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解法二:∵x+2 x=( )x2+2 +1x-1=( +1)x2-1, ∴f( x+1)=( +x1)2-1,∴f(x)=x2-1(x≥1).
(3)由f(x)=2f
1 x
+x,得f
1x=2f(x)+
1,
x
联立得
f
(x)
2
f
1 x
x,①
f
1 x
2
f
(x)
1 x
,②
①+②×2得f(x)=x+4f(x)+ 2 ,则f(x)=- 2 -1
2.函数有哪几种常用的表示法？
函数几种常用的表示法
（1）解析法：用数学表达式表示两 个变量之间的对应关系； （2）图象法：用图象表示两个变量 之间的对应关系； （3）列表法：用表格表示两个变量 之间的对应关系.
某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3， 4，5})个笔记本需要y元．试用适当的方式表示函 数y=f(x)．
求函数解析式的常用方法
1.配凑法.已知f(h(x))=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理或配凑成只 含h(x)的式子,用x将h(x)代换. 2.待定系数法.前提是已知函数的类型(如一次函数、二次函数),比如二次 函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件列 出方程组,解出待定系数即可. 3.换元法.已知f(h(x))=g(x),求f(x)时,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进 行换元,便可求解. 4.解方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他
未知量,如f 等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解 方程组求出f(x). 5.赋值法. f(x)是关于x,y两个变量的方程式,可对变量赋值求出f(x).
例2 (1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x+3,则f(x)的解析式为
;
(2)已知f( x+1)=x+2 ,则x f(x)的解析式为
解析 (1)由题意可设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab
+b=4x+3,∴
a2
解 4得,
ab b 3,
或
a b
故 --所32, 求解ba 析12式., 为f(x)=-2x-3或f(x)
=2x+1.
(2)解法一:设t= x+1(t≥1),则x=(t-1)2,∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1).
;
(3)已知函数f(x)满足f(x)=2f
1 x
+x,则f(x)的解析式为
;
(4)已知f(0)=1,对任意的实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),则f(x)的解析式为
.
(1)已知函数类型,用待定系数法求解. (2)用换元法求解,注意新元的范围或用配凑法求解. (3)联立方程可解. (4)用赋值法可解.
x.
x
3x 3
(4)令x=0,得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=1+y2-y,
∴f(y)=y2+y+1,
∴f(x)=x2+x+1.
例3 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和 国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税 （简称个税）．２０１９年１月１日 起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为 个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数． 应纳税所得额的计算公式为 应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除 －专项附加扣除－ 依法确定的其他扣除．
法一：分段函数
例1画出函数y=|x|的图像
法二：去绝对值
第一步:画y=x的图像
第二步:画y=|x|的图像
x轴上方的图像加绝 对值位置不变 与x轴的交点位置不 变
x轴下方的图像翻转 到x轴上方
y y=x
o
x
y
o
x
练习1画出函数y=|x-2|的图像
第一步:画数y=|x²-1|的图像
图象法
优点：能直观形象地表示出函数的变化情况. 缺点：只能近似地反映函数的变化情况.
练习
1 设周长为20cm的矩形的一边长为xcm，面
积为Scm2,那么x与S的对应关系是否为函数？
若是,试用适当的方法表示出来.
S x(10 x), x (0,10)
所有的函 数都能用 三种方法 表示吗?
例1画出函数y=|x|的图像
包括工 资、薪金，劳务报 酬，稿 酬，特许
权使用费
“基本减除费用” （免征额）为每年
60000元．
包括居民个人按
照国家规定的范围和标
准缴纳的基本养老保险、
基本医疗保险、失业保
险等社会保险费和住房
公积金等；
包括子女教育、
继续教育、 大病
医疗、住房贷款
利息或者住房租
金、赡养老人
等支出；
（１）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y， 求y＝f（t），并画出图象； （２）小王全年综合所得收入额为１８９６００元， 假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保 险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的 比例分别是８％，２％， １％，９％，专项附加扣
y=5x, x∈{1,2,3,4,5}
：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用 解析式来研究函数的性质。
：一些实际问题很难找到它的解析式。
笔记本数 1 2 3 4 5
x
钱数 y 5 10 15 20 25
：不必通过计算就知道当自变量取某些 值时函数的对应值。
：只用于自变量为有限个的函数。
除是５２８００元，依法确定其他扣除是４５６０ 元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
（２）小王全年应纳税所得额为 t＝１８９６００－６００００－１８９６００（８％＋２％＋１％ ＋９％）－５２８００－４５６０ ＝０．８×１８９６００－１１７３６０ ＝３４３２０． 将t的值代入③，得 y＝０．０３×３４３２０＝１０２９．６． 所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为１０２９．６元．
第三章 函数的概念与性质
3.1函数的概念及其表示
3.1.2函数的表示法
问题提出
1.从集合与对应的观点分析，函数的定 义是什么？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确 定的对应关系f，使对于集A中的任意一 个数x，在集B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.
