2015年5月2015届高三第四次全国大联考(江苏版)数学卷(正式考试版)

江 苏 大 联 考2015届高三第四次联考·数学试卷考生注意:1。

本试卷共160分.考试时间120分钟.2。

答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚. 3。

请将各题答案填在试卷后面的答题卷上。

4。

交卷时，可根据需要在加注“"标志的夹缝处进行裁剪.5。

本试卷主要考试内容:前3次联考内容+立体几何+平面解析几何。

一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上。

1.已知集合A={x ｜x 2≤2x },B={y|y>1}，则A∩B 等于 ▲ .2.若双曲线x 2—ay 2=1的离心率为√62,则正数a 的值为 ▲ .3.一圆锥的侧面展开图是一半径为2的半圆,则该圆锥的体积为 ▲ .4.在下列四个图所表示的正方体中，能够得到AB⊥CD 的是 ▲ .5.若过点P （2，—1）的圆（x —1）2+y 2=25的弦AB 的长为10,则直线AB 的方程是 ▲ .6。

已知α是第二象限角,且sin α=35，则tan(α+π4)= ▲ 。

7。

已知椭圆x 2m +y 2n =1(m>n 〉0）的离心率为12,且有一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点重合,则椭圆的短轴长为 ▲ 。

8.设m,n∈R,若直线l ：mx+ny-1=0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B,且坐标原点O 到直线l 的距离为√3,则△AOB 的面积S 的最小值为 ▲ 。

9.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,已知a 2—b 2=c,且sin Acos B=2cos Asin B ，则c= ▲ .10。

已知直线y=k （x+2）（k 〉0)与抛物线C:y 2=8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若｜FA ｜=2｜FB ｜,则k 等于 ▲ . 11.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x 〉0时,f(x)=52cos （π2x)+lo g 12x,则函数f(x ）的零点个数为 ▲ .12。

一，填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}3,2,1=A ,{}5,4,2=B ,则集合B A 中圆素地个数为_______.【结果】5【思路】试题思路：{123}{245}{12345}5A B == ，，，，，，，，，个元素考点：集合运算2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据地平均数为________.【结果】6考点：平均数3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位）,则z 地模为_______.【思路】试题思路：22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=考点：复数地模,可知输出地结果S 为________.【结果】7【思路】试题思路：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环,输出7.S =考点：循环结构流程图5.袋中有形状，大小都相同地4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同地概率为________.【结果】5.6（第4题图）考点：古典概型概率6.已知向量a =)1,2(,b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -地值为______.【结果】3-【思路】试题思路：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-考点：向量相等7.不等式224x x-<地解集为________.【结果】(1,2).-【思路】试题思路：由题意得：2212x x x -<⇒-<<,解集为(1,2).-考点：解指数不等式与一圆二次不等式8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β地值为_______.【结果】3【思路】试题思路：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-考点：两角差正切公式9.现有橡皮泥制作地底面半径为5,高为4地圆锥和底面半径为2，高为8地圆柱各一个。

数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.1.22.63.4.75. 566.-37.8.3{}x x<︱-1<2（或（-1,2））10. 11. 13.4 14. 22(1)2x y -+=2011二、解答题15.本小题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角公式，考查运算求解能力.满分14分。

解：（1）由余弦定理知，，2221C C 2C cos 4922372B =AB +A -AB⋅A ⋅A =+-⨯⨯⨯=则．()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦'=+++令，()()()()()()()22213ln 13312ln 1231ln 1t t t t t t t ϕ=++-+++++则．()()()()()()()613ln 13212ln 121ln 1t t t t t t t ϕ'=++-+++++⎡⎤⎣⎦令，则．()()1t t ϕϕ'=()()()()163ln 134ln 12ln 1t t t t ϕ'=+-+++⎡⎤⎣⎦令，则．()()21t t ϕϕ'=()()()()212011213t t t t ϕ'=>+++由，，()()()()1200000g ϕϕϕ====()20t ϕ'>知，，，在和上均单调．()2t ϕ()1t ϕ()t ϕ()g t 1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,+∞故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立．()g t 0t =**0t =所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列．1a d n k 1n a 2n k a +23n k a +34n k a +数学Ⅱ（附加题）参考答案21.[选做题]A .（选修4—1：几何证明选讲）本小题主要考查圆的基本性质和相似三角形等基础知识，考查推理论证能力.满分10分。

(直打版)2015年江苏省高考数学试卷及答案Word版(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(直打版)2015年江苏省高考数学试卷及答案Word版(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(直打版)2015年江苏省高考数学试卷及答案Word版(word版可编辑修改)的全部内容。

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，,则集合AB 中元素的个数为_______。

2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位)，则z 的模为_______。

4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球,2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________。

6.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为______.7.不等式224x x-<的解集为________。

8。

已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______。

9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。

10。

在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 。

2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．(5分）(2015•江苏）已知集合A=｛1,2,3},B={2，4，5｝，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A=｛1,2，3｝，B=｛2，4，5}，则A∪B={1,2，3，4,5｝；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算,根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分)（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题: 概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答:解:数据4,6，5，8,7，6,那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评:本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．(5分）（2015•江苏)设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位)，则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解:复数z满足z2=3+4i，可得｜z||z｜=|3+4i｜==5，∴|z｜=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．(5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题: 图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答:解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8,S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8,S=7，I=10不满足条件I＜8,退出循环，输出S的值为7．故答案为:7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．(5分）（2015•江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答:解:根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．(5分）（2015•江苏)已知向量=（2，1),=（1，﹣2），若m+n=(9，﹣8）（m，n∈R)，则m ﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算,求解即可．解答：解:向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8)可得,解得m=2,n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为(﹣1，2）．考点: 指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1,2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．(5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=,则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题: 三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=,解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分)(2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得:．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．(5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0)为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0(m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤,∴m=1时,圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1)2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力,比较基础．11．（5分）(2015•江苏)设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析:数列{a n｝满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1（n∈N＊），利用“累加求和"可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解:∵数列｛a n｝满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为:．点评:本题考查了数列的“累加求和"方法、“裂项求和"方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）(2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题: 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为:．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．(5分）(2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|,g(x）=，则方程｜f(x）+g(x)｜=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题: 综合题;函数的性质及应用．分析:：由｜f(x）+g（x）｜=1可得g（x)=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解:由|f（x)+g（x）｜=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x)=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g(x ）与φ（x)=﹣f （x ）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程｜f （x ）+g(x ）|=1实根的个数为4． 故答案为：4． 点评：本题考查求方程｜f （x ）+g （x ）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）(2015•江苏）设向量=(cos，sin+cos）（k=0,1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为．考点:数列的求和． 专题:等差数列与等比数列;平面向量及应用． 分析： 利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 解答解:=+:=++++=++ =++，∴（a k •a k+1)=+++++++…+++++++…+=+0+0 =．故答案为：9．点评： 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．考点: 余弦定理的应用；二倍角的正弦． 专题: 解三角形． 分析：(1）直接利用余弦定理求解即可． （2）利用正弦定理求出C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可． 解答:解：（1)由余弦定理可得:BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===,∵AB ＜BC ，∴C 为锐角, 则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．(14分）（2015•江苏)如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：(1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点: 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题: 证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C;（2)先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意,得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC,因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1;又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）(2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l,如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1,l2的距离分别为20千米和2。

2015年江苏省大联考高考数学五模试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则=．2．集合M={x|0＜x≤3}，N={x∈N|0≤x﹣1≤1}，则M∩N=．3．某算法流程图如图所示，则输出k的值是．4．用反证法证明命题“若正整数a，b，c满足b2﹣2ac=0，则a，b，c中至少有一个是偶数”时，反设应为．5．已知i是虚数单位，则|﹣|=．6．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．7．某商品在5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是=﹣3.2x+4a，则a=．8．关于x，y的不等式组所构成的区域面积为．9．某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，若要从成绩在[85，90），[90，95），[95，100]三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加面试，则成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数为．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若acosB+bcosA=2，则c=．11．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上一点，直线OA的斜率为（O 为坐标原点），且A到F的距离为3，则p=．12．已知S n是数列{a n}的前n项和，向量=．13．已知2a=3b=6c，k∈Z，不等式＞k恒成立，则整数k的最大值为．14．设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，将此等差数列的各项排成如图所示三角形数阵：若此数阵中第i行从左到右的第j个数是﹣588，则i+j=．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．城市公交车的数量若太多则容易造成资的浪费；若太少又难以满足乘客需求．南充市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：）（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好自不同组的概率．16．设a ，b ，c 均为正实数．（1）若a+b+c=1，求证：a 2+b 2+c 2≥；（2）求证：≥．17．某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，统计结果如下：（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元）与空气质量指数API （记为ω）的关系式为：S=试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；（2）若以上表统计的频率作为概率，求该城市某三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率．（假定这三天中空气质量互不影响）18．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC=BC=CC 1=2，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点．（Ⅰ）求线段MN 的长；（Ⅱ）求证：MN ∥平面ABB 1A 1；（Ⅲ）线段CC 1上是否存在点Q ，使A 1B ⊥平面MNQ ？说明理由．19．已知点P（4，4），圆C：（x﹣m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：+=1（a＞b＞0）有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求•的取值范围．20．定义函数f k（x）=为f（x）的k阶函数．（1）求f（x）的一阶函数f1（x）的单调区间；（2）讨论方程f2（x）=1的解的个数．2015年江苏省大联考高考数学五模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则=3﹣i．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：由z=（1+i）（2﹣i）=3+i，∴=3﹣i．故答案为：3﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．集合M={x|0＜x≤3}，N={x∈N|0≤x﹣1≤1}，则M∩N={1，2}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出N中不等式解集的自然数解确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：∵M={x|0＜x≤3}，N={x∈N|0≤x﹣1≤1}={x∈N|1≤x≤2}={1，2}，∴M∩N={1，2}．故答案为：{1，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．某算法流程图如图所示，则输出k的值是5．【考点】程序框图．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；k=1，S=10﹣1=9；k=2，S=9﹣2=7；k=3，S=7﹣3=4；k=4，S=4﹣4=0；S≤0，输出k=4+1=5．故答案为：5．【点评】本题考查了循环结构的程序框图应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目．4．用反证法证明命题“若正整数a，b，c满足b2﹣2ac=0，则a，b，c中至少有一个是偶数”时，反设应为假设a，b，c都是奇数．【考点】反证法与放缩法．【专题】证明题；推理和证明．【分析】利用反证法证明的步骤，从问题的结论的反面出发否定即可．【解答】解：假设a，b，c都是奇数“至少有一个偶数”的否定为“都不是偶数”，即反设应为“假设a，b，c都是奇数”．故答案为：假设a，b，c都是奇数．【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5．已知i是虚数单位，则|﹣|=．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简﹣，则答案可求．【解答】解：由﹣=，则|﹣|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣=故答案为：．【点评】本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，要求会读图，并且掌握茎叶图的特点：个位数从主干向外越来越大．属简单题．7．某商品在5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是=﹣3.2x+4a，则a=10．【考点】两个变量的线性相关．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据回归直线过样本中心点（，），求出平均数，代入回归直线方程求出a的值即可．【解答】解：根据题意得，==10，==+6，因为回归直线过样本中心点（，），所以+6=﹣3.2+4a，解得a=10．故答案为：10．【点评】本题考查了平均数的计算问题，也考查了回归直线过样本中心点的应用问题，是基础题目．8．关于x，y的不等式组所构成的区域面积为9．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据图象的形状进行求解即可．【解答】解：根据约束条件画出可行域，如图所示．则A（1，1），B（4，1），C（4，5），D（1，3），则直角梯形ABCD的面积为×3（2+4）=9．故答案为：9．【点评】本题主要考查平面区域面积的计算，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．9．某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，若要从成绩在[85，90），[90，95），[95，100]三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加面试，则成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数为6．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】由频率分布直方图，先求出a=0.040．再求出第3组、第4组和第5组的人数，由此能求出利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生，成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数．【解答】解：由频率分布直方图，得：（0.016+0.064+0.06+a+0.02）×5=1，解得a=0.040．第3组的人数为0.060×5×50=15，第4组的人数为0.040×5×50=10，第5组的人数为0.020×5×50=5，所以利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生，第4组应抽取×12=4人，第5组应抽取×12=2人．则成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数为6．故答案为：6．【点评】本题考查分层抽样方法的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若acosB+bcosA=2，则c=2．【考点】余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】直接利用余弦定理，代入化简，即可求出c．【解答】解：由acosB+bcosA=2得a•+b•=2，所以c=2．故答案为：2．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．11．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上一点，直线OA的斜率为（O 为坐标原点），且A到F的距离为3，则p=2．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（a，b），则有=，即b=a，代入抛物线方程可得p=a，又由A到F的距离为3，得a+=3，即可解得答案．【解答】解：设A（a，b），则有=，即b=a，∴（a）2=2pa，可得p=a，又∵a+=3，∴p=2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中根据已知A到F的距离为3，得到a+=3是解答的关键．12．已知S n是数列{a n}的前n项和，向量=．【考点】等差数列的性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由已知中向量，且，结合两向量垂直数量积为0，我们易得到4（a n﹣1）﹣2S n=0，利用数列的性质我们易判断数列{a n}是一个等比数列，代入数列前n项和公式，即可得到效果．【解答】解：∵向量，且∴4（a n﹣1）﹣2S n=0∴a n=2a n﹣1即数列{a n}是以2为公比的等比数列则==故答案为：【点评】本题考查的知识点是等比数列的性质，数量积判断两个向量的垂直关系，其中利用两向量垂直数量积为0，得到4（a n ﹣1）﹣2S n =0，是解答本题的关键．13．已知2a =3b =6c ，k ∈Z ，不等式＞k 恒成立，则整数k 的最大值为 4 ．【考点】函数恒成立问题． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数幂和对数的运算性质，结合基本不等式即可得到结论． 【解答】解：设2a =3b =6c =t ，（t ＞0）， 则a=log 2t ，b=log 3t ，c=log 6t ，法1：∴ =====2+，∵lg2≈0.310，lg3≈0.477，∴，，则2+≈2+1.54+0.65=4.19 ∵不等式＞k 恒成立，∴k ≤4，整数k 的最大值为4，法2： =====2+＞2，∵不等式＞k 恒成立，∴k ≤4， 故答案为：4．【点评】本题主要考查与对数有关的恒成立问题，利用对数的运算法则结合基本不等式的性质是解决本题的关键．14．设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，将此等差数列的各项排成如图所示三角形数阵：若此数阵中第i行从左到右的第j个数是﹣588，则i+j=29．【考点】归纳推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，代入已知可解得a1和d，可得通项公式，确定第i行的第一个数，利用数阵中第i行从左到右的第j个数是﹣588，可得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S8=4a3，a7=﹣2，∴8a1+28d=4（a1+2d），a7=a1+6d=﹣2，解得a1=10，d=﹣2，∴a n=10+（n﹣1）（﹣2）=﹣2n+12，=（2n﹣3）d，设第i行的第一个数为b i，则b2﹣b1=d，b3﹣b2=3d，…，b n﹣b n﹣1∴b n﹣b1=d+3d+…+（2n﹣3）d=d=﹣2（n﹣1）2，∴b n=﹣2（n﹣1）2+10，n=18，b18=﹣568，﹣588=﹣568+（11﹣1）×（﹣2），∴i+j=18+11=29，故答案为：29．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查归纳推理，属基础题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．城市公交车的数量若太多则容易造成资的浪费；若太少又难以满足乘客需求．南充市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：）（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好自不同组的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为，用60乘以此比例，即得所求．（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有15种，用列举法求得抽到的两人恰好自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好自不同组的概率．【解答】解：（1）候车时间少于10分钟的概率为，所以候车时间少于10分钟的人数为人．…6分（2）将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2．从6人中任选两人包含一下基本事件：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）其中恰好自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为…12分【点评】本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，是统计与概率的简单综合应用，难度不大，属于基础题．16．设a，b，c均为正实数．（1）若a+b+c=1，求证：a 2+b 2+c 2≥；（2）求证：≥．【考点】不等式的证明． 【专题】推理和证明．【分析】（1）利用（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=1，利用重要不等式，通过放缩证明即可．（2）利用分析法由≥，得到条件（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2≥0，推出结论．【解答】证明：（1）∵a+b+c=1， ∴（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=1， ∵2ab ≤a 2+b 2，2bc ≤c 2+b 2，2ac ≤a 2+c 2， ∴a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=1≤3（a 2+b 2+c 2）， ∴a 2+b 2+c 2≥．（2）由已知得a+b+c ＞0， 欲证≥，只需证≥，只需证3（a 2+b 2+c 2）≥（a+b+c ）2， 只需证2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ac ≥0， 即证（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2≥0， 上述不等式显然成立，故原不等式成立．【点评】本题考查不等式的证明，考查分析法以及综合法的应用，考查逻辑推理能力．17．某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，统计结果如下：（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：S=试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若以上表统计的频率作为概率，求该城市某三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率．（假定这三天中空气质量互不影响）【考点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由已知条件求出频数，由此能求出该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率．（2）记空气质量轻度污染为事件B，由已知条件求出P（B）=，由此能求出三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率．【解答】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，P（A）=．（2）记空气质量轻度污染为事件B，由（1）知P（B）=，则P（）=，记三天中恰有一天空气质量轻度污染为事件C，则P（C）=××+××+××=0.441．故三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率为0.441．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接CN，易证AC⊥平面BCC1B1．由勾股定理可得CN的值，进而可得MN的长；（Ⅱ）取AB中点D，连接DM，DB1，可得四边形MDB1N为平行四边形，可得MN∥DB1，由线面平行的判定定理可得MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）当Q为CC1中点时，有A1B⊥平面MNQ．连接BC1，易证QN⊥BC1．可得A1B⊥QN，A1B⊥MQ，由线面垂直的判定可得．【解答】解：（Ⅰ）连接CN，因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1，…因为AC⊥BC，所以AC⊥平面BCC1B1．…因为MC=1，CN==，所以MN=…（Ⅱ）证明：取AB中点D，连接DM，DB1…在△ABC中，因为M为AC中点，所以DM∥BC，DM=BC．在矩形B1BCC1中，因为N为B1C1中点，所以B1N∥BC，B1N=BC．所以DM∥B1N，DM=B1N．所以四边形MDB1N为平行四边形，所以MN∥DB1．…因为MN⊄平面ABB1A1，DB1⊂平面ABB1A1…所以MN∥平面ABB1A1．…（Ⅲ）解：线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B⊥平面MNQ．…证明如下：连接BC1，在正方形BB1C1C中易证QN⊥BC1．又A1C1⊥平面BB1C1C，所以A1C1⊥QN，从而NQ⊥平面A1BC1．…所以A1B⊥QN．…同理可得A1B⊥MQ，所以A1B⊥平面MNQ．故线段CC1上存在点Q，使得A1B⊥平面MNQ．…【点评】本题考查直线与平面平行于垂直的判定，熟练掌握判定定理是解决问题的关键，属中档题．19．已知点P（4，4），圆C：（x﹣m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：+=1（a＞b＞0）有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求•的取值范围．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）先利用点A在圆上求出m，再利用直线PF1与圆C相切求出直线PF1与的方程以及c，再利用点A在椭圆上求出2a，即可求出椭圆E的方程；（2）先把用点Q的坐标表示出来，再利用Q为椭圆E上的一个动点以及基本不等式即可求出的取值范围．【解答】解：（1）点A代入圆C方程，得（3﹣m）2+1=5．∵m＜3，∴m=1．设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y=k （x ﹣4）+4，即kx ﹣y ﹣4k+4=0． ∵直线PF 1与圆C 相切，圆C ：（x ﹣1）2+y 2=5，∴，解得．当k=时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．当k=时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为﹣4， ∴c=4．∴F 1（﹣4，0），F 2（4，0）．故2a=AF 1+AF 2=，，a 2=18，b 2=2．椭圆E 的方程为：．（2），设Q （x ，y ），，．∵，即x 2+（3y ）2=18，而x 2+（3y ）2≥2|x|•|3y|，∴﹣18≤6xy ≤18．则（x+3y ）2=x 2+（3y ）2+6xy=18+6xy 的取值范围是[0，36]． ∴x+3y 的取值范围是[﹣6，6] ∴x+3y ﹣6的范围只：[﹣12，0]．即的取值范围是[﹣12，0]．【点评】本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．20．定义函数f k （x ）=为f （x ）的k 阶函数．（1）求f （x ）的一阶函数f 1（x ）的单调区间； （2）讨论方程f 2（x ）=1的解的个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数f1′（x），令f1′（x）=0，讨论当当a=0时，当a＞0时，当a＜0时，f1（x）的单增区间，单减区间．（2）由方程f2（x）=1，当a=0时，方程无解；当a≠0时，=．构造函数g（x）=（x＞0），求出对数g′（x），利用函数的极值点，单调性，讨论出当0＜＜，即a＞2e时，方程有两个不同解．当＞，即0＜a＜2e时，方程有0个解．当=或＜0即a=2e 或a＜0时，方程有唯一解．【解答】解：（1）f1（x）=（x＞0），f1′（x）==（x＞0），令f1′（x）=0，当a≠0时，x=e．∴当a=0时，f1（x）无单调区间；当a＞0时，f1（x）的单增区间为（0，e），单减区间为（e，+∞）；当a＜0时，f1（x）的单增区间为（e，+∞），单减区间为（0，e）．（2）由=1，当a=0时，方程无解；当a≠0时，=．令g（x）=（x＞0），则g′（x）==．由g′（x）=0得x=，从而g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．g（x）max=g（）=．当x→0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→0．当0＜＜，即a＞2e时，方程有两个不同解．当＞，即0＜a＜2e时，方程有0个解．当=或＜0即a=2e或a＜0时，方程有唯一解．综上，当a＞2e时，方程有两个不同解；当0＜a＜2e时，方程有0个解；当a=2e或a＜0时，方程有唯一解．【点评】本题考查函数的导数的应用，构造法以及函数的极值，函数的零点个数的讨论，考查分类讨论以及转化思想的应用．21。

江苏省南京一中等五校2015届高三联考（四模）数学数 学 (I)（满分160分，考试时间120分钟）注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分,共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1.已知集合M ＝{x |x ＜1｝,N ＝{x |lg （2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ．【答案】(0,1）【解析】 试题分析：由{}{}lg(21)00N x x x x =+>=>，可得 M ∩N ＝（0,1）考点：1.集合；2。

不等式；2。

复数z ＝错误!为纯虚数，则实数a 的值为 ．【答案】1【解析】试题分析:由()(1)(1)(1)122a i a i i a a i z i +++-++===-为纯虚数，可得a －1＝0,即a ＝1。

考点：1。

复数的除法；2.纯虚数的定义；3．某学校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．【答案】8【解析】试题分析：由题意知抽取的人数为40×错误!＝8。

考点：分层抽样;4.执行如图所示流程图，得到的结果是．【答案】错误!【解析】试题分析：n＝1,S＝错误!；n＝2，S＝错误!；n＝3，S＝错误!.输出S。

考点：程序框图；5。

已知双曲线错误!（a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝错误!x，那么该双曲线的离心率为 ．【答案】错误!【解析】试题分析：由题意得错误!＝错误!，则由c 2＝a 2＋b 2,可得22169b a =,即222169c a a -=，则22259c a =，所以e=错误!.考点:双曲线的概念及性质；6.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为 ．【答案】错误!【解析】试题分析：总的基本事件个数为36，两个都是偶数的基本事件有9个，故由对立事件的概率可得P ＝1－错误!＝错误!。

扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案第一部分1．已知集合{1,2,4},{2,3,4,5}A B ==，则AB =．{2，4}2．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．13i -3．命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是 ．2,10x R x ∃∈+≤ 4．已知α为第三象限角，且tan 2α=，则sin 2α= ．455．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是 ．9106．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = －17．锐角ABC △中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，4,5a b ==, ABC △的面积为则c = ．8．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是 ． 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2244a S a S =，则12015S S 等于 ．1 10．若函数()cos f x k x =⋅的图象过点(,1)3P π，则该函数图象在P 点处的切线倾斜角等于 ．23π析：∵函数()cos f x k x =⋅的图象经过点(,1)3P π，∴()cos 1233f k k ππ==⇒=，∴x x f cos 2)(=，()2sin f x x '=-，()2sin33k f ππ'==-=11．若直线30x y m ++=截半圆y =所得的弦长为8，则m = ．-12．平面内四点,,,O A B C 满足4,0OA OB OC OB OC ==⋅=，则ABC ∆面积的最大值为 ．15DB13．已知椭圆E ：22221(0)x y ab a b +=>>的右焦点为F ，离心率为2，过原点O 且倾斜角为3π的直线l 与椭 圆E 相交于A 、B两点，若△AFB 的周长为413+，则椭圆方程为 ．2214x y += 析：由已知2a b =，椭圆方程可化为：2224x y a +=，将:l y =代入得||A x =， 由椭圆对称性，△AFB 的周长=2||24||A a AB a x +=+，可得2a =． 14．已知函数||()()x x f x x R e=∈，12()421()x x g x a a a a R +=-+⋅++-∈， 若{|(g())}R A x f x e =>=，则a 的取值范围是 ．[1,0]- 析：当0x ≥时，1'()x xf x e-=，得()f x 在[)0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，当1x =时有极大值1e； 当0x <时，1'()0xx f x e -=<恒成立，()f x 是减函数，且(1)f e -=． 设()g x t =，由()f t e >得1t <-，即()1g x <-对x R ∈恒成立，22()(2)21x g x a a a =--++-，当0a >时，2()21g x a a ≤+-，而2211a a +->-，不合题意；当0a ≤时，2()(,1)g x a a ∈-∞+-，∴211a a +-≤-，得10a -≤≤． 15．如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABC 是等边三角形，M 是ABC ∆的中心． ⑴若DM BC ⊥，求证AD BC ⊥；⑵若AD 上存在点N ，使//MN 平面BCD ，求AN ND 的值．证⑴连AM 并延长交BC 于E ，连DE因为M 是等边ABC ∆的中心，所以E 是BC 的中点，AE BC ⊥ ……………2分又因为DM BC ⊥，AE DM M =，,AE DM ⊂平面ADE ，所以BC ⊥平面ADE ， ……………5分因为AD ⊂平面ADE ，所以AD BC ⊥； ……………7分⑵,M AE AE ∈⊂平面ADE ，所以M ∈平面ADE ， 因为AD 上存在点N ，所以N ∈平面ADE ， 所以MN ⊂平面ADE ， ……………9分又//MN 平面BCD ，平面ADE 平面BCD DE =，所以//MN DE ， ……………12分在ADE ∆中，因为12AM ME =，所以12AN ND =． ……………14分16．ABC ∆的内角,A B 满足2cossin 22A B A Ba i j +-=+(单位向量,i j 互相垂直)，且6||a =． ⑴求tan tan A B 的值； ⑵若sinA =，边长2a =，求边长c ． 解⑴因为2223||2cossin 222A B A B a +-=+=， 即1cos()31cos()22A B A B --+++=， ……………3分所以cos cos sin sin cos cos sin sin 02A B A BA B A B +--=，化简整理，得13tan tan 022A B -=，故ta n A B =13. ……………7分(2)由(1)可知,A B为锐角．因为sin A =，所以2tan 3A =，1tan 2B =，tan tan 7tan tan()1tan tan 4A B C A B A B +=-+=-=--，sin C =……………12分 因为正弦定理sin sin a cA C=，所以227c=，所以边长5c =． ……………14分 17．一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.6立方米．为保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍．保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元．为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用与保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元．⑴若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用与保险费用的和； ⑵为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？ 解⑴2248000500(2.550.6)230052.5⨯-+=； ……………4分⑵保护罩的底面边长为x 米，底面积为S 平方米，体积为V 立方米，总费用为y 元，则 48000500(0.6)y V S =-+=2248000500(20.6)x x x ⋅-+32480001000300x x =+-，（ 1.2x ≥）……9分52339600032'30003000x y x x x -=-=，令'0y =得2x =， 当1.22x ≤<时'0y <，y 递减；当2x >时'0y >，y 递增∴当2x =时，y 有极小值即最小值．答：为了使这两项总费用最低，保护罩的底面边长应设计为2米． ……………14分18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点． ⑴求椭圆的离心率；⑵过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN的距离为41，求椭圆方程． 解⑴因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=， 又a、c >，所以2a c=，所以12c e a ==； ……………4分 ⑵①解法一：过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，依题意，11NF MFe NN MM ==， 又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆= 又F是AT中点，∴ANF TNFS S ∆∆=，∴1212S S =； ……………8分解法二：∵2a c =，∴b =，椭圆方程为2222143x y c c+=，(,0)F c ，(4,0)T c设11(,)M x y ，22(,)N x y ，点M 在椭圆2222143x y c c+=上，即有22211334y c x =-，∴MF ==1111|2|222x c c x ==-=- 同理2122NF c x =-， 又2NF MF =，故1224x x c -=得M 是,N T 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=， 又F是AT中点，∴ANF TNFS S ∆∆=，∴1212S S =； ……………8分 ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c+=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c cx c y c c +=-+= 两式相减得：220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =， ……………10分可得08y=，故直线MN的斜率为87644kc c==-，……………13分直线MN的方程为4)y x c=-60y+-=原点O到直线TMN的距离为d==，41=c=故椭圆方程为2212015x y+=．……………16分解法二：设(,0)F c，则椭圆方程为2222143x yc c+=，由①知M是,N T的中点，故1224x x c-=，直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为(4)y k x c=-，与椭圆联立，并消去y得：22222(4)143x k x cc c-+=，整理得：222222(43)3264120k x ck x k c c+-+-=，（*）设11(,)M x y，22(,)N x y，依题意：⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ckx xkk c cx xk+=+-=+由⎧⎨⎩212212324324ckx x k x x c +=+-=解得：⎧⎨⎩ 2122221644316443ck c x k ck cx k +=+-=+ 所以222222221641646412434343ck c ck c k c c k k k +--⨯=+++，解之得：2536k =，即6k =． 直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c = 故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分19．设m 个正数ma a a ,...,,21()*4,m m N ≥∈依次围成一个圆圈．其中1231,,,...,,k k a a a a a -*(,)k m k N <∈是公差为d 的等差数列，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列． ⑴若12a d ==，8k =，求数列m a a a ,...,,21的所有项的和m S ； ⑵若12a d ==，2015m <，求m 的最大值； ⑶是否存在正整数k ，满足1211213()k k k k m m a a a a a a a a -++-++++=++++？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解⑴依题意16k a =，故数列m a a a ,...,,21即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，此时10m =，84m S =， ……………4分⑵由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是首项为2、公差为2的等差数列知，2k a k =， 而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是首项为2、公比为2的等比数列知，22m k k a +-=， 故有222m kk +-=，12m kk +-=，即k 必是2的整数次幂，由122km k +⋅=知，要使m 最大，k 必须最大，又2015k m <<，故k 的最大值102，从而101024222m +⋅=，m 的最大值是1033． ……………9分⑶由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是公差为d 的等差数列知，1(1)k a a k d =+-， 而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列112m k k a a +-=⋅， 故1(1)a k d +-112m k a +-=⋅，11(1)(21)m k k d a +--=- 又121113()k k k k m m a a a a a a a a -+-+++=++++，12m a a =则11112(1)32212m k ka k k d a --+-=⨯⨯-，即11111[(21)]32(21)2m km k ka k a a +--+-=⨯-，则11126(21)22m k m k k k +--⋅+=-，即1126212m k m k k k +-+-⋅+=⨯-， 显然6k ≠，则112182166m k k k k +-+==-+-- 所以6k <，将12345k =，，，，一一代入验证知， 当4k =时，上式右端为8，等式成立，此时6m =，综上可得：当且仅当6m =时，存在4k =满足等式． ……………16分20．设函数1()1f x x =-，()1x g x ax =+(其中a R ∈，e 是自然对数的底数）． ⑴若函数()()()F x f x g x =-没有零点，求实数a 的取值范围；⑵若函数(),()f x g x 的图象有公共点P ，且在点P 有相同的切线，求实数a 的值；⑶若()()xf eg x ≤在x ∈[0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围．解⑴由()()()0F x f x g x =-=得2(1)(1)10a x a x ----=，显然0x =，1x a=-都不是此方程的根，当1a =时，没有实根，则1a ≠，由2(1)4(1)0a a -+-<得：31a -<<， 故当(3a ∈-时，函数()()F x f x g x =-没有零点； ……………3分 ⑵21'()f x x=，21'()(1)g x ax =+，设它们的公共点为(,)P P P x y ， 则有⎧⎪⎨⎪⎩()()'()'()P P P P P P y f x y g x f x g x ===即⎧⎨⎩()()'()'()P P P P f x g x f x g x ==也就是⎧⎪⎨⎪⎩2211111()(1)P P P P Px x ax x ax -=+=+当1P P ax x +=时111P x -=，无解；当1P P ax x +=-时111P x -=-，12P x =，3a =-；…………8分⑶由题得111xx e ax -≤+在[0,)+∞上恒成立，因为0x ≥，故1[0,1)xe --∈， 所以110x e -≥在[0,)+∞上恒成立，故01xax ≥+在[0,)+∞上恒成立，所以，0a ≥. ……………10分解法一：不等式11x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0xax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立， 令1()(1)(1)1x x ax h x ax e x ax x e-+=+--=-+--，则1'()1x a x ah x a e-+=+-， 再设()'()m x h x =，则21'()xax a m x e-+-=，同时，'(0)21m a =-，'(0)0h =，(0)0h =，①当0a =时，1'()0,xm x e =-<，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴ '()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减，∴()(0)=0h x h ≤，即()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立，②当102a <≤时，21()'()xa a x a m x e ---=，因为210a a-->，所以'()0m x <，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴ ()h x 在[0,)+∞上单减，∴()(0)=0h x h ≤，即()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当12a >时，21()'()xa a x a m x e ---=，210a a->若210a x a -<<，则'()0m x >，即()'()m x h x =在21(0,)a a-上单调递增，所以'()'(0)0h x h >=即()h x 在21(0,)a a-上也单调递增，∴()(0)=0h x h >，即()()x f e g x ≥，不满足条件.综上，()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是1[0,]2. ……………16分解法二：不等式11x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0x xax e e x +--≤在[0,)+∞上恒成立，设()(1)(1)=(1)(1)x x x h x ax e e x e ax x ax =+---+-+，则'()xh xea x x aa=-+-，再设()'()()xm x h x e ax x a a ==-+-，则'()[(1)(21)]xm x e a x a =-+- 同时，'(0)21m a =-，(0)'(0)0m h ==，(0)0h =， ①当1a ≥时，'(0)210m a =->，故函数'()h x 是(0,)+∞上的增函数所以'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 是(0,)+∞上的增函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=， 即()()xf eg x ≤，与()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，②当102a ≤≤时2101a a -≥-，21'()(1)()01x a m x a e x a -=-+<-，故函数'()h x 是(0,)+∞上的减函数所以'()'(0)0h x h <=，函数()h x 是(0,)+∞上的减函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ≤=，即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当112a <<时，2101a a -<-，21'()(1)()1x a m x a e x a -=-+-当21(0,)1a x a -∈--时，'()0m x >，故函数'()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数所以在21(0,)1a x a -∈--上，'()'(0)h x h >=，所以函数()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数，所以当21(0,)1a x a -∈--时，()(0)0h x h >=，即()()xf eg x ≥，与()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，综上可得，使()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立实数a 的取值范围是1[0,]2．第二部分21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦，计算2M β． 解法一：矩阵M 的特征多项式为221()4312f λλλλλ- -==-+- -，令()0f λ=，解得1,λλ==，对应的一个特征向量分别为1211,11αα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ……………5分令12m n βαα=+，得1,4m n =-=，22221212(4)()4()M M M M βαααα=-+=-+22113511431137⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分解法二：因为221211212M 5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ……………5分所以23353M β5⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分 21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(12x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值．解：由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以2240x y y +-=，即圆C方程为22(2)4x y +-= ……………4分又由12x y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t得0x =， ……………8分因为直线l 与圆C2=得2m =，又m >，所以23m =+． ……………10分 22．如图，平行四边形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直，且11,//2AB BE AF BE AF ===，,,2,3AB AF CBA BC P π⊥∠==为 DF 中点．⑴求异面直线DA 与PE 所成的角；⑵求平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的余弦值．解：在ABC ∆中，1,,23AB CBA BC π=∠==，所以2222cos 3AC BA BC BA BC CBA =+-⨯∠=所以222AC BA BC +=，所以AB AC ⊥又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD平面A B E F A B =，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面ABEF如图，建立空间直角坐标系{,,}AB AF AC ，则1(0,0,0),(1,0,0),((1,1,0),(0,2,0),(2A B C D E F P --⑴3(1,0,3),(,0,2DA PE =-= 设异面直线DA 与PE 所成的角为α，则cos ||||2||||2DA PE DA PE α⋅===⨯⨯ 所以异面直线DA与PE所成的角为6π； ……………5分 ⑵(0,2,0)AF =是平面ABCD 的一个法向量，设平面DEF 的一个法向量(,,)n x y z =，(2,1,3),(1,2,DE DF=-=则(,,)(2,1,20(,,)(1,2,20n DE x y z x y n DF x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，得z =，取1x =，则1,y z == 故(1,1,3)n =是平面DEF的一个法向量，设平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）为β， 则cos ||||||||2AF n AF n β⋅===⨯⨯ ……………10分23．设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，，集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为nmS ． ⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时，求证：nm S 111322n m n +++<+-．解⑴228S =，4232S =； (3)分⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-． 若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n n C -种可能，即为222n C ，……若12||||||n x x x m +++=，即123,,n x x x x ，，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n m m n C -种可能，即为2m m n C ， 所以1122222n m m m n n n S C C C =++⋅⋅⋅+， 因为当0k n ≤≤时，1k n C ≥，故10k nC -≥ 所以1122222n m mm n n n S C C C =+++001122112(222)(1)2(1)2m m m m nn n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++-0011221112(222222)(222)m m m m n nm m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+． ……………10分。

12015年第四次全国大联考统考【新课标Ⅱ】数学（文）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 已知全集{}6,U x x x =∈≤N 且{}1,3,6A =,{}2,3B = 则()UAB =ð（ ）A ．{}0,4,5 B.{}4,5 C.{}1,6 D.{}0,1,62．设复数z 满足()12i 5i,z -= 则z =（ ）A ．2i + B. 2i - C. 2i -+ D. 2i --3．若变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+4352y x y x ,则z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]4,7B ．[]1,7-C ．]7 , 25[D ．[]1,74．若sin 2cos ,x x = 则sin cos x x =（ ）A ．23B ．25C ．45D ．145．已知圆C 与圆2220x y x ++=关于抛物线22y x =的焦点对称,则圆C 的方程为（ ） A. 2220x y x +-= B. 22430x y x +-+= C. 22680x y x +-+= D.22680x y x +++= 6．如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此 棱锥的体积为（ ）A ．38 B.34C.34D.327．执行如图所示的程序框图,则输出的a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．128.若log 2021a n a n ⎛⎫-> ⎪+⎝⎭对任意n *∈N 恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）A. 1a >B. 1a >或102a <<C. 1a >或103a << D. 1a >或102a <≤9. 正数a,b 满足()2363log 2log 1log a b a b +=+=++,则a b +的最小值为（ ）A.1B. 12C.13D.1410.△ABC 中π6B =,,,a b c 成等差数列且,a b c << 则cos cos A C -=（ ）A.31-B. 312+ C.31+ D.31-+11．已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）的左、右焦点,点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心,2OF 为半径的圆上,则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3开a =2,i =i <201411a a=-1i i =+输出结束是 否212. 已知三次函数()f x 在0x =处取得极值0,在1x =处取得极值1,()()()()2,x x a g x f x x a +>⎧=⎨'≤⎩若()3g x x=恰有三个不同实根,则实数a 的取值范围是（ ）A.()1,+∞B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ()0,1D.10,2⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知10a b >>>,1,log ,log ,b b a bx a y z a === 则,,x y z 中值最大的是____________．14．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则球的表面积与圆柱的表面积之比是_________．15．若函数()πsin cos 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足对任意x ∈R ,都有()()f x f a ≥,则a = _______． 16．在平面直角坐标系xOy 中,点),(P P y x P 和点),(QQ y x Q 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=,,P P Q P P Q y x y y x x 若O 为坐标原点,mOQ OP =||||,向量OP 与OQ 的夹角为θ,则θsin m 的值为____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本题满分12分）已知数列{}n a 是公差0d ≠ 的等差数列,其前n 项和为n S ,若55S =-且458,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n nb a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单 位利用周末时间进行了一次社会实践活动,且每个小组有5名同学,在实践 活动结束后,学校团委会对该班的所有同学都进行了测评,该班的,A B 两 个小组所有同学所得分数（百分制）的茎叶图如图所示,其中B 组一同学 的分数已被污损,但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．（1）若在B 组学生中随机挑选1人,求其得分超过85分的概率； （2）现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学,设其分数分别 为,m n ,求||8m n -≤的概率．19．（本小题满分12分）如图,已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形,120BCD ∠=,2AB PC ==,2AP BP ==.（1）求证：AB PC ⊥； （2）求点D 到平面PAC 的距离.20．（本题满分12分）已知圆M 的圆心在直线240x y -+=上,且圆M 与x 轴交于两点(5,0)A -,(1,0)B ．（1）求圆M 的方程；（2）若点B 关于直线1y =的对称点为C ,求过点C 的圆M 的切线方程；（3）已知(3,4)D -,点P 在圆M 上运动,求以AD ,AP 为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q 轨迹方程．21．（本题满分12分）已知函数1()ex a f x x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,a ∈R ． （1）若()10f '-= 求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点,求a 的取值范围．请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。