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2015-2016学年四川省成都市金堂中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣4＜0}，则∁R A＝（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．（4，+∞）D．[4，+∞）2．（5分）“a＝2”是“直线x+y＝0与直线2x﹣ay＝0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）如图，长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，半圆的直径为AB．在长方形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣4．（5分）若a＜b＜0，则下列选项正确的是（）A．B．C．a n＜b n（n∈N，n≥2）D．∀c≠0，都有ac＜bc5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）A．19B．42C．47D．896．（5分）在正项等比数列{a n}中，若a1•a9＝16，则log2a5＝（）A．2B．4C．8D．167．（5分）设a＝sin145°，b＝cos52°，c＝tan47°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．39．（5分）α，β是两个平面，l是直线，给出以下四个命题：①若l⊥α，α⊥β，则l∥β，②若l∥α，α∥β，则l∥β，③l⊥α，α∥β，则l⊥β，④l∥α，α⊥β，则l⊥β，其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝2相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．211．（5分）设函数f（x）＝的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣2B．a＞﹣2C．a≥﹣D．a＞﹣12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（3）＝1，f（﹣2）＝3，f′（x）为f（x）的导函数，已知y＝f′（x）的图象如图所示，且f′（x）有且只有一个零点，若非负实数a，b满足f（2a+b）≤1，f（﹣a﹣2b）≤3，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．请将正确答案填写在横线上13．（4分）复数在复平面内对应的点的坐标为．14．（4分）如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是．15．（4分）已知{a n}是递增数列，且对于任意的n∈N*，a n＝n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是．16．（4分）下列命题中：①函数f（x）＝在定义域内为单调递减函数②函数f（x）＝x+（x＞0）的最小值为2③已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），则f（x）一定为偶函数④已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），则a+b+c＝0是f（x）有极值的必要不充分条件；⑤已知函数f（x）＝x﹣sin x，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的众数是18．（Ⅰ）求x，y的值，并用统计知识分析两组学生成绩的优劣；（Ⅱ）从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，求恰有2名学生在乙组的概率．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cos B＝b cos C．（1）求角B的大小，（2）若a＝3，△ABC的面积为，求的值．19．（12分）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a＝0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．20．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，侧棱AA1⊥平面ABC，D 为棱A1B1的中点，E为AA1的中点，点F在棱AB上，且AF＝AB．（1）求证：EF∥平面BC1D；（2）求VD﹣EBC1的体积．21．（13分）给定椭圆C：＝1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N．①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；②求证：|MN|为定值．22．（13分）已知函数f（x）＝．（1）若函数在区间（t，t+）（其中t＞0）上存在极值，求实数t的取值范围；（2）如果当x≥1时，不等式f（x）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年四川省成都市金堂中学高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的1．【解答】解：由A中不等式解得：x＜4，即A＝（﹣∞，4），∵全集为R，∴∁R A＝[4，+∞），故选：D．2．【解答】解：由直线x+y＝0与直线2x﹣ay＝0互相垂直，得：（﹣1）•＝﹣1，解得：a＝2，∴“a＝2”是“直线x+y＝0与直线2x﹣ay＝0互相垂直”的充要条件，故选：C．3．【解答】解：由题意，长方形的面积为2×1＝2，半圆面积为，所以阴影部分的面积为2﹣，由几何概型公式可得该点取自阴影部分的概率是；故选：B．4．【解答】解：A．∵a＜b＜0，∴a2＞b2，ab＞0，∴，因此正确；B．∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴，因此不正确；C．∵a＜b＜0，∴a2＞b2，因此不正确；D．取c＜0时，可得ac＞bc，因此不正确．故选：A．5．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k＝1S＝1满足条件k＜5，S＝3，k＝2满足条件k＜5，S＝8，k＝3满足条件k＜5，S＝19，k＝4满足条件k＜5，S＝42，k＝5不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为42．故选：B．6．【解答】解：在正项等比数列{a n}中，∵a1•a9＝＝16，∴a5＝4，∴log2a5＝log24＝2，故选：A．7．【解答】解：∵a＝sin145°＝sin35°，b＝cos52°＝sin38°，c＝tan47°＞tan45°＝1，∴y＝sin x在（0，90°）单调递增，∴sin35°＜sin38°＜sin90°＝1，∴a＜b＜c故选：A．8．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V＝＝3⇒x＝3．故选：D．9．【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故①错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故②错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故③正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故④错误；故选：A．10．【解答】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay＝0，圆（x﹣2）2+y2＝2的圆心（2，0），半径为，双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝2相切，可得：，可得a2＝b2，c＝a，e＝＝．故选：B．11．【解答】解：当x≥时，f（x）＝4x﹣3≥2﹣3＝﹣1，当x＝时，取得最小值﹣1；当x＜时，f（x）＝x2﹣2x+a＝（x﹣1）2+a﹣1，即有f（x）在（﹣∞，）递减，则f（x）＞f（）＝a﹣，由题意可得a﹣≥﹣1，解得a≥﹣．故选：C．12．【解答】解：由y＝f′（x）图象可知，当x＝0时，f′（x）＝0，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，又∵a，b为非负实数，∴f（2a+b）≤1可化为f（2a+b）≤1＝f（3），可得0≤2a+b≤3，同理可得﹣2≤﹣a﹣2b≤0，即0≤a+2b≤2，作出以及a≥0和b≥0所对应的平面区域，得到如图的阴影部分区域，解之得A（0，1）和B（1.5，0）而等于可行域内的点与P（﹣1，﹣2）连线的斜率，结合图形可知：k PB是最小值，k P A是最大值，由斜率公式可得：k P A＝＝3，k PB＝＝，故的取值范围为[，3]故选：A．二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．请将正确答案填写在横线上13．【解答】解：∵＝．∴复数在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1）．故答案为：（2，﹣1）．14．【解答】解：由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：17，22，28，34，35，36．由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：12，16，21，23，29，31，32．由此可得甲运动员得分数据的中位数是．乙运动员得分数据的中位数是23．所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54．故答案为54．15．【解答】解：∵对于任意的n∈N*，a n＝n2+λn恒成立，a n+1﹣a n＝（n+1）2+λ（n+1）﹣n2﹣λn＝2n+1+λ，∵{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，又a n+1﹣a n＝（n+1）2+λ（n+1）﹣n2﹣λn＝2n+1+λ∴当n＝1时，a n+1﹣a n最小，∴a n+1﹣a n＞a2﹣a1＝3+λ＞0，∴λ＞﹣3．故答案为：（﹣3，+∞）．16．【解答】解：①函数f（x）＝在定义域内不具有单调性，因此不正确；②函数f（x）＝x+（x＞0）a≤0时无最小值，因此不正确；③已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），∴f（x）＝f（x+4）＝f（x+2+2）＝f（2﹣（x+2））＝f（﹣x），即f（﹣x）＝f（x），因此f（x）一定为偶函数，正确；④函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），∴f′（x）＝3ax2+2bx+c，若函数f（x）有极值，则△＝4b2﹣12ac＞0，∴b2＞3ac．这是函数f（x）取得极值的充要条件．当a+b+c＝0时，△＝4b2+12a（a+b）＝＞0，因此a+b+c＝0是f（x）有极值的充分不必要条件，因此不正确；⑤函数f（x）＝x﹣sin x，则f′（x）＝1﹣cos x≥0，∴函数f（x）在R上单调递增，又f（﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．∵a+b＞0，∴a＞﹣b，∴f（a）＞f（﹣b）＝﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0．其中正确命题的序号为③⑤．故答案为：③⑤．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．【解答】解：（Ⅰ）甲组五名学生的成绩为9，12，10+x，24，27．乙组五名学生的成绩为9，15，10+y，18，24．因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的众数是18所以x＝3，y＝8；因为甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数是，则甲组学生成绩稍好些；（Ⅱ）成绩不低于（10分）且不超过（20分）的学生中共有5名，从中任意抽取3名共有10种不同的抽法，恰有2名学生在乙组共有6种不同抽法，所以概率为．18．【解答】解：（1）∵（2a﹣c）cos B＝b cos C，由正弦定理得：（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B•cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+cos C sin B＝sin（B+C）＝sin A，∵0＜A＜π，∴sin A＞0，∴2cos B＝1，cos B＝，又0＜B＜π，∴B＝；（2）法一：∵a＝3，△ABC的面积为，∴•3c•sin＝，∴c＝2，b2＝22+32﹣2×2×3cos＝7，∴b＝，∴cos A＝＝，∴•＝bc cos（π﹣A）＝2×（﹣）＝﹣1．法二：•＝（﹣）＝||•||•cos＜，＞﹣＝2×3×﹣22＝﹣1．19．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x＝a（x﹣1）（x﹣3），且a＜0．因而f（x）＝a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x＝ax2﹣（2+4a）x+3a．①由方程f（x）+6a＝0得ax2﹣（2+4a）x+9a＝0．②因为方程②有两个相等的根，所以△＝[﹣（2+4a）]2﹣4a•9a＝0，即5a2﹣4a﹣1＝0．解得a＝1或a＝﹣．由于a＜0，a＝﹣，舍去，故a＝﹣．将a＝﹣代入①得f（x）的解析式．（Ⅱ）由及a＜0，可得f（x）的最大值为．就由解得a＜﹣2﹣或﹣2+＜a＜0．故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是．20．【解答】解：（1）证明：由，可知EF∥BD，．（2）由题可知，.，则，△EBC 1中，，，，则，则．21．【解答】解：（I）因为，所以b＝1所以椭圆的方程为，准圆的方程为x2+y2＝4．（II）（1）因为准圆x2+y2＝4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y＝kx+2，所以，消去y，得到（1+3k2）x2+12kx+9＝0，因为椭圆与y＝kx+2只有一个公共点，所以△＝144k2﹣4×9（1+3k2）＝0，解得k＝±1．所以l1，l2方程为y＝x+2，y＝﹣x+2．（2）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当l1方程为时，此时l1与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝1（或y ＝﹣1），即l2为y＝1（或y＝﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02＝4，设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y＝t（x﹣x0）+y0，则，消去y得到x2+3（tx+（y0﹣tx0））2﹣3＝0，即（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3＝0，△＝[6t（y0﹣tx0）]2﹣4•（1+3t2）[3（y0﹣tx0）2﹣3]＝0，经过化简得到：（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02＝0，因为x02+y02＝4，所以有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0，所以t1•t2＝﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：因为l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直，所以线段MN为准圆x2+y2＝4的直径，所以|MN|＝4．22．【解答】解：（1）因为f（x）＝，x＞0，则，当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在x＝1处取得极大值．因为函数f（x）在区间（t，t+）（其中t＞0）上存在极值，所以，解得＜t＜1．（2）不等式f（x）恒成立，即为≥a恒成立，记g（x）＝，所以＝令h（x）＝x﹣lnx，则，∵x≥1，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min＝h（1）＝1＞0，从而g′（x）＞0，故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g（x）]min＝g（1）＝2，所以a≤2．。
高三数学(理科)摸底测试参考答案第1㊀页(共4页)成都市2013级高中毕业班摸底测试数学试题参考答案(理科)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一㊁选择题:(每小题5分,共60分)1.A ;2.D ;3.C ;4.D ;5.A ;6.B ;7.C ;8.C ;9.A ;10.B ;11.D ;12.D.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二㊁填空题:(每小题5分,共20分)13.12;㊀14.30;㊀15.439;㊀16.(28,55).三㊁解答题:(共70分)17.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)ȵәA B C 为等腰三角形,O 是底边B C 的中点,ʑA O ʅB C ,ʑA O ʅO B ᶄ,A O ʅO C . 4分又ȵO B ᶄɘO C =O ,ʑA O ʅ平面B ᶄO C . 6分(Ⅱ)由三视图知,直线O B ᶄ,O A ,O C 两两垂直,且O C =O B ᶄ=1,O A =3,建立如图所示空间直角坐标系O -x y z .则A (3,0,0),C (0,1,0),B ᶄ(0,0,1).ʑA C ң=(-3,1,0),A B ᶄң=(-3,0,1).设平面A B ᶄC 的法向量为m =(x ,y ,z ).则m ㊃A C ң=0m ㊃A B ᶄң=0{,即-3x +y =0-3x +z =0{.可取m =(1,3,3). 9分又n =(1,0,0)为平面B ᶄO C 的法向量,ʑc o s m ,n ⓪=m ㊃n |m ||n |=11ˑ19=1919.ʑ二面角A -B ᶄC -O 的余弦值为1919. 12分18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)f (x )=s i n x +3c o s x =2s i n (x +π3). 2分由-π2+2k πɤx +π3ɤπ2+2k π,得-5π6+2k πɤx ɤπ6+2k π,k ɪZ .ʑf (x )的单调递增区间为[-5π6+2k π,π6+2k π],k ɪZ . 6分(Ⅱ)g (x )=[f (x )]2-2=4s i n 2(x +π3)-2=-2[1-2s i n 2(x +π3)].=-2c o s (2x +2π3). 8分高三数学(理科)摸底测试参考答案第2㊀页(共4页)ȵx ɪ[0,π4],ʑ2x +2π3ɪ[2π3,7π6].ʑc o s (2x +2π3)ɪ[-1,-12].ʑ1ɤg (x )ɤ2. 11分ʑ函数g (x )的值域是[1,2]. 12分19.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)第3组的人数为0.3ˑ100=30,第4组的人数为0.2ˑ100=20,第5组的人数为0.1ˑ100=10.ʑ第3,4,5组共有60名志愿者.ʑ用分层抽样的方法在这3组志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060ˑ6=3;第4组:2060ˑ6=2;第5组:1060ˑ6=1.ʑ应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. 6分(Ⅱ)记第3组的3名志愿者分别为A 1,A 2,A 3,第4组的2名志愿者分别为B 1,B 2,第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者的可能情况有:(A 1,A 2),㊀(A 1,A 3),㊀(A 1,B 1),㊀(A 1,B 2),㊀(A 1,C 1),(A 2,A 3),㊀(A 2,B 1),㊀(A 2,B 2),㊀(A 2,C 1),(A 3,B 1),㊀(A 3,B 2),㊀(A 3,C 1),(B 1,B 2),㊀(B 1,C 1),㊀(B 2,C 1),共有15种不同的结果.9分其中第3组的3名志愿者A 1,A 2,A 3都没有被抽中的可能情况有:(B 1,B 2),㊀(B 1,C 1),(B 2,C 1),共有3种不同的结果.ʑ第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为1-315=45. 12分20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由题意,知动点P (x ,y )到定点E (-1,0),F (1,0)的距离之和等于4(大于|E F |),ʑ动点P 的轨迹是以(-1,0),(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆.ʑa =2,c =1,b 2=3.ʑ曲线G 的标准方程为x 24+y 23=1. 4分(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k (x -1)(k ʂ0).代入x 24+y 23=1,得(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0.显然ә>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).则x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3. 6分(i )由题意,知C (x 1,-y 1).ʑ直线B C 的方程为y =y 2+y 1x 2-x 1(x -x 1)-y 1.令y =0,则x N =y 1(x 2-x 1)y 2+y 1+x 1=y 1x 2+y 2x 1y 2+y 1=2x 1x 2-(x 1+x 2)x 1+x 2-2=2㊃4k 2-124k 2+3-8k 24k 2+38k 24k 2+3-2=4.高三数学(理科)摸底测试参考答案第3㊀页(共4页)ʑ直线B C 恒过定点N ,且定点N 的坐标为(4,0). 9分(i i )由(i ),可知N (4,0),F (1,0).ʑәA B N 的面积可表示为S =12|F N ||y 2-y 1|=32|k (x 2-x 1)|.ʑS =32k 2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=32k 2[(8k 24k 2+3)2-4㊃4k 2-124k 2+3].=18k 2㊃k 2+1(4k 2+3)2设4k 2+3=t ,则t >3.ʑS =92t 2-2t -3t 2=92-3(1t +13)2+43.令u =1t ,则0<u <13.ȵ函数y =-3(u +13)2+43在(0,13)内单调递减,ʑy ɪ(0,1).故әA B N 的面积S 的取值范围是(0,92). 12分21.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)ȵf (x )=a x 2+1n x ,ʑf ᶄ(x )=1x +2a x .令φ(x )=1x +2a x ,则φᶄ(x )=-1x 2+2a.由题意,知φᶄ(12)=0,ʑ-4+2a =0,ʑa =2.经检验,a =2符合题意.ʑ实数a 的值为2. 3分(Ⅱ)方程f (x )-g (x )+m =0恰有两个不相等的实数根,即m =g (x )-f (x )在x ɪ[12,2]内恰有两个不相等的实数根.4分令u (x )=g (x )-f (x ),则u (x )=3x -x 2-1n x ,x ɪ[12,2].ʑu ᶄ(x )=3-2x -1x =-(2x -1)(x -1)x .由u ᶄ(x )>0,得12<x <1;由u ᶄ(x )<0,得1<x <2.ʑ函数u (x)在[12,1]内单调递增,在[1,2]内单调递减.ʑu (x )在x =1处有极大值u(1)=2.又u (12)=54+1n 2,u (2)=2-1n 2,5分易知实数m 的取值范围是[54+1n 2,2).7分(Ⅲ)h (x )=f (x )-32x 2-(b +1)x =1n x +12x 2-(b +1)x .ʑh ᶄ(x )=1x +x -(b +1)=x 2-(b +1)x +1x .高三数学(理科)摸底测试参考答案第4㊀页(共4页)由题意,知x 1,x 2是方程x 2-(b +1)x +1=0的两个实数根,且x 2>x 1>0.ʑә>0.x 1+x 2=b +1,x 1x 2=1.ȵk A B =h (x 1)-h (x 2)x 1-x 2,x 1-x 2<0,ʑk A B ɤr x 1-x 2恒成立等价于h (x 1)-h (x 2)ȡr 恒成立,即r ɤ[h (x 1)-h (x 2)]m i n .10分由h (x 1)-h (x 2)=1n x 1-1n x 2+12x 21-12x 22-(b +1)(x 1-x 2)=1n x 1x 2-12(x 21-x 22)=1n x 1x 2-12x 1x 2(x 21-x 22)=1n x 1x 2-12(x 1x 2-x 2x 1).设x 1x 2=t (0<t <1),则h (x 1)-h (x 2)=1n t -12(t -1t ).又ȵ(b +1)2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2,b ȡ32,ʑt +1t +2ȡ(32+1)2=254.ʑt ɤ14,或t ȡ4.ʑ0<t ɤ14.设ν(t )=1n t -12(t -1t),0<t ɤ14.则νᶄ(t )=1t -12(1+1t 2)=-(t -1)22t 2.ȵ0<t ɤ14,ʑνᶄ(t )<0.㊀㊀ʑν(t)在(0,14]内单调递减.ʑν(t )m i n =ν(14)=158-21n 2,即r ɤ158-21n 2.ʑ实数r 的最大值为158-21n 2. 12分22.(本小题满分10分)解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为x 2=2a y ,直线l 的普通方程为x -y +2=0.4分(Ⅱ)将直线l 的参数表达式代入抛物线方程,得12t 2-(42+2a )t +4a +16=0.ʑt1+t 2=82+22a ,t 1t 2=8a +32. 6分ʑ|P M |=|t 1|,|MN |=|t 1-t 2|,|PN|=|t 2|.8分ȵ|P M |,|MN |,|P N |成等比数列,则|MN |2=|P M ||P N |.即|t 1-t 2|2=|t 1t 2|.则(t 1+t 2)2=5t 1t 2.将t 1+t 2=82+22a ,t 1t 2=8a +32代入,化简,得(a +4)(a -1)=0.ȵa >0,ʑa 1. 10分。
四川省成都市2016-2017学年高三下学期入学考试数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意事项：1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B={x|x 2≤1}，A ∩B=（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1} B ．{﹣1，1} C ．{﹣1，0} D ．{﹣1，0，1} 2.若数列{}n a 中，n a n 343-=，则n S 取得最大值时n 的值是（ ） .A .13.B 14 .C 15 .D 14或153.下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是 （ ） A ．2x y -= B ．tan y x = C ．3y x = D ．3log y x =4.已知复数z 满足()2543=+z i ，则z ＝( )A ．i 43-B ．i 43+C ．i 43--D ．i 43+-5.某四面体的三视图如右图所示，正视图.俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（ ）A ． 12πB ．C ．48πD ．6．已知，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．7.已知命题p ：函数2()|2cos 1|f x x =-的最小正周期为π；命题q ：若函数(2)f x -为奇函数，则()f x 关于(2,0)-对称.则下列命题是真命题的是 （ ） A ．p q ∧ B ． p q ∨ C ．()()p q ⌝⌝∧ D ．()p q ⌝∨8.已知函数()()()2433,0log 11,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦9．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ） A ．45B ．55C ．66D ．11010．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如表所示：若根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中a 的值为（ ）A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.511.在同一平面直角坐标系中，函数()y f x =和()y g x =的图像关于直线y x =对称．现将()y g x =图像沿x 轴向左平移2个单位，再沿Y 轴向上平移１个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图２所示），则函数()f x 的表达式为( )A.22,10()2,022x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩B.22,10()2,022x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩12.过双曲线2222x y 1(b a 0)a b-=>>的左焦点F （-c,0）(c>0)作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE交抛物线2y 4cx =于点P ，若1OE (OF OP)2=+,则双曲线的离心率为 （ ）第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2015-2016学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷（文科）一.选择题.（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题的四个选项中仅有一项符合题目要求）1．（5分）复数＝（）A．﹣i B．i C．﹣1﹣i D．﹣1+i2．（5分）sin210°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）数列{a n}满足a n+1＝，a1＝，则a3＝（）A．1B．2C．﹣1D．4．（5分）已知集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（0，）D．（0，1）5．（5分）从区间[0，]内随机取一个实数x，则sin x＜的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知p：函数f（x）＝|x+a|在（﹣∞，﹣1）上是单调函数；q：函数g（x）＝log a （x+1）（a＞0且a≠1）在（﹣1，+∞）上是增函数，则￢p成立是q成立的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要7．（5分）按右图所示的程序框图运算，若输入x＝200，则输出k的值是（）A．3B．4C．5D．68．（5分）已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝kx﹣3与平面区域D有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣3，3]B．（﹣∞，]∪[，+∞）C．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）D．[]9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）若两个非零向量，满足|+|＝|﹣|＝2||，则向量+与﹣的夹角是（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）若0＜＜a＜b，当a﹣取最小值时，a+b＝（）A．4B．5C．6D．7二.填空题.（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设函数f（x）＝x4+ax，若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线斜率为1，那么a＝．14．（5分）已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2＝b2+c2+bc，则A＝．15．（5分）设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ，②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ③若直线l与平面α内的无数条直线垂直则直线l与平面α垂直，④若α内存在不共线的三点到β的距离相等．则平面α平行于平面β上面命题中，真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）16．（5分）已知函数f（x）为偶函数，又在区间[0，2]上有f（x）＝，若F（x）＝f（x）﹣a在区间[﹣2，2]恰好有4个零点，则a的取值范围是．三.解答题.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．18．（12分）已知＝（2cos x，sin x），＝（cos x，sin x﹣cos x），设函数f（x）＝•．（1）求f（x）图象的对称轴方程；（2）求f（x）在[，π]上的值域．19．（12分）如图，五面体A﹣BCC1B1中，AB1＝4．底面ABC是正三角形，AB＝2．四边形BCC1B1是矩形，二面角A﹣BC﹣C1为直二面角．（Ⅰ）D在AC上运动，当D在何处时，有AB1∥平面BDC1，并且说明理由；（Ⅱ）当AB1∥平面BDC1时，求二面角C﹣BC1﹣D余弦值．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（a﹣2）x．（Ⅰ）若f（x）在x＝1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求函数y＝f（x）在[a2，a]上的最大值．21．（12分）如图，O为坐标原点，A和B分别是椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）和C2：+＝1（m＞n＞0）上的动点，满足•＝0，且椭圆C2的离心率为．当动点A在x轴上的投影恰为C的右焦点F时，有S△AOF＝（1）求椭圆C的标准方程；（2）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴等长，求||2的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p＝2cos（θ+）．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．（选修4-5；不等式选讲）23．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．2015-2016学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题.（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题的四个选项中仅有一项符合题目要求）1．【解答】解：复数＝故选：C．2．【解答】解：sin210°＝sin（180°+30°）＝﹣sin30°＝﹣．故选：B．3．【解答】解：∵a n+1＝，a1＝，∴a2＝＝＝2，∴a3＝＝＝﹣1，故选：C．4．【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}＝（0，1）．故选：D．5．【解答】解：在区间[0，]上，当x∈[0，]时，sin x，由几何概型知，符合条件的概率为．故选：B．6．【解答】解：由p成立，则a≤1，由q成立，则a＞1，所以¬p成立时a＞1是q的充要条件．故选：C．7．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x＝200，k＝0x＝401，k＝1不满足条件x≥2015，x＝803，k＝2不满足条件x≥2015，x＝1607，k＝3不满足条件x≥2015，x＝3215，k＝4满足条件x≥2015，退出循环，输出x的值为3215，k的值为4，故选：B．8．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，y＝kx﹣3过定点D（0，﹣3），则k AD＝，k BD＝＝﹣3，要使直线y＝kx﹣3与平面区域M有公共点，由图象可知k≥3或k≤﹣3，故选：C故选：C．9．【解答】解：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，如图所示，所以其体积为．故选：D．10．【解答】解：依题意，∵|+|＝|﹣|＝2||∴＝∴⊥，＝3，∴cos＜，＞＝＝﹣，∵与的夹角的取值范围是[0，π]，∴向量与的夹角是，故选：C．11．【解答】解：设M在双曲线﹣＝1的左支上，且MA＝AB＝2a，∠MAB＝120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣＝1，可得a＝b，c＝＝a，即有e＝＝．故选：D．12．【解答】解：∵0＜＜a＜b，∴b﹣a＞0，2a﹣b＞0；∴a﹣＝（2a﹣b）+（b﹣a）+≥2+＝++≥3；（当且仅当2a﹣b＝b﹣a＝1时，等号同时成立）；解得，a＝2，b＝3；故a+b＝5；故选：B．二.填空题.（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．【解答】解：函数f（x）＝x4+ax的导数为f′（x）＝4x3+a，即有在x＝1处的切线斜率为4+a＝1，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．14．【解答】解：由a2＝b2+c2+bc，得：b2+c2﹣a2＝﹣bc，由余弦定理得：b2+c2﹣a2＝2bc cos A，∴cos A＝﹣，又A为三角形ABC的内角，∴A＝．故答案为：．15．【解答】解：因为如2个平行平面中有一个和第三个平面垂直，则另一个也和第三个平面垂直，故①正确．若2个平面都和第三个平面垂直，则他们的交线也和第三个平面垂直，故②正确．直线l与平面α内的无数条直线垂直，也不能保证直线l与平面α内的2条相交直线垂直，故③不正确．α内存在不共线的三点到β的距离相等，这3个点可能在2个相交平面的交线的两侧，故④不正确．综上，正确答案为①②．16．【解答】解：作出函数y＝f（x）在[﹣2，2]的图象，根据图象，F（x）＝f（x）﹣a在区间[﹣2，2]恰好有4个零点，则a的取值范围是（4，5）．故答案为：（4，5）．三.解答题.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于60×＝32人．…（4分）（2）设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为1，2；“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A．…（5分）所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12…（8分）其中事件A包含基本事件a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8种，…（10分）由古典概型可得P（A）＝…（12分）18．【解答】解：（1）已知＝（2cos x，sin x），＝（cos x，sin x﹣cos x），则函数f（x）＝•＝2cos2x+＝＝cos（2x++（1）由：（k∈Z）解得：x＝（k∈Z）所以：函数f（x）的对称轴方程为：x＝（k∈Z）．（2）由（1）得：f（x）＝所以：当x时，解得：当时，有＝．当时，有．∴f（x）的最大值和最小值故x∈[，π]，f（x）的f（x）的值域是19．【解答】解：（Ⅰ）当D为AC中点时，有AB1∥平面BDC1，证明：连接B1C交BC1于O，连接DO∵四边形BCC1B1是矩形∴O为B1C中点又D为AC中点，从而DO∥AB1，∵AB1⊄平面BDC1，DO⊂平面BDC1∴AB1∥平面BDC1（Ⅱ）建立空间直角坐标系B﹣xyz如图所示，则B（0，0，0），A（，1，0），C（0，2，0），D（，，0），C1（0，2，2），所以＝（，，0），＝（0，2，2）．设＝（x，y，z）为平面BDC1的法向量，则有，即令Z＝1，可得平面BDC1的一个法向量为＝（3，﹣，1），而平面BCC1的一个法向量为＝（1，0，0），所以cos＜，＞＝＝＝，故二面角C﹣BC1﹣D的余弦值为．20．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝lnx﹣ax2+（a﹣2）x，∴函数的定义域为（0，+∞）．…（1分）∴．…（3分）∵f（x）在x＝1处取得极值，即f'（1）＝﹣（2﹣1）（a+1）＝0，∴a＝﹣1．…（5分）当a＝﹣1时，在内f'（x）＜0，在（1，+∞）内f'（x）＞0，∴x＝1是函数y＝f（x）的极小值点．∴a＝﹣1．…（6分）（Ⅱ）∵a2＜a，∴0＜a＜1．…（7分）∵x∈（0，+∞），∴ax+1＞0，∴f（x）在上单调递增；在上单调递减，…（9分）①当时，f（x）在[a2，a]单调递增，∴f max（x）＝f（a）＝lna﹣a3+a2﹣2a；…（10分）②当，即时，f（x）在单调递增，在单调递减，∴；…（11分）③当，即时，f（x）在[a2，a]单调递减，∴f max（x）＝f（a2）＝2lna﹣a5+a3﹣2a2．…（12分）综上所述，当时，函数y＝f（x）在[a2，a]上的最大值是lna﹣a3+a2﹣2a；当时，函数y＝f（x）在[a2，a]上的最大值是；当1＞时，函数y＝f（x）在[a2，a]上的最大值是2lna﹣a5+a3﹣2a2．…（13分）21．【解答】解：（1）设椭圆C1的半焦距为c，由题意可知，，又椭圆C1的离心率＝，且a2＝b2+c2，联立以上三式可得：，∴椭圆C1的标准方程为；（2）由C1的长轴与C2的短轴等长，知n＝a＝，又C1与C2共焦点，可知，∴椭圆C2的标准方程为．当线段OA的斜率存在且不为0时，设OA：y＝kx，联立，解得，∴．由•＝0，得OB：y＝﹣，联立，解得，∴|OB|2＝，∴|AB|2＝|OA|2+|OB|2＝＝．又（当时取等号），∴．当线段OA的斜率不存在和斜率k＝0时，|AB|2＝4，综上，．选修4-4：坐标系与参数方程22．【解答】解：（1）由圆C的极坐标方程ρ＝2cos（θ+），化为，展开为ρ2＝，化为x2+y2＝．平方为＝1，∴圆心为．（2）由直线l上的点向圆C引切线长＝＝≥2，∴由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为2．（选修4-5；不等式选讲）23．【解答】证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a＝b＝c取得等号）由题设可得（a+b+c）2＝1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤；（2）+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即有++≥a+b+c．（当且仅当a＝b＝c取得等号）．故++≥1．。
20 x x= 0 0xx成都七中2015－2016 学年度上期半期考试高三年级数学试卷（文科）考试时间：120 分钟总分：150 分一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A= { x | x - 1 ≥ 0}, B = { x | x 2 - x - 2 ≤ 0} ，则A B = （）（A）{ x | 0 ≤ x ≤ 2}（B）{ x | 1 ≤ x ≤ 2}（C）{1,2 } （D）Φ2．式子2 lg 5 + lg 12 - lg 3 = （）（A）0（B）1 （C）2（D）- 23．已知向量a= (1, λ ) ，b= ( λ ,4 ) ，若a// b ，则实数λ = （）（A）0（B）± 2（C）- 2（D）24．函数f ( x ) = e x - e - x ( x ∈ R ) 的奇偶性是（）（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数也是偶函数5．函数f ( x ) = sin 2 x + 1 的周期为（）（A）4π （B）2πxπ （C）π（D）26．函数f ( x ) = log x + - 3 的零点所在区间为（）3（A）( 0 ,1) （B）(1, 2 ) C．( 2 ,3 ) （D）( 3,4 ) 7．已知a, b , c , d ∈ R ，“a + c > b + d ”是“a > c , b > d ”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件π8．已知t an(1+ α ) = 2 ，则s in 2α41= （）3 3（A）-（B）3 3 （C）-（D）5 59．下列命题成立的是（）π 1 π（A）∃ x∈ ( 0 , ，使得s in4 cos2（B）∀ x ∈ [ 0 , ] ，都有s in4x + cos x < 2π （C）∃ x ∈ (2 , π ) ，使得s in -cos = 13π（D）∀ x ∈ [4,5π] ，都有s in 2 x ≤ cos 2 x410．在∆ ABC中，c os2 5A =, cos5310B =10，最长的边长为 5 ，则最短的边长为（）5（A）2（B）23（C）1 （D）2nn 8 1n2 8 n 1 1=a + n3 * 0 n 3 n 3 n 3 n 1 1 22 5x 21 21 2 34 x 2 312 34 ( )11．已知公差不为零的等差数列 {α } 的前 n 项和为 S , S = 4 π ，函数 f ( x ) = c o s x ( 2 s i n x + 1) ，则f (α ) + f (α ) + + f (α ) 的值为（ ）（A ） 0（B ） 4π（C ） 8π（D ）与α 有关12．已知数列{ a } 的前 n 项和为 S ，满足 a π= tan α , ( 0 < α < , α π≠，an n + 13 *( n ∈ N ) ．关于下列命题： π①若α =，则 a 3= 0 ；2 61 -3 a②对任意满足条件的角α ，均有 an + 3= a ( n ∈ N ) ；③存在αππ∈ ( 0 , 6ππ ) ( 6 π, ) ，使得 S 2= 0 ；④当 < α <6时， S 3< 0 ．其中正确的命题有（ ）（A ）1 个 （B ）2 个 （C ）3 个（D ）4 个二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）13．已知 a = ( 2 ,- 1), b = (1,3) ，则 ( 2 a - b ) ⋅ a =．π 14．已知角α ， β ， γ 构成公差为32 的等差数列．若 c o s β = - ，则 c o s α + c o s γ = .315．已知公比 q ≠ 1 的正项等比数列{ a } ， a = 1 ，函数 f ( x ) = 1 + ln x ，则f ( a ) + f ( a ) + + f ( a ) = ．16．函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有定义，若对任意 x , x ∈ [ a , b ] ，有 + x f ( 1 ) ≤21 [ f ( x ) + 2f ( x )] ，则称 f ( x )在 [ a , b ] 上具有性质 P ．设 f ( x ) 在 [1, 2 0 1 5 ] 上具有性质P .现给出如下命题：① f ( x ) 在 [1, 2 0 1 5 ] 上不可能为一次函数；②若 f (1008 ) = 1008 ，则 f ( x ) + f ( 2016 - x ) ≥ 2016 ；③对任意 x , x , x , x∈ [1,2015 + x ] ，有 f ( 1+ x+ x 44) ≤1[ f ( x ) + 4 f ( x ) + f ( x ) +f ( x )] ； ④函数 f x2在 ⎡上具有性质 P . ⎣其中真命题的序号是 .2 / n + 1* 1 2 nn n 12 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题 10 分）已知集合 A = { x | x 2- 3 x + 2 ≤ 0} ，函数 f ( x ) = x - 2 ax+ 1 .（1）当 a ≠ 0 时，解关于 x 的不等式f ( x ) ≤ 3 a 2+ 1 ；（2）对任意 x ∈ A ，均有 f ( x ) > 0 ，求实数 a 的取值范围.18．（本小题 12 分）已知函数 f ( x ) = 2 x 3 - 3 x 2-f ( 0 ) x + c （ c ∈ R ），其中 f ( 0 ) 为函数 f ( x ) 在 x = 0处的导数．（1）求函数 f ( x ) 的递减区间；（2）若函数 f ( x ) 的极大值和极小值互为相反数，求函数 f ( x ) 的解析式．19．（本小题 12 分）已知向量 a = (sinx + cos x , 2 cos x ) ，b = (cosx- sin x ,2 sin x ) ， πx ∈ [ -8,0 ] ．（1）求 | a | 的取值范围；（2）若a ⋅ b = 1 ，求x 的值．20．（本小题 12 分）已知数列{ a - 2 a } ( n ∈ N ) 是公比为 2 的等比数列，其中 a = 1, a = 4 ．（Ⅰ）证明：数列{a n } 是等差数列；2（Ⅱ）求数列{ a } 的前 n 项和 S ．21．（本小题 12 分）∆ ABC 的三内角 A , B , C 所对边长分别为 a , b , c ，a 2 - b 2= bc ， A D 为角 A 的平分线，且 ∆ ACD 与 ∆ ABD 面积之比为1:2． （1）求角 A 的大小；（2）若 A D = 3 ，求 ∆ ABC 的面积．μ22.（本小题 12 分）已知函数 f ( x ) = λ e x- x 2, g ( x ) = - x 2+ 2 然对数底数.2 15 x -( μ 2> 0 ) ，其中e = 2 .71828 ⋅ ⋅ ⋅ 是自 （Ⅰ）若函数f ( x ) 有两个不同的极值点 x , x ,证明： 0 < λ < ；e·4·（Ⅱ）当 λ =1 时，求使不等式 f ( x ) > g ( x ) 在一切实数上恒成立的最大正整数 μ .（参考数据：7 < e2< 7 .5 ）成都七中2015－2016学年度上期半期考试 高三年级数学试卷（文科参考答案）一、选择题（每小题5分，共60分）1．B 2．A 3．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8．D 9．D 10．C 11．A 12．D 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．11 14．32-15．5 16．②③ 三、解答题（共70分）17.解：（1）不等式13)(2+≤a x f 整理得03222≤--a ax x ，即0)3)((≤-+a x a x ，若0>a ，则解集为]3,[a a -， …………………2分 若0<a ，则解集为],3[a a -． …………………4分 （2）}21|{≤≤=x x A ，对任意的]2,1[∈x ，均有0122>+-ax x 成立，…………………6分即xx x x a 1122+=+<，只需min )1(2x x a +<， …………………8分 当1=x 时，2)1(min =+xx ，所以22<a ，即1<a ． …………………10分18．解：（1）)0(66)(/2/f x x x f --=，令0=x 得0)0()0(0)0(///=⇒-=f f f ， …………………3分 令0)(/<x f ，解得10<<x ，所以函数)(x f 的递减区间为)1,0(， …………………6分 （2）函数)(x f 在)0,(-∞上递增，在)1,0(上递减，在),1(+∞上递增，所以c f x f +-==32)1()(极小值，c f x f ==)0()(极大值，…………………10分·5·032=++-∴c c ，解得21=c ． …………………12分19．解：（1）12cos 2sin 1cos 2)cos (sin ||22+++=++=x x x x x a2)42sin(2++=πx …………………2分因为]0,8[π-∈x ，所以4420ππ≤+≤x ，即22)42sin(0≤+≤πx ，………………4分 所以||的取值范围是]3,2[， …………………6分 （2）x x x x b a cos sin 2sin cos 22+-=⋅，)42sin(22cos 2sin π+=+=⋅⇒x x x ，…………………8分1=⋅ ,22)42sin(=+∴πx ， …………………10分因为]0,8[π-∈x ，所以4420ππ≤+≤x所以当1=⋅时，0=x ． …………………12分20．解（1）由已知得n n n n a a a a 22)2(21121=⋅-=--+， …………………2分两端同除12+n 得：212211=-++n n n n a a ， 所以数列}2{n n a 是以首项为21，公差为21的等差数列， …………………4分 （2）由（1）知n a n n 212=，所以12-⋅=n n n a ， …………………6分 11022221-⋅++⋅+⋅=n n n S ，则=n S 2nn 2222121⋅++⋅+⋅ ， 相减得：n n n n S 2222111⋅-+++⋅=-- ，·6·所以n nn n S 22121⋅---=-， …………………10分 即12)1(+-=n n n S ． …………………12分21． 解（1）由bc b a =-22得acc bc ac b c a 222222+=-+，由正弦及余弦定理得：ACB B sin 2sin sin cos +=，…………………2分)sin(sin cos sin 2B A B B A ++=⇒,整理得B B A sin )sin(=-，即B A 2=, …………………4分 因为AD 为角A 的平分线，且2:1:=∆∆ABD ACD S S ， 所以b a b c 3,2==，所以B A sin 3sin =， …………………6分23cos sin 32sin =⇒=⇒B B B 即3,6ππ==A B …………………8分（2）3=AD所以23,23,3====AC CD BD AD ， …………………10分 8392323321=⨯⨯=∴∆ABC S ． …………………12分22．解（1）x e x f x2)(/-=λ，据题意得02)(/=-=x e x f xλ有两个不同的根21,x x ，ACB·7·当0≤λ时，x e x f x 2)(/-=λ在R 上递减，不合题意， 所以0>λ，又2)(//-=x e x f λ，令0)(//=x f 得λ2ln =x ，所以函数x e x f x 2)(/-=λ在)2ln,(λ-∞上递减，在),2(ln+∞λ上递增，…………………4分所以02)(/=-=x e x f x λ有两个不同的根，则0)2(ln /<λf ，即02ln22<-⋅λλλ，12ln>λ，即e20<<λ， …………………6分 （2）不等式2152->x e xμ对任意x 恒成立，令2152)(+-=x e x h xμ，2)(/μ-=∴x e x h ，令0)(/=x h 得2lnμ=x ，所以函数)(x h 在)2ln ,(μ-∞上递减，在),2(ln +∞μ上递增，所以02152ln22)2(ln )(min >+-==μμμμh x h ， 整理得0152ln>+-μμμ， …………………9分令152ln)(+-=μμμμϕ，易得)(μϕ在),2(+∞上递减，当)15,14(22∈=e μ，0215)2(22>-=e e ϕ， 当15=μ，0215ln2)15(<-=ϕ， 所以满足条件的最大整数14=μ. …………………12分。
成都龙泉中学2016级高三上学期入学考试试题数学（理工类）（考试用时：120分全卷满分：150分）注意事项：1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将答题卡上交；第Ι卷（选择题部分，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合A={y|y=2x+2}，B={x|﹣x2+x+2≥0}，则A．A⊆B B．A∪B=R C．A∩B={2} D．A∩B=∅2.若复数z满足i1izz=-，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数为A.11i22-+ B.11i22--（C）11i22-（D）11i22+3.已知命题p：x0∈R，使2x0＋2－x0＝1；命题q：x∈R，都有lg(x2＋2x＋3)>0.下列结论中正确的是A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧q”是真命题C.命题“p∧q”是真命题D.命题“p∨q”是假命题4．已知1sin()33πα-=，则sin(2)6πα-=A．79B．79-C．79± D．29-5．已知F 是抛物线24y x =的焦点，,M N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 的 中点到准线的距离为 A ．32B ．2C ．3D ．46.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为A ．2B ．4C D7.有一长、宽分别为50m 、30m 的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是A ．34 B ．38 C ．316π D ．12332π+8．若101()2a =，121()5b -=，15log 10c =，则,,a b c 大小关系为A ． a b c >>B ．a c b >>C ． c b a >>D ．b a c >>9.若f(x)= ()(1),{ 4212x a x a x x >⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为 A. (1,+∞) B. (4,8) C. [4,8) D. (1,8)10.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()(2)0f x f x +-=, 且当[0,1)x ∈时，()ln()1x x f x e x =++,则函数1()()3g x f x x =+在区间[6,6]-上的零点个数是 A.4 B.5C.6D.711.已知,a b 是非零向量，它们之间有如下一种运算：sin ,a b a b a b ⊗=<>，其中,a b <>表示,a b 的夹角．下列命题中真命题的个数是①a b b a ⊗=⊗；②()()a b a b λλ⊗=⊗；③()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗； ④a b a b a b ⊥⇔⊗=；⑤若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1221a b x y x y ⊗=-， A ．2 B ．3 C ．4 D ．512. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与函数0)y x =≥的图象交于点P ，若函数y =P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是A ．12 B ．32C D ．32第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13.若数列{}n a 满足211()()lg(1)n n n n a a a n n n+-=+++，且11a =，则100a =__________．14．已知实数[]2,30∈x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是 ．15．211edx x-+=⎰⎰错误！未找到引用源。
2015-2016学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷（文科）一.选择题.（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题的四个选项中仅有一项符合题目要求）1．（5分）（2010春•朝阳区期末）复数=（）A．﹣1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．1+i2．（5分）（2015•成都模拟）sin210°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）（2015秋•成都校级月考）数列{a n}满足a n+1=，a1=，则a3=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．4．（5分）（2015•南昌校级二模）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（0，）D．（0，1）5．（5分）（2015秋•成都校级月考）从区间[0，]内随机取一个实数x，则sinx＜的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•长春二模）已知p：函数f（x）=|x+a|在（﹣∞，﹣1）上是单调函数；q：函数g（x）=log a（x+1）（a＞0且a≠1）在（﹣1，+∞）上是增函数，则￢p成立是q成立的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要7．（5分）（2015秋•成都校级月考）按右图所示的程序框图运算，若输入x=200，则输出k 的值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）（2015•兰州一模）已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx﹣3与平面区域D有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣3，3] B．（﹣∞，]∪[，+∞）C．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）D．[]9．（5分）（2016•揭阳校级模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）（2015•大连模拟）若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A．B．C． D．11．（5分）（2015•新课标II）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．（5分）（2015秋•成都校级月考）若0＜＜a＜b，当a﹣取最小值时，a+b=（）A．4 B．5 C．6 D．7二.填空题.（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）（2015秋•成都校级月考）设函数f（x）=x4+ax，若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为1，那么a=______．14．（5分）（2015秋•成都校级月考）已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2=b2+c2+bc，则A=______．15．（5分）（2011•宝安区校级模拟）设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ，②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β=l，则l⊥γ③若直线l与平面α内的无数条直线垂直则直线l与平面α垂直，④若α内存在不共线的三点到β的距离相等．则平面α平行于平面β上面命题中，真命题的序号为______．（写出所有真命题的序号）16．（5分）（2015秋•成都校级月考）已知函数f（x）为偶函数，又在区间[0，2]上有f（x）=，若F（x）=f（x）﹣a在区间[﹣2，2]恰好有4个零点，则a的取值范围是______．三.解答题.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2015•揭东县校级一模）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随5组，如下表所示（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．18．（12分）（2015秋•成都校级月考）已知=（2cosx，sinx），=（cosx，sinx﹣cosx），设函数f（x）=•．（1）求f（x）图象的对称轴方程；（2）求f（x）在[，π]上的值域．19．（12分）（2011•遂溪县一模）如图，五面体A﹣BCC1B1中，AB1=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四边形BCC1B1是矩形，二面角A﹣BC﹣C1为直二面角．（Ⅰ）D在AC上运动，当D在何处时，有AB1∥平面BDC1，并且说明理由；（Ⅱ）当AB1∥平面BDC1时，求二面角C﹣BC1﹣D余弦值．20．（12分）（2015•朝阳区模拟）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣2）x．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值．21．（12分）（2015秋•成都校级月考）如图，O为坐标原点，A和B分别是椭圆C1：+=1（a＞b ＞0）和C2：+=1（m＞n＞0）上的动点，满足•=0，且椭圆C2的离心率为．当动点A在x轴上的投影恰为C的右焦点F时，有S△AOF=（1）求椭圆C的标准方程；（2）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴等长，求||2的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2015•衡水四模）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（θ+）．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．（选修4-5；不等式选讲）23．（2015秋•会宁县校级期末）设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．2015-2016学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题.（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题的四个选项中仅有一项符合题目要求）1．（5分）（2010春•朝阳区期末）复数=（）A．﹣1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．1+i【分析】据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，化简复数为a+bi（a、b∈R）形式．【解答】解：复数=故选C【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是整理出复数的代数形式的最简形式，本题是一个基础题．2．（5分）（2015•成都模拟）sin210°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可求出值．【解答】解：sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选B【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3．（5分）（2015秋•成都校级月考）数列{a n}满足a n+1=，a1=，则a3=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．【分析】利用a n+1=，a1=，分别取n=1，2即可得出．【解答】解：∵a n+1=，a1=，∴a2===2，∴a3===﹣1，故选：C．【点评】本题考查了递推公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（5分）（2015•南昌校级二模）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（0，）D．（0，1）【分析】利用绝对值不等式性质求出集合A，利用指数函数的性质求出集合B，再由交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2x＞1}={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜1}=（0，1）．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意绝对值不等式性质、指数函数的性质的合理运用．5．（5分）（2015秋•成都校级月考）从区间[0，]内随机取一个实数x，则sinx＜的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，本题属于几何概型的运用，已知区间的长度为，满足sinx＜的x∈[0，]，求出区间长度，由几何概型公式解答．【解答】解：在区间[0，]上，当x∈[0，]时，sinx，由几何概型知，符合条件的概率为．故选：B．【点评】本题考查解三角函数与几何概型等知识，关键是求出满足条件的x区间长度，利用几何概型关系求之．6．（5分）（2015•长春二模）已知p：函数f（x）=|x+a|在（﹣∞，﹣1）上是单调函数；q：函数g（x）=log a（x+1）（a＞0且a≠1）在（﹣1，+∞）上是增函数，则￢p成立是q成立的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要【分析】分别求出p，q成立时的a的范围，从而得到¬p成立时a＞1是q的充要条件．【解答】解：由p成立，则a≤1，由q成立，则a＞1，所以¬p成立时a＞1是q的充要条件．故选C．【点评】本题借助不等式来考查命题逻辑，属于基础题．7．（5分）（2015秋•成都校级月考）按右图所示的程序框图运算，若输入x=200，则输出k 的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，k的值，当x=3215，k=4时满足条件x≥2015，退出循环，输出x的值为3215，k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=200，k=0x=401，k=1不满足条件x≥2015，x=803，k=2不满足条件x≥2015，x=1607，k=3不满足条件x≥2015，x=3215，k=4满足条件x≥2015，退出循环，输出x的值为3215，k的值为4，故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，k的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）（2015•兰州一模）已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx﹣3与平面区域D有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣3，3] B．（﹣∞，]∪[，+∞）C．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）D．[]【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，y=kx﹣3过定点D（0，﹣3），则k AD=，k BD==﹣3，要使直线y=kx﹣3与平面区域M有公共点，由图象可知k≥3或k≤﹣3，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．9．（5分）（2016•揭阳校级模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，可得其体积．【解答】解：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，如图所示，所以其体积为．故选D．【点评】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求．10．（5分）（2015•大连模拟）若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A．B．C． D．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的数量积公式求出两向量的夹角．【解答】解：依题意，∵|+|=|﹣|=2||∴=∴⊥，=3，∴cos＜，＞==﹣，所以向量与的夹角是，故选C【点评】本题考查向量模的平方等于向量的平方、利用向量的数量积公式求向量的夹角．11．（5分）（2015•新课标II）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）（2015秋•成都校级月考）若0＜＜a＜b，当a﹣取最小值时，a+b=（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由题意可得b﹣a＞0，2a﹣b＞0，从而化简a﹣=（2a﹣b）+（b﹣a）+，再利用基本不等式化简即可．【解答】解：∵0＜＜a＜b，∴b﹣a＞0，2a﹣b＞0；∴a﹣=（2a﹣b）+（b﹣a）+≥2+=++≥3；（当且仅当2a﹣b=b﹣a=1时，等号同时成立）；解得，a=2，b=3；故a+b=5；故选B．【点评】本题考查了基本不等式的应用，注意等号是否成立，属于中档题．二.填空题.（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）（2015秋•成都校级月考）设函数f（x）=x4+ax，若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为1，那么a=﹣3．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=﹣3．【解答】解：函数f（x）=x4+ax的导数为f′（x）=4x3+a，即有在x=1处的切线斜率为4+a=1，解得a=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，以及运算能力，属于基础题．14．（5分）（2015秋•成都校级月考）已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2=b2+c2+bc，则A=．【分析】由a2﹣bc=b2+c2，结合余弦定理：b2+c2﹣a2=2bccosA，求出cosA，即可求得A．【解答】解：由a2=b2+c2+bc，得：b2+c2﹣a2=﹣bc，由余弦定理得：b2+c2﹣a2=2bccosA，∴cosA=﹣，又A为三角形ABC的内角，∴A=．故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．15．（5分）（2011•宝安区校级模拟）设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ，②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β=l，则l⊥γ③若直线l与平面α内的无数条直线垂直则直线l与平面α垂直，④若α内存在不共线的三点到β的距离相等．则平面α平行于平面β上面命题中，真命题的序号为①②．（写出所有真命题的序号）【分析】逐一分析各个选项，利用线面、面面之间的关系，应用有关定理推论，举反例等手段，排除错误选项，得到真命题．【解答】解：因为如2个平行平面中有一个和第三个平面垂直，则另一个也和第三个平面垂直，故①正确．若2个平面都和第三个平面垂直，则他们的交线也和第三个平面垂直，故②正确．直线l与平面α内的无数条直线垂直，也不能保证直线l与平面α内的2条相交直线垂直，故③不正确．α内存在不共线的三点到β的距离相等，这3个点可能在2个相交平面的交线的两侧，故④不正确．综上，正确答案为①②．【点评】本题考查线面、面面之间的位置关系．16．（5分）（2015秋•成都校级月考）已知函数f（x）为偶函数，又在区间[0，2]上有f（x）=，若F（x）=f（x）﹣a在区间[﹣2，2]恰好有4个零点，则a的取值范围是（4，5）．【分析】作出函数y=f（x）在[﹣2，2]的图象，根据图象，可得a的取值范围【解答】解：作出函数y=f（x）在[﹣2，2]的图象，根据图象，F（x）=f（x）﹣a在区间[﹣2，2]恰好有4个零点，则a的取值范围是（4，5）．故答案为：（4，5）．【点评】本题考查函数的零点的求法，正确运用图象的交点是解题的关键．三.解答题.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2015•揭东县校级一模）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随5组，如下表所示（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．【分析】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例，用60乘以比例，即得所求．（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有15种，用列举法求得抽到的两人恰好自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好自不同组的概率．【解答】解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于60×=32人．…（4分）（2）设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为1，2；“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A．…（5分）所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12…（8分）其中事件A包含基本事件a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8种，…（10分）由古典概型可得P（A）=…（12分）【点评】本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，是统计与概率的简单综合应用，难度不大，属于基础题．18．（12分）（2015秋•成都校级月考）已知=（2cosx，sinx），=（cosx，sinx﹣cosx），设函数f（x）=•．（1）求f（x）图象的对称轴方程；（2）求f（x）在[，π]上的值域．【分析】本题考了平面向量与三角函数的结合运算，由平面向量数量积运算求出函数f（x），将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）图象的对称方程；根据x∈[，π]，求f（x）的最大值和最小值，即可得f（x）的值域．【解答】解：（1）已知=（2cosx，sinx），=（cosx，sinx﹣cosx），则函数f（x）=•=2cos2x+==cos（2x++（1）由：（k∈Z）解得：x=（k∈Z）所以：函数f（x）的对称轴方程为：x=（k∈Z）．（2）由（1）得：f（x）=所以：当x时，解得：当时，有=．当时，有．∴f（x）的最大值和最小值故x∈[，π]，f（x）的f（x）的值域是【点评】本题主要考查了平面向量与三角函数的结合运算，三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．19．（12分）（2011•遂溪县一模）如图，五面体A﹣BCC1B1中，AB1=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四边形BCC1B1是矩形，二面角A﹣BC﹣C1为直二面角．（Ⅰ）D在AC上运动，当D在何处时，有AB1∥平面BDC1，并且说明理由；（Ⅱ）当AB1∥平面BDC1时，求二面角C﹣BC1﹣D余弦值．【分析】（I）由题意连接B1C交BC1于O，连接DO由于四边形BCC1B1是矩形且O为B1C中点又D为AC中点，从而DO∥AB1，在由线线平行，利用线面平行的判定定理即可；（II）由题意建立空间直角坐标系，先求出点B，A，C，D及点C1的坐标，利用先求平面的法向量，在由法向量的夹角与平面的夹角的关系求出二面角的余弦值的大小．【解答】解：（Ⅰ）当D为AC中点时，有AB1∥平面BDC1，证明：连接B1C交BC1于O，连接DO∵四边形BCC1B1是矩形∴O为B1C中点又D为AC中点，从而DO∥AB1，∵AB1⊄平面BDC1，DO⊂平面BDC1∴AB1∥平面BDC1（Ⅱ）建立空间直角坐标系B﹣xyz如图所示，则B（0，0，0），A（，1，0），C（0，2，0），D（，，0），C1（0，2，2），所以=（，，0），=（0，2，2）．设=（x，y，z）为平面BDC1的法向量，则有，即令Z=1，可得平面BDC1的一个法向量为=（3，﹣，1），而平面BCC1的一个法向量为=（1，0，0），所以cos＜，＞===，故二面角C﹣BC1﹣D的余弦值为．【点评】（I）此问重点考查了线面平行的判定定理，还考查了中位线的平行的性质定理，及学生的空间想象能力（II）此问重点考查了利用空间向量的知识，及平面的法向量的夹角与二面角的大小联系；此外还考查了学生的计算能力．20．（12分）（2015•朝阳区模拟）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣2）x．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值．【分析】（I）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，则f'（1）=0，求出a的值，然后验证即可；（II）先求出a的范围，然后利用导数研究函数的单调性，当时，f（x）在[a2，a]单调递增，则f max（x）=f（a），当时，f（x）在单调递增，在单调递减，f max（x）=f（），当，即时，f（x）在[a2，a]单调递减，则f max（x）=f（a2），从而求出所求．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣2）x，∴函数的定义域为（0，+∞）．…（1分）∴．…（3分）∵f（x）在x=1处取得极值，即f'（1）=﹣（2﹣1）（a+1）=0，∴a=﹣1．…（5分）当a=﹣1时，在内f'（x）＜0，在（1，+∞）内f'（x）＞0，∴x=1是函数y=f（x）的极小值点．∴a=﹣1．…（6分）（Ⅱ）∵a2＜a，∴0＜a＜1．…（7分）∵x∈（0，+∞），∴ax+1＞0，∴f（x）在上单调递增；在上单调递减，…（9分）①当时，f（x）在[a2，a]单调递增，∴f max（x）=f（a）=lna﹣a3+a2﹣2a；…（10分）②当，即时，f（x）在单调递增，在单调递减，∴；…（11分）③当，即时，f（x）在[a2，a]单调递减，∴f max（x）=f（a2）=2lna﹣a5+a3﹣2a2．…（12分）综上所述，当时，函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值是lna﹣a3+a2﹣2a；当时，函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值是；当1＞时，函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值是2lna﹣a5+a3﹣2a2．…（13分）【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，是一道综合题，有一定的难度，属于中档题．21．（12分）（2015秋•成都校级月考）如图，O为坐标原点，A和B分别是椭圆C1：+=1（a＞b ＞0）和C2：+=1（m＞n＞0）上的动点，满足•=0，且椭圆C2的离心率为．当动点A在x轴上的投影恰为C的右焦点F时，有S△AOF=（1）求椭圆C的标准方程；（2）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴等长，求||2的取值范围．【分析】（1）由题意，结合隐含条件可得关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b，c的值，则椭圆C1方程可求；（2）由C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴等长求得椭圆C2方程，当OA所在直线斜率存在且不为0时，写出OA、OB所在直线方程，分别与两椭圆联立，求出|OA|2、|OB|2，得到|AB|2，整理后利用基本不等式求得||2的取值范围，当线段OA的斜率不存在和斜率k=0时，|AB|2=4，由此求得答案．【解答】解：（1）设椭圆C1的半焦距为c，由题意可知，，又椭圆C1的离心率=，且a2=b2+c2，联立以上三式可得：，∴椭圆C1的标准方程为；（2）由C1的长轴与C2的短轴等长，知n=a=，又C1与C2共焦点，可知，∴椭圆C2的标准方程为．当线段OA的斜率存在且不为0时，设OA：y=kx，联立，解得，∴．由•=0，得OB：y=﹣，联立，解得，∴|OB|2=，∴|AB|2=|OA|2+|OB|2==．又（当时取等号），∴．当线段OA的斜率不存在和斜率k=0时，|AB|2=4，综上，．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查了计算能力，是中档题．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2015•衡水四模）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（θ+）．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【分析】（1）由圆C的极坐标方程ρ=2cos（θ+），展开化为ρ2=，把代入配方即可得出；（2）利用勾股定理可得直线l上的点向圆C引切线长=，化简整理利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由圆C的极坐标方程ρ=2cos（θ+），化为，展开为ρ2=，化为x2+y2=．平方为=1，∴圆心为．（2）由直线l上的点向圆C引切线长==≥2，∴由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的标准方程、勾股定理、圆的切线的性质、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．（选修4-5；不等式选讲）23．（2015秋•会宁县校级期末）设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．【分析】（1）a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，由累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证；（2）+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，运用累加法和条件a+b+c=1，即可得证．【解答】证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）由题设可得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤；（2）+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即有++≥a+b+c．（当且仅当a=b=c取得等号）．故++≥1．【点评】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法证明，考查推理能力，属于中档题．。
