讲义(F)

《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。

二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k·f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。

例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。

2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。

3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。

即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。

3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。

⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。

例：＝＝＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。

⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。

⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。

5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。

⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。

例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。

第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。

2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。

3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑶＝，＝⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx⑹＝－＝－4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝±＝·g(x)＋f(x)·＝例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：y u，u v，v w，w x y x'＝''''例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的式子，先对y求导，然后y再对x求导。

F-1000/1600海洋泥浆泵培训讲义2004年5 月目录一、三缸泵的结构特点 (1)二、工作原理 (1)三、泥浆泵的使用原则 (2)四、新泵的安装 (3)五、启动前的准备工作 (3)六、泵的启动 (4)七、泵在运转中的监视 (5)八、泥浆泵的维护 (6)九、可能发生的故障和排除方法 (8)十、封存注意事项 (10)一、三缸泵的结构特点1、动力端●底座●机架●小齿轮轴总成●曲轴总成●十字头总成2、液力端●液缸●吸入阀、排出阀●缸套、活塞、活塞杆(柱塞、盘根及缸套)●吸入管、吸入空气包●排出管、排出滤网总成●排出空气包●安全阀●缸盖、阀盖●喷淋泵总成二、工作原理1、曲柄连杆机构，把旋转运动转换为十字头及活塞的往复运动。

活塞的运动速度呈正弦规律变化。

也就是说活塞的运动存在加速度。

2、吸入过程、排出过程。

正转——在排出冲程中下导板受力的转向。

反转——在排出冲程中上导板受力的转向。

3、三缸泵的基本参数功率 hp (kW)泵压 psi (MPa)排量 GPM(l/s)冲程 in (mm) 额定冲数 rpm (r/min) 最大缸套孔径 in (mm) 5、三缸泵的吸入问题合适的吸入管径尽量减短吸入管线长度 适当降低冲数 加装吸入空气包 增加泥浆罐内的液位高度 加装灌注泵 6、排出空气包的作用减少泥浆泵排量的波动，使排出压力趋于平稳。

7、排出安全阀的作用对于某一型号的泥浆泵，每一级缸套规格下的额定压力是由厂商确定的，大孔径缸套时的额定压力低，小孔径缸套时的额定压力高。

当泵的工作压力超过额定工作压力时，安全阀应剪断安全销并放喷，使泵的液力端及时卸荷。

三、泥浆泵的使用原则1、建议在80%的工作压力下运转，严禁超负荷运转。

惯性压力损失吸入管线中的液流加速度吸入管线长度 泥浆比重al p γ△=2230 2S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π吸n D D a =22S D D n l p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∝吸γ△载荷系数KP 寿命系数KL0.80 2.100.90 1.421.00 1.001.10 0.731.20 0.542、尽量使用大活塞、低泵速(在没有灌注泵的条件下)。

F-1600海洋泥浆泵培训讲义目录一、三缸泵的结构特点二、工作原理三、泥浆泵的使用原则四、新泵的安装五、启动前的准备工作六、泵的启动七、泵在运转中的监视八、泥浆泵的维护九、可能发生的故障和排除方法十、封存注意事项一、三缸泵的结构特点1、动力端底座机架小齿轮轴总成曲轴总成十字头总成2、液力端液缸吸入阀、排出阀缸套、活塞、活塞杆(柱塞、盘根及缸套)吸入管、吸入空气包排出管、排出滤网总成排出空气包安全阀缸盖、阀盖喷淋泵总成二、工作原理1、曲柄连杆机构，把旋转运动转换为十字头及活塞的往复运动。

活塞的运动速度呈正弦规律变化。

也就是说活塞的运动存在加速度。

2、吸入过程、排出过程。

正转——在排出冲程中下导板受力的转向。

反转——在排出冲程中上导板受力的转向。

3、三缸泵的基本参数功率 hp (kW)泵压 psi (MPa)排量 GPM(l/s)冲程 in (mm)额定冲数 rpm (r/min)最大缸套孔径 in (mm)4、三缸泵的吸入问题合适的吸入管径尽量减短吸入管线长度适当降低冲数加装吸入空气增加泥浆罐内的液位高度加装灌注泵6、排出空气包的作用减少泥浆泵排量的波动，使排出压力趋于平稳。

7、排出安全阀的作用对于某一型号的泥浆泵，每一级缸套规格下的额定压力是由厂商确定的，大孔径缸套时的额定压力低，小孔径缸套时的额定压力高。

当泵的工作压力超过额定工作压力时，安全阀应剪断安全销并放喷，使泵的液力端及时卸荷。

三、泥浆泵的使用原则1、建议在80%的工作压力下运转，严禁超负荷运转。

载荷系数KP 寿命系数KL0.80 2.100.90 1.421.00 1.001.10 0.731.20 0.542、尽量使用大活塞、低泵速(在没有灌注泵的条件下)。

3、合理的吸入管汇，良好的吸入性能。

4、注意搞好预防性维护保养。

四、新泵的安装1、泥浆泵应安装在水平或略向液力端倾斜的底座上。

2、泵的安装位置应尽量降低，泥浆池的位置应尽量提高。

理论力学一 静力学(平衡问题)01力的投影与分力 02约束与约束力 03二力构件04平面汇交力系的简化 05力矩与力偶理论06平面一般力系的简化：主矢和主矩 07平面一般力系的平衡方程 08零杆的简易判断方法 09刚体系统的平衡问题 10考虑摩擦时的平衡问题01力的投影与分力 基本概念：刚体：在力的作用下大小和形状都不变的物体。

平衡：物体相对于惯性参考系保持静止或均速直线运动的状态 力的三要素：力的大小、方向、作用点。

集中力：力在物体上的作用面积很小，可以看做是一个作用点，单位：N 。

分布力：小车的重力均匀分布在桥梁上面，这种力称为分布力（也称为均布荷载），常用q 表示，单位N/m ，若均布荷载q 作用的桥梁的长度是L ，则均布荷载q 的合力就等于q ×L ，合力的作用点就在桥梁的中点位置。

力的投影和分力 1)在直角坐标系： 投影(标量)：cos x F F α= cos y F F β=分力(矢量)cos x F F i α=u u r r cos y F F j β=u u r r2)在斜坐标系： 投影(标量)：cos x F F α= cos()y F F ϕα=-分力(矢量)(cos sin cot )x F F F i ααϕ=-u u r rsin sin y F F j αβ=u u r r02约束与约束力约束：对于研究对象起限制作用的其他物体。

约束力方向：总是与约束所能阻止物体运动的方向相反，作用在物体和约束的接触点处。

约束力大小：通常未知，需要根据平衡条件和主动力求解。

(1)柔索约束：柔索约束：由绳索、皮带、链条等各种柔性物体所形成的约束，称为柔索约束。

特点：只能承受拉力，不能承受压力。

约束力：作用点位接触点，作用线沿拉直方向，背向约束物体。

(2)光滑面约束光滑面约束：由光滑面所形成的约束称为光滑面约束。

约束性质：只能限制物体沿接触面公法线趋向接触面的位移。

特点：只能受压不能受拉，约束力F 沿接触面公法线指向物体。

第14讲导数的概念与运算知识梳理知识点一：导数的概念和几何性质1、概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='．知识点诠释：①增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；②当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆．2、几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．3、物理意义函数()s s t =在点0t 处的导数0()s t '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即0()v s t '=；()v v t =在点0t 的导数0()v t '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即0()a v t '=．知识点二：导数的运算1、求导的基本公式基本初等函数导函数()f x c =（c 为常数）()0f x '=()a f x x =()a Q ∈1()a f x ax -'=()x f x a =(01)a a >≠，()ln x f x a a'=()log (01)a f x x a a =>≠，1()ln f x x a'=()xf x e =()xf x e '=()ln f x x =1()f x x'=()sin f x x =()cos f x x '=()cos f x x=()sin f x x'=-2、导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；（2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；（3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=．3、复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为x u x y y u '''=：【解题方法总结】1、在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩．2、过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．必考题型全归纳题型一：导数的定义【例1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的图象如图所示，函数()y f x =的导数为()y f x '=，则（）A ．(2)(3)(3)(2)f f f f <'<-'B ．(3)(2)(3)(2)f f f f <'<-'C ．(2)(3)(2)(3)f f f f <-'<'D ．(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'【答案】D【解析】由()f x 图象可知()()()()''323221f f f f -<<-，即()()()()''3322f f f f <-<.故选：D【对点训练1】（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm ，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系式为3213h t t =+，当t t =0时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s ，则当01t t =+时，液体上升高度的瞬时变化率为（）A ．5cm/sB ．6cm/sC ．8cm/sD ．10cm/s【答案】C【解析】由3213h t t =+，求导得：22h t t '=+.当t t =0时，20023h t t '=+=，解得01t =（03t =-舍去）.故当012t t =+=时，液体上升高度的瞬时变化率为22228cm/s +⨯=.故选：C【对点训练2】（2024·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数()f x 的导函数是()f x '，若()02f x '=，则0001()()2lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】因为()02f x '=所以00000Δ0Δ011(Δ)()(Δ)()1122lim lim ()11Δ22Δ2x x f x x f x f x x f x f x x x→→'+-+-===故选：B【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）若函数()f x 在0x 处可导，且()()0002lim12x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=（）A ．1B ．1-C ．2D ．12【答案】A【解析】由导数定义可得()()()00002lim 2x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，所以()01f x '=．故选：A ．【对点训练4】（2024·高三课时练习）若()f x 在0x 处可导，则()0f x '可以等于（）．A ．()()000lim x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】A【解析】由导数定义()()()0000=lim x f x x f x x xf ∆→+∆-∆'，对于A ，()()()()()()00000000=lim limx x f x f x x f x f x x f x x x x x∆→∆→--∆-=--∆'-∆∆，A 满足；对于B ，()()()()()()()00000000lim lim2=x x f x x f x x f x x f x x x x x x x xf ∆→∆→+∆--∆+∆--∆=+∆--∆∆'，()()()00001=lim2x f f x x f x x x x∆→+∆--∆∆'，B 不满足；对于C ，()()()()()()()0000000022lim =l =im23x x f x x f x x f x x f x x x x x x xf x ∆→∆→-+∆-∆+∆--∆+'∆--∆∆，()()()000021lim3=x f x x f x f x x x∆→+--∆'∆∆，C 不满足；对于D ，()()()()()()()0000000022lim lim23=x x f x x f x x f x x f x xx x x x x xf ∆→∆→+∆--∆+∆--∆=+∆--∆∆'，()()()0000132=limx f x x f x x x f x∆→+∆--∆'∆，D 不满足.故选：A.【解题方法总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．题型二：求函数的导数【例2】（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．(1)()()221f x x =-+；(2)()()ln 41f x x =-；(3)()322x f x +=(4)()f x =【解析】（1）因为()()2221441f x x x x =-+=-+，所以()84f x x '=-.（2）因为()()ln 41f x x =-，所以()441f x x '=-.（3）因为()322x f x +=，所以()3232ln2x f x +'=⨯（4）因为()f x =，所以()f x '=【对点训练5】（2024·高三课时练习）求下列函数的导数：(1)()2321cos y x x x =++；(2)y (3)18sin ln y x x x =+-；(4)32cos 3log xy x x x =-；(5)33sin 3log xy x x =-；(6)e cos tan x y x x =+．【解析】（1）()()()22321cos 321cos y x x x x x x '''=+++++⋅()2(62)cos 321sin x x x x x =+-++.（2）3122235y x x x-=+-+，所以1222213331311222912y x x x x --'=⨯⋅+-⋅=-+.（3）17118cos y x x x'=+-.（4）()()()()332cos 2cos 3log log x x y x x x x x x '⎡⎤''''=+-+⎢⎥⎣⎦()332ln 2cos 2sin 3log 3log e x x x x x =---.（5）()()13sin 3sin 3ln 3xxy x x x '''=+-⋅()313ln 3sin 3cos 3log e xx x x x=+-⋅.（6）sin e cos tan e cos cos x xxy x x x x=+=+，故()()()()2sin cos cos sin e cos e cos cos x x x x x xy x x x ''-'''=+⋅+21=e cos e sin cos x x x x x-+.【对点训练6】（2024·海南·统考模拟预测）在等比数列{}n a 中，32a =，函数()()()()12512f x x x a x a x a =---L ，则()0f '=__________．【答案】16-【解析】因为()()()()()()()1251251122f x x x a x a x a x x a x a x a '⎛⎫''=---+---⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭L L ()()()()()()1251251122x a x a x a x x a x a x a '=-⋅--+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L L ，所以()125102f a a a '=-L ．因为数列{}n a 为等比数列，所以2152434a a a a a ===，于是()21042162f '=-⨯⨯=-．故答案为：16-【对点训练7】（2024·辽宁大连·育明高中校考一模）已知可导函数()f x ，()g x 定义域均为R ，对任意x 满足()21212f x x g x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且()11f =，求()112f g ⎛⎫''+= ⎪⎝⎭__________.【答案】3【解析】由题意可知，令1x =，则()211211112f g ⎛⎫+⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭，解得()111222f g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()21212f x x g x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得()()()221122122f x x g x x g x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫'''++=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()2114122f x xg x x g x ⎛⎫⎛⎫''++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x =，得()211141111122f g g ⎛⎫⎛⎫''+⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1114122f g g ⎛⎫⎛⎫''++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得()111114143222f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''+=-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：3.【对点训练8】（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()212f x x f x '=++，则()1f '=______．【答案】1-【解析】因为()()212f x x f x '=++，则()()211f x xf ''=+，故()()1211f f ''=+，故()11f '=-．故答案为：1-.【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()(0)e e x x f x f -'=-，则(0)f =__________.【答案】-2【解析】由函数2()(0)e e x x f x f -'=-求导得：2()2(0)e e x x f x f -''=+，当0x =时，(0)2(0)1f f ''=+，解得(0)1f '=-，因此，2()e e x x f x -=--，所以(0)2f =-.故答案为：-2【解题方法总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．题型三：导数的几何意义方向1、在点P 处切线【例3】（2024·广东广州·统考模拟预测）曲线()321y x =-在点()1,1处的切线方程为__________．【答案】650x y --=【解析】函数()321y x =-的导函数为()2621y x '=-，所以函数()321y x =-在1x =处的导数值16x y ='=，所以曲线()321y x =-在点()1,1处的切线斜率为6，所以曲线()321y x =-在点()1,1处的切线方程为()161y x -=-，即650x y --=，故答案为：650x y --=.【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）曲线3()ln(2)2f x x =++在点()()0,0f 处的切线方程为______．【答案】22ln 230x y -++=【解析】因为3()ln(2)2f x x =++，所以1()2f x x '=+，则()102f '=，又3(0)ln 22f =+，所以曲线在点()()0,0f 处的切线方程为31ln 222y x --=，即22ln 230x y -++=．故答案为：22ln 230x y -++=.【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知函数321()cos 32f x x bx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π，()f x '为()f x 的导函数.若()f x '的图象关于直线x ＝1对称，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为______【答案】73y =-【解析】2ππ()2sin 22f x x bx x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，令2()2g x x bx =+，ππ()sin 22h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()()f x g x h x '=+，令πππ22x k =+，Z k ∈，解得x ＝2k ＋1，Z k ∈，当k ＝0时，x ＝1，所以直线x ＝1为()h x 的一条对称轴，故()g x 的图象也关于直线x ＝1对称，则有212b-=，解得b ＝－1，则321π()cos 32f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2ππ()2sin 22f x x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，7(2)3f =-，()20f '=，故切线方程为73y =-.故答案为；73y =-.【对点训练12】（2024·湖南·校联考模拟预测）若函数()()()322f x x x x λλ=+-∈R 是奇函数，则曲线()y f x =在点()(),f λλ处的切线方程为______．【答案】24320x y --=【解析】因为()()()322f x x x x λλ=+-∈R 是奇函数，所以()()0f x f x -+=对x ∀∈R 恒成立，即()()()3232222220x x x x x λλλλλ-+-++-=-=对x ∀∈R 恒成立，所以2λ=，则()32f x x =，故()26f x x '=，所以()()3222216,26224f f '=⨯==⨯=，所以曲线()y f x =在点()216,处的切线方程为()16242y x -=-，化简得24320x y --=.故答案为：24320x y --=方向2、过点P 的切线【对点训练13】（2024·江西·校联考模拟预测）已知过原点的直线与曲线ln y x =相切，则该直线的方程是______．【答案】1ey x=【解析】由题意可得()1f x x'=，设该切线方程y kx =，且与ln y x =相切于点()00,x y ，()000000ln 1y kx y x k f x x ⎧⎪=⎪⎪=⎨'⎪⎪==⎪⎩，整理得0ln 1x =，∴0e x =，可得1e k =，∴1ey x =.故答案为：1ey x =.【对点训练14】（2024·浙江金华·统考模拟预测）已知函数()31f x x ax =-+，过点()2,0P 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则实数a 的取值范围是___________.【答案】19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由2()3f x x a '=-，设切点为(,)m n ，则切线斜率为2()3f m m a '=-，所以，过()2,0P 的切线方程为2(3)(2)y m a x =--，综上，23(3)(2)1n m a m n m am ⎧=--⎨=-+⎩，即23(3)(2)1m a m m am --=-+，所以322261a m m =-++有三个不同m 值使方程成立，即2y a =与32()261g m m m =-++有三个不同交点，而2()612g m m m '=-+，故(,0)-∞、(2,)+∞上()0g m '<，()g m 递减，(0,2)上()0g m '>，()g m 递增；所以()g m 极小值为(0)1g =，极大值为(2)9g =，故129a <<时两函数有三个交点，综上，a 的取值范围是19,22⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：19,22⎛⎫⎪⎝⎭【对点训练15】（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）过点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线3y x =的切线，写出一条切线方程：__________.【答案】0y =或32y x =+（写出一条即可）【解析】由3y x =可得23y x '=，设过点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线3y x =的切线的切点为00(,)x y ，则300y x =，则该切线方程为20003()y y x x x -=-，将2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得3200023()3x x x -=--，解得00x =或01x =-，故切点坐标为(0,0)或(1,1)--，故切线方程为0y =或32y x =+，故答案为：0y =或32y x =+【对点训练16】（2024·海南海口·校联考模拟预测）过x 轴上一点(),0P t 作曲线():3e x C y x =+的切线，若这样的切线不存在，则整数t 的一个可能值为_________．【答案】4-，5-，6-，只需写出一个答案即可【解析】设切点为()()000,3e x x x +，因为()4e xy x '=+，所以切线方程为()()()000003e 4e x x y x x x x -+=+-．因为切线l 经过点P ，所以()()()000003e 4e x xx x t x -+=+-，由题意关于0x 的方程()2003430x t x t ----=没有实数解，则()2Δ(3)4430t t =-++<，解得73t -<<-．因为t 为整数，所以t 的取值可能是6-，5-，4-.故答案为：4-，5-，6-，只需写出一个答案即可【对点训练17】（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线()2e xy x =+的切线，则切点的横坐标为___________.【答案】1-1-【解析】由()2e xy x =+可得()3e xy x '=+，设切点坐标为()00,x y ，所以切线斜率00(3)e xk x =+，又因为()0002e x y x =+，则切线方程为()()()000002e 3e x xy x x x x -+=+-，把()0,0代入并整理可得200220x x +-=，解得01x =-或01x =-故答案为：1-+1-【对点训练18】（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）若过点()()1,P a a ∈R 有n 条直线与函数()()2e xf x x =-的图象相切，则当n 取最大值时，a 的取值范围为__________.【答案】()3,e --【解析】设过点()1,P a 的直线l 与()f x 的图象的切点为()()000,2e xx x -，因为()()1e xf x x '=-，所以切线l 的斜率为()()0001e xf x x '=-，所以切线l 的方程为()()()000002e 1e x xy x x x x --=--，将()1,P a 代入得()()()000002e 1e 1x xa x x x --=--，即()()()()0002000001e 12e 33e x x x a x x x x x =--+-=-+-，设()()2e 33x g x x x =-+-，则()()()()2233e 23e e x x xg x x x x x x =-+-+-+=-+'，由()0g x '=，得0x =或1x =，当0x <或1x >时，()0g x '<，所以()g x 在()(),0,1,-∞+∞上单调递减；当01x <<时，()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增，所以()()()03,()1e g x g g x g ==-==-极小值极大值，又22333324x x x ⎛⎫-+-=---< ⎪⎝⎭0，所以()0g x <恒成立，所以()g x 的图象大致如图所示，由图可知，方程()02003e 3x a x x =-+-最多3个解，即过点()()1,P a a ∈R 的切线最多有3条，即n 的最大值为3，此时3e a -<<-.故答案为：()3,e --.【对点训练19】（2024·全国·模拟预测）已知函数()()321113f x x f x '=++，其导函数为()f x '，则曲线()f x 过点()3,1P 的切线方程为______．【答案】1y =或38y x =-【解析】设切点为()00,M x y ，由()()321113f x x f x '=++，得()()221f x x f x ''=+，∴()()1121f f ''=+，得()11f '=-，∴()32113f x x x =-+，()22f x x x '=-，∴切点M 为320001,13x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()20002f x x x '=-，∴曲线()f x 在点M 处的切线方程为()()322000001123y x x x x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭①，又∵该切线过点()3,1P ，∴()()3220000111233x x x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭，解得00x=或03x =．将00x =代入①得切线方程为1y =；将03x =代入①得切线方程为()133y x -=-，即38y x =-．∴曲线()f x 过点()3,1P 的切线方程为1y =或38y x =-．故答案为：1y =或38y x =-方向3、公切线【对点训练20】（2024·云南保山·统考二模）若函数()4ln 1f x x =+与函数()()2120g x x x a a=->的图象存在公切线，则实数a 的取值范围为（）A ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由函数()4ln 1f x x =+，可得()4f x x'=，因为0a >，设切点为(),4ln 1t t +，则()4f t t'=，则公切线方程为()44ln 1y t x t t --=-，即44ln 3y x t t =+-，与212y x x a =-联立可得21424ln 30x x t a t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，所以()2412434ln 0t t a ⎛⎫∆=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，整理可得221134ln t a t⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-，又由00a t >⎧⎨>⎩，可得34ln 0t ->，解得340e t <<，令()22134ln t h t t⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-，其中340e t <<，可得()()2424ln 1134ln t t t t t h t t +-⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭'=-，令()4ln 1t t t ϕ=+-，可得()410t t ϕ'=+>，函数()t ϕ在340,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()10ϕ=，当01t <<时，()0t ϕ<，即()0h t '<，此时函数()h t 单调递减，当341t e <<时，()0t >φ，即()0h t '>，此时函数()h t 单调递增，所以()()min 13h t h ==，且当0t +→时，()h t →+∞，所以函数()h t 的值域为[)3,+∞，所以13a≥且0a >，解得103a <≤，即实数a 的取值范围为1(0,]3.故选：A.【对点训练21】（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）若直线1(1)1y k x =+-与曲线e x y =相切，直线21)1(y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为___________.【答案】1【解析】设()x f x e =，则()e x f x '=，设切点为11(,)x y ，则11e xk =，则切线方程为111e ()x y y x x -=-，即111e e ()x xy x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以1111e e (1)x x x --=--，所以11e 1xx =，设()ln g x x =，则1()g x x'=，设切点为22(,)x y ，则221k x =，则切线方程为2221()y y x x x -=-，即2221ln ()y x x x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以22211ln (1)x x x --=--，所以22ln 1x x =，则12,x x 是函数()f x e x =和()ln g x x =的图象与曲线1y x=交点的横坐标，易知()f x 与()g x 的图象关于直线y x =对称，而曲线1y x=也关于直线y x =对称，因此点1122(,),(,)x y x y 关于直线y x =对称，从而12e xx =，12ln x x =，所以1122e 1x k k x ==．故答案为：1.【对点训练22】（2024·河北邯郸·统考三模）若曲线e x y =与圆22()2x a y -+=有三条公切线，则a 的取值范围是____．【答案】()1,+∞【解析】曲线e x y =在点()00,x y 处的切线方程为()000e e x xy x x -=-，由于直线()000e ex x y x x -=-与圆()222x a y -+=*）因为曲线e x y =与圆()222x a y -+=有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根，即方程()()0220e122x x a ---=有三个不相等的实数根.令()()()22e12xg x x a =---，则曲线()y g x =与直线2y =有三个不同的交点.显然，()()()22e21xg x x a x a '=---+.当(),1x a ∈-∞-时，()0g x '>，当()1,2x a a ∈-+时，()0g x '<，当()2,x a ∈++∞时，()0g x '>，所以，()g x 在(),1a -∞-上单调递增，在()1,2a a -+上单调递减，在()2,a ++∞上单调递增；且当x →-∞时，()()22120e xx a g x ----=→，当x →+∞时，()()()22e12xg x x a =---→+∞，因此，只需()()1222g a g a ⎧->⎪⎨+<⎪⎩，即()()2122e 1-e2a a -+⎧>⎪⎨<⎪⎩，解得1a >.故答案为：()1,+∞【对点训练23】（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线21:()C f x x a =+和曲线2:()2ln C g x x =恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,)-+∞【解析】由题意得2()2,()(0)f x x g x x x''==>，设与曲线2()f x x a =+相切的切点为()211,x x a +，与曲线()2ln g x x =相切的切点为()22,2ln x x ，则切线方程为()21112y x x x x a =-++，即2112y x x x a =-+，()22222ln y x x x x =-+，即2222ln 2y x x x =+-，由于两切线为同一直线，所以1221222,2ln 2x x x a x ⎧=⎪⎨⎪-+=-⎩，得()21112ln 20a x x x =-->．令2()2ln 2(0)x x x x ϕ=-->，则22(1)(1)()2x x x x x xϕ+-'=-=，当01x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 在(0,1)单调递减，当1x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 在(1,)+∞单调递增．即有1x =处()ϕx 取得极小值，也为最小值，且为(1)1ϕ=-．又两曲线恰好存在两条公切线，即()a x ϕ=有两解，结合当0x →时，2x 趋近于0，ln x 趋于负无穷小，故()ϕx 趋近于正无穷大，当x →+∞时，2x 趋近于正无穷大，且增加幅度远大于ln x 的增加幅度，故()ϕx 趋近于正无穷大，由此结合图像可得a 的范围是(1,)-+∞，故答案为：(1,)-+∞【对点训练24】（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知曲线21:()C f x x =与曲线()12:e (0)x C g x a a +=>有且只有一条公切线，则=a ________．【答案】34e 【解析】设曲线()yf x =在1x x =处的切线与曲线()yg x =相切于2x x =处，()2f x x '=，故曲线()y f x =在1x x =处的切线方程为21112()y x x x x -=-，整理得2112y x x x =-.()1e x g x a +'=，故曲线()y g x =在2x x =处的切线方程为()22112e e x x y a a x x ++-=-，整理得()22112ee 1x x y a x a x ++=--.故()()()2211121212e 2e 1x x x a x a x ++⎧=⎪⎨-=--⎪⎩由(1)再结合0a >知1>0x ，将(1)代入(2)，得21122(1)x x x -=--，解得122(1)x x =-且21x >，将122(1)x x =-代入(1)，解得()21241e x x a +-=且21x >，即()22141e x x a +-=且21x >，令21t x =+，则()42e tt a -=，2t >.令()()42ett h t -=，()()43ett h t ='-，则()h t 在区间(2,3)单调递增，在区间(3,)+∞单调递减，且()343e h =，又两曲线有且只有一条公切线，所以()42e tt a -=只有一个根，由图和0a >知34e a =.故答案为：34e .【对点训练25】（2024·福建南平·统考模拟预测）已知曲线ln y a x =和曲线2y x =有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l ，则l 的方程为________．【答案】2e e 0y --=【解析】设曲线()ln g x a x =和曲线2()f x x =在公共点00(,)x y 处的切线相同，则()()2,af x xg x x''==，由题意知()()()()0000,f x g x f x g x ''==，即002002ln a x x x a x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得0e ,2e a x ==故切点为(e,e)，切线斜率为()02e k f x '==，所以切线方程为e 2e(e)y x -=，即2e e 0x y --=，故答案为：2e e 0y --=方向4、已知切线求参数问题【对点训练26】（2024·江苏·校联考模拟预测）若曲线ln y x x =有两条过()e,a 的切线，则a 的范围是______.【答案】(),e -∞【解析】设切线切点为()00,x y ，因()000ln ln 1ln x x x y x x '⎧=+⎪⎨=⎪⎩，则切线方程为：()()()00000011ln ln ln y x x x x x x x x =+-+=+-.因过()e,a ，则()001ln e -a x x =+，由题函数()()1ln e -f x x x =+图象与直线y a =有两个交点.()1e e --x f x x x'==，得()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减.又()()max e e f x f ==，()0,x f x →→-∞，(),x f x ∞∞→+→-.据此可得()f x 大致图象如下.则由图可得，当(),e a ∈-∞时，曲线ln y x x =有两条过()e,a 的切线.故答案为：(),e -∞【对点训练27】（2024·山东聊城·统考三模）若直线y x b =+与曲线e x y ax =-相切，则b 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．e【答案】B【解析】设切点坐标为()00,x y ，因为e x y ax =-，所以e x y a '=-，故切线的斜率为：0e 1x a -=，0e 1x a =+，则()0ln 1x a =+.又由于切点()00,x y 在切线y x b =+与曲线e x y ax =-上，所以000e xx b ax +=-，所以()()()()01111ln 1b a x a a a ⎡⎤=+-+=+-+⎣⎦.令1a t +=，则()1ln b t t =-，设()()1ln f t t t =-，()1()1ln ln f t t t t t ⎛⎫=-+⋅-=- ⎪⎝⎭'，令()0f t '=得：1t =，所以当()0,1t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数；当()1,t ∈+∞时，()0f t '<，()f t 是减函数.所以max ()(1)1f t f ==.所以b 的最大值为：1.故选：B.【对点训练28】（2024·重庆·统考三模）已知直线y ＝ax －a 与曲线ay x x=+相切，则实数a ＝（）A ．0B ．12C ．45D ．32【答案】C 【解析】由a y x x =+且x 不为0，得21a y x'=-设切点为()00,x y ，则00000201y ax a a y x x a ax ⎧⎪=-⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，即0002201a ax a x x x a x ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，所以320022200000111x x x x x x x +-+++=，可得042,5x a =-=.故选：C【对点训练29】（2024·海南·校联考模拟预测）已知偶函数()()2131f x a x bx c d =--+--在点()()1,1f 处的切线方程为10x y ++=，则a bc d-=-（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】因为()f x 是偶函数，所以()()()2131f x a x bx c d f x -=-++--=，即0b =；由题意可得：()()113111f a b c d c d a a b =--+--=-+⇒-=-=-+，所以1a bc d-=--.故选：A【对点训练30】（2024·全国·高三专题练习）已知M 是曲线21ln 2y x x ax =++上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．[)1,-+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞-【答案】B【解析】函数21ln 2y x x ax =++的定义域为()0,∞+，且1y x a x'=++，因为曲线21ln 2y x x ax =++在其上任意一点M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以，1πtan 14y x a x '=++≥=对任意的0x >恒成立，则11a x x-≤+，当0x >时，由基本不等式可得12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以，12a -≤，解得1a ≥-.故选：B.【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知0m >，0n >，直线11ey x m =++与曲线ln 2y x n =-+相切，则11m n+的最小值是（）A ．16B ．12C ．8D ．4【答案】D【解析】对ln 2y x n =-+求导得1y x'=，由11e y x '==得e x =，则1e 1ln e 2em n ⋅++=-+，即1m n +=，所以()11112224n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n ==时取等号．故选：D ．方向5、切线的条数问题【对点训练32】（2024·河北·高三校联考阶段练习）若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线，则（）A ．2log m n >B ．2log n m>C ．2log m n<D ．2log n m<【答案】B【解析】作出函数2log y x =的图象，由图象可知点(,)m n 在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，所以2log n m >，故选：B．【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（）A ．ln a b <B ．ln b a<C ．ln b a<D ．ln a b<【答案】D【解析】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x'=，因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，001ln ab x x +=+，设()ln a f x x x =+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x =+有两个不同的交点，221()a x af x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意；当0a >时，0x a<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，结合图像知1ln 1b a +>+，即ln b a >.故选：D.【对点训练34】（2024·湖南·校联考二模）若经过点(),a b 可以且仅可以作曲线ln y x =的一条切线，则下列选项正确的是（）A ．0a ≤B ．ln b a=C ．ln a b=D ．0a ≤或ln b a=【答案】D【解析】设切点()00,ln P x x ．因为ln y x =，所以1y x'=，所以点P 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又因为切线经过点(),a b ，所以()0001ln b x a x x -=-，即001ln a b x x +=+.令()ln (0)a f x x x x =+>，则1y b =+与()ln (0)af x x x x=+>有且仅有1个交点，()221a x a f x x x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 单调递增，显然x →+∞时，()f x →+∞，于是符合题意；当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，()f x 递减，当x a >时，()0f x ¢>，()f x 递增，所以()min ()ln 1f x f a a ==+，则1ln 1b a +=+，即ln b a =．综上，0a ≤或ln b a =．故选：D方向6、切线平行、垂直、重合问题【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）若函数()ln f x x x =+与2()1x mg x x -=-的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线21y x =+平行，则实数m =（）A ．178B ．176C ．174D ．172【答案】A【解析】设函数()ln f x x x =+图象上切点为00(,)x y ，因为1()1f x x'=+，所以001()12f x x '=+=，得01x =，所以00()(1)1y f x f ===，所以切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，设函数()21x mg x x -=-的图象上的切点为11(,)x y 1(1)x ≠，因为222(1)(2)2()(1)(1)x x m m g x x x ----'==--，所以1212()2(1)m g x x -'==-，即211244m x x =-+，又11111221()1x m y x g x x -=-==-，即211251m x x =-+-，所以221111244251x x x x -+=-+-，即2114950x x -+=，解得154x =或11x =（舍），所以25517244448m ⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭．故选：A【对点训练36】（2024·全国·高三专题练习）已知直线980x y --=与曲线32:3C y x px x =-+相交于,A B ，且曲线C 在,A B 处的切线平行，则实数p 的值为（）A ．4B ．4或-3C ．-3或-1D ．-3【答案】B【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由323y x px x =-+得2323y x px =-+'，由题意221122323323x px x px -+=-+，因为12x x ≠，则有1223x x p +=．把89x y -=代入323y x px x =-+得32992680x px x -++=，由题意112,3x p x -都是此方程的解，即32111992680x px x -++=①，321112229()9()26()80333p x p p x p x ---+-+=，化简为32311145299268033x px x p p -++--=②，把①代入②并化简得313120p p --=，即(1)(3)(4)0p p p ++-=，1,3,4p =--，当1p =-时，①②两式相同，说明12x x =，舍去．所以3,4p =-．故选：B ．【对点训练37】（2024·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知曲线()e 1(1)x f x x =->-在点()()()()()112212,,,A x f x B x f x x x <处的切线12,l l 互相垂直，且切线12,l l 与y 轴分别交于点,D E ，记点E 的纵坐标与点D 的纵坐标之差为t ，则（）A ．220et -<<B ．22e 0t -<<C ．22et <-D ．2e 2t >-【答案】A【解析】由题意知12x x <，当10x -<<时，()()1e ,e x xf x f x '=-=-，当0x >时，()()e 1,e x xf x f x =-'=，因为切线12,l l 互相垂直，所以()()121f x f x ''=-，所以12121210,e e e 1x x x xx x +-<<<-=-=-，所以1220,01x x x +=∴<<，直线1l 的方程为()()1111e e x x y x x --=--，令0x =，得()111e 1xy x =-+，故()()110,1e 1xD x -+，直线2l 的方程为()()222e 1e x x y x x --=-，令0x =，得()221e 1xy x =--，故()()220,1e 1xE x --，所以()()()()212221221e 1e 21e 1e 2x x x xt x x x x -=----=-++-，设()()()1e 1e 2,(01)x xg x x x x -=-++-<<，则()()e e 0x x g x x -'=-+<，()g x 在()0,1上单调递减，所以()()1()0g g x g <<，即220et -<<，故选：A.【对点训练38】（2024·全国·高三专题练习）若函数()sin f x ax x =+的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数a 的值是（）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】C【解析】因为()sin f x ax x =+，所以()cos f x a x '=+，因为函数()sin f x ax x =+的图象上存在两条相互垂直的切线，不妨设函数()sin f x ax x =+在1x x =和2x x =的切线互相垂直，则()()12cos cos 1a x a x ++=-，即()22121cos cos 1cos cos 0a a x x x x ++++=①，因为a 一定存在，即方程①一定有解，所以()()22121cos cos 41cos cos 0x x x x ∆=+-+≥，即()212cos cos 4x x -≥，解得12cos cos 2x x -≥或12cos cos 2x x -≤-，又|cos |1x ≤，所以12cos 1,cos 1x x ==-或12cos 1,cos 1x x =-=，Δ0=，所以方程①变为20a =，所以0a =，故A ，B ，D 错误.故选：C.【对点训练39】（2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）若函数()y f x =的图像上存在两个不同的点,P Q ，使得在这两点处的切线重合，则称()f x 为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（）A ．421y x x =-+B ．sin y x =C ．cos y x x =+D ．2sin y x x=+【答案】D【解析】对于A ，()421f x x x =-+显然是偶函数，()'32242422f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当x <时，()'0f x <，单调递减，当0x <<时，()'0f x >单调递增，当02x <<时，()'0f x <，单调递减，当2x >时，单调递增；在2x =时，()'0f x =，都取得极小值，由于是偶函数，在这两点的切线是重合的，故A 是“切线重合函数”；对于B ，()sin f x x =是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B 是“切线重合函数”；对于C ，考察()(),1,3,31A B ππππ--两点处的切线方程， '1sin y x =-，,A B ∴两点处的切线斜率都等于1，在A 点处的切线方程为()()11y x ππ--=- ，化简得：1y x =+，在B 点处的切线方程为()()3113y x ππ--=- ，化简得1y x =+，显然重合，∴C 是“切线重合函数”；对于D ，'2cos y x x =+，令()2cos g x x x =+，则()'2sin 0g x x =->，()g x 是增函数，不存在12x x ≠时，()()12g x g x =，所以D 不是“切线重合函数”；故选：D.【对点训练40】（2024·全国·高三专题练习）已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩，图象上不同的两点，若函数()y f x =在点A 、B 处的切线重合，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】当0x ≤时，()2f x x x a =++的导数为()21f x x '=+；当0x >时，()ln f x x x a =-的导数为()ln 1f x x '=+，设()()11,A x f x ，()()22,B x f x 为函数图象上的两点，且12x x <，当120x x <≤或120x x <<时，12()()f x f x ''≠，故120x x ≤<，当10x ≤时，函数()f x 在()()11,A x f x 处的切线方程为：21111()(21)()y x x a x x x -++=+-；当20x >时，函数()f x 在()()22,B x f x 处的切线方程为2222ln (ln 1)().y x x a x x x -+=+-两直线重合的充要条件是21ln 121x x +=+①，221x a a x --=-②，由①②得：12211(e )2xa x =-，10x ≤，∴令221()(e )(0)2x g x x x =-≤，则2()e x g x x '=-，令2()()e x h x g x x '==-，则2()12e x h x '=-，由()0h x '=，得11ln 22x =，即11ln 22x =时()h x 有最大值11111(ln )ln 022222h =-<，()g x ∴在(],0-∞上单调递减，则1()(0)2g x g ≥=-.∴a 的取值范围是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B.方向7、最值问题【对点训练41】（2024·全国·高三专题练习）设点P 在曲线1e x y +=上，点Q 在曲线1ln y x =-+上，则||PQ 最小值为（）A B ．C 2)ln +D 2)ln -【答案】B【解析】1e x y += 与1ln y x =-+互为反函数，其图像关于直线y x =对称先求出曲线1e x y +=上的点到直线y x =的最小距离．设与直线y x =平行且与曲线1e x y +=相切的切点0(P x ，0)y ．1e x y +'=，01e 1x +=，解得01x =-．110e 1y -+∴==．得到切点(1,1)P -，点P 到直线y x =的距离d =||PQ ∴最小值为故选：B ．【对点训练42】（2024·全国·高三专题练习）设点P 在曲线2e x y =上，点Q 在曲线1ln 2y x =上，则||PQ 的最小值为（）A ln 2)2-B ln 2)-C ln 2)+D ．(1ln 2)2+【答案】D【解析】2e x y =与1ln 2y x =互为反函数，它们图像关于直线y x =对称；故可先求点P 到直线y x =的最近距离d ，又22e x y '=，当曲线上切线的斜率022e 1x k ==时，得01ln 22x =-，0201e 2xy ==，则切点11ln 2,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线y x =的距离为ln 2)4d =+，所以||PQ 的最小值为2ln 2)d =+．故选：D ．【对点训练43】（2024·全国·高三专题练习）设点P 在曲线2e x y =上，点Q 在曲线ln ln 2y x =-上，则||PQ 的最小值为（）A ．1ln 2-B ln 2)-C ．2(1ln 2)+D ln 2)+【答案】D【解析】2e x y = 与ln ln 2y x =-互为反函数，所以2e x y =与ln ln 2y x =-的图像关于直线y x =对称，设()2()x f x e x x R =-∈，则()2e 1x f x '=-，令()0f x '=得1ln 2x =，则当1ln2x <时，()0f x '<，当1ln 2x >时，()0f x '>，所以()f x 在1(,ln )2-∞单调递减，在1(ln ,)2+∞单调递增，所以11()(ln )1ln 022f x f ≥=->，所以2e x y =与y x =无交点，则ln ln 2y x =-与y x =也无交点，下面求出曲线2e x y =上的点到直线y x =的最小距离，设与直线y x =平行且与曲线2e x y =相切的切点0(P x ，0)y ，2e x y '= ，02e 1x ∴=，解得01ln ln 22x ==-，1ln202e1y ∴==，得到切点(ln 2,1)P -，到直线y x =的距离ln 2)2d +==，||PQ的最小值为2ln 2)d +，故选：D ．【对点训练44】（2024·全国·高三专题练习）已知实数a ，b ，c ，d 满足|ln(1)||2|0a b c d --+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（）A ．B ．8C ．4D ．16。

§2.5幂函数、函数与方程考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.二次函数与幂函数1.二次函数的图象与性质2.幂函数的概念B13题5分填空题解答题★★★2.函数的零点与方程的根1.求函数零点2.由函数零点求参数B13题5分填空题解答题★★★分析解读二次函数的图象与性质和函数零点问题是江苏高考的热点内容,试题一般难度较大,综合性较强.五年高考考点一二次函数与幂函数1.(2016课标全国Ⅲ理改编,6,5分)已知a=,b=,c=2,则a,b,c的大小关系是(用<连接).答案b<a<c2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.答案183.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.答案-24.(2013辽宁理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=.答案-165.(2013江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.答案-1,教师用书专用(6—7)6.(2014浙江改编,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log a x的图象可能是(填序号).答案④7.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.解析(1)证明:由f(x)=+b-,得f(x)图象的对称轴为直线x=-.由|a|≥2,得≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.考点二函数的零点与方程的根1.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.答案(0,1]∪[3,+∞)2.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)3.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.答案4.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1 ②∪[2,+∞)5.(2015天津改编,8,5分)已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是.答案6.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)7.(2014江苏,13,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案8.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)9.(2013安徽理改编,10,5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是.答案 3教师用书专用(10—11)10.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=.答案11.(2013安徽理,20,13分)设函数f n(x)=-1+x+++…+(x∈R,n∈N*).证明:(1)对每个n∈N*,存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0;(2)对任意p∈N*,由(1)中x n构成的数列{x n}满足0<x n-x n+p<.证明(1)对每个n∈N*,当x>0时, f 'n(x)=1++…+>0,故f n(x)在(0,+∞)内单调递增.由于f1(1)=0,当n≥2时, f n(1)=++…+>0,故f n(1)≥0.又f n=-1++≤-+=-+·=-·<0,所以存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0.(2)当x>0时, f n+1(x)=f n(x)+>f n(x),故f n+1(x n)>f n(x n)=f n+1(x n+1)=0.由f n+1(x)在(0,+∞)内单调递增知,x n+1<x n.故{x n}为单调递减数列.从而对任意n,p∈N*,x n+p<x n.对任意p∈N*,由于f n(x n)=-1+x n++…+=0,①f n+p(x n+p)=-1+x n+p++…+++…+=0,②①式减去②式并移项,利用0<x n+p<x n≤1,得x n-x n+p=+≤≤<=-<.因此,对任意p∈N*,都有0<x n-x n+p<.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一二次函数与幂函数1.(2018江苏常熟高三期中调研)已知幂函数y=(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是. 答案 12.(2018江苏东台安丰高级中学月考)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则log2f(8)=.答案3.(2018江苏海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.答案(0,+∞)4.(苏教必1,三,3,2,变式)设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为.答案1,35.(2016江苏淮阴中学期中)下列幂函数:①y=;②y=x-2;③y=;④y=,其中既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的函数是.(填相应函数的序号)答案③考点二函数的零点与方程的根6.(2018江苏金陵中学高三月考)记函数y=ln x+2x-6的零点为x0,若k满足k≤x0且k为整数,则k的最大值为.答案 27.(2018江苏姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.答案8.(2018江苏东台安丰高级中学月考)若函数f(x)=在其定义域上恰有两个零点,则正实数a的值为.答案 e9.(2018江苏扬州中学月考)方程xlg(x+2)=1有个不同的实数根.答案 210.(2018江苏天一中学调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点,则k的取值范围是.答案11.(苏教必1,三,4,2,变式)函数f(x)=2x|log0.5 x|-1的零点个数为.答案 212.(苏教必1,三,4,8,变式)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m 的取值范围是.答案13.(2017江苏苏州期中,9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是.答案14.(2016江苏泰州中学质检,10)关于x的一元二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m的取值范围是.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:20分钟)一、填空题(每小题5分,共20分)1.(2017江苏苏州学情调研,11)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k(x+1)有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是.答案2.(2017南京、盐城第二次模拟考试,12)若函数f(x)=x2-mcos x+m2+3m-8有唯一零点,则满足条件的实数m组成的集合为.答案{2}3.(2017江苏苏北四市期末,14)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象与直线y=x有三个不同的公共点,则实数a的取值范围为.答案{a|-20<a<-16}4.(2016江苏淮阴中学期中,10)已知关于x的一元二次方程x2-2ax+a+2=0的两个实数根是α,β,且有1<α<2<β<3,则实数a的取值范围是.答案二、解答题(共15分)5.(2017江苏泰州二中期初,20)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.解析(1)当b=+1时,f(x)=+1,图象的对称轴为x=-,当a<-2时,->1,函数f(x)在[-1,1]上递减,则g(a)=f(1)=+a+2;当-2≤a≤2时,-1≤-≤1,g(a)=f=1;当a>2时,-<-1,函数f(x)在[-1,1]上递增,则g(a)=f(-1)=-a+2.综上可得,g(a)=(2)设s,t是方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则由于0≤b-2a≤1,故≤s≤(-1≤t≤1),当0≤t≤1时,≤st≤.易知-≤≤0,-≤≤9-4,所以-≤b≤9-4;当-1≤t<0时,≤st≤,由于-2≤<0,-3≤<0,所以-3≤b<0,故b的取值范围是[-3,9-4].C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 判断函数零点个数的常用方法1.(2016江苏扬州中学月考)偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+1,则关于x的方程f(x)=lg(x+1)在x∈[0,9]上解的个数是.答案9方法2 利用函数零点求参数的值或取值范围2.(2018江苏无锡高三期中)关于x的方程2|x+a|=e x有3个不同的实数解,则实数a的取值范围为.答案(1-ln 2,+∞)3.(2016上海闸北区调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.答案(0,1)D组2016—2018年模拟·突破题组(2016江苏南京调研,14)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-ln x,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),若h(x)有3个零点,则实数a的取值范围是.答案。