专题三第1讲基本不等式与线性规划

高三数学线性规划与基本不等式苏教版（文）【本讲教育信息】一. 教学内容：线性规划与基本不等式二. 教学要求：1、能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

2、能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决（一般的最优整数解问题不作要求）。

32a b+（a ≥0，b ≥0）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）。

三. 教学重点、难点：教学重点：基本不等式与线性规划的几何意义教学难点：线性规划的几何意义与基本不等式的使用条件，以及变形使用基本不等式。

四. 知识归纳： 1、线性规划：（1）二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域。

（虚线表示区域不包括边界直线）。

（2）目标函数，线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域，最优解。

（3）用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）；②设t ＝0，画出直线0l ；③观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解0011(,),(,)A x y B x y ； ④最后求得目标函数的最大值及最小值。

（4）求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤： ①寻找线性约束条件，线性目标函数；②由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； ③在可行域内求目标函数的最优解。

2、重要不等式：（1）如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a （2）定理：如果a ，b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 3、公式的等价变形：（1）ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）2。

2019-2020年高考数学二轮复习专题1 高考客观题常考知识第3讲不等式与线性规划理不等式的解法1.设f(x)=则不等式f(x)<2的解集为( B )(A)(,+∞) (B)(-∞,1)∪[2,)(C)(1,2]∪(,+∞) (D)(1,)解析:原不等式等价于或即或解得2≤x<或x<1.故选B.2.(xx山东卷)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,+∞)解析:f(-x)==,由f(-x)=-f(x)得=-,即1-a·2x=-2x+a,化简得a·(1+2x)=1+2x,所以a=1.f(x)=.由f(x)>3,得0<x<1,故选C.3.(xx陕西西安市模拟)关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=12,则实数a的值等于.解析:因为关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),所以x1+x2=2a,x1·x2=-3a2,又x2-x1=12,(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1·x2,所以144=4a2+12a2=16a2,解得a=±3,因为a<0,所以a=-3.答案:-3简单的线性规划问题4.(xx北京卷)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为( D )(A)0 (B)1 (C) (D)2解析:由x,y的约束条件可画出可行域(如图所示),其中A（,）,B(0,1),易知直线x+2y-z=0经过点B(0,1)时,z取最大值2,故选D.5.(xx浙江温州市第二次适应测试)若实数x,y满足不等式组且z=y-2x的最小值等于-2,则实数m的值等于( A )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由z=y-2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为-2, 即y-2x=-2,由解得即A(1,0),点A也在直线x+y+m=0上,则m=-1.故选A.6.(xx贵州遵义市第二次联考)若则目标函数z=的取值范围是( A )(A)[2,5] (B)[1,5] (C)[,2] (D)[2,6]解析:z==1+2,可理解为求斜率的最值问题,画出可行域如图阴影部分,可知k=在(1,2)点处最大,最大为2;在(2,1)点处最小,最小为,所以z的取值范围为[2,5].故选A.7.(xx河南开封市模拟)设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.解析:作出区域D的图象,联系指数函数y=a x的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点.则a的取值范围是1<a≤3.答案:(1,3]基本不等式的应用8.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1),又点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,所以m+n=1,所以+=(m+n)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当m=n=时取等号.故选B.9.(xx河南郑州市第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为( C )(A)32 (B)32 (C)64 (D)64解析:设该三棱锥的高为h,由三视图知,两式相减并整理得x2+y2=128.又因为xy≤==64(仅当x=y时取等号).10.(xx广东深圳市第一次调研考试)已知向量a=(-1,1),b=(1,)(x>0,y>0),若a⊥b,则x+4y的最小值为.解析:由a⊥b得-1+=0,+=1,(x+4y)·(+)=5++≥2+5=9.（当且仅当=时取等号）答案:9一、选择题1.(xx四川资阳市三模)已知loa<lob,则下列不等式一定成立的是( A )(A)（）a<()b (B)>(C)ln(a-b)>0 (D)3a-b<1解析:因为y=lox是定义域上的减函数,且loa<lob,所以a>b>0.又因为y=()x是定义域R上的减函数,所以()a<()b;又因为y=x b在(0,+∞)上是增函数,所以（）b<（）b;所以（）a<（）b,选项A正确.2.(xx湖南卷)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为( A )(A)-7 (B)-1 (C)1 (D)2解析:画出可行域如图所示.当直线y=3x-z过点C(-2,1)时,z取最小值,故z min=3×(-2)-1=-7.故选A.3.(xx广西柳州市、北海市、钦州市1月份模拟)设变量x,y满足约束条件则z=2x×的最小值为( B )(A) (B) (C) (D)解析:可得z=2x-2y,设m=x-2y,不等式组表示的平面区域如图阴影部分,平移直线l:y=x,由图象可知直线l经过点A时,其截距最大,m最小,z最小,解方程组得A(2,2),则z最小=.4.(xx江西南昌市第一次模拟)已知实数x,y满足若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)-解析:作出可行域如图,根据目标函数的几何意义可转化为直线y=-2x+z的截距,可知在N点z取最小值,在M点z取最大值.因为N(m-1,m),M(4-m,m),所以z M-z N=2(4-m)+m-2(m-1)-m=10-4m=2,所以m=2.5.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)已知集合{(x,y)|}表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则对应的区域为△AOB.由解得即B(4,-4).由解得即A（,）.直线2x+y-4=0与x轴的交点坐标为(2,0),则△OAB的面积S=×2×+×2×4=.点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=×π×()2=,由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=.故选D.6.(xx陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( D )甲乙原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得x,y满足不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.故选D.7.设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( C )(A)q=r<p (B)q=r>p(C)p=r<q (D)p=r>q解析:由题意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,因为0<a<b,所以>,所以ln >ln ,所以p=r<q.故选C.8.(xx四川南充市第一次高考适应性考试)若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)满足约束条件且最大值为40,则+的最小值为( B )(A) (B) (C)1 (D)4解析:不等式表示的平面区域为如图阴影部分,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线2x-y-6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而+=(+)=+(+)≥+1=.故选B.9.(xx山东卷)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时, a2+b2的最小值为( B )(A)5 (B)4 (C) (D)2解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2.法一将2a+b=2两边分别平方得4a2+b2+4ab=20,而4ab=2×a×2b≤a2+4b2,当且仅当a=2b, 即a=,b=时取等号.所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b2≥4,即a2+b2的最小值为4.故选B.法二将2a+b=2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,故其最小值为坐标原点到直线2a+b=2距离的平方,即()2=4.故选B.10.(xx重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为( B )(A)-3 (B)1 (C) (D)3解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则m>-1.由解得即A(1-m,1+m).由解得即B(-m,+m).因为S△ABC=S△ADC-S△BDC=(2+2m)[(1+m)-(+m)]=(m+1)2=,所以m=1或m=-3(舍去),故选B.11.(xx四川宜宾市二诊)已知集合A={x∈R|x4+mx-2=0},满足a∈A的所有点M(a,)均在直线y=x的同侧,则实数m的取值范围是( A )(A)(-∞,-)∪(,+∞)(B)(-,-1)∪(1,)(C)(-5,-)∪(,6)(D)(-∞,-6)∪(6,+∞)解析:因为集合A={x∈R|x4+mx-2=0},所以方程的根显然x≠0,原方程等价于x3+m=,原方程的实根是曲线y=x3+m与曲线y=的交点的横坐标,而曲线y=x3+m是由曲线y=x3向上或向下平移|m|个单位而得到的,若交点(x i,)(i=1,2)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与y=交点为(-,-),(,);所以结合图象可得或解得m>或m<-.故选A.12.已知函数f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是( A )(A)[,] (B)[0,] (C)[,] (D)[0,]解析:因为f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),且f′(x)=1+cos x≥0,所以函数f(x)为奇函数,且在R上是增函数.所以由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),所以y2-2y+3≤-x2+4x-1,即(x-2)2+(y-1)2≤1,其表示圆(x-2)2+(y-1)2=1及其内部.表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率.结合图形分析可知,直线AC的斜率=最小,切线AB的斜率tan∠BAX=tan 2∠PAX===最大.故选A.二、填空题13.(xx江苏卷)不等式<4的解集为.解析:不等式<4可转化为<22,由指数函数y=2x为增函数知x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为(-1,2).答案:(-1,2)14.(xx新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.解析:由题意,得函数f(x)的草图如图所示.因为f(x-1)>0,所以|x-1|<2,所以-2<x-1<2,所以-1<x<3.答案:(-1,3)15.(xx合肥八中段考)若正数a,b满足a+2b=3,且使不等式+-m>0恒成立,则实数m的取值范围是.解析:不等式+-m>0恒成立,即3(+)>3m恒成立.又正数a,b满足a+2b=3,(a+2b)(+)=+++2≥,当且仅当a=b=1时取“=”,所以实数m的取值范围是(-∞,).答案:(-∞,)16.(xx浙江卷)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.解析:因为-3<1,所以f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,所以f(f(-3))=f(1)=1+-3=0.当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3(当且仅当x=时,取“=”),当x<1时,x2+1≥1,所以f(x)=lg(x2+1)≥0,又因为2-3<0,所以f(x)min=2-3.答案:0 2-3。

第1讲 基本不等式与线性规划【自主学习】第1讲 基本不等式与线性规划(本讲对应学生用书第24~27页)自主学习 回归教材1. (必修5 P101习题2改编)若x >0，y >0，且log 3x +log 3y =1，则1x +1y 的最小值是 .【答案】【解析】由log 3x +log 3y =1，得x ·y =3，所以1x +1y.2. (必修5 P90习题6改编)若x ，y 满足约束条件24-1-22x y x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，，，则z =x +y 的最小值是.(第2题)【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示.由z=x+y，得y=-x+z.令z=0，画出y=-x的图象，当它的平行线经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.3. (必修5 P91习题3改编)函数y2的最小值为.【答案】5 2【解析】设t(t≥2)，易知y=t+1t在[2，+∞)上是单调增函数，所以当t=2，即x=0时，y min=52.4. (必修5 P91复习题13改编)设x>-1，则函数y=(5)(2)1x xx+++的最小值为.【答案】9【解析】y=27101x xx+++=x+1+41x++5，因为x>-1，所以y=x+1+41x++5≥9，当且仅当x=1时取等号.5. (必修5 P84习题4改编)若实数x，y满足约束条件-2022x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，，，值为.【解析】画出图象，可知最小值为原点到直线x+y-2=0的距离为【要点导学】要点导学各个击破运用基本不等式求最值例1 (2015·扬州期末)设实数x，y满足x2+2xy-1=0，则x2+y2的最小值是.【分析】(1) 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值.注意题中消去y较容易，所以应消去y.(2) 由所求的结论x2+y2想到将条件应用基本不等式，构造出x2+y2，然后将x2+y2求解出来.【答案】【解析】方法一：由x2+2xy-1=0得y=21-2xx，从而x2+y2=x2+221-2xx⎛⎫⎪⎝⎭=254x+214x-12-12=，当且仅当x=±.方法二：由x2+2xy-1=0得1-x2=2xy≤mx2+ny2，其中mn=1(m，n>0)，所以(m+1)x2+ny2≥1，令m+1=n，与mn=1联立解得m=2，n=12，从而x2+y2≥=.变式1 若a>0，b>0，且12a b++11b+=1，则a+2b的最小值为.【答案】【解析】由已知等式得2a+2b+1=2ab+2a+b2+b，从而a=2-12b bb+，a+2b=2-12b bb++2b=12+32b+12b≥12，故有最小值.变式2 (2015·扬淮南连二调)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则lg4lgzx+lglgzy的最小值为.【答案】9 8【分析】从求解的结构上看，属于基本不等式中“1”的代换的题型.【解析】由题意得lg x>0，lg y>0，lg z>0，且z2=xy，从而lg z=12(lg x+lg y)，所以lg4lgzx+lglgzy=lg z114lg lgx y⎛⎫+⎪⎝⎭=lg lg2x y+·114lg lgx y⎛⎫+⎪⎝⎭=58+1lg lg2lg4lgx yy x⎛⎫+⎪⎝⎭≥58+1 29lg lg28lg4lgx yy xy x⎛⎫==⎪⎝⎭当且仅当，即时取等号. 线性规划中的最值问题例2 (2015·盐城三模)若x，y满足约束条件-20-020x yx yx y+≤⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，，，则目标函数z=2x+y的最大值为.(例2)【答案】6【解析】作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则当目标函数过点A(4，-2)时，取得最大值z =2x +y =2×4-2=6.变式1 (2015·苏北四市期末)若实数x ，y 满足x +y -4≥0，则z =x 2+y 2+6x -2y +10的最小值为.(变式1)【答案】18【解析】先作出不等式x +y -4≥0表示的平面区域如图所示，则z =(x +3)2+(y -1)2表示不等式x +y -4≥0表示的平面区域内的点(x ，y )与定点(-3，1)距离的平方，可求z min=2⎛⎫=18.变式2 (2015·浙江卷)已知实数x ，y 满足 x 2+y 2≤1，则|2x +y -4|+|6-x -3y |的最大值是 .【答案】15【解答】当x，y满足x2+y2≤1时，2x+y-4<0，6-x-3y>0，设z=|2x+y-4|+|6-x-3y|，则z=-2x-y+4+6-x-3y=-3x-4y+10，即3x+4y+z-10=0.由题意可知，|-10|5z≤1，即|z-10|≤5，所以5≤z≤15，故所求最大值为15.基本不等式模型的应用例3 (2014·南京学情调研)如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大?并求其最大面积.(例3)【分析】引入变量，可设休闲广场的长为xm，然后求出宽，可以将绿化区域的总面积表示成x的函数，然后利用基本不等式求最大面积，从长、宽的取值可求得x的取值范围，注意基本不等式等号成立的条件.【解答】设休闲广场的长为xm，则宽为2400x m，绿化区域的总面积为S m2，则S=(x-6)24004x⎛⎫-⎪⎝⎭=2424-240046xx⎛⎫+⨯⎪⎝⎭=2424-43600xx⎛⎫+⎪⎝⎭，x∈(6，600).因为x∈(6，600)，所以x+3600x，当且仅当x=3600x，即x=60时取等号.此时S取得最大值，且最大值为1944.答：当休闲广场的长为60m ，宽为40m 时，绿化区域总面积最大，最大面积为1 944m 2.【点评】在利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意验证基本不等式成立的三个条件，即一正二定三相等.如果等号成立的条件不具备，就应该研究函数的单调性来求函数的最值.在实际问题中，由实际意义得出的变量取值范围十分重要.变式 (2015·金陵中学)如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设∠PAB=θ，tan θ=t.(变式)(1) 用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ的周长l 是否为定值；(2) 问：探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少(平方百米)? 【解答】(1) 由题设得，BP=t ，CP=1-t ，0≤t ≤1.∠DAQ=45°-θ，DQ=tan (45°-θ)=1-1tt +，CQ=1-1-1t t +=21t t +，所以=211t t ++， 所以l =CP+CQ+PQ=1-t +21t t ++211tt ++=1-t +1+t =2.(2) S=S 正方形ABCD -S △ABP -S △ADQ=1×1-12×1×t -12×1×1-1tt +=1-2t -12×1-1t t +=1-2t -12×2-(1)1t t ++=1-2t -12×2-11t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭ =1+12-2t -11t +=2-1121t t +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 因为1+t >0，所以S=2-1121t t +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭≤2当且仅当12t +=11t +，即t时等号成立.答：探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为平方百米.1. 若0<x <1，则当f (x )=x (4-3x )取得最大值时x 的值为 .【答案】23【解析】因为0<x <1，所以f (x )=x (4-3x )=13×3x (4-3x )≤13×234-32x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭=43，当且仅当3x =4-3x ，即x =23时，取“=”.2. (2015·南京、盐城一模)若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x +log 2y =1，则22-x y x y +的最小值为 .【答案】4【解析】因为log 2x +log 2y =log 2xy =1，所以xy =2.因为x >y >0，所以x -y >0，所以22-x y x y +=2(-)2-x y xy x y +=x -y +4-x y，当且仅当x -y =2时取等号.3. (2015·泰州二模)已知实数x ，y 满足约束条件-402-104-40x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，，，则z =|x |+|y -3|的取值范围是 . 【答案】[1，7]【解析】作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示(△ABC包含边界)，此时x ≥0，y ≤3，则z =x -y +3，作出直线l 0：y =x ，并平行移动，当直线经过点A 时，z min =1；当直线经过点C(4，0)时，z max =7，所以z 的取值范围为[1，7].(第3题)4. (2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料.已知生产1 t 每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示.如果生产1 t 甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为 .【答案】18万元(第4题)【解析】设该企业每天生产甲种产品x t 、乙种产品y t ，则x ，y 需满足约束条件32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，，，，可获利润z =3x +4y .约束条件表示的平面区域是以(0，0)，(4，0)，(2，3)，(0，4)为顶点的四边形及其内部(如图)，把各顶点坐标代入检验可知，目标函数在点(2，3)处取得最大值3×2+4×3=18，即该企业每天可获得的最大利润为18万元.5. (2015·南通期末)如图，已知函数y =a x +b (b >0)的图象经过点P(1，3)，则4-1a +1b 的最小值为.(第5题)【答案】92【解析】方法一：(基本不等式法)由图可知a >1，点(1，3)在函数y =a x +b 的图象上，所以a +b =3，且1<a <3，0<b <2，所以4-1a +1b =12×241-1a b ⎛⎫+⎪⎝⎭=12[(a -1)+b ]41-1a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=141521b a a b -⎛⎫++ ⎪-⎝⎭≥92.当且仅当4-1b a =-1a b ，即a =73，b =23时取等号.所以4-1a +192b的最小值为. 方法二：(三角代换法)由方法一可知a +b =3，且1<a <3，0<b <2，所以-12a +2b=1.令-12a =cos 2θ，2b =sin 2θ，所以4-1a +1b =22cos θ+212sin θ=2(1+tan 2θ)+21112tan θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=52+2tan 2θ+212tan θ≥92.以下同方法一.【融会贯通】完善提高 融会贯通典例 学校某研究性学习小组去化工厂实习，同学们在体会劳动辛苦的同时，发现并进行了如下的课题研究.现知道化工厂的主控制表盘高1 m ，表盘底边距地面2 m ，问：值班人员坐在什么位置上时表盘看得最清楚?(设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2 m ).【思维引导】【规范解答】(典例)如图，CD=2-1.2=0.8，设AD=x ，∠CAD=β，∠BAD=α，∠BAC=φ.则tan α=BD AD=10.8x+=1.8x ，…………………………………………………………2分tan β=CD AD=0.8x .………………………………………………………………………4分因为tan φ=tan (α-β)=tan -tan 1tan tan αβαβ+， ……………………………………………6分所以tan φ=1.80.8-1.80.81x xx x +⋅=11.44x x +≤=12.4， (8)分当且仅当x =1.44x，即x =1.2时，……………………………………………………10分tan φ达到最大值12.4，φ是锐角，tan φ最大时，φ也最大，…………………12分所以值班人员看表盘最清楚的位置为AD=1.2 m .…………………………………14分【精要点评】 本题考查解三角形的知识、两角差的正切公式的应用及利用基本不等式求最值.一般地，研究角的最值，需求角的某个三角函数值的最值，通常选择三角函数时，一看题目的条件，根据条件选择合适的三角函数；二要注意三角函数在角的范围内应该单调；最后利用三角函数的单调性得到角的最值.变式1 (必修5 P92习题13改编)如图，有一壁画，最高点A 处离地面4m ，最低点B 处离地面2m ，若从离地面1.5m 的C 处观赏它，则离墙多远时，视角θ最大?(变式1)【解答】设人到墙的距离为xm ，则tan ∠ACD=2.5x ，tan ∠BCD=0.5x ，所以tan θ=tan (∠ACD -∠BCD)=tan -tan 1tan tan ACD BCDACD BCD ∠∠∠∠+=22.50.5-1.251x xx +=854x x +≤，当且仅当4x =5x ，即x= m 时，视角θ最大.变式2 如图，某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m )时，测得垂直放置的标杆BC 的高h =4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.(变式2)(1) 若该小组已经测得一组α，β的值，且tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m )，使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔的实际高度为125m ，试问：d 为多少时，α-β最大?【解答】(1) 因为H AD =tan β，所以AD=tan H β，同理AB=tan Hα，BD=tan h β.因为AD-AB=DB ，所以tan H β-tan H α=tan h β，解得H=tan tan -tan h ααβ=4 1.241.24-1.20⨯=124. 所以此时电视塔的高度H 是124m .(2) 由题设知d =AB ，得tan α=H d ，tan β=H AD =h DB =-H hd ，则tan (α-β)=tan -tan 1tan tan αβαβ+⋅=---1?H H h d dH H hd d +=(-)h H H h d d +.因为d +(-)H H h d≥2(当且仅当d=等号)，故当dtan (α-β)最大.因为0<β<α<π2，则0<α-β<π2，所以当dm时，α-β最大.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第15-16页.【课后检测】专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划一、填空题1. (2015·福建卷)若直线xa+yb=1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a+b的最小值为.2. 已知2x+8y=1(x>0，y>0)，那么x+y的最小值为.3. (2015·山东卷)若变量x，y满足约束条件-131≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩y xx yy，，，则z=x+3y的最大值为.4. (2015·苏锡常镇二模)已知常数a >0，函数f (x )=x +-1ax (x >1)的最小值为3，则a 的值为 .5. 若对任意的x >0，231++x x x ≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是 .6. 若变量x ，y 满足约束条件-20-2102-20+≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩x y x y x y ，，，则z =x 2+y 2的最小值为 .7. 若不等式x 2+2x <a b +16ba 对任意的a ，b ∈(0，+∞)恒成立，则实数x 的取值范围是 .8. (2015·福建卷)已知变量x ，y 满足约束条件0-220-0.+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩x y x y mx y ，，若z =2x -y 的最大值为2，则实数m 的值为 .二、 解答题9. (1) 当点(x ，y )在直线x +3y -4=0上移动时，求3x +27y +2的最小值； (2) 已知x ，y 都是正实数，且x +y -3xy +5=0，求xy 的最小值.10. 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400 t ，最多为600 t ，月处理成本y (单位：元)与月处理量x (单位：t )之间的函数关系可近似的表示为y=12x2-200x+80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1) 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?(2) 该单位每月能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?11. 某公司计划在甲、乙两家电视台做总时间不超过300min的广告，广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min和200元/min.假定甲、乙两家电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问：该公司如何分配在甲、乙两家电视台的广告时间，才能使公司的收益最大?最大收益是多少万元?【课后检测答案】专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划1. 4 【解析】依题意得1a+1b=1，所以a+b=(a+b)11⎛⎫+⎪⎝⎭a b=1+ab+ba=4，当且仅当a=b=2时等号成立.2. 18 【解析】x+y=(x+y)28⎛⎫+⎪⎝⎭x y=2+8+2yx+8xy，当且仅当x=6，y=12时取等号.3. 7 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，当直线x +3y -z =0经过可行域内的点A 时，z 取得最大值.联立-13=⎧⎨+=⎩y x x y ，，解得12=⎧⎨=⎩x y ，，即A(1，2)，故z max =1+3×2=7.(第3题)4. 1 【解析】因为f (x )=x -1+-1ax +1，且x -1>0，所以f (x，当且仅当x-1=x时取等号，此时a =1.5.15∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， 【解析】因为x >0，所以x +1x ≥2(当且仅当x =1时取等号).所以231++x x x =113++x x ≤123+=15，即231++x x x 的最大值为15，故a ≥15.6. 15 【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方，目标函数z 的最小值为原点到直线x -2y +1=0的距离的平方. z min=2⎛⎫=15.(第6题)7. (-4，2) 【解析】不等式x 2+2x <a b +16ba 对任意的a ，b ∈(0，+∞)恒成立，等价于x 2+2x <min 16⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b b a ，由于a b +16b a≥2a =4b 时等号成立)，所以x 2+2x <8，解得-4<x <2.8. 1 【解析】由约束条件可知，①若m ∈[2，+∞)，则当00=⎧⎨=⎩x y ，时，z max =0(舍去)； ②若m ∈122⎛⎫⎪⎝⎭，，则当-220-0+=⎧⎨=⎩x y mx y ，， 即22-122-1⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x m my m ，时，z max =2×22-1m -22-1m m =2，所以m =1； ③若m ∈1-2∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则z 无最大值(舍去).9. (1) 由x +3y -4=0，得x +3y =4，所以3x +27y +2=3x +33y，当且仅当3x =33y 且x +3y -4=0，即x =2，y =23时取等号，此时所求的最小值为20. (2) 由x +y -3xy +5=0， 得x +y +5=3xy ， 所以x +y +5=3xy ，所以3xy-25≥0，所以5)≥0，53，即xy≥259，当且仅当x=y=53时取等号，故xy的最小值是259.10. (1) 由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：y x=12x+80000x--200=200，当且仅当12x=80000x，即x=400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/t.(2) 设该单位每月获利为S，则S=100x-y=100x-2120080000 2⎛⎫-+⎪⎝⎭x x=-12x2+300x-80 000，=-12(x-300)2-35 000，因为400≤x≤600，所以当x=400时，S有最大值-40 000.故该单位不能获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损.11. 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为xmin和ymin，总收益为z 元.由题意得3005002009000000+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩x yx yx y，，，，目标函数为z=3 000x+2 000y.易知二元一次不等式组等价于3005290000.+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩x y x y x y ，，，作出二元一次不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.作直线l ：3 000x +2 000y =0，即 3x +2y =0，平移直线l ，(第11题)从图中可知，当直线l 过点M 时，目标函数取得最大值.联立30052900+=⎧⎨+=⎩x y x y ，，解得100200=⎧⎨=⎩x y ，，所以点M 的坐标为(100，200)，所以z max =3 000x +2 000y =700 000=70(万元).答：该公司在甲电视台做100min 广告，在乙电视台做200min 广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.。

个性化教学辅导教案姓名年级高三课题线性规划与基本不等式教学目标知识点：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题；基本不等式考点：二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)；应用基本不等式求最值能力：等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养方法：讲练结合难点重点基本不等式取等号的条件及实际应用线性规划问题与其他知识的综合课堂教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________过程知识点：1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0；③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0.在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．线性规划相关概念名称意义目标函数欲求最大值或最小值的函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为A ．2x －y －3＜0B ．2x －y －3＞0C ．2x －y －3≤0D ．2x －y －3≥0 2．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的点是( )． A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)3．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥04．(2011·安徽)设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )． A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1，－2 D ．2，－15．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人的约束条件是________．典型例题：例1、直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个变式：已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为( )．A ．1B ．－3C ．1或－3D ．0例2、(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤ 2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)则z ＝O M →·O A →的最大值为( )．A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2变式：已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞例3、变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.（1）设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．变式：如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )．A.32B.45－1 C ．22－1 D.2－1例4、某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨) 电(千瓦)A 产品 3 9 4B 产品1045已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？变式：(2011·四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )．A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元3．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 4．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．5．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 6．利用基本不等式求最值问题：已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．45．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．典型例题：例1、(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．变式： (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________．(2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．例2、(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．变式：(2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．巩固练习：1、(2011·山东)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )．A ．11B ．10C ．9 D.1722、(2010·浙江)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且z ＝x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．23、已知点P （x ，y ）的坐标满足条件，点O 为坐标原点，那么|PO|的最小值等于________，最大值等于________。

二元一次不等式（组）与平面区域及线性规划、基本不等式【平面区域】1. 二元一次不等式0Ax By c ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2. 画出二元一次不等式0Ax By c ++>（或< 0）所表示的区域的步骤： 如：不等式44x y +<表示的平面区域第一步：用两点法先画直线44x y +=（该直线就是区域的边界，先用虚线表示） 第二步：再取特殊点（当0C ≠时，常把原点作为此特殊点） 第三步：将该点坐标代入到原来的不等式44x y +<检验其是否使得该不等式成立。

若成立，则该点所在的区域就是不等式表示 区域，若不成立，则该点的另外一侧即原不等式表示区域。

最后：不等式中仅>或<，则区域不包括 ；但含“≤”“≥”包括注意：依据就是：同侧同号，异侧异号.（由于对在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(,x y )，把它的坐标（,x y )代入Ax By C ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）归纳：画二元一次不等式表示的平面区域的上述方法称为“直线定界，特殊点定域”。

变式：画出不等式240x y -+-≤表示的平面区域.3. 二元一次不等式组1112220A x B y C A x B y C ++>⎧⎨++>⎩（或< 0）所表示的区域就是各个不等式表示区域的公共部分。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分【练习】1、用平面区域表示不等式组312020y x x y +-<⎧⎨-<⎩的解集变式1）用平面区域表示不等式组3122y x x y <-+⎧⎨<⎩的解集 2）画出211x y ≥≥⎧⎨<⎩表示的平面区域变式:2：画出不等式(21)(4)0x y x y ++-+<表示的平面区域.2、 已知点(3,1)--和(4,6)-在直线320x y a -++=的两侧，则的取值范围是3、由直线20x y ++=，210x y ++=和210x y ++=围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 .变式：在ABC ∆中，A （3，-1），B （-1，1），C （1，3），写出ABC ∆区域所表示的二元一次不等式组【总结】给定区域求表示的不等式（组）的步骤：⑴ ⑵ ⑶4、 求不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示平面区域的面积.5、 不等式组13y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域为Ｄ，点1(0,2)P -，点2(0,0)P ，则（ ）.A ．12,P D P D ∉∉B ．12,P D P D ∉∈C ．12,PD P D ∈∉ D ．12,P D P D ∈∈【简单的线性规划问题】【线性规划的有关概念】①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(,)x y 叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．【例1：】在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如： 某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可得二元一次不等式组： （2）画出不等式组所表示的平面区域：注意：在平面区域内的必须是整数点． （3）提出新问题：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，写出线性目标函数并求出采用哪种生产安排利润最大？【总结】简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解.【求最优解的步骤】（已知：线性约束条件）（平移找解法）第一步： ；第二步： ； 第三步： ； 【练习】1.目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义是（ ）.A ．该直线的横截距B ．该直线的纵截距C ．该直线的纵截距的一半的相反数D ．该直线的纵截距的两倍的相反数2、(2004全国)设x 、y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则32z x y =+的最大值是变式1：求z x y =-的最大值、最小值，使x 、y 满足条件200x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩.变式2：若实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，求4x +2y 的取值范围3. (2007北京)若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ）A ．5a <B ．7a ≥C ．57a ≤<D ．5a <或7a ≥§3.4基本不等式【重要不等式】一般的，如果,R a b ∈，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立. 【基本不等式】如果0,0,2a ba b a b +>>≤+≥（或当且仅当a b =时，等号成立. 1) 如果把2a b+看作是正数a 、ba 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。

回扣5 不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3.分式不等式f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 4.基本不等式(1)①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )当且仅当a ＝b 时取等号. ②a ＋b 2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；②a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0，当a ＝b 时等号成立). ③a ＋1a≥2(a >0，当a ＝1时等号成立)；④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 5.可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.2.解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、 二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解.6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1，1)的距离的平方等.1.下列命题中正确的个数是( )①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；②a >b ，c >d ⇒a d >b c ；③a 2>b 2⇔|a |>|b |；④a >b ⇔1a <1b .A.4B.3C.2D.12.设M ＝2a (a －2)＋4，N ＝(a －1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为( ) A.M >N B.M <N C.M ＝N D.不能确定3.若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( )A.(－3，0)B.(－∞，－3)C.(－3，0]D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)4.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.不等式1x －1≥－1的解集为( )A.(－∞，0]∪[1，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪(1，＋∞)D.[0，1)∪(1，＋∞)6.设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b 的最小值为( )A.256B.94C.1D.47.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A.6B.5C.4D.38.在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)9.已知实数x ∈[－1，1]，y ∈[0，2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.34B.14C.18D.3810.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________.11.已知ab ＝14，a ，b ∈(0，1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________.12.变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝______.13.(2016·上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________.14.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则y －6x －5的取值范围是________. 回扣5 不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0. 3.分式不等式f xg x >0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ≥0≤0，g x ≠0.4.基本不等式(1)①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )当且仅当a ＝b 时取等号. ②a ＋b2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； ②a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0，当a ＝b 时等号成立).③a ＋1a≥2(a >0，当a ＝1时等号成立)；④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 5.可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.2.解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f xg x≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、 二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x(x <0)时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解.6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1，1)的距离的平方等.1.下列命题中正确的个数是( )①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；②a >b ，c >d ⇒a d >bc；③a 2>b 2⇔|a |>|b |；④a >b ⇔1a <1b.A.4B.3C.2D.1 答案 C解析 ①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d 正确，不等式的同向可加性；②a >b ，c >d ⇒a d >bc错误，反例：若a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝－1，则a d >bc不成立；③a 2>b 2⇔|a |>|b |正确；④a >b ⇔1a <1b 错误，反例：若a ＝2，b ＝－2，则1a <1b不成立.故选C.2.设M ＝2a (a －2)＋4，N ＝(a －1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为( ) A.M >N B.M <N C.M ＝N D.不能确定 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)＋4－(a －1)(a －3)＝a 2＋1>0.故选A. 3.若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( ) A.(－3，0) B.(－∞，－3) C.(－3，0] D.(－∞，－3)∪(0，＋∞) 答案 C解析 由题意可知2kx 2＋kx －38<0恒成立，当k ＝0时成立，当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ<0，代入求得－3<k <0，所以实数k 的取值范围是(－3，0].4.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2，①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域的所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，②表示△ABC 内部区域的所有点(包括边界).实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A.5.不等式1x －1≥－1的解集为( )A.(－∞，0]∪[1，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪(1，＋∞)D.[0，1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由题意得，1x －1≥－1⇒1x －1＋1＝xx －1≥0，解得x ≤0或x >1，所以不等式的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞)，故选C.6.设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b的最小值为( )A.256B.94 C.1 D.4 答案 B解析 不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线z ＝ax ＋by 过点(8，10)时取最大值，即8a ＋10b ＝40，4a ＋5b ＝20，从而5a ＋1b ＝(5a ＋1b )4a ＋5b 20＝120(25＋4a b ＋25b a )≥120(25＋24a b ×25b a )＝94，当且仅当2a ＝5b 时取等号，因此5a ＋1b 的最小值为94，故选B.7.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A.6B.5C.4D.3 答案 B解析 作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，得y ＝x －z ，及当z ＝－1时，函数y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝ 5.8.在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k x －1－1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析 易知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示.当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域，所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1).9.已知实数x ∈[－1，1]，y ∈[0，2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.34B.14C.18D.38 答案 D解析 不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×(2－12)×(1＋1)＝32，则所求的概率为38，故选D.10.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________.答案 8解析 由已知可得定点A (－2，－1)，代入直线方程可得2m ＋n ＝1，从而1m ＋2n ＝(1m＋2n)(2m ＋n )＝n m＋4mn＋4≥2n m ·4m n＋4＝8.当且仅当n ＝2m 时取等号.11.已知ab ＝14，a ，b ∈(0，1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________.答案 4＋423解析 因为ab ＝14，所以b ＝14a ， 则11－a ＋21－b ＝11－a ＋21－14a＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a ＋24a －1＋24a －1 ＝11－a ＋24a －1＋2 ＝2(14a －1＋24－4a)＋2 ＝23(14a －1＋24－4a)[(4a －1)＋(4－4a )]＋2 ＝23[3＋4－4a 4a －1＋24a －14－4a]＋2 ≥23(3＋22)＋2＝4＋423(当且仅当4－4a 4a －1＝24a －14－4a ，即a ＝32－24时，取等号). 12.变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝______.答案 1 解析 由可行域知，直线2x －y ＝2必过直线x －2y ＋2＝0与mx －y ＝0的交点，即直线mx －y ＝0必过直线x －2y ＋2＝0与2x －y ＝2的交点(2，2)，所以m ＝1.13.(2016·上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________.答案 －2 解析 令z ＝x －2y ，则y ＝12x －z 2.当在y 轴上截距最小时，z 最大.即过点(0，1)时，z 取最大值，z ＝0－2×1＝－2.14.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则y －6x －5的取值范围是________.答案 [－1，92] 解析 作出可行域，如图△ABC 内部(含边界)，y －6x －5表示可行域内点(x ，y )与P (5，6)连线斜率，k PA ＝8－63－5＝－1，k PC ＝－3－63－5＝92，所以－1≤y －6x －5≤92.。

2023届二轮专练_专题三 不等式_第1讲 基本不等式与线性规划一、填空题（共17小题）1. 不等式组 {y ≤−x +2,y ≤x −1,y ≥0 所表示的平面区域的面积为 ． 2. 若 x ，y 满足约束条件 {2x +y ≥4,x −y ≥1,x −2y ≤2, 则 z =x +y 的最小值是 ． 3. 已知函数 f (x )=x +1x −2(x <0)，那么 f (x ) 的最大值为 ． 4. 若 x >0，y >0，且 log 3x +log 3y =1，则 1x +1y 的最小值为 ．5. 设 x,y ∈R ，a >1，b >1，若 a x =b y =2，a +√b =4，则 2x +1y 的最大值为 ．6. 设实数 x ，y 满足 x 2+2xy −1=0，则 x 2+y 2 的最小值是 ．7. 若实数 x ，y 满足约束条件 {x −y +1≥0,x −2y ≤0,x +2y −2≤0, 则 z =x +y 的最大值为 ． 8. 若变量 x ，y 满足约束条件 {x +y ≤2,2x −3y ≤9,x ≥0, 则 x 2+y 2 的最大值是 ．9. 若实数 x ，y 满足约束条件 {x +y −3≥0,x −y −3≤0,0≤y ≤1, 则 z =2x+y x+y 的最小值为 ． 10. 若 0<x <1，则当 f (x )=x (4−3x ) 取得最大值时 x 的值为 ． 11. 已知 a >0，b >0，a ，b 的等比中项是 1，且 m =b +1a ，n =a +1b，则 m +n 的最小值是 ．12. 若实数 x ，y 满足约束条件 {2x −y ≤0,x +y ≤3,x ≥0,则 2x +y 的最大值为 ．13. 在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影，由区域{x −2≤0,x +y ≥0,x −3y +4≥0中的点在直线 x +y −2=0 上的投影构成的线段记为 AB ，则 AB = ． 14. 函数 y =2√x 2+4 的最小值为 ．15. 设 x ，y ，z 均为大于 1 的实数，且 z 为 x 和 y 的等比中项，则 lgz 4lgx +lgz lgy 的最小值为 ．16. 已知 a >b >1，且 2log a b +3log b a =7 ，则 a +1b 2−1 的最小值为 ．17. 若正实数 x ，y 满足 (2xy −1)2=(5y +2)(y −2)，则 x +12y 的最大值为 ．二、解答题（共1小题）18. 某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n=ax+5．已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．（1）试求新建道路交叉口的总造价y（单位：万元）与x的函数关系式；（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数，并说明理由．的20%，且k≥3．问：P能否大于120答案1. 142. 23. −44. 2√335. 46. √5−127. 328. 109. 5310. 2311. 412. 413. 3√214. 52【解析】y=2√x2+4=√x2+4√x2+4，令t=√x2+4，则t≥2，因为y=t+1t在[2,+∞)上为增函数，所以当t=2时，y min=2+12=52，所以当且仅当x=0时，y min=52．15. 98【解析】因为z为x和y的等比中项，所以z2=xy．两边同时取以e为底的对数得，ln(z2)=ln(xy)，即2lnz=lnx+lny．因为x，y，z>1，所以lnx，lny，lnz>0，所以lgz 4lgx +lgzlgy=lnx+lny8lgx+lnx+lny2lgy=18+18×lnylnx+12+12×lnxlny≥58+2√18×lnylnx×12×lnxlny=98.当且仅当y=x2时" = "号成立．所以最小值为98．16. 3【解析】提示：因为a>b>1，所以t=log a b<1，又因为2log a b+3log b a=7，所以2t+3t=7，解得t=12，或t=3（舍去），所以t=log a b=12，所以b2=a，所以a+1b2−1=a−1+1a−1+1≥2√(a−1)1a−1+1=3，当且仅当a−1=1a−1，即a=2且b=√2时，取等号．17. 3√22−1【解析】方法一：令x+12y=t．则2xy=2ty−1，代入已知等式，得(2ty−2)2=(5y+2)(y−2)，整理得(4t2−5)y2+8(1−t)y+8=0．因为总存在正实数y使得等式成立，所以Δ=64(1−t)2−32(4t2−5)≥0，即2t2+4t−7≤0，解得−3√22−1≤t≤3√22−1．当t=3√22−1时，y=−8(1−t)2(4t2−5)=8+6√2为正值，所以x+12y 的最大值为3√22−1．方法二：由题意知(x−12y )2=(52+1y)(12−1y)，整理得(x−12y)2+(1y+1)2=94．令x−12y =32cosα，1y+1=32sinα，其中α∈R，且x,y>0，所以12y =34sinα−12，x=32cosα+34sinα−12，所以x+12y =32cosα+32sinα−1≤3√22−1．即所求的最大值为3√22−1．18. （1）由题意知y=mkn=mk(ax+5),x∈N∗．（2）方法一：由题意知x=0.2a，所以P=mxy=xk(ax+5)=0.2ak(0.2a2+5)=ak(a2+25)≤a3(a2+25)=13(a+25a)≤3×2√a×25a=130<120.答：P不可能大于120．方法二：由题意知x=0.2a，所以P=mxy =xk(ax+5)=0.2ak(0.2a2+5)=ak(a2+25)．假设P>120，得ka2−20a+25k<0．因为k≥3，所以Δ=100(4−k2)<0，不等式ka2−20a+25k<0无解．故P不可能大于120．答：P不可能大于120．。

试卷第1页，总2页 巧解：基本不等式与线性规划综合一、 温故知新（1）线性规划中的基本概念约束条件：由变量x ，y 组成的不等式组.线性约束条件：由x ，y 的线性不等式(或方程)组成的不等式组；目标函数：关于x ，y 的函数(,)f x y ，如z ＝2x ＋3y 等；线性目标函数：关于x ，y 的线性目标函数.可行解：满足线性约束条件的解.可行域：所有可行解组成的平面区域.最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题（2）．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．二、 典例精讲 典例1．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b+的最小值是（ ） A ．74 B ．94 C ．52 D ．21．B 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当8,10x y ==时，810z a b =+有最大值为40，即81040z a b =+=，故4520a b +=. ()(511511254194525252020204b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当254b a a b =，即104,33a b ==时等号成立. 故选：B .三、归纳总结先由线性规划求出最值，再代入利用基本不等式求出最值。

四、迎接挑战挑战题：1．设x，y满足约束条件8401040x yx yx y--≤⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则11a b+的最小值为（）A．5 B．52C．92D．92．,x y满足约束条件3620x yx yxy-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为()A．256B．25C．253D．5试卷第2页，总2页。