内蒙古赤峰二中高中数学 21数列的概念及简单表示教案 新人教B版必修

课题：2.1.1数列的概念与简单表示法（1）【学习目标】1、理解数列的概念；2、认识数列是反映自然规律的基本数学模型；3、初步掌握数列的一种表示方法——通项公式；【学习重点】数列及其有关概念，通项公式及其应用【学习难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式【授课类型】新授课【教 具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。

【学习方法】诱思探究法【学习过程】 一、复习引入：师 课本图2.1-1中的三角形数分别是多少？ 生 1，3，6，10，…师 图2.1-2中的正方形数呢？ 生 1，4，9，16，25，师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？ 生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1， 无穷多个数1排成一列数：1，1，1，1， 生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，二、新课学习：折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？ 生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…； 随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的1/256，再折下去太困难了 师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？ 生 均是一列数 生 还有一定次序师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. ［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列 注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？ 生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列 常数数列：各项相等的数列摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列， 2.递减数列 ［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系， 项 2 4 8 16↓ ↓ ↓ ↓序号 你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式三、 特例示范1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项： (1)a n =1n n ;(2)a n =(-1)n·n师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (5)2，-6，12，-20，30，-42，这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式 ［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数)定义域 R 或R 的子集 N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式 y=f(x) a n =f(n ) 图象 点的集合 一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列 4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41,…③的图象生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关 师 数列1,21 ,31 ,41,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的反比例函数xy 1的图象有关师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点四、课堂小结本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式六、作业布置:六、课后反思：。

1 / 3第一课时 数列的概念与简单表示法（一）教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.教学过程：一、复习准备：1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18，、、、、、、 2. 生活中的三角形数、正方形数.二、讲授新课：1. 教学数列及其有关概念：① 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. ② 数列中排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.③ 数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a .④ 数列的分类：有穷数列与无穷数列，递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.2. 教学数列的表示方法：① 讨论下列数列中的每一项与序号的关系：1，12，14，18，、、、；1,3,6,10，、、、；1,4,9,16，、、、. （数列的每一项都与序号有关，即数列可以看成是项数与项之间的函数.）② 数列的通项公式：如果数列的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个2 / 3公式叫做这个数列的通项公式. （作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.）③ 数列的表示方法：列表法、图象法、通项公式法.3. 例题讲解：例、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：①0.5，0.5，0.5，、、、②1，－1,1，－1，、、、（可用分段函数表示）③－1，12，－14，18，、、、 思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？4. 小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.三、巩固练习：1. 练习：、根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 7, 9, 11,……；(2) 32, 154, 356, 638, 9910, ……；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；(5) 2, －6, 18, －54, 162, …….2. 作业：教材P38页 第1①②、2题第二课时 数列的概念与简单表示法（二）教学要求：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与n a 的关系.教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.教学过程：一、复习准备：1. 复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、通项公式法.2. 提问：已知数列{}n a 满足11211(2)n n a a n a -=⎧⎪⎨=+≥⎪⎩，能写出这个数列的前5项吗？（学生讨论→个别回答→教师点评）二、讲授新课：3 / 3 1. 教学数列的递推公式：① 提问：在上述问题中，虽然没有直接告诉这个数列的每一项，但是仍可根据已知条件写出前5项，这种方法是否也是数列的一种表示方法？这种表示法与数列的通项公式有什么关系呢？ ② 数列的递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 如：数列3，5，8，13，21，34，55，89的递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n . ③ 数列的表示法：列表法、图象法、通项公式法、递推公式法.2. 例题讲解：例1、已知数列{}n a 的首项1112,1(1)n n a a n a -==->，求出这个数列的第5项.（学生口答） 例2、已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．（学生练→教师点评）思考题、已知数列{}n a 为3,7,11,15，试写出这个数列的一个递推公式，再根据递推公式写出它的通项公式.3. 小结：我们可根据数列的递推公式写出这个数列的前几项，继而结合前几项的特征写出它的一个通项公式，即由递推公式可到通项公式，也可反过来，由数列的通项公式写出它的一个递推公式. 通项公式和递推公式都有可能不是唯一存在的.三、巩固练习：1. 练习：根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式：(1)1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)；(2)1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (n ∈N).2. 教材P39页 B 组 第3题3. 作业 教材P38－P39页 A 组 第4题、第6题。

2.2 等差数列(2)教学目标1．明确等差中的概念．2．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式3．培养学生的应用意识．教学重点:等差数列的性质教学难点:灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题教学方法:讲练相结合,分析法.一知识回顾1. 等差数列的通项公式:广义通项公式:2. 等差数列的递推公式:3.已知等差数列} {na中(1)3,341=-=aa则=6a(2)85=a,5321=++aaa则=d(3)352=+aa则=+43aa(4)358713=+aa则=+7624aa4.已知}{na是公差为d的等差数列,则}2{na是等差数列吗?}5{na呢?5.已知}{na是公差为d的等差数列,(1)从这个数列中抽出第1,3,5,7,9…项构成等差数列吗?(2) 从这个数列中抽出第1,4,7,10,13…项构成等差数列吗?(3) 从这个数列中抽出第3,6,9,12,15…项构成等差数列吗? 二新课:1.等差数列}{na的性质:(1)*,,,Nqpnm∈若qpnm+=+则:qpnmaaaa+=+(2)}{nka k为常数,也是等差数列.(3)下标成等差数列的项也成等差数列.(4)}{na,}{nb是等差数列,则}{nnqbpa+也是等差数列.2.等差中项在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。

由定义,实数a,b 的等差中项2b a A +=.三.例题分析1.求下列各组数的等差中项.(1) 2和21 (2)52和732.证明：如果{n a }是等差数列,则b kn a n +=，反子亦然。

3.已知等差数列{n a }中(1)1253=+a a , 2594=+a a 求1a ,d(2)40171553=+++a a a a 求128a a+(3)3321=++a a a ,7432=++a a a 求654a a a ++的值. 4.三个数成等差数列,其和为9,平方和为35,求此数列. 5.若222,,cb a 成等差数列.求证:b a ac c b +++1,1,1也成等差数列.四:作业A.1. 已知{n a }为等差数列(1)133421=+a a 求3916a a +的值(2)75433625147=++++a a a a a求2822a a +的值2. 已知三数成等差数列,首末两项的积为中项的5倍,后两项的和为第一项的8倍,求此三数3.已知等差数列}{n a 满足,p a m =,m a p =,求pm a +【探究】有固定项的数列}{n a 的前n 项和为：22n S n n =+，现从中抽取某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均数是79(1)数列}{n a 的通项公式(2)求这个数列的项数，抽取的是第几项？ 课 题：2.3 等差数列前n 项和（1）教学目标：知识与技能目标：掌握等差数列前n 项和公式，能较简单应用等差数列前n 项和公式求和。

21数列的定义教学设计课堂活动：21数列的定义一、活动目标：1.学习理解数列的定义；2.能够通过给定的数列寻找规律并找出下一个数；3.发展学生的逻辑思维和数学推理能力。

二、活动准备：1.白板、黑板或投影设备；2.卡片，每个卡片上写上数列的前几项数；3.集体小白板和白板笔。

三、活动过程：1.导入（5分钟）：教师在黑板上写下以下数列：5，8，11，14，...引导学生观察这个数列，提问：“你能找出这个数列的规律吗？请写出下一个数。

”让学生用小白板写下自己的答案并举手回答。

2.探究（10分钟）：引导学生讨论数列的规律，并鼓励他们提供不同的答案。

在学生积极参与的基础上，教师可以给予一定的提示，例如：“每一项相对于前一项增加了多少？”“你能用一个式子来表示这个数列吗？”通过学生的讨论和探索，教师与学生一起得出这个数列的规律是：每一项相比前一项增加了33.概念解释与引申（15分钟）：a.定义数列：根据教材或其他参考资料，教师向学生解释数列的定义：“数列是按照一定顺序排列的一系列数，每个数叫作这个数列的项。

数列中的每两个相邻的数叫作相邻的项。

”b.引导学生通过已有数列的规律来给出数列的定义：每一项相对于前一项的差值是固定的。

c.提示学生数列的符号表示与常见的数列类型，如等差数列、等比数列等。

4.巩固与拓展（20分钟）：a.给出数列的前几项，要求学生写出第n项的表达式：教师在黑板上给出一些数列的前几项，要求学生找出这些数列的规律并写出第n项的表达式，如：3，7，11，15，...；2,4,8,16,...等。

b.探究数列的属性：教师向学生提问：“数列的前n项之和可以用什么公式表示？”鼓励学生思考并提供自己的答案。

引导学生总结数列的各种属性，如首项、公差、通项公式、前n项和等。

5.归纳总结（10分钟）：让学生将今天学习到的数列的定义以及各种属性进行总结，教师可以帮助学生进行整理并备课纪录。

四、拓展应用：五、课堂反思：本课通过引导学生观察和讨论，以探究方式引导学生理解并定义数列。

2.1.数列的简单表示方法（3）教学目标:1．了解数列的前n 项和公式，明确前n 项和公式与通项公式的异同2．会根据数列的前n 项和公式写出数列的前几项，并能猜想、归纳出数列的通项公式。

3．培养学生推理能力． 教学重点:根据数列的前n 项和公式写出数列的前几项，及归纳出数列的通项公式。

教学步骤： 一．设置情景： 1．已知数列{}n a 的通项公式为：32n a n =+则12345a a a a a ++++=2．已知数列{}n a 满足21=a，123()n n a a n N *+-=∈，则126a a a +++=L二．探索与研究：1．数列的前n 项和：给定数列{}n a ，从第一项到第n 项连续的和叫做数列的前n 项和。

记为：n S1231nn n ii S a a a a a==++++=∑L注意：前n 项和与n 项和的区别。

2．前n 项和公式如果一个数列{}n a 的前n 项和n S 与n 的关系可以用一个公式)(n f S n=)(*∈N n 来表示，那么这个公式)(n f S n =)(*∈N n 就叫做数列{}n a 的前n 项和公式。

3．数列前n 项和公式与数列通项公式的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n a a n n n三．数列前n 项和公式的应用举例：例1．已知数列{}n a 的前n 项和为nn Sn22-=，求数列{}n a 的前五项。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和为210nSn n=-，试判断这个数列在n 为何值时，前n 项和最小，并求前n 项和的最小值。

【变式】已知数列{}n a 的前n 项和为211nSn n=-，试判断这个数列在n 为何值时，前n项和最小，并求前n 项和的最小值。

例3．已知数列{}n a 的前n 项和为n n Sn232-=，求数列{}n a 的通项公式n a 。

【变式】已知数列{}n a 的前n 项和为2325n S n n =-+，求数列{}n a 的通项公式n a 。

高中数学课堂教学设计⎪⎪⎩==4,1413,139n n ⎪⎪==4,1413,139n n知构建新知形成概念学生活动：观察、回忆、联想、思考、回答。

师生互动：请学生齐读课本第29页第11-12行，教师指出关键点：1函数的定义域为正整数集或它的有限子集；2自变量按照从小到大顺序依次取值时所对应的一列函数值。

学生活动：再来回答以上问题2（fn和gn所对应的数列分别是什么？）。

教师活动：多媒体导入PPT，将以上两函数一般化，归纳出数列的定义及相关概念并板书。

通过将两个特殊的函数一般化，引出数列的定义及相关概念，过渡自然高效。

不但说清楚了数列的定义，同时还明确了数列是特殊的函数，突破本节课的难点。

同时利用学生熟悉的函数来探究新知，引导学生参与概念形成的全过程，驱动学生思维的自觉性和主动性，让学生亲身感受知识的发生过程，由已知到未知、由特殊到一般，既反映了数学的发展规律，又符合学生的思维特征和认知规律。

板书为了突出和强调本节课的重点。

合作探究课堂小结（1）1,2,3,4，5；（1）2,4,6,8,10；（2）2,3,4,5,6；（2）-4,-2,0,2,4；（3）0,1,2,3,4；（3）1,3,5,7,9；（4）-1,0,1,2,3 （4）-3,-1,1,3,5；（三）（导学案上写出结果）.51,41,31,21,1)3(;51,41,31,21,125141312111-----）（；，，，，）（能力提升（请两位同学上黑板写出结果）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：学生活动：观察、回忆、联想、思考、按要求作答。

师生互动：归纳找通项公式的方法：观察、发现、猜想、归纳、验证教师活动：PPT导入问题，解决课题引入提出的问题。

合作探究问：请根据三角形数和正方形数的规律，分别猜想第n个图形所对应的数是什么？先独立思考2分钟，然后小组核对答案并讨论。

(1)四边形数 1，4，9，16，25，36，(2)三角形数 1，3，6，10，15，21，引入问题前呼后应，利用图形来研究数，更直观形象，培养数形结合的思想。

教学设计《数列的概念》1教学任务分析人们对数列的的研究有的源于现实生产、生活需要，有的出于对数的喜爱。

教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数，数列中的每一项和它的序号有关。

数列可以看作是定义在正整数集或其有限子集上的函数。

对有关数列的简单表示，也是借助函数的研究方法进行的，即数列表示中的通项公式、列表法、图像法实际上分别对应着函数的三种表示。

2教学重难点重点：根据上述对教材地位与作用的分析和制定的教学目标，以及结合学生的实际情况，本节课的教学重点是：数列的有关概念，通项公式及其应用。

难点：考虑到学生已有的知识基础与认知能力，根据数列的前几项写出它的一个通项公式具有高度抽象性的特点。

因此，根据数列的前几项写出它的一个通项公式是本节课的难点。

3教学流程（一）情景引入1、情境1：从学生感兴趣的悬疑电影入手，引出数列的主要特征、概念。

2、情境2：3、列举生活中数列，培养学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断的能力。

4、纵观数列的举例，总结数列的相关概念。

并辨析{a n}与a n。

（二）数列分类请问：你用什么样的标准，分成哪几类？先独立思考，再组内讨论，最后找同学起来交流。

（三）数列通项公式通过前两个数列定义数列的通项公式。

（四）数列的本质1通过例题思考通项公式的作用。

2通过例题类比归纳总结，得出数列的函数背景。

3择通过判断题更加深入理解数列的本质。

（五）典型例题1、通过例题体会数列作为函数的一般性和特殊性。

2通过例题掌握归纳总结数列的通项公式的方法(六）一站到底通过一站到底的小游戏，检验自己的学习效果。

（七）课堂小结（八）作业布置。

2020年高中数学必修⑤21《数列的概念与简单表示法》教学设计精编版课题：必修⑤2.1数列的概念与简单表示法三维目标：1．知识与技能（1）理解数列及其有关概念，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列的简单分类；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式；（4）了解数列是一种特殊的函数；（5）了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与a的关系.n2．过程与方法（1）通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；（2）通过实例，体会并掌握数列的概念及表示方法，体验观察分析法求数列的通项公式的过程和技巧，发展数学猜想验证的能力；（3）通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力；（4）培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。

3．情态与价值观（1）通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

（2）借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗；（3）通过对数列知识的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神，并进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验。

教学重点：理解数列的概念，探索并掌握数列的简单表示法：通项公式、列表法、图像法。

根据数列的递推公式写出数列的前几项，数通项公式及其应用。

教学难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。

第21课时：第三章 数列——数列的有关概念一．课题：§3.1数列的有关概念数列的有关概念二．教学目标：理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解n a 与n S 的关系，培养观察能力和化归能力．三．教学重点：数列通项公式的意义及求法，n a 与n S 的关系及应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．数列的有关概念；2．数列的表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）解析法；（4）递推法．3．n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．（二）主要方法：1．给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归；2．数列前n 项的和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1n n n a S S -=-时，一定要注意条件2n ≥ ，求通项时一定要验证1a 是否适合． （三）例题分析：例1． 求下面各数列的一个通项：14916(1),,,,24578101113--⨯⨯⨯⨯；(2)数列的前n 项的和 221n S n n =++；(3)数列{}n a 的前n 项和r ra S n n (1+=为不等于0,1的常数) ． 解：（1）2(1)(31)(31)nn n a n n =--+．（2）当1n =时 114a S ==， 当2n ≥时 1n n n a S S -=-=41n -，显然1a 不适合41n a n =- ∴4(1)41(2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．（3）由n n ra S +=1可得当2≥n 时111--+=n n ra S ，)(11---=-∴n n n n a a r S S ， ∴1n n n a ra ra -=-，∴1(1),n n a r ra --= ∵1,r ≠ ∴11-=-r ra a n n ，∵0r ≠， ∴{}n a 是公比为1-r r的等比数列． 又当1=n 时，111ra S +=，∴r a -=111，∴11()11n n r a r r -=--． 说明：本例关键是利用n S 与n a 的关系进行转化．例2．根据下面各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式： （1）==+11,1n a a )(2*N n n a n ∈+； （2）==+11,1n a a 1+n n )(*N n a n ∈；（3）==+11,1n a a 121+n a )(*N n ∈．解：（1）n a a n n 21+=+ ，∴12n n a a n +-=， ∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-（2）11+=+n n a a n n，∴ 321121nn n aa a a a a a a -=⋅⋅=1211123n n n-⋅⋅=． 又解：由题意，n n na a n =++1)1(对一切自然数n 成立， ∴11(1)11n n na n a a -=-==⋅=，∴1n a n=． （3）}2{)2(21212111-∴-=-∴+=++n n n n n a a a a a 是首项为121-=-a 公比为21的等比数列，111121(),2()22n n n n a a --∴-=-⋅∴=-．说明：（1）本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法；（2）若数列{}n a 满足n a =1n pa q -+，则数列1n q a p ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是公比为p 的等比数列．例3．设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对所有自然数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，(1)写出数列{}n a 的前三项；(2)求数列{}n a 的通项公式(写出推证过程)；(3)令111()2n n n n n aa b a a ++=+()n N ∈，求123n b b b b n ++++-．解：（1）由题意：222n n a S += 0n a >，令1n =，11222a a +=，解得12a = 令2n =，21222()2a a a +=+， 解得26a = 令3n =，312322()2a a a a +=++ 解得310a =∴该数列的前三项为2,6,10. （2）∵22n a +=，∴21(2)8n n S a =+，由此2111(2)8n n S a ++=+，∴221111[(2)(2)]8n n n n n a S S a a +++=-=+-+，整理得：11()(4)0n n n n a a a a +++--= 由题意：1()0n n a a ++≠，∴140n n a a +--=，即14n n a a +-=， ∴数列{}n a 为等差数列，其中12,a =公差4d =，∴1(1)n a a n d =+-=42n -（3）14242122()(11)2424222121n n n b n n n n +-=+=++--+-+1112121n n =+--+∴121111113352121n b b b n n n +++=+-+-++--+n -1121n -+． 例4．（《高考A 计划》考点19“智能训练第17题”）设函数2()log log 2x f x x =-(01)x <<，数列{}n a 满足(2)2(1,2,3)na f n n ==（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）判定数列{}n a 的单调性． 解答参看《高考A 计划》教师用书112P ． （四）巩固练习： 1．已知1111,1(2)n n a a na -==+≥，则5a =85．2．在数列{}n a 中n a =9n S =，则n =99．。

高中数学21全册教案课题：数列的概念与性质教学目标：1. 理解数列的概念与性质，掌握常见数列的定义和公式；2. 能够根据数列的性质进行数列的运算和推理；3. 能够应用数列的知识解决实际问题。

教学重点和难点：重点：数列的定义、通项公式的求解和应用。

难点：数列的递推关系和常数项的数列。

教学过程：第一节：数列的概念及分类1. 引入数列的概念，让学生了解数列的定义和基本性质；2. 探讨等差数列和等比数列的定义和特点；3. 通过例题引导学生理解数列的概念和分类。

第二节：常见数列的求解1. 讲解等差数列和等比数列的通项公式的推导和应用；2. 练习求解常见数列的通项公式，并进行验证。

第三节：数列的运算和推理1. 引导学生探讨数列的运算规律和性质；2. 演示数列的四则运算和求和公式的应用；3. 练习数列的推理和应用题。

第四节：实际问题的应用1. 指导学生如何应用数列的知识解决实际问题；2. 带领学生分析并解决实际问题中的数列应用题。

教学方法：讲授结合练习、示范引导与学生讨论相结合的教学方法。

教学工具：黑板、彩色粉笔、教材、习题册等。

教学检测：1. 随堂练习：针对每个知识点进行练习和巩固；2. 课后作业：布置练习题目，包括计算题和应用题；3. 课后检测：通过单元测试检测学生对数列的掌握程度。

教学反馈：及时对学生的学习情况进行反馈，鼓励学生主动提问和分享解题思路。

教学改进：根据学生学习情况和反馈意见，及时调整教学方法和内容，提高教学效果。

教学延伸：拓展数列的应用领域，引导学生进行更深入的数列探索和研究。

教学结束语：数列作为数学中的重要分支之一，在数学学科中具有重要的作用和意义。

希望同学们能够认真学习数列的知识，掌握数列的基本概念和性质，在解决实际问题中运用数列知识，提高数学素养和解题能力。