单色光波场的一般数学描述

§2—2 单色光波及其描述一、什么是单色光波波动的特征●波，振动的传播。

振动在空间的传播形成物理量在空间的分布，形成波场。

间的分布形成波场●波动的最基本特征是具有周期性光波场具有时间和空间两重周期性•波场中任一点：具有振动的周期性，即时间周期性，的周期性即时间周期性用振动的周期T描述。

•任一时刻：波场具有空间分布的周期性，即物理量在空间作周期分布，用波长λ描述。

单色光波可用下列波函数表示[]⎪⎨⎧-=)(cos )(0p t p E E ϕω 具有下述性质的波场为定态波场：[]⎪⎩-=)(cos )(0p t p H H ϕω•（1）空间各点的振动是同频率的简谐振动；•（2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化，在空间形成一个稳定的振幅分布定的振幅分布；•（3）初始相位的空间分布与时间无关；•（4）光波的波列在空间上无线延伸光源发光时间无限长；（4）光波的波列在空间上无线延伸，光源发光时间无限长；•满足上述要求的光波应当充满全空间，是无限长的单色波列。

但当波列的持续时间比其扰动周期长得多时，可将其当作无限长波列处理。

任何复杂的非单色波都可以分解为系列单色波的叠加•任何复杂的非单色波都可以分解为一系列单色波的叠加。

光波是电磁波（矢量波），电场分量、磁场分量、波的传播方向即波矢等物理量，都是矢量。

cos (t E t E ω-= 电场分量的振幅磁场分[])()),(0p p p ϕ振幅、磁场分量的振幅、波长、频率、速度等物理量是标量。

二、有关光波的几个概念⎧⎤⎡z 一列沿z轴正向传播的平面简谐电磁波可表示为⎪⎪⎪⎨⎤⎡-⎥⎦⎢⎣+-=E z v t p E E ϕω)(cos )(0 ⎪⎩⎥⎦⎢⎣+=M v t p H H ϕω)(cos )(0 E 、H 、V 三者相互垂直三者相互垂直，，构成右手系成右手系。

光波是横波光波是横波，，有两个偏振态有两个偏振态。

电场和磁场的振幅都是常并且相互成比例。

2015/11/18§2‐1 二维光场分析1. 光振动的复振幅表示单色光场中某点在某一时刻的光振动可表示成：()()(),cos 2πνφu P t A P t P =-⎡⎤⎣⎦(){}[2πνφ()],Re ()j t P u P t A P e--=用复指数函数表示上式：{}φ()2πνRe ()j P j tA P ee-=2015/11/18令-—复振幅()()()exp φU P A P j P =⎡⎤⎣⎦复振幅包含了点P处光振动的振幅和初相位，——是位置坐标的复值函数，与时间无关——定态光场(){}φ()2πν,=Re ()j P j tu P t A P ee-00注：平方根二项式展开1 112b b +=+-2015/11/18)]cos cos (exp[),(βαy x jk A y x U +=线性位相因子和球面波表达式类似，平面波复振幅可分成与坐标有关和与坐标无关的两部分。

Cy x =+βαcos cos 等相位线方程为可见，等位相线是一些平行直线。

2015/11/18π2yx-虚线表示相位值相差的一组波面与平面的交线，——等相位线.2015/11/18如何理解空间频率、空间周期？2015/11/18若假设波矢k位于平面0x z exp[cos ]A jkx α=)]cos cos (exp[),(βαy x jk A y x U +=——一列沿波矢k方向传播的平面波2015/11/18空间频率与平面波的传播方向有关，——波矢量与轴的夹角越大，则λ在轴上的投影就越大，即在某方向上的空间频率就越小，——空间频率的最大值是波长的倒数。

2015/11/18尽管各方向的空间频率不同——沿波的传播方向波场的空间周期恒为。

空间频率恒为λλ/1=f。

§2—2 单色光波及其描述一,什么是单色光波波动的特征 波,振动的传播.振动在空间的传播形成物理量在空 间的分布,形成波场. 波动的最基本特征是具有周期性光波场具有时间和空间两重周期性 波场中任一点:具有振动 的周期性,即时间周期 性,用振动的周期T描述. 任一时刻:波场具有空间 分布的周期性,即物理量 在空间作周期分布,用波 长λ描述.单色光波可用下列波函数表示 v v E = E0 ( p ) cos[ωt ( p )] v v H = H 0 ( p ) cos[ωt ( p )] 具有下述性质的波场为定态波场: (1)空间各点的振动是同频率的简谐振动; (2)波场中各点扰动的振幅不随时间变化,在空间形成一个稳 定的振幅分布; (3)初始相位的空间分布与时间无关; (4)光波的波列在空间上无线延伸,光源发光时间无限长; 满足上述要求的光波应当充满全空间,是无限长的单色波列. 但当波列的持续时间比其扰动周期长得多时,可将其当作无限 长波列处理. 任何复杂的非单色波都可以分解为一系列单色波的叠加.光波是电磁波(矢量波),电场分量,磁场分 量,波的传播方向即波矢等物理量,都是矢量.v v E ( p , t ) = E 0 ( p ) cos [ω t ( p ) ]电场分量的 振幅,磁场分 量的振幅,波 长,频率,速 度等物理量是 标量.二,有关光波的几个概念一列沿z轴正向传播的平面简谐电磁波可表示为v v z E = E 0 ( p ) cos ω (t ) + E v v v H = H ( p ) cos ω (t z ) + 0 M v E,H,V三者相互垂直,构 成右手系.光波是横波, 有两个偏振态. 电场和磁场的振幅都是常 数,并且相互成比例. E与B同相位.平面单色光波示意图2π时间内的频率,圆频 率(角频率) 2π 长 度 内 的 频 率 , 角波数,波矢 波的相位,与时间和空 间相关ω = 2πν = 2πc λk = 2π / λxr r1r K ( P , t ) = ω t kx + 0振动取决于相位,所以振动 的传播就是相位的传播. yr r2 z波矢的方向角表示 在数学中常用方向余弦表示矢量的方向,即用矢量与坐标轴间 的夹角表示 在光学中习惯上采用波矢与平面间的夹角表示矢量的方向Xv k0 θ2βYθ3 αθ1γZr r r r k = k (cos αex + cos βe y + cos γez ) r r r r k = k (sin θ1ex + sin θ 2 e y + sin θ 3ez )波面:波场空间中相位相同的曲面构成光波的等相位 面,也称波阵面. 波前:光波场中的任一曲面,如物平面,像平面,透镜 平面,以及波场中任意被考察的平面. 等幅面:振幅相等的空间点构成的曲面. 波线:能量传播的路径. 在各向同性介质中,波线与波面垂直,与波矢的方向相 同;几何光学中,波矢就是光线. 共轭波:复振幅互为共轭的波. 互为共轭的波,其传播方向应该是相关联的.一般来 说,共轭波是原波的逆行波,但是若考虑某一平面的复 振幅分布,则产生其共轭复振幅的共轭波有两个.三,平面单色波和球面单色波的物理描述可根据波面的形状将光波分类:平面波,球面波,柱面波等. 位相相同的空间点应满足下述方程(相同时刻): ( p ) = Const .波场空间中任意一点P的位置矢量场点:r r r P ( x , y , z ) = xe x + ye y + z e z波线波面平面波柱面波球面波1. 平面波:波面是平面 振幅为常数 空间相位为直角坐标的线性函数r r ( p) = k r + 0 = k x x + k y y + k z z + 0波面r r k r = Const.满足上式的点构成与波矢垂直的一系列平面波场中一点(x,y,z)处的相位为 ( x, y, z ) = k ( x sin θ 1 + y sin θ 2 + z sin θ 2 ) + 0通常取一平面在z=0处,则该平面上的相位分布为 ( x, y,0) = k ( x sin θ 1 + y sin θ 2 ) + 0XOY平面OZ如果平面波沿z向传播,则其波面垂直于z轴.轴上某 一点z处的波面在t时刻的位相为 ( z , t ) = kz ωt + 0在下一时刻,t ′ = t + dtz ′ = z + dz设该波面的位置为kz ωt + 0 = k ( z + dz ) ω (t + dt ) + 0kdz = ωdt相速度 (沿+z向传播)dz ω 2πν = = = νλ v= dt k 2π λ如果波面的表达式为 (t , z ) = kz ωt + 0其相速度为dz ω v= = = νλ dt k向-z方向传播2. 球面波:波面是球面波面为球面,从点源发出或向点源汇聚; 振幅沿传播方向正比于1/r. x K P(x,y,z)Eo (r ) = A0 / rO∑0z ∑如果波源为O(0,0,0),波面为 ( p ) = kr ωt + 0 kr ωt + 0 = k (r + dr ) ω (t + dr ) + 0dr ω v= = dt k从原点发出的发散球面波如果波面为 ( p) = kr ωt + 0向原点汇聚的球面波ω dr = v= dt k(0,0,z0)发出的球面波在(x,y,0)平面的振动为E+ ( x, y,0) =A0 x + y + z02 2 2cos[k x 2 + y 2 + z0 ωt + 0 ]2(0,0,-z0)出发出的球面波在(x,y,0)平面上的振动亦为 A0 2 2 2 E ( x , y ,0 ) = cos[k x + y + z0 ωt + 0 ] 2 2 2 x + y + z0向(0,0,z0)点汇聚的球面波为E *+ ( x, y,0) = A0 x + y + z02 2 2cos[ k x + y + z0 ωt + 0 ]2 2 2向(0,0,-z0)点汇聚的球面波为E * ( x, y,0) = A0 x + y + z02 2 2cos[k x 2 + y 2 + z0 ωt + 0 ]2四.光波的复振幅描述可以用复指数的实部或虚部表示余弦或正弦函数,所 以可以用复数来描述光波的振动r r i [ ω t ( p )] E ( p , t ) = E 0 ( p )e上式中的实部是正态光场的波函数,复数波函数也可 以等价地来描述单色光波.同样单色光波的标量波函 数也可写成复数形式~ i[ωt ( p )] i ( p ) i ωt E ( p , t ) = E0 ( p ) e = E0 ( p ) e e定态光波的频率都是相等的,可以不写在表达式中. 定态部分,即与时间无关部分为,定义为复振幅~ i ( p ) E ( p ) = E0 ( p ) e复振幅包含了振幅和位相,直接表示了定态光波在空间P点 的振动,或者说复振幅表示了波在空间的分布情况. 单色平面光波的复振幅rr ~ E ( p) = E0 ( p )e i ( k r 0 ) = E0 ei [k ( x cosα + y cos β + z cos γ ) 0 ]单色球面光波的复振幅A0 i ( krrr 0 ) ~ E ( p) = e r光强的复振幅表示能流密度(即坡印廷矢量)的瞬时值如光波做简谐振动,E0为简谐振动的振幅,则有r r r r 2 n r2 S = S = E × H = ε r ε 0 μ r μ0 | E | = E cμ0r2 1 2 E = E0 2即r I= S =I = E02n 2 2 E0 ∝ nE0 2cμ 0在均匀介质中,通常取 光波场在P点的强度~ ~* I ( P) = E ( p) = E ( p) E ( p)2 0五,波的位相与光程 平面波,在一维情况下,位相为 ( p ) = kx + 0kx = 2πk =2πλ0nx =2πλ=2π nλ0λ0nsns为介质中波的光程位相由光程决定 即同一时刻,空间中光程相同的点,其位相也相同, 振动也相同. 波在不同媒质中,光程改变,产生折射,方向和波面 都会发生改变.棱镜,透镜的原理都可以从光程的变 化进行解释.反射和折射时波面的变化n1n2光波经过棱镜和透镜时波面的变化。