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Banach空间中二阶非线性奇异微分方程多点无穷边值问题的
正解
张海燕
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2012(25)3
【摘要】利用锥理论和Mōnch不动点定理结合单调迭代技巧,研究了Banach空间中一类二阶非线性奇异微分方程多点无穷边值问题,获得了正解的存在性定理和正解的迭代序列.
【总页数】7页(P535-541)
【关键词】奇异微分方程;正解;多点边值问题;Mōnch不动点定理
【作者】张海燕
【作者单位】宿州学院数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类非线性二阶常微分方程无穷多点边值问题的正解 [J], 柳亚娟;张伟伟
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3.Banach空间中非线性二阶奇异脉冲微分方程混合边值问题多个正解的存在性[J], 田家财;范进军;李夕广
4.Banach空间中n阶非线性脉冲积分-微分方程无穷边值问题的最小正解 [J], 原
文志;王文霞
5.一类非线性二阶常微分方程无穷多点边值问题的正解 [J], 汪子莲;丁珂
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破解函数“二阶不动点”【一个概念】一般地,对于定义在区间D 上的函数y =f (x ).（1）若存在x 0∈D ,使得f (x 0)=x 0,则称x 0是函数f (x )的一阶不动点,简称不动点. （2）若存在x 0∈D ,使得f (f (x 0))=x 0,则称x 0是函数f (x )的二阶不动点.纵观今年各地的高三模拟题与高考题,常有涉及函数二阶不动点的问题,似有成为一个高频考点的趋势.本文结合2013年高考数学江西卷理科第21题,谈谈破解函数“二阶不动点”之术,希望对提高同学们的数学解题能力有所帮助.【一个高考真题】 (2013年高考数学江西卷理科第21题部分)已知函数f (x )=a (1－2|x －12|),a 为常数且a ＞0.若x 0满足f (f (x 0))= x 0，但f (x 0)≠x 0,则x 0称为函数f (x )的二阶周期点,如果f (x )有两个二阶周期点x 1、x 2,试确定a 的取值范围.策略一:解一元方程这是一个给出新定义的创新题,其实质就是方程解的问题.函数f (x )有两个二阶周期点,即方程f (f (x ))=x 有两解,并且所得两解不是方程f (x )=x 的解.因此,最朴素的解题思路就是先求出函数f (f (x ))的解析式,再解其方程即可.就本题而言,由于函数f (x )是一个含有绝对值运算的函数,因此需要去绝对值号,把函数f (f (x ))写成一个分段函数的形式.这时既要考虑x 与12的大小,又要考虑2ax 与12、2a (1－x )与12的大小,同时还要兼顾前后大小确定的x 的大小关系,分段十分复杂,其思维导图如下:211?422(())(2)12?211?42((11(())(2)4,124114(())(2)4,1222111(())(2)2(12),124214212a f f x f ax ax a f f a f f x f ax a x x a x a a f f x f ax a x x x a f f x f ax a ax x a x a a x = ≥→==≤ ≤→<→==≤≤ → >→==−<≤ > →≤→>无解2411?422))(2(1))12(1)?2411?4211(())(2(1))4(1),41221414(())(2(1))4(1),24141214(())(2(1))2(12)42a a x f a x a x a a a f f x f a x a x x a x a a a f f x f a x a x x a a a x a a f f x f a x a a −=−−− ≤→=−=−> − ≥ − >→=−=−≥ →≤→−< →>→=−=−+无解2141,24a a x x a− <<解析:①当0<a <12时,有f (f (x ))=4a 2x ， x ≤124a 2(1－x )，x >12, 所以f (f (x ))=x 只有一个解x =0,又f (0)=0,故0不是二阶周期点.②当a =12时,有f (f (x ))=x ， x ≤121－x ，x >12, 所以f (f (x ))=x 有解集{x |x ≤12},又当x ≤12时,f (x )=x ,故{x |x ≤12}中的所有点都不是二阶周期点.③当a >12时,有f (f (x ))=4a 2x ， x ≤14a 2a －4a 2x ， 14a <x ≤122a (1－2a )+4a 2x ，12<x ≤4a －14a 4a 2(1－x )， x >4a －14a, 所以f (f (x ))=x 有四个解0,2a 1+4a 2,2a 1+2a ,4a 21+4a 2,又f (0)=0,f (2a 1+4a 2)≠2a 1+4a 2,f (2a 1+2a )=2a 1+2a ,f (4a 21+4a 2)≠4a 21+4a 2,故只有2a 1+4a 2,4a 21+4a 2是f (x )的二阶周期点.综上所述,所求a 的取值范围为a >12.【评注】先通过函数迭代,求出函数f (f (x ))的解析式,再化归为方程f (f (x ))=x 的解的问题.这种解法的优点是思路清晰,但最大缺点就是函数迭代的复杂性.因为本题中的函数是一个分段函数,所以求f (f (x ))的解析式不是一蹴而就的事.正如思维导图所示,求f (f (x ))的解析式不仅需要分类讨论,而且讨论相对比较麻烦.实际上,解答呈现的只是思考的结果,而思考的过程才是同学们提升分类讨论、转化与化归能力的重要途径.【练习1 】 (2013年福建省三明市普通高中毕业班质量检查理科数学第10题)对于函数f (x ),若f (x 0)=x 0,则称x 0为函数f (x )的“不动点”;若f (f (x 0))=x 0,则称x 0为函数f (x )的“稳定点”．如果函数f (x )=x 2+a (a ∈R)的“稳定点”恰是它的“不动点”,那么实数a 的取值范围是……………( )(A)(－∞,14] (B)(－34,+∞) (C) (－34,14] (D)[－34,14]策略二:解二元方程显然,策略一的解题过程是复杂的,问题的难点就是函数的迭代,因为函数迭代往往只能使函数结构复杂化.那么,求解策略是否可以进行优化?特别是,是否可以避免进行函数迭代呢?实际上,为了避开函数迭代,可以采用“拆分”的方法,所谓“分合两相宜”,即把迭代的过程拆分成两次函数求值的问题,引进中间变量,化一个一元方程为两个二元方程来求解.就本题而言,f (f (x 0))=x 0就是函数f (x )的两次求值过程,即f (x 0)=t ,f (t )=x 0.若x 0为函数f (x )的二阶周期点,则有f (x 0)=t (x 0≠t ),且f (t )=x 0.此时显然有f (f (t ))=f (x 0)=t ,即t 也是函数f (x )的二阶周期点.故函数f (x )有两个二阶周期点x 1,x 2,就是二元方程 f (x 1)=x 2f (x 2)=x 1有解.【解析】 函数可化为f (x )=2ax ， x ≤122a (1—x )，x >12.设x 1为函数f (x )的二阶周期点,则有f (x 1)=x 2(x 1≠x 2),且f (x 2)=x 1.此时有f (f (x 2))=f (x 1)=x 2,即x 2也是函数f (x )的二阶周期点.又因为a >0,f (x )在区间(－∞,12]上是单调增函数,所以x 1,x 2不可能都在区间(－∞,12]上,即应有x 1<12<x 2或12≤x 1<x 2.①若x 1<12<x 2,则有 2ax 1=x 22a (1—x 2)=x 1,解得x 1=2a 1+4a 2,x 2=4a 21+4a 2,由2a 1+4a 2<12<4a 21+4a 2,解得a >12. ②若12≤x 1<x 2,则有 2a (1—x 1)=x 22a (1—x 2)=x 1,消去x 2整理得(1—4a 2)x 1=2a (1－2a ),当2a =1,即a =12时,x 1+x 2=1,方程无解;当a ≠12时,解得x 1=x 2=2a 1+2a,舍去.综上所述,所求a 的取值范围为a >12.【评注】比较两种解题策略,容易发现:策略二巧妙地利用“二阶不动点”的对偶性,建立关于两个“二阶不动点”的方程 f (x 1)=x 2f (x 2)=x 1,把单变量的方程问题转化为双变量的方程组问题,避免了复杂的函数迭代,降低了运算量,减少了分类讨论的情形,使解题过程大大简化.这应该是求解函数“二阶不动点”问题的通性通法,同学们不妨用此法再求解练习1,比较解法的优劣.【练习2】 (2013年高考数学四川卷文科第10题)设函数f (x )=e x +x －a (a ∈R,e 为自然对数的底数).若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))=b 成立,则实数a 的取值范围是………………………( )(A)[1,e] (B)[1,1+e] (C)[e,1+e] (D)[0,1]策略三:数形结合最后,再给出函数“二阶不动点”的几何解释.由函数不动点的定义可知,函数f (x )的一阶不动点,就是方程f (x )=x 的解,也就是直线y =x 与函数y =f (x )交点的横坐标;函数f (x )的二阶不动点,就是方程f (f (x ))=x 的解,也就是方程组 f (x 1)=x 2f (x 2)=x 1的解.显然,点(x 1,x 2)与(x 2,x 1)都在函数f (x )的图象上,且当x 1≠x 2时,两点关于直线y =x 对称,当x 1=x 2时为函数的一阶不动点,所以函数f (x )的二阶不动点就是函数f (x )图象上关于直线y =x 对称的两点的横坐标,或直线y =x 与函数y =f (x )交点的横坐标.基于这样的认识,我们借助函数的图象,可以更简单的给出问题的解答.【解析】若函数f (x )有两个二阶周期点,即函数f (x )的图象上至少存在两点关于直线y =x 对称,如图1. 当直线y =2ax (a >0)位于直线y =x 下方时,显然函数f (x )的图象上不存在关于直线y =x 对称的两点; 当直线y =2ax (a >0)位于直线y =x 上方时,作其关于直线y =x 的对称直线l ,则直线l 必与直线y =2a (1－x )相交,设其交点为B ,过点B 作直线y =x 的垂线,交直线y =2ax 于点A ,则A ,B 两点必关于直线y =x 对称.故2a >1,解得a >12,综上所述,所求a 的取值范围为a >12.【评注】从策略一到策略三,解题的繁简程度似有天壤之别,但对学生的理性思维能力却提出了更高的要求,这与“多考一点想,少考一点算”的高考立意是相通的,正所谓“想得少,算得多;想得多,算得就少”.【练习3】 (2013年广东省华南师范大学附中高三5月综合练习第8题)对于定义域和值域均为[0,1]的函数f (x ),定义f 1(x )=f (x ),f 2(x )=f (f 1(x )),…, f n (x )=f (f n -1(x )),…,n =1,2,3,…．满足f n (x )=x 的点x ∈[0,1]称为f 的n阶不动点.设f (x )=2x ， 0≤x ≤12，2－2x ， 12<x ≤1，则f 的n 阶不动点的个数是……( )(A) 2n (B) 2(2n -1) (C) 2n (D) 2n 2【练习答案】 1.D.解法一:由f (f (x ))=x ,得(x 2+a )2+a =x ,即(x 2－x +a )(x 2+x +a +1)=0.因为函数的“稳定点”恰是它的“不动点”,所以方程x 2－x +a =0有解,且方程x 2+x +a +1=0无解或其解都是x 2－x +a =0的解.由方程x 2－x +a =0有解,得△1=1－4a ≥0,解得a ≤14.由方程x 2+x +a +1=0无解,得△2=1－4(a +1)<0,解得a >－34,而若方程x 2+x +a +1=0的解都是x 2－x +a =0的解,因为方程x 2－x +a =0与方程x 2+x +a +1=0不可能同解,所以方程x 2+x +a +1=0必有两个相等的实根且是方程x 2－x +a =0的解,此时△2=1－4(a +1)=0,解得a =－34,经检验,符合题意.综上,a 的取值范围是[－34,14].正确选项为D.解法二:显然,函数的“不动点”一定是“稳定点”,而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”,即不存在非“不动点”的“稳定点”,所以f (x )=x 有解,但方程组 f (x 1)=x 2f (x 2)=x 1(x 1≠x 2)无解.由f (x )=x ,得x 2－x +a =0有解,所以1－4a ≥0,解得a ≤14.由 f (x 1)=x 2f (x 2)=x 1,得 x 12+a =x 2x 22+a =x 1,两式相减,得(x 1－x 2)(x 1+x 2)=x 2－x 1,因为x 1≠x 2,所以x 2=―x 1―1,代入消去x 2,得x 12+x 1+a +1=0,因为方程x 12+x 1+a +1=0无解或仅有两个相等的实根,所以1－4(a +1)≤0,解得a ≥－34,故a 的取值范围是[－34,14].正确选项为D.2.A.设f (b )=c ,f (c )=b .若b >c ,则f (c )>f (b ),这与函数f (x )=e x +x －a 是增函数矛盾;若b <c ,则f (c )<f (b ),同样与函数f (x )=e x +x －a 是增函数矛盾,故b =c ,即f (f (b ))=b ,当且仅当f (b )=b 时成立.问题“存在b ∈[0,1]使f (f (b ))=b 成立”,转化为“存在b ∈[0,1]使f (b )=b 成立”,即关于b 的方程e b +b ―a =b 2在b ∈[0,1]上有解.令g (b )=e b +b ―b 2,则g ´(b )= e b +1―2b ,因为b ∈[0,1],所以g ´(b )≥0,即g (b )是[0,1]上的增函数,所以g (b )的值域为[1,e],即a 的取值范围是[1,e].正确选项为A.3.C.f 1(x )=1－|2x －1|,x ∈[0,1],其图象为两条线段组成的折线,如图2-1,与直线y =x 有两个交,所以f 的1阶不动点有2个;f 2(x )=1－|2f 1(x )－1|,x ∈[0,1],其图象为四条线段组成的折线,如图2-2,与直线y =x 有4个交,所以f 的2阶不动点有4个;f 3(x )=1－|2f 2(x )－1|,x ∈[0,1],其图象为八条线段组成的折线,如图2-3,与直线y =x 有8个交,所以f 的3阶不动点有8个.以此类推, f 的n 阶不动点有2n 个,正确选项为C.。
第36卷第4期2018年8月沈阳师范大学学报(自然科学版)J o u r n a l o f S h e n y a n g N o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)V o l.36N o.4A u g.2018文章编号:16735862(2018)04031107A A H 不动点定理与二阶非线性方程的正解徐厚生1,王波2(1.沈阳建筑大学理学院,沈阳110168;2.东北大学理学院,沈阳110819)摘要:泛函形式的锥拉伸与压缩型不动点定理已有多种不同的结果,其本质上是范数形式锥拉伸与压缩型不动点定理的推广㊂这些定理在研究方程正解问题时具有广泛应用,不同的定理中不同的泛函约束条件使得在实际使用时可以根据具体的方程,特别是方程中的非线性函数进行灵活选择㊂应用建立在锥理论和不动点指数方法基础上的A n d e r s o n-A v e r y-H e n d e r s o n不动点定理(简称为A A H不动点定理)㊂研究一类与文献中不同类型的二阶非线性边值问题正解的存在性㊂当非线性项满足单调性和某些不等式条件时,给出该类二阶非线性边值问题正解存在的锥拉伸与压缩型充分条件,并且通过一些例子来说明结论的应用.关键词:正解;不动点;锥;凸泛函;凹泛函中图分类号:O175.14文献标志码:Ad o i:10.3969/j.i s s n.16735862.2018.04.005A A H f i x e d p o i n tt h e o r e m a n d p o s i t i v es o l u t i o nt o n o n l i n e a re q u a t i o nof s e c o n do r d e rX U H o u s h e n g1,WA N GB o2(1.S c h o o l o f S c i e n c e,S h e n y a n g J i a n z h uU n i v e r s i t y,S h e n y a n g110168,C h i n a;2.D e p a r t m e n t o fM a t h e m a t i c s,N o r t h e a s t e r nU n i v e r s i t y,S h e n y a n g110819,C h i n a)A b s t r a c t:T h e r ea r e m a n y d i f f e r e n tr e s u l t so nt h ec o n ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o nf i x e d p o i n tt h e o r e m sw i t h f u n c t i o n a l f o r m s,a n dt h e y a r ee s s e n t i a l l y t h ee x t e n s i o no f t h ec o n ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o n f i x ed p o i n t t he o r e m sw i t hn o r mf o r m.T h e s e t h e o r e m s a r ew i d e l y a p p l i e d t o t h e s t u d yo f p o s i t i v es o l u t i o n so fe q u a t i o n s,d i f f e r e n tf u n c t i o n a lc o n s t r a i n t si n d i f f e r e n tt h e o r e m sc a n b ef l e x i b l y c h o s e n a c c o r d i ng t o th e s p e ci f i c e q u a t i o n s,e s p e c i a l l y t h e n o n l i n e a rf u n c t i o n si n t h ee q u a t i o n.B y u s i n g o fA n d e r s o n-A v e r y-H e n d e r s o nf i x e d p o i n t t h e o r e m(o rA A Ht h e o r e mf o r s h o r t)b a s e do nt h ec o n et h e o r y a n df i x ed p o i n t i n de x m e t h o d s,w e i n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eof p o s i t i v es o l u t i o n s t on o n l i n e a r b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m o f s e c o n do r d e r t h e t y p eo fw h i c h i sd i f f e r e n t f r o mt h o s e i nt h er e f e r e n c e s.S o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa b o u tc o n ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o na r ep r o v i d e d t o g u a r a n t e et h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o nt ot h ee q u a t i o n w h e nt h en o n l i n e a rt e r ms a t i s f i e sm o n o t o n i c i t y c o n d i t i o na n ds o m e i n e q u a l i t i e s.S o m ee x a m p l e sa r e g i v e nt oi l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o n s o f t h e c o n c l u s i o n s.K e y w o r d s:p o s i t i v e s o l u t i o n;f i x e d p o i n t;c o n e;c o n v e x f u n c t i o n a l;c o n c a v e f u n c t i o n a l0引言一些学者已经开始应用泛函形式的锥拉伸与压缩不动点定理研究非线性微分方程正解的存在性[115],文献[2]将L e g g e t t-W i l l i a m s不动点定理[5]进行推广,得到如下结论㊂收稿日期:20170625㊂基金项目:国家自然科学基金资助项目(11701390);辽宁省科技厅自然科学基金资助项目(20170540769)㊂作者简介:徐厚生(1972),男,山东临沂人,沈阳建筑大学副教授,硕士㊂引理1[2] 设P 是实B a n a c h 空间E 上的锥,α是P 上的非负连续凹泛函,β是P 上的非负连续凸泛函,T :P ңP 是全连续算子㊂若存在非负实数a ,b ,c ,d 使得1){x ɪP |a <α(x ),β(x )<b }ʂ⌀;2)若x ɪP ,有β(x )=b ,且α(x )ȡa ,则β(T x )<b ;3)若x ɪP ,有β(x )=b ,且α(T x )<a ,则β(T x )<b ;4){x ɪP |c <α(x ),β(x )<d }ʂ⌀;5)若x ɪP ,有α(x )=c ,且β(x )ɤd ,则α(T x )>c ;6)若x ɪP ,有α(x )=c ,且β(T x )>d ,则α(T x )>c ;且如果a )如果a <c ,b <d ,{x ɪP |b <β(x ),α(x )<c }ʂ⌀,P (β,b )⊂P (α,c ),P (α,c )是有界的,则T 有一个不动点x *ɪP (β,α,b ,c );b )如果c <a ,d <b ,{x ɪP |a <α(x ),β(x )<d }ʂ⌀,P (α,a )⊂P (β,d ),P (β,d )是有界的,则T 有一个不动点x *ɪP (α,β,a ,d )㊂A n d e r s o n 等[2]应用引理1,讨论了二阶非线性边值问题x ᵡ(t )+f (x (t ))=0,t ɪ[0,1]x (0)=x ᶄ(1)={0(1)正解的存在性㊂本文分别在压缩条件和拉伸条件下,通过引理1给出了二阶非线性边值问题x ᵡ(t )+f (x (t ))=0,t ɪ[0,1]x (0)=x (1)={(2)存在正解的充分条件㊂设G (t ,s )是(2)相应齐次方程的G r e e n 函数,即G (t ,s )=t (1-s),0ɤt ɤs ɤ1s (1-t),0ɤs <t ɤ{1(3)引理2 由(3)表示的G r e e n 函数G (t ,s)具有以下性质:G (t ,s )在[0,1]ˑ[0,1]上连续对称;G (t ,s )ȡ0,G (t ,s )ɤG (s ,s ),∀0ɤt ,s ɤ1;G (t ,s )ȡ2t G (1/2,s ),t ɪ[0,1/2],s ɪ[0,1]㊂证明 前2个性质是显然的㊂至于第3个性质,事实上,G (1/2,s)G (t ,s )=s 2t (1-s )ɤ12t ,0ɤt ɤs ɤ1212t ,0ɤt ɤ12ɤs ɤ112(1-t ),0ɤs ɤ12ɤt ɤ11-s 2s (1-t ),0ɤ12ɤs ɤt ɤìîíïïïïïïïïïï1由于m a x 0ɤs ɤ1G (1/2,s )G (t ,s )=12t,t ɪ(0,1/2],则G (1/2,s )G (t ,s )ɤ12t,t ɪ(0,1/2],s ɪ[0,1]从而G (t ,s )ȡ2t G (1/2,s ),t ɪ[0,1/2],s ɪ[0,1]定义P ={x ɪC [0,1]|x (t )ȡ0,x 是对称的,x 是凹的,t ɪ[0,1],x (t )ȡ2t x ,t ɪ[0,1/2]}㊂易见P 是C [0,1]中的锥㊂下面定义算子T 为(T x )(t )=ʏ1G (t ,s )f (x (s ))d s ,x ɪP 易证P ң7P ㊂设τɪ(0,1),下面在P 上定义凹泛函α为α(x )=m i n t ɪ[τ,1]x (t )=x (τ)213沈阳师范大学学报(自然科学版) 第36卷凸泛函β为β(x )=m a x t ɪ[0,1]x (t )=x æèçöø÷12由于x 是凹的,则x (τ)=x 2τ㊃æèçöø÷12ȡ2τ㊃x æèçöø÷12⇒α(x )ȡ2τ㊃β(x )ȡτβ(x )1 主要结论定理1 若b ,c 为正实数,3b ɤc ,f :[0,+ɕ)ң[0,+ɕ)连续且满足1)f (ω)>2c τ(1+2τ),∀ωɪc ,c éëêùûúτ;2)f (ω)在[0,b τ]是单调递减的,在ωɪ[b τ,b ]有f (b τ)ȡf (ω);3)ʏτ0s f (b s )d s +ʏ11-τs f (b s )d s <2b -1-2τ2f (b τ);则方程(2)在P (β,α,b ,c )中有一个正解x *㊂证明 令a =b τ,d =c τ,则有a =b τ<c ,b =a τ<c τ=d ㊂∀x ɪP 有α(T x )=(T x )(τ)=ʏ10G (τ,s )d s ȡʏ12τ㊃G (12,s )f (x (s ))d s =2τβ(T x )ȡτβ(T x )1)若∀x ɪP (α,c )={x ɪP |α(x )ɤc },则τβ(x )ɤα(x )ɤc , x =β(x )ɤ1τα(x )ɤc τ=d 则P (α,c)有界㊂2)∀M ɪ8b ,2c τ(1-τæèçöø÷),定义函数x M (t)ʉʏ10M ㊃G (t ,s )d s,因此x M ɪP (β,α,b ,c )事实上,x M (t )=M t (1-t )2ȡ0,x ᵡM (t )=-2M ɤ0因此x M 是凹的㊂x M (t )=x M (2t ㊃1/2)ȡ2t ㊃x M (1/2)=2t x M 故x M ɪP ㊂α(x M )=x M (τ)=M τ(1-τ)2<c τ(1-τ)2<cβ(x M )=x M æèçöø÷12=M121-æèçöø÷122=M8>b则P (β,α,b ,c )ʂ⌀㊂∀L ɪ2b 1-τ,8æèçöø÷b ,定义x L (t )ʉʏ10L G (t ,s )d s,因此x L ɪ{x ɪP |a <α(x ),β(x )<b }事实上,由x M ɪP ,同理可知x L ɪP ,α(x L )=x L (τ)=L τ(1-τ)2>a =τb β(x L )=x L æèçöø÷12=L 121-æèçöø÷122=L 8<b 则{x ɪP |a <α(x ),β(x )<b }ʂ⌀㊂313第4期 徐厚生等:A A H 不动点定理与二阶非线性方程的正解∀J ɪ2c τ(1-τ),8æèçöø÷d ,定义x J (t )ʉʏ10J G (t ,s )d s,因此x J ɪ{x ɪP |c <α(x ),β(x )<d }事实上,由x M ɪP ,同理可知x J ɪP ,α(x J )=x J (τ)=J τ(1-τ)2>c β(x J )=x J æèçöø÷12=J 121-æèçöø÷122=J 8<d 则{x ɪP |c <α(x ),β(x )<d }ʂ⌀㊂3)若x ɪP ,β(x )=b ,α(x )ȡa ,则β(T x )<b ㊂事实上,∀s ɪ[0,τ],x (s )=x τs ㊃1æèçöø÷τȡs τx (τ)=α(x )τs ȡβ(x )s =b s ∀s ɪτ,éëêêùûúú12,α(x )ɤx (s )ɤβ(x ),则b τ=a ɤx (s )ɤb 由于x 的对称性及连续性,因此∀s ɪ[0,τ]ɣ[1-τ,1],0ɤb s ɤx (s )ɤb τ∀s ɪ[τ,1-τ],b τɤx (s)ɤb 从而β(T x )=(T x )æèçöø÷12=ʏ10G 12,æèçöø÷s f (x (s ))d s <P 4)若x ɪP ,β(x )=b ,α(T x )<a ,则β(T x )<b ㊂事实上,β(T x )=(T x )æèçöø÷12=ʏ10G 12,æèçöø÷s f (x (s ))d s ɤʏ1012τG (τ,s )f (x (s ))d s =12τα(T x )ɤ1τα(T x )<aτ=b 5)若x ɪP ,α(x )=c ,β(x )ɤd ,则α(T x )>c ㊂事实上,∀s ɪ[τ,1-τ],α(x )ɤx (s )ɤβ(x )则c ɤx (s )ɤd =c τ,α(T x )=ʏ10G (τ,s )f (x (s ))d s ȡʏ1-τττ(1-s )f (x (s ))d s >ʏ1-τττ(1-s )㊃2c τ(1+2τ)d s =c6)若x ɪP ,α(x )=c ,β(T x )>d ,则α(T x )>c ㊂事实上,α(T x )=ʏ10G (τ,s )f (x (s ))d s ȡʏ12τG 12,æèçöø÷s f (x (s ))d s =2τβ(T x )>τβ(T x )=τd =c 根据引理1,则方程在P (β,α,b ,c )中有一个正解x *㊂例1 令b =1,c =3,τ=1/4㊂函数f (x )=e -x ,x ɪ[0,1]27-e -12x -27-3e -12,x ɪ(1,3)x 3,x ɪ(3,+ɕìîíïïïï)]满足条件:1)f (ω)>2c τ(1+2τ)=16,ωɪ[3,12];2)f (ω)在0,éëêùûú14是单调递减的,在14,éëêùûú1上有f æèçöø÷14ȡf (ω);413沈阳师范大学学报(自然科学版) 第36卷3)ʏ140s f (s )d s +ʏ134s f (s )d s <2-14f æèçöø÷14㊂根据定理1,方程(2)在P (β,α,1,3)中有一个正解㊂定理2 若a ,d 为正实数,a ɤτd ,f :[0,+ɕ)ң[0,+ɕ)连续且满足:1)f (ω)>2c τ(1+2τ),∀ωɪ[c ,d ];2)f (ω)在[0,a ]是单调递减的,在ωɪ[a ,b ]有f (ω)ɤf (a );3)ʏτ0s f (a s )d s +ʏ11-τsf (a s )d s <2b -(1-2τ)f (a );则方程(2)在P (α,β,a ,d )中有一个正解x *㊂证明 令a =c τ,d =b τ,则有c <a ɤτd <d =b τ<b ㊂∀x ɪP 有α(T x )=(T x )(τ)=ʏ10G (τ,s )d s ȡʏ12τ㊃G 12,æèçöø÷s f (x (s ))d s =2τβ(T x )ȡτβ(T x );1)若∀x ɪP (β,d )={x ɪP |β(x )ɤd },则 x =β(x )ɤd ,则P (β,d )有界㊂若∀x ɪP (α,a )={x ɪP |α(x )ɤa },则τβ(x )ɤα(x )ɤa , x =β(x )ɤ1τα(x )ɤa τ=d 从而P (α,a )⊂P (β,d )㊂2)∀M ɪ2a τ(1-τ),8æèçöø÷d ,定义函数x M (t )ʉʏ10M ㊃G (t ,s )d s,因此x M ɪ{x ɪP |a <α(x ),β(x )<d }事实上,x M (t )=M t (1-t )2ȡ0,x ᵡM (t )=-2M ɤ0从而x M 是凹的㊂x M (t )=x M 2t ㊃æèçöø÷12ȡ2t ㊃x M æèçöø÷12=2t x M 故x M ɪP ㊂α(x M )=x M (τ)=M τ(1-τ)2>aβ(x M )=x M æèçöø÷12=M121-æèçöø÷122=M8<d则{x ɪP |a <α(x ),β(x )<d }ʂ⌀㊂∀L ɪ2a 1-τ,8æèçöø÷b ,定义函数x L (t )ʉʏ1L G (t ,s )d s ,因此x L ɪ{x ɪP |a <α(x ),β(x )<b }事实上,由x M ɪP ,同理可知x L ɪP ,α(x L )=x L (τ)=L τ(1-τ)2>a β(x L )=x L æèçöø÷12=L 121-æèçöø÷122=L 8<b 则{x ɪP |a <α(x ),β(x )<b }ʂ⌀㊂∀J ɪ2a (1-τ),8æèçöø÷d ,定义函数x J (t )ʉʏ1J G (t ,s )d s ,因此x J ɪ{x ɪP |c <α(x ),β(x )<d }事实上,同理x J ɪP ,513第4期 徐厚生等:A A H 不动点定理与二阶非线性方程的正解α(x J )=x J (τ)=J τ(1-τ)2>a τ=c β(x J )=x J æèçöø÷12=J 121-æèçöø÷122=J 8<d 则x ɪ{P c <α(x ),β(x )<}d ʂ⌀㊂3)若x ɪP ,β(x )=b ,α(x )ȡa ,则β(T x )<b ㊂事实上,∀s ɪ[0,τ],x (s )=x τs ㊃1æèçöø÷τȡs τx (τ)=α(x )τs ȡa τs >a s ∀s ɪτ,éëêùûú12,α(x )ɤx (s )ɤβ(x )则a ɤx (s )ɤb ㊂由于x 的对称性及连续性,因此∀s ɪ[0,τ]ɣ[1-τ,1],0ɤa s ɤx (s)ɤa ∀s ɪ[τ,1-τ],a ɤx (s)ɤb 从而β(T x )=(T x )æèçöø÷12=ʏ10G 12,æèçöø÷s f (x (s ))d s <b ㊂4)若x ɪP ,β(x )=b ,α(T x )<a ,则β(T x )<b ㊂事实上,β(T x )=(T x )æèçöø÷12=ʏ1G 12,æèçöø÷s f (x (s ))d s ɤʏ1012τG (τ,s )f (x (s ))d s =12τα(T x )ɤ1τα(T x )<a τ<d τ=b 5)若x ɪP ,α(x )=c ,β(x )ɤd ,则α(T x )>c ㊂事实上,∀s ɪ[τ,1-τ],α(x )ɤx (s )ɤβ(x )则c ɤx (s )ɤd ㊂α(T x )=ʏ10G (τ,s )f (x (s ))d s ȡʏ1-τττ(1-s )f (x (s ))d s >ʏ1-τττ(1-s )㊃2c τ(1+2τ)d s =c6)若x ɪP ,α(x )=c ,β(T x )>d ,则α(T x )>c ㊂事实上,α(T x )=ʏ10G (τ,s )f (x (s ))d s ȡʏ12τG 12,æèçöø÷s f (x (s ))d s =2τβ(T x )>τβ(t x )=τd ȡa >c 则根据引理1,方程在P (α,β,a ,d )中有一个正解x *㊂例2 令a =1,d =4,τ=1/4㊂函数f (x )=-x 2+32,x ɪ[0,4]-43x +643,x ɪ(4,16]x -16,x ɪ(16,+ɕìîíïïïï)满足条件:1)f (ω)>34,ωɪ[1,4];2)f (ω)在[0,1]是单调递减的,在[1,16]上有f (1)ȡf (ω);3)ʏ140s f (16s )d s +ʏ134s f (16s )d s <32-14f (1)㊂根据定理2,方程(2)在P (α,β,1,4)中有一个正解㊂613沈阳师范大学学报(自然科学版) 第36卷2 结 语本文应用建立在锥理论和不动点指数方法基础上的A AH 不动点定理,研究一类中与文献中不同类型的二阶非线性边值问题正解的存在性㊂当非线性项满足单调性和某些不等式条件时,给出该类二阶非线性边值问题正解存在的锥拉伸与压缩型充分条件,并且通过一些例子来说明结论的应用㊂参考文献:[1]A V E R Y RI ,A N D E R S O N D R.F i x e d p o i n t t h e o r e m o f c o n ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o no f f u n c t i o n a l t y p e [J ].J D f f e r e n c eE q uA p pl ,2002,24(3):10731083.[2]A N D E R S O N DR ,A V E R YIR ,H E N D E R S O NJ .F u n c t i o n a l e x p a n s i o n c o m p r e s s i o n f i x e d p o i n t t h e o r e mo f L e g g e t t -W i l l i a m s t p y e [J ].E l e c t r o n JD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ,2010,63:18.[3]A V E R YR I ,H E N D E R S O NJ .T h r e e p o s i t i v e f i x e d p o i n t s n o n l i n e a r o p e r a t o r s o n o r d e r e dB a n a c h 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