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洛伦兹变换的详细推导演示教学

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洛伦兹变换的推导

洛伦兹变换的推导

* *洛伦兹变换的推导：不妨假设自然界一切物理规律都是平权的，也就是在不同的参考系，所有的物理规律都是一样的现在我们设（ x， y， z， t ）所在坐标系（A 系）静止，（ X， Y， Z， T）所在坐标系（ B 系）速度为u ，且沿 x 轴正向。

在 A 系原点处， x=0 ， B 系中 A 原点的坐标为X=-uT ，即 X+uT=0。

可令（1） .又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k 是与 u 有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k 不再是常数。

）同理， B 系中的原点处有，由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K 。

故有（2） .对于 y ， z， Y，Z 皆与速度无关，可得（3） .（4） .将（ 2 ）代入（ 1 ）可得：，即（5） .（1）（ 2 ）（ 3）（ 4 ）（ 5 ）满足相对性原理，要确定 k 需用光速不变原理。

当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有，。

代入（ 1 ）（ 2 ）式得：，。

两式相乘消去t 和 T 得：.将γ反代入（ 2 ）（ 5 ）式得坐标变换：3．速度变换：同理可得 V （y ）， V （ z）的表达式。

4．尺缩效应：B 系中有一与x 轴平行长 l 的细杆，则由得：，又△t=0 （要同时测量两端的坐标），则，即：，。

5．钟慢效应：由坐标变换的逆变换可知，，故，又* *，（要在同地测量），故。

（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。

）6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：）B 系原点处一光源发出光信号，A 系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。

B 系中光源频率为ν（ b ），波数为N ，B 系的钟测得的时间是△t （ b ），由钟慢效应可知， A △系中的钟测得的时间为（1） .探测器开始接收时刻为，最终时刻为，则（2） .相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即（3） .由以上三式可得：.7．动量表达式：（注：，此时，因为对于动力学质点可选自身为参考系，）牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形式不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。

2020湖南师大附中物理竞赛辅导课件B狭义相对论基本原理 洛仑兹变换 (共16张PPT)

2020湖南师大附中物理竞赛辅导课件B狭义相对论基本原理 洛仑兹变换 (共16张PPT)
根据相对性原理
S → S/的变换为： x/ k(xu)t
由光速不变原理：
原点重合时，从原点发出一个光脉冲，其空间坐标为：
S系: x=c t S/系: x/=ct/ x/x k2(xu)tx (/u/)t
c2t/tk2t/t(cu )c (u )
由此求得
k c 1 c2u2 1u2 c2
6
x x / ut / 1 ( u)2 c
(1
u c2
x
) dt
x u
1
u x c2
/ y
dy dt
dy
(1
u x c2
) dt
(1
y
u x c2
)
/ z
dz dt
dz
(1
u c2
x
) dt
(1
z
u x c2
)
根据相对性原理，把上式中的u换为-u，便得到 从S/系到S系的速度变换式为
10
x
/ x
u
1
u
/ x
3.各个惯性系中的时间、空间量度的基准必须一致； 4.相对论将时间和空间，及它们与物质的运动不可
分割地联系起来了；
7
x xut yyzz t tcu 2x
1u2 c2
1u2 c2
5. 时间和空间的坐标都是实数，变换式中 1 ( u ) 2
不应该出现虚数；
c
u>c 变换无意义 速度有极限
6. 洛仑兹变换与伽利略变换本质不同，但是在低速和 宏观世界范围内洛仑兹变换可以还原为伽利略变换。
那么，什么样的变换能保证所有的物理规律对这 种变换都具有不变的形式, 而又能保证在所有惯性系 中光速不变呢？
3

简单推导洛伦兹变换(狭义相对论)

简单推导洛伦兹变换(狭义相对论)

简单推导洛伦兹变换（狭义相对论）洛伦兹变换是狭义相对论的基本公式，从中我们可以进一步得到尺度缩减、时钟慢度、质能转换等奇妙有趣的推论。

值得一提的是，虽然洛伦兹变换最早是由洛伦兹得到的，但他并没有赋予这组变换方程组以相对论的内涵，他只是编造了一个数学观点来纠正错误的以太时空。

所以作者认为洛伦兹变换的结果应该还是属于爱因斯坦的。

1. 先导知识：波速取决于介质的速度，而不是波源的速度或许你听说过，光即是粒子又是波。

没错，但这个“粒子”已经不是我们日常理解的小微粒了，一定不能将发射一束光想象成手枪发射子弹。

许多困扰可能就来自于此，把光想象成子弹你可能永远也想不明白相对论的奇妙变换。

为了方便思考我们需要把光理解成波，发射光就像在水面触发一个涟漪。

我们先看看机械波，建立起对波的正确看法发射一波和发射一颗子弹有什么区别？根本区别在于，触发机械波实际上并不发射任何物理粒子，而是触发介质的传播振动，所以波速完全取决于介质，而不是波源的速度。

站在地上观察时，跑步时说话不会改变声音传播的速度，蜻蜓高速掠过水面也不会改变波纹扩散的速度，只会造成多普勒效应(仔细观察图1中最外层波纹的速度是否受波源速度影响)。

相反，考虑谈话的例子。

如果你站着不动，风在动，声速就会变。

比如逆风说话，声速会增加，逆风说话，声速会变慢。

仔细理解这里的区别，跑步不会改变波的传播速度，但空气运动会。

图1：一个运动的波源并不会导致波速的变化（观察最外层涟漪的速度）现在我们来考虑光的一个例子一列以速度v前进的火车在经过你的时候突然向前进方向发出了一个闪光，光是电磁波，不同于手枪发射子弹，不管这个光源运动情况怎么样，在你看来，这个闪光就像在水面上激起的一个涟漪，以不变的速度c前行。

（但是这里说的不变速度c还不是相对论说的光速不变，只是说光速与光源速度无关）2.光在真空中是通过什么介质传播的？从上面的分析我们看到波的速度，甚至波的性质似乎完全都取决于传递波的介质，波的行为似乎只与介质有关，完全由介质定义，完全由介质约束，波源在触发波之后好像就没有什么关系了。

[理学]5、Lorentz transformation 的相对论推导

[理学]5、Lorentz transformation 的相对论推导

5、Lorentz transformation 的相对论推导(一)、“Lorentz transformation”的推导方法1 洛仑兹变换反映的是同一研究对象在不同惯性系中运动规律都有相同数学形式。

如图1所示两坐标系的相对取向，该坐标系的x轴永远是重合的。

在这个情况下，首先只考虑x轴上发生的事件。

任何一个这样的事件，对于坐标系K是由横坐标x和时间t来表示，对于坐标系K′ 则由横坐标x′和时间t′来表示。

当给定x和t 时，我们要求出x′和t′。

Z′Zvy′vK′x′y vKx图1沿着正x轴前进的一个光信号按照方程x = ct或x –ct= 0 （1）传播。

由于同一光信号必须以速度c相对于K´传播，因此相对于坐标系K′的传播将由类似的公式x′–ct′= 0 （2）表示。

满足（1）的那些空时点（事件）必须也满足（2），显然这一点是成立的，主要关系(x′–ct′) = λ(x–ct) （3）一般被满足，其中λ表示一个常数；因为，按照（3），（x-ct）等于零时(x′-ct′) 就必然也等于零。

如果我们对沿着负x轴传播的光线应用完全相同的考虑，我们就得到条件x′+ct′ = u (x+ct) （4）方程（3）和（4）相加（或相减），并为方便起见引入常数a和b代换常数λ和u，令a = (λ+u)/2以及b = (λ–u)/2 我们得到方程x′ = ax–bctct′ = act–bx （5）因此，若常数a和b为已知，我们就得到我们的问题的解。

a和b可由下述讨论确定。

对于K´的原点我们永远有x′=0，因此按照（5）的第一个方程 x = bct/a如果我们将K′的原点相对于K的运动的速度称为v，我们就有v = bc/a （6）同一量值v可以从方程式（5）得出，只要我们计算K´的另一点相对于K的速度，或者计算K的一点相对于K′的速度（指向负x轴），总之，我们可以指定v为两坐标系的相对速度。

洛伦兹变换的推导[1]

洛伦兹变换的推导[1]

x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
x vt
x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
7
6
x vt
在v << c的情况下，洛伦兹变换过渡到伽利略变换。
从洛伦兹变换中可以看到，x 和t 都必须是实数， 所以速率v必须满足
v 1 2 0 c
或者
2
vc
我们得到了一个十分重要的结论，这就是一切物 体的运动速度都不能超过真空中的光速 c，或者说 真空中的光速c 是物体运动的极限速度。
洛伦兹变换的推导
1
三、狭义相对论的基本原理 1. 狭义相对论的基本原理 （1）相对性原理：基本物理定律在所有惯性系中 都保持相同形式的数学表达式，一切惯性系都是等 价的； （2）光速不变原理：在一切惯性系中，光在真空 中的传播的速率都等于c，与光源的运动状态无关。 这两条原理非常简明，但意义深远。它们是狭义相 对论的基础，其正确性要由它们所导出的结果和实验 事实来判定。
P
r
x
x
y = y
z = z
3
（2）时间变换 将 x = k( x v t ) 代入 x = k(x + vt ) ，得
x k ( x vt ) kvt
2
解出
1 k 2 t kt ( )x kv
当两个坐标系的原点重合时，t = t = 0。这时，如 果在原点处有一点光源发出一光脉冲，S系和S 系都 将观察到光脉冲以速率c向各个方向传播。
2
2. 洛伦兹变换

41狭义相对论基本原理洛伦兹变换精品PPT课件

41狭义相对论基本原理洛伦兹变换精品PPT课件
x
在 K中Px,y,z,t寻找 对同一客观事件
在 K'中 P x,y,z,t
两个参考系中相应的 坐标值之间的关系
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坐标变换式
x x vt
1
v2 c2
y y
z z
t
t
v c2
x
1
v2 c2
x ' v t'
x
1
v2 c2
y y
或
z z
t
t
v c2
x'
1
v2 c2
上页 下页 返回 退出
t't'2t'1
2l2
c1
v2 c2
2l1
c1
v2 c2
1/
2
上页 下页 返回 退出
上页 下页 返回 退出
如果实验前提正确，应该观察到0.4条的条纹移动。 可是他们没有得到应有结果。后来又在德国、美国、 瑞士多次重复该实验，得到的仍然是 “0结果”。迈 克尔逊在 70 高龄时仍在做这方面的工作。
x x vt
y y z z
伽利略变换
t t
变换无意义
速度有极限
上页 下页 返回 退出
在实际应用时常用相对量的变换
{ { x
=
x
1
ut β2
或
t = t ux c 2
x
=
x + ut 1β 2
t = t +u x c 2
1β 2
1β 2
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思考题：
1. 在某一惯性系中同时同地发生的事件，在所有其他惯性
令
v
c
则

爱因斯坦洛伦兹变换公式推导

爱因斯坦洛伦兹变换公式推导

爱因斯坦洛伦兹变换公式推导
（1）正常相对论
按照正常相对论，任意两个相互运动的观察者之间事件及物体的最终位置可以描述为Lorentz变换。

设原系的坐标（t,x,y,z），相对系的坐标（τ, x’, y’, z’），两者要求关系式
τ=γ(t-vx/c^2) (1)
x‘=γ(x-vt) (2)
其中，γ=(1−v2/c2)−1/2 为Lorentz因子，v被称为相对速度，根据一般变换性质：
原系中物体的能量E0，相对系中为E’，要求能量守恒，即E=E’
两个框架也要求守恒物质数量，即N=N’，分别为原系和相对系中相应刚量的数量。

根据德鲁克斯定理，能够确定相对系中的物体能量，即
E’=γ(E0-vp0) (3)
故有：N’ =γ(N0-vN0) (4)
得出E0的表达式
E0=γE’+γvN’ (5)
（2）拓展相对论
拓展相对论，现在有5个变量t,x,y,z,φ，φ为未知量。

设原系坐标t,x,y,z,φ，相对系坐标为τ,x’,y’,z’,φ’，两者要求关系式
τ=γ(t-v/c^2*φ) （6）
x’=γ(x-vφ) （7）
同样采用德鲁克斯定理，能够确定相对系中的物体能量，即
E’=γ(E0-vφ0) （8）
两个框架要求守恒物质数量，即N=N’，分别为原系和相对系中相应刚量的数量。

根据德鲁克斯定理，能够确定相对系中的物体能量，即
E’=γ(E0-vφ0) （9）
故有：N’ =γ(N0-vN0) （10）
得出E0的表达式
E0=γE’+γv(N’+φ)（11）
由此，可以得出拓展相对论的爱因斯坦洛伦兹变换公式。

洛仑兹变换PPT学习教案

洛仑兹变换PPT学习教案

第9页/共87页
中 国 科 学 技 术 大 学
“以太”理论及其困难
杨
维
纮
“以太”的提出，是为了解释光在真空 中以及 高速的 空间中 都能传 播这一 事实。 当时， 认为光 必须有 一个载 体才能 传播， 而这种 载体当 光在真 空中传 播时更 显得必 要，为 了解释 真空不 空，笛 卡儿（1596~1650）于 十七世 纪第一 个提出 了“以 太”的 假说、 并把“ 以太” 描述为 ：以太 是充满 整个空 间的一 种物质 ，真空 中没有 空气， 但却有 这种无 所不入 的“以 太”。
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中 国 科 学 技
光传播的射击理论的困难
术
大
学
杨
维
纮
2. 双星观测
双星轨道中运动的半周期是
其中T 是双星轨道运动的半周期。设 L 是地球到双星的距离。
T1 T T2 T
L cv
L cv
2vL c2 v2
2vL c2
第8页/共87页
中 国 科 学 技
光传播的射击理论的困难
第10页/共87页
中 国 科 学 技 术 大 学
“的工作使这两种假想的介质统 一起来 了。他 指出光 是传播 的电磁 波，并 建立了 一个优 美的数 学理论 ，把所 有涉及 光、电 和磁的 现象结 合在一 起。光 以太也 就是电 磁以太 。这时 “以太 ”的存 在似乎 无可置 疑了。 但是， 如果用 描写气 体、固 体和液 体这类 常见介 质的办 法来描 写以太 那是不 可能的 。这些 都导致 了难以 解决的 矛盾。 不管对 于光以 太还是 电磁以 太，这 些矛盾 都是显 而易见 的。
第6页/共87页
中 国 科 学 技
光传播的射击理论的困难

洛伦兹坐标变换式的推导.

洛伦兹坐标变换式的推导.

S
y y' u S'
r
O z z' O'
(x,y,z) (x',y',z') P
r
x (x')
x 2 y 2 z 2 c 2t 2 0
对惯性系 S' ，根据光速不变原理，有
x' 2 y' 2 z' 2 c 2t' 2 0
在两个参考系中两 者形式完全相同!
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
2 1
1 β
2
S
假设
t 0
事件1先与事件2发生
S t' 0
1. 两独立事件间的时序
t2 t1 u x2 x1 c 0 2 t2 t1 u x2 x1 c 0 t2 t1 u x2 x1 c 2 0
2 1
1 β 2
S O
3. 因果律事件
v
S
子弹传递速度 (平均速度)
x2 x1 v t2 t1
x1 t1
x2 x t2
t' 0
S
t2 t1 [1 uv t' t ' t '
2 1
c2 ]
1 β 2
v c uc
uv c 2 1
因果律事件间的时序不会颠倒
例如测量空间和时间ss事件1事件21111tzyx1111tzyx2222tzyx2222tzyx时间间隔空间间隔12xyzxyzxyz??????121212xyzxyzxyz??????121212ttt??12ttt??21ytuxx???y?zz?221cxutt???xuzhongfengxianjiaotonguniversity201030universityphysics2当uc洛伦兹变换简化为伽利略变换式utxx?221cu?utxx?在低速情况下相对论时空观可由绝对时空观替代tt3光速是各种物体运动的一个极限速度221cucu??虚数洛伦兹变换失去意义任何物体的运动都不会超过光速如图所示棒ab的b端位于x轴上x0处其与x轴的夹角为

新的变换关系-洛伦兹变换

新的变换关系-洛伦兹变换

第十四章相对论基础
§14.4 新的变换关系—洛伦兹变换
《大学物理》校级精品课程教学团队
x
•一、洛伦兹坐标变换式
•爱因斯坦认识到时间和长度的概念没有绝对意义，他相对性原理和光速不变原理出发
v
-可得
ï
ïì--=21'vt x x u
ï
ï
ïì
-=1'u u x
洛伦兹速度变换公式如果
或
('u
)
u和
三、洛伦兹速度变换的意义
• 1 解决了电磁学与相对性原理的矛盾：爱因斯坦证明了在各个惯性系中，麦克斯韦方程组的形式相同。

• 2 解决了光速不变与相对性原理的矛盾：
• 3 相对性原理及其时空观是狭义相对论的思想实质，洛伦兹变换是其表现形式，通过光速不变原理将二者联系起来。

尽管在爱因斯坦之前一年，洛伦兹和庞加莱已经推出了洛伦兹变换，和长度收缩等假说，但是他们是从以太存在的电子论的角度得出的，所以没有得出狭义相对论。

四、洛伦兹变换和伽利略变换间的关系
•从洛伦兹变换可以看到，当两个惯性系之
间的相对速度
例两个婴儿A
同时出生。

若一宇宙飞船沿两医院的连线方向由飞行时，测得
员认为A、B
教材P161: 14-11。

大学课件-近代物理学-洛伦兹变换

大学课件-近代物理学-洛伦兹变换
1.3 洛伦兹变换
1
目标
了解洛伦兹变换的推导过程, 并能在相对速度 为u的两个惯性参考系中所测量的时间和空间 分隔的两个事件应用洛伦兹变换。
对于惯性参考系, 明确在低速运动下, 伽利略 变换是近似正确的, 而洛伦兹变换适合于任意 物理上可能的速度。
基于洛伦兹变换能推导出同时性的相对性原 理、时间延缓和长度收缩。
dt dt
dz / dt dt dt
1 u c2 dx
vz /
dt 1 u2 c2
vz
1
uv x c2
1 u2 c2
35
速度变换法则
相对论速度变换 u, v c
vx
vx 1
u
uv x c2
vy
vy
1
uv x c2
vz
vz
1
uv x c2
1 u2 c2 1 u2 c2
伽利略速度变换
x' =(x的运动长度)-ut' =x/γ-ut'
y y S S
-u ut '
O O'
又 x'= γ(x-ut)
P(x, y, z,t)
(x, y, z, t)
x x
t
(t
u c2
x)
z z
10
洛伦兹变换公式
x x ut
y
y
z z
t
(t
u c2
x)
11
洛伦兹逆变换
从S'系的时空向S系的时空变换的式子:
(12 6) 104 (0.5 3108 ) (1 2) 104 1 (1/ 2)2
5.2104 m
16
提纲
1.3.1 洛伦兹变换的推导 1.3.2 洛伦兹变换相对论时空效应

§11-2洛伦兹变换

§11-2洛伦兹变换
§11-2 洛伦兹变换 一、狭义相对论的基本假设 二、洛伦兹变换 三、洛伦兹变换蕴含的时空观 四、洛仑兹速度变换公式
1
一、狭义相对论的基本假设
1.相对性原理
在所有惯性系中物理规律(力、热、光、 电、…)都是一样的.
力学的相对性原理的推广. 2.光速不变原理 在所有惯性系测量真空中的光速都是c. 光速不满足伽俐略速度变换式,抛弃了绝对 时空观。
令
x2-x1 u' 信号速度 t2-t1
即事件1发生后，发出一信号，经(t2 - t1)时间传 播(x2 - x1)距离到达2处，触发事件2发生.
16
因果关系的绝对性
因为u < c， u ´ c ， 由
t1 (t 2 t1 )[1 t2

c
u' ]
有 t 2 - t 1 和 t2 - t1 同号，S中和S中时序相同。 结论：有因果关系的事件，时序不会颠倒，因果 关系不变.
15
因果关系的绝对性
若两事件有因果关系，时序是不会颠倒的。
S中：若t2 - t1 > 0，即事件1---因(先), 2---果(后)
t1 [( t 2 t1 ) t2

c ( x2 x1 ) (t2 t1 )[1 ] c (t2 t1 )
( x2 x1 )]
14
举例
从飞船上看
若飞船的速度u = 0.6c可得t 2 - t 1 =0， 甲乙同时出生不分哥弟 若u = 0.8c可得t 2 - t 1 <0，甲后乙先 甲---弟 乙---哥 时序颠倒了 由相对论变换，会不会得到如此情况: 问题1 子弹先打到靶上而后出枪口? 问题2 儿子先出生而爸爸后出生?

13. 2 洛伦兹变换

13. 2 洛伦兹变换
§13. 2 洛伦兹变换 一、洛伦兹变换式 1 u 1 c
推导过程略 y
S
2
y
u
P x x
O
S
O
x ( x ut ) (13-23) y=y z=z ux t (t 2 ) (13-25)
c
z
z O、O重合时， t=t=0
z1 z1
z 2 z2
“2”“1” ?
例1．在S 惯性系中观测到相距x=9108m的两地点相隔t=5s 发 生两事件，而在相对S系沿x方向匀速运动的S系中发现此两事件 恰好发生在同一地点。试求在S系中此两事件的时间间隔。
x = 9108m t =5 解： S：
S： x=0，
2
4) 物体运动速度的极限为 c 。 u<c ux u t (t 2 0 =1 5) 当u<<c时， c c x=xut y =y z =z t =t 洛伦兹变换 伽利略变换 经典力学是相对论力学的极限情况，仅在u<<c时成立。 uc时，用相对论； u<<c时，可以用经典理论。
带撇与不带撇互换、负号与正号互换
即：同一个研究“对象”被两个参 考系的观察者研究。 “二看一”！ 若不是同一事件，则无此关系。
1 说明： 1) 洛伦兹变换是同一事件在两个惯性 u c 1 系中的两组时空坐标间的变换方程。
“二看一”！ x ( x ut ) 2) 各惯性系的时间、空间度量基准必须一致。 y=y 各惯性系中的观察者、钟、尺必须相 对各自惯性系保持静止。 3) 时间、空间和物质运动密不可分！
A
x
A
B A
S：x=0 t=t=? 1 v x ( t ) t = t 2 c 1 2

洛伦兹变换的严格推导

洛伦兹变换的严格推导

洛仑兹变换的严格推导此推导过程从狭义相对性原理及光速不变原理出发，进行严格推导。

设事件P在S系中坐标为()t z yx,,,,在'S系中坐标为()',',','t zyx，'S系以速度u沿'S系的x轴正方向匀速运动。

设真空中光速为c。

洛仑兹变换推导过程如下：因洛仑兹变换为伽利略变换中速度u接近光速c时的数学形式，当速度u 远远小于光速c时洛仑兹变换应能退化为伽利略变换。

所以参照伽利略变换，洛仑兹变换形式可设为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=gfedbagtfzzetdyybtaxxλλλλλλ'''⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=gfedbatgzfzt eydyt bxax''''''''''''''''''λλλλλλ1.讨论',xx之间的数学关系：当'',0utxx-==时，有：ba t buta'''')'('0λλ+-=，即baa t btua'''''')('0λλλ+-='t为齐次型aaa t btuaba'''''')('0,''λλλλλ+-==∴若等式成立，有：aaabubua'''',')('λλ-=--=-u-的正负性与aab'''λ-无关且有意义1''==∴baλλ则''bua-=-，有：''''utaxax+=当utxx==,0'时，有：ba btutaλλ+=)(0，即baa bttauλλλ+=t为齐次型aaa bttaubaλλλλλ+==∴0,若等式成立，有：aaabubauλλ-=-=,u 的正负性与aabλ-无关且有意义 1==∴b a λλ则b au -=，有：aut ax x -='。

详细图解无空间转动固有洛伦兹变换

详细图解无空间转动固有洛伦兹变换
详细图解无空间转动固有洛伦兹变换
邓晓明
2015 年 11 月 9 日 engineerdxm@ 由于洛伦兹变换在现代物理学中有至高无上的理论地位 （笔者认为， 不适用于力学领域 [1]），所以花多少时间和笔墨来对其在不同侧面进行了解和展示都不过分。笔者查阅了现 有文献或教课书中常用的无空间转动固有洛伦兹变换的推导方法[2][3][4]，感觉过于简述， 遗漏了许多细节， 本篇将详细地补全推导步骤及对应的图示。 事实上这种推导方法并不严格 （严格的推导方法请参阅笔者之前的文章[5]），然而借助几何直观，将有助于加深对洛伦 兹变换的理解。 参见图 1，所谓“无空间转动”是指在三维空间中两惯性系 S 与 S 以任意相对速度常矢
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a21 sin cos cos2 cos i cos sin sin cos sin 2
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a22 sin 2 cos2 cos i cos2 sin 2 sin 2 1 a23 sin cos cos i sin sin sin cos a24 sin cos sin i i 2 a31 sin cos i cos cos cos sin cos a32 sin cos i cos sin cos sin sin
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与速度常矢 v 方向一致，得到类似于特殊洛伦兹变换条件； （2）在四维复欧氏空间中，进行特殊洛伦兹虚角旋转，最终得到无空间转动的固有洛伦兹 变换。 在此需要特别注意： 如果两个惯性系以相同的角度旋转 （类似于动作协调一致的双人跳 水表演时的情形），即彼此没有相对转动，那么这种情况也属于“无空间转动”。 参见图 1，通过几何关系，我们容易确定：
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第三节 洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。

基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。

三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。

1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。

对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。

在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，x '=-v t '，即x '+v t '=0。

因此x =x '+v t '。

在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。

同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。

2. 由光速不变原理可求出常数k设光信号在S 系和S '系的原点重合的瞬时从重合点沿x 轴前进，那么在任一瞬时t （或t '），光信号到达点在S 系和S '系中的坐标分别是：x =c t , x '=c t '，则：t t c x x '='2()()()()t v t c vt ct k t v x vt x k '+'-='+'-=22()222v c t t k -'=由由此此得得到到()22211c v v c c k -=-=。

这样，就得到()21c v vt x x --='，()21c v t v x x -'+'=。

由上面二式，消去x '得到()221c v c vx t t --='；若消去x 得到()221c v c x v t t -'+'=，综合以上结果，就得到 洛仑兹变换， 或 洛仑兹反变换()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-+'=22211c v c x v t t z z y y c v vt x x可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。

3. 讨论（1）可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。

故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象，故它有一定的适用范围。

（2）当|v /c |<<1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情形。

故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形—低速极限。

四、相对论速度变换公式洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。

设物体在S 、S '系中的的速度分别为()z yxu uu ,,，()z y x u u u ''',,，根据洛仑兹变换式可得：()()()()()222111c v dtv u c v dt v dt dx c v vdtdx x d x --=--=--='()()()2222111c v c vu dt c v c vdx dt t d x --=--='因此：()()()()222111c v c vu dt c v dt v u t d x d x x ----=''，即：21c vu vu u x x x --='因y '=y , z '=z ，有d y '=d y , d z '=d z 则()()2211c v c vu dt dyt d y d x --=''，即()2211c vu c v u u x y y --='。

同理：()2211c vu c v u u x z z --='因此得相对论的速度变换公式：21c vu vu u x x x --='、()2211c vu c v u u x y y --='、()2211c vu c v u u x z z --='其逆变换为：21c u v v u u x x x '++'=、()2211c u v c v u u x y y '+-'=、()2211c u v c v u u x z z '+-'=。

讨论（1）当速度u 、v 远小于光速c 时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式vu u x x -='。

（2）利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c 。

证明：设S '系中观察者测得沿x ' 方向传播的一光信号的光速为c ，在S 系中的观察者测得该光信号的速度为：c c vc v c u x =++=21，即光信号在S 系和S '系中都相同。

第四节 狭义相对论的时空观一、 一、 同时的相对性1. 概念狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。

即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。

例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。

如图设S '系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯P 。

当灯发出闪光时：S '系的观察者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此同时到达A 、B 两端；S 系（地面上）的观察者认为，A 与光相向运动（v 、c 反向），B 与光同向运动，所以光先到达A 再到达B ，不同时到达。

结论：同时性与参考系有关—这就是同时的相对性。

假设两个事件P 1和P 2，在S 系和S '系中测得其时空坐标为：()()()()2222111122221111t z y x t z y x S t z y x t z y x S '''''''''，，，，，，，：，，，，，，，：由洛伦兹变换得：()()222222211111c v c x v t t c v c vx t t --='--='，在S 系和S '系中测得的时间间隔为()12t t '-'和（t 2-t 1），它们之间的关系为：()()()221212121c v c x x v t t t t ----='-'可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。

2. 讨论（1）在S 系中同时发生：t 2=t 1，但在不同地点发生，12x x ≠，则有：()()2221121c v c x x v t t --='-'这就是同时的相对性。

（2）在S 系中同时发生：t 2=t 1，而且在相同地点发生，12x x =，则有：()()()1222121212101t t c v c v x x t t t t t '='=----='-'='∆，()()()12212121201x x c v t t v x x x x '='=----='-'，即在S 系中同时同地点发生的两个事件，在S ’系中也同时同地点发生。

（3）事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后假设在S 系中，t 时刻在x 处的质点经过t ∆时间后到达x x ∆+处，则由：()221cv c v x t t --='得到()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=--∆=-∆-∆='∆t x u c v c v u t c v c v x t t 1112222因为v ≯c ，u ≯c ，所以Δt '与Δt 同号。

即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。

（4）上述情况是相对的。

同理在S ’系中不同地点同时发生的两个事件，在S系看来同样也是不同时的。

（5）当c v 〈〈时，t t ∆≈'∆，回到牛顿力学。

二、长度收缩（洛伦兹收缩）假设一刚性棒A B 静止于S ’系中12x x l '-'='，在S 系中同时()t t t ==21测量得12x x l -=。

由洛伦兹坐标变换式：()()2222211111c v vt x x c v vt x x --='--='，得：()()()()212212121211c v x x c v t t v x x x x --=----='-'即()21c v l l -'=1. 固有长度观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用l 0表示。

即()201c v l l -=2. 洛伦兹收缩（长度缩短）观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的()21c v -倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。

讨论：（1）长度缩短效应具有相对性。

若在S 系中有一静止物体，那么在S '系中观察者将同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短，同理有()21c v l l -='即看人家运动着的尺子变短了。

（2）当v <<c 时，有l l '≈三、时间膨胀（时间延缓）由洛伦兹变换得()()()221212121c v c x x v t t t t -'-'+'-'=-，事件P 1、P 2在S 系中的时间间隔为12t t t -=∆，事件P 1、P 2在S ’系中的时间间隔为12t t t '-'='∆。