河北省保定市徐水一中2015届高三上学期数学一轮专题复习--解析几何专练

河北省保定市第一中学2015届高三数学上学期模拟演练（七）试卷文（扫描版）新人教版数学试题（理科、文科）答案一.选择题：CDAAD BCADB CC 二．填空题：13.2；； 15.54、（文）16； 16.8、（文）81[ln 2,]33-- 三．解答题：17. 解：（1）设公差为d ，由S 3+S 5=58，得3a 1+3d+5a 1+10d=8a 1+13d =58……2分∵d=2，∴a 1=4，∴ a n =2n+2．*∈N n …………………………………………5分 （2）由（1）知a 2=6，所以110b b =3．………………………7分 ∴ T 10= log 3b 1 +log 3b 2+ log 3b 3+…+ log 3b 10=log 3(b 1·b 10) + log 3(b 2·b 9) +…+ log 3(b 5·b 6)=5log 3(b 1·b 10)=5log 33=5．………………………………10分 18. 解:（1）由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C --=， 即2sin cos sin()0A B B C -+= ………3分因为A B C π++=，所以sin()sin B C A +=， 因为sin 0A ≠， 所以1cos 2B = 又B 为三角形的内角，所以3B π=………6分（2）,()2cos(2)33B f x x ππ=∴=-+Q ()2cos[2()]2cos(2)1232g x x x πππ∴=-++=-+=2sin 2x ………9分由*2-22()22k x k k N ππππ≤≤+∈ 得*-()44k x k k N ππππ≤≤+∈故()f x 的单调增区间为：*[-,] ()44k k k Nππππ+∈. ………12分 19. 解：)2)(1()12()1()(2++=++++='x a x ae ax e x ax e x f x x x 3分当21=a 时，0)2(21)(2≥+='x e x f x ，)(x f 在R 上单增，此时无极大值； 5分 当210<<a 时，20)(->⇒>'x x f 或a x 1-<， 210)(-<<-⇒<'x ax f )(x f ∴在 ⎝⎛⎪⎭⎫-∞-a 1,和)(∞+-,2上单调递增，在) ⎝⎛--2,1a 上单调递减。

压轴题目突破练——解析几何A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π12内变动时，a 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3 C.⎝⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)D ．(1，3)答案 C解析 直线l 1的倾斜角为π4，依题意l 2的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π12，π4∪⎝⎛⎭⎪⎫π4，π4＋π12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3，从而l 2的斜率a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)．2． 若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( ) A ．(4,6) B ．[4,6) C ．(4,6] D ．[4,6]答案 A解析 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为|4×3－－－2|42＋32＝5，所以当半径r ＝4时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4<r <6.3． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x 答案 A解析 设点P (x 0，y 0)．依题意得，焦点F (2,0)，⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝5，y 20＝8x 0，于是有x 0＝3，y 20＝24；⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3，因此该双曲线的渐近线方程是y ＝±b ax ＝±3x .4． 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3C. 5D.92答案 A解析 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 到点(0,2)的距离． 因此所求的最小值等于⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172，选A.二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 如果x 2k －2＋y 21－k＝－1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 将原方程化成标准方程为y 2k －1－x 2k －2＝1.由题意知k －1>0且k －2>0，解得k >2.又a 2＝k －1，b 2＝k －2，所以c 2＝a 2＋b 2＝2k －3>1， 所以c >1，故半焦距c 的取值范围是(1，＋∞)．6． 若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝______.答案 2解析 设弦两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2＝2.又∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.7． 已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆在x 轴上所截得的弦长的最小值是________． 答案 2 3解析 由抛物线定义得以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值．设以AB 为直径的圆的半径为r ，则|AB |＝2r ≥4，r ≥2，且圆心到x 轴的距离是r －1，所以在x 轴上所截得的弦长为2r 2－r －2＝22r －1≥23，即弦长的最小值是2 3.三、解答题(共22分)8． (10分)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于异于椭圆顶点的两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0， 由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2，x 1·x 2＝m 2－42＋k2，又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， 所以－x 1＝2x 2.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，所以m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22. 整理，得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时等式不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.9． (12分)已知中心在原点的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的一个焦点为F 1(0,3)，M (x,4)(x >0)为椭圆C 上一点，△MOF 1的面积为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)因为椭圆C 的一个焦点为F 1(0,3)，所以c ＝3，b 2＝a 2＋9，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2＋9＝1，因为x >0，所以S △OMF 1＝12×3×x ＝32，解得x ＝1.故点M 的坐标为(1,4)．因为点M (1,4)在椭圆上，所以1a 2＋16a 2＋9＝1，得a 4－8a 2－9＝0，解得a 2＝9或a 2＝－1(不合题意，舍去)， 则b 2＝9＋9＝18，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 218＝1.(2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其方程为y ＝4x ＋m (因为直线OM 的斜率k ＝4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋m ，x 29＋y218＝1，消去y 化简，得18x 2＋8mx ＋m 2－18＝0.进而得到x 1＋x 2＝－8m 18，x 1·x 2＝m 2－1818.因为直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点， 所以Δ＝(8m )2－4×18×(m 2－18)>0， 化简得m 2<162，解得－92<m <9 2.因为以线段AB 为直径的圆恰好经过原点， 所以OA →·OB →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝(4x 1＋m )(4x 2＋m )＝16x 1x 2＋4m (x 1＋x 2)＋m 2，x 1x 2＋y 1y 2＝17x 1x 2＋4m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－18－32m 218＋m 2＝0. 解得m ＝±102.由于±102∈(－92，92)， 所以符合题意的直线l 存在，且所求的直线l 的方程为y ＝4x ＋102或y ＝4x －102.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53B.23C.23D.13答案 A解析 由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a3.根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53. 2． 由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为 ( )A ．1B ．2 2C.7D ．3答案 C解析 如图所示， 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即为切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝|3－0＋1|12＋－2＝2 2.所以|PM |的最小值为2 2.所以|PQ |＝|PM |2－1≥22－1＝7.3． (2011·四川)在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为 ( )A ．(－2，－9)B ．(0，－5)C ．(2，－9)D ．(1，－6)答案 A解析 当x 1＝－4时，y 1＝11－4a ；当x 2＝2时，y 2＝2a －1，所以割线的斜率k ＝11－4a －2a ＋1－4－2＝a －2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0，由y ′＝2x ＋a 得切线斜率为2x 0＋a ，∴2x 0＋a ＝a －2，∴x 0＝－1.∴直线与抛物线的切点坐标为(－1，－a －4)，切线方程为y ＋a ＋4＝(a －2)(x ＋1)，即(a －2)x －y －6＝0.圆5x 2＋5y 2＝36的圆心到切线的距离d ＝6a －2＋1.由题意得6a －2＋1＝65，即(a －2)2＋1＝5.又a ≠0，∴a ＝4，此时，y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9， 顶点坐标为(－2，－9)． 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________． 答案63解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)， 设直线的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a2， 代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴2a 2＝3c 2，∴e ＝63. 5． 已知曲线x 2a －y 2b ＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a－1b的值为________．答案 2解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.由题意，知a ≠b . 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b. OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1. 所以2a ＋2ab a －b －2aa －b＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b＝2.6． 设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，则|AF |＋4|BF |的最小值为________． 答案 92解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义可得|AF |＋4|BF |＝x 1＋p2＋4⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋12＋4⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋12＝x 1＋4x 2＋52，设直线AB 的方程为ky ＝x －12，联立抛物线方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ky ＝x －12，y 2＝2x消元整理得y 2－2ky －1＝0，由根与系数的关系可得y 1y 2＝－1，又A ，B 在抛物线上，代入方程得y 21y 22＝2x 1·2x 2＝4x 1x 2＝1，即x 1x 2＝14，因此根据基本不等式|AF |＋4|BF |＝x 1＋4x 2＋52≥2x 1×4x 2＋52＝2＋52＝92，当且仅当x 1＝4x 2时取得最小值92.三、解答题7． (13分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左，右顶点分别为A ，B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足：|PF |2－|PB |2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． (1)解 设P (x ，y )，由题知F (2,0)，B (3,0)，A (－3,0)， 则|PF |2＝(x －2)2＋y 2，|PB |2＝(x －3)2＋y 2，由|PF |2－|PB |2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4， 化简，得x ＝92.故点P 的轨迹方程是x ＝92.(2)解 将x 1＝2，x 2＝13分别代入椭圆方程，并考虑到y 1>0，y 2<0，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－209.则直线MA 的方程为y －053－0＝x ＋32＋3，即x －3y ＋3＝0直线NB 的方程为y －0－209－0＝x －313－3，即5x －6y －15＝0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，5x －6y －15＝0，解得x ＝7，y ＝103，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7，103.(3)证明 如图所示，点T 的坐标为(9，m )． 直线TA 的方程为y －0m －0＝x ＋39＋3， 直线TB 的方程为y －0m －0＝x －39－3， 分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 280＋m2，40m 80＋m 2， N ⎝⎛⎭⎪⎫m 2－20＋m2，－20m 20＋m 2.直线MN 的方程为 y ＋20m20＋m240m 80＋m 2＋20m20＋m2＝x －m 2－20＋m2－m 280＋m2－m 2－20＋m2.令y ＝0，解得x ＝1，所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1,0)．。

阶段性测试题九(立体几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·抚顺二中期中)已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下述命题中真命题的是()A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b或a⊥bB．若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC．若a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α⊥βD．若a⊥α，b⊂β，a∥b，则α⊥β[答案] D[解析]由a⊥c，b⊥c知，a与b可平行可相交，也可异面，故A错；由直棱柱相邻两个侧面与底面都垂直知B错；当α∩β＝l，a⊥l，b∥c∥l时，可满足C的条件，故C错；∵a∥b，a⊥α，∴b⊥α，又b⊂β，∴α⊥β，∴D正确．2．(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知不重合的两条直线l，m和不重合的两个平面α，β，下列命题正确的是()A．l∥m，l∥β，则m∥βB．α∩β＝m，l⊂α，则l∥βC．α⊥β，l⊥α，则l∥βD．l⊥m，m⊥β，l⊥α，则α⊥β[答案] D[解析]l⊄β，l∥m，m⊂β时，l∥β，故A错；α∩β＝m，当l⊂α且l∥m时，l∥β，当l与m 相交时，l与β相交，故B错；α⊥β，当l⊂β，l与α和β的交线垂直，l⊥α时，但l∥β不成立，故C错；∵l⊥m，l⊥α，∴m⊂α或m∥α，又m⊥β，∴α⊥β，故D正确．3．(2014·山东省博兴二中质检)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积值最大的是()A．8B．6 2C．8 2 D．10[答案] D[解析]由三视图知，该几何体直观图如图，其中△ABC为以B为直角的直角三角形，AB＝4，BC＝3，高P A＝4，∴S△ABC＝12×4×3＝6，S△P AB＝12×4×4＝8，S△PBC＝12PB·BC＝12×42×3＝62，S△P AC＝12AC·P A＝12×5×4＝10，故选D.4．(2014·河南淇县一中模拟)将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()[答案] B[解析]在侧视图中，D1的射影为C1，A的射影为B，D的射影为C，AD1的射影BC1为实线(右下到左上)，B1C为虚线，故选B.5．(文)(2014·浙北名校联盟联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A ．4B ．8C ．4 3D ．8 3[答案] B[解析] 作出几何体的直观图如图，这是一个三棱锥P －ABC ，其中P 在底面射影为D 点，PD ＝23，AD ＝3，CD ＝1，E 为AC 的中点，BE ⊥AC ，BE ＝23，故几何体的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13×(12·AC ·BE )·PD ＝8，故选B.(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] A[解析] 由三视图知，该几何体是一个三棱锥P －ABC ，其中底面△ABC 为直角三角形，∠A 为直角，顶点P 到A ，C 的距离相等，P 点在底面的射影D ，满足AC ∥BD ，且BD ＝12AC ＝1，PD ＝3，画出其直观图如图所示，其体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13×(12×2×1)×3＝1.6．(2014·辽宁师大附中期中)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．24＋6πB ．24＋4πC ．28＋6πD ．28＋4π [答案] A[解析] 由三视图知，该几何体为组合体，其上部为半球，半球的直径为22，下部为长方体，长、宽、高为2,2,3，其表面积为2×4×3 ＋12×4π·(222)2＋π·(222)2＝24＋6π，故选A.7．(2014·高州四中质量监测)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为( )A ．24－π3B ．24－π2C ．24－32πD ．24－π[答案] C[解析] 由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为3、4、2的长方体内挖去一个底半径为1，高为3的半圆柱后剩余部分，其体积V ＝3×4×2－12(π×12×3)＝24－32π.8．(2014·山西曲沃中学期中)已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2.∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A.33B.233C.433D.533[答案] C[解析] 设球心为O ，△ABO 所在平面截球O 得截面如图，∵OA ＝OB ＝AB ＝OS ＝OC ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，∴SC ⊥平面ABO ，V S －ABC ＝V S －ABO ＋V C －ABO ＝2V S －ABO ＝2×13×(34×22)×2＝433，故选C.9．(文)(2014·陕西工大附中四模)如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )[答案] C[解析] 若俯视图为A ，则该几何体是棱长为1的正方体，体积V ＝1；若俯视图为B ，则该几何体是底半径为12，高为1的圆柱，其体积V ＝π·(12)2·1＝π4；若俯视图为D ，则该几何体是底半径为1，高为1的圆柱的14，其体积V ＝14·π·12·1＝π4；若俯视图为C ，则该几何体是直三棱柱，底面直角三角形两直角边长为1，棱柱高为1，体积为V ＝(12×1×1)×1＝12，因此选C.(理)(2014·开滦二中期中)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2[答案] A[解析] 取AC 中点F ，则DF 綊BE ，∴DE ∥BF ， ∴BF 与平面BB 1C 1C 所成的角为所求， ∵AB ＝1，BC ＝3，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AB ⊥BB 1，∴AB ⊥平面BCC 1B 1，作GF ∥AB 交BC 于G ，则GF ⊥平面BCC 1B 1，∴∠FBG 为直线BF 与平面BCC 1B 1所成的角，由条件知BG ＝12BC ＝32，GF ＝12AB ＝12，∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6.10．(2014·绵阳市南山中学检测)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α； ②若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ③若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α，则m ⊥β. 其中正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．①② C ．③④ D ．②③[答案] D[解析] 由两个平面平行的性质知②正确；∵n ⊥α，n ⊥β，∴α∥β，又m ⊥α，∴m ⊥β，∴③正确，故选D.11．(文)(2014·云南景洪市一中期末)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是( )A.4π3 B ．π C.2π3 D.π3[答案] B[解析] 由三视图知，这是一个半径为1的球，截去14，故其体积为V ＝34·(4π3·13)＝π.(理)(2014·吉林延边州质检)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点(如图)，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )[答案] C[解析] 由条件知AE ∥平面DD 1C 1C ，平面AEC 1与平面DD 1C 1C 相交，故交线与AE 平行，∵E 为BB 1的中点，故取DD 1的中点F ，∴AE 綊C 1F ，故截面为AEC 1F (如图1)，截去正方体的上半部分后，剩余部分几何体直观图如图2，故其左视图形状与直角梯形FD 1A 1A 相同，且C 1E 的射影为虚线，由于B 1E ＝12AA 1，故E 点射影在直角梯形下底的中点，故选C.12．(文)(2014·吉林省实验中学一模)已知正三棱锥P －ABC ，点P 、A 、B 、C 都在半径为3的球面上，若P A 、PB 、PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为( )A. 2B. 3C.33D.233[答案] C[解析] 由条件知，以P A 、PB 、PC 为三棱作长方体P ADB －CA 1D 1B 1，则该长方体内接于球，体对角线PD 1为球的直径，由于三棱锥P －ABC 为正三棱锥，∴AB ＝AC ＝BC ，∴P A ＝PB ＝PC ，设P A ＝a ，则3a ＝23，∴a ＝2.设球心到截面的距离为h ，则由V A －PBC ＝V P －ABC 得， 13(12×2×2)×2＝13×34×(22)2×(3－h )， ∴h ＝33. (理)(2014·成都七中模拟)平面四边形ABCD 中，AD ＝AB ＝2，CD ＝CB ＝5，且AD ⊥AB ，现将△ABD 沿着对角线BD 翻折成△A ′BD ，则在△A ′BD 折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A ′C 与平面BCD 所成的最大角的正切值为( )A ．1 B.12 C.33D. 3[答案] C[解析] 如下图，OA ＝1，OC ＝2，在△ABD 绕直线BD 旋转过程中，OA 绕点O 旋转形成半圆，显然当A ′C 与圆相切时，直线A ′C 与平面BCD 所成角最大，最大角为30°，其正切值为33，选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13.(2014·山西省太原五中月考)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋P A 1的最小值为________．[答案]8＋2 6[解析] 由题意可知，△BCC 1为等腰直角三角形，∵AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，∠ACB ＝90°，∴∠A 1B ＝10，BC 1＝2，∵A 1B 2＝A 1C 21＋BC 21，∴∠AC 1B 为直角，将△BCC 1与△A 1BC 1所在平面铺平如图，设A 1C 交BC 1于Q ，则当点P 与Q 重合时，CP ＋P A 1取到最小值，最小值为A 1C .A 1C ＝A 1C 21＋C 1C 2－2A 1C 1·C 1C cos135° ＝6＋2－2×6×2×(－22)＝8＋2 6.14．(文)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．[答案] 12π[解析] 由V ＝13Sh ＝13×(3)2·h ＝322知，h ＝322，设正方形ABCD 的中心为M ，则MA ＝62，∴OA 2＝OM 2＋MA 2＝(322)2＋(62)2＝3，∴S 球＝4π·OA 2＝12π.(理)(2014·抚顺二中期中)右图是一个空间几何体的三视图，如果主视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，那么该几何体的体积为________．[答案]433[解析] 由三视图知，几何体是正四棱锥，底面正方形边长为2，棱锥的斜高为2，故高h ＝22－12＝3，∴体积V ＝13×4×3＝433.15．(文)(2014·西安市长安中学期中)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为________．[答案]3(8－π)6[解析] 根据三视图，该几何体是一个组合体，其中左侧是半个圆锥，右侧是底面为正方形的四棱锥，由于侧视图是一个边长为2的等边三角形，所以高为 3.所以其体积为V ＝13·(12π·12＋22)·3＝3(8＋π)6.(理)(2014·浙江台州中学期中)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成三棱锥C －ABD ，它的主视图与俯视图如图所示，则二面角C －AB －D 的正切值为________．[答案] 2[解析] 三棱锥C －ABD 直观图如图，由主视图与俯视图知，平面CBD ⊥平面ABD ，CO ⊥平面ABD ，作OE ∥AD ，∵AD ⊥AB ，∴OE ⊥AB ，连结CE ，则CE ⊥AB ，∴∠CEO 为二面角C －AB －D 的平面角，在Rt △COE 中，OE ＝12AD ＝12，CO ＝22，∴tan ∠CEO ＝COOE＝ 2.16．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中，龙海二中六校联考)点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的命题序号是________． [答案] ①②④[解析] ①VA －D 1PC ＝VP －AD 1C ，∵BC 1∥AD 1，AD 1⊂平面AD 1C ，∴BC 1∥平面AD 1C ，∴无论P 在BC 1上任何位置，P 到平面AD 1C 的距离为定值，∴三棱锥A －D 1PC 的体积不变，∴①正确；②∵A 1C 1∥AC ，BC 1∥AD 1，A 1C 1∩BC 1＝C 1，AC ∩AD 1＝A ，∴平面A 1BC 1∥平面AD 1C ，∵A 1P ⊂平面A 1BC 1，∴A 1P ∥平面ACD 1，∴②正确；③假设DP ⊥BC 1，∵DC ⊥平面BCC 1B 1，∴DC ⊥BC 1， ∴BC 1⊥平面ABCD ，与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1矛盾， ∴③错误；④∵B 1B ⊥AC ，BD ⊥AC ，∴AC ⊥平面B 1BD ，∴AC ⊥B 1D ，同理可证AD 1⊥B 1D ，∴B 1D ⊥平面ACD 1，∵B 1D ⊂平面PDB 1，∴平面PDB 1⊥平面ACD 1，∴④正确．(理)(2014·成都七中模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是BC 1的中点，P 是BB 1一动点，则(AP ＋MP )2的最小值为________．[答案] 52[解析] 将平面ABB 1A 1展开到与平面CBB 1C 1共面，如下图，易知当A 、P 、M 三点共线时(AP ＋MP )2最小．AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ×BM cos135°＝12＋(22)2－2×1×22×(－22)＝52. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·天津市六校联考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，已知BC ＝1，∠BCC 1＝π3，AB ＝CC 1＝2.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)试在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上确定一点E 的位置，使得EA ⊥EB 1； (3)(理)在(2)的条件下，求AE 和平面ABC 1所成角正弦值的大小． [解析] (1)∵BC ＝1，∠BCC 1＝π3，CC 1＝2，∴BC 1＝3，∴BC 2＋BC 21＝CC 21，∴BC 1⊥BC ，∵AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴BC 1⊥AB 且BC ∩AB ＝B ， ∴BC 1⊥平面ABC .(2)E 为C 1C 的中点．连接BE ，∵BC ＝CE ＝1，∠BCC 1＝π3，等边△BEC 中，∠BEC ＝π3，同理：B 1C 1＝C 1E ＝1，∠B 1C 1E ＝2π3，∴∠B 1EC 1＝π6，∴∠BEB 1＝π2，∴EB 1⊥EB ，∵AB ⊥侧面BB 1C 1C ，EB 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴EB 1⊥AB 且EB ∩AB ＝B ，∴B 1E ⊥平面ABE ，EA ⊂平面ABE ，∴EA ⊥EB 1. (3)∵AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ⊂平面ABC 1， ∵平面BCC 1B 1⊥平面ABC 1，过E 作BC 1的垂线交BC 1于F ，则EF ⊥平面ABC 1， 连接AF ，则∠EAF 为所求， ∵BC ⊥BC 1，EF ⊥BC 1，∴BC ∥EF ， ∵E 为C 1C 的中点，∴F 为C 1B 的中点，∴EF ＝12，由(2)知AE ＝5，∴sin ∠EAF ＝125＝510.18．(本小题满分12分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)如图所示，圆柱的高为2，底面半径为7，AE 、DF是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC ，四边形ABCD 是正方形．(1)求证BC ⊥BE ；(2)求四棱锥E －ABCD 的体积． [解析] (1)∵AE 是圆柱的母线，∴AE ⊥底面EBC ，又BC ⊂底面EBC ，∴AE ⊥BC ， 又∵截面ABCD 是正方形，所以BC ⊥AB ， 又AB ∩AE ＝A ，∴BC ⊥平面ABE ， 又BE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥BE .(2)∵母线AE ⊥底面EBC ，∴AE 是三棱锥A －BCE 的高， 由(1)知BC ⊥平面ABE ，BC ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ABE ， 过E 作EO ⊥AB ，交AB 于O ，又∵平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，EO ⊂平面ABE ， ∴EO ⊥平面ABCD ，即EO 就是四棱锥E －ABCD 的高， 设正方形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝x ， BE ＝AB 2－AE 2＝x 2－4，又∵BC ⊥BE ，∴EC 为直径，即EC ＝27， 在Rt △BEC 中，EC 2＝BE 2＋BC 2， 即(27)2＝x 2＋x 2－4，∴x ＝4， ∴S 四边形ABCD ＝4×4＝16，OE ＝AE ·BE AB ＝2×42－44＝3，∴V E －ABCD ＝13·OE ·S 四边形ABCD ＝13×3×16＝1633.(理)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形，∠BAC ＝90°，点D 是棱B 1C 1的中点．(1)求证：A 1D ⊥平面BB 1C 1C ； (2)求证：AB 1∥平面A 1DC ； (3)求二面角D －A 1C －A 的余弦值．[解析] (1)证明：因为侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形， 所以AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ，所以AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥平面A 1B 1C 1.因为A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1D ， 又因为CC 1∥AA 1，所以CC 1⊥A 1D ， 又因为A 1B 1＝A 1C 1，D 为B 1C 1中点， 所以A 1D ⊥B 1C 1. 因为CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C .(2)证明：连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结OD ， 因为ACC 1A 1为正方形，所以O 为AC 1中点， 又D 为B 1C 1中点，所以OD 为△AB 1C 1中位线， 所以AB 1∥OD ，因为OD ⊂平面A 1DC ，AB 1⊄平面A 1DC ， 所以AB 1∥平面A 1DC .(3)因为侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形，∠BAC ＝90°，所以AB ，AC ，AA 1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A －xyz . 设AB ＝1，则C (0,1,0)，B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，D (12，12，1)．A 1D →＝(12，12，0)，A 1C →＝(0,1，－1)，设平面A 1DC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1D →＝0，n ·A 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y －z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－1，－1)．又因为AB ⊥平面ACC 1A 1，所以平面ACC 1A 1的法向量为AB →＝(1,0,0)， 设二面角D －A 1C －A 的平面角为θ，则θ＝π－〈n ，AB →〉， ∴cos θ＝cos(π－〈n ，AB →〉) ＝－n ·AB →|n |·|AB →|＝－13＝－33，所以，二面角D －A 1C －A 的余弦值为－33. 19．(本小题满分12分)(文)(2014·黄石二中检测)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝2AB ＝2，且BC 1⊥A 1C .(1)求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；(2)设D 是A 1C 1的中点，判断并证明在线段BB 1上是否存在点E ，使DE ∥平面ABC 1；若存在，求三棱锥E －ABC 1的体积．[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有A 1A ⊥平面ABC .∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ＝AC ，∴A 1C ⊥AC 1.又BC 1⊥A 1C ，∴A 1C ⊥平面ABC 1，∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1.(2)存在，E 为BB 1的中点．取A 1A 的中点F ，连EF ，FD ，当E 为B 1B 的中点时，EF ∥AB ，DF ∥AC 1， ∴平面EFD ∥平面ABC 1，则有ED ∥平面ABC 1. 当E 为BB 1的中点时，V E －ABC 1＝V C1－ABE＝13×2×12×1×1＝13. (理)(2014·保定市八校联考)如图，在底面是直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，∠DAB ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝BC ＝3，梯形上底AD ＝1.(1)求证：BC ⊥平面P AB ；(2)在PC 上是否存在一点E ，使得DE ∥平面P AB ？若存在，请找出；若不存在，说明理由； (3)求平面PCD 与平面P AB 所成锐二面角的正切值． [解析] (1)证明：∵BC ∥AD 且∠DAB ＝90°，∴BC ⊥AB ，又P A ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥P A ， 而P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .(2)延长BA 、CD 相交于Q 点，假若在PC 上存在点E ，满足DE ∥平面P AB ，则由平面PCQ 经过DE 与平面P AB 相交于PQ 知DE ∥PQ ，∵AD ∥BC 且AD ＝1，BC ＝3， ∴PE CP ＝QD CQ ＝AD BC ＝13， 故E 为CP 的三等分点，PE ＝12CE .(3)过A 作AH ⊥PQ ，垂足为H ，连DH ， 由(1)及AD ∥BC 知：AD ⊥平面P AQ ， ∴AD ⊥PQ ，又AH ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面HAD ，∴PQ ⊥HD .∴∠AHD 是平面PCD 与平面PBA 所成的二面角的平面角． 易知AQ ＝32，PQ ＝352，∴AH ＝AQ ·P A PQ ＝355，∴tan ∠AHD ＝AD AH ＝53，所以平面PCD 与平面P AB 所成二面角的正切值为53. 20．(本小题满分12分)(文)(2014·北京朝阳区期末)如图，在三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，P A ⊥AC ，AB ⊥BC .设D 、E 分别为P A 、AC 中点．(1)求证：DE∥平面PBC；(2)求证：BC⊥平面P AB；(3)试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．[解析](1)证明：因为点E是AC中点，点D为P A的中点，所以DE∥PC.又因为DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC.(2)证明：因为平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，又P A⊂平面P AC，P A⊥AC，所以P A⊥平面ABC.所以P A⊥BC.又因为AB⊥BC，且P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB.(3)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB中点F，连EF，DF.由(1)可知DE∥平面PBC.因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC.又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．(理)(2014·山东省博兴二中质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)设点M 在线段PC 上，PM MC ＝12，求证：P A ∥平面MQB ；(3)在(2)的条件下，若平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ＝PD ＝AD ＝2，求二面角M －BQ －C 的大小．[解析] (1)连接BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为正三角形， 又Q 为AD 中点，∴AD ⊥BQ .∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，AD ⊥PQ ， 又BQ ∩PQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PQB ，∵AD ⊂平面P AD ， ∴平面PQB ⊥平面P AD . (2)连接AC 交BQ 于点N ，由AQ ∥BC 可得，△ANQ ∽△CNB ，∴AQ BC ＝AN NC ＝12.又PM MC ＝12，∴PM MC ＝ANNC.∴P A ∥MN . ∵MN ⊂平面MQB ，P A ⊄平面MQB ，∴P A ∥平面MQB . (3)∵P A ＝PD ＝AD ＝2，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD . 又平面P AD ⊥平面ABCD ，∴PQ ⊥平面ABCD .以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为A (1,0,0)，B (0，3，0)，P (0,0，3)．设平面MQB 的法向量n ＝(x ，y ，z )，可得⎩⎪⎨⎪⎧ n ·QB →＝0，n ·MN →＝0.∵P A ∥MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·QB →＝0，n ·P A →＝0.∴⎩⎨⎧3y ＝0，x －3z ＝0，取z ＝1，得n ＝(3，0,1)． 取平面ABCD 的法向量m ＝(0,0,1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.故二面角M －BQ －C 的大小为60°.21．(本小题满分12分)(文)如图，E 是以AB 为直径的半圆弧上异于A ，B 的点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB ＝2AD ＝2.(1)求证：EA ⊥EC ；(2)设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F . ①求证：EF ∥AB ；②若EF ＝1，求三棱锥E －ADF 的体积．[解析] (1)∵E 是半圆上异于A ，B 的点，∴AE ⊥EB ， 又∵平面ABCD ⊥平面ABE ，且CB ⊥AB ， 由面面垂直性质定理得CB ⊥平面ABE ， 又AE ⊂平面ABE ，∴CB ⊥AE ， ∵BC ∩BE ＝B ，∴AE ⊥平面CBE ， 又EC ⊂平面CBE ，∴AE ⊥EC .(2)①由CD ∥AB ，得CD ∥平面ABE ， 又∵平面CDE ∩平面ABE ＝EF ， ∴根据线面平行的性质定理得CD ∥EF ， 又CD ∥AB ，∴EF ∥AB .②V E －ADF ＝V D －AEF ＝13×12×1×32×1＝312.(理)(2014·浙江台州中学期中)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上，过点E作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(折起后的点A 记作点P )，使得∠PEB ＝60°.(1)求证：EF ⊥PB .(2)试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P －FC －B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．[解析] (1)在Rt △ABC 中，∵EF ∥BC ，∴EF ⊥AB ， ∴EF ⊥EB ，EF ⊥EP ，又∵EB ∩EP ＝E ，∴EF ⊥平面PEB . 又∵PB ⊂平面PEB ，∴EF ⊥PB .(2)解法一：∵EF ⊥平面PEB ，EF ⊂平面BCFE ，∴平面PEB ⊥平面BCFE ，过P 作PQ ⊥BE 于点Q ，垂足为Q ，则PQ ⊥平面BCFE ，过Q 作QH ⊥FC ，垂足为H .则∠PHQ 即为所求二面角的平面角．设PE ＝x ，则EQ ＝12x ，PQ ＝32x ，QH ＝(PE ＋EQ )sin π4＝324x ，故tan ∠PHQ ＝PQ QH ＝63，cos ∠PHQ ＝155，即二面角P －FC －B 的平面角的余弦值为定值155. 解法二：在平面PEB 内，经P 点作PD ⊥BE 于D ， 由(1)知EF ⊥平面PEB ，∴EF ⊥PD .∴PD ⊥平面BCFE .在平面PEB 内过点B 作直线BH ∥PD ，则BH ⊥平面BCFE .以B 点为坐标原点，BC →，BE →，BH →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设PE ＝x (0＜x ＜4)又∵AB ＝BC ＝4，∴BE ＝4－x ，EF ＝x ， 在Rt △PED 中，∠PED ＝60°，∴PD ＝32x ，DE ＝12x ， ∴BD ＝4－x －12x ＝4－32x ，∴C (4,0,0)，F (x,4－x,0)，P (0,4－32x ，32x )．从而CF →＝(x －4,4－x,0)，CP →＝(－4,4－32x ，32x )．设n 1＝(x 0，y 0，z 0)是平面PCF 的一个法向量，则 n 1·CF →＝0，n 1·CP →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0(x －4)＋y 0(4－x )＝0，－4x 0＋(4－32x )y 0＋32xz 0＝0，∴⎩⎨⎧x 0－y 0＝0，3x 0－z 0＝0， 取y 0＝1，得，n 1＝(1,1，3)．又平面BCF 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)． 设二面角P －FC －B 的平面角为α，则 cos α＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝155. 因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角P －FC －B 的平面角的余弦值为定值155. 22．(本小题满分14分)(文)(2014·广东执信中学期中)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2.(1)证明：直线B 1D 1⊥平面ACC 2A 2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB ＝10，A 1B 1＝20，AA 2＝30，AA 1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？[解析] (1)∵四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的侧面是全等的矩形， ∴AA 2⊥AB ，AA 2⊥AD ，又∵AB ∩AD ＝A ， ∴AA 2⊥平面ABCD .连接BD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴AA 2⊥BD . ∵底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD . ∵AA 2∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面ACC 2A 2， 根据棱台的定义可知，BD 与B 1D 1共面．又已知平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面BB 1D 1D ∩平面ABCD ＝BD ， 平面BB 1D 1D ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥BD . ∴B 1D 1⊥平面ACC 2A 2.(2)∵四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的底面是正方形，侧面是全等的矩形， ∴S 1＝S 四棱柱上底面＋S 四棱柱侧面＝(A 2B 2)2＋4AB ·AA 2＝102＋4×10×30＝1300(cm 2)． 又∵四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形， 等腰梯形的高h ′＝132－(20－102)2＝12.所以S 2＝S 四棱台下底面＋S 四棱台侧面 ＝(A 1B 1)2＋4×12(AB ＋A 1B 1)h ′＝202＋4×12(10＋20)×12＝1120(cm 2)．于是该实心零部件的表面积为S ＝S 1＋S 2＝1300＋1120＝2420(cm 2)， 故所需加工处理费为0.2S ＝0.2×2420＝484(元)．(理)(2014·西安市长安中学期中)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)若M 为棱PC 的中点，求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值． [解析] (1)∵BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，∴BC ＝DQ ，又∵AD ∥BC ，∴BC ∥DQ ，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ， ∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD ，又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，∴BQ ⊥平面P AD ，又BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面P AD . (2)解法1：∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PQ ⊥平面ABCD . 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则Q (0,0,0)，A (1,0,0)，P (0,0，3)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)， ∵M 是PC 中点，∴M (－12，32，32)，∴AP →＝(－1,0，3)，BM →＝(－12，－32，32)，设异面直线AP 与BM 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈AP →，BM →〉|＝AP →·BM →|AP →|·|BM →|＝277，∴异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为277.解法2：连接AC 交BQ 于点O ，连接OM ，则OM ∥P A ， 所以∠BMO 就是异面直线AP 与BM 所成的角．OM ＝12P A ＝1，BO ＝12BQ ＝32，由(1)知BQ ⊥平面P AD ，所以BQ ⊥P A ，∴BQ ⊥OM ， ∴BM ＝BO 2＋OM 2＝(32)2＋12＝72， ∴cos ∠BMO ＝OM BM ＝172＝277.。

河北省保定市徐水县第一中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．240 B．200 C．D．参考答案：B略2. 若x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A（0，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值．∴z max=3×0﹣4=﹣4．故选：B．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3. 已知函数，若m＜n，且f（m）=f（n），则n﹣m的取值范围是（）A．[3﹣2ln2，2）B．[3﹣2ln2，2] C．[e﹣1，2] D．[e﹣1，2）参考答案：A【考点】分段函数的应用．【分析】作出函数f（x）的图象如图：利用消元法转化为关于n的函数，构造函数求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值即可得到结论．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：若m＜n，且f（m）=f（n），则当ln（x+1）=1时，得x+1=e，即x=e﹣1，则满足0＜n≤e﹣1，﹣2＜m≤0，则ln（n+1）=m+1，即m=2ln（n+1）﹣2，则n﹣m=n+2﹣2ln（n+1），设h（n）=n+2﹣2ln（n+1），0＜n≤e﹣1则h′（n）=1﹣==，当h′（x）＞0得1＜n≤e﹣1，当h′（x）＜0得0＜n＜1，即当n=1时，函数h（n）取得最小值h（1）=1+2﹣2ln2=3﹣2ln2，当n=0时，h（0）=2﹣2ln1=2，当n=e﹣1时，h（e﹣1）=e﹣1+2﹣2ln（e﹣1+1）=1+e﹣2=e﹣1＜2，则3﹣2ln2≤h（n）＜2，即n﹣m的取值范围是[3﹣2ln2，2），故选：A4. 直线的位置关系是A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定参考答案：A5. 已知复数z=﹣+i，则+|z|=（）A．﹣﹣iB．﹣+iC． +iD．﹣i参考答案：D【分析】利用共轭复数和模的计算公式即可得出．【解答】解： =，|z|==1，∴+|z|==．故选：D．【点评】本题考查了共轭复数和模的计算公式，属于基础题．6. 过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与抛物线准线交于M，且，则（）A．B．C．D．参考答案：C设准线与x轴交于点E,作PA,QB分别垂直准线于A,B，设FP=t,则PM=2t,PA=t,EF=2,由相似比得，解得，选C.7. 设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得，（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：D设，则由余弦定理可得，-------------（1），，即，以上两式可得，即，----------（2）又由双曲线的定义可得，即--------------（3）由（1）（3）可得代入（2）可得，即，故离心率，应选答案D。

徐水一中2014-2015学年度上学期高三数学一轮专题复习数列与复数1．复数i2＋i3＋i41－i ＝( )A ．－12－12i B ．－12＋12I C.12－12i D.12＋12i2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋I C ．1－i D ．1＋i3．若复数2－bi1＋2i (b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A. 2B.23 C ．－23D ．24．复数z 满足(z －i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．－2－2i B ．－2＋2i C ．2－2i D ．2＋2i5． a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．16．设复数z ＝1＋i(其中i 为虚数单位)，则复数2z ＋z2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．若M ＝{x|x ＝in ，n ∈Z}，N ＝{x|1x ＞－1}(其中i 为虚数单位)，则M∩(∁RN)＝( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{－1,0}D ．{1}8.复数z ＝i1＋i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．复数z1＝3＋i ，z2＝1－i ，则复数z1z2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知x －2i2－yii＝－8 (x ，y ∈R)，则x －yi 的模为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 211.在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0等于( )A ．1B ．3C ．5D ．712．若f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f(1)为( )A ．1 B.15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案13．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n 个图共挖去小正方形( )A ．(8n －1)个B ．(8n ＋1)个 C.17(8n －1)个 D.17(8n ＋1)个 14.用数学归纳法证明1＋a ＋a2＋…＋an ＋1＝1－an ＋21－a (a≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1成立时，左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a2D ．1＋a ＋a2＋a315．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，第四个图有37个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n 幅图的蜂巢总数，则f(6)＝( )A ．53B ．73C ．91D ．9716．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出 f(k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( ) A ．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B ．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C ．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立 D ．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立17．已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z|＝________.18．设a ，b ∈R ，a ＋bi ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．19．已知复数z1＝4＋2i ，z2＝k ＋i ，且z1·z 2是实数，则实数k ＝________.20．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．21．若复数z ＝i ＋1i －1＋mi(i 为虚数单位)为实数，则实数m ＝________.22.如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来的(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n≥3，n ∈N*)个图形共有________个顶点．答案1.C. 2选A 3选C. 4选D. 5选B. 6选A. 7选B. 8.A 9.A 10.D 11.C 12.C 13. C 14.C 15. C 16. D17.10 18：8 19：2 20：1 21 1 22. n(n ＋1)。

2014—2015学年度第一学期高三期末考研考试数学试题（理科）第Ⅰ卷【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、圆锥曲线、复数、集合、程序框图、二项式定理等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1、若复数z=，则z=（）A．12B．2C．1 D．2【知识点】复数的运算L4【答案】【解析】C解析：()211422z===-，,所以1z==，则选C. 【思路点拨】掌握复数的除法运算是解答的关键.【题文】2、若集合2{0,1},{1,}A B a==-，则“{}1A B =”是“1a=”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件A2【答案】【解析】B解析：若{}1A B =，则21,1a a==±，所以充分性不满足，必要性满足,则选B.【思路点拨】判断充分必要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】3、已知函数()sin()(0)4f x wx wπ=+>的最小正周期为π，则()8fπ=（）A．1 B．12C．-1 D．12-【知识点】三角函数的性质C3解析：因为函数()sin()(0)4f x wx w π=+>的最小正周期为π，所以22πωπ==，则sin 2sin 18842f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选A.【思路点拨】可先由最小正周期求函数解析式，再代入求所求函数值.【题文】4、在区间[]5,5-内随机取出一个实数a ，则()0,1a ∈的概率为（ ） A ．0.5 B ．0.3 C ．0.2 D ．0.1 【知识点】几何概型K3【答案】【解析】D解析：因为所求事件对应的区间长度为1，所以()0,1a ∈的概率为10.110=，则选D. 【思路点拨】由已知条件可知所求概率为几何概型，分别求出所求事件对应的长度区间与总体对应的长度区间，代入公式求值即可.【题文】5、运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ） A ．2014 B ．2013 C ．1008 D ．1007【知识点】程序框图L1 【答案】【解析】D解析：由程序框图可知12320131110061007S =-+-+=+⨯=，所以选D.【思路点拨】遇到循环结构程序框图问题，可依次执行循环体发现所求值的规律，再进行解答.【题文】6、已知实数,x y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最大值是（ ）A ．2B ．0C ．-10D ．-1 5 【知识点】简单的线性规划E5解析：实数,x y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图为ABO 对应的三角形区域，当动直线24z x y =+经过原点时，目标函数取得最大值为z=0，所以选 B..【思路点拨】由x,y 满足的约束条件求最值问题，通常结合目标函数的几何意义数形结合寻求取得最值的点，再代入目标函数求最值.【题文】7、如图12,e e 为互相垂直的两个单位向量，则a b +=（ ） A ．20 B ．10 C ．25 D ．15【知识点】向量的坐标运算F2 【答案】【解析】C解析：分别以12,e e 的方向为x,y 轴方向建立直角坐标系，则1731,,,2222a b ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2,4,41625a b a b +=--+=+= C.【思路点拨】遇到向量的运算时，若直接计算不方便，可建立直角坐标系转化为坐标运算进行解答.【题文】8、湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下一个半径为6cm ，深2cm 的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（ ）A ．20cmB ．18cmC ．10cmD ．8cm 【知识点】球的截面性质G8 【答案】【解析】B解析：设球半径为R ，则有()22236R R =-+,解得R=10，所以球面上的点到冰面的最大距离为R+R －2=18cm ，则选B. 【思路点拨】一般遇到球的截面问题，通常利用球的截面性质寻求截面圆的半径与球半径的关系进行解答.【题文】9、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于（ ） A ．1 B ．1或2 C ．1或3 D ．3 【知识点】等差数列 等比数列D2 D3 【答案】【解析】C解析：设等差数列的公差为d ，则有()()2111246a d a a d +=+，得d=0或d=12a ，若d=0,则211a a =，若d=12a ，则211133a aa a ==，所以选C. 【思路点拨】可结合等差数列的求和公式得到公差与首项关系，再求所求的比值即可. 【题文】10、已知函数()()322,2,03a f x x ax cx g x ax ax c a =++=++≠，则它们的图象可能是（ ）【知识点】函数与导数的关系B11 【答案】【解析】B解析：因为二次函数g(x)的对称轴为x=－1,所以排除A,D ，又因为函数g(x)为函数f(x)的导数，由函数单调性与其导数的关系可排除C ，所以选B.【思路点拨】发现函数g(x)与f(x)的导数关系是本题解题的关键.【题文】11、已知0,2b a ab >>=，则22a b a b+-的取值范围是（ ）A ．(],4-∞-B ．(),4-∞-C ．(],2-∞-D ．(),2-∞- 【知识点】基本不等式E6 【答案】【解析】A解析：因为()2222444a b ab a b a b b a a b a b a b b a -++⎛⎫==-+=--+≤- ⎪----⎝⎭，当且仅当b －a=4b a-时等号成立，所以选A. 【思路点拨】可结合已知条件把所求的式子进行转化，再利用基本不等式求范围.【题文】12、在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且BC 边上的高为6，则c bb c+取得最大值时，内角A 的值为（ ） A ．2π B ．6π C ．23π D ．3π【知识点】解三角形C8【答案】【解析】D解析：因为11sin 262a a bc A ⨯⨯=，得2sin a A =，则2222cos2cos 4sin 6c b c b a bc A A A A b c bc bc π++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭，所以当,623A A πππ+==时c bb c+取得最大值，则选D. 【思路点拨】结合已知条件利用三角形面积公式及余弦定理把c bb c+转化为关于角A 的三角函数问题，再进行解答即可.第Ⅱ卷【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

河北省保定市第一中学2015届高三上学期模拟演练（八）数学（理）试题 word版含答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：232015年高三模拟演练（八）理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、在复平面内，复数31a i i+-对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,2) B ．(2,)+∞ C ．(,0)-∞ D ．(]0,22、设全集为R ，集合1{|1},{|(2)(21)0}1A xB x x x x =≤=-+<+，则()RC A B =I ( ) A ．1{|2}2x x -<<- B ．1{|1}2x x -<<- C ．1{|2}2x x -≤<- D ．1{|1}2x x -≤<- 3、在ABC ∆中，3,4,AB BC D ==是BC 的中点，且,36B CAD ππ=∠=，则sin ADC ∠=（ ）A ．74B ．134C ．3926D ．7284、设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，有以下四个命题：①若//,//m n αα，则//m n ②若,m ααβ⊥⊥，则//m β③若//,m ααβ⊥，则m β⊥ ④若//,m ααβ⊥，则//m β其中，真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35、已知数列{}n a 为等比数列，且143,,a a a 成等差数列，则201320142012()a a a =（ ） A ．1a B ．1 C ．201422a D ．20141a46、设,a b r r 为非零向量，则以下说法不正确的是（ ）A ．“a b -r r ”是“//a b r r ”的充分不必要条件B ．“AB CD =u u u r u u u r ”是“//AB CD ”的必要不充分条件C ．“a b a b +=-r r r r ”是“存在R λ∈，使得a b λ=r r ”的充分不必要条件D ．“a b a b +=-r r r r ”是“a b ⊥r r ”的既不充分也不必要条件7、已知2n a an n =+，若数列{}n a 为递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．1(,)3-+∞D ．1(,][0,)2-∞-+∞U8、如图，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的内切球表面积为（ ） A ．4π B ．6π C ．22π D ．3π 9、已知25,23a b a b +=-=r r r r 且()(2)a b a b +⋅-r r r r ，则a r 与b r 的夹角为（ ） A ．0 B ．4π C ．2π D ．π 10、设关于,x y 的不等式组321000x y x m y m -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，且使2z x y =-取得最大值为2，则实数m 的值为（ ）A ．43B ．13C ．53-D ．23- 11、已知关于x 的不等式0x a x c x b x d++->++的解集为()(,2)1,2-∞-U ，在关于x 的不等式ln 1ln 10ln 1ln 1a x c x b x d x --->--的解集为（ ） A ．11(1,)(0,)22--U B ．11(,)(1,)e e eU5C ．11(,)(,1)22-∞-U D ．1(,)(,)e e e-∞U 12、已知函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()212xf x f x x '+=且()11f =，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．0B ．eC ．2e D ．2e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

2015年保定市第一次高考模拟考试数学 (A 卷)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将答题卡交回。

1.已知集合A ＝{1，2，3，4}，{}n B x x A==∈，则A ∩B 的子集个数是 A.2 B. 3 C. 4 D. 16解析：集合{}2B =，所以{}12AB ＝，，故A ∩B 的子集个数为4.(文)已知集合A ＝{1，2，3，4}，{}n B x x A==∈，则A ∩B=A. {1, 2,3}B. {}C. {1, 2}D. {1}解析：集合{}B =，所以{}12A B ＝， 2.已知p ：α是第一象限角，q ：πα<2，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知i 是虚数单位，则31()1i i -+=A. 1B. iC. -i D -1.解析：231(1)2,().1(1)(1)2i i ii i i i i i ---===--=++-（文）已知i 是虚数单位，则1||1ii -+=A. iB. 1C. 2D. 0---===--=++-21(1)2, 1.1(1)(1)2i i ii i i i i 即-=+11i i 1. 4.sin15cos15-=A.2B. 12C.2 D. 12- 解析2112(sin15cos151-2sin15cos15=1-=,sin15cos150,sin15cos15222-=-<∴-=-）法2: 2sin15cos15sin(4530)cos(4530)2-=---=-法3：2sin15cos152(sin15cos45cos15sin 45)2sin(1545)2-=-=-=-5. 一简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的表面积为A. 38B.382π-C.382π+D. 12π- 解析：由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其表面积为22(343141)212138ππ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯=6. 在边长为4的正方形ABCD 内任取一点M ，则∠AMB >90°的概率为A.π8B. 1-π8 C. 4π D. 1-4π解析：ππ⋅⨯2122p==448 7.已知函数(2)f x +是R 上的偶函数，当2x >时，2()1f x x =+，则当2x <时，()f x =A. +21x B. 285x x -+ C. 245x x ++ D. 2817x x -+解析1：2x <时，4-x >2, (2)f x +是偶函数∴+=-⇒=-=-+=-+22(2x)(2)f(x)f(4x)(4x)1817f f x x x解析2：可画图观察求解。

2014-2015学年河北省保定一中高三（上）期中数学练习试卷（理科）（7）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设A={x|y=}，B={x|y=ln （1+x ）}，则A ∩B=（ ）A ． {x|x ＞﹣1}B ． {x|x ≤1}C ． {x|﹣1＜x ≤1}D ． ∅2．函数y=2sin （2x ﹣）+1的最大值为（ ）A ． ﹣1B ． 1C ． 2D ． 33．已知条件p ：x ＞1，q ：，则p 是q 的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件4．若正实数x ，y 满足x+y=2，则的最小值为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．已知△ABC 中，||=2，||=3，且△ABC 的面积为，则∠BAC=（ ）A ． 150°B ． 120°C ． 60°或120°D ． 30°或150°6．已知2sin θ+3cos θ=0，则tan2θ=（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知M （x ，y ）为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为（ ）A ． 3B ．C ． 4D ．8．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有．则（ ）A． f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B． f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C． f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D． f（3）＜f（1）＜f（﹣2）9．在△ABC中，若•=•=•，且||=||=||=2，则△ABC的周长为（）A． B． 2 C． 3 D． 610．若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．11．设点P是函数y=﹣（x+1）图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（）A．θ∈（，π] B．θ∈（，] C．θ∈（，] D．θ∈（，]12．已知S n是等差数列{a n}n∈N*的前n项和，且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中最大项为S11；⑤|a6|＞|a7|，其中正确命题的个数（）A． 5 B． 4 C． 3 D． 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．若（a﹣2i）i=b+i（a，b∈R），则= ．14．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若A=，b=1，△ABC的面积为，则a的值为．15．设S n是等比数列{a n}的前n项和，若a5+2a10=0，则的值是．16．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知公差为2的等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且S3+S5=58．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{b n}为等比数列，且b1b10=，记T n=log3b1+log3b2+log3b3+…+log3b n，求T10的值．18．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0．（1）求∠B；（2）设函数f（x）=﹣2cos（2x+B），将f（x）的图象向左平移后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．19．设函数f（x）=e x（ax2+x+1），且a＞0，求函数f（x）的单调区间及其极大值．20．已知等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+log2a n，S n为数列{b n}的前n项和，求使S n﹣2n+1﹣8≤0成立的n的取值集合．21．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且C=2A，cosA=．（1）求c：a的值；（2）求证：a，b，c成等差数列；（3）若△ABC周长为30，∠C的平分线交AB于D，求△CBD的面积．22．定义在D上的函数f（x），如果满足：∀x∈D，∃常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．（1）试判断函数f（x）=x3+在[，3]上是否是有界函数？（2）若某质点的运动方程为S（t）=+a（t+1）2，要使对t∈[0，+∞）上的每一时刻的瞬时速度S′（t）是以M=1为上界的有界函数，求实数a的值．2014-2015学年河北省保定一中高三（上）期中数学练习试卷（理科）（7）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设A={x|y=}，B={x|y=ln（1+x）}，则A∩B=（）A． {x|x＞﹣1} B． {x|x≤1} C． {x|﹣1＜x≤1} D．∅考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中x的范围，确定出A与B，找出A与B的交集即可．解答：解：由A中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴A={x|x≤1}，由B中y=ln（x+1），得到1+x＞0，即x＞﹣1，∴B={x|x＞﹣1}，则A∩B={x|﹣1＜x≤1}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数y=2sin（2x﹣）+1的最大值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D． 3考点：三角函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用正弦函数的值域，求解函数的最大值即可．解答：解：函数y=sinx∈[﹣1，1]，∴函数y=2sin（2x﹣）∈[﹣2，2]．∴函数y=2sin（2x﹣）+1∈[﹣1，3]．函数y=2sin（2x﹣）+1的最大值为3．故选：D．点评：本题考查三角函数的最值的求法，基本知识的考查．3．已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：由x＞1，推出＜1，p是q的充分条件，由＜1，得＜0，解得：x＜0或x＞1．不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题．4．若正实数x，y满足x+y=2，则的最小值为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵正实数x，y满足x+y=2，∴=1，当且仅当x=y=1时取等号．故选：A．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．5．已知△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，则∠BAC=（）A． 150° B． 120° C． 60°或120° D． 30°或150°考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：根据S△ABC=||•||•sin∠BAC，代入求出sin∠BAC=，从而求出答案．解答：解：∵S△ABC=||•||•sin∠BAC，∴=×2×3×sin∠BAC，∴sin∠BAC=，∴∠BAC为30°，或150°，故选：D．点评：本题考查了三角形的面积根式，是一道基础题．6．已知2sinθ+3cosθ=0，则tan2θ=（）A． B． C． D．考点：二倍角的正切．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可求得tanθ=﹣，利用二倍角的正切即可求得答案．解答：解：∵2sinθ+3cosθ=0，∴tanθ=﹣，∴tan2θ===，故选：B．点评：本题考查二倍角的正切，求得tanθ=﹣是基础，属于基础题．7．已知M（x，y）为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为（）A． 3 B． C． 4 D．考点：简单线性规划．专题：数形结合；平面向量及应用．分析：由约束条件作出可行域，化向量数量积为线性目标函数，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，∵，M（x，y），∴=，化为，由图可知，当直线过B（）时，z有最大值为：．故选：C．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了平面向量的数量积，训练了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．则（）A． f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B． f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C． f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D． f（3）＜f（1）＜f（﹣2）考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：计算题；压轴题．分析：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．可得出函数在[0，+∞）上是减函数，再由偶函数的性质得出函数在（﹣∞，0]是增函数，由此可得出此函数函数值的变化规律，由此规律选出正确选项解答：解：任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．∴f（x）在（0，+∞]上单调递减，又f（x）是偶函数，故f（x）在（﹣∞，0]单调递增．且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），3＞2＞1＞0，由此知，此函数具有性质：自变量的绝对值越小，函数值越大∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选A．点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题．9．在△ABC中，若•=•=•，且||=||=||=2，则△ABC的周长为（）A． B． 2 C． 3 D． 6考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：在△ABC中，由•=•=•，且||=||=||=2三角形是等边三角形，只要求出△ABC的一边长度即可．解答： 解：因为在△ABC 中，•=•=•，且||=||=||=2，所以△ABC 是等边三角形；由在△ABC 中，若•=•=•，且||=||=||=2，所以∠AOB=120°，由余弦定理得AB 2=OA 2+OB 2﹣2OA ×OBcos120°=4+4+4=12，所以AB=2，所以三角形的周长为6； 故选D ．点评： 本题考查了向量的数量积定义的运用，关键是由已知向量关系判断三角形的形状以及利用余弦定理求三角形的边长．10．若变量x ，y 满足|x|﹣ln =0，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 对数函数的图像与性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由条件可得 y=，显然定义域为R ，且过点（0，1），当x ＞0时，y=，是减函数，从而得出结论．解答： 解：若变量x ，y 满足|x|﹣ln =0，则得 y=，显然定义域为R ，且过点（0，1），故排除C 、D ． 再由当x ＞0时，y=，是减函数，故排除A ，故选B ．点评： 本题主要考查指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合应用，以及函数的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题，属于基础题．11．设点P 是函数y=﹣（x+1）图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（ ） A ． θ∈（，π] B ． θ∈（，] C ． θ∈（，] D ． θ∈（，]考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．专题： 计算题；导数的概念及应用；三角函数的图像与性质．分析： 求出导数，再利用基本不等式求其范围，从而得出切线的倾斜角为θ的正切值的取值范围，而0≤θ＜π，从而可求θ的取值范围．解答：解：∵函数y=﹣（x+1）的导数y′=﹣（（x+1））=﹣=﹣（+）≤﹣2=﹣，（当且仅当取等号），∴y′∈（﹣]，∴tanθ，又0≤θ＜π，∴＜θ．故选C．点评：本题考查导数的几何意义，关键在于通过导数解决问题，难点在于对切线倾斜角的理解与应用，属于中档题．12．已知S n是等差数列{a n}n∈N*的前n项和，且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中最大项为S11；⑤|a6|＞|a7|，其中正确命题的个数（）A． 5 B． 4 C． 3 D． 1考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将S11，S12由第六项和第七项的正负判定．解答：解：∵等差数列{a n}中，S6最大，且S6＞S7＞S5，∴a1＞0，d＜0，①正确；∵S6＞S7＞S5，∴a6＞0，a7＜0，∴a1+6d＜0，a1+5d＞0，S6最大，∴④不正确；S11=11a1+55d=11（a1+5d）＞0，S12=12a1+66d=12（a1+a12）=12（a6+a7）＞0，∴②⑤正确，③错误故选：C．点评：本题考查等差数列的前n项和的最值．在等差数列中S n存在最大值的条件是：a1＞0，d＜0．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．若（a﹣2i）i=b+i（a，b∈R），则= 2 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数的运算和复数相等可得a和b的方程组，解方程组可得答案．解答：解：∵（a﹣2i）i=b+i，∴2+ai=b+i，∴，∴=2故答案为：2点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数相等，属基础题．14．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若A=，b=1，△ABC的面积为，则a的值为．考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：根据三角形的面积公式，求出c的值，再由余弦定理求出a的值即可．解答：解：由S△ABC=bcsinA，得：•1•c•sin=，解得：c=2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×1×2×=3，∴a=，故答案为：．点评：本题考查了解三角形问题，考查了三角形面积根式，余弦定理，是一道基础题．15．设S n是等比数列{a n}的前n项和，若a5+2a10=0，则的值是．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的公比，由已知求得，代入的展开式后得答案．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q（q≠0），由a5+2a10=0，得，∵a1≠0，∴．则===．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，是基础的计算题．16．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为8 ．考点：正弦函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为g（t）=2sinπt﹣，由于g（x）是奇函数，观察函数y=2sinπt与y=的图象可知，在[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，从而 x1+x2+…+x7+x8的值．解答：解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣3，3]，因g（﹣t）=﹣g（t），故g（t）是奇函数，观察函数 y=2sinπt（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0，从而x1+x2+…+x7+x8=8，故答案为：8．点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知公差为2的等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且S3+S5=58．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{b n}为等比数列，且b1b10=，记T n=log3b1+log3b2+log3b3+…+log3b n，求T10的值．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的前n项和公式即可得出；（2）由（1）知a2=6，可得b1b10=3．再利用等比数列的性质可得b1b10=b i b11﹣i（i∈N*），及其对数的运算法则即可得出．解答：解：（1）设公差为d，由S3+S5=58，得3a1+3d+5a1+10d=8a1+13d=58，∵d=2，∴a1=4，∴a n=2n+2．n∈N*．（2）由（1）知a2=6，∴b1b10=3．∴T10=log3b1+log3b2+log3b3+…+log3b10=log3（b1•b10）+log3（b2•b9）+…+log3（b5•b6）=5log3（b1•b10）=5log33=5．点评：本题考查了等差数列的前n项和公式、等比数列的性质、对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0．（1）求∠B；（2）设函数f（x）=﹣2cos（2x+B），将f（x）的图象向左平移后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后再利用诱导公式、两角和的正弦公式变形，求出cosB的值，即可确定出∠B的大小；（2）根据三角函数图象平移法则、诱导公式求出g（x），再由正弦函数的单调递增区间、整体思想，求出函数g（x）的单调递增区间．解答：解：（1）由（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0及正弦定理得，（2sinA﹣sinC）cosB﹣sinBcosC=0，即2sinAcosB﹣sin（B+C）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，因为sinA≠0，所以cosB=，由B是三角形内角得，B=，（2）由（1）得，B=，则f（x）=﹣2cos（2x+B）=﹣2cos（2x+），所以g（x）=﹣2cos[2（x+）+]，=﹣2cos（2x+）=2sin2x，由得，，故函数g（x）的单调递增区间是：．点评：本题主要考查正弦定理，诱导公式、两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调性的应用，属于中档题．19．设函数f（x）=e x（ax2+x+1），且a＞0，求函数f（x）的单调区间及其极大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间及其极大值．解答：解：∵f（x）=e x（ax2+x+1），∴f′（x）=ae x（x+）（x+2）（3分）当a=时，f′（x）≥0，f（x）在R上单增，此时无极大值；（5分）当0＜a＜时，f′（x）＞0，则x＞﹣2或x＜﹣，f′（x）＜0，则﹣＜x＜﹣2∴f（x）在（﹣∞，﹣）和（2，+∞）上单调递增，在（﹣，﹣2）上单调递减．…（8分）此时极大值为f（﹣）=（9分）当a＞时，f′（x）＞0，则x＜﹣2或x＞﹣，f′（x）＜0，则﹣2＜x＜﹣∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣）上单调递减．…（11分）此时极大值为f（﹣2）=e﹣2（4a﹣1）（12分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．20．已知等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+log2a n，S n为数列{b n}的前n项和，求使S n﹣2n+1﹣8≤0成立的n的取值集合．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：综合题．分析：（1）利用等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项，建立方程，求出q，a1，即可求数列{a n}的通项公式；（2）利用分组求和，再解不等式，即可得出结论．解答：解：（1）∵a3+2是a2和a4的等差中项，∴2（a3+2）=a2+a4∵2a1+a3=3a2，∴q=2（q=1舍去），a1=2∴a n=a1q n﹣1=2n…．（6分）（2）b n=a n+log2a n=2n+n．…（7分）所以S n=（2+4+…+2n）+（1+2+…+n）=+=2n+1﹣2+n+…．（10分）因为S n﹣2n+1﹣8≤0，所以n2+n﹣20≤0解得﹣5≤n≤4，故所求的n的取值集合为{1，2，3，4}…．（12分）点评：本题考查等比数列求通项公式和等差、等比中项的概念，等差数列和等比数列之间的相互转化，考查运算能力，属中档题．21．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且C=2A，cosA=．（1）求c：a的值；（2）求证：a，b，c成等差数列；（3）若△ABC周长为30，∠C的平分线交AB于D，求△CBD的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由C=2A，得到sinC=sin2A，求出sinC与sinA之比，利用正弦定理求出c与a之比即可；（2）由cosC=cos2A，把cosA的值代入求出cosC的值，进而求出sinC的值，由cosA的值求出sinA的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（A+C），把各自的值代入求出sin （A+C）的值，即为sinB的值，进而得到sinA+sinC=2sinB，利用正弦定理化简即可得证；（3）由2b=a+c，且a+b+c=30，得到b=10，由c：a=3：2，得到a=8，c=12，过D作DE⊥AC，交AC于点E，由∠BCA=2∠A，且∠BCA的平分线交AB于点D，得到AD=CD，求出AE的长，在三角形ADE中求出AD的长，利用角平分线定理求出BD的长，利用三角形面积公式求出三角形BCD面积即可．解答：解：（1）∵C=2A，∴sinC=sin2A，∴==2cosA=，则由正弦定理得：c：a=sinC：sinA=3：2；（2）∵cosC=cos2A=2cos2A﹣1=2×﹣1=，∴sinC==，∵cosA=，∴sinA==，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，∴sinA+sinC==2sinB，利用正弦定理化简得：2b=a+c，则a，b，c成等差数列；（3）由2b=a+c，且a+b+c=30，得到b=10，由c：a=3：2，得到a=8，c=12，过D作DE⊥AC，交AC于点E，∵∠BCA=2∠A，且∠BCA的平分线交AB于点D，∴∠A=∠ACD，即AD=CD，∴AE=b=5，∵cosA=，AD=，由角平分线定理得：===，∴BD=AD=，则S△CBD=××8×=．点评：此题考查了余弦定理，等差数列的性质，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．22．定义在D上的函数f（x），如果满足：∀x∈D，∃常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．（1）试判断函数f（x）=x3+在[，3]上是否是有界函数？（2）若某质点的运动方程为S（t）=+a（t+1）2，要使对t∈[0，+∞）上的每一时刻的瞬时速度S′（t）是以M=1为上界的有界函数，求实数a的值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值即可得出．（2）由|S′（t）|≤1，可得﹣1≤≤1．分离参数可得，再利用导数分别研究左右两边的函数即可得出．解答：解：（1）令f′（x）===0，x∈[，3]，解得x=1，当x∈[，1]时，f′（x）＜0；当x∈（1，3]时，f′（x）＞0．∴f（x）在[，3]上的最小值为f（1）=4，又f（）=，f（3）=28．∴当x∈[，3]时，f（1）≤f（x）≤f（3），即 4≤f（x）≤28．∴存在常数M=28等使得∀x∈[，3]，都有|f（x）|＜0≤M成立．故函数函数f（x）=x3+在[，3]上是有界函数．（2）∵S′（t）=．由|S′（t）|≤1，得，∴﹣1≤≤1．∴，①令g（t）=，显然g（t）在[0，+∞）上单调递减，且当t→+∞时，g（x）→0．∴a≤0．②令=m∈（0，1]，h（m）=m3﹣m，h′（m）=3m2﹣1=0，解得，当m∈时，函数h（m）单调递增，h（m）≤h（1）=0，则当m=1即t=0时，h（m）max=h（1）=0，∴a≥0综上可得a=0．点评：本题考查了利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值、“有界函数”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

河北省徐水县第一中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}{}1,0,1,0,1,2M N =-=，则如图所示韦恩图图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}1,2-D ．{}1,0,1,2- 2．函数)y x x =-的定义域为A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]3．已知全集U R =，集合{}{}3|021,|log 0x A x B x x =<<=>，则()U A C B ⋂= A ．{}|1x x > B ．{}|0x x > C ．{}|01x x << D ．{}|0x x <4．函数12()log (1)f x x -=+的值域为A ．RB ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞⋃+∞D ．(,1)(0,)-∞⋃+∞ 5．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 A ．||2x y = B ．2lg(1)y x x =+ C ．22x x y -=+ D ．1lg1y x =+ 6．设集合{}{}22|230,|210,0A x x x B x x ax a =+->=--≤>，若A B ⋂中恰有一个整数，则实数a 的取值范围是A ．3(0,)4 B ．34[,)43 C ．3[,)4+∞ D ．(1,)+∞7．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ ） A ．2B ．3C ．6D ．98．函数)1(),1|(|log >+=a x y a 的图像大致是( )9．已知y x ,为正实数,则A.y x y x lg lg lg lg 222+=+B.lg()lg lg 222x y x y +=⋅C.lg lg lg lg 222x y x y ⋅=+D.lg()lg lg 222xy x y =⋅10．设)(x f 定义在实数集R 上的函数，满足条件(1)y f x =+是偶函数，且当1≥x 时，1()()12x f x =-，则231(),(),()323f f f 的大小关系是A ．231()()()323f f f >>B ．213()()()332f f f >>C ．321()()()233f f f >>D ． 132()()()323f f f >>11．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++L ，则下列结论正确的是 A ．()f x 在(0,1)上恰有一个零点 B ．()f x 在(0,1)上恰有两个零点 C ．()f x 在(1,0)-上恰有一个零点 D ．()f x 在(1,0)-上恰有两个零点 12．已知函数31()|log (1)|()3xf x x =--有两个零点12,x x ，则A ．121x x <B ．1212x x x x >+C ．1212x x x x =+D ．1212x x x x <+ 二、填空题13．若()f x 是R 上的奇函数，则函数(1)2y f x =+-的图像必过定点 。