四川省成都市2020届高中毕业班高三数学摸底测试(理科)试题及答案

2020年四川省成都市高考数学一模试卷（理科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.若复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A．﹣3i B．﹣3+i C．3+i D．3﹣i2.已知集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，若A∪B＝{﹣l，0，1，2}，则实数m的值为（）A．﹣l或0 B．0或1 C．﹣l或2 D．l或23.若，则tan2θ＝（）A．﹣B．C．﹣D．4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A．72.5 B．75 C．77.5 D．805.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则＝（）A．B．C．D．6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，且α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nD．若m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n7.的展开式的常数项为（）A．25 B．﹣25 C．5 D．﹣58.将函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A．3 B．C．5 D．10.已知，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a11.已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．若关于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣e，0）∪（0，+∞）D．（﹣e，0）∪（0，e）12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P ﹣ABC．现有以下结论：①AP⊥平面PBC；②当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为6π；③x的取值范围为（0，4﹣2）；④三棱锥P﹣ABC体积的最大值为．则正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题）13.已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14.设正项等比数列{a n}满足a4＝81，a2+a3＝36，则a n＝．15.已知平面向量，满足||＝2，||＝，且⊥（﹣），则向量与的夹角的大小为．16.已知直线y＝kx与双曲线C：（a＞0，b＞0）相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为．三、解答题（共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且sin B＝3sin C，求△ABC的周长18.某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．（Ⅰ）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工男性员工合计100（Ⅱ）已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，E分别为BC的中点．（Ⅰ）证明：BC⊥平面P AE；（Ⅱ）若AB＝2．P A＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．20.已知函数f（x）＝（a﹣1）lnx+x+，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣1时，证明∀x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a﹣a2．21.已知椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．（Ⅰ）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；（Ⅱ）证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标22.在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1：x2+（y﹣2）2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，点M（3，），射线≥0）与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．23.已知函数f（x）＝|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥4﹣|2x+l|；（Ⅱ）若＝2（m＞0，n＞0），求证：m+n≥|x+|﹣f（x）．2020年四川省成都市高考数学一模试卷（理科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】由已知可得复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1可求．【解答】解：∵复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝﹣3+i．故选：B．【知识点】复数代数形式的乘除运算2.【分析】因为A∪B＝{﹣l，0，1，2}，A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，根据元素的互异性m≠﹣1，0，求出m即可．【解答】解：集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，A∪B＝{﹣l，0，1，2}，因为A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠﹣1，0即可，故m＝1或2，故选：D．【知识点】并集及其运算3.【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，则tanθ＝，则tan2θ＝＝﹣，故选：C．【知识点】二倍角的正弦4.【分析】由频率分布直方图求出[50，70）的频率为0.4，[70，80）的频率为0.4，由此能求出这100名同学的得分的中位数．【解答】解：由频率分布直方图得：[50，70）的频率为：（0.010+0.030）×10＝0.4，[70，80）的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+＝72.5．故选：A．【知识点】频率分布直方图5.【分析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论．【解答】解：依题意，＝＝，又＝3，∴＝×3＝，故选：D．【知识点】等差数列6.【分析】由考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n异面，故A错误；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用7.【分析】求出（x﹣）6的通项公式，考虑r＝3，r＝4时的系数，相加求和即可得到所求值．【解答】解：（x﹣）6的通项公式为T r+1＝x6﹣r（﹣）r＝（﹣1）r x6﹣2r，r＝0，1，2， (6)则（x2+2）（x﹣）6的展开式的常数项须6﹣2r＝0或者6﹣2r＝﹣2⇒r＝3或者r＝4：∴常数项为（﹣1）4+2×（﹣1）3＝15﹣40＝﹣25．故选：B．【知识点】二项式定理8.【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答】解：函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝sin（2x﹣）的图象，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）＝sin（2x+）的图象，故选：A．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换9.【分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．【解答】解：由抛物线方程得，准线方程为：x＝﹣1，设M（x，y），N（x'，y'），由抛物线的性质得，MF+NF＝x+x'+p＝x+x'+2＝5，中点的横坐标为，线段MN的中点到y轴的距离为：，故选：B．【知识点】抛物线的简单性质10.【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c＜1．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝，∴1＜a＜b．c＝ln＜1．∴c＜a＜b．故选：C．【知识点】对数值大小的比较11.【分析】本题根据题意先利用一阶导数分析当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．的函数单调性及图象，然后根据f（2﹣x）＝f（2+x）可知函数f（x）关于x＝2对称．即可画出函数y＝f（x）的大致图象．一次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1．很明显是恒过定点（2，e﹣1）．则只要考查斜率k的变动情况，当k＝e时，y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+e﹣1正好在（1，﹣1）处相切，再根据数形结合法可得k的取值范围，当x＞2时也同理可得．【解答】解：由题意，当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．f′（x）＝xe x．①令f′（x）＝0，解得x＝0；②令f′（x）＜0，解得x＜0；③令f′（x）＞0，解得0＜x≤2．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f（0）＝﹣2．且f（1）＝﹣1；x→﹣∞，f（x）→0．又∵函数f（x）在R上满足f（2﹣x）＝f（2+x），∴函数f（x）的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f（x）的大致图象如下：关于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0可转化为f（x）＝k（x﹣2）+e﹣1．而一次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1很明显是恒过定点（2，e﹣1）．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+e﹣1正好相切．∴当0＜k＜e时，有三个交点．同理可得当﹣e＜k＜0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：（﹣e，0）∪（0，e）．故选：D．【知识点】函数的零点与方程根的关系12.【分析】根据折起形状的形成条件，分析各结论，即可判断真假．【解答】解：折起后，△CP3A≌△CP A，故AP⊥PC．同理，AP⊥PB，所以AP⊥平面PBC，①正确；当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，PB＝PC＝1，BC＝，所以PB2+PC2＝BC2，又AP⊥平面PBC，所以P A，PB，PC两两垂直，所以三棱锥P﹣ABC的外接球与以P A，PB，PC为长宽高的长方体的外接球半径相等．设半径为r，所以（2r）2＝22+12+12＝6，S＝4πr2＝6π．即三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为6π，②正确；因为P2B＝P2C＝x，所以PB＝PC＝2﹣x，而BC＝，故2（2﹣x）＞，解得x＜4﹣2，③正确；因为△PBC的面积为S＝＝设f（x）＝x4﹣8x3+8x2，f′（x）＝4x3﹣24x2+16x＝4x（x2﹣6x+4）当0＜x＜3﹣时，f′（x）＞0，当3﹣＜x＜4﹣2时，f′（x）＜0f max＝f（3﹣）＞f（1）＝1，所以S＞．V P﹣ABC＝V A﹣PBC＝＞，④错误．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用二、填空题（共4小题）13.【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6故答案为：6．【知识点】简单线性规划14.【分析】将已知条件转化为基本量a1，q的方程组，解方程组得到a1，q，进而可以得到a n．【解答】解：依题意，解得，∴a n＝＝3•3n﹣1＝3n，故答案为：3n．【知识点】等比数列的通项公式15.【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量与的夹角的大小．【解答】解：∵平面向量，满足||＝2，＝，且⊥（﹣），∴•（﹣）＝•﹣＝0，∴＝．设向量与的夹角的大小为θ，则2••cosθ＝3，求得cosθ＝，故θ＝，故答案为：．【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、数量积表示两个向量的夹角16.【分析】取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．【解答】解：设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，可得|AF'|＝|BF|＝m，设A在第一象限，可得3m﹣m＝2a，即m＝a，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），化为c2＝3a2，则e＝＝．故答案为：．【知识点】双曲线的简单性质三、解答题（共7小题）17.【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cos A的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A的值．（Ⅱ）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴由余弦定理可得2bc cos A＝bc，∴cos A＝，∴在△ABC中，sin A＝＝．（Ⅱ）∵△ABC的面积为，即bc sin A＝bc＝，∴bc＝6，又∵sin B＝3sin C，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝6，∴a＝，∴△ABC的周长为2+3+．【知识点】余弦定理18.【分析】（Ⅰ）根据题意，列出列联表，计算K2，查表判断即可；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由题，2×2列联表如下：属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工204060男性员工202040合计4060100∵K2＝＝＝≈2.778＜3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（Ⅱ）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P∴E（X）＝1×+2×+3×＝．【知识点】离散型随机变量及其分布列、独立性检验、离散型随机变量的期望与方差19.【分析】（Ⅰ）根据菱形基本性质得BC⊥AE，再由线面垂直得BC⊥AP，故BC⊥平面P AE；（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量即可【解答】解：（Ⅰ）如图，连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面P AE，所以BC⊥平面P AE；（Ⅱ）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，P A＝1，所以PB＝，由（Ⅰ）得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC＝，EC＝1，所以PE＝，如图，过点P作BC的平行线PQ，则PQ，PE，P A两两互相垂直，以P为坐标原点，的方向分别为xyz轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P（0，0，0），A（0，0，1），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，1），设平面BAP的一个法向量＝（x，y，z），又＝（0，0，1），＝（，﹣1，0），由，得x﹣y＝0，z＝0，令x＝1，则＝（1，，0），设平面CDP的一个法向量＝（a，b，c），又＝（，1，0），＝（0，2，1），由，得a+b＝0，2y+z＝0，令a＝1，则＝（1，﹣，2），所以cos＜＞＝＝﹣，即平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值为．【知识点】与二面角有关的立体几何综合题、直线与平面垂直的判定20.【分析】（Ⅰ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；（Ⅱ）欲证明不等式f（x）＞﹣a﹣a2成立，即证明﹣a﹣a2＜（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，设新函数h（x）＝lnx﹣x+1（x≥1），利用其单调性求出h（x）≤h（1）＝0，进而得证．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝＝＝，因为x＞0，a∈R，所以当a≥0时，x+a＞0，所以函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，0＜﹣a＜1，函数f（x）在（0，﹣a）上单调递增，在（﹣a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当a＝﹣1时，f′（x）＝≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣1时，﹣a＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；（Ⅱ）当a＜﹣1时，由（Ⅰ）得，函数f（x）在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；函数f（x）在（1，+∞）上的最小值为f（﹣a）＝（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，欲证明不等式f（x）＞﹣a﹣a2成立，即证明﹣a﹣a2＜（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，即证明a2+（a﹣1）ln（﹣a）﹣1＞0，因为a＜﹣1，所以只需证明ln（﹣a）＜﹣a﹣1，令h（x）＝lnx﹣x+1（x≥1），则h′（x）＝＝≤0，所以函数h（x）在[1，+∞）上单调递减，则有h（x）≤h（1）＝0，因为a＜﹣1，所以﹣a＞1，所以h（﹣a）＝ln（﹣a）+a+1＜0，即当a＜﹣1时，ln（﹣a）＜﹣a﹣1成立，所以当a＜﹣1时，任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a﹣a2．【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性21.【分析】（Ⅰ）由题意设直线AB的方程，带入椭圆整理设而不求得出纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，底相同与纵坐标之差的绝对值之积的二分之一，然后又均值不等式可得面积的取值范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，B，D的坐标，设直线BD的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD过定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意F（1，0），设直线AB的方程：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立（m2+2）y2+2my﹣1＝0，因为△＝4m2+4（m2+2）＞0，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以|y1﹣y2|＝＝，所以四边形OAHB的面积S＝|OH|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝，令t＝≥1，S＝＝≤，当且仅当t＝1时，即m＝0时取等号，所以0，所以四边形OAHB的面积的取值范围为（0，，]（Ⅱ）B（x2，y2），D（2，y1），k BD＝，所以直线BD的方程：y﹣y1＝（x﹣2），令y＝0，得x＝＝由（Ⅰ）得，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x＝＝＝，所以直线BD过定点E（，0）．【知识点】直线与椭圆的位置关系22.【分析】（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M（3，）到射线≥0）的距离h＝，代入三角形面积公式求△MAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：（x﹣2）2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝4||＝．又∵M（3，）到射线≥0）的距离h＝．∴△MAB的面积S＝．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，分段讨论求出即可；（II）根据绝对值的性质求出|x+|﹣f（x）≤，m+n，证明即可．【解答】解：（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，当x≤时，不等式﹣2x﹣1﹣x+3≥4，解得x，故x；当﹣＜x＜3时，不等式2x+1﹣x+3≥4，解得x≥0，故0≤x＜3；当x≥3时，不等式2x+1+x﹣3≥4，解得x≥0，故x≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）；（II）因为f（x）＝|x﹣3|，所以|x+|﹣f（x）＝||x+|﹣|x﹣3|≤|x+﹣x+3|＝，当且仅当（x+）（x+3）≥0，且|x+|≥|x﹣3|时，取等号，又＝2（m＞0，n＞0），所以（m+n）（）≥（1+2）2＝9，当且仅当m＝2n时，取得等号，故m+n，所以m+n≥|x+|﹣f（x）成立．【知识点】绝对值不等式的解法、不等式的证明。

四川省成都市2020届高考一诊模拟试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，则A∩B=（）A. {x|1＜x＜5}B. {x|x＞1}C. {2，3，4}D. {1，2，3，4，5}2.已知复数z满足iz=1+i，则z的共轭复数=（）A. 1+iB. 1-iC.D. -1-i3.若等边△ABC的边长为4，则•=（）A. 8B. -8C.D. -84.在（2x-1）（x-y）6的展开式中x3y3的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. -205.若等比数列{a n}满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（）A. -2B. 2C. ±2D.6.若实数a，b满足|a|＞|b|，则（）A. e a＞e bB. sin a＞sin bC.D.7.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，点E，F分别为棱BB1，CC1上两点，且BE=BB1，CF=CC1，则（）A. D1E≠AF，且直线D1E，AF异面B. D1E≠AF，且直线D1E，AF相交C. D1E=AF，且直线D1E，AF异面D. D1E=AF，且直线D1E，AF相交8.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m-1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A. m≤2B. m≥4C. 1＜m≤2D. 0＜m≤39.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为（）A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.设圆C：x2+y2-2x-3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则线段PC长度的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.12.设函数f（x）=cos|2x|+|sin x|，下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为π；③f（x）的最小值为0；④f（x）在[0，2π]上有3个零点．其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a3=5，则a n=______．14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为______．15.已知双曲线C：x2-=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与两条渐进线交于A，B两点，若•=0，=λ，则λ=______．16.若函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：消费次第第1次第2次第3次第4次第5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X 的分布列和数学期望E（X）．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）若△ABC的周长为8，求△ABC的面积的取值范围．19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=60°，，．（Ⅰ）证明：平面CDD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D1-AD-C的余弦值．20.设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P，Q，直线PQ恒过点B（4，0）．（Ⅰ）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得|GM|•|GN|为定值？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．21.设函数，，．（Ⅰ）证明：f（x）≤0；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数）与曲线C：（m为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当α=时，求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）若|MA||MB|=2||MA|-|MB||，其中M（，0），求直线l的倾斜角．23.已知函数f（x）=|x+1|+|ax-1|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，证明：a+b≥0．答案和解析1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】n14.【答案】0.415.【答案】116.【答案】[，1）∪{2}∪[e，+∞）17.【答案】解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，∴估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），∴公司这两次服务的平均利润为（元）．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为：X5045403530P0.60.20.10.050.05X数学期望为E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．【解析】（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列．本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵且sin（A+C）=sin B∴，又∵∴，∴，∴，∴，∴．（2）由题意知：a+b+c=8，故b=8-（a+c）∴，∴∴，，∴∴，或（舍），即∴（当a=c时等号成立）综上，△ABC的面积的取值范围为．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】（1）证明：令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，∵，∴D1O⊥DC且又∵底面ABCD为边长为2的菱形，且∠ADC=60°，∴AO=，又∵，∴，∴D1O⊥OA，又∵OA，DC⊆平面ABCD，OA∩DC=O，又∵D1O⊆平面CDD1，∴平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，∵D1O⊥平面ABCD，∴D1O⊥AD，∴AD⊥平面OHD1，∴AD⊥HD1，∴∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，又∵OD=1，∠ODA=60°，∴，∴，∴．【解析】（1）令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，证明D1O⊥DC，D1O⊥OA，然后证明平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，说明∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，通过求解三角形，求解即可．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，由得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，△＞0，可得：，，，==；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，得x3=2-，即M（2-，0），同理，即N（2-，0），设x轴上存在定点G（x0，0），=|（x0-2）2+（x0-2）（）+|=，要使|GM|•|GN|为定值，即x0-2=1，x0=3，故x轴上存在定点G（3，0）使|GM|•|GN|为定值，该定值为1．【解析】（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-cos x在x∈[0，]上单调递增，f′（x）∈[-1，]，所以存在唯一x0∈（0，），f′（x0）=0．当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x0，），f′（x）＞0，f（x）递增．所以f（x）max=max=0，∴f（x）≤0，0≤x≤；（Ⅱ）g′（x）=-sin x+m（x-），g″（x）=-cos x+m，当m≥0时，g′（x）≤0，则g（x）在[0，]上单调递减，所以g（x）min=g（）=，满足题意．当-＜m＜0时，g″（x）在x上单调递增．g''（0）=+m＞0，所以存在唯一x1∈（0，），g″（x1）=0．当x∈（0，x1），g″（x）＜0，则g′（x）递减；当x∈（x1，），g″（x）＞0，则g′（x）递增．而g′（0）=-m＞0，g′（）=0，所以存在唯一x2，g′（x2）=0，当x∈（0，x2），g′（x）＞0，则g（x）递增；x，g′（x）＜0，则g（x）递减．要使g（x）≥恒成立，即，解得m≥，所以≤m＜0，当m≤-时，g″（x）≤0，当x∈[0，]，g′（x）递减，又，g′（x）≥0，所以g（x）在递增．则g（x）≤g（）=与题意矛盾．综上：m的取值范围为[，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；（Ⅱ）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min=g（）=，当-＜m＜0时，与题意矛盾，综合可求出m的取值范围．本题考查利用导数求函数单调区间，求函数最值问题，还涉及函数恒成立问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程为y=x-；由曲线C：（m为参数），消去参数m，可得曲线C的普通方程为y2=2x；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，得．，．由|MA||MB|=2||MA|-|MB||，得|t1t2|=2|t1+t2|，即，解得|cosα|=．∴直线l的倾斜角为或．【解析】（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程；直接把曲线C的参数方程消去参数m，可得曲线C的普通方程；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cosα|=，则直线l的倾斜角可求．本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-1|=．∵f（x）≤4，∴或-1≤x≤1或，∴1＜x≤2或-1≤x≤1或-2≤x＜-1，∴-2≤x≤2，∴不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，则x+1+|ax-1|≤3x+b，∴|ax-1|≤2x+b-1，∴-2x-b+1≤ax-1≤2x+b-1，∴，∵x≥1，∴，∴，∴a+b≥0．【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）中，然后将f（x）写出分段函数的形式，再根据f（x）≤4分别解不等式即可；（Ⅱ）根据当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，可得|ax-1|≤2x+b-1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2020年四川成都高三三模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，若，则实数的值为（ ）．A.或B.或C.或D.或或2.若复数满足（为虚数单位），则 在复平面上对应的点的坐标为（ ）．A. B. C. D.3.命题“，”的否定是（ ）．A.，B.，C.，D.，4.如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）．正视图侧视图A. B. C. D.5.已知函数，则（ ）．A. B. C. D.6.已知实数，满足，则的最大值为（ ）．A. B. C. D.7.在等比数列中，已知，则该数列的公比是（ ）．A. B. C. D.8.已知函数，则“”是“”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且．则该双曲线离心率的取值范围是（ ）．A.B.C.D.10.为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示．则观赛场地的面积最大值为（ ）．A.B.C.D.11.在三棱锥中，，在底面上的投影为的中点，．有下列结论：①三棱锥的三条侧棱长均相等；②的取值范围是；③若三棱锥的四个顶点都在球的表面上，则球的体积为；④若，是线段上一动点，则的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）．A.B.C.D.12.已知函数．，且在区间上的最大值为．若对任意的，都有成立，则实数的最大值是（ ）．A.B.C.D.，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，，且，则实数的值为 ．14.某实验室对小白鼠体内，两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表：已知与具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为．若下一次实验中，利用该回归直线方程预测得，则的值为 ．15.设数列的前项和为，若，，且（且），则的值为 ．16.已知点为抛物线的焦点，经过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，（为坐标原点）的面积为，线段的垂直平分线与轴相交于点．则的值为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员年度的月均销售额（单位：万元）分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过万元的组员不低于全组人数的，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励．试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励．在该销售小组中，已知月均销售额最高的名销售员中有名的月均销售额造假．为找出月均销售额造假的组员，现决定请专业机构对这名销售员的月均销售额逐一进行审核，直到能确定出造假组员为止．设审核次数为，求的分布列及数学期望．（1）（2）18.在中，内角，，的对边分别是，，，且．求角的大小．若，求的最大值．（1）（2）19.如图，在多面体中，为矩形，为等腰梯形，， ，，且．平面平面．，分别为，的中点．求证：平面．若直线与平面所成的角的正弦值为，求多面的体积．（1）（2）20.已知函数，其中，．当时，设，求函数的单调区间．当，时，证明：．【答案】解析:∵，，，∴或．故选择：．解析:（1）12（2）21.已知椭圆的左焦点，点在椭圆上．求椭圆的标准方程．经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点．求证：．求的面积的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．其中．写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．在平面直角坐标系中，设直线与曲线相交于，两点．若点恰为线段的三等分点，求的值．（1）（2）23.已知函数．求不等式的解集．记函数的最大值为．若正实数，，满足，求的最小值．C1.D2.∵，∴，∴ 在复平面上对应的点的坐标为．故选．解析:因为命题为“，”，所以否定为“，”．所以选．解析:对于选项，如果俯视图是，那么则正视图中应该为虚线，∴错，故选．解析:∵，∴，，，．故选．D 3.A 4.B 5.C6.∵，xyO ，，，，∴，易知经过点时，．故选．解析:∵，为等比数列，∴，，∴，∴，∴，∴，故选．B 7.B8.∵，∴．．∴在上单调递减，在和上单调递增．若，则在单增不成立．若，∴，则成立．故选．解析:∵经过且与轴垂直的直线交渐近线于，又，又∵，，∴，，A 9.∴，∴．故选．解析:设，过作交于，设，则，又，∴，，，又∵，，∴，故选．解析:根据题意，作出下图所示几何体，D 10.平行四边形C 11.对于①来讲：因为，则为直角三角形，那么可得，又由题干条件知道，那么可得，在结合在底面上的投影为的中点，那么平面，那么，根据全等三角形的判定得≌≌，则三棱锥的三条侧棱长均相等，故①正确；对于②来讲：由①可知，现取中点为，则可以得到，现设，则，结合三角形构成的边长关系可得的取值范围为，则，再结合余弦函数的单调性可知的取值范围是，故②正确；对于③来讲：由①可知，根据球的定义可知三棱锥的外接球的球心，则，故③错误；对于④来讲：当时，为等腰直角三角形，可得，那么为正三角形，为等腰直角三角形，现将其展开到一个平面可得下图：由几何关系知，根据两点之间直线的距离最短知当、、三点共线时取得最小值，则，故④正确．综上所述，可得①②④正确，一共有个正确选项．故选．解析:因为，根据三角函数的对称性知为函数的对称轴，则得，又可得，那么带入函数有，又在区间上的最大值为，记，则，那么可得，故，再从若对任意的，都有成立得．现进行具体分析：当时，则，解得在此区间上恒成立；当时，则得，解得在此区间上依然恒成立，当时，得，得，那么解得，则知，故选．解析:∵A 12.，13.∴又∴　．14.解析:∵，，又时，，∴．∴，.故．15.解析:∵，∴为等差数列，，，∴公差，，，∴时，，时，也成立，∴，∴．16.解析:yxO抛物线直线相交于，，设弦中点为，将两式做差（点差法）可得：，现设的中点为，则可得，设直线为，可得，那么线段的垂直平分线方程为，由此可以求出，又知，同时可得到的距离，由此可得（为坐标原点）的面积为，解得 ，则．故答案为：．17.（1）不需要．（2）的分布列：（1）（2）（1）（2）解析:该小组共有名销售员年度月均销售额超过万元，分别是：，，，，，，，，，，，∴月均销售额超过万元的销售员占该小组的比例为，∵，故不需要对该销售小组发放奖励．由题意，随机变量的可能取值为，，，，则，，，，∴随机变量的分布列为：∴．解析:在中，∵，∴，由正弦定理，得，整理，得，∴，∴，又，∴．∵，．（1）．（2）．18.（1）（2）∴，即，∵，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴的最大值为．解析:如图，取的中点．连接，．在矩形中，∵，分别为线段，的中点，∴．又平面，平面，∴平面．在中，∵，分别为线段，的中点，∴．又平面，平面．∴平面．又，，平面．∴平面平面．又平面．∴平面．如图，取的中点，接．（1）证明见解析．（2）.19.（1）∵四边形是等腰梯形，为的中点，∴．∵平面平面．平面平面，平面，∴平面．以为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．连接，在中，∵，，∴，∵，∴．在中，，设．则，，．取平面的一个法向量为．∴，解得．连接．∴.解析:当时，，则，∵在上单调递增，且，∴当时，，当时，，，（1）的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明见解析．20.（2）（1）1（2）∴的单调递减区间为，单调递增区间为．设，则，令，解得，∴当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，∴，∴在上恒成立，现要证，只需证，可证，即，设，则，令，解得，∴当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，∴，∴在上恒成立，综上，可知，当时等号成立，，当时等号成立，∴当，时，．解析:∵椭圆的左焦点，∴，将代入，得．又，∴，．∴椭圆的标准方程为．设点，最小值最小值（1）．12（2）证明见解析．．21.2当直线，的斜率都存在时，设过点与椭圆相切的直线方程为，由，消去，得．．令，整理得．设直线，的斜率分别为，．∴．又，∴．∴，即为圆的直径，∴．当直线或的斜率不存在时，不妨设，则直线的方程为．∴，，也满足．综上，有．设点，．当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由，消去，得：．．令，整理得，则．∴直线的方程为．化简可得，即．经验证，当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，也满足．同理，可得直线的方程为．∵在直线，上，（1）（2）∴，．∴直线的方程为．由，消去，得．∴，．∴．又点到直线的距离．∴．令，．则．又，∴的面积的取值范围为．解析:由直线的参数方程，消去参数，得直线的普通方程为．由，，得曲线的直角坐标方程为．将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，并整理，得，，设，是方程的两个根，则有，，，由为的三等分点．不妨设．∴，（1），．（2）．22.（1）（2）解得，符合条件，∴．解析:不等式，即，①当时，化简得，解得；②当时，化简得，解得；③当时，化简得，此时无解．综上，所求不等式的解集为．∵，当且仅当时等号成立．∴，即．∵，又，，，．当且仅当时取等号．∴的最小值为．（1）．（2）．23.。

新都区2020届高三毕业班摸底测试数学试题（理）注意事项：1．答题前，务必将姓名、考场号、座位号填写在答题卡规定的位置上，并将考生条形码粘贴在规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个正确选项．）1.已知全集U ＝R ，集合{}202,{0}A x x B x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为( )A. (1](2,)-∞⋃+∞，B. (0)(12)-∞⋃，，C. [1)2，D. (12]， 【答案】A 【解析】B={x|x 2﹣x ＞0}={x|x ＞1或x ＜0}，由题意可知阴影部分对应的集合为∁U （A∩B）∩（A ∪B）， ∴A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B=R， 即∁U （A∩B）={x|x≤1或x ＞2}，∴∁U （A∩B）∩（A∪B）={x|x≤1或x ＞2}， 即（﹣∞，1]U （2，+∞） 故选：A2.设121iz i i-=++，则z z +=—（ ） A. 1i --B. 1i +C. 1i -D. 1i -+【答案】B 【解析】 【分析】对复数z 进行运算得z i =，从而求得||1z z i +=+.【详解】因21(1)22221(1)(1)2i i i z i i i i i i i ---=+=+=+=++-，所以||1z =，所以||1z z i +=+. 故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数和模的概念，考查基本运算求解能力. 3.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则72S =（ ） A. 2 B. 7C. 14D. 28【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式，将等式5632a a a +=+化成42a =，再由等差数列的前n 项和公式得742S 2728a =⋅=.【详解】因为5632a a a +=+，所以111142452322a d a d a d a d a ++=+++⇒+=⇒=， 所以742S 2728a =⋅=. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式，考查基本运算求解能力.4.已知sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ）A. 79-B. 29-C.29D.79【答案】A 【解析】 【分析】直接对等式两边平方，利用倍角公式得sin 2α的值.【详解】因为sin cos 3αα+=，所以2227(sin cos )(12sin cos 399sin 2ααααα+=⇒+=-=⇒. 故选：A.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、倍角公式，考查基本运算求解能力. 5.已知函数()f x 满足：①对任意1x 、()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-；②对定义域内的任意x ，都有()()0f x f x --=，则符合上述条件的函数是（ ） A. ()21f x x x =++B. x1()2f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. ()ln 1f x x =+D. ()cos f x x =【答案】B 【解析】 【分析】由题设条件判断增减性和奇偶性，再结合所给具体函数判断即可【详解】由题可知，()f x 为定义域在()0,+∞的减函数，且函数具有偶函数特征；对A ，当()0,x ∈+∞，()21f x x x =++，()f x 的对称轴为12x =-，在()0,+∞为增函数，与题不符，排除；对B ，x 1()2f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,x ∈+∞，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为减函数，又()-xx11()22f x f x ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 符合； 对C ，()ln 1f x x =+，函数显然不具备偶函数特征，排除； 对D ，函数为周期函数，在()0,x ∈+∞不是减函数，排除； 故选：B【点睛】本题考查函数解析式的辨析，函数增减性与奇偶性的应用，属于基础题6.已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)(3)f x f x -=+，且函数()f x 在()0,3上为单调递减函数，若ln422log 3,a b c e ===，则下面结论正确的是（ ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f c f a f b <<C. ()()()f c f b f a <<D. ()()()f a f c f b <<【答案】C 【解析】 【分析】由题判断函数对称轴为3x =，结合()f x 在()0,3上为单调递减可知，判断函数值大小关系，即判断对应数值与3的绝对值的大小关系，可画出拟合图形加以求解【详解】由(3)(3)f x f x -=+得3x =，又()f x 在()0,3上为单调递减，画出拟合图形，如图：()()ln 4220,1,log 31,2,4a b c e =∈=∈==，在图上的对应关系如图所示：，显然()()()f c f b f a << 故选：C【点睛】本题考查根据函数的对称性比较函数值大小，解题关键在于确定对称轴和函数与对称轴的关系，属于基础题 7.已知0,0a b >>，若不等式313n a b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A. 9 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】 【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可 【详解】0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333911016b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤ 故选：C【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题 8.函数3cos xy x e =-的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】考查该函数的奇偶性，在0x =处的取值以及该函数在()0,∞+上的单调性可辨别出图象。

2020成都市高三零诊考试数学理科试题及详细解析1.题目：已知复数 $z=i(1-i)$，求其虚部。

解析：本题考察复数的定义与代数表示法、虚数单位的定义与性质、复数运算的法则与基本方法、复数虚部的定义与确定的基本方法。

通过复数运算的法则与基本方法，结合问题条件，可以得到复数 $z$ 的代数表示式。

利用复数虚部确定的基本方法，可以求出复数 $z$ 的虚部，选项为 A。

2.题目：已知集合 $A=\{1.2.3.4\}$，$B=\{x|x-x-6<0\}$，求 $A\cap B$。

解析：本题考察集合的表示法、一元二次不等式的定义与解法、集合交集的定义与运算方法。

通过一元二次不等式的解法，结合问题条件化简集合 $B$，利用几何交集运算的基本方法，可以求出 $A\cap B$，选项为 B。

3.题目：已知某赛季甲、乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，判断下列说法的正确性。

解析：本题考察茎叶图的定义与性质、极差的定义与求法、中位数的定义与求法、众数的定义与求法、平均数的定义与求法。

通过茎叶图的性质，分别求出甲所得分数的极差、乙所得分数的中位数、甲、乙所得分数的众数和平均数，判断选项的正确性。

11+15+17+20+22+22+24+32+3321.8。

98+11+12+16+18+20+22+22+31x乙17.8，21.8>17.8，∴x甲x乙所以选项D错误。

选D。

x+2y-2≤4。

4、若实数x，y满足约束条件x-1≥0，2y≥x，则z=x-2y的最小值为（）AB2y≥x，C4D6x甲解析】考点】不等式表示的平面区域的定义与求法；不等式组表示的平面区域（可行域）的定义与求法；最优解的定义与求法。

解题思路】根据约束条件，画出可行域图形，然后求目标函数在可行域内的最小值，即可得出答案。

详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，y由x+2y-2=0，得x=1，x+2y-2=0，得x=2，x-1=0，x-1=0，y=1/2，y=0，y=0，Ax+2y-2=0A（1，1/2），B（1，0），C（2，0），当目标函数经过点A时，z=1-2×1/2=1-1=0；当目标函数经过点B时，z=1-2×0=1-0=1；当目标函数经过点C时，z=2-2×0=2-0=2，∴z=x-2y的最小值为0，所以选项A正确，∴选A。

成都市2020届高中毕业班摸底测试数学（理工农医类） 模拟试题（全卷满分为150分，完成时间为120分钟）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ， 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )＝C n k P k (1－P )n －k第Ⅰ卷 （选择题，共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔填写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不能答在试题卷上．3.考试结束后，监考员将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在机读卡的相应位置上．1．复数611i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i2．集合{}|10xM y y -==，集合{|N x y ==，则M N =I（A ）{}|3x x ≥ （B ）1|3x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭（C ）{}|01x x <≤ （D ） 1|03x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭3．已知函数()()(),cos f x x g x x π==+，直线x a =与()(),f x g x 的图像分别交于M ,N 两点，则MN 的最大值为（A ）1 （B（C ）2 （D）14．设四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是单位正方形，PB ABCD ⊥底面且PB =APD θ∠=，则sin θ=（A（B（C（D球的表面积公式 S ＝4πR 2其中R 表示球的半径 球的体积公式 V ＝43πR 3其中R 表示球的半径5．数列127,,a a a L ，其中恰好有5个2020和2个2020，这样的互不相同的数列的个数是 （A ） 21 （B ）42 （C ） 72 （D ）50406．在直角坐标中，函数()322a f x a x =+ ()0a >所表示的曲线称为箕舌线，则箕舌线可能是（A ） （B ） （C ） （D ）7．向量()()2,0,22cos 2sin OA OB θθ==+u u u r u u u r，则向量OA OB u u u r u u u r 与的夹角的范围是（A ）0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8．若不等式1x a -<成立的充分条件为04x <<，则实数a 的取值范围是 （A ）[)3,+∞ （B ）[)1,+∞ （C ）(],3-∞ （D ）(],1-∞9．直线():22l y k x =-+与圆22:220C x y x y +--=相切，则直线l 的一个方向向量为（A ）()2,2- （B ）()1,1 （C ）()3,2- （D ）11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10．等差数列{}{},n n a b 前n 项和分别为n n S ,T ，3152n n S n T n +=+，则使n nab 为整数的正整数n 有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）大于3个11．定义域为R 的函数()f x 在()6,+∞上为减函数且函数()6y f x =+为偶函数，则 （A ）()()45f f > （B ）()()47f f > （C ）()()58f f > （D ）()()57f f >12．椭圆2214x y +=的右焦点为F ，A,B,C 为该椭圆上的三点，若0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r ,则FA FB FC++=u u u r u u u r uu u r（A ）2 （B ）（C ）32（D ）3第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共计16分) 把答案填在题中横线上．13．10412x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为_________________14．三棱锥P ABC -内接于球O ，如果PA,PB,PC 两两垂直且PA PB PC a ===，则球心O 到平面ABC 的距离为_________________15．已知()12log f x x =，设()()(),,a b cx y z f a f b f c ===，其中01c b a <<<<，则,,x y z 的大小顺序为_________________16．在△ABC 中，若()()cos sin cos sin 2A A B B ++=，则角C =_________________三、解答题：（本大题共6小题，共74分) 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，已知54AC BC AC BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，设()()sin ,cos ,cos,cos m A B n B A ==-u r r且15m n ⋅=u r r ，求：（Ⅰ）()sin A B +的值； （Ⅱ）tan A 的值．18.（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算：（结果保留到小数点后第2位）（Ⅰ）5次预报中恰有2次准确的概率；（Ⅱ）5次预报中至少有2次准确的概率；（Ⅲ）5次预报中恰有2次准确且其中第3次预报准确的概率．119.（本小题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，1CB CD AA AB BC ===⊥,AC 与BD 交于点E ．（Ⅰ）求证：1BD A C ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小； （Ⅲ）求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．20.（本小题满分12分） 设函数()3221233f x x ax a x b =-+-+ ()01,a b R <<∈ （Ⅰ）求函数()f x 的单增区间和极值；（Ⅱ）若对任意[]1,2x a a ∈++，不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围．21.（本小题满分12分）如图，线段AB 过y 轴上一点()0,N m ，AB 所在直线的斜率为k ()0k ≠，两端点,A B 到y 轴的距离之差为4k ．（Ⅰ）求以y 轴为对称轴，过,,A O B 三点的抛物线方程；（Ⅱ）过抛物线的焦点作动弦CD ，过,C D 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，求点M 的轨迹方程并求出2FC FDFM⋅u u u r u u u r u u u u r 的值．22.（本小题满分14分）根据定义在集合A 上的函数()y f x =，构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据0x A ∈，计算出()10x f x =；②若1x A ∉，则数列发生器结束工作；若1x A ∈，则输出1x ，并将1x 反馈回输入端，再计算出()21x f x =，并依此规律继续下去．若集合{}()|01,1mxA x x f x m x=<<=+- ()m N +∈．（Ⅰ）求证：对任意0x A ∈，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{}n x ； （Ⅱ）若012x =，记1n n a x =，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明1143m x <≤． 成都市2020届高中毕业班摸底测试数学（理工农医类） 模拟试题参考答案及评分意见一、选择题：（每小题5分，共60分）1．D ；2．D ；3．C ；4．B ；5．A ；6．A ；7．B ；8．A ；9．A ；10．B ；11．C ；12．C ．二、填空题：（每小题4分，共计16分) 13．180； 14a ； 15．x y z >>； 16．2π． 三、解答题：（本大题共6小题，共74分)17．解：（Ⅰ）∵55cos 4AC BC AC BC C AC BC ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴4cos 5C =， ……2分∴()3sin sin 5A B C +== ……2分（Ⅱ）设tan 0x A =>，1sin cos cos sin 5m n A B A B ⋅=-=u r r ①()3sin sin cos cos sin 5A B A B A B +=+= ②∴①+②得21sin cos ,cos sin 55A B A B ==， ……4分 ∴tan cot 2A B =，故tan 2xB =，又()2tan 332tan 1tan 2412x x x B x A B x x B x x +++====----⋅即2420x x --=∴2x =tan 2A = ……4分18．解：（Ⅰ）()()3225520.810.80.05P C =⋅⋅-≈ ……4分 （Ⅱ）()()()()5411555510110.810.80.810.80.99P P C C --=-⋅⋅--⋅⋅-≈……4分 （Ⅲ）所求概率为()3140.810.80.80.02C ⋅⋅-⋅≈ ……4分19．解：（Ⅰ）∵1111ABCD A B C D -为直四棱柱，∴1AA ⊥平面ABCD ，又,AB AD CB CD ==，∴AC BD ⊥，AC 是1A C 在平面ABCD 上的射影，由三垂线定理知1A C BD ⊥ ……3分 （Ⅱ）连接11,A E C E ，∵E 为AC 与BD 的交点且AC BD ⊥，∴11,A E BD C E BD ⊥⊥，∴11A EC ∠为二面角11A BD C --的平面角， ……2分∵AB BC ⊥，∴AD DC ⊥，∴11190A D C ADC ∠=∠=o,又∵111112,A D AD C D CD AA AC BD =====⊥, ∴114,1,3AC AE EC ===，∴12A E =，1C E =在△11A EC 中，2221111AC A E EC =+,∴1190A EC ∠=o ,∴二面角11A BD C --为90o……3分 （Ⅲ）∵AD DC ⊥，∴AD ⊥平面1CD ，过B 作BF AD ∥交CD 于F ，则1FBC ∠为所求的角，BF ⊥平面1CD ，∵2,,AD AB AD DC AC BD ==⊥⊥,∴CD CB ==∴60BCD ∠=o,在Rt △BCF 中sin 603BF BC ==o ,∵1BC =∴11cos BF FBC BC ∠==∴AD 与1BC所成角的余弦值为5……4分 20．解：（Ⅰ）设函数()3221233f x x ax a x b =-+-+ ()01,a b R <<∈ ()2243f x x ax a '=-+-，令()0f x '>得()f x 的单增区间为(),3a a ，令()0f x '<得()f x 的单减区间为(),a -∞和()3,a +∞，()()343f x f a a b ==-+极小值，()()3f x f a b ==极大值 ……4分（Ⅱ）由()f x a '≤得2243a x ax a a -≤-+-≤ ① ……2分∵01a <<,∴12a a +>,∴()2243f x x ax a '=-+-在[]1,2a a ++上是减函数，∴当[]1,2x a a ∈++时，()()max 121f x f a a ''=+=-，()()min 244f x f a a ''=+=-，于是对任意的[]1,2x a a ∈++，不等式①恒成立等价于4421a a a a -≤-⎧⎨≥-⎩， ……4分∴415a ≤≤，又∵01a <<，∴415a ≤< ……2分 21．解：（Ⅰ）设AB 所在直线方程为y kx m =+，抛物线方程为22x py = ()0p >且()()1122,,,A x y B x y ，由题目可知120,0x x ><，∴124x x k -=即124x x k +=，把y kx m =+代入22x py =整理得2220x pkx pm --=，∴1224x x pk k +==，∴2p =，∴所求抛物线方程为24x y = ……4分 （Ⅱ）设22334411,,,44C x x D x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过抛物线上,C D 两点的切线方程分别为2331124y x x x =- 2441124y x x x =- ∴两条切线的交点M 的坐标为3434,24x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭， ……2分 设CD 所在直线方程为1y nx =+，代入24x y =得2440x nx --=，∴344x x =-，∴M 的坐标为34,12x x +⎛⎫-⎪⎝⎭，∴点M 的轨迹方程为1y =-， ……2分又∵22334411,1,,144FC x x FD x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，∴()22223434341111444FC FD x x x x x x ⋅=+⋅-++u u u r u u u r()()22223434341111244x x x x x x =+-++=-+-， ……2分 而222234343424424x x x x x x FM +++⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭u u u u r ()2234124x x =++， ∴21FC FD FM⋅=-u u u r u u u r u u u u r ……2分22．解：（Ⅰ）当x A ∈即01x <<时，m N +∈可知10m x +->，∴01mxm x>+-，又()()111011m x mx m x m x +--=<+-+-，∴11mx m x<+-即()f x A ∈，故对任意0x A ∈，有()10x f x A =∈，由1x A ∈可得()21x f x A =∈， 由2x A ∈可得()32x f x A =∈，依次类推可一直继续下去，从而产生一个无穷数列{}n x ……4分 （Ⅱ）由()11n n n n mx x f x m x +==+-可得11111n n m x m x m++=⋅-， ∴111n n m a a m m ++=-，即()1111n n m a a m++-=-，令1n n b a =-， 则111111211,111n n m m m b b b a m x m m++++==-=-=-=，∴{}n b 为等比数列，∴111n n m b b m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭即11nn m a m +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……4分（Ⅲ）即证13114mm ⎛⎫≤++< ⎪⎝⎭，需证1213mm ⎛⎫≤+< ⎪⎝⎭，当m N +∈时有010111111112mm m m m m m mC C C C C m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅++⋅≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 当2k ≥时，由()()1111111!!1kk m km m m k C m m k k k k --+⎛⎫⋅=⋅<≤- ⎪-⎝⎭L ∴当2m ≥时11111111111332231mm m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<++-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 又1m =时12123mm ⎛⎫≤+=< ⎪⎝⎭，∴对任意的m N +∈都有1143m x <≤ ……6分。

成都2020届第三次高考模拟理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一次硬币一次，设命题p 是“甲抛的硬币正面向上”，q 是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ⌝∨2.已知集合{}{}2|11,|10A x x B x x =-<=-<，则AB =（ ）A ． ()1,1-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()0,1 3.若1122aii i+=++，则a =（ ） A ．5i -- B ．5i -+ C ．5i - D ． 5i +4.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14-B ． 12- C. 14 D ．125.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+ C. 4012π+ D ．4016π+ 6.设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则（ ） A ．5166BO AB AC =-+ B ． 1162BO AB AC =- C. 5166BO AB AC =- D ．1162BO AB AC =-+ 7.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ． 2016B ．1024 C.12D ．-1 8. 已知()00,P x y 是椭圆22:14x C y +=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF <，则0x 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭ B ．⎛ ⎝⎭ C. ⎛ ⎝⎭ D ．⎛ ⎝⎭ 9. 等差数列{}n a 中的24032a a 、是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点，则()2220174032log a a a =（ ）A ．624log + B ．4 C. 323log + D ．324log + 10. 函数()()2sin 4cos 1f x x x =-的最小正周期是（ ） A ．3πB ． 23π C. π D ．2π11.某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名。

2020年四川成都高三一模数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.若复数与（为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）．A. B. C. D.2.已知集合，，若，则实数的值为（ ）．A.或B.或C.或D.或3.若，则（ ）．A. B. C. D.4.某校随机抽取名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这名同学的得分都在内，按得分分成组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．则这名同学的得分的中位数为（ ）．频率组距得分A. B. C. D.5.设等差数列的前项和为，且，若，则（ ）．A.B.C.D.6.已知，是空间中两个不同的平面，，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）．A.若，，且，则B.若，，且，则C.若，，且，则D.若，，且，则7.的展开式的常数项为（ ）．A.B.C.D.8.将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移 个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）．A.B.C.D.9.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两个不同的点．若，则线段的中点到轴的距离为（ ）．A.B.C.D.10.已知，，，则（ ）．A.B.C.D.11.已知定义在上的函数满足，当时，．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.12.如图，在边长为的正方形中，线段的端点，分别在边，上滑动，且，现将，分别沿，折起使点，重合，重合后记为点，得到三棱锥．现有以下结论：①平面；②当，分别为，的中点时，三棱锥的外接球的表面积为；③的取值范围为；④三棱锥体积的最大值为．则正确的结论的个数为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数，满足约束条件，则的最大值为 ．14.设正项等比数列满足，，则 ．15.已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角的大小为 ．16.已知直线与双曲线：（，）相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的离心率为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.在中，角，，的对边分别为，，，且．求的值．若的面积为，且，求的周长．（1）（2）18.某公司有名员工，其中男性员工名，采用分层抽样的方法随机抽取名员工进行手机购买意向的调查，将计划在今年购买手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买手机的员工称为“观望者”．调查结果发现抽取的这名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有人．完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关．属于“追光族”属于“观望者”合计女性员工 男性员工合计已知被抽取的这名员工中有名是人事部的员工，这名中有名属于“追光族”．现从这名中随机抽取名，记被抽取的名中属于“追光族”的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．附：，其中．19.（1）（2）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，且，为的中点．证明：平面．若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．（1）（2）20.已知函数，．讨论函数的单调性．当时，证明：，．（1）（2）21.已知椭圆的右焦点为，过点的直线(不与轴重合)与椭圆相交于，两点，直线与轴相交于点，过点作，垂足为．求四边形（为坐标原点）面积的取值范围．证明直线过定点，并求出点的坐标．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，已知是曲线上的动点，将绕点顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线，的极坐标方程．在极坐标系中，点，射线与曲线，分别相交于异于极点的，两点，求面积．（1）（2）23.已知函数．解不等式．若，求证：．【答案】解析:在复平面对应的点坐标为，由题可知，在复平面对应的点坐标为，即．故选．解析:∵，，且，∴，且，，∴可为或．故选．解析:若，即，故，．故选．解析:由频率分布直方图可知：得分在的频率为，在的频率为，在的频率为，在的频率为，在的频率为，故中位数为．故选．B 1.D 2.C 3.A 4.D5.解析:在等差数列中，，，∴．故选．解析:展开式的常数项为．故选．解析:将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍可得到，的图像，再将该图象向左平移个单位长度后得到：．故选：．解析:已知、为抛物线上的不同两点，且，故由抛物线定义可得，所以线段的中点到轴的距离为．故选．解析:，，，故，，C 6.B 7.A 8.B 9.C 10.又，，即，故，所以．故选．解析:已知满足，故的图象关于对称，当时，，则，故当时，，即在区间上单调递减，当时，，即在区间上单调递增，且当时，，，，故的图象如图所示：要使得有三个不相等的实数根，则有三个解，当时，有，如图当直线与相切时，只有两个交点，设切点为有，则，D 11.即，解得，，根据对称性，切点，故相切时斜率，求，要使有三个解，则．故选．解析:①已知为正方形，所以，，又，且平面，所以平面．②当、分别是和中点时，有，，，且，，，故外接球的直径，即，故外接球表面积；③要使得为三棱锥，则有，即，即，解得；④由①知平面，故，所以当最大时，最大，取中点为，，令，则，故在上单增，在上单减，所以的最大值不是，故④错误．C 12.综上所述，正确的有个．故选．解析:约束条件对应的可行域如图，x–224y24O设，则，当直线经过如图的时，使得最大，由得到，所以的最大值为．解析:记等比数列首项为，公比为，则，．∴，解得或（舍去），∴．故答案为：．解析:已知，且，故有，即，13.14.15.（1）（2）故，所以与夹角为．故答案为：．解析:设双曲线的右焦点为，直线交双曲线左支于交右支于，因为直线方程为，故根据对称性有，，由双曲线定义知，又且，所以，，，故由余弦定理得：，即，解得．故．解析:∵，∴，∴，在中，．∵的面积为，即，∴，又∵，由正弦定理得，∴，，则，16.（1）．（2）．17.（1）（2）∴，∴的周长为．解析:由题，列联表如下：属于“追光族”属于“观望者”合计女性员工男性员工合计∵，∴没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关．由题，随机变量所有可能的取值为，，，，，，，，∴的分布列为∴（1）属于“追光族”属于“观望者”合计女性员工男性员工合计没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关．（2）的分布列为．18.（1）（2）．解析:如图，连接，∵底面为菱形，且，∴三角形为正三角形，∵为的中点，∴，又∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面．∵平面，平面，∴，又∵，，∴ ，由(Ⅰ)，平面，平面，∴，又∵为的中点，∴，，∴，如图，过点作的平行线，则，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，（1）证明见解析．（2）．19.（1）则，，，，，设平面的一个法向量，，，由，得，取，设平面的一个法向量，，，由，得，取，∴，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．解析:，∵，，∴当时，，函数在内单调递减，在内单调递增；当时，，函数在内单调递增，，（1）当时，函数在内单调递减，在内单调递增；当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，函数在内单调递增；当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增．（2）证明见解析．20.（2）（1）在内单调递减，在内单调递增；当时，，函数在内单调递增；当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增．当时，由（）得，函数在内单调递减，在内单调递增，函数在内的最小值为，欲证不等式成立，即证，即证，∵，∴只需证，令，∵，∴函数在内单调递减，，∵，∴，∴，即当时，成立，∴当时，，．解析:由题，，令直线，，，联立，消去，得，∵，，，∴，∴四边形的面积，令，∴，∴，（1）．（2）证明见解析；直线过定点．21.（2）（1）（2）（1）∵（当且仅当，即时取等号），∴，∴四边形面积的取值范围为．∵，，∴直线的斜率，∴直线的方程为，令，得，①，由（），，，∴，化简①，得，∴直线过定点．解析:由题，知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∴曲线的方程为，∵，，，∴曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．在极坐标系中，设点，的极径分别为，，∴，又∵点到射线的距离为，∴的面积．解析:原不等式化为，（1），．（2）．22.（1）或．（2）证明见解析．23.（2）即，当时，不等式化为，解得，故，当时，不等式化为，解得，故，当时，不等式化为，解得，故，所以原不等式解集为或．因为，所以，当且仅当且时取等号，又因为，，所以，当且仅当时取等号，所以成立．。