x -≥-5．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）不等式24410x x -+<的解集为 A ．1(,]2-∞B ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．∅6．【多选】（2023秋·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列四个不等式中，解集为∅的是（ ） A ．210x x -++≤ B ．22340x x -+<C ．2690x x ++≤D ．2440(0)x x a a a ⎛⎫-+-+>> ⎪⎝⎭考点二 含参数的一元二次不等式的解法7．（2023·全国·高一假期作业）若01a <<，解不等式()10a x x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭->．8．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->9．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.10．（2023秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式()2110ax a x -++>.11．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设a ∈R ，解关于x 的不等式：()2330ax a x -++≤．12．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知222()(1)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ，求关于x 的不等式()0f x ≥的解集.考点三 利用不等式的解集求参数13．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式20x ax b ++<的解集是{}24x x -<<，则a b +=（ ）A ．-10B ．-6C ．0D ．214．（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于x 的不等式220x x a -+<的解集是{|2}x b x <<，则a b += （ ）A ．1-B ．152-C ．92-D ．9-15．【多选】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列选项中正确的是（ ）A ．a<0B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞16．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()3,1-，则不等式20bx ax c ++<的解集为（ ）A ．()1,2?B ．1,2C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭17．（2023秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于x 的不等式mx n >的解集是{}<2x x ，则关于x 的不等式()()30mx n x +->的解集是（ ）A ．{|2x x <或3}x >B ．{}2<<3x xC ．{|2x x <-或3}x >D ．{}2<<3x x -18．（2023秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数()243f x ax x =++.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集是(),1b ，求,a b 的值. (2)若0a >，求关于x 的不等式()1f x ax >--的解集.19．（2023秋·湖南永州·高二统考阶段练习）若不等式20x x c +-≤的解集为[]2,1-，则c = .20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式()210x a x a -++≤的解集是[]4,3-的子集，则a 的范围是（ ）A ．[－4，3]B ．[－4，2]C ．[－1，3]D ．[－2，2]21．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x 的不等式22(12)20ax a x a +--<的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（ ）A ．1-B ．32C ．74D ．2考点四 简单的分式不等式的解法22．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式302x x +>+的解集是 ．23．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式102xx-≥+的解集为 ． 24．（2023秋·河南商丘·高一统考期中）不等式3102x x +≤- 的解集是 ． 25．（2023·全国·高三对口高考）已知集合3442x P xx ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则P = ． 26．（2023秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）解不等式： (1)2450x x -++>； (2)2221x ax a -≤-+； (3)132x x+≥-. 考点五 一元二次不等式的恒成立有解问题27．（2023秋·高一单元测试）设()()212=--+-∈y x a x a a R .(1)若不等式()2122--+-≥-x a x a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式()2120--+-<x a x a .28．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设()()212f x ax a x a =+-+-． (1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()1R f x a a <-∈．29．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数()()()2124f x m x mx m m =+-+-∈R ．(1)若不等式()0f x <的解集为R ，求m 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()f x m ≥．30．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设2(1)2y ax a x a =+-+-． (1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()2(1)10R ax a x a +--<∈．31．（2023·高一课时练习）已知函数()()2322f x x a x a b =+-+++，a ，b ∈R .(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集为{4x x <-或}2x >，求实数a ，b 的值； (2)若关于x 的不等式()f x b ≤在[]1,3x ∈上有解，求实数a 的取值范围；(3)若关于x 的不等式()12f x b <+的解集中恰有3个整数，求实数a 的取值范围．考点六 一元二次不等式的实际应用32．（2023秋·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P （单位：元/件）与月销售量x （单位：件）之间的关系为1602P x =-，生产x 件的成本（单位：元）50030R x =+.若每月获得的利润y （单位：元）不少于1300元，则该厂的月销售量x 的取值范围为（ ）A ．()20,45B ．[)20,45C ．(]20,45D ．[]20,4533．（2023·全国·高一假期作业）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中()50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x 的取值范围是（ ）.A ．{}2030,N x x x +≤≤∈B ．{}2045,N x x x +≤≤∈C ．{}1530,N x x x +≤≤∈D ．{}1545,N x x x +≤≤∈34．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少52t 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t 的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．[]2,4C ．[]3,5D ．[]4,635．（2023秋·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m )。

因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：L提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1.分解因式x3 -2x 2-xx，~x=x(x^_2x_ 1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2.分解因式a2 +4沥+4力2解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+cm+bm十bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式。

，把它后两项分成一组，并提出公因式们从而得到ct(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2 +5n-mn-5m解:m2 +5n・mn・5m= m 2-5m-mn+5n =(m2 -5m )+(-mn+5n)4.十字相乘法对于mx2 ^px^-q形式的多项式，如果a^b=m, c^d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ctx+d)(bx+c)例4.分解因式7x2 -19x-6分析：1 x7=7, 2x(-3)=-6 lx2+7x(.3)=・19解：7x2-19x-6=f7x+2；(x-3；5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5.分解因式+6x-40 解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 )2 =[(x+3)+7][(x+3) —7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6.分解因式bc(b^c)+ca(c-a)-ab(a+b)角学：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a^-b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)-^bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7 .换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

【教学设计】2.2.3 一元二次不等式的解法本节课的内容是高中数学B版必修一第二章第二节“2.2.3一元二次不等式的解法”的第1课时。

新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。

我将以此为基础从下面这几个方面加以说明。

一、课标要求二、教材分析（包括教材处理、教材的地位和作用、教学的重点和难点）1、教材处理：本节涉及的一元二次不等式概念的引入、解题方法的得出和应用方法三个方面的内容。

把教材中的引例生成情境，这样更能体现一元二次不等式来自实践，容易激发学生的学习兴趣。

2、教材的地位和作用：本节课是学生在已掌握了一元二次方程的解集、不等式的性质和不等式的解集基础上，进一步研究一元二次不等式的解法和应用，它一方面可以进一步对不等式的解法的理解与认识，同时也为今后进一步“3个二次”的关系打下坚实的基础。

因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。

此外，《一元二次不等式的解法》是等式与不等式这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且方法得出的过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

3、教学的重点和难点：关键在于重难点如何确定、难点如何突破。

教学重点：1.等比数列前n项和公式的推导;2.等比数列前n项和公式的应用【重点的确定】通过对已学解一元二次方程的回顾，进一步体会一元二次不等式的解法的形式，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

因此它是本节课的重点内容。

教学难点：等比数列前n项和公式的推导。

【难点的确定】从学生的思维特点看，很容易把本节内容与一元二次方程的解法进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节一元二次不等式的解法与一元二次方程有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于二次项系数正负情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．因此它是本节课的难点内容。