概率论与数理统计-中国矿业大学教务部

2023─2024学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷(A 卷)参考答案与评分标准一、填空题(每空3分，共30分)1．在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加样本容量.2．设随机变量X 具有数学期望()E X μ=与方差2()D X σ=，则有切比雪夫不等式{}2P X μσ-≥≤14.3．设X 为连续型随机变量,a 为实常数，则概率{}P X a ==0.4．设X 的分布律为,{}1,2,k k P X x p k === ，2Y X =,若1nkk k xp ∞=∑绝对收敛(n为正整数),则()E Y =21kk k xp ∞=∑.5．某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为17.6．设X 服从参数为λ的poisson 分布,则(2)E X =2λ.7．设(2,3)Y N ，则数学期望2()E Y =7.8．(,)X Y 为二维随机变量,概率密度为(,)f x y ,X 与Y 的协方差(,)Cov X Y 的积分表达式为(())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰.9．设X 为总体N （3，4）中抽取的样本14,,X X 的均值,则{}15P X ≤≤＝2(2)1Φ-.(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示)10.随机变量2(0,)X N σ ,n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，221()(1)ni i Y k X χ==∑ ,则常数k =21n σ.A 卷第1页共4页二、概率论试题(45分)1、(8分)题略解：用A B C 、、，分别表示三人译出该份密码,所求概率为P A B C （）（2分）由概率公式P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）（4分）1-1-1-p q r =1-（）（）（）（2分）2、(8分)设随机变量()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====，求数学期望()E X Y +与方差(23)D X Y -.解：(1)()E X Y +=E X E Y （）+（）=1+3=4（3分）(2)(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-（3分）8361244XY ρ=+--（2分）3、(8分)某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命i T 相互独立，记161ii T T ==∑，用中心极限定理计算{1920}P T ≥的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示).解：i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000（3分）{1920}0.8}1P T P ≥=≈-Φ（0.8）（5分）(4分)4、(10分)设随机变量X 具有概率密度11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它,21Y X =+.(1)求Y 的概率密度()Y f y ；(2)求概率312P Y ⎧⎫-<<⎨⎩⎭.解:(1)12Y Y y F y y F y ≤>时（）=0,时（）=1（1分）A 卷第2页共4页212,{}{1}()d Y y F y P Y y P X y f x x<≤≤=+≤=（）=（2分）02d 1x x y ==-（2分）概率密度函数2()=Y Y y f y F y ≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它（2分）(2)3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222.（3分）5、(11分)设随机变量(,)X Y 具有概率分布如下,且{}1103P X Y X +===.XY-101013p114q112(1)求常数,p q ；(2)求X 与Y 的协方差(,)Cov X Y ,并问X 与Y 是否独立?解:(1)1111134123p q p q ++++=+=，即（2分）由{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X pP X Y X P X P X p +====+========+，，（2分）可得16p q ==（1分）X 01Y -11P1212P7121614(2)EX 1（）=2,E Y 1（）=-3,E XY 1（）=-6（3分）,-Cov X Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0（2分）由..ij i j P P P ≠可知X 与Y 不独立（1分）三、数理统计试题(25分)1、(8分)题略.A 卷第3页共4页证明:222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ-- ,22(1)X n S σ-相互独立（4分）2(1)Xt n - ,即(1)X t n - （4分）2、(10分)题略解：似然函数2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑（4分）由2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑可得221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑为2,μσ的最大似然估计(2分)由221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==可知11ˆni i x n μ==∑为μ的无偏估计量，2211ˆ()ni i x n σμ==-∑为2σ的有偏估计量(4分)3、(7分)题略解：01: 4.55: 4.55H H μμ=≠（2分）检验统计量x z =，拒绝域0.025 1.96z z ≥=（2分）而0.185 1.960.036z ==>（1分）因而拒绝域0H ，即不认为总体的均值仍为4.55（2分）A 卷第4页共4页。

《概率论与数理统计》教学大纲课程编号：SC2113010课程名称：概率论与数理统计英文名称：Probability and Statistics 学时：46 学分：3课程类型：必修课程性质：公共基础课先修课程：高等数学、线性代数开课学期：第3学期适用专业：工、理（物理，化学）、经管类各专业开课院系：全校各院系（人文学院及数学系除外）一、课程的教学目标概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性及对这种客观规律性的观察组织和科学估计与判断的一门数学分支学科。

由于该学科理论严谨，应用广泛，因而已成为现代工程技术与社会经济管理人员必须掌握的一种技术工具及我校理、工、经、管各专业的公共基础课。

通过本课程的学习，要使学生掌握概率统计的基本概念，必要的基础理论，分析思想和常用的计算方法，从而为后继课程的学习和今后从事相关科研活动奠定基础。

二、课程的需求与任务本课程的需求与任务为：（a）为理、工、经、管各专业的后继专业基础课和专业课（如随机过程、随机运筹学、统计信号处理、随机信号分析、统计模式识别、雷达系统仿真与性能评估、统计物理、计量经济学等）提供概念、理论基础和应用方法支持；（b）为今后从事的各种随机动态系统（如通信系统、雷达系统、计算机控制系统等）的规划论证、系统分析、设计、仿真、决策与控制研究提供数学思想和数学方法支持。

三、课程内容及基本要求（一）概率论的基本概念（6学时）内容：随机试验、样本空间与随机事件；频率与概率；古典概型与几何概型；条件概率与独立性。

基本要求：（1）理解样本空间，随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。

能熟练运用事件的和，积，差运算表示未知的事件。

（2）了解概率的公理化体系及概率论的发展历史，掌握概率的基本性质。

熟练掌握概率的加法公式。

会计算古典概型和几何概型问题的概率。

（3）了解条件概率的概念，熟练掌握概率的乘法公式、全概率公式和Bayes 公式。

（4）了解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算。

第1页(共3页)中国矿业大学(北京)《概率论与数理统计》试卷(A 卷)得分：注意：可能用到的上分位点0.0250.051.96, 1.65u u ==一、填空题（每空3分，共30分）1.将3个小球随机地放入4个大杯子中，则3个球恰好在同一个杯子中的概率为.2.设()0.4,()0.3P B P A B =-=，则()P A B =.3.设随机变量(2,9)X N ，则{58}P X ≤≤=.4.随机变量X 服从参数为1泊松分布，Y 并服从（0,1）上的均匀分布，且X 、Y 相互独立，则(2)E X Y -=，(2)D X Y -=。

5.设总体(,0.09)X N μ ，129,,,X X X 是来自X 的样本，已知 4.2x =，则μ的置信度为95%的置信区间为直接使用相应的上分位点表示）.6.设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，μ为总体均值，令1ˆniii c Xμ==∑，其中12,,,n c c c 为非负常数.若ˆμ为μ的一个无偏估计量，则1ni i c ==∑.7.设X 和Y 是两个连续型随机变量，且3(0,0),7P X Y ≥≥=4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=，则(0|0)P X Y <≥=，(max(,)0)P X Y ≤=。

8.设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N ，而19,,X X 和19,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量U =服从分布。

二、（12分）某产品只由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的5%，80%，15%，其次品率分别为0.03，0.01，0.02，求（1）从这批产品中任取一件是次品的概率；（2）已知从这批产品中随机取出的一件为次品，问这件产品由哪个厂家生产的可能性最大？题号一二三四五六七八得分阅卷人…………………………………装…………………………………………………订…………………………………………………线…………………………………………….学院：专业年级：姓名：学号：……………………………...….密………………………………………...………封…………………………………………………线………………..………………………….…第2页(共3页)三、（12分）已知连续型随机变量X 的概率密度函数为(1)01()0cx x x f x -<<⎧=⎨⎩其它，（1）确定常数c ；（2）求X 的分布函数()F x ；（3）求12P X ⎧⎫<⎨⎩⎭；（4）设21Y X =+，求Y 的概率密度函数.四、（12分）设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为求（1）(,)X Y 的边缘分布律{}i P X x =，{}j P Y y =（直接填入上表）；（2）求{11}P X Y =-=；（3）Z XY =的分布律.（请将后两问的解答写在右上方的空白处）五、（12分）设随机变量),(Y X 的概率密度为1()02,02(,)8x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它,（1）求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并判断,X Y 是否独立；（2）求(,)COV X Y .…………………………………装…………………………………………………订…………………………………………………线…………………………………………….学院：专业年级：姓名：学号：……………………………...….密………………………………………...………封…………………………………………………线………………..………………………….…第3页(共3页)六、（8分）一个工厂生产一个系统由100个独立起作用的部件构成，在该产品运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为使整个产品起作用，至少要有85个部件正常工作，试用中心极限定理估算整个系统起作用的概率。

附件3学位授权点自我评估总结报告学位授予单位授权学科授权级别2015 年8 月29 日编写说明一、本报告是学位授权点经过自我评估的全面总结，分为两个个部分：学位授权点基本情况和持续改进计划。

二、封面中单位代码按照《高等学校和科研机构学位与研究生管理信息标准》（国务院学位委员会办公室编，2004年3月北京大学出版社出版）中教育部《高等学校代码》（包括高等学校与科研机构）填写；学位授权点的学科名称及代码按照国务院学位委员会和教育部2011年印发的《学位授予和人才培养学科目录》填写，只有二级学科学位授权点的，授权学科名称及代码按照国务院学位委员会和原国家教育委员会1997年颁布的《授予博士、硕士学位和培养研究生的学科、专业目录》填写；同时获得博士、硕士学位授权的学科，授权级别选“博士”；只获得硕士学位授权的学科，授权级别选“硕士”。

三、本报告采取写实性描述，能用数据定量描述的，不得定性描述。

定量数据除总量外，尽可能用师均、生均或比例描述。

报告中所描述的内容和数据应确属本学位点，必须真实、准确，有据可查。

四、本报告的各项内容须是本学位点近5年来的情况，统计时间以本报告撰写时间为截止时间，往前推算5年为起始时间。

五、除特别注明的兼职导师外，本报告所涉及的师资均指目前人事关系隶属本单位的专职人员（同一人员原则上不得在不同学术学位点重复填写）。

六、本报告中所涉及的成果（论文、专著、专利、科研奖励、教学成果奖励等）应是署名本单位，且同一人员的同一成果不得在不同学术学位点重复填写。

引进人员在调入本学位点之前署名其他单位所获得的成果不填写、不统计。

七、涉及国家机密的内容一律按国家有关保密规定进行脱密处理后编写。

八、本报告正文使用四号宋体，字数不超过8000字，纸张限用A4。

一、学位授权点基本情况中国矿业大学和中国矿业大学（北京）是教育部直属重点高校、国家“211工程”和“985优势学科创新平台项目”建设高校，教育部与江苏省人民政府、国家安全生产监督管理总局共建高校。