第三届全国预赛试题

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====， 即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

暨2023年全国高中数学联合竞赛加试试题（模拟4）一．（本题满分40分）如图，ABC D 的外接圆为ω，P 为BC 边上一点，满足APB BAC Ð=Ð．过点A 作ω的切线交ABP D 的外接圆于点Q ，Q 关于AB 中点的对称点为T ，AT 交QP 于点D ．证明：111AB AC CD+>．（答题时请将图画在答卷纸上）二．（本题满分40分）设c 是非负整数．求所有的无穷正整数数列{}n a ，满足：对任意正整数n ，恰存在n a 个正整数i 使得1i n a a c +≤+．三．（本题满分50分）设正整数6n ≥，图G 中有n 个顶点，每个顶点的度数均至少为3．设12,,,k C C C 是G 中所有的圈，求12gcd(,,,)k C C C 的所有可能值，其中C 表示圈C 中顶点的个数．四．（本题满分50分）对非负整数,a b ，定义位异或运算a b ⊕，是唯一的非负整数，使得对每个非负整数k ，222k k k a b a b ⊕⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦都是偶数．例如：2229101001101000113⊕=⊕==．求所有正整数a ，使得对任意整数0x y >≥，都有x ax y ay ⊕≠⊕．暨2023年全国高中数学联合竞赛加试（模拟4）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）如图，ABCD的外接圆为ω，P为BC边上一点，满足APB BACÐ=Ð．过点A作ω的切线交ABPD的外接圆于点Q，Q关于AB 中点的对称点为T，AT交QP于点D．证明：111AB AC CD+>．（答题时请将图画在答卷纸上）二．（本题满分40分）设c 是非负整数．求所有的无穷正整数数列{}n a ，满足：对任意正整数n ，恰存在n a 个正整数i 使得1i n a a c +≤+．三．（本题满分50分）设正整数6n ≥，图G 中有n 个顶点，每个顶点的度数均至少为3．设12,,,k C C C 是G 中所有的圈，求12gcd(,,,)k C C C 的所有可能值，其中C 表示圈C 中顶点的个数．四．（本题满分50分）对非负整数,a b ，定义位异或运算a b ⊕，是唯一的非负整数，使得对每个非负整数k ，222k k k a b a b ⊕⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦都是偶数．例如：2229101001101000113⊕=⊕==．求所有正整数a ，使得对任意整数0x y >≥，都有x ax y ay ⊕≠⊕．。

2013年上海市第3届全国中学生物理竞赛预赛试卷一、选择题（以下每题只有一个选项符合题意．每小题4分，共32分）1．（4分）在一张白纸上用红色水彩笔写上红色的“E”字。

当你通过红色玻璃观察写在这张白纸上的“E”字时，观察到的现象是（）A．清晰的红色“E”字B．清晰的黑色“E”字C．清晰的红底白色“E”字D．几乎看不出“E”字2．（4分）小明把粗细均匀的细铜丝紧密地绕在铅笔杆上。

用刻度尺测得绕有17匝细铜丝的铅笔的长度L=18.4mm．如图所示。

则正确的表示细铜丝直径的是（）A．1.1mm B．1.08mm C．1.079mm D．1.0787mm3．（4分）在弹性限度内。

当弹簧的长度为16cm时。

它产生的弹力大小为20N；弹簧的长度变为7cm时。

它产生的弹力大小为10N．则弹簧的劲度系数为（）A．1.25N/cm B．1.43N/cm C．3.33N/cm D．1.11N/cm4．（4分）某中学的科技研究小组为太空工作站的宇航员设计了如图所示的四种电加热水壶。

其中合理的是（）A．B．C．D．5．（4分）将阻值相等的电阻R1和R2串联后接在一个电压恒定的电源两端。

若其中R1的电阻值不随温度的变化而变化。

而R2的电阻值随温度升高而增大。

随温度的下降而减小。

则对R2加热或冷却，R2的电功率的变化情况为（）A．加热升温时，电功率增大，而冷却降温时，电功率减小B．加热升温时，电功率减小，而冷却降温时，电功率增大C．无论是加热还是冷却，电功率均增大D．无论是加热还是冷却，电功率均减小6．（4分）夜晚有两个高矮不同的小朋友A和B，A比B高，相距d．他们分别站在路灯下，O′点是路灯在地面上的投影。

A、B两人的连线通过O′点，如图所示。

他们头部分别在地面上留下两个影子A′和B′，相距d′，当两人沿过O′点的直线，以相同的速度行进时。

A′和B′的距离将（）A．不断增大B．不断减小C．先增大，后减小 D．先减小，后增大7．（4分）一焦距为f的凸透镜。

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x y x x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，令u t -=1，则21t u -=2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

2024年全国高中数学联赛江西省预赛试题（考试时间:6月23日上午9:3012:00−−）一、填空题（每小题7分，共56分）1. .设集合{2,3,4,,4050}A =,集合{(,)|log 8log 6,,}a b B a b b a a A b A =+=∈∈,则集合B 的元素个数为 ． 2 .设复数z 满足242||021z z z −+=−,则|1|z +的值为 ．3.P 的正四面体ABCD 面BCD 的中心,,M N 分别是面,ABD ACD 上的动点, 则PM MN NP ++的最小值为 ．4.222444cos 20cos 40cos 80sin 20sin 40sin 80++++的值为 ． 5.设,b c 为实数,满足关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有6个互不相等的实数解,其中11()||||2f x x x x x=−−++,则(2025)(2024)f b f c ++的最小值为 ． 6.正实数,,x y z 满足2222248x y x y z ++=,则428log log log x y z ++的最大值为 ．7.平面上同时和三直线34,(5),043y x y x y ==−−=相切的所有圆的半径的乘积为 ． 8. 已知正整数n 的所有正因数排列为: 1231,d d d =<<<则在1,2,3,,2024中使得1088d =的所有数之和为 ．二、解答题（共64分） 9 (14分)双曲线2222:1x y a bΓ−=的左右顶点,A B 的距离为4,,M N 是Γ右支上不重合的两动点且满足20BN AM k k +=(,AM BN k k 是相应直线的斜率).求动直线MN 经过的定点的坐标.10.(15分)实数,,a b c 满足44ab bc ca ++=,求222(4)(4)(4)a b c +++的最小值.11.(15分）点H 为锐角ABC ∆的垂心,H 与边BC 切于点M 且与边,AB AC 无交点,,BD CE 分别与H 切于点,D E (均异于M ), ,CF BG 为ABC ∆的高.证明:,,,D E F G 四点共线． 12.(20分)是否存在实数λ和2024次的实系数多项式()P x 和()Q x 满足对任意实数x ,都有22(1)(2)P x x Q x x λ−+=++.请说明理由.2024年全国高中数学联赛江西省预赛参考答案（6月23日上午−−9:3012:00）一、填空题（每小题7分，共56分）1.设集合{2,3,4,,4050}=A ,集合=+=∈∈B a b b a a A b A a b {(,)|log 8log 6,,},则集合B 的元素个数为 ．答案：68．解：由题=b a log 2或4,又=<<==63396940504096648224,所以集合B 的元素个数为−+−=(631)(71)68.2.设复数z 满足−+=−z z z 21||0422,则+z |1|的值为 ． 答案：2．解：由题≠z 21, 所以 −+=−−z z z z |21|||0(42)(21)22.从而−=−−z z z 2(21)|21|||1222,得=z ||设−=z bi 21(其中∈b R ),再由==+z bi |2||1|得=b 72,所以+=+==z bi 2|1||3|21.3.P 是棱长为的正四面体ABCD 面BCD 的中心,M N ,分别是面ABD ACD ,上的动点,则++PM MN NP 的最小值为 ．答案解：如图1,点S T ,分别是点P 关于面ABD ,面ACD 的对称点,线段PS ST ,分别和面ABD 交于点Q M ,0,线段PT ST ,分别和面ACD 交于点R N ,0,点E F ,分别是棱DB DC ,的中点.则线段ST 的长度与++PM MN NP 相等，且是所求的最小值.点P 和线PS 在面ACE ,点P 和线PT 在面ABF 上,从而QR 在面AEF 上,且QR EF ST ////,=ST QR 2.为便于计算边长比例和角度,我们先设正四面体的棱长为6,则==EA EC,=EP 从而⋅∠==⋅−PEQ 2273cos 227612,===EA EC EP EQ EQ EQ 391,所以8822,99ST QR EF BC ==⋅=故4.222444cos 20cos 40cos 80sin 20sin 40sin 80++++的值为 ． 答案：43． 解：注意到,22222222222cos 20cos 40cos 80cos 20cos (6020)cos (6020)1313cos 20(cos 20sin 20)(cos 20sin 20)222233(cos 20sin 20);22++=+−++=+−++=+=444444444222sin 20sin 40sin 80sin 20sin (6020)sin (6020)3131sin 20(cos 20sin 20)(cos 20sin 20)222299(cos 20sin 20).88++=+−++=+−++=+=故所求值为43. 5.设,b c 为实数,满足关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有6个互不相等的实数解,其中11()||||2f x x x x x=−−++,则(2025)(2024)f b f c ++的最小值为 ． B 图1答案：20231012． 解: ()f x 的定义域{|0}D x x =≠关于原点对称,且对任意x D ∈,()()f x f x −=,所以()f x 是偶函数,且22,01,()22, 1.x x f x x x −+<<⎧⎪=⎨−⎪⎩画出()f x 的图像,如图2.由图可得:原方程有6个互不相等的实数解当且仅当关于t 的一元二次方程20t bt c ++=的两个根12,t t 满足120,02t t =<<,此时20,(2,0)c b t ==−∈−.再结合函数图像得最小值为22023(1)(2024)022*******f f −+=+−=.6.正实数,,x y z 满足2222248x y x y z ++=,则428log log log x y z ++的最大值为 ．答案：13． 解：由2222248244x y x y z x y =++⋅得3624x y z ,其中不等式在222242x y x y z ===,即12,4x y z ===时取到等号,所以 36242864641log log log log log 4.3x y z x y z ++== 故所求最大值为13. 7.平面上同时和三直线34,(5),043y x y x y ==−−=相切的所有圆的半径的乘积为 ．答案：36．图2解：设满足条件圆的圆心坐标为(,)a b ,半径为R ,将直线方程化成标准方程再由点到直线的距离公式得|34||4320|||55a b a b R b −+−===,所以 222(3)(3)0,25(34)(4320)(25)(210)0.a b a b b a b a b a b a b −+=⎧=−=+−⇔⎨+−−−=⎩当3a b =时,得(55)(510)0b b −−=,解得121, 2.b b == 当13a b =−时,得55(5)(10)033b b −−−=,解得343, 6.b b ==− 故所有圆的半径的乘积为123636⨯⨯⨯=.8.已知正整数n 的所有正因数排列为: 1231,d d d =<<<则在1,2,3,,2024中使得1088d =的所有数之和为 ．答案：2376．解: 注意到388211=⨯的全部(31)(11)8+⨯+=个正因数从小到大依次为: 1,2,4,8,11,22,44,88.要使1088d =当且仅当n 是88的倍数且另有2个小于88的正因数.当n 只有2和11两个素因子时,此时增加n 中11的幂次不影响其小于88的正因数个数,626488=,得5211(1)k n k =⨯,又2024n ,所以5211352n =⨯=.当n 有三个以上素因子时,若第3个素因子23p <,则,2,4p p p 是n 的小于88且不整除88的正因数,与1088d =矛盾,所以23p.再注意到3202421123=⨯⨯,所以,此种情形符合题意的只有2024n =.故所求和为35220242376+=.二、解答题（共64分）9.(14分) 双曲线2222:1x y a b Γ−=的左右顶点,A B 的距离为4.,M N 是Γ右支上不重合的两动点且满足20BN AM k k +=(,AM BN k k 是相应直线的斜率).求动直线MN 经过的定点的坐标.解:设直线0:MN x my x =+,1122(,),(,)M x y N x y .由题得24a =,02,x >120,y y <0102(2)(2)0,x y x y −⋅+>从而 0102(2)(2)0.x y x y −++≠联立2222044b x y b x my x ⎧−=⎨=+⎩，，得22222200(4)2(4)0b m y mb x y x b −++−=,则 22200121222222(4),,44mb x b x y y y y b m b m −−+==−− 从而222001212220(4)4().42mb x x my y y y b m x −−==+−又由20BN AM k k +=得 120221************2012022200102022200102012010(2)22222(2)4()(2)2(4)(2)24(2)(4)2()(2)2my y x y y x y x y x y y x y my y x y x y y x y x x y x y x x x y x y x y y x y x ++++−=⋅==−−+−−+++−+++===−−+−−++−， 即有00242,x x +=−+解得06x =,所以直线MN 过定点(6,0).10.(15分)实数,,a b c 满足44ab bc ca ++=,求222(4)(4)(4)a b c +++的最小值.解: (1)令222(4)(4)(4)D a b c =+++.我们先考虑,,a b c 均是正数情形,此时22222222(4)(4)164()(4)4(),a b a b a b ab a b ++=+++=−++所以2222222(4)(4)(4)((4)4())(4)(2(4)2())a b c ab a b c ab c a b +++=−+++−++ 22(2()8)806400,ab bc ca =++−==等号成立当且仅当42()2ab a b c−+=,即 4()abc a b c =++且44ab bc ca ++=.注意到(,,)(2,4,6)a b c =符合取等条件,故在,,a b c 均是正数情形,D 的最小值为6400.注意到题设条件的对称性,在,,a b c 均是负数情形,D 的最小值也为6400.(2)若0abc =,即,,a b c 中存在取值为0情形,由题不妨设0c =,此时44ab =. 2222(4)(4)(4)4446400.D a b c =+++>⋅>(3)最后考虑,,a b c 的取值为两负一正或一负两正情形,由对称性,不妨设0ab >,此时44()44ab a b c =−+>,也有24446400.D >⋅>综上,D 的最小值为6400,在(,,)(2,4,6)a b c =时取得该最小值.11.(15分)点H 为锐角ABC ∆的垂心,H 与边BC 切于点M 且与边,AB AC 无交点,,BD CE 分别与H 切于点,D E (均异于点M ), ,CF BG 为ABC ∆的高.证明：,,,D E F G 四点共线．证明:如图3,联结,,,,HD HE FD DE EG得,,,HF FB HD DB HG GC HE EC ⊥⊥⊥⊥,BH 平分DBC ∠,CH 平分EBC ∠,且有,,,;,,,H D F B H E G C 分别四点共圆.又360()DHE BHC DHB EHC ∠=−∠+∠+∠360(9090)BHC HBC HCB =−∠+−∠+−∠ 36022BHC A =−∠=∠,所以90180HDE A ABG HDF ∠=−∠=∠=−∠, 故180HDE HDF ∠+∠=,所以,点F 在直线DE 上.同理点G 在直线DE 上.所以,,,D E F G 四点共线.12.(20分)是否存在实数λ和2024次的实系数多项式()P x 和()Q x 满足对任意实数x ,都有22(1)(2)P x x Q x x λ−+=++.请说明理由.解: 不存在.对任意非零多项式()h x ,用deg(())h x 表示其次数.我们这里证明一般的结论:当()P x 不是常数多项式,即deg(())1P x 时,不存在实数λ和实系数多项式()P x 和()Q x 满足对任意实数x ,都有22(1)(2)P x x Q x x λ−+=++.(反证法) 假设存在满足条件的实数λ和多项式()P x 和()Q x .设deg(())P x m =,则1m ,2deg((1))2deg(())2P x x P x m −+==.由代数基本定理方程2(1)(1)P x x P −+=最多有2m 个互异实根.另一方面,由题得对任意实数x ,22(1)(2)P x x Q x x λ++=−+.所以图322222(1)(2)((2)2(2))((2)(2)1)(57).P x x Q x x Q x x P x x P x x λλ−+=++=+−++=++++=++ 令22()1,()57,f x x x g x x x =−+=++则(),()f x g x 均在[1,)+∞上严格单调递增,()()f x g x <,(1)1,(1)13f g ==,从而可按如下方式规范定义取值在[1,)+∞上的数列{}n a 和{}n b :111,1,()()n n n a n b g a f a +===.此时,对任意1n ,有111,1n n n n a a b b ++>>>,1(())(())()(())n n n n P f a P g a P b P f a +===.递推得21(1)(())(())(1),n n n P a a P f a P f a P −+===即严格单调递增的实数列{}n a 的每一项都是方程2(1)(1)P x x P −+=的实根,这与2(1)(1)P x x P −+=最多有2m 个互异实根矛盾,故假设不成立,结论得证.。

2013年上海市第3届全国中学生物理竞赛预赛试卷一、选择题（以下每题只有一个选项符合题意．每小题4分，共32分）1．(★★★★)在一张白纸上用红色水彩笔写上红色的“E”字．当你通过红色玻璃观察写在这张白纸上的“E”字时，观察到的现象是（）A．清晰的红色“F”字B．清晰的黑色“F”字C．清晰的红底白色“E”字D．几乎看不出“E”字2．(★★★★)小明把粗细均匀的细铜丝紧密地绕在铅笔杆上．用刻度尺测得绕有17匝细铜丝的铅笔的长度L=18.4mm．如图所示．则正确的表示细铜丝直径的是（）A．1.1mmB．1.08mmC．1.079mmD．1.0787mm3．(★★)在弹性限度内．当弹簧的长度为16cm时．它产生的弹力大小为20N；弹簧的长度变为7cm时．它产生的弹力大小为10N．则弹簧的劲度系数为（）A．1.25N/cmB．1.43N/cmC．3.33N/cmD．1.11N/cm4．(★★★★)某中学的科技研究小组为太空工作站的宇航员设计了如图所示的四种电加热水壶．其中合理的是（）A．B．C．D．5．(★★)将阻值相等的电阻R 1和R 2串联后接在一个电压恒定的电源两端．若其中R 1的电阻值不随温度的变化而变化．而R 2的电阻值随温度升高而增大．随温度的下降而减小．则对R 2加热或冷却，R 2的电功率的变化情况为（）A．加热升温时，电功率增大，而冷却降温时，电功率减小B．加热升温时，电功率减小，而冷却降温时，电功率增大C．无论是加热还是冷却，电功率均增大D．无论是加热还是冷却，电功率均减小6．(★★★)夜晚有两个高矮不同的小朋友A和B，A比B高，相距d．他们分别站在路灯下，O′点是路灯在地面上的投影． A、B两人的连线通过O′点，如图所示．他们头部分别在地面上留下两个影子A′和B′，相距d′，当两人沿过O′点的直线，以相同的速度行进时．A′和B′的距离将（）A．不断增大B．不断减小C．先增大，后减小D．先减小，后增大7．(★★★)一焦距为f的凸透镜．主轴和水平x轴重合，透镜左侧x轴上有一点光源．点光源到透镜的距离大于f而小于2f，若将此透镜沿x轴向右平移2f的距离，则在此过程中点光源经透镜所成的像将（）A．一直向右移动B．一直向左移动C．先向右移动．接着向左移动D．先向左移动，接着向右移动8．(★★)如图所示．A为电磁铁．B为铁芯．C为套在铁芯B上的绝缘磁环．现将A、B、C放置在天平的左盘上．当A中通有电流I时，C悬停在空中．天平保持平衡．当增大A中电流时．绝缘磁环C将向上运动．在绝缘磁环C上升到最高点的过程中．若不考虑摩擦及空气阻力．则下列描述正确的是（）A．天平仍保持平衡B．天平左盘先下降后上升C．天平左盘先上升后下降D．天平左盘一直下降至最低点二、填空题（每小题6分，共30分）9．(★★★★)如图所示，用细线将术块A和金属块B连接在一起，放入水中．A、B恰好悬浮在水中，此时，B受到 3 个力的作用．若木块A的密度为O.8X103kg/m 3．木块A与金属块B的体积之比为79：2，则金属块的密度为 8.9X10 3 kg/m 3．10．(★★)火车以20m/s的速度沿某一段直线轨道驶向道口，为厂提醒看守道口的工作人员，司机在距道口940m处开始鸣响汽笛，每次笛声持续1s，停5s，然后再次拉响汽笛．当道口工怍人员听到第三次笛声结束时，火车距道口的距离为 640 m．道口工作人员昕到火车司机前后两次拉响汽笛的时间间隔为 5.65 s．（已知声波在空气中传播的速度为340m/s）11．(★★★)如图所示，在一根长为2m，质量为2kg的细金属杆AB（质最分布不均匀）的A端施加一个与杆垂直的拉力 F．使杆静止在图示位置．已知杆与地面成37o 角，地面对杆作用的静摩擦力大小为3.6N，地面对杆的支持力大小为15.2N．则杆的重心距B端的距离为 0.75 m．F的大小为 6 N．（已知：sin37o=O.6．cos37o=0.8）12．(★★★)如图所示，A、B两立方体叠置在一起放于水平桌面上，A的密度为ρA，B的密度为ρB，若它们的边长比为l A：l B=1：1，A对B的压强与B对桌面的压强之比P A：P B=2：3，则ρA：ρB= 2：1 ．若不断地缩小A立方体的体积，但始终保持A的形状为立方体，使A、B两立方体的边长l A：l B的比值由1：1逐渐变为1：2，则压强P A：P B的比值变化情况为先增大后减小（提示：通过计算分析后．写出变化情况）．13．(★★)如图所示，容器底部一根中间为圆柱形的管子与大气相连，管的直径为20cm，不计管壁的厚度．现在管子上方压一个边长为50cm的塑胶立方体，将管口封住．使容器中盛有一定质量的水．已知大气压强为1．OX10 5Pa．塑胶立方体的密度为O.6XlO3kg/m 3．当水面恰好在塑胶方立体高的中点时．塑胶立方体受到水对它的浮力大小为 547 N．当容器中所盛水的水面到塑胶立方体底面的高度满足一定的条件时，塑胶立方体能封住管口，不让水从管子的孔中流水．该条件是大于1.59m或小于0.34m ．（计算时保留小数点后两位）三、计算题（本题共28分）14．(★★★)某食盐溶液的密度随深度h变化而变化，其变化规律为ρ=ρ0+kh，式中ρ3kg/m 3．为了求出式中的k值，现向溶液中投入两只用一根细线系在一起的小球A0=1．OX10和B，每个球的体积为V=1cm 3，其质量分别为 m A=1.2g和m B=1.4g．当将小球A置于水下，球心距水面的距离为O.25m时．A、B两个球在溶液中均处于静止，且线是拉紧的，两球心的距离为10cm．试求k值的大小．15．(★★★)现有两个不同材料制成的．粗细相同的圆柱形长导体，它们的电阻均会随温度变化而发生变化．下表列出了两个导体在不同温度时的电阻．试问：怎样利用这两个导体（可以截取导体的一部分或使用导体的全部）制成一个阻值最大，但不随温度变化的电阻？16．(★★)阅读下列两段材料，回答相关问题．材料一、实验表明：用一台输出功率恒定的电动牵引机拖动静止在光滑水平面上的物体时，物体获得的速度与牵引时间的平方根成正比；如果从静止开始，拖动不同质量的物体，经过相等的拖动时间．物体获得的速度与物体质量的平方根成反比．材料二、实验表明：在相同高度用不同的水平速度抛出的物体，在空中飞行的时间相等．现用安装在一个大贮水池的两台水泵从中抽水，如图所示．已知水泵抽水的功率相等．离地面高度相等．喷出水的水平射程分别为D和2D，并分别射入两个深度相等．底面积为1：2的空池A和B中．试求为A、B两池注满水所需的时间t A和t B的比值．设在抽水过程中，大贮水池内水面保持不变．四、实验题（本题共14分）17．(★★★)有一块如图所示的均匀薄板abcd，用作图法标出薄板的重心位置．18．(★★)现有A、B两杯液体，其中A杯内液体为纯水，密度为ρA，B杯内液体的密度ρB未知．为测量B杯内液体的密度，某同学在实验室内利用刻度尺制作了一个有固定转轴的杠杆，两力臂长之比l 1：l 2=1：2．并用不同材质、相同厚度的板制成形状相同的甲、乙两把毫米刻度直尺，并将甲、乙两把尺分别悬挂在杠杆的两侧端点上，如图所示．此外，该同学还取来了一些橡皮泥．请你顺着以上叙述，写出某同学接下来的实验步骤、需要测量的物理量，并推导得出用这些物理量求B杯内液体密度的计算公式．五、判断与说理题（本题共46分）19．(★★★)小强为课题研究小组提供了一把家中收藏的旧杆秤．杆秤的刻度模糊不清．秤砣遗失，只有5kg和6kg的刻度清晰可辨．小组成员对杆秤的外形进行了测量，测量结量如图所示．请根据以上情况，判断该杆秤的重心（不包括秤砣）应该在提扭的哪一侧．并求出秤砣的质量．20．(★★★)人类对火的认识和利用，改变了世界．也改变了自己，可以说人类文明史，就是火的利用史．（1）如果你身处遥远的古代．你有哪几种获得火种的方法，请写出三种获取火种的方法：（2）由于对流，热空气上升，在日常我们所见的烛焰，如图所示．但假如在完全失重充满空气的太空船里，你认为烛焰的形状是 BA、 B、 C、 D、不能点燃（3）由于火焰温度很高．会使空气发生电离．从而火焰周围充满了正、负离子．如果你用手摩擦一束细塑料包扎带，由于静电作用，包扎带会张开，如图．当你把火焰靠近包扎带时会发生BA．包扎带张得更开B．包扎带会合拢．C．包扎带张开的情况不变．D．包扎带先合拢后张开．（4）如果在一个比较深且窄的直筒型玻璃容器的底部点燃一根蜡烛，一段时间后，蜡烛会熄灭或火焰变得很小．请利用剪刀和一张足够大的硬纸片，设计一个简单方案，让蜡烛能长时间正常地燃烧．把设计图画在纸上，并对操作步骤作简要说明．21．(★★)在图1所示的电路中，电源电压恒定，A、B两端接电阻．图2为一个暗盒，盒中装有由导线和三个阻值相等电阻组成的电路．盒外的a、b、c、d是该电路的四个接线柱，某同学按图1所示的电路连接电路进行实验．实验时，某同学先把接线柱a、d，a、b（或b、d），a、c（或c、d），b、c分别连接到图1电路中A、B两端．测得各电表的示数，如表1所示．请你根据实验数据，回答下列问题：（1）表1中有几个空格漏填，请你根据题意完成表1的填写．表1：实验数据表（2）某同学对表1中实验序号l与2（或2-3或3-4）中电压表V1、V2、V示数进行深入地研究后发现，三个电压表读数的变化量之间存在一定的关系，该关系的表达式为： U=U 1+U2．（3）某同学为了研究通过电阻R2的电流跟它两端电压关系，设计了如表2所示的表格．请你利用表1中的实验数据在表2的空白处填写数据．根据填入表2中的实验数据，分析得出你的结论（填在表格中）．表2：通过电阻R 2的电流跟它两端电压关系（4）某同学为了验证实验数据．依照表1的实验序号重新实验．在某次实验过程中，某同学发现两个电流表示数相等．两个电压表示数电相等，电压表V3示数为1.2伏．请你完成表3的填写，并分析产生这现象原因是 R 2断路．表3：第三次实验测得数据（5）根据表l中的实验数据，请通过分析，在图2中画出黑盒内的电路图．12 22。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。

第32届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共l6题，满分200分。

一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意。

把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1.2014年3月8日凌晨2点40分，马来西亚航空公司一架波音777-200飞机与管制中心失去联系．2014年3月24日晚，初步确定失事地点位于南纬31o52′、东经115o52′的澳大利亚西南城市珀斯附近的海域．有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，每天上午同一时刻在该区域正上方对海面拍照，则A.该卫星一定是地球同步卫星B.该卫星轨道平面与南纬31o52′所确定的平面共面C.该卫星运行周期一定是地球自转周期的整数倍D.地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍2.23892U（铀核）衰变为22288Rn（氡核）要经过A.8次α衰变，16次β衰变B.3次α衰变，4次β衰变C.4次α衰变，16次β衰变D.4次α衰变，4次β衰变3．如图，一半径为R的固定的光滑绝缘圆环，位于竖直平面内；环上有两个相同的带电小球a和b(可视为质点)，只能在环上移动，静止时两小球之间的距离为R。

现用外力缓慢推左球a使其到达圆环最低点c，然后撤除外力．下列说法正确的是A.在左球a 到达c 点的过程中，圆环对b 球的支持力变大 B ．在左球a 到达c 点的过程中，外力做正功，电势能增加。

C.在左球a 到达c 点的过程中，a 、b 两球的重力势能之和不变 D.撤除外力后，a 、b 两球在轨道上运动过程中系统的能量守恒4．如图，O 点是小球平抛运动抛出点；在O 点有一个频闪点光源，闪光频率为30Hz ；在抛出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃，小球初速度与毛玻璃平面垂直．在小球抛出时点光源开始闪光．当点光源闪光时，在毛玻璃上有小球的一个投影点．已知图中O 点与毛玻璃水平距离L =1．20 m ，测得第一、二个投影点之间的距离为0.05 m ．取重力加速度g =10m/s 2．下列说法正确的是 A.小球平抛运动的初速度为4m/sB ．小球平抛运动过程中，在相等时间内的动量变化不相等C ．小球投影点的速度在相等时间内的变化量越来越大 D.小球第二、三个投影点之间的距离0．15m 5．某同学用电荷量计(能测出一段时间内通过导体横截面的电荷量)测量地磁场强度，完成了如下实验：如图，将面积为S ，电阻为"的矩形导线框abcd 沿图示方位水平放置于地面上某处，将其从图示位置绕东西轴转180o ，测得通过线框的电荷量为Q 1；将其从图示位置绕东西轴转90o ，测得通过线框的电荷量为Q 2。