培优专题14_如何做几何证明题(含答案)

14.若何做几何证实题【常识精读】1. 几何证实是平面几何中的一个主要问题,它对造就学生逻辑思维才能有着很大感化.几何证实有两种根本类型：一是平面图形的数目关系;二是有关平面图形的地位关系.这两类问题经常可以互相转化,如证实平行关系可转化为证实角等或角互补的问题.2. 控制剖析.证实几何问题的经常运用办法：（1）综正当（由因导果）,从已知前提动身,经由过程有关界说.定理.正义的运用,慢慢向前推动,直到问题的解决;（2）剖析法（执果索因）从命题的结论斟酌,斟酌使其成立须要具备的前提,然后再把所需的前提算作要证的结论持续斟酌,如斯慢慢往上逆求,直到已知事实为止;（3）两端凑法：将剖析与综正当归并运用,比较起来,剖析法利于思虑,综正当易于表达,是以,在现实思虑问题时,可归并运用,灵巧处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证实目标.3. 控制结构根本图形的办法：庞杂的图形都是由根本图形构成的,是以要擅长将庞杂图形分化成根本图形.在更多时刻须要结构根本图形,在结构根本图形时往往须要添加帮助线,以达到分散前提.转化问题的目标.【分类解析】1.证实线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证实中最根本也是最主要的一种相等关系.许多其它问题最后都可化归为此类问题来证.证实两条线段或两角相等最经常运用的办法是运用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质.角等分线的性质.等腰三角形的剖断与性质等也经经常运用到.例1. 已知：如图1所示,∆ABC中,∠=︒===90，，，.C AC BC AD DB AE CF求证：DE＝DF剖析：由∆ABC是等腰直角三角形可知,∠=∠=︒A B45,由D是AB中点,可斟酌贯穿连接CD,易得CD AD=,∠=︒DCF45.从而不难发明∆∆≅DCF DAE证实：贯穿连接CD解释：在直角三角形中,作斜边上的中线是经常运用的帮助线;在等腰三角形中,作顶角的等分线或底边上的中线或高是经常运用的帮助线.显然,在等腰直角三角形中,更应当贯穿连接CD,因为CD既是斜边上的中线,又是底边上的中线.本题亦可延伸ED到G,使DG＝DE,贯穿连接BG,证∆EFG是等腰直角三角形.有兴致的同窗无妨一试.例2. 已知：如图2所示,AB＝CD,AD＝BC,AE＝CF.求证：∠E＝∠F证实：贯穿连接AC在∆ABC和∆CDA中,在∆BCE和∆DAF中,解释：运用三角形全等证实线段求角相等.常须添帮助线,制作全等三角形,这时应留意：（1）制作的全等三角形应分离包含求证中一量;（2）添帮助线可以或许直接得到的两个全等三角形.2.证实直线平行或垂直在两条直线的地位关系中,平行与垂直是两种特别的地位.证两直线平行,可用同位角.内错角或同旁内角的关系来证,也可经由过程边对应成比例.三角形中位线定理证实.证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90°,或运用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证.例3. 如图3所示,设BP.CQ是∆ABC的内角等分线,AH.AK分离为A到BP.CQ 的垂线.求证：KH∥BC剖析：由已知,BH等分∠ABC,又BH⊥AH,延伸AH交BC于N,则BA＝BN,AH＝HN.同理,延伸AK交BC于M,则CA＝CM,AK＝KM.从而由三角形的中位线定理,知KH∥BC.证实：延伸AH交BC于N,延伸AK交BC于M∵BH等分∠ABC又BH⊥AHBH＝BH同理,CA＝CM,AK＝KM∴KH是∆AMN的中位线即KH//BC解释：当一个三角形中消失角等分线.中线或高线重应时,则此三角形必为等腰三角形.我们也可以懂得成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形.例4. 已知：如图4所示,AB＝AC,∠，，90.A AE BF BD DC=︒==求证：FD⊥ED证实一：贯穿连接AD在∆ADE和∆BDF中,解释：有等腰三角形前提时,作底边上的高,或作底边上中线,或作顶角等分线是经常运用帮助线.证实二：如图5所示,延伸ED到M,使DM＝ED,贯穿连接FE,FM,BM解释：证实两直线垂直的办法如下：（1）起首剖析前提,不雅察可否用供给垂直的定理得到,包含添经常运用帮助线,见本题证二.（2）找到待证三直线所构成的三角形,证实个中两个锐角互余.（3）证实二直线的夹角等于90°.3.证实一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段,证实其余部分等于另一较短线段.（截长法）例5. 已知：如图6所示在∆ABC中,∠=︒B60,∠BAC.∠BCA的角等分线AD.CE 订交于O.求证：AC＝AE＋CD剖析：在AC上截取AF＝AE.易知∆∆B60,知≅,∴∠=∠AEO AFO12.由∠=︒，，.∴∠=∠=∠=∠=︒∠+∠=︒∠=︒∠+∠=︒566016023120123460,得：≅∴=，∆∆FOC DOC FC DC证实：在AC上截取AF＝AE又∠=︒B60即AC AE CD=+（二）延伸一较短线段,使延伸部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证实该线段等于较长线段.（补短法）例6. 已知：如图7所示,正方形ABCD中,F在DC上,E在BC上,∠=︒EAF45.求证：EF＝BE＋DF剖析：此题若模仿例1,将会碰到艰苦,不轻易运用正方形这一前提.无妨延伸CB至G,使BG＝DF.证实：延伸CB至G,使BG＝DF在正方形ABCD中,∠=∠=︒=90，ABG D AB AD又∠=︒EAF45即∠GAE＝∠FAE4.中考题：如图8所示,已知∆ABC为等边三角形,延伸BC到D,延伸BA到E,并且使AE＝BD,贯穿连接CE.DE.求证：EC＝ED证实：作DF//AC交BE于F∆ABC是正三角形∴∆BFD是正三角形又AE＝BD即EF＝AC题型展现：证实几何不等式：例题：已知：如图9所示,∠=∠>12，AB AC.求证：BD DC>证实一：延伸AC到E,使AE＝AB,贯穿连接DE在∆ADE和∆ADB中,证实二：如图10所示,在AB上截取AF＝AC,贯穿连接DF则易证∆∆≅ADF ADC解释：在有角等分线前提时,常以角等分线为轴翻折结构全等三角形,这是经常运用帮助线.【实战模仿】1. 已知：如图11所示,∆ABC 中,∠=︒C 90,D 是AB 上一点,DE⊥CD 于D,交BC 于E,且有AC AD CE ==.求证：DE CD =122. 已知：如图12所示,在∆ABC 中,∠=∠A B 2,CD 是∠C 的等分线. 求证：BC ＝AC ＋AD3. 已知：如图13所示,过∆ABC 的极点A,在∠A 内任引一射线,过B.C 作此射线的垂线BP 和CQ.设M 为BC 的中点.求证：MP ＝MQ4. ∆ABC 中,∠=︒⊥BAC AD BC 90，于D,求证：()AD AB AC BC <++14【试题答案】1. 证实：取CD 的中点F,贯穿连接AF又∠+∠=︒∠+∠=︒14901390，2. 剖析：本题从已知和图形上看仿佛比较简略,但一时又不知若何下手,那么在证实一条线段等于两条线段之和时,我们经常采取“截长补短”的手段.“截长”即将长的线段截成两部分,证实这两部分分离和两条短线段相等;“补短”即将一条短线段延伸出另一条短线段之长,证实其和等于长的线段.证实：延伸CA 至E,使CE ＝CB,贯穿连接ED在∆CBD 和∆CED 中,又∠=∠+∠BAC ADE E3. 证实：延伸PM 交CQ 于R又BM CM BMP CMR，=∠=∠∆斜边上的中线∴QM是Rt QPR4. 取BC中点E,贯穿连接AE。

几何证明题的技巧1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例 1. 已知：如图 1 所示，ABC 中， C 90 ，AC BC，AD DB，AE CF 。

求证： DE＝ DFAEDC F B图1分析：由 ABC 是等腰直角三角形可知， A B 45 ，由 D 是 AB 中点，可考虑连结CD ，易得 CD AD ，DCF 45 。

从而不难发现DCF DAE证明：连结 CDAC BCA BACB 90 ，AD DBCD BD AD，DCB B AAE CF， A DCB ，AD CDADE CDFDE DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。

2023中考数学 几何培优专题：线段等量关系的证明（含答案）1. 已知：在ABC △中AB AC =，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，BAE BDF ∠=∠，点M 在线段DF 上，ABE DBM ∠=∠． （1）如图1-1，当45ABC ∠=︒时，求证：2AE MD =；（2）如图1-2，当60ABC ∠=︒时，则线段AE 、MD 之间的数量关系为____________；（3）在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP BM =，连接CP ，若7AB =，27AE =，求tan PCB ∠和tan ACP ∠的值．图1-1 图1-2（1）证明：如图1，连接AD ．∵AB AC =，BD CD =，∴AD BC ⊥．又∵45ABC ∠=︒，∴cos BD AB ABC =⋅∠，即2AB BD =． ∵BAE BDM ∠=∠，ABE DBM ∠=∠，∴ABE DBM ∽△△．∴2AE AB DM DB ==，∴2AE MD =．（2）∵1cos cos602ABC ∠=︒=，∴1cos 2MD AE ABC AE =⋅∠=⋅，∴2AE MD =．（3）如图2，连接AD ，EP ． ∵AB AC =，60ABC ∠=︒， ∴ABC △是等边三角形． 又∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，30DAC ∠=︒，12BD DC AB ==．∵BAE BDM ∠=∠，ABE DBM ∠=∠， ∴ABE DBM ∽△△．∴2BE ABBM DB ==，AEB DMB ∠=∠． ∴2EB BM =． 又∵BM MP =， ∴EB BP =．∵60EBM ABC ∠=∠=︒， ∴BEP △为等边三角形， ∴EM BP ⊥， ∴90BMD ∠=︒， ∴90AEB ∠=︒，在Rt AEB △中，AE =7AB =，∴BE∴tan EAB ∠． ∵D 为BC 中点，M 为BP 中点，∴DM//PC ．∴MDB PCB ∠=∠，∴EAB PCB ∠=∠．∴tan PCB ∠=．在Rt ABD △中，sin AD AB ABD =⋅∠在Rt NDC △中，tan ND DC NCD =⋅∠，∴NA AD ND =-．过N 作NH AC ⊥，垂足为H ．在Rt ANH △中，12NH AN ==，21cos 8AH AN NAH =⋅∠=，∴358CH AC AH =-=，∴tan ACP ∠=．2.如图，在Rt ABC△中，90ACB∠=︒，1AC=，7BC=，点D是边CA延长线的一点，AE BD⊥，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．（1）当点E是BD的中点时，求tan AFB∠的值；（2）CE AF⋅的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE AF⋅的值；如果变化，请说明理由；（3）当BGE△和BAF△相似时，求线段AF的长．（1）过点E作EH CD⊥于H，如图1，则有90EHA EHD∠=∠=︒．∵90BCD∠=︒，BE DE=，∴CE DE=．∴CH DH=，∴1722 EH BC==．设AH x=，则1DH CH x==+．∵AE BD⊥，∴90 AEH DEH AED∠+∠=∠=︒．∵90AEH EAH∠+∠=︒，∴EAH DEH∠=∠，∴AHE EHD∽△△，∴AH EH EH DH=，∴2EH AH DH=⋅，∴27(1)2x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，解得5212x-=（舍负），∴75212tan75212EHEAHAH+∠===-．∵BF//CD，∴AFB EAH∠=∠，∴521tan 7AFB +∠=； （2）CE AF ⋅的值不变．取AB 的中点O ，连接OC 、OE ，如图2， ∵90BCA BEA ∠=∠=︒， ∴OC OA OB OE ===， ∴点A 、C 、B 、E 共圆，∴BCE BAF ∠=∠，180CBE CAE ∠+∠=︒． ∵BF//CD ，∴180BFA CAE ∠+∠=︒， ∴CBE BFA ∠=∠，∴BCE FAB ∽△△， ∴BC CE FA AB=，∴CE FA BC AB ⋅=⋅． ∵90BCA ∠=︒，7BC =，1AC =，∴52AB =，∴752=352CE FA ⋅=⨯；（3）过点E 作EH CD ⊥于H ，作EM BC ⊥于M ，如图3， ∴90EMC MCH CHE ∠=∠=∠=︒， ∴四边形EMCH 是矩形．∵BCE FAB ∽△△，BGE △与FAB △相似， ∴BGE △与BCE △相似， ∴EBG ECB ∠=∠．∵点A 、C 、B 、E 共圆， ∴ECA EBG ∠=∠，∴ECB ECA ∠=∠，∴EM EH =， ∴矩形EMCH 是正方形， ∴CM CH =．∵1452ECB ECA BCA ∠=∠=∠=︒，∴45EBA EAB ∠=∠=︒， ∴EB EA =，∴Rt Rt (HL)BME AHE ≌△△，∴BM AH =．设AH x =，则BM x =，7CM x =-，1CH x =+， ∴71x x -=+，∴3x =，∴4CH =．在Rt CHE △中，42cos 2CH ECH CE CE ∠===， ∴42CE =．由（2）可得352CE FA ⋅=，∴35235=442AF =．3. 已知：ACB △与DCE △为两个有公共顶点C 的等腰直角三角形，且90ACB DCE ∠=∠=︒，AC BC =，DC EC =．把DCE △绕点C 旋转，在整个旋转过程中，设BD 的中点为N ，连接CN ．（1）如图3-1，当点D 在BA 的延长线上时，连接AE ，求证：2AE CN =；（2）如图3-2，当DE 经过点A 时，过点C 作CH BD ⊥，垂足为H ，设AC 、BD 相交于F ，若4NH =，16BH =，求CF 的长．（1）证明：延长CN 至点K ，使NK CN =，连接DK ， ∵90DCA ACE ∠+∠=︒，90BCE ACE ∠+∠=︒， ∴180DCB ACE ∠+∠=︒，∴KDN CBN ∠=∠，∴DK//BC ，∵DN NB =，CN NK =，DNK BNC ∠=∠， ∴DNK BNC ≌△△，∴DK BC AC ==，∴180KDC DCB ∠+∠=︒，∵KDC ACE ∠=∠， 又∵DK AC =，CD CE =，∵KDC ACE ≌△△， ∴AE CK =，∴2AE CN =；（2）延长CN 交DE 于点P ，延长CH 交DE 于点M ，图3-1D A NB EC图① 图② 备用图D A N BE DF A N H C C B ED B EF A N H KP M C备用图BF AN H CE图3-2A F N H DC B E4. 已知：在ABC △中，90ACB ∠=︒，点P 是线段AC 上一点，过点A 作AB 的垂线，交BP的延长线于点M ，MN AC ⊥于点N ，PQ AB ⊥于点Q ，AQ MN =．（1）如图4-1，求证：PC AN =；（2）如图4-2，点E 是MN 上一点，连接EP 并延长交BC 于点K ，点D 是AB 上一点，连接DK ，DKE ABC ∠=∠，EF PM ⊥于点H ，交BC 延长线于点F ，若2NP =，3PC =，:2:3CK CF =，求DQ 的长．图4-1 图4-2AQNPMAMQDNEPHAQ NPM B CAMQDNEPHB KC F GT图①图②5. 在ABC △中，90ACB ∠=︒．经过点B 的直线l （l 不与直线AB 重合）与直线BC 的夹角等于ABC ∠，分别过点C 、点A 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、点E ．（1）若45ABC ∠=︒，1CD =（如图），则AE 的长为_______； （2）写出线段AE 、CD 之间的数量关系，并加以证明； （3）若直线CE 、AB 交于点F ，56CF EF =，4CD =，求BD 的长．（1）2AE =.（2）线段AE 、CD 之间的数量关系为2AE CD =. 证明：如图1，延长AC 与直线l 交于点G ． 依题意，可得12∠=∠． ∵90ACB ∠=︒，∴34∠=∠. ∴BA BG =，∴CA CG =．∵AE l ⊥，CD l ⊥，∴CD //AE ． ∵C 为AG 的中点，∴2AE CD =．（3）解：当点F 在线段AB 上时，如图2， 过点C 作CG //l 交AB 于点H ，交AE 于点G ． ∴2HCB ∠=∠．∵12∠=∠，∴1HCB ∠=∠． ∴CH BH =．∵90ACB ∠=︒，∴34901HCB ∠+∠∠+∠=︒＝． ∴34∠∠＝．∴CH AH BH ==． ∵CG //l ，∴FCH △∽FEB △． ∴56CF CH EF EB =＝． 设5CH x =，6BE x =，则10AB x =． ∴在AEB △中，90AEB ∠=︒，8AE x =． 由（2）得，2AE CD =．∵4CD =，∴8AE =．∴1x =． ∴10AB =，6BE =，5CH =． ∵CG //l ，∴AGH AEB △△∽． ∴12HG AH BE AB ==．∴3HG =． ∴8CG CH HG =+=． ∵CG //l ，CD //AE ，A C()D B E l图1A C3124G D B E l图2AC124D B El3GHF∴四边形CDEG 为平行四边形. ∴8DE CG ==.∴2BD DE BE =-=．当点F 在线段BA 的延长线上时，如图3， 同理可得5CH =，3GH =，6BE =. ∴2DE CG CH HG ==-=． ∴8BD DE BE =+=． ∴2BD =或8．6. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 平行x 轴，交y 轴于点A ，第一象限内的点B 在l 上，连结OB ，动点P 满足90APQ ∠=︒，PQ 交x 轴于点C ．（1）当动点P 与点B 重合时，若点B 的坐标是(2,1)，求P A 的长．（2）当动点P 在线段OB 的延长线上时，若点A 的纵坐标与点B 的横坐标相等，求:PA PC 的值．（3）当动点P 在直线OB 上时，点D 是直线OB 与直线CA 的交点，点E 是直线CP 与y 轴的交点，若ACE AEC ∠=∠，2PD OD =，求:PA PC 的值．（1）∵点P 与点B 重合，点B 的坐标是(2,1)， ∴点P 的坐标是(2,1)．∴P A 的长为2．（2）过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，过点P 作PN y ⊥轴，垂足为N ，如图1所示．∵点A 的纵坐标与点B 的横坐标相等， ∴OA AB =．∵90OAB ∠=︒，∴45AOB ABO ∠=∠=︒． ∵90AOC ∠=︒，∴45POC ∠=︒． ∵PM x ⊥轴，PN y ⊥轴，∴PM PN =，90ANP CMP ∠=∠=︒． ∴90NPM ∠=︒．∵90APC ∠=︒． ∵APN CPM ∠=∠，PN PM =，ANP CMP ∠=∠， ∴ANP CMP ≌△△．∴PA PC =． ∴:PA PC 的值为1:1．（3）①若点P 在线段OB 的延长线上，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，过点P 作PN y ⊥轴，垂足为N ，PM 与直线AC 的交点为F ，如图2所示． ∵APN CPM ∠=∠，ANP CMP ∠=∠，∴ANP CMP ∽△△．∴PA PNPC PM=． ∵ACE AEC ∠=∠，∴AC AE =． ∵AP PC ⊥，∴EP CP =．∵PM//y 轴，∴AF CF =，OM CM =．∴12FM OA =．设OA x =，∵PF//OA ，∴PDF ODA ∽△△．∴PF PDOA OD=∵2PD OD =，∴22PF OA x ==，12FM x =．∴52PM x =．∵90APC ∠=︒，AF CF =， ∴24AC PF x ==． ∵90AOC ∠=︒，∴OC =．∵90PNO NOM OMP ∠=∠=∠=︒， ∴四边形PMON 是矩形．∴PN OM =．∴5:::2PA PC PN PM x ===． ②点P 在BO 延长线上时，同理可得：32PM x =，24CA PF x ==，OC =．∴12PN OM OC ==．∴3:::PA PC PN PM x ===． 综上所述：:PA PC．7. 正方形ABCD 和等腰直角DEF △有公共点D ，点E 在AD 边上，点F 在CD 的延长线上，连接CE ，AF ．（1）试判断线段CE 和AF 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；（2）将DEF △绕点D 按顺时针方向旋转，当点E 落在AC 上时，设EF 与AD 交于点M ． ①求证：AEM CDE ∽△△；②当34AE EC =时，求AM MD的值．（1）CE AF ⊥，CE AF =．证明略 （2）①∵AC 为正方形ABCD 的对角线 ∴45DAC ACD ∠=∠=︒，∵45FED ∠=︒，180FED AEM CED ∠+∠+∠=︒，180MAE AME AEM ∠+∠+∠=︒， ∴CED AME ∠=∠，∴AEM CDE ∽△△，②∵AEM CDE ∽△△，∴AE AMDC=， ∴设3AE a =，4EC a =，则DC =，4AMa=，∴AM ，∴MD =， ∴2425AM MD =． A B C E A BF D CEM8. 已知：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一动点．（1）如图2-1，P 为线段BC 上一点，连接PO 并延长交AD 于点Q ，当O 是BD 的中点时，求证：OP OQ =；（2）如图2-2，连接AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S ．若4AD =，60DCB ∠=︒，10BS =，求AS 和OR 的长．图2-1 图2-2（1）证明：∵ABCD 为菱形，∴AD//BC ，∴OBP ODQ ∠=∠，∵O 是是BD 的中点，∴OB OD =，在BOP △和DOQ △中，∵OBP ODQ ∠=∠，OB OD =，BOP DOQ ∠=∠，∴(ASA)BOP DOQ ≌△△，∴OP OQ =. （2）解：如图，过A 作AT BC ⊥，与CB 的延长线交于T .∵ABCD 是菱形，60DCB ∠=︒，∴4AB AD ==，60ABT ∠=︒，∴sin 60AT AB =︒=，cos602TB AB =︒=， ∵10BS =，∴12TS TB BS =+=，∴AS = ∵AD//BS ，∴AOD SOB △△∽. ∴42105AO AD OS SB ===， 则25AS OS OS -=，∴75AS OS =，∵AS =75OS AS ==. 同理可得ARD SRC △△∽，∴4263AR AD RS SC ===,则23AS SR RS -=，∴5AS =，∴3RS AS ==∴OR OS RS =-=-=.A DB C S O R TA QDOBP CA DB C SOR9. 在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，2AB =，1AP =．将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交AB ，BC 于点E ，F ，连接EF （如图3-1）. （1）当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合（如图3-2），求PC 的长； （2）探究：将直尺从图3-2中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 和点A 重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①tan ∠PEF 的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF 的中点经过的路线长．图3-1 图3-2（1）在矩形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒，1AP =，2CD AB ==，则PB =， ∴90ABP APB ∠+∠=︒，又∵90BPC ∠=︒，∴90APB DPC ∠+∠=︒，∴ABP DPC ∠=∠，∴APB DCP ∽△△，∴AP PBCD PC=，即12=PC =故答案为：（2）①PF PE的值不变，理由为：证明：过F 作FG AD ⊥，垂足为G ，则四边形ABFG 是矩形，∴90A PGF ∠=∠=︒，2GF AB ==， ∴90AEP APE ∠+∠=︒，又∵90EPF ∠=︒， ∴90APE GPF ∠+∠=︒，∴AEP GPF ∠=∠，∴APE GFP ∽△△，∴2PF GFPE AP==，∴Rt EPF △中，tan 2PFPEF PE∠==，∴PF PE的值不变． ②线段EF.A P DEB F CGA P DE BF C A P D ()()B E C F10. 已知：ABC △中，2ACB ABC ∠=∠，AD 为BAC ∠的平分线，E 为线段AC 上一点，过E作AD 的垂线交直线AB 于F ． （1）当E 点与C 点重合时（如图4-1），求证：BF DE =；（2）连接BE 交AD 于点N ，M 是BF 的中点，连接DM （如图4-2），若DM BF ⊥，4DC =，:3:2ABD ACD S S =△△，求DN 的长．图4-1 图4-2（1）连接DF ，设AD 与EF 交于点K ，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴BAD CAD ∠=∠， ∵EF AD ⊥，∴90AKF AKE ∠=∠=︒，∴AFK AEK ∠=∠，∴AF AE =，∴AFD AED ≌△△， ∴DF DE =，AFD AED ∠=∠，又∵2ACB ABC ∠=∠，∴FBD FDB ∠=∠，∴BF DF =，∴DE BF =； （2）过A 作AP ⊥BC 于点P ，过D 作DQ ⊥AC 于点Q ．连接DF ，∵:3:2ABD ACD S S =△△，即132122BD APDC AP ⋅=⋅， ∴32BD DC =，∵4DC =，∴6BD =， AF()BD CE BD CFAMEN图1 图2 A F ()B D C E B D C F A M E N K Q P∵AD 是BAC ∠的平分线，DM AB ⊥，DQ AC ⊥，∴DM DQ =，∴132122AB DMAC DQ ⋅=⋅，∴32AB AC =由（1）可得：AQ AM =，DC BM =，∴AB AC DC =+， ∴32AC DC AC +=，∴8AC =，12AB =，设PC x =，则10BP x =-，又勾股定理得：22222AB BP AC PC AP -=-=， 即22122(10)82x x --=-，解得：1x =，∴3DP =， 又22222AD DP AC PC AP -=-=， ∴272AD =，AD =EF AD ⊥， ∴90AKF AKE ∠=∠=︒． ∵DA 平分BAC ∠， ∴FAD EAD ∠=∠，∴AFE AEF ∠=∠，∴AF AE =， ∴AFD AED ≌△△，∴AFD AED ∠=∠，DF DE =， 又∵DB DF =， ∴6DB DE ==，∴BFD DEC DBF ∠=∠=∠，∴180180C DEC C DBF ︒-∠-∠=︒-∠-∠， ∴2EDC BAC DAE ∠=∠=∠， 又∵2EDC NED ∠=∠， ∴DAE NED ∠=∠， ∵ADE EDN ∠=∠， ∴DAE DEN ∽△△， ∴DA DE DE DN=， ∴2DE DN DA =⋅，即36DN =⋅，∴DN =。

等面积法的应用在解决几何问题时，通常可采用等积法来解决一些问题，即同一个图形采用不同的面积表示方法来建立等式.等积法也常在证明某些定理时被用到.【例题讲解】例题1 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，AD ⊥BC ，求AD 的长为 ．D CB A答案： AD ＝2.4.例题2、如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线上一点，且BE ＝BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ ＋PR 的值为 .RQPEDCBA. 【解析】连接BP ，易知BEC S △＝BEP S △＋BCP S △，所以12·BE ·CM ＝12·BE ·PR ＋12·BC ·PQ ，由BC ＝BE ，等号两边同时约掉，剩下CM ＝PR ＋PQ ，所以CMBC. 连接BP ，过C 作CM ⊥BD ， ∵BEC S △＝BEP S △＋BCP S △ ＝BC ×PQ ×12＋BE ×PR ×12＝BC ×（PQ ＋PR ）×12＝BE ×CM ×12， BC ＝BE ， ∴PQ ＋PR ＝CM ，∵BE ＝BC ＝1，且正方形对角线BD又∵BC ＝CD ，CM ＝BD ，∴M 为BD 中点，又△BDC 为直角三角形， ∴CM ＝12BD，即PQ ＋PR． MR QPEDCBA【对于填空选择题，可用特殊值法！】例题3 如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B '、C '、D '，则B B '＋C C '＋D D '的最大值为 ，最小值为 ．PB'C 'D 'DCBA答案：2【解析】连接AC 、DP ， ABCD S 正方形＝1×1×1，由勾股定理得：AC∵AB ＝1， ∴1≤APDPC S ∆＝APC S ∆＝12AP ×C C '， 1＝ABCD S 正方形＝ABP S ∆＋ADP S ∆＋DPC S ∆＝12AP （B B '＋C C '＋D D '）， B B '＋C C '＋D D '＝2AP， ∵1≤APB B '＋C C '＋D D '≤2，PB'C'D'D CBA【巩固练习】1、如图，点P为等边△ABC内任意一点，AB＝2，则点P到△ABC三边的距离之和为 .2、如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PE⊥AC，E、F分别是垂足，则PE＋PF的长为.3、如图，D是Rt△ABC斜边AB上一点，且BD＝BC＝AC＝1，P为CD上任意一点，PF⊥BC于点F，PE ⊥AB于点E，则PE＋PF的值是 .4.如图，已知直线y＝2x－2上有一动点Q，点P坐标为（－1，0），则PQ的最小值为 .【请用等积法】5.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是斜边上的中点，点P 在AB 上，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，若AB ＝6，BC ＝3.，则PE ＋PF ＝ .PFE D CBA6.将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB ＝90°，求证：a ²＋b ²＝c ².7．如图，在△ABC 中，∠ A ＝90°，D 是AC 上的一点，BD ＝DC ，P 是BC 上的任一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 为垂足．求证：PE ＋PF ＝AB ．PFE D CBA8．如图，平行四边形ABCD 中，AB : BC ＝3:2，∠DAB ＝60°，E 在AB 上，且AE : EB ＝1:2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，求证：DP CEDQ AFQP FEDCBA图4 图59.在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14．（1）如图1，AD ⊥BC 于点D ，且BD ＝5，则△ABC 的面积为 ；（2）在（1）的条件下，如图2，点H 是线段AC 上任意一点，分别过点A ，C 作直线BH 的垂线，垂足为E ，F ，设BH ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ，请用含x 的代数式表示m ＋n ，并求m ＋n 的最大值和最小值．CBA HFEDCB A10．【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 为边BC 上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．求证：PD ＋PE ＝CF ．FE PD CBA FGE PD CBAEFABC DP小军的证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD ＋PE ＝CF ．小俊的证明思路是：如图2，过点P 作PG ⊥CF ，垂足为G ，可以证得：PD ＝GF ，PE ＝CG ，则PD ＋PE ＝CF ．【变式探究】如图3，当点P 在BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PD －PE ＝CF ； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C 处，点P P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD ＝8，CF ＝3，求PG ＋PH 的值；C'PH GFEDCBA【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD 中，E 为AB 边上的一点，ED ⊥AD ，EC ⊥CB ，垂足分别为D 、C ，且AD ·CE ＝DE ·BC ，AB ＝，AD ＝3dm ，BD ．M 、N 分别为AE 、BE 的中点，连接DM 、CN ，求△DEM 与△CEN 的周长之和．NM E DCBA参考答案1..2.答案：60 13.3.答案：2.【解析】如图所示，过C作CH AB⊥于H，D是Rt ABC∆斜边AB上一点，且1BD BC AC===，CH∴=∴111222BDCS BD CH∆==⨯=，又1111112222BCD BPC BPDS S S BD PE BC PF PE PF∆∆∆=+=+=⨯⨯+⨯⨯，PE PF∴+=．HPFDCBA4..【解析】如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，过点Q作QC＋QB，则∵y＝2x－2∴A（0，－2），B（1，0）∵△PQB∽△AOB∴BQOB＝PBAB∵AB，PB＝2，OB＝1∴1BQ∴BQ∴PQ.5.65如图作BM ⊥AC 于M ，连接PD ．MPFE D CBA∵∠ABC ＝90°，AD ＝DC ，AB ＝6，BC ＝3， ∴BD ＝AD ＝DC ，AC 22AB BC +35 ∵12·AB ·BC ＝12·AC ·BM ， ∴BM 65∴ABD S ∆＝ADP S ∆＋BDP S ∆， ∴12·AD ·BM ＝12·AD ·PF ＝12·BD ·PE ， ∴PE ＋PF ＝BM 65MPFE D CBA6.答案：连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF ＝EC ＝b －a ． ∵ADCB S 四边形＝ACD S ∆＋ABC S ∆＝12b ²＋12ab ． 又∵ADCB S 四边形＝ADB S ∆＋DCB S ∆＝12c ²＋12a （b －a ） ∴12b ²＋12ab ＝12c ²＋12a （b －a ） ∴a ²＋b ²＝c ².FDBFb EA请参照上述证法，利用图2证明：a ²＋b ²＝c ²．【解析】连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，可得BF ＝b －a ， ∵ACBED S 五边形＝ACB S ∆＋ABE S ∆＋ADE S ∆＝12ab ＋12b ²＋12ab ， 又ACBED S 五边形＝ACB S ∆＋ABD S ∆＋BDE S ∆＝12ab ＋12c ²＋12a （b －a ）， ∴12ab ＋12b ²＋12ab ＝12ab ＋12c ²＋12a （b －a ）， ∴a ²＋b ²＝c ².Fb A7.【解析】过P 作PG ⊥AB 于G ，交BD 于O ， ∵PF ⊥AC ，∠A ＝90°， ∴∠A ＝∠AGP ＝∠PF A ＝90°， ∴四边形AGPF 是矩形， ∴AG ＝PF ，PG ∥AC ， ∵BD ＝DC ，∴∠C ＝∠GPB ＝∠DBP ， ∴OB ＝OP ，∵PG ⊥AB ，PE ⊥BD ， ∴∠BGO ＝∠PEO ＝90°， 在△BGO 和△PEO 中 BGO PEO GOB EOP OB OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BGO ≌△PEO ， ∴PE ＝BG ， ∵AB ＝BG ＋AG ， ∴PE ＋PF ＝AB ．G O P FED CBA8.【解析】连接DE 、DF ，∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：12DEC DFA ABCD S S S ∆∆==平行四边形，即12AF ×DF ＝12CE ×DQ ，∴AF ×DP ＝CE ×DQ ， ∴DP CE DQ AF=. Q PFE DCB A9.【解析】（1）在Rt △ABD 中，AB ＝13，BD ＝5， ∴AD12.∵BC ＝14，∴ABC S △＝12BC ·AD ＝12×14×12＝84. 故答案为：84．（2）∵ABC S △＝ABH S △＋BHC S △， ∴12BH ·AE ＋12BH ·CF ＝84． ∴xm ＋xn ＝168.∴m ＋n ＝168x∵AD ＝12，DC ＝14－5＝9，∴AC＝15，∵m ＋n 与x 成反比，∴当BH ⊥AC 时，m ＋n 有最大值．∴（m ＋n ）BH ＝AC ·BH ．∴m ＋n ＝AC ＝15.∵m ＋n 与x 成反比，∴当BH 值最大时，m ＋n 有最小值．∴当点H 与点C 重合时m ＋n 有最小值．∴m ＋n ＝16814， ∴m ＋n 等于12.∴m ＋n 的最大值为15，最小值为12．10.【解析】【问题情境】证明：（小军的方法）连接AP ，如图②∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，CF ⊥AB ，且ABC S △＝ABP S △＋ACP S △， ∴12AB ·CF ＝12AB ·PD ＋12AC ·PE . ∵AB ＝AC ，∴CF ＝PD ＋PE ．（小俊的方法）过点P 作PG ⊥CF ，垂足为G ，如图②． ∵PD ⊥AB ，CF ⊥AB ，PG ⊥FC ，∴∠CFD ＝∠FDP ＝∠FGP ＝90°∴四边形PDFG 是矩形．∴DP ＝FG ，∠DPG ＝90°.∴∠CGP ＝90°∵PE ⊥AC ，∴∠CEP ＝90°，∴∠PGC ＝∠CEP .∵∠BDP ＝∠DPG ＝90°，∴PG ∥AB .∴∠GPC ＝∠B .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB .∴∠GPC ＝∠ECP .在△PGC 和△CEP 中，PGC CEP GPC ECP PC CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PGC ≌△CEP .∴CG ＝PE .CF ＝CG ＋FG＝PE ＋PDG E P FDC BA【变式探究】证明：连接AP ，如图③．∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，CF ＝AB ，且ABC S △＝ABP S △－ACP S △， ∴12AB ·CF ＝12AB ·PD －12AC ·PE . ∵AB ＝AC ，∴CF ＝PD －PE .GE FABC DP【结论运用】过点E 作EQ ⊥BC ，垂足为Q ，如图④，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠C ＝∠ADC ＝90°.∵AD ＝8，CF ＝3，∴BF ＝BC －CF ＝AD －CF ＝5.由折叠可得：DF ＝BF ，∠BEF ＝∠DEF ．∴DF ＝5.∵∠C ＝90°，∴DC＝4.∵EQ ⊥BC ，∠C ＝∠ADC ＝90°，∴∠EQC ＝90°＝∠C ＝∠ADC .∴四边形EQCD 是矩形.∴EQ ＝DC ＝4.∵AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠EFB .∵∠BEF ＝∠DEF ，∴∠BEF ＝∠EFB .∴BE ＝BF .由问题情境中的结论可得：PG ＋PH ＝EQ ．∴PG ＋PH ＝4.∴PG ＋PH 的值为4.Q C 'P H G FEDCB A【迁移拓展】延长AD 、BC 交于点F ，作BH ⊥AF ，垂足为H ，如图⑤． ∵AD ·CE ＝DE ·BC ， ∴AD DE ＝BC EC . ∵ED ⊥AD ，EC ⊥CB ，∴∠ADE ＝∠BCE ＝90°.∴△ADE ∽△BCE .∴∠A ＝∠CBE .∴F A ＝FB .由问题情境中的结论可得：ED ＋EC ＝BH ．设DH ＝x dm ，则AH ＝AD ＋DH ＝（3＋x ）dm ．∵BH ⊥AF ，∴∠BHA ＝90°.∴BH ²＝BD ²－DH ²＝AB ²－AH ².∵AB＝AD ＝3，BDx²＝（）²－（3＋x ）².解得：x ＝1．∴BH ²＝BD ²－DH ²＝37－1＝36.∴BH ＝6dm.∴ED ＋EC ＝6.∵∠ADE ＝∠BCE ＝90°，且M 、N 分别为AE 、BE 的中点，∴DM ＝AM ＝EM ＝12AE ，CN ＝BN ＝EN ＝12BE . ∴△DEM 与△CEN 的周长之和＝DE ＋DM ＋EM ＋CN ＋EN ＋EC＝DE ＋AE ＋BE ＋EC＝DE ＋AB ＋EC＝DE ＋EC ＋AB＝6＋∴△DEM 与△CEN 的周长之和为（6＋dm . FHNM E DC BA。

人教版数学八年级竞赛教程之如何做几何证明题附答案如何做几何证明题几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

为了解决几何问题，我们需要掌握常用的分析和证明方法。

其中，综合法是一种从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决的方法。

分析法则是从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止。

两头凑法则是将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

掌握构造基本图形的方法也是解决几何问题的关键。

复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

其中，证明线段相等或角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

举个例子，已知如图1所示，$\triangle ABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=BC$，$AD=DB$，$AE=CF$。

求证：$DE=DF$。

分析：由$\triangle ABC$是等腰直角三角形可知，$\angleA=\angle B=45^\circ$，由$D$是$AB$中点，可考虑连结$CD$，易得$CD=AD$，$\angle DCF=45^\circ$。

从而不难发现XXX。

证明：连结$CD$，可得$AC=BC$，$\angle A=\angle B$，$\angle ACB=90^\circ$，$AD=DB$，$CD=BD=AD$，$\angle DCB=\angle B=\angle A$，$AE=CF$，$\angle A=\angle DCB$，$AD=CD$。

D 几何证明题的技巧1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1. 已知：如图1 所示，∆ABC 中，∠C = 90︒，AC =BC，AD =DB，AE =CF 。

求证：DE＝DF AEC F B图1分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠A =∠B = 45︒，由D 是AB 中点，可考虑连结CD，易得CD =AD ，∠DCF = 45︒。

从而不难发现∆DCF ≅∆DAE证明：连结CDAC =BC∴∠A =∠B∠ACB = 90︒，AD =DB∴CD =BD =AD，∠DCB =∠B =∠AAE =CF，∠A =∠DCB，AD =CD∴∆ADE ≅∆CDF∴DE =DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中EF2 3 1线或高是常用的辅助线。

初高中几何证明的一些技巧及经典试题含答案初中学习方法初高中几何证明的一些技巧及经典试题含答案初中学习方法初高中几何证明技巧及经典试题与学习方法证明两线段成正比1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任一一点至线段两段距离成正比。

7.角平分线就任一点至角的两边距离成正比。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角面元的弦成正比。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）成正比的比例式中的两后项（或两前项）成正比。

*12.两圆的内（外）公切线的长成正比。

13.等同于同一线段的两条线段成正比。

证明两个角成正比1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或低）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）面元的圆心角成正比，圆周角成正比，弦切角等同于它所缠的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等同于内对角。

10.等同于同一角的两个角成正比。

证明两条直线互相横向1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等同于这边一半，则这一边面元的角是直角。

3.在一个三角形中，若存有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相横向。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

初中生如何做好几何证明题(含答案)14、如何做几何证明题【知识精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1. 已知：如图1所示，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。

求证：DE ＝DF分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=︒A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =，∠=︒DCF 45。

从而不难发现∆∆DCF DAE ≅ 证明：连结CDAC BC A BACB AD DBCD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD=∴∠=∠∠=︒=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，，∴≅∴=∆∆ADE CDFDE DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。

14、怎么样干几许道明题之阳早格格创做【知识粗读】1. 几许道明是仄里几许中的一个要害问题，它对于培植教死逻辑思维本领有着很大效率.几许道明有二种基原典型：一是仄里图形的数量闭系；二是有闭仄里图形的位子闭系.那二类问题时常不妨相互转移，如道明仄止闭系可转移为道明角等或者角互补的问题.2. 掌握领会、道明几许问题的时常使用要领：（1）概括法（由果导果），从已知条件出收，通过有闭定义、定理、公理的应用，逐步背前促成，曲到问题的办理；（2）领会法（执果索果）从命题的论断思量，推敲使其创制需要具备的条件，而后再把所需的条件瞅成要证的论断继承推敲，如许逐步往上顺供，曲到已知究竟为止；（3）二头凑法：将领会与概括法合并使用，比较起去，领会法好处思索，概括法易于表白，果此，正在本量思索问题时，可合并使用，机动处理，以好处收缩题设与论断的距离，末尾达到道明脚段.3. 掌握构制基原图形的要领：搀纯的图形皆是由基原图形组成的，果此要擅于将搀纯图形领会成基原图形.正在更多时间需要构制基原图形，正在构制基原图形时往往需要增加辅帮线，以达到集结条件、转移问题的脚段.【分类剖析】1、道明线段相等或者角相等二条线段或者二个角相等是仄里几许道明中最基原也是最要害的一种相等闭系.很多其余问题末尾皆可化归为此类问题去证.道明二条线段或者二角相等最时常使用的要领是利用齐等三角形的本量，其余如线段中垂线的本量、角仄分线的本量、等腰三角形的判决与本量等也经时常使用到.例1. 已知：如图1所示，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，. 供证：DE ＝DF领会：由∆ABC 是等腰曲角三角形可知，∠=∠=︒A B 45，由D 是AB 中面，可思量连结CD ，易得CD AD =，∠=︒DCF 45.进而没有易创制∆∆DCF DAE ≅ 道明：连结CD道明：正在曲角三角形中，做斜边上的中线是时常使用的辅帮线；正在等腰三角形中，做顶角的仄分线或者底边上的中线或者下是时常使用的辅帮线.隐然，正在等腰曲角三角形中，更该当连结CD ，果为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线.原题亦可延少ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证∆EFG 是等腰曲角三角形.有兴趣的共教无妨一试. 例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF.供证：∠E ＝∠F道明：连结AC正在∆ABC 战∆CDA 中，正在∆BCE 战∆DAF 中，道明：利用三角形齐等道明线段供角相等.常须加辅帮线，制制齐等三角形，那时应注意：（1）制制的齐等三角形应分别包罗供证中一量；（2）加辅帮线不妨间接得到的二个齐等三角形.2、道明曲线仄止或者笔曲正在二条曲线的位子闭系中，仄止与笔曲是二种特殊的位子.证二曲线仄止，可用共位角、内错角或者共旁内角的闭系去证，也可通过边对于应成比率、三角形中位线定理道明.证二条曲线笔曲，可转移为证一个角等于90°，或者利用二个钝角互余，或者等腰三角形“三线合一”去证.例3. 如图3所示，设BP、CQ是∆ABC的内角仄分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线.供证：KH∥BC领会：由已知，BH仄分∠ABC，又BH⊥AH，延少AH接BC于N，则BA＝BN，AH＝HN.共理，延少AK接BC于M，则CA＝CM，AK ＝KM.进而由三角形的中位线定理，知KH∥BC.道明：延少AH接BC于N，延少AK接BC于M∵BH仄分∠ABC又BH⊥AHBH＝BH共理，CA＝CM，AK＝KM∴KH是∆AMN的中位线即KH//BC道明：当一个三角形中出现角仄分线、中线或者下线沉适时，则此三角形必为等腰三角形.咱们也不妨明白成把一个曲角三角形沿一条曲角边翻合（轴对于称）而成一个等腰三角形.例4. 已知：如图4所示，AB＝AC，∠，，90.A AE BF BD DC=︒==供证：FD⊥ED道明一：连结AD正在∆ADE战∆BDF中，道明：有等腰三角形条件时，做底边上的下，或者做底边上中线，或者做顶角仄分线是时常使用辅帮线.道明二：如图5所示，延少ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM道明：道明二曲线笔曲的要领如下：（1）最先领会条件，瞅察是可用提供笔曲的定理得到，包罗加时常使用辅帮线，睹原题证二.（2）找到待证三曲线所组成的三角形，道明其中二个钝角互余.（3）道明二曲线的夹角等于90°.3、道明一线段战的问题（一）正在较少线段上截与一线段等一较短线段，道明其余部分等于另一较短线段.（截少法）例5. 已知：如图6所示正在∆ABC中，∠=︒B60，∠BAC、∠BCA的角仄分线AD、CE相接于O.供证：AC＝AE＋CD领会：正在AC上截与AF＝AE.易知∆∆≅，∴∠=∠12.由∠=︒AEO AFOB60，知∠+∠=︒∠=︒∠+∠=︒，，.∴∠=∠=∠=∠=︒566016023120123460，得：，≅∴=FOC DOC FC DC∆∆道明：正在AC上截与AF＝AE又∠=︒B60即AC AE CD=+（二）延少一较短线段，使延少部分等于另一较短线段，则二较短线段成为一条线段，道明该线段等于较少线段.（补短法）例6. 已知：如图7所示，正圆形ABCD中，F正在DC上，E正在BC 上，∠=︒EAF45.供证：EF＝BE＋DF领会：此题若仿照例1，将会逢到艰易，没有简单利用正圆形那一条件.无妨延少CB至G，使BG＝DF.道明：延少CB至G，使BG＝DF正在正圆形ABCD中，∠=∠=︒=ABG D AB AD90，又∠=︒EAF45即∠GAE＝∠FAE4、中考题：如图8所示，已知∆ABC为等边三角形，延少BC到D，延少BA到E，而且使AE＝BD，连结CE、DE.供证：EC＝ED道明：做DF//AC接BE于F∆ABC是正三角形∴∆BFD是正三角形又AE＝BD即EF＝AC题型展示：道明几许没有等式：例题：已知：如图9所示，∠=∠>12，AB AC.供证：BD DC >道明一：延少AC 到E ，使AE ＝AB ，连结DE正在∆ADE 战∆ADB 中，道明二：如图10所示，正在AB 上截与AF ＝AC ，连结DF 则易证∆∆ADF ADC ≅道明：正在有角仄分线条件时，常以角仄分线为轴翻合构制齐等三角形，那是时常使用辅帮线.【真战模拟】1. 已知：如图11所示，∆ABC 中，∠=︒C 90，D 是AB 上一面，DE ⊥CD 于D ，接BC 于E ，且有AC AD CE ==.供证：DE CD =122. 已知：如图12所示，正在∆ABC 中，∠=∠A B 2，CD 是∠C 的仄分线. 供证：BC ＝AC ＋AD3. 已知：如图13所示，过∆ABC 的顶面A ，正在∠A 内任引一射线，过B 、C 做此射线的垂线BP 战CQ.设M 为BC 的中面.供证：MP ＝MQ4. ∆ABC 中，∠=︒⊥BAC AD BC 90，于D ，供证：()AD AB AC BC <++14【试题问案】1. 道明：与CD 的中面F ，连结AF又∠+∠=︒∠+∠=︒14901390，2. 领会：原题从已知战图形上瞅佳象比较简朴，但是一时又没有知怎么样下脚，那么正在道明一条线段等于二条线段之战时，咱们时常采与“截少补短”的脚法.“截少”将要少的线段截成二部分，道明那二部分分别战二条短线段相等；“补短”将要一条短线段延少出另一条短线段之少，道明其战等于少的线段.道明：延少CA至E，使CE＝CB，连结ED 正在∆CBD战∆CED中，又∠=∠+∠BAC ADE E3. 道明：延少PM接CQ于R又BM CM BMP CMR，=∠=∠∴QM是Rt QPR∆斜边上的中线4. 与BC中面E，连结AE。